Κεθάιαην 3: Αζύκπησηεο Επζείεο Σύλνςε Η έλλνηα ηεο αζύκπηωηεο επζείαο έρεη ήδε ρξεζηκνπνηεζεί ζηε κειέηε ηεο κνλνηνλίαο ζπλαξηήζεωλ ηνπ πξνεγνύκελνπ θεθαιαίνπ. Σην θεθάιαην απηό παξνπζηάδεηαη κηα πεξηζζόηεξν ζπζηεκαηηθή κειέηε ηεο έλλνηαο ηωλ αζύκπηωηωλ επζεηώλ, κε ηδηαίηεξε έκθαζε ζηνλ ηξόπν ππνινγηζκνύ ηνπο, ζε κηα ζεηξά καζεκαηηθώλ πξνβιεκάηωλ. Η απόθηεζε ηθαλόηεηαο ππνινγηζκνύ αζύκπηωηωλ είλαη πνιύ ζεκαληηθή γηα ηνλ ππνινγηζκό θαη ζρεδίαζε ηεο ζπκπεξηθνξάο (γξαθηθήο παξάζηαζεο) ηωλ ζπλαξηήζεωλ. Σηόρνο Απόθηεζε ηθαλόηεηαο ππνινγηζκνύ αζύκπηωηωλ επζεηώλ ζπλάξηεζεο ζηε γεληθή πεξίπηωζε. Πξναπαηηνύκελε γλώζε Τν θεθάιαην απηό πξνϋπνζέηεη ηε βαζηθή θαηαλόεζε ηεο ζεωξίαο εμηζώζεωλ θαη ηεο ζεωξίαο πνιπωλύκωλ. Επίζεο απαηηείηαη επρέξεηα ζηελ κειέηε θαη ηε ρξήζε ζπλαξηήζεωλ, όπωο απηέο πεξηγξάθνληαη ζην ν θεθάιαην απηνύ ηνπ ζπγγξάκκαηνο, θαηαλόεζε ηεο έλλνηαο ηνπ νξίνπ θαη ηθαλόηεηα ππνινγηζκνύ νξίωλ ζηε γεληθή πεξίπηωζε ( ν θεθάιαην).
3. Οξηζκόο ηεο Αζύκπησηεο Επζείαο Γηα νξηζκέλεο θακπύιεο (γξαθηθέο παξαζηάζεηο ζπλαξηήζεσλ θαη όρη κόλν), θαζώο ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή ή ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή y, ηείλεη πξνο ην άπεηξν, ε κνξθή ηνπο πξνζεγγίδεη ηε κνξθή κηαο επζείαο. Τέηνηεο επζείεο νλνκάδνληαη επζείεο αζύκπησηεο. Αλάινγα κε ην πνηα κεηαβιεηή ηείλεη πξνο ην άπεηξν, θαη αλάινγα κε ην πξόζεκν ηνπ απείξνπ, δηαθξίλνληαη δηάθνξεο πεξηπηώζεηο επζεηώλ αζύκπησησλ. Ο πξνζδηνξηζκόο ηνπο, βνεζάεη ζηελ αθξηβή πξόβιεςε ηεο ζπκπεξηθνξάο κηαο ζπλάξηεζεο θαη, ζε ζπλδπαζκό κε ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα, επηηξέπεη ηε ζσζηή ζρεδίαζε ηεο γξαθηθήο ηεο παξάζηαζεο. Έλαο καζεκαηηθόο νξηζκόο ηεο αζύκπησηεο επζείαο δίλεηαη παξαθάησ Οι αςφμπτωτεσ ευθείεσ μιασ καμπφλησ είναι ευθείεσ που αποτελοφν οριακέσ θέςεισ τησ καμπφλησ ςτισ παρακάτω τρεισ περιπτώςεισ: y ± και πεπεραςμένο ± και πεπεραςμένοy Υπάξρνπλ ηξηώλ εηδώλ επζείεο αζύκπησηνη: Μηα γεσκεηξηθή αλαπαξάζηαζε ησλ ηξηώλ εηδώλ αζύκπησησλ επζεηώλ παξνπζηάδεηαη ζην Σρήκα 3.. Σηε ζπλέρεηα ηνπ θεθαιαίνπ απηνύ, κειεηώληαη θαηά πεξίπησζε νη ηξείο ηύπνη ησλ αζύκπησησλ επζεηώλ: Οη θαηαθόξπθεο (y ± ), νη νξηδόληηεο ( ± ) θαη νη πιάγηεο ( ± θαη y ± ) αζύκπησηεο επζείεο. ΚΑΣΑΚΟΡΤΥΗ ΑΤΜΠΣΩΣΗ = - ΠΛΑΓΙΑ ΑΤΜΠΣΩΣΗ y =. y = / -3 ΟΡΙΖΟΝΣΙΑ 3 ΑΤΜΠΣΩΣΗ y = y = / +. ΚΑΣΑΚΟΡΤΥΗ ΑΤΜΠΣΩΣΗ = + - Σρήκα 3.: Γεωκεηξηθή αλαπαξάζηαζε νξηδόληηωλ, θαηαθόξπθωλ θαη πιάγηωλ αζύκπηωηωλ επζεηώλ.
