Στην διάταξη του σχήµατος () το οριζόντιο ελα τήριο έχει αµελητέα µάζα, φυσικό µήκος L και σταθερά k. Στις άκρες του είναι στερεωµένα δύο µικρά σφαιρίδια µαζών m και m, τα οποία εφάπτονται λείου οριζόντιου δαπέδου, ενώ ένα ορισµένο σηµείο του Ο έχει ακινητοποιηθεί µε την βοήθεια ενός καρφιού. Επιµηκύνουµε το ελατήριο εκτρέποντας οριζόντια κάθε σφαιρίδιο από την θέση ισορροπίας του κατά την ίδια απόσταση και αφήνου µε το σύστηµα ελεύθερο, οπότε διαπιστώνουµε ότι τα σφαιρίδια τα λαντεύονται ώστε οι αποστάσεις τους από το Ο να ελαχιστοποιούν ται ταυτόχρονα. Εάν L max, L min είναι η µέγιστη αντιστοίχως η ελά χιστη τιµή του µήκους του ελατηρίου, να βρεθεί η κινητική ενέρ γεια του συστήµατος, όταν το ελατήριο αποκτά το φυσικό του µήκος. ΛΥΣΗ: Όταν το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο τα δύο σφαιρίδια εκτελούν αρµονικές ταλαντώσεις του ίδιου πλάτους, αφου εκτράπηκαν κατά ίσες απο στάσεις από τις θέσεις ισορροπίας τους και της ίδιας περιόδου, αφού ταυτόχ ρονα ελαχιστοποιούνται οι αποστάσεις τους από το σηµείο Ο. Για την κοινή αυτή περίοδο Τ θα έχουµε: T = m k = m k m k = m k () Σχήµα όπου k, k οι σταθερές των δύο ελατηρίων στα οποία χωριζεται το οριζόντιο ελατήριο από το καρφί Ο. Για τον υπολογισµό των k, k φανταζόµαστε ότι τα ελατήρια σταθερών k. k, k τεντώνονται κατά την διεύθυνση του γεωµετ ρικού τους άξονα µε την ίδια δύναµη F. Επειδή τα τρία αυτά ελατήρια συγ κροτούνται από εντελώς όµοιες σπείρες η µονάδα µήκους αυτών θα υποστεί την ίδια επιµήκυνση, έστω x *. Έτσι, εάν ΔL, ΔL, ΔL είναι οι αντίστοιχες επιµηκύνσεις τους θα ισχύουν οι σχέσεις:
F=kΔL F=k(L +L )x * F=k ΔL F=k L x * F=k ΔL F=k L x * όπου L, L τα φυσικά µήκη των ελατηρίων µε σταθερές k, k. Aπό τις πιο πάνω σχέσεις έχουµε: και k(l +L )x * =k L x * k = k(l + L )/L = kl/l () k(l +L )x * =k L x * k = k(l + L )/L = kl/l (3) Συνδυάζοντας την () µε τις () και (3) παίρνουµε την σχέση: m L kl = m L kl m L = m L (4) Από την (4) και την L +L =L εύκολα προκύπτουν οι σχέσεις: L = m L/ ( m + m ) και L = m L/ ( m + m ) (5) Εξάλλου, αν Α είναι το κοινό πλάτος των αρµονικών ταλαντώσεων που εκτε λούν τα δύο σφαιρίδια θα έχουµε τις σχέσεις: L max = L + A " L min = L - A # (" ) L max - L min = 4A A = L max - L min 4 (6) H κινητική ενέργεια Κ max του συστήµατος, όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό του µήκος είναι ίση µε το άθροισµα των ολικών ενεργειών ταλάντω σης των δύο σφαιριδίων, δηλαδή ισχύει η σχέση: K max = k A + k A = A (6) ( k + k ) K max = K max = ( L - L max min) (),(3) ( k 3 + k ) ( L max - L min ) 3 # " kl L + kl (5) & L K max = ( L - L max min) 3 # "# kl( m + m ) m L ( ) + kl m + m m L & & ( K max = k L - L max min) 3 m + m ( ) m m
P.M. fysikos Στο κύκλωµα του σχήµατος (α) οι διακόπτες Δ και Δ είναι ανοικτοί, οι πυκνωτές χωρητικοτήτων C και C φέρουν αντίστοιχα φορτία Q και Q τo δε πηνίο είναι ιδανικό µε συντελεστή αυτεπαγωγής L. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή του χρόνου κλείνουν και οι δύο διακόπτες. i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο τα ρεύµατα στους κλά δους των πυκνωτών. ii) Nα βρείτε σε συναρτηση µε τον χρόνο τον ρυθµό µεταβολής της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου. ΛΥΣΗ: i) Με το κλείσιµο των διακοπτών Δ και Δ οι πυκνωτές σε πρώτο στάδιο εκφορτίζονται µέσω του πηνίου µε αποτέλεσµα στο κύκλωµα να προκύπτουν τα ρευµατα i L, i, i τα οποία συµφωνα µε τον ο κανόνα του Kirchoff ικανοποιούν