ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ ΗΛΔΚΣΡΙΚΩΝ ΚΤΚΛΩΜΑΣΩΝ RLC ΤΝΔΥΟΤ ΡΔΤΜΑΣΟ ΜΔ ΠΑΡΑΜΔΣΡΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΜΔΘΟΓΟΤ ΑΤΣΔΝΔΡΓΔΙΑ ΣΟΤ ΥΡΗΣΗ

ΣΜΗΜΑ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Σ.Δ. ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ ΗΛΔΚΣΡΙΚΩΝ ΚΤΚΛΩΜΑΣΩΝ RLC ΤΝΔΥΟΤ ΡΔΤΜΑΣΟ ΜΔ ΠΑΡΑΜΔΣΡΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΜΔΘΟΓΟΤ ΑΤΣΔΝΔΡΓΔΙΑ ΣΟΤ ΥΡΗΣΗ ΝΣΙΡΛΗ ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΜ: 1920 Δπιβλέπυν καθηγηηήρ Γπ.Μισαήλ Αθαναζίος ΔΡΡΔ ΜΑΡΣΙΟ 2016 1

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΔΗΛΩΣΗ Βεβαηώλσ όηη είκαη ν ζπγγξαθέαο απηήο ηεο πηπρηαθήο εξγαζίαο θαη όηη θάζε βνήζεηα ηελ νπνία είρα γηα ηελ πξνεηνηκαζία ηεο, είλαη πιήξσο αλαγλσξηζκέλε θαη αλαθέξεηαη ζηελ πηπρηαθή εξγαζία. Έρσ αλαθέξεη ηηο όπνηεο πεγέο από ηηο νπνίεο έθαλα ρξήζε δεδνκέλσλ, ηδεώλ ή ιέμεσλ, είηε απηέο αλαθέξνληαη αθξηβώο είηε παξαθξαζκέλεο. Δπίζεο βεβαηώλσ όηη απηή ε πηπρηαθή είλαη πξνεηνηκαζκέλε από εκέλα πξνζσπηθά, εηδηθά γηα ηα πιαίζηα ηνπ πξνγξάκκαηνο ζπνπδώλ ηνπ Σκήκαηνο Μεραληθώλ Πιεξνθνξηθήο Σ.Δ.Η. Κεληξηθήο Μαθεδνλίαο. 2

ΑΦΙΔΡΩΗ Ζ παξνύζα πηπρηαθή εξγαζία απνηειεί ην επηζηέγαζκα κηαο καθξνρξόληαο πξνζπάζεηαο ζηελ νινθιήξσζε ησλ ζπνπδώλ κνπ ζην Σκήκα Μεραληθώλ Πιεξνθνξηθήο ηνπ ΣΔΗ Κεληξηθήο Μαθεδνλίαο. Πξώηα από όια ζα ήζεια λα επραξηζηήζσ ηνλ επηβιέπνληα θαζεγεηή κνπ θ. Μηραήι Αζαλαζίνπ γηα ηελ δπλαηόηεηα πνπ κνπ έδσζε λα αζρνιεζώ κε έλα ηόζν ελδηαθέξνλ ζέκα γηα ην ρξόλν ηνπ θαη ηελ θαζνδήγεζε ηνπ θαη ηηο ζπκβνπιέο ηνπ, ώζηε λα πξνθύςεη έλα αμηόινγν απνηέιεζκα, θαζώο θαη ηνπο θαζεγεηέο ηνπ ηκήκαηνο κνπ. Δπίζεο ζα ήζεια λα επραξηζηήζσ ηνπο γνλείο κνπ θαη όινπο όζνπο ζηάζεθαλ δίπια κνπ ζε όια απηά ρξόληα ησλ ζπνπδώλ κνπ ηόζν πιηθά αιιά θαη εζηθά. 3

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ 1. ΔΙΑΓΩΓΗ 1.1 Πεξίιεςε πηπρηαθήο εξγαζίαο......6 1.2 Δθαξκνγέο Πξνζνκνίσζεο......7 1.3 Ση είλαη ην Matlab...... 9 2. ΘΔΩΡΙΑ 2.1 Δηζαγσγή ζηα Ζιεθηξηθά Κπθιώκαηα..13 2.2 Δθαξκνγέο ειεθηξηθώλ θπθισκάησλ..14 2.3 Κύθισκα ζπλερνύο ξεύκαηνο RC...20 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 Κύθισκα ζπλερνύο ξεύκαηνο RL.27 Κύθισκα ζπλερνύο ξεύκαηνο LC.32 Κύθισκα ζπλερνύο ξεύκαηνο RLC..37 3. ΠΔΙΡΑΜΑΣΑ Πξνζνκνίσζε θπθιώκαηνο RC....46 Πξνζνκνίσζε θπθιώκαηνο RL. 52 Πξνζνκνίσζε θπθιώκαηνο LC. 56 Πξνζνκνίσζε θπθιώκαηνο RLC..58 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΑ Κώδηθαο θπθιώκαηνο RC...64 Κώδηθαο θπθιώκαηνο RL........72 Κώδηθαο θπθιώκαηνο LC........80 Κώδηθαο θπθιώκαηνο RLC...87 Κώδηθαο function lines...95 Κώδηθαο function patches....96 Κώδηθαο function texts......97 5. ΙΣΟΛΟΓΙΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 4

1. ΔΙΑΓΩΓΗ 5

1.1 Πεπίλητη πηςσιακήρ επγαζίαρ Ζ πηπρηαθή εξγαζία πξαγκαηεύεηαη ηελ πξνζνκνίσζε ειεθηξηθώλ θπθισκάησλ ζπλερνύο ξεύκαηνο ζε ζεηξά ζηελ απιή κνξθή ηνπο. Σα ζηνηρεία ησλ θπθισκάησλ είλαη ηα R,L,C πνπ αληίζηνηρα είλαη ε αληίζηαζε,ην πελίν θαη ν ππθλσηήο. Σα θπθιώκαηα είλαη ην RC, RL, LC θαη RLC. Ζ πξνζνκνίσζε πξαγκαηνπνηείηαη κε ην πξόγξακκα Matlab (Mathematic Laboratory) ζε m.files. Ο ρξήζηεο κπνξεί λα ζέζεη αξρηθέο ηηκέο ηνπ θπθιώκαηνο θαη λα πξαγκαηνπνηήζεη ηελ πξνζνκνίσζε. Καηά ηελ δηάξθεηα ηεο πξνζνκνίσζεο ζρεδηάδνληαη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο κε ηα ζηνηρεία ηνπ εθάζηνηε θπθιώκαηνο. Ο ρξήζηεο κεηαβάιινληαο ηηο παξακέηξνπο ηνπ θπθιώκαηνο κπνξεί λα θαηαλνήζεη θαιύηεξα ηελ ζπκπεξηθνξά ησλ ζηνηρείσλ ηνπ θπθιώκαηνο θαη ηηο βαζηθέο αξρέο ησλ ειεθηξνληθώλ θπθισκάησλ. 1.2 Δθαπμογέρ Πποζομοίυζηρ H πξνζνκνίσζε (simulation) σο ηερληθή κίκεζεο ηεο ζπκπεξηθνξάο ελόο ζπζηήκαηνο από έλα άιιν ζύζηεκα, θαηαιακβάλεη πεξίνπηε ζέζε ζηα πιαίζηα ησλ εθπαηδεπηηθώλ εθαξκνγώλ. Μπνξνύκε λα νξίζνπκε ηελ πξνζνκνίσζε σο κηα κέζνδν κειέηεο ελόο ζπζηήκαηνο (ελόο αληηθεηκέλνπ, ελόο θαηλνκέλνπ, κηαο δξαζηεξηόηεηαο, κηαο δηαδηθαζίαο) κέζσ ελόο καζεκαηηθνύ ζπζηήκαηνο. Ζ πξνζνκνίσζε δειαδή είλαη κία αλαπαξάζηαζε ή έλα κνληέιν πνπ έρεη θαηαζθεπαζηεί γηα λα αλαπαξαζηήζεη θαη λα επηηξέςεη ηελ θαηαλόεζε ηεο ιεηηνπξγίαο ελόο ζπζηήκαηνο. Σν ζύζηεκα πξνζνκνίσζεο «κηκείηαη» ηε ζπκπεξηθνξά απηνύ πνπ αλαπαξηζηά θαη ζπλεπώο επηηξέπεη εμνηθείσζε κε ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ θαη θαηαλόεζε ησλ ιεηηνπξγηώλ ηνπ. Σν ζύζηεκα πξνζνκνίσζεο ζηηο πεξηζζόηεξεο πεξηπηώζεηο ζήκεξα είλαη έλα κνληέιν πνπ «εθηειείηαη» ζε έλαλ ππνινγηζηή. Μηα πξνζνκνίσζε κε ππνινγηζηέο είλαη ππνινγηζηηθό κνληέιν πνπ ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα πεηξακαηηζηνύκε πάλσ ζε έλα πξαγκαηηθό ζύζηεκα ρσξίο λα έρνπκε άκεζε επαθή καδί ηνπ. ηόρνο ελόο ζπζηήκαηνο πξνζνκνίσζεο είλαη ε κειέηε, ε θαηαλόεζε θαη ν πεηξακαηηζκόο κε πνιύπινθα ζπζηήκαηα (ζηα νπνία ζπλήζσο δελ έρνπκε απεπζείαο 6

πξόζβαζε). Οη ρξήζηεο ρεηξίδνληαη ηα ζπζηαηηθά ηνπ ζπζηήκαηνο κε πιήξσο αιιειεπηδξαζηηθό ηξόπν, όπσο είλαη γηα παξάδεηγκα ε πξνζνκνίσζε ρεηξηζκνύ ελόο πνιεκηθνύ αεξνπιάλνπ. Ζ έλλνηα ηεο πξνζνκνίσζεο εκθαλίζηεθε αξρηθά ζην ρώξν ηεο επηζηεκνληθήο έξεπλαο σο ηερληθή κειέηεο ησλ απνηειεζκάησλ κηαο δξάζεο πάλσ ζε έλα θαηλόκελν ρσξίο λα απαηηείηαη παξέκβαζε ζην ίδην ην θαηλόκελν. Οη πξνζνκνηώζεηο ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε κειέηε θαη ηελ θαηαλόεζε αξρώλ ιεηηνπξγίαο πνιιώλ θπζηθώλ, βηνινγηθώλ θαη θνηλσληθώλ δηαδηθαζηώλ. Σα ζπζηήκαηα πξνζνκνίσζεο απνηεινύλ ζηηο κέξεο καο πνιύ δηαδεδνκέλεο θαη ηαπηόρξνλα από ηηο απνηειεζκαηηθέο εθαξκνγέο ζηελ εθπαηδεπηηθή δηαδηθαζία. Ζ εθπαηδεπηηθή πξνζνκνίσζε νξίδεηαη σο έλα κνληέιν θάπνηνπ θαηλνκέλνπ ή θάπνηαο δξαζηεξηόηεηαο, ην νπνίν νη ρξήζηεο ρξεζηκνπνηνύλ θαη καζαίλνπλ κέζσ ηεο αιιειεπίδξαζεο. ε κηα παηδαγσγηθή θαηάζηαζε πξνζνκνίσζεο, ν καζεηήο, αιιάδνληαο θαηά βνύιεζε νξηζκέλεο θύξηεο θαηά θαλόλα - κεηαβιεηέο ηνπ πξνο κειέηε θαηλνκέλνπ, έρεη ζηα ρέξηα ηνπ ηελ πξσηνβνπιία εμέιημήο ηνπ θαη δελ νθείιεη λα απαληά απιώο ζε εξσηήζεηο πνπ έρνπλ πξνβιεθζεί από ηνπο δεκηνπξγνύο ηνπ ινγηζκηθνύ. Αληίζεηα, κε βάζε ηηο παξαηεξήζεηο πνπ θάλεη πάλσ ζηα απνηειέζκαηα ησλ ρεηξηζκώλ ηνπ, είλαη δπλαηόλ λα αλαθαιύςεη ην κνληέιν ην νπνίν πξνζνκνηώλεη ην ινγηζκηθό ή ηηο βαζηθέο παξακέηξνπο πνπ ην ζπλζέηνπλ θαη λα εθαξκόζεη απηά πνπ έρεη ήδε κάζεη. Σύποι πποζομοιώζευν Μπνξνύκε λα δηαθξίλνπκε ηέζζεξηο ηύπνπο πξνζνκνηώζεσλ: α) θπζηθή πξνζνκνίσζε, ζηελ νπνία έλα θπζηθό θαηλόκελν ή θαηάζηαζε αλαπαξίζηαηαη από ην ππνινγηζηηθό ζύζηεκα ζηελ νζόλε επηηξέπνληαο ζηνλ ρξήζηε λα κάζεη θάηη γηα απηό όηαλ ρεηξίδεηαη θάπνηα ή θάπνηεο κεηαβιεηέο β) επαλαιεπηηθή πξνζνκνίσζε, ζηελ νπνία ν ρξήζηεο εθηειεί δηαδνρηθέο θνξέο ηελ πξνζνκνίσζε επηιέγνληαο ηηκέο γηα ηηο δηάθνξεο παξακέηξνπο, απηέο πνπ δείρλνπλ πώο λα γίλεη θάηη γ) δηαδηθαζηηθή πξνζνκνίσζε, ε νπνία ζηνρεύεη λα δηδάμεη κηα αιιεινπρία ελεξγεηώλ γηα ηελ επίηεπμε θάπνηνπ ζηόρνπ 7