3. Καηαθόξπθεο Αζύκπησηεο Οξηζκόο Η επζεία α, ζα ιέγεηαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο C f ηεο f: αλ έλα ηνπιάρηζηνλ από ηα πιεπξηθά όξηα ηεο f: ζην α είλαη ην ή. Παξάδεηγκα 3. Η f(), αν limf(), έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ α. Η γξαθηθή παξάζηαζε πνπ πεξηγξάθεη α απηήλ ηελ πεξίπησζε ζρεδηάδεηαη ζην Σρήκα 3.. y =a y Σρήκα 3.: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε = a, γηα ζπλάξηεζε κε όξην ην +, όηαλ a. Παξάδεηγκα 3. Η f(), αν limf(), έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ α. Η γξαθηθή παξάζηαζε πνπ πεξηγξάθεη α απηήλ ηελ πεξίπησζε ζρεδηάδεηαη ζην Σρήκα 3.3.
y =a y Σρήκα 3.3: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε = a, γηα ζπλάξηεζε κε όξην ην -, όηαλ a. Παξάδεηγκα 3.3 Η f(), αν lim f() και lim f(), έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ α. Η γξαθηθή α α παξάζηαζε πνπ πεξηγξάθεη απηήλ ηελ πεξίπησζε ζρεδηάδεηαη ζην Σρήκα 3.4. y =a y Σρήκα 3.4: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε = a, γηα ζπλάξηεζε κε όξην ην -, όηαλ a - θαη ην +, όηαλ a +.
Παξάδεηγκα 3.4 Η f(), αν lim f() και lim f() λ, έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ α. Η γξαθηθή παξάζηαζε α α πνπ πεξηγξάθεη απηήλ ηελ πεξίπησζε ζρεδηάδεηαη ζην Σρήκα 3.5. y λ y Σρήκα 3.5: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε = a, γηα ζπλάξηεζε κε όξην ην +, όηαλ a - θαη ην ι όηαλ a +. Οδεγία γηα ηελ εύξεζε θαηαθόξπθσλ αζύκπησησλ Γηα λα βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο κηαο ζπλάξηεζεο, αλαδεηνύληαη ηα όξηα:. Σηα αλνηρηά πεπεξαζκέλα άθξα ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ.. Σηα ζεκεία δηακέξηζεο. Σηε ζπλέρεηα, εξκελεύεηαη γεσκεηξηθά ην απνηέιεζκα ηνπ νξίνπ.
Παξάδεηγκα 3.5 Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f: κε f() ln. Η f: νξίδεηαη όηαλ: Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε επζεία έρεη ζεκεία δηακέξηζεο.. Αλαδεηείηαη ην όξην ηεο f: ζην. Η ζπλάξηεζε απηή δελ lim και άξα: αλ ηεζεί t τότε lim t - όταν Δπνκέλσο: lim f() lim ln lim ln t t Οπόηε, ε είλαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο f. Παξάδεηγκα 3.6 Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f: κε f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ: και Άξα πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \,.
Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο νη επζείεο = θαη = -. Αλαδεηνύληαη ηα όξηα ηεο ζπλάξηεζεο ζηα αλνηρηά πεπεξαζκέλα άθξα ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ. Η ζπλάξηεζε απηή δελ έρεη ζεκεία δηακέξηζεο. Σπκπεξηθνξά ζην : Δίλαη: f() Βξίζθνληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην : αν lim lim lim f() Ακόμη lim αν lim lim lim f() Ακόμη lim Άξα, ε είλαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο f:. Σπκπεξηθνξά ζην -: Δίλαη: f() Βξίζθνληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην -: αν lim lim lim f() Ακόμη lim
αν lim lim lim f() Ακόμη lim Άξα, ε = -είλαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο f. 5-5 5-5 Σρήκα 3.6: Καηαθόξπθεο αζύκπηωηεο ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.6. Γεληθέο παξαηεξήζεηο α. Οη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο κπνξεί λα είλαη άπεηξεο. α β. Αλ είλαη,α, ηόηε είλαη βέβαην όηη ππάξρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε. γ. Αλ ππάξρεη απξνζδηνξηζηία /, πηζαλόλ λα ππάξρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε, αιιά κπνξεί θαη λα ζεκαίλεη απιά απνπζία κηαο πεπεξαζκέλεο ηηκήο (νπή) ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο. Σηελ πεξίπησζε ηεο νπήο, ε ζπλάξηεζε νξίδεηαη από ηελ Μηά πιεπξά ή εθαηέξσζελ ελόο ζεκείνπ αιιά όρη ζην ζεκείν απηό. Τνπιάρηζηνλ έλα από ηα πιεπξηθά όξηα ηεο ζπλάξηεζεο ζε Μηά νπή είλαη πεπεξαζκέλν. δ. Σηηο ξεηέο ζπλαξηήζεηο, πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο είλαη νη ξίδεο ηνπ παξνλνκαζηή. Μάιηζηα, αλ ν βαζκόο πνιιαπιόηεηαο θάπνηαο ξίδαο ηνπ παξνλνκαζηή είλαη κεγαιύηεξνο από ηνλ βαζκό πνιιαπιόηεηαο ηεο ίδηαο ξίδαο ηνπ αξηζκεηή, είλαη ζίγνπξα ε ξίδα απηή θαηαθόξπθε αζύκπησηε.
Γλσζηέο ζπλαξηήζεηο κε θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο Κάπνηεο ζπλεζηζκέλεο ζπλαξηήζεηο κε θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ζπλνςίδνληαη παξαθάησ: α α) f : f(),α, κε θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηε β)f:f() = ln, κε θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηε γ)f: f() = tan, κε θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηηο δ)f: f() = cot, κε θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηηο Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζπλαξηήζεσλ απηώλ, κε ηηο αζύκπησηέο ηνπο πεξηγξάθνληαη ζην Σρήκα 3.7. y y y y y y -π/ π/ 3π/ -π π 3π y y Σρήκα 3.7: Καηαθόξπθεο αζύκπηωηεο ηωλ ζπλαξηήζεωλ f()=a/, a>, f()=ln, f()=tan() θαη f()=cot(). Παξάδεηγκα 3.7
Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). 3 Η f: νξίδεηαη όηαλ 3 3 Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \ 3 Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε 3 αν 3 3 lim lim 3 3 3 3 lim f() 3 Ακόμη lim 7 3 αν 3 3 lim lim 3 3 3 3 lim f() 3 Ακόμη lim 7 3 Άξα, ε 3 είλαη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο f:. H γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο απηήο, κε ηελ θαηαθόξπθε αζύκπησηή ηεο, παξνπζηάδεηαη ζην Σρήκα 3.88 αξηζηεξά. 5-3 - -5 5 - -5 Σρήκα 3.8: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.7 (αξηζηεξά) θαη ηνπ παξαδείγκαηνο 3.8 (δεμηά).
Παξάδεηγκα 3.8 Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). 3 Λύζε Η f: νξίδεηαη όηαλ 3, Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \, Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο νη και. Έιεγρνο ηεο ζπκπεξηθνξάο ζην : f() limf() lim Η f: δελ έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ζην, αιιά ηξύπα ην ζεκείν,. Έιεγρνο ηεο ζπκπεξηθνξάο ζην. lim f() lim lim f() lim Δπνκέλσο, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο απηήο, κε ηελ θαηαθόξπθε αζύκπησηή ηεο, παξνπζηάδεηαη ζην Σρήκα 3.88 δεμηά.