την σχέση: i L = i + i () Eάν q, q είναι τα ηλεκτρικά φορτία των πυκνωτών ύστερα από χρόνο t αφότου κλείσουν οι δύο διακόπτες και U K η αντίστοιχη κοινή τάση στις άκρες τους θα έχουµε τις σχέσεις: q = C U K και q = C U K Σχήµα (α) Σχήµα (β) Σχήµα (γ) από τις οποίες προκύπτουν ότι οι µεταβολές των q, q, U K µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt είναι: dq = C du K " dq = C du K # ( ) ( ) dq /dt = C du / dt K # " dq /dt = C du K / dt # i /C i /C = du K / dt " = du K / dt# i C = i C () Aπό την λύση του συστήµατος των () και () προκύπτουν οι σχέσεις:
i = C i L C + C και i = C i L C + C (3) Εξάλλου το ρεύµα i L που διαρρέει το πηνίο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµ φωνα µε την σχέση: i L = Q 0 "#(t + /) =- ( Q + Q )&µ (t) (4) όπου Q 0 το ηλεκτρικό φορτίο του ισοδύναµου πυκνωτή χωρητικότητας C oλ = C +C την στιγµή t=0 που κλείνουν οι διακόπτες, ίσο µε Q +Q και ω η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος L-C ολ για την οποία ισχύει: = / LC 0 = / L( C + C ) (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) µε την (4) παίρνουµε τις ζητούµενες σχέσεις: i = - C Q ( + Q ) "µ (t) και i C + C = - C ( Q + Q ) ( ) C + C "µ t ii) Η ενέργεια W L του µαγνητικού πεδίου του πηνίου την τυχαία χρονική στιγµή t είναι Li L / και ύστερα από πολύ µικρό χρόνο dt θα γίνει ίση µε L(i L +di L ) /, δηλαδή µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt θα µεταβληθεί κατά dw L και θα ισχύει: dw L = L ( i + di L L) ( ) - Li L = L i L + i L di L + di L - i L dw L = Ldi L ( i L + di L ) Li L di L dw L dt Li L di L dt (6) δίοτι di L 0. Όµως η ταχύτητα µεταβολής di L /dt του ρεύµατος i L µεταβάλλε ται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: di L dt = - Q 0 "µ (t + #/) = - ( Q + Q )&(t) (7) H (6) λόγω των (4) και (7) γράφεται: dw L dt = L 3 ( Q + Q ) "#(t)µ (t) ( ) dw L dt = L 3 Q + Q "µ ( t ) (8) όπου το διαφορικό πηλίκο dw L /dt αποτελεί τον ρυθµό µεταβολής της ενέρ γειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου την χρονική στιγµή t (στιγµιαία ισχύς του πηνίου). P.M. fysikos
Ένας γραµµικός ταλαντωτής µάζας m, εκτρέπε ται από την θέση ισορροπίας του κατά Α 0 και όταν αφήνεται ελεύ θερος εκτελεί φθίνουσα αρµονική ταλάντωση, µε αποτέλεσµα το αρχικό του πλάτος να υποδιπλασιάζεται σε χρόνο t * αφ ότου άρχι σε η κίνησή του. Ο ίδιος ταλαντωτής εκτελεί εξαναγκασµένη αρµο νική ταλάντωση σταθερού πλάτους Α όταν συνδεθεί προς εξωτε ρικό διεγέρτη, κατά την εξέλιξη της οποίας η αποµάκρυνσή του x από την θέση ισορροπίας µεταβάλλεται µε τον χρόνο σύµφωνα µε την σχέση x=aηµωt, όπου ω η κυκλική συχνότητα του διεγέρτη. i) Eάν ο ταλαντωτής δέχεται τόσο κατά την φθίνουσα όσο και κατά την εξαναγκασµένη ταλάντωση δύναµη τριβής αντίρροπή της ταχύ τητάς του, της οποίας το µέτρο είναι ανάλογο προς το µέτρο της ταχύτητάς, να εκφράσετε την ισχύ της δύναµης τριβής κατά την εξαναγκασµένη ταλάντωση, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ii) Πόση είναι η ισχύς της δύναµης τριβής κατά την φθίνουσα ταλάντωση την χρονική στιγµή t * και πόση η αντίστοιχη επιτάχυν σή του; Δίνεται η ιδιοσυχνότητα ω 0 του ταλαντωτή. ΛΥΣΗ: i) H ισχύς P F της δύναµης τριβής F, κατά µια τυχαία στιγµή t που η ταχύτητα του αρµονικού ταλαντωτη είναι v, υπολογίζεται από την σχέση: P ( ) = -bvv = -bv () = F v F όπου b η σταθερά απόσβεσης του ταλαντωτή. Eπειδή η αποµάκρυνση του τα λαντωτή κατά την εξαναγκασµένη ταλάντωσή του είναι της µορφής