ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/

Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις, ευθύγραμμες. Πλέον θα μελετήσουμε και πιο σύνθετες κινήσεις, οι οποίες λαμβάνουν χώρα στον χώρα και όχι στο επίπεδο, για παράδειγμα θα μελετήσουμε την κίνηση μίας μπάλας που εκτινάσσεται από ένα κανόνι. Μία τέτοια κίνηση την ονομάζουμε, καμπυλόγραμμη κίνηση. Χαρακτηριστικό παράδειγμα καμπυλόγραμμης κίνησης είναι η οριζόντια βολή. Το μυστικό στην μελέτη τέτοιων κινήσεων είναι η ανεξαρτησία των κινήσεων. Μπορεί το σώμα να εκτελεί μία σύνθετη κίνηση, ως προς τον άξονα (οριζόντια κίνηση) και τον άξονα y (κατακόρυφη κίνηση), αλλά εμείς χάρις την ανεξαρτησία των κινήσεων μπορούμε να μελετήσουμε ξεχωριστά τον κάθε άξονα. Κοινή παράμετρος όμως θα είναι ο χρόνος, αφού όσο χρόνο κινείται στον ένα άξονα, για τον ίδιο ακριβώς χρόνο θα κινείται και στον άλλον. Οριζόντια Βολή Γενικά ισχύει: «ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, κάθε μία απ αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποία φτάνει το κινητό μετά από χρόνο t, είναι η ίδια είτε οι κινήσεις εκτελούνται ταυτόχρονα, είτε εκτελούνται διαδοχικά, σε χρόνο t κάθε μία». Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων ονομάζεται και αρχή επαλληλίας και χρησιμοποιείται αρκετά στην φυσική. ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΑΝΑΓΑΓΟΥΜΕ ΤΗΝ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΑΠΛΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ. http://phyiccore.wordpre.com/

Ας μελετήσουμε τώρα τις εξισώσεις των κινήσεων στην οριζόντια βολή. Οριζόντιος Άξονας (--) Στον οριζόντια άξονα θα θεωρούμε ότι το σώμα εκτελεί Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση. Οι εξισώσεις κίνησης σ αυτή την περίπτωση είναι: t και. () o Κάθετος Άξονας (-y-) Στον κάθετο άξονα θα θεωρούμε ότι το σώμα εκτελεί Ελεύθερη Πτώση. Οι εξισώσεις κίνησης σ αυτή την περίπτωση είναι: y g t και y g t () Μετατόπιση Η συνολική μετατόπιση του σώματος θα δίνεται από τη σχέση: y (3) Ταχύτητα Για τον προσδιορισμό της ταχύτητας του σώματος κάθε στιγμή θα ισχύει: (4) y http://phyiccore.wordpre.com/

Χρόνος Έστω ότι το σώμα βάλλεται από ύψος h. Για να υπολογίσουμε τον χρόνο κίνησης εργαζόμαστε ως εξής, αρχικά θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση () και θα έχουμε: y h h g t. Στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση αυτή ως προς τον χρόνο και θα έχουμε: κίνησης και θα είναι κοινός και στους δύο άξονες. t h g (5). Αυτός θα είναι και ο χρόνος της Ομαλή Κυκλική Κίνηση Το επόμενο είδος καμπυλόγραμμης κίνησης που θα μελετήσουμε είναι η ομαλή κυκλική κίνηση. Όπως είναι εύκολο να καταλάβει κάποιος, θα μελετήσουμε σώματα τα οποία κάνουν μία κυκλική κίνηση με σταθερή ταχύτητα. Οι κινήσεις αυτές έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος, την περίοδο. Περίοδο, Τ, ονομάζουμε τον χρόνο που χρειάζεται το σώμα για να κάνει μία περιφορά. Μονάδα μέτρησης της περιόδου στο Διεθνές Σύστημα (SI) είναι το δευτερόλεπτο (). Το επόμενο μέγεθος που πρέπει να αναφερθεί είναι η συχνότητα. Συχνότητα, f, ονομάζουμε το πλήθος των περιστροφών που εκτελεί το κινητό στη μονάδα του χρόνου. Μονάδα μέτρησης της συχνότητας στο Διεθνές Σύστημα (SI) είναι το χερτζ (Hz). Αυτά τα δύο μεγέθη συνδέονται μεταξύ τους με τη σχέση: f (6). T Οι κυκλικές κινήσεις περιλαμβάνονται στην μεγάλη κατηγορία των περιοδικών κινήσεων, τις οποίες θα μελετήσουμε εκτενέστερα στη Γ Λυκείου. ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΟ ΣΩΜΑ ΕΧΕΙ ΚΥΚΛΙΚΗ ΤΡΟΧΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΙΣΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥΣ ΔΙΑΓΡΑΦΕΙ ΙΣΑ ΤΟΞΑ http://phyiccore.wordpre.com/ 3