Παξάδεηγκα 3.9 ln Να βξεζνύλ νη θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). ln Η f: νξίδεηαη όηαλ ln ln lne e Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,e e, Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο νη και e. Έιεγρνο ηεο ζπκπεξηθνξάο ζην : ln f() ln ln ln lim f() lim Ακόμη lim ln lim ln ln Η f: δελ έρεη αζύκπησηε ζην, αιιά νξηαθό ζεκείν ην,. Έιεγρνο ηεο ζπκπεξηθνξάο ζην e: Βξίζθνληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην e. αν e ln ln lim lim ln e ln e lim f() e Ακόμη lim ln e
αν e ln ln lim lim ln e ln e lim f() e Ακόμη lim ln e Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ e. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο απηήο, κε ηελ θαηαθόξπθε αζύκπησηή ηεο, παξνπζηάδεηαη ζην Σρήκα 3.99. e -5 5 - Σρήκα 3.9: Καηαθόξπθε αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.9.
3. Οξηδόληηεο Αζύκπησηεο Οξηζκόο Η επζεία y = ι, ζα ιέγεηαη νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο C f κηαο ζπλάξηεζεοf: αλ ηζρύεη: lim f() λ ή lim f() λ ή θαη ηα δύν. Οδεγία γηα ηελ εύξεζε νξηδνληίσλ αζύκπησησλ Γηα λα βξεζνύλ νη νξηδόληηεο αζύκπησηεο κηαο ζπλάξηεζεο: α) Βξίζθεηαη ην πεδίν νξηζκνύ θαη εμεηάδεηαη αλ έρεη έλλνηα ε αλαδήηεζε νξηδόληησλ αζύκπησησλ. β) Βξίζθνληαη ηα όξηα ζην θαη ζην μερσξηζηά. Αλ είλαη πεπεξαζκέλα, έρνπκε νξηδόληηεο αζύκπησηεο, αιιηώο δελ έρνπκε. Γεληθέο παξαηεξήζεηο α) Οη ξεηέο ζπλαξηήζεηο έρνπλ νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ ίδηα ζην θαη ζην, κόλν αλ ν βαζκόο ηνπ αξηζκεηή n n είλαη κηθξόηεξνο ή ίζνο ηνπ βαζκνύ ηνπ παξνλνκαζηή n d, θαη κάιηζηα: αλ n n <n d : ε ζπλάξηεζε έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε y α αλ n n =n d : ε ζπλάξηεζε έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y β κεγαιύηεξσλ δπλάκεσλ αξηζκεηή θαη παξνλνκαζηή., όπνπ α θαη β νη ζπληειεζηέο ησλ Αλ ν βαζκόο ηνπ αξηζκεηή είλαη κεγαιύηεξνο από ην βαζκό ηνπ παξνλνκαζηή, ε ξεηή ζπλάξηεζε δελ έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε. Αν y c φ() β) Η f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ και lim φ() y c γ) Δίλαη πηζαλό λα έρνπκε νξηδόληηεο αζύκπησηεο ζηηο απξνζδηνξηζηίεο,, λ λ δ) Γελ έρνπκε ζίγνπξα νξηδόληηεο αζύκπησηεο ζηηο απξνζδηνξηζηίεο, θαη ζηηο άιιεο εθηειέζηκεο πξάμεηο ησλ νξίσλ.
Παξάδεηγκα 3. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f: A B κε ηύπν. Να πξνζδηνξηζηνύλ νη νξηδόληηεο αζύκπησηέο ηεο. Η f: νξίδεηαη όηαλ. * Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Δίλαη: ( ) } Δπνκέλσο, ε y είλαη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην και. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3., αξηζηεξά. y=3-3 3-5 5 - - Σρήκα 3.:Οξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.(αξηζηεξά) θαη ηνπ 3.(δεμηά).