δ) πξνζνκνίσζε θαηάζηαζεο, θαηά ηελ νπνία ν ρξήζηεο εμεξεπλά ελαιιαθηηθέο δηαδξνκέο ζε έλα ζύζηεκα γηα λα κειεηήζεη ηηο επηπηώζεηο ηνπο Σα εθπαηδεπηηθά ινγηζκηθά πξνζνκνίσζεο αλαπηύζζνληαη θαηά θαλόλα πάλσ ζε έλα κνληέιν ηνπ πξνο κειέηε θαηλνκέλνπ. Καηά ηε δηαδηθαζία απηή, ην ζύζηεκα πξνζνκνίσζεο κπνξεί λα αθνινπζεί δύν δηαθξηηέο ζρεδηαζηηθέο πξνδηαγξαθέο: Α) Σν κνληέιν είλαη άγλσζην ζην καζεηή. Σόηε ε πξνζνκνίσζε απνθαιείηαη κνληεινπνηεηηθή (modeling) θαη ν ζηόρνο ηεο ρξήζεο ηνπ ζπζηήκαηνο από ηνπο καζεηέο είλαη λα αλαθαιύςνπλ ην ππνθείκελν κνληέιν κέζα από δηαδηθαζίεο δηεξεπλεηηθήο κάζεζεο. Β) Γηαθνξεηηθά, όηαλ ην κνληέιν είλαη γλσζηό, ε πξνζνκνίσζε απνθαιείηαη ζπκπεξηθνξηζηηθή (behaviorist) θαη κπνξνύκε λα δηαθξίλνπκε ηξεηο θαηεγνξίεο: ηε δπλακηθή πξνζνκνίσζε επηθεληξσκέλε ζηε κειέηε ηεο επηξξνήο ησλ παξακέηξσλ, ηε κεζνδνινγηθή πξνζνκνίσζε ηεο νπνίαο ζηόρνο δελ είλαη ε κειέηε ησλ ζπλεπεηώλ ελόο κνληέινπ θάλνληαο λα κεηαβιεζνύλ νη παξάκεηξνί ηνπ, αιιά ε αληηπαξάζεζή ηνπ κε ηελ εκπεηξία ή κε ηελ θνηλή ινγηθή, θαη ηελ επηρεηξεζηαθή πξνζνκνίσζε πνπ ζηνρεύεη λα ζέζεη ζε ιεηηνπξγία έλα πείξακα ή κηα ζπζθεπή καζαίλνληαο έηζη ηηο δηαδηθαζίεο, ηα κνληέια θαη ηα ζπζηήκαηα. Πλεονεκηήμαηα πποζομοίυζηρ Μπνξεί λα απνηειεί ηελ θαηάιιειε πξνζέγγηζε γηα ηελ επίιπζε θάπνησλ πξνβιεκάησλ (π.ρ. κειέηε ιεηηνπξγίαο ελόο απξνζπέιαζηνπ ζπζηήκαηνο) Μπνξεί λα θνζηίδεη ιηγόηεξν από ην ρεηξηζκό ηνπ πξαγκαηηθνύ ζπζηήκαηνο Παξνπζηάδεη κεγαιύηεξε επαηζζεζία ζηελ αληίιεςε ησλ ζρέζεσλ κεηαμύ ησλ πξνβιεκάησλ (αθνύ νη κεηαβιεηέο πνπ κπνξνύκε λα ρεηξηζηνύκε είλαη εκθαλείο θαη πξνζπειάζηκεο από ηνπο ρξήζηεο ηεο πξνζνκνίσζεο) 8

Δίλαη αζθαιήο κέζνδνο (π.ρ. ρεηξηζκόο αεξνπιάλνπ) ζε αληίζεζε κε πνιιά από ηα πξαγκαηηθά πεηξάκαηα Γίλεη ηε δπλαηόηεηα επαλάιεςεο ηνπ ηδίνπ θαηλνκέλνπ θαηά βνύιεζε Γίλεη ηε δπλαηόηεηα πιήξνπο ελόξαζεο ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ εμεηάδεηαη από όιεο ηηο πιεπξέο Μειονεκηήμαηα πποζομοίυζηρ Κάπνηεο θνξέο απαηηεί ζεκαληηθό ρξόλν αλάπηπμεο θαη κεγάιν θόζηνο Μπνξεί λα κελ είλαη ε πην θαηάιιειε κέζνδνο επίιπζεο ηνπ πξνο κειέηε πξνβιήκαηνο Γελ εγγπάηαη όηη ζα νδεγήζεη ζηελ θαιύηεξε δπλαηή ιύζε πλήζσο δελ αληαλαθιά κε αθξίβεηα ηελ ππό κειέηε θαηάζηαζε ε κηα πξνζνκνίσζε ην κνληέιν πνπ ηελ δηέπεη έρεη ήδε δεκηνπξγεζεί από θάπνηνλ άιιν θαη άξα ν ρξήζηεο λα κελ έρεη ηελ θαηάιιειε επίγλσζε [1] 1.3 Σι είναι ηο MATLAB Σν MATLAB είλαη έλα ινγηζκηθό παθέην γηα πςειήο απόδνζεο αξηζκεηηθνύο ππνινγηζκνύο (numerical computations). Παξέρεη ζην ρξήζηε έλα δηαδξαζηηθό πεξηβάιινλ κε ρηιηάδεο ελζσκαησκέλεο ζπλαξηήζεηο, θαηάιιειεο γηα ηελ πινπνίεζε απαηηεηηθώλ ππνινγηζηηθώλ αλαιύζεσλ, γξαθεκάησλ θαζώο επίζεο θαη γηα ηελ παξαγσγή δηαθόξσλ animations. Δπηπιένλ, ην MATLAB πξνζθέξεη ηε δπλαηόηεηα επέθηαζεο ζε πνηθίια πεδία εθαξκνγώλ κε ηε αμηνπνίεζε ηελ πςεινύ επηπέδνπ γιώζζαο πξνγξακκαηηζκνύ, ηελ νπνία δηαζέηεη ζε όιεο ηηο εθδόζεηο ηνπ. Γηα ιόγνπο πιεξόηεηαο, λα αλαθεξζεί όηη ην όλνκα MATLAB πξνέξρεηαη από ηηο ιέμεηο MATrix θαη LABoratory. Σν MATLAB απνηειεί έλα εμειηγκέλν ππνινγηζηηθό εξγαιείν, ην νπνίν κπνξεί λα βξεη εθαξκνγή ζε δηάθνξνπο ηνκείο ηεο 9

επηζηήκεο αιιά βέβαηα θαη ηεο πξάμεο, όπσο γηα παξάδεηγκα ηε κεραληθή, ηελ ηαηξηθή, ηηο ζεηηθέο επηζηήκεο (Μαζεκαηηθά Φπζηθή), ηελ νηθνλνκία θαζώο θαη γεληθά ηε βηνκεραληθή παξαγσγή. Μάιηζηα, ην θάζκα ησλ εθαξκνγώλ ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ παθέηνπ ινγηζκηθνύ δηεπξύλεηαη ζπλερώο θαη πεξηζζόηεξν, αλαδεηθλύνληαο κε απηό ηνλ ηξόπν ηηο πνιιαπιέο δπλαηόηεηεο ηνπ, όπσο: πςειή απόδνζε θαη ηαρύηεηα ππνινγηζηηθώλ αλαιύζεσλ. Γπλαηόηεηα πξνζνκνίσζεο θπζηθώλ ζπζηεκάησλ. Γπλαηόηεηα πινπνίεζεο αιγνξίζκσλ. Γπλαηόηεηα ακθίδξνκεο επηθνηλσλίαο κε πιεζώξα άιισλ πξνγξακκάησλ θαη εθαξκνγώλ. Τςειήο πνηόηεηαο γξαθηθέο απεηθνλίζεηο θαη animations. Γπλαηόηεηα ζύλδεζεο κε δηάθνξεο ζπζθεπέο θαηαγξαθήο. Φηιηθόηεηα πξνο ην ρξήζηε θαη δηαδξαζηηθόο ραξαθηήξαο. Οη ελζσκαησκέλεο ζπλαξηήζεηο ηνπ ινγηζκηθνύ παξέρνπλ ηα απαξαίηεηα παθέηα εξγαιείσλ γηα ππνινγηζκνύο γξακκηθήο άιγεβξαο, αλάιπζεο δεδνκέλσλ, επεμεξγαζία ζεκάησλ, αξηζκεηηθέο ιύζεηο θαλνληθώλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ. Οη πεξηζζόηεξεο από ηηο πξναλαθεξόκελεο ζπλαξηήζεηο εθαξκόδνπλ ηελ πιένλ πξόζθαηε θαη εμειηγκέλε γλώζε ζην θάζε ηνκέα επηζηήκεο (state-of-the-art algorithms). Δπίζεο ν ρξήζηεο έρεη ηε δπλαηόηεηα λα αλαπηύμεη ηηο δηθέο ηνπ ζπλαξηήζεηο, θάλνληαο ρξήζε ηεο δηθήο ηνπ γιώζζαο πξνγξακκαηηζκνύ. Από ηε ζηηγκή πνπ ζα αλαπηπρζνύλ νη ζπλαξηήζεηο απηέο, ιεηηνπξγνύλ σο ελζσκαησκέλεο ζπλαξηήζεηο ηνπ ελ ιόγσ ινγηζκηθνύ. Δπίζεο παξέρνληαη από ην MATLAB πνιιέο πξναηξεηηθέο εξγαιεηνζήθεο, νη νπνίεο πξννξίδνληαη γηα ηελ αλάπηπμε εηδηθώλ εθαξκνγώλ, όπσο ζπκβνιηθνί ππνινγηζκνί (symbolic computation), επεμεξγαζία εηθόλσλ (image processing), ζηαηηζηηθή (statistics), ζρεδηαζκόο ειέγρνπ ζπζηεκάησλ (control system design), λεπξσληθά δίθηπα (neural networks), αζαθή ινγηθή (fuzzy logic). Ζ ιίζηα κε ηηο δηαζέζηκεο εξγαιεηνζήθεο ζπλερώο δηεπξύλεηαη (ζηελ ηειεπηαία έθδνζε ηνπ ινγηζκηθνύ ν αξηζκόο ησλ εξγαιεηνζεθώλ έρεη μεπεξάζεη ηηο 50).[2] Μεξηθά από ηα θπξηόηεξα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ είλαη : 10

Πξνγξακκαηηζκόο ζε γιώζζα scripting πνπ κνηάδεη πνιύ κε ηε γιώζζα C. Σα αξρεία script έρνπλ θαηάιεμε.m. Δθηέιεζε εληνιώλ ζε command line από interpreter γηα γξήγνξε δνθηκή ελόο πξνγξάκκαηνο, κηαο εθαξκνγήο, ή κηαο ηδέαο. Γπλαηόηεηα εθηέιεζεο ελόο script από ην command line γξάθνληαο απιώο ην όλνκα ηνπ αξρείνπ script κε ή ρσξίο ηελ θαηάιεμε.m. Γπλαηόηεηα δεκηνπξγίαο αξρείσλ exe κε ρξήζε compiler. Δύθνιε δηαρείξηζε πηλάθσλ (matrices) θαη δηαλπζκάησλ (vectors) Δμαηξεηηθέο δπλαηόηεηεο δεκηνπξγίαο γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ εύθνια θαη γξήγνξα.γξαθηθέο παξαζηάζεηο 2, θαη 3 δηαζηάζεσλ. Πξνρσξεκέλεο δπλαηόηεηεο όπσο 3-D θσηηζκόο, αιιαγή νπηηθήο γσλίαο, δεκηνπξγία εηθνλνζεηξώλ, θ.α.. Γξαθηθόο πξνγξακκαηηζκόο. Γπλαηόηεηα ζρεδηαζκνύ παξαζύξσλ, θνπκπηώλ,γξαθηθώλ κελνύ, θ.ι.π.. Πιήξεο γθάκα δπλαηνηήησλ γηα ζρεδηαζκό Graphical User Interfaces (GUI). Δμαηξεηηθό εξγαιείν βνήζεηαο Help. Με ηόζεο δπλαηόηεηεο πνπ πξνζθέξεη ην MATLAB είλαη πνιύ εύθνιν λα μεράζεηο ηα αθξηβή νξίζκαηα κηαο ζπλάξηεζεο ή ην όλνκα ηεο ζπλάξηεζεο πνπ εθηειεί κηα ζπγθεθξηκέλε εξγαζία. Σν εξγαιείν Help ηνπ MATLAB είλαη πιήξεο, ιεπηνκεξέο, εύρξεζην θαη εύθνιν ζηελ αλαδήηεζε ηεο πιεξνθνξίαο πνπ ρξεηάδεηαη ν ρξήζηεο, ελώ πεξηέρεη παξαδείγκαηα θαη demos. Οινθιεξσκέλν πεξηβάιινλ editor/debugger (medit.exe). Καιείηαη από ην θεληξηθό παξάζπξν ηνπ MATLAB όηαλ δεηήζνπκε λα αλνίμνπκε ή λα δεκηνπξγήζνπκε έλα λέν αξρείν, κπνξεί όκσο λα εθηειεζηεί θαη σο αλεμάξηεην πξόγξακκα. [4] 11