x= Αηµωt, η ταχύτητά του θα είναι v=αωσυνωt, οπότε η () γράφεται: P F = -ba "# (t) () Επειδή η αρχική ταχύτητα του ταλαντωτή κατά την φθίνουσα αρµονική ταλάντωσή του είναι µηδενική, η τιµή Α 0 αποτελεί την πρώτη µέγιστη τιµή (πλάτος) της αποµάκρυνσής του x(t). Εξάλλου, σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος η τιµή Α 0 / αποτελεί επίσης µέγιστη τιµή της x(t) η οποία αντιστοιχεί την χρονική στιγµή t * που προφανώς καλύπτει ακέραιο αριθµό ταλαντώσεων και θα ισύει η σχέση: A 0 / = A 0 e -bt 0 /m - = e -bt * /m η οποία µε λογαρίθµηση των δύο µελών της δίνει: -ln = -bt * / m b = mln4/t * (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: P F = - ( mln4/t *) A "# t (4)
ii) Eπειδή κατά την την φθίνουσα ταλάντωση του γραµµικού ταλαντωτή η αποµάκρυνσή του x(t) παρουσιάζει την χρονική στιγµή t * µέγιστη τιµή ίση µε Α 0 /, η αντίστοιχη ταχύτητά του είναι µηδενική και σύµφωνα µε την σχέση () µηδενική θα είναι και η αντίστοιχη ισχύς της δύναµης τριβής. Εξάλλου ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει για τον ταλαντωτή την χρονική στιγµή t * την σχέση: ma(t * ) = -Dx(t * ) - bv(t * ) ma(t * ) = -m 0 A 0 / - b"0 a(t * ) = - 0 A 0 / όπου D=mω 0 η σταθερά επαναφοράς του ταλαντωτή, a(t * ) η ζητούµενη επι τάχυνσή του, ενώ η αποµάκρυνσή του x(t * ) είναι Α 0 /, η δε ταχύτητά του v(t * ) είναι µηδενική. P.M. fysikos Σε κύκλωµα L-C παραγωγής ηλεκτρικών ταλαν τώσεων το πηνίο παρουσιάζει ωµική αντίσταση R, µε αποτέλεσµα τα διαδοχικά πλάτη (µέγιστες τιµές) του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή να µειώνονται κατά περιοδικό τρόπο. Κατ αναλογία προς την φθίνουσα αρµονική ταλάντωση ενός γραµµικού ταλαντωτή τα διαδοχικά πλάτη Q, Q, Q n, του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή ακολουθούν τις σχέσεις: Q Q = Q Q 3 =... Q n Q n =... = e RT/L (α) όπου Τ η περίοδος εµφάνισης των πλατών αυτών και e η βάση των νεπέρειων λογαρίθµων. Eάν ΔE n είναι η ενέργεια που χάνει το κύκ λωµα στην διάρκεια της n-στής περιόδου και E n- η ολική ενέργειά του κατά την έναρξη της περιόδου αυτής, να δείξετε την σχέση: E n E n- = - e - RT/L (β) ΛYΣH: Eάν E n- είναι ολική ενέργεια του κυκλώµατος κατά την έναρξη της n-στής περιόδου της ταλάντωσης και E n η αντίστοιχη ενέργεια στο τέλος της περιόδου αυτής, τότε η απώλεια ενέργειας ΔΕ n του κυκλώµατος κατά την n- στή περίοδο είναι: E n = E n- - E n E n E n- = - E n E n- () Επειδή στην αρχή και το τέλος της n-στής περιόδου το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή παρουσιάζει τοπικά µέγιστα οι αντίστοιχες τιµές του ρεύµατος στο κύκλωµα L-C είναι µηδενικές που σηµαίνει ότι οι ενέργειες E n- και E n
αποτελούν τις αντίστοιχες ενέργειες του ηλεκρικού πεδίου του πυκνωτή, δηλαδή θα έχουµε τις σχέσεις: E n- = Q n- /C " E n = Q n /C # (:) E n E n- = Q n = Q n- # " Q n Q n- & () όπου Q n-, Q n είναι οι µέγιστες τιµές (πλάτη) του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή στην αρχή και στο τέλος της n-στής περιόδου. Όµως τα ηλεκτρικά αυτά φορτία σύµφωνα µε τις δοθείσες σχέσεις (α) ικανοποιούν την σχέση: Q n- /Q n = e RT/L ( Q n /Q n- ) = e - RT/L (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: E n = e - RT/L - E () n = - e - RT/L E n- E n- E n E n- = - e - RT/L (4) Παρατήρηση: Aν δεχθούµε ότι η φθίνουσα ταλάντωση παρουσιάζει ασθενή απόσβεση, τότε αποδεικνύεται ότι η περίοδος Τ είναι περίπου ίση µε την ιδιο περίοδο Τ 0 του κυλώµατος L-C και η σχέση (4) παίρνει