ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΔΝΟΤΗΤΑ: ΓΙΑΝΤΜΑΣΑ ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΤΣΔΛΙΔΡΗ ΤΜΗΜΑ: Σμήμα Γιασείπιζηρ Πεπιβάλλονηορ και Φςζικών Πόπων ΑΓΡΙΝΙΟ

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΔΝΟΤΗΤΑ: ΓΙΑΝΤΜΑΣΑ ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΤΣΔΛΙΔΡΗ ΤΜΗΜΑ: Σμήμα Γιασείπιζηρ Πεπιβάλλονηορ και Φςζικών Πόπων ΑΓΡΙΝΙΟ

Άδεηεο Χξήζεο Τν παξόλ εθπαηδεπηηθό πιηθό ππόθεηηαη ζε άδεηεο ρξήζεο Creative Commons. Γηα εθπαηδεπηηθό πιηθό, όπωο εηθόλεο, πνπ ππόθεηηαη ζε άιινπ ηύπνπ άδεηαο ρξήζεο, ε άδεηα ρξήζεο αλαθέξεηαη ξεηώο. 2

Χξεκαηνδόηεζε Τν παξόλ εθπαηδεπηηθό πιηθό έρεη αλαπηπρζεί ζηα πιαίζηα ηνπ εθπαηδεπηηθνύ έξγνπ ηνπ δηδάζθνληα. Τν έξγν «Ανοικηά Ακαδημαϊκά Μαθήμαηα ζηο Πανεπιζηήμιο Παηπών» έρεη ρξεκαηνδνηήζεη κόλν ηε αλαδηακόξθωζε ηνπ εθπαηδεπηηθνύ πιηθνύ. Τν έξγν πινπνηείηαη ζην πιαίζην ηνπ Δπηρεηξεζηαθνύ Πξνγξάκκαηνο «Δθπαίδεπζε θαη Γηα Βίνπ Μάζεζε» θαη ζπγρξεκαηνδνηείηαη από ηελ Δπξωπαϊθή Έλωζε (Δπξωπαϊθό Κνηλωληθό Τακείν) θαη από εζληθνύο πόξνπο. 3

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι Φξαγθίζθνο Κνπηειηέξεο Αλαπιεξωηήο Καζεγεηήο Παλ/κίνπ Παηξώλ Δπηθνηλωλία: fcoutelieris@upatras.gr

1. Οπιζμοί 2. Δίδη διανςζμάηων 3. Ππάξειρ διανςζμάηων 4. Δζωηεπικό, εξωηεπικό και μικηό γινόμενο

Γηάλπζκα νλνκάδεηαη ην καζεκαηηθό κέγεζνο πνπ πεξηγξάθεηαη από κηα ηπιάδα ζηνηρείωλ: ην μέηπο, ηε διεύθςνζη θαη ηε θοπά ηνπ. a

Γιάνςζμα είναι ένα πποζαναηολιζμένο εςθύγπαμμο ημήμα.

Φοπέαρ ηνπ δηαλύζκαηνο νλνκάδεηαη ε κνλαδηθή επζεία ε νπνία δηέξρεηαη από ηα άθξα ηνπ δηαλύζκαηνο.

Μέηπο ηνπ δηαλύζκαηνο νλνκάδεηαη ν κε αξλεηηθόο πξαγκαηηθόο αξηζκόο ν νπνίνο εθθξάδεη ην κήθνο ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ην νπνίν έρεη αξρή ηελ αξρή ηνπ δηαλύζκαηνο θαη ηέινο, ην ηέινο ηνπ. a

Γιεύθςνζη ηνπ δηαλύζκαηνο νλνκάδεηαη ην ζύλνιν όιωλ ηωλ επζεηώλ πνπ είλαη παξάιιειεο κε ην θνξέα ηνπ δηαλύζκαηνο.