2. ΘΔΩΡΗΑ 12

2.1 Διζαγυγή ζηα ηλεκηπικά κςκλώμαηα Έλα ειεθηξηθό θύθισκα είλαη έλα ζύλνιν θπζηθώλ ειεθηξηθώλ ζηνηρείσλ πνπ ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο. θνπόο ηνπ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο είλαη ε κεηαθνξά, ε δηαλνκή θαη ε κεηαηξνπή ηεο ειεθηξηθήο ελέξγεηαο. Ζ κεηαηξνπή ηεο ειεθηξηθήο ελέξγεηαο γίλεηαη είηε ζε ειεθηξηθή ελέξγεηα κε δηαθνξεηηθά ραξαθηεξηζηηθά, είηε ζε άιιεο κνξθήο ελέξγεηα. Βαζηθέο ζπληζηώζεο ελόο θπθιώκαηνο είλαη νη πηγές ενέργειας, νη μεταυορείς ενέργειας ( θαινύληαη θαη υορτία), θαζώο επίζεο νη αγωγοί θαη ηα άιια ηλεκτρικά στοιτεία πνπ σπλδένπλ ηα παξαπάλσ. Σα θπθιώκαηα δηαθξίλνληαη ζε θπθιώκαηα εληνπηζκέλσλ θαη θπθιώκαηα δηαλεκεκέλσλ ζηνηρείσλ. Υαξαθηεξηζηηθή ηδηόηεηα ησλ εληνπηζκέλσλ ζηνηρείσλ είλαη ην κηθξό κέγεζνο απηώλ ζε ζρέζε κε ην κήθνο θύκαηνο πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζπρλόηεηα ηνπ ξεύκαηνο πνπ ηα δηαξξέεη. πλεπώο γηα εληνπηζκέλα ζηνηρεία δύν αθξνδεθηώλ, ε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο πνπ εηζέξρεηαη από ηνλ έλαλ αθξνδέθηε είλαη ίζε κε ηελ έληαζε ηνπ ξεύκαηνο πνπ εμέξρεηαη από ηνλ άιινλ αθξνδέθηε. ηα θπθιώκαηα κε εληνπηζκέλα ζηνηρεία εθαξκόδνληαη νη λόκνη ηνπ Kirchhoff, νη νπνίνη απνηεινύλ πξνζέγγηζε ησλ εμηζώζεσλ Maxwell. Ζ ζεσξία ησλ ειεθηξηθώλ θπθισκάησλ βαζίδεηαη θπξίσο ζηελ έλλνηα ησλ νκνησκάησλ, ηα νπνία είλαη θπθιώκαηα απνηεινύκελα από εμηδαληθεπκέλα ειεθηξηθά ζηνηρεία κε γλσζηέο "θαζαξέο" ηδηόηεηεο θαη παξηζηάλνπλ θάπνην θπζηθό ειεθηξηθό ζηνηρείν. ηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλνληαη θάπνηα θπζηθά ειεθηξηθά ζηνηρεία, πνπ δηαηίζεληαη ζην εκπόξην:[3] Ζιεθηξηθό ζηνηρείν νκνίσκα αληηζηάηεο πεγή ηάζεο πελίν 13

2.2 Δθαπμογέρ ηλεκηπικών κςκλυμάηυν 2.2.1 Κανόνερ ηος Kirchhoff 1 ορ κανόναρ ηος Kirchhoff: Σν άζξνηζκα ησλ ξεπκάησλ, ηα νπνία θηάλνπλ ζε έλαλ θόκβν, ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ξεπκάησλ, ηα νπνία θεύγνπλ από ηνλ θόκβν απηό. Αλ σσμβατικά ζεσξήζνπκε σο θεηικά ηα πεύμαηα πος θθάνοςν και απνηηικά αςηά πος θεύγοςν, ν πξώηνο θαλόλαο γξάθεηαη: [2.2.1] Παπάδειγμα Γηα ηνλ δηπιαλό θόκβν 2 ορ κανόναρ ηος Kirchhoff Σν άζξνηζκα ησλ ΖΔΓ θαηά κήθνο ελόο βξόγρνπ ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ πηώζεσλ ηάζεο ζηηο αληηζηάζεηο ηνπ βξόγρνπ [2.2.2] Καθοπιζμόρ πποζήμος ζηον 2 κανόνα ηος Kirchhoff. Γηα θάζε βξόγρν επηιέγεηαη εντελώς ασθαίρετα κηα θνξά σο ζεηηθή («φορά βρόγχου»). Όζεο ΖΔΓ ζέινπλ λα δεκηνπξγήζνπλ ξεύκα (ζπκβαηηθήο!) θνξάο ίδηαο κε ηελ θνξά βξόγρνπ ζεσξνύληαη ζεηηθέο, νη ππόινηπεο αξλεηηθέο. Σέινο όζα ξεύκαηα έρνπλ (ζπκβαηηθή!) θνξά ίδηα κε ηελ θνξά βξόγρνπ ζεσξνύληαη ζεηηθά, ηα ππόινηπα αξλεηηθά. 14

Παπάδειγμα: 1 νο θ.k.:(θόκβνοβ): 2 νο θ.k.: βξόγρνο: ΑΒΔΕΑ: ΒΓΓΔΒ: ΑΓΓΕΑ: [5] 2.2.2 Θεώπημα Thevenin ύκθσλα κ' απηό ην ζεώξεκα, έλα ελεξγό γξακκηθό δίπνιν (δειαδή έλα ελεξγό γξακκηθό θύθισκα ζεσξνύκελν από δύν ζεκεία ηνπ Μ θαη Ν) είλαη ηζνδύλακν πξνο κία ειεθηξηθή πεγή ειεθηξεγεξηηθήο δπλάκεσο U 0 ζε ζεηξά κε κία σκηθή αληίζηαζε R.Ζ ειεθηξεγεξηηθή δύλακε ηεο δηπνιηθήο πεγήο ηζνύηαη κε ηελ ηάζε κεηαμύ ησλ άθξσλ Μ θαη Ν, U MN θαη ε αληίζηαζε R είλαη ίζε κε ηελ αληίζηαζε πνπ εκθαλίδεη ην θύθισκα, εάλ ην θνηηάμνπκε από ηα άθξα Μ, Ν θαη όπνπ ηηο κελ πεγέο ηάζεο ηηο έρνπκε αληηθαηαζηήζεη κε βξαρπθύθισκα, ηηο δε πεγέο έληαζεο κε αλνηθηό θύθισκα. 15

Απόδειξη θευπήμαηορ 2.2.3 Θεώπημα Νorton Σν ζεώξεκα Νorton κπνξεί λα ζεσξεζεί σο κία άιιε δηαηύπσζε ηνπ ζεσξήκαηνο Thevenin, επεηδή ην ηζνδύλακν θύθισκα Norton κπνξεί λα ιεθζεί απ' επζείαο από ην ηζνδύλακν θύθισκα Thevenin. ύκθσλα κε ην ζεώξεκα, έλα ελεξγό γξακκηθό δίπνιν (δειαδή, έλα ελεξγό γξακκηθό θύθισκα ζεσξνύκελν από δύν ζεκεία ηνπ Μ θαη Ν) είλαη ηζνδύλακν πξνο κία ειεθηξηθή πεγή ξεύκαηνο εληάζεσο Ι 0, παξάιιεια κε κία σκηθή αληίζηαζε R. Ζ έληαζε ηνπ ξεύκαηνο ηεο δηπνιηθήο πεγήο είλαη ίζε κε ηελ έληαζε πνπ δηαξξέεη ην βξαρπθύθισκα κεηαμύ ησλ άθξσλ Μ θαη Ν θαη ε αληίζηαζε R είλαη ίζε κε ηελ αληίζηαζε πνπ εκθαλίδεη ην θύθισκα, εάλ ην θνηηάμνπκε από ηα άθξα Μ, Ν θαη όπνπ, ηηο κελ πεγέο ηάζεο ηηο έρνπκε αληηθαηαζηήζεη κε βξαρπθύθισκα, ηηο δε πεγέο έληαζεο κε αλνηθηό θύθισκα. [3] 16

ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ: Α) Β) Γ) 2.2.4 Απσή ηηρ επαλληλίαρ Με ηε βνήζεηα ηεο αξρήο ηεο επαιιειίαο κπνξνύκε λα ρσξίζνπκε ηελ αλάιπζε ελόο θπθιώκαηνο ζε επηκέξνπο βήκαηα ηα νπνία κπνξνύκε λα 17

εθηειέζνπκε επθνιόηεξα. Ζ αξρή ηεο επαιιειίαο νξίδεηαη σο εμήο: ε θάζε γξακκηθό ειεθηξηθό θύθισκα ην ξεύκα ή ε ηάζε νπνηνπδήπνηε θιάδνπ, πνπ πξνέξρεηαη από ηελ επίδξαζε πεξηζζνηέξσλ από κηαο αλεμάξηεησλ πεγώλ, είλαη ίζα κε ην άζξνηζκα ησλ ξεπκάησλ ή ησλ ηάζεσλ αληίζηνηρα πνπ πξνέξρνληαη από θάζε αλεμάξηεηε πεγή, όηαλ απηή δξα κόλε ηεο, ελώ νη ππόινηπεο πεγέο είλαη λεθξέο. Γηα παξάδεηγκα αο ππνζέζνπκε πσο έρνπκε ην παξαθάησ θύθισκα ην νπνίν απνηειείηαη από ηξεηο ηδαληθέο πεγέο. Γύν ηδαληθέο πεγέο ηάζεο θαη κία ηδαληθή πεγή ξεύκαηνο. 18

Ζ δηαθνξά δπλακηθνύ ζηα άθξα ησλ αληηζηάζεσλ θαη ην ξεύκα πνπ ηηο δηαξξέεη κπνξεί λα ππνινγηζηεί αλ ζεσξήζνπκε ηα ηξία αλεμάξηεηα θπθιώκαηα πνπ θαίλνληαη παξαθάησ. ην θύθισκα Α έρνπκε κεδελίζεη (λεθξώζεη) ηελ πεγή ξεύκαηνο θαη ηε δεμηά πεγή ηάζεο. Αληίζεηα ζην θύθισκα Β έρνπκε κεδελίζεη ηηο δύν πεγέο ηάζεο θαη ππνινγίδνπκε ηε ζπλεηζθνξά κόλν ηεο πεγήο ξεύκαηνο. Σέινο ζην θύθισκα C έρνπκε απνζύξεη ηελ αξηζηεξή πεγή ηάζεο θαη ηελ πεγή ξεύκαηνο, κε απνηέιεζκα ε ζπκπεξηθνξά ηνπ λα εμαξηάηαη απνθιεηζηηθά από ηελ κία πεγή ηάζεο. Ση ζεκαίλεη λεθξή πεγή. Γηα ηελ εθαξκνγή ηεο αξρήο ηεο επαιιειίαο όηαλ ζέινπκε λα αθαηξέζνπκε κηα πεγή ηάζεο ηελ αληηθαζηζηνύκε κε έλα βξαρπθύθισκα κεδελίδνληαο έηζη ηε δηαθνξά δπλακηθνύ ζηα άθξα ηεο. Αληίζεηα, ν κεδεληζκόο κηαο πεγήο ξεύκαηνο πξαγκαηνπνηείηαη αληηθαζηζηώληαο ηελ πεγή από έλα αλνηρηό θύθισκα. Κάζε ηάζε ή ξεύκα ηνπ αξρηθνύ θπθιώκαηνο πξνθύπηεη από ην άζξνηζκα ησλ ηάζεσλ θαη ησλ ξεπκάησλ πνπ ππνινγίδνπκε γηα ην θάζε έλα θύθισκα Α, Β θαη C ρσξηζηά. Έηζη γηα παξάδεηγκα ε ηάζε ηνπ θόκβνπ Α (VA) ηνπ ζπλνιηθνύ θπθιώκαηνο κπνξεί πνιύ εύθνια λα ππνινγηζηεί αλ αζξνίζνπκε ηηο επηκέξνπο ηάζεηο VA1, VA2 θαη VA3 πνπ ππνινγίδνπκε από ηα ηξία απινύζηεξα θπθιώκαηα.[6] [7] 19