Γραμμική Ταχύτητα Αρχικά μας ενδιαφέρει η ταχύτητα με την οποία κινούνται τα σώματα που εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση. Η ταχύτητα όπως είπαμε παραμένει σταθερή, προσοχή όμως, κατά μέτρο. Η φορά της συνεχώς αλλάζει αφού η κίνηση δεν είναι ευθύγραμμη αλλά κυκλική. Κάτι τέτοιο μπορούμε να το καταλάβουμε εύκολα και από το δίπλα σχήμα Αφού η ταχύτητα με την οποία κινείται το σώμα είναι σταθερή μπορούμε να κάνουμε την εξής υπόθεση για να υπολογίσουμε την ταχύτητα της κίνησης. Μπορούμε να θεωρήσουμε πως το σώμα εκτελεί μία ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Η συνολική απόσταση που θα διανύσει θα είναι και θα είναι ίση με το μήκος της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει. Για την κίνηση αυτή χρειάζεται χρόνο t άρα θα έχουμε ότι (7). Το μέγεθος αυτό το ονομάζουμε γραμμική ταχύτητα, αφού κάναμε την υπόθεση ότι το σώμα t κινείται σε ευθεία γραμμή. Μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας στο SI θα είναι το R m/ Το μήκος ενός κύκλου δίνεται από τη σχέση. Επιπλέον ο χρόνος που χρειάζεται για να R κάνει μία περιστροφή είναι ίσος με μία περίοδο άρα θα έχουμε ότι (8). T. Γωνιακή Ταχύτητα Στη συνέχεια θα μελετήσουμε την κίνηση διαφόρων σημείων ενός σώματος που εκτελεί κυκλική κίνηση. Για παράδειγμα παίρνουμε μία ράβδο η οποία έχει ακλόνητο το ένα σημείο της και εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Η γραμμική ταχύτητα της ράβδου θα είναι. Επιλέγουμε τρία τυχαία σημεία Α, Β,Γ της ράβδου. Και τα τρία σημεία θα έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα, αλλιώς θα έσπαγε η ράβδος. Παρατηρούμε όμως, πως όταν η ράβδος αλλάξει θέση, τα τόξα που διαγράφονται δεν είναι ίσα. Το τόξο Α Α είναι μικρότερο από το Β Β και το Β Β μικρότερο από το Γ Γ. Επομένως παρατηρούμε πως ενώ τα σημεία της ράβδου έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα, επειδή απέχουν διαφορετική απόσταση από το σημείο περιστροφής, σε ίσους http://phyiccore.wordpre.com/ 4