την µορφή: E n E n- = - e - RT 0/L = - e - R/" 0L (5) όπου ω 0 η κυκλική ιδιοσυχότητα του κυκλώµατος. Όµως από τον απειροστι κό λογισµό είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f(x)=e -x αναπτυσσόµενη κατά Mac laurin δίνει: e -x = - x + x - x3 3 +... η οποία για x<< µε καλή προσέγγιση γράφεται: e -x - x Λόγω της ασθενούς απόσβεσης µπορούµε να δεχθούµε ότι πr<<ω 0 L, οπότε µε βάση την παραπάνω σχέση θα έχουµε: - e - RT 0 /L - + "R/# 0 L "R/# 0 L και η (5) γράφεται: E n E n- "R/# 0 L (6) Όµως ισχύει 0 =/ LC και η (6) παίρνει την µορφή:
E n "R E n- L LC "R C L P.M. fysikos Ένας γραµµικός ταλαντωτής εκτελεί εξαναγκασ µένη αρµονική ταλάντωση σταθερού πλάτους υπό την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναµής της µορφής F=F 0 ηµωt όπου F 0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. Στην διάρκεια της κίνησής του ο ταλαντωτής δέχεται δύναµη τριβής T που περιγράφεται από την σχέση T =- b v, όπου b η σταθερά απόσβεσης του ταλάντωτή και v η ταχύτητά του. i) Nα δείξετε ότι ανάµεσα στην αποµάκρυνση του ταλαντωτή και στην δύναµη F υπάρχει διαφορά φάσεως φ, η οποία υπολογίζεται από την σχέση: "" = b# ( ) m - 0 όπου m η µάζα και ω 0 η κυκλική ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. ii) Eάν είναι ω=ω 0 να δείξετε ότι κάθε στιγµή η ισχύς της δύναµης F είναι αντίθετη της ισχύος της τριβής. ΛΥΣΗ: i) Tο σφαιρίδιο του σχήµατος () κινείται επί λείου οριζόντιου δαπέ δου δεχόµενο την επίδραση εξωτερικού διεγέρτη που του εξασκεί περιοδική δύναµη της µορφής F=F 0 ηµωt. Ακόµα το σφαιρίδιο δέχεται µέσω ιδανικού ελατηρίου δύναµη επαναφοράς F ε = mω 0 x, όπου x η αποµάκρυνσή του (αλ γεβρική τιµή) από την θέση ισορροπίας του Ο και δύναµη τριβής (π.χ. αντί Σχήµα σταση από τον αέρα) της µορφής F τρ =-bv, ενώ το βάρος του αναιρείται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου οριζόντιου δαπέδου. Eάν a είναι η επιτά χυνση του σφαιριδίου (αλγεβρική τιµή) κατά την τυχαία χρονική στιγµή t, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: F 0 µ"t - m" 0 x - bv = ma () Υπό την επίδραση όλων των παραπάνω δυνάµεων το σφαιρίδιο τελικά θα εκτελεί εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση κυκλικής συχνότητας ω και
έστω ότι η αποµάκρυνσή του x µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: x = Aµ ("t + #) () όπου Α το σταθερό πλάτος της ταλάντωσης και φ η φάση της αποµάκρυνσης την χρονική στιγµή t=0. Tότε η ταχύτητα v και η επιτάχυνση a του σφαιρι δίου (αλγεβρικές τιµές) θα εκφράζονται µε τις σχέσεις: ( ) ( ) v = A"# t + a = -A "µ t + Έτσι η σχέση () γράφεται: # & F 0 µ"t-m" 0 Aµ ("t + #) - ba""# ( t + )=- ma" µ ( t + ) F 0 µ"t - ma (" 0 - " )µ ("t + #) - ba""# ( t + ) = 0 (4) H (4) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t=π/ω δίνει: (3) 0 - ma ( 0 - )"µ# - ba"## = 0 "" = b# m - 0 ( ) (5) ii) Εάν η κυκλική συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση µε την κυκλική ιδιο συχνότητα του ταλαντωτη, τότε διακρίνουµε τις εξής δύο περιπτώσεις: α) Η ω τείνει προς την τιµή ω 0 εκ µεγαλυτέρων τιµών ( " + 0). Στην πε ρίπτωση αυτή η (5) δίνει "" +", δήλαδή " /, οπότε η (4) γράφε ται: F 0 µ 0 t - 0 - ba 0 "#( 0 t + " / ) = 0 F 0 µ 0 t - ba 0 (-µ 0 t) = 0 A = -F 0 / b 0 < 0 (6) η οποία δεν είναι αποδεκτή, δηλαδή η σχέση " / απορρίπτεται. β) Η ω τείνει προς την τιµή ω 0 εκ µικροτέρων τιµών ( " # 0). Τότε η (5) δίνει "" -" δήλαδή -" /, και η (4) γράφεται: F 0 µ 0 t - ba 0 "#( 0 t - " / ) = 0 F 0 µ 0 t - ba 0 (µ 0 t) = 0 A =F 0 / b 0 > 0 (7) η οποία είναι αποδεκτή. Εξάλλου η ισχύς απωλειών του ταλαντωτή την τυχαία χρονική στιγµή t υπολογίζεται από την σχέση: P "# = T & v = -bvv = -bv