Παξάδεηγκα 3. 3 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f: A B κε ηύπν f : f(). Να πξνζδηνξηζηνύλ νη νξηδόληηεο αζύκπησηέο ηεο. Η f: νξίδεηαη όηαλ. Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \. Δίλαη: ρητή 3 lim f() lim 3 Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y 3 Καηόπηλ, ππνινγίδεηαη ε ζρεηηθή ζέζε κεηαμύ γξαθηθήο παξάζηαζεο θαη αζύκπησηεο: Δμεηάδεηαη πόηε f() 3 Όηαλ, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη 3 Οπόηε: f() 3 33 3 6 6, αδύλαην. Άξα, ε γξαθηθή παξάζηαζε βξίζθεηαη θάησ απ ηελ νξηδόληηα αζύκπησηε γηα. Όηαλ, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη 3 Οπόηε: f() 3 33 3 6 6, ηζρύεη! Άξα, ε γξαθηθή παξάζηαζε βξίζθεηαη πάλσ από ηελ νξηδόληηα αζύκπησηε γηα. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3., αξηζηεξά. Σεκείσζε: Η ζρεηηθή ζέζε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο σο πξνο ηελ νξηδόληηα αζύκπησηε βξίζθεηαη: α) Λύλνληαο ηελ αλίζσζε f() >ι β) Βξίζθνληαο ην πξόζεκν ηεο δηαθνξάο f() λ γηα πνιύ κεγάιεο ή πνιύ κηθξέο ηηκέο ηνπ.
Παξάδεηγκα 3. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f: A B κε ηύπν f : f(). Να πξνζδηνξηζηνύλ νη νξηδόληηεο αζύκπησηεο. Η f: νξίδεηαη όηαλ ή. Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,,. Η ζπλάξηεζε δελ έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην. Σην : Δίλαη: f() Δπεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη νπόηε. f() lim f() lim Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην, ηελ y. Σρεηηθή ζέζε αζύκπησηεο θαη γξαθηθήο παξάζηαζεο: Δμεηάδεηαη πόηε f()
Δπεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη. 4 4 αδύλαην. Άξα, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f: βξίζθεηαη θάησ από ηελ νξηδόληηα αζύκπησηε ζην παξάζηαζε θαη ε νξηδόληηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3.6.. Η γξαθηθή - y=.5 - - Σρήκα 3.6:Οξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3..
3.3 Πιάγηεο Αζύκπησηεο Οξηζκόο Μία επζεία ηζρύεη: y α β lim f() α β, ιέγεηαη πιάγηα αζύκπησηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο C f κηαο ζπλάξηεζεο f: αλ Εύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ κε βάζε ηνλ νξηζκό. Αλ ε ζπλάξηεζε γξάθεηαη εύθνια ζηε κνξθή y α β φ(), όπνπ lim φ(), ηόηε πιάγηα αζύκπησηε είλαη ε y α β δηόηη y α β φ() θαη lim y α β lim φ(). Μπνξεί θαλείο λα θηάζεη εύθνια ζε απηή ηε κνξθή κε δηάζπαζε, όηαλ ν παξνλνκαζηήο είλαη έλα κνλώλπκν ή κε δηαίξεζε πνιπσλύκσλ. Παξάδεηγκα 3.3 Να βξεζεί αλ ε ζπλάξηεζε f : f() έρεη πιάγηεο αζύκπησηεο. Η f: νξίδεηαη όηαλ. * Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Έρεη έλλνηα ε αλαδήηεζε πιάγηαο αζύκπησηεο. Δίλαη: f() Οπόηε: lim f() lim
Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ y. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3. αξηζηεξά. y=- -5 5-5 5 y=- - - Σρήκα 3.:Πιάγηα αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.3 (αξηζηεξά) θαη 3.4 (δεμηά). Παξάδεηγκα 3.4 Να βξεζνύλ νη πιάγηεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). * Πξνθαλώο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Δίλαη: f() Οπόηε: lim f() lim Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ y. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3.3 δεμηά.