χρόνους δεν καταγράφουν ίσα τόξα. Παρόλα αυτά η γωνία που καταγράφεται και στις τρεις περιπτώσεις είναι ακριβώς η ίδια. Άρα και τα τρία σημεία σε ίσους χρόνους καταγράφουν ίσες γωνίες. Δηλαδή τώρα το μέγεθος ονομάζουμε γωνιακή ταχύτητα και θα ισχύει ότι στο SI θα είναι το r. t, όπου θ η γωνία και t ο χρόνος, παραμένει σταθερό. Το μέγεθος αυτό το t Αν θεωρήσουμε πως το σώμα καταγράφει γωνία ίση με ένα κύκλο, δηλαδή αυτός αντιστοιχεί σε μία περίοδο, δηλαδή ισχύει ότι f T, θα έχουμε f (). t T, άρα θα ισχύει (9). Μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας T, τότε ο χρόνος (0). Επίσης αφού όπως είδαμε R Από τις σχέσεις (8) και (0) αν τις διαιρέσουμε κατά μέλη μπορούμε να εξάγουμε τη σχέση () και έτσι πλέον έχουμε μία σχέση που μας συνδέει τις δύο ταχύτητες. Κεντρομόλος επιτάχυνση Είπαμε παραπάνω πως η γραμμική ταχύτητα παραμένει σταθερή, ως μέτρο, αλλά συνεχώς αλλάζει κατεύθυνση. Αφού λοιπόν η κατεύθυνση αλλάζει δημιουργείται ένα είδος επιτάχυνσης. Την επιτάχυνση αυτή την ονομάζουμε κεντρομόλο επιτάχυνση και δίνεται από τη σχέση (). R a k Κεντρομόλος Δύναμη Παραπάνω είδαμε πως το σώμα στην ομαλή κυκλική κίνηση έχει σταθερή γραμμική ταχύτητα, παρόλα αυτά όμως η διεύθυνσή της αλλάζει κι έτσι υπάρχει τελικά η κεντρομόλος επιτάχυνση. Η κινητική κατάσταση του σώματος δηλαδή μεταβάλλεται συνεχώς και για να συμβεί κάτι τέτοιο έχουμε μάθει πως πρέπει να του ασκείται κάποια δύναμη. Θεωρούμε λοιπόν μία δύναμη η οποία ασκείται συνεχώς στο σώμα και το υποχρεώνει να αλλάζει την κατεύθυνση της κίνησής του. Η δύναμη αυτή έχει φορά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και γι αυτό ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη, F k. http://phyiccore.wordpre.com/ 5

ΚΑΘΕ ΔΥΝΑΜΗ Η ΟΠΟΙΑ ΑΝΑΓΚΑΖΕΙ ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΝΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΟΝΟΜΑΖΕΤΑΙ ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ ΔΥΝΑΜΗ Κάνοντας χρήση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα μπορούμε εύκολα να εξάγουμε την σχέση m (3). R F k http://phyiccore.wordpre.com/ 6

Μεθοδολογία Ας δούμε τώρα πως λύνουμε προβλήματα που αφορούν τις καμπυλόγραμμες κινήσεις. Πλέον πρέπει να θεωρείτε αυτονόητη η χρησιμοποίηση κάποιου σχήματος προκειμένου να καταφέρουμε να επιλύσουμε οποιοδήποτε πρόβλημα. Οριζόντια Βολή Στα προβλήματα που αφορούν την οριζόντια βολή πρέπει να θυμόμαστε αρχικά την αρχή της υπέρθεσης, να αναλύσουμε δηλαδή την κίνηση σε δύο άξονες. Στον οριζόντιο άξονα το σώμα θα εκτελεί ΕΟΚ ενώ στον κάθετο ελεύθερη πτώση. Η μάζα του σώματος δεν παίζει κάποιο ρόλο στην κίνηση του σώματος. Βασικό Τυπολόγιο Άξονας Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Άξονας y Ελεύθερη Πτώση. g t o t y g t a 0 a y g y Λυμένο Παράδειγμα Σώμα, μάζας m kg βάλλεται οριζόντια από την ταράτσα ενός κτιρίου, ύψους h 45m. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι o 40 m. Να υπολογίσετε: i. Τον χρόνο που χρειάζεται το σώμα για να φθάσει στο έδαφος. ii. Την ταχύτητα που θα έχει λίγο πριν φθάσει στο έδαφος. iii. Την μέγιστη οριζόντια μετατόπιση. iv. Τη συνολική μετατόπιση. http://phyiccore.wordpre.com/ 7