P "# = -ba # 0 "# ( 0 t - " / ) = -ba # 0 µ 0 t (8) H αντίστοιχη ισχύς της δύναµης του διεγέρτη είναι: (7) P F = Fv = F 0µ 0 t"a 0 "#( 0 t - # / ) P F = Ab 0 µ 0 t"a 0 µ 0 t = ba # 0 µ 0 t (9) Aπό (8) και (9) προκύπτει η αποδεικτέα σχέση P F = -P "#. P.M. fysikos Σε κύκλωµα σειράς R-L-C η χωρητικότητα του πυκνωτή µπορεί να µεταβάλλεται στο διάστηµα (0, +). Όταν το κύκλωµα τροφοδοτείται στις άκρες του µε τάση της µορφής: U=U 0 ηµωt όπου U 0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες, τότε στο κύκλωµα εξελίσσεται εξαναγκασµένη ηλεκτρική ταλάντωση, δηλαδή το κύλω µα διαρρέεται µε αρµονικά εναλλασσόµενο ρεύµα κυκλικής συχνό τητας ω. Αποδεικνύεται ότι το πλάτος Ι 0 του ρεύµατος ικανοποιεί την σχέση: I 0 = U 0 ( ), 0 < C < +" (α) R + L - /C i) Nα σχεδιάσετε µε ελευθερη εκτίµηση την γραφική παράσταση της (α) και να δείξετε ότι είναι δυνατό για δύο διαφορετικές χωρη τικότητες του πυκνωτή το πλάτος του ρεύµατος να παρουσιάζει την ίδια τιµή. ii) Eάν C, C είναι οι τιµές της χωρητικότητας του πυκνωτή για τις οποίες το πλάτος του ρεύµατος είναι ίσο µε το / της µέγι στης τιµής που µπορεί να λάβει, να δείξετε την σχέση: /C + /C = L (β) ΛYΣH: i) Από την δοθείσα σχέση (α) προκύπτουν τα εξής: Για C 0 ισχύει I 0 0, που σηµαίνει ότι η γραφική παράσταση της Ι 0 =f(c) τείνει στην αρχή των αξόνων. Για C = / L ισχύει I 0 = U 0 / R = max, δηλαδή η Ι 0 =f(c) παρουιάζει τοπικό µέγιστο του οποίου η τιµή είναι I max = U 0 / R.
Για C + " ισχύει I 0 U 0 / R + " L, δηλαδή η η γραφική παράσταση της Ι 0 =f(c) τείνει ασυµτωτικά στην τιµή I * = U 0 / R + L. Με βάση τα παραπάνω η κατ ελεύθερη εκτίµηση γραφική παράσταση της Ι 0 =f(c) έχει την µορφή του σχήµατος (3). Παρατηρούµε ότι σε κάθε τιµή της Ι 0 που ικανοποιεί την σχέση I * < I 0 < I max αντιστοιχούν δύο τιµές της χωρητικότητας του µεταβλητού πυκνωτή. Αυτό συµβαίνει όταν ισχύει: Σχήµα 3 U 0 ( ) < R + L R + L - /C < U 0 U 0 R R < R + (L - /C) < R + L 0 < (L - /C) < L / C - L/C < 0 /C < L C > / L () H () αποτελει κατά κάποιο τρόπο συνθήκη για να συµβαίνει I * < I 0 < I max. ii) Aς αναζητήσουµε τις τιµές C και C της χωρητικότητας C για τις οποίες έχουµε την σχέση: I 0 = I (" ) max U 0 ( ) = R + L - /C U 0 R R + (L - /C) = R (L - /C) = R L - /C = ±R /C = L ± R /C 0 - /C = ± R ()
όπου τέθηκε C 0 =/ω R. Eάν είναι C=C <C 0 τότε η () είναι δεκτή µε το πρό σηµο (-), ενώ για C=C >C 0, τότε η () είναι δεκτή µε το πρόσηµο (+). Έτσι θα έχουµε τις σχέσεις: /C 0 - /C = -R" # /C 0 - /C = R (+ ) C + C = C 0 C + C = L (3) Παρατήρηση: O αναγνώστης εύκολα µπορεί να αποδείξει ότι οι χωρητικότη τες C και C ικανοποιούν την (), εφόσον τα στοιχεία R, L και ω του κυκλω µατος δεσµεύονται µε την σχέση ωl>r. P.M. fysikos Δυο χορδές µεγάλου µήκους από διαφορετικά υλικά είναι ενωµένες στο σηµείο O και το σύστηµα αποτελεί µια οριζόντια τεντωµένη χορδή. Tο σηµείο O τίθεται σε εγκάρσια αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση αποµάκρυνσης της µορφής: y (O) =A ηµπt/τ όπου Α, Τ θετικές και σταθερές ποσότητες, οπότε δηµιουργούνται πάνω στο σύστηµα των δύο χορδών δύο αρµονικά κύµατα που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις µε ταχύτητες v, v για τις οποίες ισχύει v >v. i) Θεωρώντας ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων επί της χορδής το σηµείο Ο και θετική φορά την προς τα δεξιά του Ο, να σχεδιάσετε το διάγραµµα κατανοµής των φάσεων αποµάκρυνσης των σηµείων της χορδής κατά την χρονική στιγµή t=t. ii) Εάν στις θέσεις v T και -v Τ της χορδής θεωρήσουµε δύο πολύ µικρά τµήµατα αυτής ίσου µήκους, να συγκρίνετε τις κινητικές τους ενέργειες κατά µια xρονική στιγµή t>t. Δίνεται ότι η τείνου σα την χορδή δύναµη έχει σε οποιοδήποτε σηµείο της µέτρο F που ικανοποιεί την σχέση F=µv, όπου µ η γραµµική πυκνότητα της χορδής στο σηµείο αυτό και v η αντίστοιχη ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. ΛΥΣΗ: i) Το σηµείο Ο σύνδεσης των δύο τεντωµένων χορδών αποτελεί πηγή δηµιουργίας δύο αρµονικών κυµάτων, από τα οποία το ένα διαδίδεται µε ταχύτητα v κατα µήκος της χορδής που βρίσκεται δεξιά του Ο και το άλλο διαδίδεται µε ταχύτητα v επί της χορδής που βρίσκεται αριστερά του Ο. Oι κυµατοσυναρτήσεις που περιγράφουν τα δύο αυτά κύµατα έχουν την µορφή: και y + = Aµ " t T - x & ) / 0 x v # t () (
y = A"µ # t T - x ( * / -v t x 0 () & ) όπου λ =v T, λ =v T τα µήκη κύµατος των αρµονικών κυµάτων που διαδί δονται στο δεξιό αντιστοίχως στο αριστερό τµήµα της χορδής. Για t=τ οι σχέσεις () και () δίνουν: και y + = Aµ " T T - x & ) =Aµ " - "x & ) = -Aµ "x & ), 0 * x * # # ( # ( # (3) ( y = A"µ # T T - x ( * =A"µ #+ #x ( * =A"µ #x ( *, - + x+ 0 (4) & ) & ) & ) Οι γραφικές παραστάσεις των (3) και (4) είναι η κόκκινη και η πράσινη αντι στοίχως ηµιτονοειδής καµµύλη του σχήµατος (4). H φάση αποµάκρυνσης των σηµείων της χορδής εκφράζεται µε τις συναρτή σεις: + = " t T - x & ), 0 * x * v # t (5) ( και " = # t T - x ( *, - v t + x + 0 (6) & ) Για t=τ οι σχέσεις (5) και (6) δίνουν: Σχήµα 4 και + = " T T - x & # ( ) = " - x & # ), 0 * x * # (7) (
" = # T T - x ( & ) * = # + x ( & *, - + x + 0 (8) ) Οι γραφικές παραστάσεις των (7) και (8) είναι η κόκκινη και η πράσινη αντι στοίχως ευθεία γραµµή του σχήµατος (4). ii) Εάν θεωρήσουµε δύο πολύ µικρά τµήµατα µήκους dx της χορδής στις θέσεις x =λ =v T και x =-λ =-v T, oι κινητικές τους ενέργειες ΔΚ και dk κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t θα είναι: dk = dm v / = µ dxu / " dk = dm v / = µ dxu / # (:) dk = µ u dk µ u (9) όπου µ, µ οι γραµµικές πυκνότητες του δεξιού και αριστερού τµήµατος αντιστοίχως της χορδής. Για τις ταχύτητες ταλάντωσης u, u των τµηµάτων αυτών την χρονική στιγµή t ισχύουν οι σχέσεις: και u = A T "# & t T - ) ( * + =A T "# & ( t T - ) + * u = A T "# & t T - - ) ( * + =A T "# & ( t T - ) + * δηλαδή είναι u =u, οπότε η (9) δίνει: dk = µ dk = F / v dk µ dk F / v = v v < P.M. fysikos Δύο σηµεία O, O της ελεύθερης επιφάνειας νε ρού που ηρεµεί, αποτελούν σύγχρονες πηγές αρµονικών κυµάτων. Tα κύµατα αυτά θεωρούνται εγκάρσια µε κοινό σταθερό πλάτος A, η περίοδός τους είναι Τ και το µήκος κύµατός τους λ. Θεωρούµε ακόµη ότι κατά την έναρξη ταλάντωσης των δύο πηγών (t=0), αυτές έχουν µηδενική φάση αποµάκρυνσης. i) Ένα µικρό τεµάχιο φελλού µάζας m, βρίσκεται σε σηµείο Μ της ελεύθερης επιφάνειας του νερού και λόγω των κυµάτων που δηµι ουργούν οι πηγές ταλαντεύεται η δε φάση της αποµάκρυνσής του µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε το διάγραµµα του σχήµα τος (5). Nα βρείτε τις αποστάσεις του φελλού από τις δύο πηγές αν είναι γνωστό ότι η το σηµείο Μ ανήκει σε περιττής τάξεως ενισχυ τικό κροσσό συµβολής. ii) Nα βρείτε την κινητική ενέργεια του φελλού κατά τις χρονικές στιγµές 4Τ και 8Τ.