2.3 Κύκλυµα ζςνεσούρ πεύµαηορ µε RC ζε ζειπά 2.3.1 Κύκλυµα ζςνεσούρ πεύµαηορ µε RC ζε ζειπά α) θόπηιζη πςκνυηή Αο ζεσξήζνπµε ην θύθισµα ηνπ ζρήµαηνο όπνπ αθόξηηζηνο ππθλσηήο ρσξεηηθόηεηαο C ζπλδέεηαη ζε ζεηξά µε αληίζηαζε R. Σν θύθισµα πεξηιαµβάλεη αθόµα πεγή ζπλερνύο ηάζεο Δ, αµπεξόµεηξν θαη δηαθόπηε. Όηαλ θιείζνπµε ην δηαθόπηε, ην αµπεξόµεηξν δείρλεη αθαξηαία µηα µέγηζηε ηηµή ξεύµαηνο Ην. Με ηελ πάξνδν ηνπ ρξόλνπ ε έληαζε ηνπ ξεύµαηνο ειαηηώλεηαη βαζµηαία, γεγνλόο πνπ θαλεξώλεη όηη ν ξπζµόο ξνήο ηνπ ειεθηξηθνύ θνξηίνπ ζην θύθισµα µεηώλεηαη. Μεηά από νξηζµέλν ρξόλν ε έλδεημε ηνπ νξγάλνπ µεδελίδεηαη. Αλ ηόηε µεηξήζνπµε ηε δηαθνξά δπλαµηθνύ ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή, ζα ηε βξνύµε ίζε µε ηελ ειεθηξεγεξηηθή δύλαµε ηεο πεγήο, ελώ ε ηάζε ζηα άθξα ηεο αληίζηαζεο R είλαη, µεδέλ. O ππθλσηήο ηόηε είλαη θνξηηζµέλνο. Ζ δηαδηθαζία θόξηηζεο ηνπ ππθλσηή είλαη ε εμήο: Σε ρξνληθή ζηηγµή πνπ θιείλεη ν δηαθόπηεο (t = 0) ηα θνξηία µε ηελ επίδξαζε ηεο ειεθηξεγεξηηθήο δύλαµεο ηεο πεγήο αξρίδνπλ λα θηλνύληαη θαη ε ηαρύηεηα ηνπο πεξηνξίδεηαη µόλν από ηελ αληίζηαζε R. Σα πξώηα θνξηία πνπ απέθηεζε ν ππθλσηήο απσζνύλ απηά πνπ ζπλερίδνπλ λα έξρνληαη, µε ζπλέπεηα ην ξεύµα λα ειαηηώλεηαη ζπλερώο µέρξη λα µεδεληζηεί. Απνηέιεζµα ηεο άπσζεο είλαη όηη απαηηείηαη πξόζζεην έξγν γηα ηελ θίλεζε ησλ θνξηίσλ πξνο ηνπο νπιηζµνύο. Σν έξγν απηό εθθξάδεη ηελ ελέξγεηα πνπ µεηαθέξεηαη από ηελ πεγή ζηνλ ππθλσηή θαη απνζεθεύεηαη ζ' απηόλ µε ηε µνξθή ελέξγεηαο ειεθηξηθνύ 20

πεδίνπ. Αλ εθαξκόζνπκε ηνλ δεύηεξν θαλόλα ηνπ Kirchhoff αθνύ θιείζνπκε ηνλ δηαθόπηε θαη πξηλ θνξηηζηεί πιήξσο ν ππθλσηήο θαη δηαθνπεί ην ξεύκα ηόηε έρνπκε: (2.3.1) όπνπ I R ε πηώζε ηάζεο ζηελ αληίζηαζε θαη q/c ε ηάζε ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή. Σελ ζηηγκή t=0 πνπ θιείλνπκε ηνλ δηαθόπηε ην θνξηίν ζηνλ ππθλσηή είλαη q=0 θαη από ηελ πξνεγνύκελε ζρέζε βξίζθνπκε ηελ κέγηζηε ηηκή ηνπ ξεύκαηνο (2.3.2) Αληίζηνηρα από ηε ζηηγκή πνπ ζα θνξηηζηεί πιήξσο ν ππθλσηήο ην ξεύκα κεδελίδεηαη, δειαδή Η=0 θαη από ηελ ζρέζε (2.3.1) βξίζθνπκε ην κέγηζην θνξηίν Q ηνπ ππθλσηή : (2.3.3) ηηο ελδηάκεζεο ρξνληθέο ζηηγκέο ε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο κεηώλεηαη βαζκηαία από Η=Η0 ζην Η=0 θαη ην θνξηίν απμάλεηαη από q=0 ζε q=q. Γηα λα βξνύκε ηελ ζρέζε πνπ καο δίλεη ηελ ρξνληθή εμάξηεζε ηεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο Η(t) θαη ηνπ θνξηίνπ q(t), παξαγσγίδνπκε ηελ εμίζσζε (2.3.1) σο πξνο ηνλ ρξόλν t. (2.3.4) Ζ έληαζε ηνπ ξεύκαηνο Η είλαη ίζε κε ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ θνξηίνπ θαη ε ζρέζε (2.3.4) γξάθεηαη 21

(2.3.5) Ζ εμίζσζε (2.3.5) είλαη κία δηαθνξηθή εμίζσζε πξώηεο θαη ιύλεηαη κε απιή νινθιήξσζε ρξεζηκνπνηώληαο γηα αξρηθή ζπλζήθε t=0 ηελ ζρέζε (2.3.2) (2.3.6) Από ηελ νπνία θαηαιήγνπκε ηειηθά όηη ε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο δίλεηαη από ηελ ζρέζε : (2.3.7) Αλ ζέινπκε λα βξνύκε ηελ ζρέζε γηα ην θνξηίν ηνπ ππθλσηή δελ έρνπκε παξά λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο ζρέζεηο θαη. Έηζη έρνπκε: Από ηελ (2.3.8) πξνθύπηεη (2.3.8) (2.3.9) όπνπ αληηθαηαζηήζακε ην CE από ηελ ζρέζε (2.3.3) Σν ρξνληθό δηάζηεµα πνπ απαηηείηαη γηα λα γίλεη ε ηάζε ζηνπο νπιηζµνύο 22

ηνπ ππθλσηή ίζε µε ηα 63,2% ηεο ΖΔ ηεο πεγήο είλαη η = RC, θαη ιέγεηαη ζηαθεπά σπόνος ηνπ θπθιώµαηνο. Οη ηηµέο ηεο ηάζεο Vc πνπ πξνθύπηνπλ, αλ ζέζνπµε δηαδνρηθά t = 2η, 3η, 4η, 5η, 6η θαίλνληαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα ελώ αθνινπζεί ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ηάζεο ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή. t 0 1τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ Vc 0 0,632Ε 0,865Ε 0,950Ε 0,982Ε 0,993Ε 0,997Ε 23

β) εκθόπηιζη πςκνυηή Αο ζεσξήζνπµε ην θύθισµα ηνπ ζρήµαηνο όπνπ ν ππθλσηήο έρεη ρσξεηηθόηεηα C θαη είλαη θνξηηζκέλνο ζε ηάζε Δ. Σε ρξνληθή ζηηγµή t = 0 θιείλνπµε ην θύθισµα µε ην δηαθόπηε. Σόηε, όπσο δείρλεη ην αµπεξόµεηξν, ην θύθισµα δηαξξέεηαη από ξεύµα πνπ ζεµαίλεη όηη ν ππθλσηήο αξρίδεη λα εθθνξηίδεηαη. Ζ θνξά ηνπ ξεύµαηνο είλαη αληίζεηε εθείλεο πνπ έδεηρλε ην αµπεξόµεηξν θαηά ηε θόξηηζε. Ζ έληαζε ηνπ ξεύµαηνο ζπλερώο µηθξαίλεη θαη ηειηθά γίλεηαη µεδέλ. Αλ ηόηε µεηξήζνπµε ηελ ηάζε ζηα άθξα ηνπ ππθλσηή, βξίζθνπµε όηη είλαη µεδέλ, γεγνλόο πνπ θαλεξώλεη όηη ν ππθλσηήο εθθνξηίζηεθε. Ζ ελέξγεηα πνπ αξρηθά είρε απνηαµηεπηεί ζηνλ ππθλσηή ζε µνξθή ελέξγεηαο ειεθηξηθνύ πεδίνπ µεηαηξέπεηαη εμ νινθιήξνπ ζε ζεξµόηεηα πάλσ ζηελ αληίζηαζε R. Από ηνλ δεύηεξν λόκν ηνπ Kirchhoff γλσξίδνπκε όηη ε πηώζε ηάζεο ζηα άθξα ηεο αληίζηαζεο R, δειαδή IR, ηζνύηαη κε ηελ δηαθνξά δπλακηθνύ, q/c, ζηνπο νπιηζκνύο ηνπ ππθλσηή. Γειαδή έρνπκε ηε ζρέζε (2.3.10) Σν ξεύκα ηνπ θπθιώκαηνο είλαη ίζν κε ηνλ ξπζκό κείσζεο ηνπ θνξηίνπ ζηνπο νπιηζκνύο ηνπ ππθλσηή, δειαδή ζρέζε βξίζθνπκε :. Αληηθαζηζηώληαο ζηελ παξαπάλσ (2.3.11) Οινθιεξώλνληαο ηελ απιή δηαθνξηθή εμίζσζε θαη ιακβάλνληαο ππόςε όηη ην αξρηθό θνξηίν ηνπ ππθλσηή είλαη Q θαηαιήγνπκε : 24

(2.3.12) Αλ παξαγσγίζνπκε ηελ πξνεγνύκελε ζρέζε σο πξνο ηνλ ρξόλν βξίζθνπκε όηη ε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ δίλεηαη από ηελ ζρέζε: (2.3.13) Όπσο µπνξεί λα παξαηεξήζεη θαλείο, ε ζηαζεξά ρξόλνπ η = RC εµθαλίδεηαη θαη ζηηο εμηζώζεηο πνπ εθθξάδνπλ ηελ εθθόξηηζε ηνπ ππθλσηή. Αλ ζηελ εμίζσζε ηεο V c ζέζνπµε t= η = RC πξνθύπηεη όηη: V c = E e -1 = 0,368E (2.3.14) ειαδή ε ζηαζεξά ρξόλνπ εθθξάδεη ην ρξόλν πνπ απαηηείηαη γηα λα ειαηησζεί ε ηάζε ηνπ ππθλσηή θαη λα γίλεη ίζε µε ην 36,8% ηεο αξρηθήο ηάζεο Δ. Οη ηηµέο ηεο ηάζεο V c γηα ηηο ρξνληθέο ζηηγµέο t = 2η, 3η, 4η, 5η, 6η δίλνληαη ζηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί. t 0 1η 2η 3η 4η 5η 6η Vc Δ 0.368Δ 0,135Δ 0.050Δ 0,012Δ 0.007Δ 0,003Δ Δμάιινπ από ηελ ίδηα ζρέζε πξνθύπηεη όηη γηα t, Vc = 0. ην δηάγξαµµα (1) θαίλεηαη ε µεηαβνιή ηεο ηάζεο Vc µε ην ρξόλν, ελώ ζην δηάγξαµµα (2) ε Αλ ζηε ζρέζε πνπ πεξηγξάθεη ηελ έληαζε Η(t) ζέζνπµε t = RC πξνθύπηεη Η = e -1 Ην ή Η=0,368 Ην θαη γηα t, Η = 0. Σν ξεύµα γίλεηαη ζεσξεηηθά µεδέλ µεηά από άπεηξν ρξόλν. Όµσο, πξαθηηθά µεηά από ρξόλν 5η, ην ξεύµα ζην θύθισµα έρεη µεδεληζηεί. Μπνξνύµε ζπλεπώο λα ζεσξνύµε 25

όηη ε εθθόξηηζε νινθιεξώλεηαη ζε ρξόλν 5η. 26

2.4 Κύκλυµα ζςνεσούρ πεύµαηορ RL ζε ζειπά α) κλείζιµο ηου διακόπηη Έζησ έλα θύθισµα πνπ πεξηιαµβάλεη πεγή Δ, σµηθή αληίζηαζε R, πελίν ζπληειεζηή απηεπαγσγήο L θαη αµειεηέαο σµηθήο αληίζηαζεο, αµπεξόµεηξν Α θαη δηαθόπηε. Μέζα ζην πελίν έρεη ηνπνζεηεζεί ππξήλαο µαιαθνύ ζηδήξνπ γηα ηελ αύμεζε ηεο απηεπαγσγήο L ηνπ πελίνπ. Καηά ηελ ρξνληθή ζηηγκή t=0 θιείλνπκε ηνλ δηαθόπηε θαη ην θύθισκα δηαξξέεηαη από ξεύκα έληαζεο Η. Σαπηόρξνλα κε ηελ δεκηνπξγία καγλεηηθνύ πεδίνπ ζην πελίν θαη ηελ αύμεζε ηεο καγλεηηθήο ξνήο δεκηνπξγείηαη ειεθηξεγεξηηθή δύλακε ιόγσ απηεπαγσγήο ζηα άθξα ηνπ πελίνπ: (2.4.1) Ζ Δαπη αληηζηέθεηαη ζηελ παξαπέξα αύμεζε ηεο έληαζεο ηνπ ξεύµαηνο ζην θύθισµα. Γη' απηό πεξλάεη αξθεηό ρξνληθό δηάζηεµα, έσο όηνπ ε έληαζε ηνπ ξεύµαηνο απνθηήζεη ζηαζεξή ηηµή Ην. Σν ρξνληθό απηό δηάζηεµα είλαη αλάινγν µε ηελ απηεπαγσγή L ηνπ πελίνπ, δηόηη ε ΖΔ από απηεπαγσγή πνπ αληηζηέθεηαη ζηελ αύμεζε ηνπ ξεύµαηνο είλαη αλάινγε ηνπ L. Δπίζεο ν 27