Δίνεται g 0 m Λύση Αρχικά πρέπει να κάνουμε το σχήμα του προβλήματος προκειμένου να μπορέσουμε να λύσουμε πιο εύκολα την άσκηση. Κάτι τέτοιο φαίνεται στο δίπλα σχήμα. Αρχικά το σώμα βάλλεται από ύψος h. Το σώμα θα έχει αρχική ταχύτητα είναι και η σταθερή ταχύτητα του οριζόντιου άξονα. 0 η οποία θα Αφού ξεκινήσει η κίνηση του σώματος η τροχιά του σώματος θα είναι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: i. Αφού γνωρίζουμε το ύψος του κτιρίου γνωρίζουμε και τη μέγιστη μετατόπιση στον κάθετο άξονα. Άρα θα ισχύει: h 45m g t 45 0t 45 5t 45 t 9 t 3 http://phyiccore.wordpre.com/ 8

ii. Για τον υπολογισμό της ταχύτητας του σώματος πρέπει να υπολογίσουμε την ταχύτητα σε κάθε άξονα ξεχωριστά για αρχή. Στον οριζόντιο άξονα θα έχουμε: m o 40 Στον κάθετο άξονα θα έχουμε: g t m y 03 y 30 Άρα θα ισχύει: m y 40 30 50. iii. Για την μέγιστη οριζόντια μετατόπιση θα έχουμε: t 403 0m iv. Για την συνολική μετατόπιση θα έχουμε: Τη μέγιστη οριζόντια μετατόπιση την ονομάζουμε βεληνεκές. d d y 0 45 6.45 d 8.m 4.400.05 Σημείωση: Για τον υπολογισμό της ταχύτητας λίγο πριν το έδαφος θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και Διατήρηση της Ενέργειας κατά την διάρκεια της κίνησης του σώματος. Δηλαδή να έχουμε: E 0 m E 0 K mgh gh U m gh.600 900 50m K 0 0 U 40 0 45 Ομαλή κυκλική Κίνηση Κεντρομόλο Δύναμη Σ αυτή την περίπτωση πρέπει να θυμηθούμε ότι το σώμα σε ίσους χρόνους καταγράφει ίσα τόξα. Σημαντικά μεγέθη είναι η περίοδος και η συχνότητα. Το σώμα πλέον έχει δύο ταχύτητες. Την γραμμική, η οποία είναι πάντα εφαπτόμενη στη τροχιά του σώματος και την γωνιακή της οποία το διάνυσμα βρίσκεται σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Η γραμμική ταχύτητα έχει πάντα σταθερό μέτρο αλλά η φορά της αλλάζει, άρα έχουμε την κεντρομόλο επιτάχυνση. Επίσης το σώμα διαγράφει κυκλική τροχιά λόγω της κεντρομόλου επιτάχυνσης. Παρακάτω δίνεται ένα πρόχειρο τυπολόγιο. Βασικό Τυπολόγιο http://phyiccore.wordpre.com/ 9

Ομαλή Κυκλική Κίνηση f T R T T R a k R m R F k Λυμένο Παράδειγμα f Σώμα, μάζας m kg 5 Hz. Να υπολογίσετε:, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R m. Το σώμα έχει συχνότητα i. Την γωνιακή ταχύτητα. ii. Την γραμμική ταχύτητα. iii. Την κεντρομόλο επιτάχυνση. iv. Τη κεντρομόλο δύναμη. Λύση Αρχικά κάνουμε το σχήμα που θα περιγράφει την άσκηση που θέλουμε να λύσουμε. Κάτι τέτοιο φαίνεται στη παρακάτω εικόνα. http://phyiccore.wordpre.com/ 0

Η γραμμική ταχύτητα θα είναι εφαπτόμενη στη τροχιά όπως και φαίνεται ενώ η κεντρομόλος επιτάχυνση θα έχει φορά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. Η γωνιακή ταχύτητα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Για την εξεύρεση του διανύσματος του ω κάναμε απλά χρήση του κανόνα του δεξιού χεριού. Πλέον είμαστε έτοιμοι να προχωρήσουμε στη λύση της άσκησης. i. Για τον υπολογισμό της γωνιακής ταχύτητας κάνουμε χρήση της σχέσης f 5 ισχύει: f 50 r, άρα θα ii. Αφού γνωρίζουμε τη γωνιακή ταχύτητα και την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την σχέση R για τον υπολογισμό της γραμμικής ταχύτητας. Έτσι θα έχουμε R 50 00m 00 iii. Για την κεντρομόλο επιτάχυνση θα ισχύει: a 5.000m k ak. R iv. Τέλος για την κεντρομόλο δύναμη θα ισχύει: Fk m m ak 5.000 Fk 0. 000N R http://phyiccore.wordpre.com/