Παξάδεηγκα 3.5 5 Να βξεζνύλ νη πιάγηεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). 3 * Πξνθαλώο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. 5 5 Δίλαη: f() f() 3 3 3 3 3 3 Οπόηε: 5 lim f() lim 3 3 3 5 Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην θαη ζην, ηελ y. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε 3 3 πιάγηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3.3 αξηζηεξά. 5 "y=" "5" -5 5 y=+4 - - -5 Σρήκα 3.3:Πιάγηα αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.5 (αξηζηεξά) θαη 3.6 (δεμηά).
Παξάδεηγκα 3.6 3 Να βξεζνύλ νη πιάγηεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Δθηειώ ηε δηαίξεζε: 3 4 4 4 3 4 8 3 Άξα: f() 4 f() 4 Οπόηε: lim f() 4 lim Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ y 4. Η γξαθηθή παξάζηαζε θαη ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3.3 δεμηά. Εύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ παξακεηξηθά από ηε κνξθή y α β Καηά ηε κέζνδν απηή, γίλεηαη ε ππόζεζε όηη ππάξρεη πιάγηα αζύκπησηε ηεο κνξθήο θαηόπηλ, ππνινγίδνληαη νη ζπληειεζηέο α θαη β κε ηε βνήζεηα ησλ ηύπσλ: y α β θαη Η απόδεημε ησλ ηύπσλ απηώλ πξνθύπηεη άκεζα από ηνλ νξηζκό ηεο πιάγηαο αζύκπησηεο
Παξάδεηγκα 3.7 Να βξεζνύλ νη πιάγηεο αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f() 3. Η f: νξίδεηαη όηαλ 3 3 ή 3. Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A, 3,. Σην : Έζησ y α β ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο f: 3 3 f() Αιιά επεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη, νπόηε. 3 Έηζη: f(). 3 α lim f() lim f() α 3 3 3 3 3 3 3 Αιιά επεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη, νπόηε.
Έηζη: f() α 3 3 3 3 β lim f() α lim 3 3 Δπνκέλσο, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην ηελ y. 3 Δμεηάδεηαη αλ f() όηαλ. Δίλαη: 3 3 3 3 3 3 Δπεηδή κπνξεί λα ππνηεζεί όηη. α α 3 3 4 4 αδύλαην. 3 3 Άξα f(), νπόηε ε C f : βξίζθεηαη θάησ από ηελ y ζην. Σην : Αλαδεηείηαη νξηδόληηα αζύκπησηε f() 3 3 3 3 Δπεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη, νπόηε. 3 3 f() 3 3 lim f() lim 3 3 3 3 Δπνκέλσο, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην ηελ y.
3 Δμεηάδεηαη αλ f() ζην. 3 3 3 3 3 Δπεηδή, κπνξεί λα ππνηεζεί όηη, νπόηε. α α 3 3 4 4 αδύλαην. 3 3 Άξα f(), νπόηε ε C f : βξίζθεηαη θάησ απ ηελ y ζην. Η γξαθηθή παξάζηαζε, ε νξηδόληηα θαη ε πιάγηα αζύκπησηε ηεο ζπλάξηεζεο παξνπζηάδνληαη ζην Σρήκα 3.4. "y=-" "3" /"" "y=" "3" /"" - - Σρήκα 3.4:Πιάγηα αζύκπηωηε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ παξαδείγκαηνο 3.7. Παξαηεξήζεηο
α) Μπνξεί λα πξνβιεθζεί ε ύπαξμε πιάγηαο αζύκπησηεο ζηηο ξεηέο ζπλαξηήζεηο. Μηα ξεηή ζπλάξηεζε, έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ ίδηα ζην,, κόλν αλ ν βαζκόο ηνπ αξηζκεηή ππεξβαίλεη ηνλ βαζκό ηνπ παξνλνκαζηή θαηά κία κνλάδα, θαη κάιηζηα ε πιάγηα αζύκπησηε ζα είλαη ην πειίθν ηεο δηαίξεζεο. Αλ ν βαζκόο ηνπ αξηζκεηή είλαη αθόκα κεγαιύηεξνο, δελ έρνπκε νύηε νξηδόληηα νύηε πιάγηα αζύκπησηε. Σεκείσζε: Σε κηα ξεηή ζπλάξηεζε ινηπόλ κπνξεί λα πξνβιεθζεί ακέζσο θάζε είδνο αζύκπησηεο. β) Πηζαλόλ λα έρνπκε πιάγηα αζύκπησηε ζε άξξεηεο ζπλαξηήζεηο, αλ ν βαζκόο ηνπο είλαη έλα. γ) Αλ κηα ζπλάξηεζε έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην ή ζην, ηόηε δελ έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε. δ) Αλ κηα ζπλάξηεζε έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην ή ζην, ηόηε δελ έρεη πιάγηα αζύκπησηε θαη αληίζηξνθα.