ρξόλνο απηόο εμαξηάηαη θαη από ηελ αληίζηαζε R ηνπ θπθιώµαηνο. Όηαλ ε αληίζηαζε R είλαη µηθξή, ηόηε ην ξεύµα Ην (Ην = Δ/R ) είλαη µεγάιν, ε µεηαβνιή από µεδέλ ζε Ην είλαη µεγάιε θαη αληίζηνηρα µεγάιε ζα είλαη ε ΖΔ από απηεπαγσγή, µε ζπλέπεηα λα αξγήζεη ην ξεύµα λα πάξεη ηελ ηηµή Ην. Αληίζηξνθα, όηαλ ε αληίζηαζε R είλαη µεγάιε, ε µέγηζηε ηηµή ηνπ ξεύµαηνο είλαη µηθξή, θαη ην ρξνληθό δηάζηεµα πνπ απαηηείηαη γηα λα γίλεη ην ξεύµα ίζν µε Ην είλαη µηθξό. Αλ εθαξµόζνπµε ην 2ν θαλόλα ηνπ Kirchhoff γηα ην θύθισµα ηνπ ζρήµαηνο µε θιεηζηό δηαθόπηε θαη επηιύζνπµε ηε πξνθύπηνπζα δηαθνξηθή εμίζσζε ζα πάξνπµε γηα ηελ έληαζε ηνπ ξεύµαηνο : (2.4.2) Γηαηξνύκε ηελ εμίζσζε κε ην R θαη βξίζθνπκε (2.4.3) Αλ ζηελ πξνεγνύκελε ζρέζε ζέζνπκε, νπόηε ε ζρέζε γίλεηαη (2.4.4) Ζ ιύζε ηεο εμίζσζεο (2.4.3) είλαη (2.4.5) Αληηθαζηζηώληαο μαλά θαη παξαηεξώληαο όηη όηαλ t=0 ηόηε Η=0 θαη βξίζθνπκε 28

(2.4.6) Ζ εμίζσζε (2.4.5) απνηειεί ινηπόλ ηελ ιύζε ηεο (2.4.2). Οξίδνληαο σο ζηαζεξά ρξόλνπ η ηνπ θπθιώκαηνο ηνλ ιόγν L/R, κπνξνύκε λα μαλαγξάςνπκε ηελ πξνεγνύκελε εμίζσζε κε ηελ κνξθή (2.4.7) To L/R έρεη δηαζηάζεηο ρξόλνπ θαη ζε αληηζηνηρία µ ε ην RC, νλνµάδεηαη ζηαζεξά ρξόλνπ η ηνπ θπθιώµαηνο. Ζ ζηαζεξά ρξόλνπ εθθξάδεη ζπλεπώο ην ρξόλν πνπ απαηηείηαη γηα λα πάξεη ε έληαζε ηνπ ξεύµαηνο ηηµή ίζε µε ην 63,2% ηεο µέγηζηεο ηηµήο ηεο. β. άνοιγµα ηος διακόπηη Αο ζεσξήζνπµε πάιη ην θύθισµα RL θαη έζησ όηη ε έληαζε ηνπ ξεύµαηνο έρεη απνθηήζεη ζηαζεξή ηηµή Io = E/R (2.4.8) 29

Αλ ηε ρξνληθή ζηηγµή t=0 µεηαθέξνπµε ην µεηαγσγό απόηνµα από ηε ζέζε α, ζηε ζέζε β ηόηε ζα παξαηεξήζνπµε όηη ν δείθηεο ηνπ νξγάλνπ θηλείηαη αξγά πξνο ηελ έλδεημε µεδέλ. ειαδή ην θύθισµα δηαξξέεηαη από ξεύµα, ρσξίο λα πεξηέρεηαη ζ απηό πεγή. Απηό εμεγείηαη σο εμήο: Όηαλ ν δηαθόπηεο απνµαθξπλζεί από ηε ζέζε α, ην ξεύµα ζην θύθισµα ηείλεη λα µεδεληζηεί µε απνηέιεζµα λα αλαπηπρζεί ζην πελίν ΖΔ από απηεπαγσγή πνπ αληηζηέθεηαη ζηε µείσζε ηνπ ξεύµαηνο. Έηζη όηαλ ν δηαθόπηεο έξζεη ζηε ζέζε β, ην θύθισµα ζα ζπλερίζεη λα δηαξξέεηαη από ξεύµα, ηνπ νπνίνπ ε έληαζε από Ην, πνπ ήηαλ αξρηθά, πξννδεπηηθά µεδελίδεηαη. Σειηθά όιε ε ελέξγεηα πνπ είρε απνζεθεπηεί ζην πελίν µε ηε µνξθή ελέξγεηαο µαγλεηηθνύ πεδίνπ, µεηαηξέπεηαη ζε ζεξµόηεηα ζηελ αληίζηαζε R θαη ην ξεύµα µεδελίδεηαη. Δθαξµόδνληαο ην 2 ν θαλόλα ηνπ Kirchhoff ζην θύθισµα βξίζθνπκε: (2.4.9) Ζ δηαθνξηθή εμίζσζε (2.4.9) είλαη ηεο ίδηαο κνξθήο κε ηελ εμίζσζε (2.3.5) νπόηε ε ιύζε ηεο είλαη αλάινγε ηεο (2.3.7) δειαδή (2.4.10) 30

Από ηελ παξαπάλσ ζρέζε πξνθύπηεη όηη γηα t=0, Η=Ην θαη γηα t, I = 0, δειαδή ην ξεύµα µεδελίδεηαη ζεσξεηηθά ζε άπεηξν ρξόλν. Αλ ζηελ (5.49) ζέζνπµε t = L/R πξνθύπηεη όηη: I=Io e -1 = 0,368 Ην. ειαδή ζε ρξνληθό δηάζηεµα ίζν µε ηε ζηαζεξά ρξόλνπ ε έληαζε ηνπ ξεύµαηνο πέθηεη ζην 36,8% ηεο αξρηθήο ηεο ηηµήο. Αο πάξνπκε μαλά ηελ εμίζσζε (2.4.2) θαη αο ηελ γξάςνπκε κε ηελ κνξθή (2.4.11) Πνιιαπιαζηάδνπκε θαη ηα δύν κέιε ηεο εμίζσζεο κε ηελ έληαζε ηνπ ξεύκαηνο Η (2.4.12) Σν αξηζηεξό κέξνο ηεο εμίζσζεο ( ε Η ) καο δίλεη ηελ ηζρύ (ελέξγεηα αλά κνλάδα ρξόλνπ) πνπ παξέρεη ε κπαηαξία ζην θύθισκα. Ο πξώηνο όξνο ηνπ δεμηνύ κέξνπο ηεο εμίζσζεο ( I 2 R ) είλαη σο γλσζηόλ ε ηζρύο ηνπ ειεθηξηθνύ ξεύκαηνο πνπ θαηαλαιώλεηαη ζηελ αληίζηαζε κε ηελ κνξθή ζεξκόηεηαο. Ο δεύηεξνο όξνο ζα είλαη θπζηθά θαη απηόο ηζρύο θαη είλαη ε ηζρύο πνπ απνζεθεύεηαη ζην πελίν. Ζ ζρέζε (2.4.12) δελ είλαη ηίπνηα άιιν από κία έθθξαζε ηνπ λόκνπ δηαηήξεζεο ηεο ελέξγεηαο. Αλ ζπκβνιίζνπκε κε Δ π ηελ ελέξγεηα πνπ απνζεθεύεηαη ζπλνιηθά ζην πελίν ηόηε ε ρξνληθή παξάγσγνο ηεο ελέξγεηαο απηήο (δειαδή ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο) είλαη ε ηζρύο πνπ απνζεθεύεηαη ζην πελίν, γηα ηελ νπνία αλαθεξζήθακε πξνεγνπκέλσο. Άξα ινηπόλ (2.4.13) 31

2.5 Κύκλυμα ζςνεσούρ πεύμαηορ LC. ηνπο νπιηζκνύο ππθλσηή ρσξεηηθόηεηαο C ζπλδένπκε πελίν κε ζπληειεζηή απηεπαγσγήο L. Σν πελίν θαη νη αγσγνί δελ έρνπλ αληίζηαζε. Φνξηίδνπκε ηνλ ππθλσηή (π.ρ. θέξλνληαο ζε επαθή ηνπο νπιηζκνύο ηνπ κε ηνπο πόινπο πεγήο ζπλερνύο ηάζεο) κε θνξηίν Q θαη θιείλνπκε ην δηαθόπηε Γ. Αξρίδεη ηόηε ε εθθόξηηζε ηνπ ππθλσηή θαη ην θύθισκα δηαξξέεηαη από ξεύκα. Ζ έληαζε ηνπ ξεύκαηνο, ιόγσ ηεο απηεπαγσγήο ηνπ πελίνπ, απμάλεηαη ζηαδηαθά θαη γίλεηαη κέγηζηε (I) ηε ζηηγκή ηεο πιήξνπο εθθόξηηζεο ηνπ ππθλσηή. Σν ξεύκα, εμαηηίαο ηνπ θαηλνκέλνπ ηεο απηεπαγσγήο ζην πελίν, δε κεδελίδεηαη ακέζσο κεηά ηελ εθθόξηηζε ηνπ ππθλσηή. Σν θύθισκα ζπλερίδεη γηα ιίγν ρξόλν λα δηαξξέεηαη από ξεύκα πνπ ζπλερώο ειαηηώλεηαη. Ζ θίλεζε απηή ησλ θνξηίσλ έρεη σο απνηέιεζκα ν ππθλσηήο λα θνξηηζηεί πάιη, ηώξα όκσο κε αληίζεηε πνιηθόηεηα. Όηαλ ην ξεύκα κεδεληζηεί ν ππθλσηήο ζα έρεη απνθηήζεη πάιη θνξηίν Q. 32

ε θάζε ρξνληθή ζηηγκή ε ελέξγεηα πνπ είλαη ην θύθισκα δηακνηξάδεηαη ζηελ ελέξγεηα πνπ είλαη απνζεθεπκέλε ζην ειεθηξηθό πεδίν ηνπ ππθλσηή θαη ζηελ ελέξγεηα πνπ είλαη απνζεθεπκέλε ζην καγλεηηθό πεδίν ηνπ πελίνπ. Δπεηδή ην θύθισκα δελ πεξηέρεη αληίζηαζε δελ ππάξρνπλ απώιεηεο ηεο ειεθηξηθήο ελέξγεηαο, ε νιηθή ελέξγεηα πνπ είλαη ην άζξνηζκα ηεο ελέξγεηαο ηνπ πελίνπ θαη ηεο ελέξγεηαο ηνπ ππθλσηή δηαηεξείηαη. Άξα ε νιηθή ελέξγεηα είλαη ίζε κε ηελ ελέξγεηα πνπ είρε αξρηθά ν ππθλσηήο. Αλ ζπκβνιίζνπκε κε E ηελ νιηθή ελέξγεηα θαη κε Δ C θαη Δ L ηελ ελέξγεηα ηνπ ππθλσηή θαη ηνπ πελίνπ αληίζηνηρα ηόηε (2.5.1) 33

Αλ παξαγσγήζνπκε ηελ πξνεγνύκελε ζρέζε σο πξνο ηνλ ρξόλν βξίζθνπκε (2.5.2) κηα θαη ηα L θαη C είλαη ζηαζεξέο, ελώ κόλν ηα q θαη Η κεηαβάιινληαη κε ηνλ ρξόλν. Έηζη θαηαιήγνπκε ζηελ δηαθνξηθή εμίζσζε (2.5.3) Ξέξνπκε όκσο όηη (2.5.4) θαη επνκέλσο (2.5.5) Αληηθαζηζηνύκε ηα θαη από ηηο πξνεγνύκελεο ζρέζεηο ζηελ (2.5.3) θαη βξίζθνπκε (2.5.6) απινπνηώληαο ην Η θαη από ηα δύν κέιε θαηαιήγνπκε ζηελ δηαθνξηθή εμίζσζε δεπηέξαο ηάμεο (2.5.7) [10] 34