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ευκλείδειο Διάνυσμα Πρέπει σ αυτό το σημείο να μιλήσουμε για τα διανύσματα. Θα τα μελετήσετε και στα Μαθηματικά Προσανατολισμού και λίγα πράγματα έχετε μάθει στη Φυσική και στα Μαθηματικά σε παλιότερες τάξεις. Πλέον μελετάμε κινήσεις που γίνονται στον χώρο και όχι σε μία ευθεία. Για να μπορέσουμε να περιγράψουμε μία τέτοια κίνηση χρειαζόμαστε να ορίσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων. Για την διευκόλυνση μας χρησιμοποιούμε το ορθοκανονικό σύστημα, το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Όσοι ασχοληθούν με τα μαθηματικά ή τη φυσική στο Πανεπιστήμιο θα μάθουν και άλλα συστήματα συντεταγμένων (π.χ. των πολικών). Επίσης η μελέτη της κίνησης γίνεται σε δύο διαστάσεις. Άρα ονομάζουμε την μία διάσταση και την άλλη y. Κάθε σημείο πλέον του χώρου είναι μία πιθανή θέση του σώματος. Για να την περιγράψουμε χρειαζόμαστε μία ποσότητα που θα μας δίνει πληροφορία σε ποιο σημείο του άξονα (τετμημένη) αντιστοιχεί η θέση του και σε ποιο σημείο του y (τεταγμένη). Η συνολική απόσταση από την αρχή των αξόνων υπολογίζεται εύκολα με τη χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος, d y http://phyiccore.wordpre.com/

Το ευθύγραμμο τμήμα d πλέον είναι ένα ευκλείδειο διάνυσμα, ή πιο απλά διάνυσμα. Έχει μία συνιστώσα και μία y. Γενικά διάνυσμα είναι οποιοδήποτε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Μετατόπιση και Ταχύτητα στην Οριζόντια Βολή Έτσι λοιπόν και στην οριζόντια βολή το σώμα έχει μία ταχύτητα στο άξονα και μία στον y, επιπλέον η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος οπότε το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να εφαρμόσουμε τα παραπάνω, όπως και κάναμε στη θεωρία για να καταφέρουμε να εξάγουμε τη σχέση y. Ομοίως και για την μετατόπιση όπου δεχθήκαμε απευθείας τη σχέση. y Εξίσωση Τροχιάς Στην οριζόντια βολή η τροχιά που γράφει το σώμα μοιάζει αρχικά με κύκλο. Όπως έχουμε μάθει στα μαθηματικά Προσανατολισμού η εξίσωση που περιγράφει ένα κύκλο είναι η y. Αν πάρουμε τις εξισώσεις κίνησης θα έχουμε: t t Ay y g t, όπου y g A g παραβολική. Η εξίσωση Ay περιγράφει μία παραβολή άρα η κίνηση του σώματος δεν είναι κυκλική αλλά Έργο Βάρους http://phyiccore.wordpre.com/ 3

ωφ Ουσιαστικά το σώμα στην οριζόντια βολή κινείται υπό την επίδραση του βάρους. Για τον υπολογισμού του έργου του βάρους κάνουμε χρήση του Θεωρήματος Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ). Επομένως θα έχουμε: W W K W K mgh m m 0 Γραμμική Ταχύτητα Το διάνυσμα της γραμμικής ταχύτητας είναι πάντα εφαπτόμενο στην τροχιά της κίνησης, άρα σχηματίζει με την ακτίνα ορθή γωνία Γωνιακή Ταχύτητα Η γωνιακή ταχύτητα έχει διάνυσμα πάντα κάθετο στην κίνηση. Για να το βρούμε απλά πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του δεξιού χεριού (ή κοχλία). Τα δάκτυλα του δεξιού χεριού θα πρέπει να κλείνουν με την φορά της κίνησης και ο αντίχειρας μας δείχνει τη διεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας. Κεντρομόλος Δύναμη Κεντρομόλος επιτάχυνση Και τα δύο μεγέθη θα έχουν πάντα φορά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. http://phyiccore.wordpre.com/ 4