ΛΥΣΗ: i) Από το διάγραµµα της φάσεως αποµάκρυνσης του φελλού µε τον χρόνο (σχ. 5) παρατηρούµε τα εξής: A) Από την στιγµή t=0 έως την στιγµή t=3τ καµιά κυµατική διαταραχή δεν έχει φθάσει στον φελλό. Β) Την χρονική στιγµή t=3t φθάνει στον φελλό η κυµατική διαταραχή από την πλησιέστερη προς αυτόν πηγή η δε φάση της αποµάκρυνσής του αυξάνει γραµµικά µε τον χρόνο από την τιµή µηδέν στην τιµή 6π, την οποία λαµβά νει την χρονική στιγµή t=6t. H συνάρτηση που περιγράφει την µεταβολή αυτή της φάσεως είναι της µορφής: (t) = " t +#, 3T t 6T Σχήµα 5 Σχήµα 6 όπου οι συντελεστές α, β θα βρεθούν από τις σχέσεις: 0 = 3T +" 6# = 6T +" & = - 3" T 6# = " 6T + & = "/T # = -6" & Άρα για την συνάρτηση φ (t) έχουµε: (t) = "t/t - 6" = " ( t/t - 3), 3T # t # 6T () Εξάλλου η αντίστοιχη συνάρτηση αποµάκρυνσης του φελλού έχει την µορ φή: y (t) = Aµ " t T - r & ), 3T * t * 6T () # ( όπου r η απόσταση του φελλού από την πλησιέστερη προς αυτόν πηγή. Από την συνάρτηση αυτή προκύπτει ότι η φάση φ (t) µπορεί να εκφρασθεί και µε την σχέση: (t) = " t T - r & ), 3T * t * 6T (3) # (
Από την σύγκριση των () και (3) έχουµε: r / = 3 r = 3 (4) Γ) Την χρονική στιγµή t=6t προκύπτει µια απότοµη πτώση της φάσεως αποµάκρυνσης του φελλού στην τιµή µηδέν και στην συνέχεια γραµµική αύξηση αυτής, που σηµαίνει ότι την στιγµή t=6t φθάνει στον φελλό και η κυµατική διαταραχή από την πιο απόµακρη προς αυτόν πηγή, οπότε στην θέση του φελλού αρχίζει η συµβολή των κυµάτων που εκπορεύονται από τις πηγές Ο και Ο. Η συνάρτηση που περιγράφει την µεταβολή της φάσεως αποµάκρυνσης του φελλού για t 6T έχει την µορφή: (t) = " t +#, t 6T όπου οι συντελεστές α, β θα βρεθούν από τις σχέσεις: 0 = 6T +" # = T +" & = - 6" T # = 6" T + & = "/T # = -" & Άρα για την συνάρτηση φ (t) έχουµε: (t) = "t/t - " = " ( t/t - 6), t # 6T (5) Η συνάρτηση αποµάκρυνσης του φελλού λόγω συµβολής έχει την µορφή: & y (t) = A"# r - r ) & ( +,µ t * T - r + r ) ( +, t - 6T (6) * όπου r η απόσταση του φελλού από την πιο απόµακρη προς αυτόν πηγή. Όµως ο φελλός βρίσκεται επί ενισχυτικού κροσσού συµβολής περιττής τάξε ως, οπότε οι αποστάσεις r, r θα ικανοποιούν την σχέση: r - r = k, µε k=±, ±3, ±5,... µε αποτέλεσµα η (6) να γράφεται: y (t) = A"# ( k )µ t T - r + r * ), = -Aµ t ( & + T - r + r * ), ( & + y (t) = Aµ " t T - r + r & # + ) ( * y (t) = Aµ " t T - r + r, & + # - - ) /, t 0 6T (7) (. Από την (7) προκύπτει ότι η φάση φ (t) αποµάκρυνσης του φελλού µε την έναρξη της συµβολής σ αυτόν µπορεί να εκφρασθεί και µε την σχέση:
* (t) = " t T - r + r - -, & ) /, t 0 6T (8) + # (. Συγκρίνοντας την (8) µε την (5) παίρνουµε: r + r - = 6 r + r = - 3 (4) r + r = 3 3 + r = 3 r = 0 ii) Για 3T t 6T η ταχύτητα ταλάντωσης του φελλού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: v (t) = A T "# t & T - 3 ( * ) t=4t v (4T) = A T "# 4T & T - 3 ( * = A ) T oπότε η κινητική ενέργει του φελλού την χρονική στιγµή t=4t είναι: K (4T) = mv (4T) = m " A # T & = m A T Eξάλλου η σχέση (7) γράφεται: * y (t) = Aµ " t T - 3# # - -, & ) + (. / = Aµ" & t T - 6 ), t 0 6T ( oπότε η νέα ταχύτητα ταλάντωσης του φελλού θα δίνεται από την σχέση: v (t) = A T "# t & T - 6 ( * ) t=8t v (8T) = A T "# 8T & T - 6 ( * = 4A ) T H κινητική ενέργεια του φελλού την χρονική στιγµή t=8t είναι: K (8T) = mv (8T) = m " 4A # T & = 8m A T P.M. fysikos Kατά µήκος µιας τεντωµένης χορδής διαδίδον ται δύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα του ίδιου πλάτους Α του ίδιου µήκους κύµατος λ και περιόδου Τ. Οι κατευθύνσεις διάδοσης των δύο κυµάτων είναι αντίθετες και τα στιγµιότυπά τους την χρονική στιγµή t=0 είναι όπως στο σχήµα ( 7).