Ζ επίιπζε ηεο παξαπάλσ δηαθνξηθήο εμίζσζεο είλαη απιή. Ηδηαίηεξα αλ παξαηεξήζνπκε όηη κνηάδεη κε ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε, ζηελ κεραληθή, ηεο αξκνληθήο ηαιάλησζεο πνπ εθηειεί έλα ζύζηεκα κάδαο-ειαηεξίνπ (2.5.8) Ζ νπνία έρεη ιύζε ηεο κνξθήο x=a sin(σt + β). Ζ ιύζε ηεο ινηπόλ είλαη κία αξκνληθή ηαιάλησζε ηεο κνξθήο (2.5.9) όπνπ α θαη β ζηαζεξέο ηηο νπνίεο ζα πξνζπαζήζνπκε λα πξνζδηνξίζνπκε ζηελ ζπλέρεηα θαη σ ε θπθιηθή ζπρλόηεηα πνπ είλαη ίζε κε (2.5.10) Παξαγσγίδνληαο ηελ ζρέζε (2.5.9) σο πξνο ηνλ ρξόλν βξίζθνπκε ηελ ζρέζε κεηαβνιήο ηεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο (2.5.11) Αο πξνζπαζήζνπκε ηώξα λα ππνινγίζνπκε ηηο δύν ζηαζεξέο α θαη β ζηηο εμηζώζεηο (2.5.9) θαη (2.5.11). Σελ ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην θνξηίν ζηνλ ππθλσηή έρεη ηελ κέγηζηε ηηκή ηνπ q=q ελώ ε έληαζε ξεύκα είλαη κεδέλ. Θέηνληαο Η=0 θαη t=0 ζηελ ζρέζε (2.5.11) βξίζθνπκε όηη ζα πξέπεη (2.5.12) Δπηζηξέθνληαο ζηελ ζρέζε (2.5.9) θαη ζέηνληαο q=q θαη β=0 βξίζθνπκε όηη α=q νπόηε ηειηθά νη δύν ζρέζεηο γξάθνληαη (2.5.13) 35 (2.5.14)

όπνπ Η max =σq είλαη ε κέγηζηε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο. Βιέπνπκε ινηπόλ όηη ην θνξηίν q ηαιαληώλεηαη (αξκνληθή ή εκηηνλνεηδήο ηαιάλησζε) κεηαμύ ησλ ηηκώλ -Q θαη Q, ελώ ε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο κεηαμύ ησλ -Η max θαη Η max κε κηα δηαθνξά θάζεο 90 (ρήκα 2.5.2). Αο μαλαγπξίζνπκε ζηελ εμίζσζε ηεο ελέξγεηαο (2.5.1) θαη αο αληηθαηαζηήζνπκε ην θνξηίν θαη ηελ έληαζε ηνπ ξεύκαηνο από ηηο δύν πξνεγνύκελεο εμηζώζεηο. (2.5.15) Βιέπνπκε ινηπόλ πσο ε ελέξγεηα ηνπ θπθιώκαηνο ηαιαληώλεηαη ζπλερώο αλάκεζα ζηελ ελέξγεηα ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ηνπ ππθλσηή (πξώηνο όξνο ηνπ δεμηνύ κέξνπο ηεο εμίζσζεο) θαη ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ηνπ πελίνπ (δεύηεξνο όξνο ηνπ δεμηνύ κέξνπο ηεο εμίζσζεο). ην ρήκα 2.5.1 παξνπζηάδεηαη γξαθηθά απηή ε κεηαβνιή ηεο ελέξγεηαο από ειεθηξηθή ζε καγλεηηθή θαη αληίζηξνθα. Σν άζξνηζκα θαη ησλ δύν, δειαδή ε νιηθή ελέξγεηα Δ, είλαη πάληα ζηαζεξό. Τπελζπκίδεηαη όηη ε νιηθή ελέξγεηα παξακέλεη ζηαζεξή κόλν αλ ππνζέζνπκε όηη ην θύθισκα δελ έρεη σκηθή αληίζηαζε. ηελ πξαγκαηηθόηεηα απηό δελ ζπκβαίλεη πνηέ. Σν θύθισκα πάληα έρεη κία έζησ θαη κηθξή αληίζηαζε θαη έηζη ππάξρνπλ απώιεηεο ηεο νιηθήο ελέξγεηαο ιόγσ κεηαηξνπήο ηεο ζε ζεξκόηεηα πάλσ ζηελ αληίζηαζε. Δπίζεο, όπσο ζα δνύκε ζηελ ζπλέρεηα, ηα θπθιώκαηα απηά εθπέκπνπλ ειεθηξνκαγλεηηθή αθηηλνβνιία. Άξα ζα έρνπκε απώιεηεο ελέξγεηαο θαη ιόγσ απηήο ηεο εθπνκπήο. ηελ ηδαληθή πεξίπησζε πνπ εμεηάζακε, όπνπ δειαδή ππνζέζακε όηη δελ ππάξρνπλ απώιεηεο ελέξγεηαο, νη ηαιαληώζεηο ηνπ θπθιώκαηνο ζπλερίδνληαη έπ άπεηξνλ. 36

ρήκα 2.5.1 ρήκα 2.5.2 2.6 Κύκλυµα RLC ζε ζειπά συπίρ εξυηεπική διέγεπζη Σν ελ ζεηξά θύθισκα RLC είλαη έλα ειεθηξηθό θύθισκα απνηεινύκελν από κία σκηθή αληίζηαζε R, έλα πελίν απηεπαγσγήο L θαη έλαλ ππθλσηή ρσξεηηθόηεηαο C, ζπλδεδεκέλα ζε ζεηξά. ε έλα θύθισκα RLC παξαηεξείηαη ην εμήο θαηλόκελν: ε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο πνπ ην δηαξξέεη ηαιαληώλεηαη εθηειώληαο θζίλνπζα ηαιάλησζε κέρξη ηνλ ηειηθό κεδεληζκό ηεο εθηόο θαη αλ 37

ην θύθισκα ηξνθνδνηείηαη από κηα εμσηεξηθή δηεγείξνπζα ηάζε, νπόηε ε ηαιάλησζε είλαη ακείσηε. Μπνξεί λα απνδεηρζεί όηη όια ηα ηαιαληνύκελα ζπζηήκαηα (ηαιαλησηέο) είηε είλαη ειεθηξηθά είηε είλαη κεραληθά πεξηγξάθνληαη από ηηο ίδηεο καζεκαηηθέο εμηζώζεηο. Έηζη, ζηνπο κεραληθνύο ηαιαλησηέο, ηα θπζηθά κεγέζε (όπσο ε κεηαηόπηζε, ε δύλακε, ε κάδα θιπ) αληηζηνηρνύλ ζε ειεθηξηθά κεγέζε ελόο ηαιαληνύκελνπ θπθιώκαηνο, όπσο είλαη ην θύθισκα RLC. Γηα παξάδεηγκα, ην θνξηίν Q ηνπ ππθλσηή ζε έλα θύθισκα RLC είλαη ην αληίζηνηρν κέγεζνο ηεο κεηαηόπηζεο x ελόο ηαιαληνύκελνπ κεραληθνύ ζπζηήκαηνο νπόηε ην ξεύκα πνπ δηαξξέεη ην θύθισκα (πνπ είλαη ε παξάγσγνο ηνπ θνξηίνπ) είλαη ην ειεθηξηθό αλάινγν ηεο ηαρύηεηαο ζην κεραληθό ζύζηεκα. Δπίζεο, ε ηάζε πνπ εθαξκόδεηαη εμσηεξηθά ζην θύθισκα αληηζηνηρεί ζηελ εμσηεξηθά εθαξκνδόκελε δύλακε ζην κεραληθό ζύζηεκα, ε κάδα αληηζηνηρεί ζηελ απηεπαγσγή ελόο πελίνπ, ε ζηαζεξά ηνπ ειαηεξίνπ αληηζηνηρεί ζην αληίζηξνθν ηεο ρσξεηηθόηεηαο ελόο ππθλσηή θ.ν.θ. Έηζη, ε πεξίπησζε ελόο θπθιώκαηνο RLC πνπ δελ ηξνθνδνηείηαη από κηα εμσηεξηθή δύλακε, αληηζηνηρεί ζην κεραληθό πξόβιεκα κηαο κάδαο αλαξηεκέλεο ζε ειαηήξην ε νπνία θηλείηαη κέζα ζε πξαγκαηηθό ξεπζηό. Σν ξεπζηό αληηδξά ζηελ θίλεζε ηεο κάδαο. Σν ειεθηξηθό ηζνδύλακό ηνπ είλαη έλα θύθισκα RLC ελ ζεηξά, ρσξίο εμσηεξηθή δηέγεξζε ηνπ νπνίνπ ην ημώδεο αληηδξά ζηελ θίλεζή ηεο. Λόγσ απηήο ηεο ηζνδπλακίαο, όια όζα απνξξένπλ από ηε κειέηε ελόο ειεθηξηθνύ ζπζηήκαηνο κπνξνύλ λα εθαξκνζηνύλ απόιπηα ζηα αληίζηνηρα κεραληθά ζπζηήκαηα θαη αληηζηξόθσο. Σν πιενλέθηεκα απηήο ηεο ηζνδπλακίαο δελ είλαη ε απινύζηεπζε ηεο επίιπζεο ηεο εμίζσζεο πνπ πεξηγξάθεη ηελ θίλεζε ηνπ κεραληθνύ ζπζηήκαηνο, αθνύ νη εμηζώζεηο πνπ δηέπνπλ ηόζν ην κεραληθό ζύζηεκα όζν θαη ην ειεθηξηθό ηζνδύλακό ηνπ είλαη νη ίδηεο (ζπλεπώο ε επίιπζή ηνπο έρεη ηνλ ίδην βαζκό δπζθνιίαο). Σν πιενλέθηεκα έγθεηηαη ζην γεγνλόο όηη ην ειεθηξηθό ηζνδύλακν είλαη πνιύ πην απιό ζηνλ ζρεδηαζκό θαη ζηελ θαηαζθεπή ηνπ, νπόηε κειεηώληαη εύθνια νη ηδηόηεηέο ηνπ θαη ηα απνηειέζκαηα αλάγνληαη ελ ζπλερεία ζην κεραληθό αλάινγν. (Γηα παξάδεηγκα, ην ζρεδηαζκό ησλ ακνξηηζέξ απηνθηλήησλ πξνθεηκέλνπ λα κειεηεζεί ν βαζκόο ηαιάλησζεο ελόο απηνθηλήηνπ ζε δηάθνξεο ζπλζήθεο νδνζηξώκαηνο.) 38

Ιδανική πεπίπηυζη ηελ ηδαληθή πεξίπησζε ηνπ θπθιώκαηνο RLC ε σκηθή αληίζηαζε (R) είλαη κεδεληθή, ην ξεύκα πνπ δηαξξέεη ην θύθισκα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε. Καηά ηελ ηαιάλησζε απηή αληαιιάζζεηαη ελέξγεηα αλάκεζα ζην ειεθηξηθό πεδίν ηνπ θνξηηζκέλνπ ππθλσηή θαη ζην καγλεηηθό πεδίν ηνπ πελίνπ πνπ δηαξξέεηαη από ξεύκα ελώ ε νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο δηαηεξείηαη ζηαζεξή. ε έλα ξεαιηζηηθό θύθισκα ε ηηκή ηεο αληίζηαζεο πνηέ δελ είλαη κεδεληθή νπόηε ιόγσ ησλ ζεξκηθώλ απσιεηώλ Joule ζηελ αληίζηαζε ε νιηθή ελέξγεηα ηνπ θπθιώκαηνο δελ είλαη ζηαζεξή αιιά θζίλεη. Έηζη, ην ξεύκα πνπ δηαξξέεη ην θύθισκα εθηειεί θζίλνπζα ηαιάλησζε ην δε κέγεζνο ηεο απόζβεζήο ηεο εμαξηάηαη από ηελ ηηκή ηεο σκηθήο αληίζηαζεο (R). πγθεθξηκέλα δηαθξίλνληαη ηξεηο πεξηπηώζεηο: Α) Τπεπ-κπίζιμη απόζβεζη Όηαλ ε σκηθή αληίζηαζε ηνπ θπθιώκαηνο είλαη κεγάιε ε ηαιάλησζε ηνπ θνξηίνπ άξα θαη ηνπ ξεύκαηνο θζίλεη πάξα πνιύ γξήγνξα. ηελ εηδηθή πεξίπησζε πνπ ε αληίζηαζε έρεη ηηκή κεγαιύηεξε από ηελ νλνκαδόκελε θξίζηκε ηηκή Rc= ) δελ ππάξρεη θαζόινπ ηαιάλησζε. Ολνκάδνπκε απηήλ ηελ απόζβεζε ππεξθξίζηκε. Β) Κπίζιμη απόζβεζη Όηαλ ε ηηκή ηεο αληίζηαζεο γίλεη ίζε κε ηελ θξίζηκε ηηκή Rc= ) ην ζύζηεκα επηζηξέθεη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ρσξίο λα ηαιαληώλεηαη. Ζ επηζηξνθή ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο είλαη ε ηαρύηεξε δπλαηή. Ολνκάδνπκε απηήλ ηελ απόζβεζε θξίζηκε απόζβεζε. 39