Φοπά ηνπ δηαλύζκαηνο νλνκάδεηαη ε θνξά ηεο εκηεπζείαο πνπ νξίδεηαη από ηελ αξρή ηνπ δηαλύζκαηνο πάλω ζην θνξέα ηνπ. Αλ δπν εκηεπζείεο έρνπλ ίδηα θνξά νλνκάδνληαη ομόπποπερ, ελώ αλ έρνπλ αληίζεηε ανηίπποπερ. Αςθαίπεηα ραξαθηεξίδεηαη θεηική ε κηα από ηηο δπν θνξέο, νπόηε ε άιιε ραξαθηεξίδεηαη απνηηική.

y Y1 A a ( X1, Y1) O θ X1 x

Μηδενικό νλνκάδεηαη ην δηάλπζκα ηνπ νπνίνπ ε αξρή θαη ην ηέινο ζπκπίπηνπλ. 0

Μοναδιαίο νλνκάδεηαη ην δηάλπζκα ην νπνίν έρεη κνλαδηαίν κέηξν. e

Γπν δηαλύζκαηα νλνκάδνληαη ζςγγπαμμικά ή παπάλληλα όηαλ έρνπλ ηελ ίδηα δηεύζπλζε.

Γπν δηαλύζκαηα νλνκάδνληαη διαδοσικά όηαλ ε αξρή ηνπ ελόο ζπκπίπηεη κε ην ηέινο ηνπ άιινπ.

Γπν δηαλύζκαηα είλαη ίζα όηαλ έρνπλ όια ηα ζηνηρεία ηνπο ίζα, δει. αλ έρνπλ ίζα μέηπα θαη είλαη ζςγγπαμμικά θαη ομόπποπα.

Ππόζθεζη Αλ a,b είλαη δπν δηαλύζκαηα, ηόηε ην άζξνηζκα ηνπο είλαη ην δηάλπζκα a+b ην νπνίν έρεη γηα αξρή ηνπ ηελ αξρή ηνπ a θαη γηα ηέινο ηνπ ην ηέινο ηνπ b όηαλ ηα a,b είλαη δηαδνρηθά.

Ιδιόηηηερ 1. Μεηαζεηηθή a b b a 2. Πξνζεηαηξηζηηθή 3. Οπδέηεξν ζηνηρείν a b c a b c a 0 0 a a 4. Αληίζεην ζηνηρείν a a a a 0 5. Ιζνδπλακία a b a c b c

Παπαηηπήζειρ 1. 2. 3. 4. 00 ( a) a a b a b a a

Βαθμωηόρ πολλαπλαζιαζμόρ Αλ a είλαη έλα δηάλπζκα θαη ι έλαο πξαγκαηηθόο αξηζκόο, ηόηε ην απνηέιεζκα ηνπ εμωηεξηθνύ πνιιαπιαζηαζκνύ a είλαη έλα δηάλπζκα ζπγγξακκηθό κε ην δηάλπζκα a θαη κε κέηξν a a Αλ λ>0 ηόηε ην a είλαη νκόξξνπν ηνπ, ελώ αλ λ<0 είλαη αληίξξνπν. a

Ιδιόηηηερ a a a a b a b a 1a a a

Ιδιόηηηερ 0a 0 0 0 a b a b, 0 a a, a 0

Πποβολή ελόο δηαλύζκαηνο ζε έλα άιιν δηάλπζκα είλαη έλα δηάλπζκα, ην νπνίν είλαη ζπγγξακκηθό κε ην θαη επηπιένλ, όπνπ b είλαη ε γωλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη θνξείο ηωλ δηαλπζκάηωλ θαη. b a b a c c a cos

Η δηεύζπλζε ηνπ κνλαδηαίνπ e x y C OB OAcos A O θ B x

ςζηήμαηα αναθοπάρ Οη δηεπζύλζεηο (θνξείο) ηωλ κνλαδηαίωλ καθέηων δηαλπζκάηωλ νξίδνπλ έλα οπθογώνιο ζύζηημα αναθοπάρ ζην ρώξν πνπ αλήθνπλ ηα δηαλύζκαηα.