i) Να βρείτε την κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει την εγκάρσια κίνηση των σηµείων της χορδής, λαµβάνοντας ως αρχή των αποστά σεων το σηµείο Ο και ως θετική φορά την προς τα δεξιά. ii) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της φάσεως αποµάκρυν σης των σηµείων της χορδής την χρονική στιγµή t=3t/4 καθώς και το αντίστοιχο στιγµιότυπο της χορδής. ΛΥΣΗ: i) Aπό τα στιγµιότυπα των δύο κυµάτων την χρονική στιγµή t=0 (σχ. 7) προκύπτουν τα εξής: To κύµα που διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα των τετµη µένων x x περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση: y (x,t)= Aµ " t T - x & ), x * #t / T () #( Σχήµα 7 To κύµα που διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα x x περιγ ράφεται από την κυµατοσυνάρτηση: y (x,t) = Aµ " t T + x & ), x * -#t / T () #( Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει την κίνηση οποιουδήποτε σηµείου της χορδής, είναι κάθε στιγµή ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των y (t,x) και y (t,x), δηλαδή ισχύει η σχέση: y " (x,t)= y (x,t) + y (x,t) (3) Στην περιοχή λt/t x λt/τ όπου συµβάλλουν την χρονική στιγµή t τα δύο κύµατα η (3) δίνει: y " (x,t) = A#µ t T - x # " " & + A#µ t T + x # " " & (4) H (4) µε βάση την τριγωνoµετρική ταυτότητα:
µ" + µ# = & " -# # & µ " +# # & " " παίρνει την µορφή: y " (x,t) = A# &x # & µ &t # & " " " T, - t / T ( x ( t / T Στην περιοχή x < -λt/τ την χρονική στιγµή t υπάρχει µόνο το κύµα y (x,t) ένω είναι y (x,t)=0, οπότε η (3) δίνει: y " (x,t)= A#µ t T - x ( *, x < -"t / T & ") Τέλος στην περιοχή x > λt/τ την χρονική στιγµή t υπάρχει µόνο το κύµα y (x,t) ένω είναι y (x,t)=0, οπότε η (3) δίνει: y " (x,t)= A#µ t T + x ( *, x > "t / T & ") Με βάση τα παραπάνω η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει την κίνηση των σηµείων της χορδής έχει την µορφή: Aµ " t/t - x/# y " (x,t) = & A# &x/# ( Aµ " t/t + x/# ( ), x < -#t / T ( ) µ( &t/t),-#t / T x #t / T ( ), x > #t / T (5) ii) Tην στιγµή t=3t/4 συµβαίνει συµβολή στην περιοχή -3λ/4 x 3λ/4 και η αντίστοιχη κυµατοσυνάρτηση έχει την µορφή: y " (x) = A# ( &x/ )µ( 3&/) από την οποία προκύπτει ότι η φάση αποµάκρυνσης είναι 3π/ για τα σηµεία της περιοχής που ικανοποιούν την σχέση συν(πx/λ)>0, ενώ είναι 3π/+π για τα σηµεία της περιοχής που ικανοποιούν την σχέση συν(πx/λ)<0. Για να συµβαίνει συν(πx/λ)>0 πρέπει π/< πx/λ <π/, δηλαδή λ/4< x <λ/4 ενώ για να συµβαίνει συν(πx/λ) < 0 πρέπει 3π/< πx/λ <3π/, δηλαδή πρέπει 3λ/4< x <3λ/4. Άρα για τα σηµεία της περιοχής που την χρονική στιγµή 3Τ/4 συµβαίνει συµβολή η φάση αποµάκρυνσης είναι: (x) = & 3"/, - #/4 < x < #/4 5"/, - 3#/4 < x < 3#/4 Την ίδια χρονική στιγµή η φάση αποµάκρυνσης των σηµείων της χορδής στις περιοχές που δεν συµβαίνει συµβολή είναι:
( ) = " ( 3 / 4 - x/# ), x < -3#/4 ( ) = " ( 3 / 4 + x/# ), x > 3#/4 & " 3T / 4T - x/# (x) = & " 3T / 4T + x/# Σχήµα 8 Όλα τα παραπάνω αποδίδονται στο διάγραµµα του σχήµατος (8). Εξάλλου το στιγµιότυπο της χορδής την χρονική στιγµή t=3t/4 θα προκύ ψει από την (5) αν θέσουµε t=3t/4, οπότε θα έχουµε: ( ), x < -3# / 4 ( ), - 3# / 4 x 3# / 4 Aµ " ( 3/4 + x/# ), x > 3# / 4 Aµ " 3/4 - x/# y " (x) = & -A# &x/# ( (6) Σχήµα 9 Η γραφική παράσταση της (6) φαίνεται στο σχήµα (9). P.M. fysikos