Γ) Τποκπίζιμη απόζβεζη Όηαλ ε αληίζηαζε έρεη ηηκή κηθξόηεξε ηεο θξίζηκεο ην θνξηίν Rc< ) ηαιαληώλεηαη θαη ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ειαηηώλεηαη εθζεηηθά. Όζν κεγαιύηεξε είλαη ε ηηκή ηεο αληίζηαζεο ηόζν ηαρύηεξα ειαηηώλεηαη ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. Ολνκάδνπκε απηήλ ηελ απόζβεζε ππνθξίζηκε. Δηθ. [2.6] ηελ εηθόλα 2.6 α) Υξνληθή εμάξηεζε γηα ην θνξηίν Q(t) ζηηο ηξεηο πεξηπηώζεηο (1) ππεξθξίζηκε, (2) θξίζηκε, (3) ππνθξίζηκε απόζβεζε. β) Υξνληθή εμάξηεζε ηνπ ξεύκαηνο I(t) γηα ηηο ίδηεο ηξεηο πεξηπηώζεηο. ε πνιιέο πξαθηηθέο εθαξκνγέο ε απόζβεζε είλαη αλεπηζύκεηε θαη θαηαβάιιεηαη εηδηθή πξνζπάζεηα γηα ηε δξαζηηθή κείσζή ηεο (π.ρ ζε έλα εθθξεκέο ξνιόη). Τπάξρνπλ όκσο πεξηπηώζεηο, όπνπ ε απόζβεζε επηβάιιεηαη, όπσο γηα παξάδεηγκα ζην ζύζηεκα αλαξηήζεσλ ησλ απηνθηλήησλ (ακνξηηζέξ). Σα ακνξηηζέξ δίδνπλ δύλακε απόζβεζεο αλάινγε ηεο ηαρύηεηαο έηζη ώζηε ε ηαιάλησζε ηνπ απηνθηλήηνπ λα ζβήλεη ην δπλαηόλ ηαρύηεξα. ύκθσλα κε ηα παξαπάλσ, ην ζύζηεκα ησλ ακνξηηζέξ πξέπεη λα πιεξεί ηε ζπλζήθε θξίζηκεο ή ππνθξίζηκεο απόζβεζεο. Αο ππνζέζνπκε όηη πξηλ θιείζεη ν δηαθόπηεο, ν ππθλσηήο είρε θνξηίν Q. Με ην θιείζηκν ηνπ δηαθόπηε ηελ ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην θύθισκα δηαξξέεηαη από ξεύκα θαη ε ελέξγεηα πνπ ήηαλ απνζεθεπκέλε ζηνλ ππθλσηή δηαδίδεηαη 40

ζην θύθισκα θαη έλα κέξνο ηεο απνζεθεύεηαη ζην καγλεηηθό πεδίν ηνπ πελίνπ, ελώ έλα άιιν κέξνο ηεο θαηαλαιώλεηαη κε ηελ κνξθή ζεξκόηεηαο πάλσ ζηελ αληίζηαζε. ηελ πεξίπησζε ινηπόλ απηή ζηελ νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο ζα πξέπεη εθηόο ηεο ελέξγεηαο ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ηνπ ππθλσηή θαη ηεο ελέξγεηαο ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ηνπ πελίνπ λα ζπκπεξηιάβνπκε θαη ηελ ειεθηξηθή ελέξγεηα πνπ κεηαηξέπεηαη ζε ζεξκηθή πάλσ ζηελ σκηθή αληίζηαζε. Ζ νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο, ζπκπεξηιακβαλνκέλεο δειαδή θαη ηεο ζεξκηθήο, δηαηεξείηαη, αιιά ε ελέξγεηα πνπ δηαξξέεη ην θύθισκα κεηώλεηαη ιόγσ απηήο ηεο κεηαηξνπήο ζε ζεξκόηεηα ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή κε ξπζκό (2.6.1) Έηζη ε εμίζσζε δηαηήξεζεο ηεο ελέξγεηαο (2.5.3) πνπ είρακε ζην θύθισκα LC γξάθεηαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ θπθιώκαηνο RLC σο Θέηνληαο (2.6.2) θαη (2.6.3) βξίζθνπκε (2.6.4) θαη ηειηθά θαηαιήγνπκε ζηελ δηαθνξηθή εμίζσζε 41

(2.6.5) Αλ ππνζέζνπκε όηη ε αληίζηαζε R είλαη ζρεηηθά κηθξή. Ζ ιύζε ηεο (2.6.5) γηα ηελ πεξίπησζε απηή είλαη (2.6.6) όπνπ ε θπθιηθή ζπρλόηεηα σ, ζηελ πεξίπησζε απηή, δίλεηαη από ηελ ζρέζε (2.6.7) Πόζν κηθξή όκσο πξέπεη λα είλαη ε αληίζηαζε R θαη ηη ζπκβαίλεη αλ είλαη κεγαιύηεξε; Αο δνύκε ιίγν ηελ ζρέζε (2.6.7). Ζ γσληαθή ζπρλόηεηα πξέπεη λα είλαη έλαο πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Γηα λα ζπκβαίλεη όκσο απηό ζα πξέπεη ε πνζόηεηα πνπ βξίζθεηαη ζηα δεμηά ηεο (2.6.7) κέζα ζηελ ξίδα λα είλαη έλαο ζεηηθόο αξηζκόο ή ζηελ ρεηξόηεξε πεξίπησζε λα είλαη ίζε κε κεδέλ. Γειαδή ζα πξέπεη Θα πξέπεη δειαδή λα είλαη (2.6.8) Όζνλ αθνξά ην ξεύκα ζην θύθισκα RLC είλαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ θνξηίνπ Q. πλεπώο έρνπκε : 42

(2.6.9) Παξαγσγίδνπκε: q (t)= Q*exp(-Rt/2L)*(Rt/2L) *cos(ωt)+q*exp(-rt/2l)*(- sin(ωt)*(ωt) ) q (t)=q*exp(-rt/2l)*cos(ωt)+q*exp(-rt/2l)(-sin(ωt)*ω) q (t)=-q*(r/2l)*exp(-rt/2l)*cos(ωt)-q*ω*exp(-rt/2l)*(sin(ωt) q (t)= -Q*exp(-Rt/2L)*[(R/2L)*cos(ωt)+ω*sin(ωt)] Δπνκέλσο I(t) = -Q*exp(-Rt/2L)*[(R/2L)*cos(ωt)+ω*sin(ωt)] (2.6.10) 43

3. ΠΔΗΡΑΜΑΣΑ 3.1 Πποζομοίυζη κςκλώμαηορ RC 44

ηελ δηαδηθαζία πξνζνκνίσζεο ηνπ θπθιώκαηνο ν ρξήζηεο έρεη ηελ δπλαηόηεηα λα παξακεηξνπνηήζεη ην θύθισκα ζέησληαο αξρηθέο ηηκέο ζηελ αληίζηαζε R, ζηνλ ππθλσηή C θαη ζηελ πεγή ζπλερνύο ξεύκαηνο ηνπ θπθιώκαηνο V,θαζώο θαη λα επηιέμεη γηα θόξηηζε ή εθθόξηηζε ππθλσηή. Σα όξηα ηηκώλ γηα ηα ζηνηρεία ηνπ θπθιώκαηνο είλαη: 1ΚΩ < R < 10KΩ 1κF < C < 50κF 10V < V < 100V Φόξηηζε:1, Δθθόξηηζε:0 ην πείξακα πνπ εθηειείηαη νη αξρηθέο ηηκέο είλαη γηα: R=1KΩ,C=1κF,V=50V Πποζομοίυζη θόπηιζηρ Ο δηαθόπηεο είλαη αλνηρηόο ζηελ αξρή θαη κεηέπεηηα θιείλεη γηα ηελ δηαδηθαζία ηεο θόξηηζεο. Ζ δηάξθεηα πξνζνκνίσζεο είλαη 5 ζηαζεξέο ρξόλνπ η=rc. ην πείξακα παξαηεξνύκε ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ ξεύκαηνο πνπ κεηώλεηαη θαζώο θαη ηελ αύμεζε ηνπ θνξηίνπ ηνπ ππθλσηή. Δικόνα 3.1.1 45

Δικόνα 3.1.2 Δικόνα 3.1.3 46

Δικόνα 3.1.4 Πποζομοίυζη εκθόπηιζηρ Ο δηαθόπηεο είλαη θιεηζηόο αξρηθά θαη κεηέπεηηα αλνίγεη γηα ηελ δηαδηθαζία ηεο εθθόξηηζεο.ζ δηάξθεηα πξνζνκνίσζεο είλαη 5 ζηαζεξέο ρξόλνπ η=rc. ην πείξακα παξαηεξνύκε ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ ξεύκαηνο Η πνπ κεηώλεηαη θαζώο θαη ηελ κείσζε ηνπ θνξηίνπ ηνπ ππθλσηή Q ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ. 47

Δικόνα 3.1.5 Δικόνα 3.1.6 48

Δικόνα 3.1.7 Δικόνα 3.1.8 49

3.2 Πποζομοίυζη κςκλώμαηορ RL ηελ δηαδηθαζία πξνζνκνίσζεο ηνπ θπθιώκαηνο ν ρξήζηεο έρεη ηελ δπλαηόηεηα λα παξακεηξνπνηήζεη ην θύθισκα ζέησληαο αξρηθέο ηηκέο ζηελ αληίζηαζε R, ζηνλ πελίν L θαη ζηελ πεγή ζπλερνύο ξεύκαηνο ηνπ θπθιώκαηνο V,θαζώο θαη λα επηιέμεη απνθαηάζηαζε ή δηαθνπή ξεύκαηνο. Σα όξηα ηηκώλ γηα ηα ζηνηρεία ηνπ θπθιώκαηνο είλαη: 1ΚΩ < R < 10KΩ 1Ζ < L < 100H 10V < V < 100V Απνθαηάζηαζε:1, Γηαθνπή:0 ην πείξακα πνπ εθηειείηαη νη αξρηθέο ηηκέο είλαη γηα: R=1KΩ,H=9H,V=50V Δικόνα 3.2.1 50

Πποζομοίυζη αποκαηάζηαζηρ Ο δηαθόπηεο είλαη δύν ζέζεσλ αξρηθά θαη κεηέπεηηα βξίζθεηαη ζηελ ζέζε 1.Ζ δηάξθεηα πξνζνκνίσζεο είλαη 5 ζηαζεξέο ρξόλνπ η=l/r. Παξαηεξνύκε ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ ξεύκαηνο Η πνπ απμάλεηαη θαη ηελ καγλεηηθή ελέξγεηα ηνπ πελίνπ λα κεηώλεηαη ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ. Δικόνα 3.2.2 Δικόνα 3.2.3 51

Πποζομοίυζη διακοπήρ Ο δηαθόπηεο είλαη δύν ζέζεσλ αξρηθά θαη κεηέπεηηα βξίζθεηαη ζηελ ζέζε 2.Ζ δηάξθεηα πξνζνκνίσζεο είλαη 5 ζηαζεξέο ρξόλνπ η=r/l. Παξαηεξνύκε ηνλ ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ ξεύκαηνο Η λα κεηώλεηαη θαζώο θαη ηελ καγλεηηθή ελέξγεηα ηνπ πελίνπ λα κεηώλεηαη ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ. Δικόνα 3.2.4 52

Δικόνα 3.2.5 Δικόνα 3.2.6 53

3.3 Πποζομοίυζη κςκλώμαηορ LC ηελ δηαδηθαζία πξνζνκνίσζεο ηνπ θπθιώκαηνο ν ρξήζηεο έρεη ηελ δπλαηόηεηα λα παξακεηξνπνηήζεη ην θύθισκα ζέησληαο αξρηθέο ηηκέο ζηo πελίν L, ζηνλ ππθλσηή C θαη ζηελ πεγή ζπλερνύο ξεύκαηνο ηνπ θπθιώκαηνο V. Σα όξηα ηηκώλ γηα ηα ζηνηρεία ηνπ θπθιώκαηνο είλαη: 1H < L < 100H 1κF < C < 50κF 10V < V < 50V ην πείξακα πνπ εθηειείηαη νη αξρηθέο ηηκέο είλαη γηα: C=25κF,H=10H,V=10V. Δθθίλεζε ηεο ηαιάλησζεο ζην θύθισκα LC. Δικόνα 3.3.1 Παξαηεξνύκε ηελ δηαθνξά Σ/4 ζηελ κεηαβνιή ηνπ θνξηίνπ ηνπ ππθλσηή θαη ηεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο I ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ. Ζ ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο 54

. Βιέπνπκε όηη ε ζπρλόηεηα ηαιάλησζεο εμαξηάηαη κόλν από ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ θπθιώκαηνο, δειαδή ηελ ρσξεηηθόηεηα ηνπ ππθλσηή θαη ηνλ ζπληειεζηή απηεπαγσγήο ηνπ πελίνπ. Δικόνα 3.3.2 55