3.4 Γεληθά Παξαδείγκαηα Παξάδεηγκα 3.8 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ. Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην. για lim lim lim f() Ακόμη lim για lim lim lim f() Ακόμη lim Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ: Δθηειείηαη ε δηαίξεζε: Άξα f() Αθόκε: lim Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην θαη ζην ηελ y
Παξάδεηγκα 3.9 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Πξνθαλώο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. f() lim f() lim Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην θαη ζην ηελ y.
Παξάδεηγκα 3. sin Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). π Η f: νξίδεηαη όηαλ π π Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \ π. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε π. sin π sin sin π Άξα: f() π sin π lim f() lim π π π Η f: δελ έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε, αιιά ηξύπα π, Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ: ημ ημ f() π π π lim f() και : lim π Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ζην θαη ζην ηελ y.
Παξάδεηγκα 3. 3 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. Αλαδεηώ ηα πιεπξηθά όξηα ζην. για lim lim lim f() Ακόμη lim 3 για lim lim lim f() Ακόμη lim 3 Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ: Δθηειείηαη ε δηαίξεζε: 3 3 6 3 6 6 6
Άξα, f() 3 6 f() 3 6 Οπόηε: lim f() 3 6 lim Δπνκέλσο, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην ηελ y 3 6 Παξάδεηγκα 3. Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). * Πξνθαλώο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. lim Άξα: limf() lim Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ. f() Άξα: lim f() lim Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ y.
Παξάδεηγκα 3.3 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f() 3. * Πξνθαλώο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην. για lim Ακόμη lim 3 lim lim f() για lim Ακόμη lim 3 lim lim f() Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ: f() 3 Άξα: lim f() 3 lim Άξα, ε f: έρεη πιάγηα αζύκπησηε ζην ηελ y 3.
Παξάδεηγκα 3.4 3 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). 4 Η f: νξίδεηαη όηαλ 4 και Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR \,. Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο νη,. f() 3 Αλαδεηώ ηα πιεπξηθά όξηα ζην. f() 3 για lim lim lim f() 3 Ακόμη lim 4 για lim lim lim f() 3 Ακόμη lim 4 Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ.
Αλαδεηώ ηα πιεπξηθά όξηα ζην. f() 3 για lim lim lim f() 3 5 Ακόμη lim 4 για lim lim lim f() 3 5 Ακόμη lim 4 Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιάγησλ αζύκπησησλ: Δθηειώ ηε δηαίξεζε: 3 3 3 4 3 3 Άξα, f() 3 4 Αθόκε: 3 lim 4 Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y 3.
Παξάδεηγκα 3.5 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ ή Αξθεί: ή Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,,. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. f() lim lim Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Δύξεζε πιαγίσλ αζύκπησησλ: f() lim f() Δπνκέλσο, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y, στο.
Παξάδεηγκα 3.6 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ Αξθεί: ισχύει IR Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A IR. Δύξεζε πιαγίσλ αζύκπησησλ: f() lim f() lim Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y στο.
Παξάδεηγκα 3.7 3 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). Η f: νξίδεηαη όηαλ Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A, \. Πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε ε. f() 3 Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην. για lim lim lim f() Ακόμη lim 3 3 για lim lim lim f() Ακόμη lim 3 3 Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ.
Δύξεζε πιαγίσλ αζύκπησησλ: f() 3 3 lim f() 3 Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y 3στο. Παξάδεηγκα 3.8 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f() ln. Η f: νξίδεηαη όηαλ ή Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,,. Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηνη νη και. Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην. lim lim lim Ακόμη lim
Βάδσ: t lim t lim άρα t lim lnt άρα lim ln t νπόηε ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα ζην. lim lim lim Θέησ: t lim t lim άρα t lim ln t t άρα limf() Δπνκέλσο, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ Δύξεζε πιαγίσλ αζύκπησησλ: lim lim
lim f() lim ln ln lim ln Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y στο. Παξάδεηγκα 3.9 Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f() ln. Η f: νξίδεηαη όηαλ Αξθεί: Πεδίν νξηζκνύ ηεο f: ζα είλαη ην ζύλνιν A,. Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηνη νη και. Γηα lim Βάδσ: t lim t lim άρα t
limlnt άρα lim ln t νπόηε ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Γηα : Τν ηείλεη ζην κε ηηκέο κηθξόηεξεο ηνπ. για lim lim lim Ακόμη lim Βάδσ: t lim t lim άρα t lim ln t άρα limf() lim ln t t t νπόηε ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ. Η f: δελ έρεη πιάγηεο αζύκπησηεο, θαζώο δελ έρεη έλλνηα ε αλαδήηεζε ηνπ νξίνπ ηεο ζην. Παξάδεηγκα 3.3 ln Να βξεζνύλ νη αζύκπησηεο ηεο ζπλάξηεζεο f : f(). ln Η f: νξίδεηαη όηαλ: ln ln e * Δπνκέλσο, πεδίν νξηζκνύ ηεο f: είλαη ην ζύλνιν A IR \ e.
Πηζαλέο θαηαθόξπθεο αζύκπησηνη νη και e. Γηα : Τν ηείλεη ζην κε ζεηηθέο ηηκέο. lim ln ln ln f() ln ln ln ln Άξα: limf(). Δπνκέλσο, ε f: δελ έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ζην, αιιά ηξύπα. Γηα = e : Αλαδεηνύληαη ηα πιεπξηθά όξηα: e ln ln lim lim ln e ln lim f() e e Ακόμη lim ln e e ln ln lim lim ln e ln lim f() e e Ακόμη lim ln e Άξα, ε f: έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ e. Δπίζεο: ln lim lim ln ln ln Άξα, ε f: έρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ηελ y.
3.5 Φύιιν απηναμηνιόγεζεο 5 6. Η ζπλάξηεζε f() 4 έρεη: α) Μία νξηδόληηα αζύκπησηε β) Μία θαηαθόξπθε αζύκπησηε γ) Γύν νξηδόληηεο αζύκπησηεο δ) Γύν θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο. Η ζπλάξηεζε f() ln έρεη: α) Μία νξηδόληηα αζύκπησηε β) Μία θαηαθόξπθε αζύκπησηε γ) Γύν νξηδόληηεο αζύκπησηεο δ) Γύν θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο ln 3. Η ζπλάξηεζε f() ln 3 έρεη: α) Μία αζύκπησηε β) Γύν αζύκπησηεο γ) Τξείο αζύκπησηεο δ) Τέζζεξηο αζύκπησηεο 4 4. Η ζπλάξηεζε f() α) y = + 5 β) y = + 5 γ) y = + 4 δ) y = + έρεη πιάγηα αζύκπησηε ηελ: sin 5. Η ζπλάξηεζε f : f() π έρεη: α) Καηαθόξπθε αζύκπησηε ζην = -π β) Καηαθόξπθε αζύκπησηε ζην = γ) Οξηδόληηα αζύκπησηε ζην = ± δ) Πιάγηα αζύκπησηε ζην = ± a a a 6. Η ζπλάξηεζε f : f() b b b α) a = b β) a > b γ) a = b + δ) a = θαη b 3 3 έρεη πιάγηα αζύκπησηε αλ:
7. Η ζπλάξηεζε f(), γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ κπνξεί λα πξνζεγγηζηεί από ηελ επζεία: α) y = + β) y = - γ) y = + δ) y = - 8. Η ζπλάξηεζε α) y = - β) y = γ) y = + δ) y = + f() e, γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ κπνξεί λα πξνζεγγηζηεί από ηελ επζεία: 9. Η ζπλάξηεζε f() e /, γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ κπνξεί λα πξνζεγγηζηεί από ηελ επζεία: α) y = - β) y = γ) y = + δ) y = +. Η ζπλάξηεζε / f() e, γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ κπνξεί λα πξνζεγγηζηεί από ηελ επζεία: α) y = - β) y = γ) y = + δ) y = +