Δικόνα 3.3.3 Δικόνα 3.3.4 3.4 Πποζομοίυζη κςκλώμαηορ RLC ηελ δηαδηθαζία πξνζνκνίσζεο ηνπ θπθιώκαηνο ν ρξήζηεο έρεη ηελ δπλαηόηεηα λα παξακεηξνπνηήζεη ην θύθισκα ζέησληαο αξρηθέο ηηκέο ζηελ αληίζηαζε R, ζην πελίν L, θαη ζηνλ ππθλσηή ηνπ θπθιώκαηνο C.Σν πείξακα έρεη ζηόρν λα θαηαλνήζεη ν ρξήζηεο ηελ δηαθνξεηηθή ζπκπεξηθνξά ηνπ θνξηίνπ ηνπ ππθλσηή. Ζ πξώηε πεξίπησζε είλαη ε ππνθξίζηκε απόζβεζε, δειαδή κηθξή απόζβεζε ηνπ θνξηίνπ, γηα ηηκέο ηεο αληίζηαζεο R κηθξόηεξεο από ηελ Rc(θξίζηκε αληίζηαζε).ζ δεύηεξε πεξίπησζε αθνξά ηελ ππεξθξίζηκε απόζβεζε γηα ηηκέο ηεο αληίζηαζεο R κεγαιύηεξεο από ηελ Rc(θξίζηκε αληίζηαζε). Καη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο κειεηάκε ηελ εθθόξηηζε ηνπ ππθλσηή. Σα όξηα ηηκώλ γηα ηα ζηνηρεία ηνπ θπθιώκαηνο είλαη: 50Ω < R < 2KΩ 1Ζ < L < 20H 1κF < C < 50κF 56

Τποκπίζιμη απόζβεζη ην πείξακα πνπ εθηειείηαη νη αξρηθέο ηηκέο είλαη γηα: R=50Ω,H=9H,C=1κF. Δικόνα 3.4.1 Δικόνα 3.4.2 57

Δικόνα 3.4.3 Τπεπκπίζιμη απόζβεζη ην πείξακα πνπ εθηειείηαη νη αξρηθέο ηηκέο είλαη γηα: R=500Ω,H=9H,C=1κF. Παξαηεξνύκε ηελ ξαγδαία κείσζε ηνπ θνξηίνπ ηνπ ππθλσηή κε ζπλέπεηα λα κελ ππάξρεη ηαιάλησζε. 58

Δικόνα 3.4.4 Δικόνα 3.4.5 59

Δικόνα 3.4.6 60

4. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΑ 61

4.1 Κώδικαρ κςκλώμαηορ RC function RC_Circuit prompt = {'Αληίζηαζε θπθιώκαηνο (Ωκ)',... 'Χσξεηηθόηεηα θπθιώκαηνο (Φαξάλη)', 'Τάζε (Βνιη)', 'Φόξηηζε: 1. Δθθόξηηζε: 0'}; default = {'1e3', '1e-6', '50', '1'}; data = inputdlg(prompt, 'Πξνζνκνίσζε θπθιώκαηνο RC ζε ζεηξά', [2 75], default); if isempty(data) return % παηήζεθε ην "Άθπξν" ή ην "Κιείζηκν" R = str2double(data{1}); % αληίζηαζε θπθιώκαηνο (Ωκ) C = str2double(data{2}); % ρσξεηηθόηεηα θπθιώκαηνο (Φαξάλη) V = str2double(data{3}); % ηάζε (Βνιη) charge = str2double(data{4}); % θόξηηζε / εθθόξηηζε if V<10 V>100 hfin=warndlg('δηζάγεηε ηηκή από 10V κέρξη 100 V'); return else if R<999 R>10001 hfin=warndlg('δηζάγεηε ηηκή από 1ΚΩ κέρξη 10 ΚΩ'); return else if C<0.000001 C>0.000050 hfin=warndlg('δηζάγεηε ηηκή από 1κF κέρξη 50 κf'); return else if charge~=0 && charge~=1 hfin=warndlg('δηζάγεηε ηηκή 1 ή 0'); return else tau = R * C; N = 50; DELAY = 0.4; % ζηαζεξά ρξόλνπ ηνπ θπθιώκαηνο % ζπλνιηθό πιήζνο θαξέ γηα ην animation % παύζε κεηαμύ ησλ θαξέ T = 5 * tau; % ρξνληθό όξην (δεπηεξόιεπηα) t = linspace(0, T, N); Imax = V / R; % κέγηζηε ηηκή ξεύκαηνο Qmax = C * V; % κέγηζην θνξηίν ππθλσηή 62

% Δδώ νξίδνπκε ηα x θαη y γηα ηα ζρήκαηα πνπ θηηάρλνπλ ην ζρέδην. % Οκαδνπνηνύκε ζρήκαηα βάδνληάο ηα ζε πίλαθα από θειηά (cell array). % Η πξώηε γξακκή, π.ρ. ζην "ππόβαζξν", είλαη ην x θαη ε δεύηεξε είλαη ην y % ππόβαζξν background = [ -1.1 1.1 1.1-1.1; -1.1-1.1 1.1 1.1 ]; % ακπεξόκεηξν ammeter = [0.15 0.375 0.22 0.22]; % αξηζηεξά (x), θάησ (y), πιάηνο (w), ύςνο (h) % έλδεημε ξεύκαηνο %lcdi = [0.175 0.425 0.17 0.12]; % θύθισκα circuit = { [ % πάλσ πιεπξά -0.5-0.22; 0.5 0.5 ], [ 0.22 0.5; 0.5 0.5 ], [ % δεμηά πιεπξά 0.5 0.5; 0.52 0.05 ], [ 0.5 0.5; -0.05-0.5 ], [ % θάησ πιεπξά 0.512 0.1; -0.5-0.5 ], [ -0.1-0.5; -0.5-0.5 ], [ % αξηζηεξή πιεπξά -0.5-0.5; -0.52-0.05 ], [ -0.5-0.5; 0.05 0.52 ] }; % ζηελ εθθόξηηζε, ε αξηζηεξή πιεπξά δελ θόβεηαη, αθνύ δελ ππάξρεη κπαηαξία if ~charge % ζρεδηάδνπκε κηα επζεία αθόκε γηα λα θαιύςεη ην θελό circuit{9} = [ -0.5-0.5; -0.05 0.05 63

]; % κπαηαξία battery = { [ % ζεηηθόο πόινο -0.4-0.6; 0.05 0.05 ], [ % αξλεηηθόο πόινο -0.45-0.55; -0.05-0.05 ] }; % ππθλσηήο capacitor = { [ % ζεηηθόο πόινο 0.4 0.6; 0.05 0.05 ], [ % αξλεηηθόο πόινο 0.4 0.6; -0.05-0.05 ] }; % αλνηρηόο δηαθόπηεο switch2 = [ -0.1 0.105; -0.5-0.35 ]; % θιεηζηόο δηαθόπηεο switch1 = [ -0.1 0.105; -0.5-0.5 ]; % γηα λα ζρεδηάζνπκε δηγθ-δαγθ ην x έρεη ζηαζεξό βήκα κεηαμύ ησλ ζεκείσλ % π.ρ. % x = [-0.2-0.17-0.13... 0.2] % ην y αλεβνθαηεβαίλεη κεηαμύ δύν ηηκώλ % π.ρ. % y = [0.6 0.4 0.6 0.4... 0.6] % αληίζηαζε resistor = { [ % αξηζηεξή πιεπξά -0.22-0.2 0.5 0.6 ], [ % δηγθ-δαγθ linspace(-0.2, 0.2, 13); % 13 ηζαπέρνληα ζεκεία % ζην δηάζηεκα -0.2 κε 0.2 horzcat(repmat([0.6 0.4], 1, 6), 0.6) 64

% αληηγξαθή ηνπ [0.6 0.4] % 6 θνξέο % θαη ζπλέλσζε κε ην 0.6 ], [ % δεμηά πιεπξά 0.2 0.22 0.6 0.5 ] }; % έλα βέινο ζην θέληξν (0, 0) ηνπ ζρεδίνπ (ην ρξεζηκνπνηνύκε σο πξόηππν) arrow = [ -0.15-0.15 0.15 0.15 0.25 0.15 0.15-0.15; 0 0.03 0.03 0.06 0.015-0.03 0 0 ]; % ζηελ θόξηηζε ην (αξλεηηθό) ξεύκα θηλείηαη αξηζηεξόζηξνθα % ελώ ζηελ εθθόξηηζε δεμηόζηξνθα if charge direction = -1; else direction = 1; % ξεύκα % (βέιε πνπ είλαη ζπκκεηξηθά σο πξνο ηνλ άμνλα x ή y θαη κεηαηνπηζκέλα) current = { [ % πάλσ βέινο direction * arrow(1, :); direction * arrow(2, :) + 0.3 ], [ % θάησ βέινο -direction * arrow(1, :); -direction * arrow(2, :) - 0.8 ], [ % δεμί βέινο -direction * arrow(2, :) + 0.85; -direction * arrow(1, :) ], [ % αξηζηεξό βέινο direction * arrow(2, :) - 0.8; direction * arrow(1, :) ] }; % ζρεδίαζε γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ % ηηκέο ειεθηξηθνύ θνξηίνπ if charge q = Qmax * (1 - exp(-t / tau)); % θαηά ηελ θόξηηζε else q = Qmax * exp(-t / tau); % θαηά ηελ εθθόξηηζε I = Imax * (exp(-t / tau)); % ηηκέο ξεύκαηνο % επηινγή παξαζύξνπ figure(1) 65

clf(1) subplot(3, 2, 5); grid on title('i=f(t)', 'FontSize', 14) xlabel('t', 'FontSize', 14); ylabel('i(t)', 'FontSize', 14); line([0 T], [Imax Imax], 'Color', 'r', 'LineStyle', '--') % κέγηζηε ηηκή %text(-0.23, 1.075 * Imax, 'Imax', 'FontSize', 13) axis([0 T 0 1.2 * Imax])% άμνλεο set(gca,'fontsize',12) subplot(3, 2, 6); grid on title('q=f(t)', 'FontSize', 14) xlabel('t', 'FontSize', 14); ylabel('q(t)', 'FontSize', 14); line([0 T], [Qmax Qmax], 'Color', 'r', 'LineStyle', '--') % κέγηζηε ηηκή %text(-0.28, 1.075 * Qmax, 'Qmax', 'FontSize', 13) axis([0 T 0 1.2 * Qmax]) % άμνλεο set(gca,'fontsize',12) subplot(3, 2, 1:4); % ζρεδίαζε ππνβάζξνπ fill(background(1, :), background(2, :), [0.8 0.9 1]); % άμνλεο axis([-1.1 1.1-1.1 1.1]); axis off; % ζρεδίαζε θπθιώκαηνο lines(circuit, 'LineWidth', 8, 'Color', [0.4 0.4 0.4]); % ζρεδίαζε κπαηαξίαο (κόλν ζηελ θόξηηζε) if charge text(-0.35, 0.1, '+', 'FontSize', 25, 'HorizontalAlignment', 'center'); text(-0.35, -0.05, '-', 'FontSize', 30, 'HorizontalAlignment', 'center'); lines(battery, 'LineWidth', 3, 'Color', [0.7 0 0]); % ζρεδίαζε ππθλσηή text(0.55, 0.25, 'C', 'FontSize', 16); text(0.35, 0.1, '+', 'FontSize', 25, 'HorizontalAlignment', 'center'); text(0.35, -0.05, '-', 'FontSize', 30, 'HorizontalAlignment', 'center'); lines(capacitor, 'LineWidth', 5, 'Color', [0.5 0 1]); % ζρεδίαζε αληίζηαζεο text(0, 0.7, 'R', 'FontSize', 18, 'HorizontalAlignment', 'center'); lines(resistor, 'LineWidth', 4, 'Color', [0.7 0 0]); 66

% ζρεδίαζε ακπεξνκέηξνπ text(0.45, 0.7, 'A', 'FontSize', 18, 'HorizontalAlignment', 'center'); rectangle('position', ammeter, 'Curvature', 1,... 'FaceColor', [1 1 1], 'EdgeColor', [0 0 0], 'LineWidth', 2); % ζρεδίαζε δηαθόπηε (αλνηρηνύ) text(0, -0.6, 'Γ', 'FontSize', 16, 'HorizontalAlignment', 'center'); %ελλαιαγε δηαθόπηε if charge handlers = lines(switch2,'linewidth',2,'color',[0.7 0 0]); pause(5); lines(switch1, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.7 0 0]); else handlers = lines(switch1,'linewidth',2,'color',[0.7 0 0]); pause(5); lines(switch2, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.7 0 0]); counter = 1; for t1 = t % αλ ην παξάζπξν 1 (figure 1) έρεη θιείζεη, ζηακαηάκε ηελ ζρεδίαζε if ~ishandle(1) return subplot(3, 2, 1:4); % δηαγξάθνπκε ηνλ "ρεηξηζηή" κεξηθώλ ζρεκάησλ % θαη έηζη ζβήλνληαη από ην ζρέδην for handler = handlers delete(handler); % ηηκή ειεθηξηθνύ θνξηίνπ if charge Q1 = Qmax * (1 - exp(-t1 / tau)); % θαηά ηελ θόξηηζε else Q1 = Qmax * exp(-t1 / tau); % θαηά ηελ εθθόξηηζε I1 = Imax * (exp(-t1 / tau)); % ηηκή ξεύκαηνο percent = I1 / Imax; % πνζνζηό ζε ζρέζε κε ηελ κέγηζηε ηηκή ηνπ ξεύκαηνο % ππνινγηζκόο κήθνπο γηα ηα βέιε ηνπ ξεύκαηνο cur = current; % γξακκή βέινπο idx = [1 2 3 7 8]; cur{1}(1, idx) = current{1}(1, idx) * percent; 67