Ανηίζηποθα Γνζέληνο ελόο ζπζηήκαηνο αλαθνξάο, θάζε δηάλπζκα αναλύεηαι με μοναδικό ηπόπο ζε δηαλύζκαηα ζπγγξακκηθά ηωλ κνλαδηαίωλ δηαλπζκάηωλ ηνπ ζπζηήκαηνο. a 2e 52e 102e a 2,52,102 x y z

Τν κέηξν ηεο θάζε κηαο ηέηνηαο πξνβνιήο νλνκάδεηαη ζςνηεηαγμένη ηνπ δηαλύζκαηνο. y C O OB OAcos OC OAsin A θ B x

Αλ e1, e 2,, en είλαη ηα κνλαδηαία δηαλύζκαηα ηνπ ζπζηήκαηνο αλαθνξάο, ηόηε είλαη a a e a e a e 1 1 2 2 n n a a e cos κε i i i όπνπ i είλαη ε γωλία ηνπ δηαλύζκαηνο κε ην κνλαδηαίν e i. a

Σηελ πεξίπηωζε απηή, ην δηάλπζκα ζπκβνιίδεηαη θαη ωο a a, a,, a 1 2 n Γιανύζμαηα

Ξανά οι ππάξειρ a a1, a2,, an b b b b 1, 2,, n R a b a1 b1, a2 b2,, an bn a a 1, a2,, an

Δζωηεπικό γινόμενο Αλ ab, είλαη δπν δηαλύζκαηα, ηόηε ην εζωηεξηθό ηνπο γηλόκελν είλαη ν απιθμόρ ab ν νπνίνο ηζνύηαη κε a b a b cos όπνπ είλαη ε γωλία ηνπ δηαλύζκαηνο a κε ην δηάλπζκα b.

Δζωηεπικό γινόμενο a a1, a2,, an b b b b,,, n 1 2 a b a b a b a b 1 1 2 2 n n

Γεωμεηπική επμηνεία Τν εζωηεξηθό γηλόκελν δπν δηαλπζκάηωλ είλαη ην κέηξν ηεο πξνβνιήο ηνπ ελόο δηαλύζκαηνο ζην άιιν.

Ιδιόηηηερ a b b a a b a b a b a b c a b a c 3. ΓΙΑΝΤΜΑΣΑ a b 0 a 0 η b 0 η a b

ςνθήκη καθεηόηηηαρ a 0 b 0 a b ab 0

Δξωηεπικό γινόμενο Αλ 3. ΓΙΑΝΤΜΑΣΑ ab, είλαη δπν δηαλύζκαηα, ηόηε ην εμωηεξηθό ηνπο γηλόκελν είλαη ην διάνςζμα ην νπνίνο έρεη μέηπο θάζεηε ζην επίπεδν ηωλ a b absin, διεύθςνζη ab, θαη θοπά εθείλελ πνπ ζα πξνρωξνύζε δεμηόζηξνθνο θνριίαο από ην a πξνο ην b.

Δξωηεπικό γινόμενο a a, a, a b b, b, b 1 2 3 1 2 3 e e e 1 2 3 a b a a a a b a b, a b a b, a b a b 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 b b b 1 2 3

Γεωμεηπική επμηνεία Τν κέηξν ηνπ εμωηεξηθνύ γηλνκέλνπ δπν δηαλπζκάηωλ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ πνπ νξίδεηαη από ηα δπν δηαλύζκαηα όηαλ απηά γίλνπλ δηαδνρηθά.

Ιδιόηηηερ ab ba a b a b ab ab c ab a c ab c ab c aa 0

ςνθήκη ζςγγπαμικόηηηαρ (παπαλληλίαρ) a 0 b 0 ab 0 a b

Μικηό γινόμενο Αλ a, b, c είλαη ηξία δηαλύζκαηα, ηόηε ην εμωηεξηθό ηνπο γηλόκελν είλαη ν απιθμόρ ab c

Παπαηήπηζη ab c ab c a b c

Μικηό γινόμενο a a, a, a b b, b, b 1 2 3 c c, c, c 1 2 3 1 2 3 a a a 1 2 3 a b c b b b 1 2 3 c c c 1 2 3

Γεωμεηπική επμηνεία Τν κηθηό γηλόκελν ηξηώλ δηαλπζκάηωλ είλαη ν όγθνο ηνπ παξαιιειεπηπέδνπ πνπ νξίδεηαη από ηα ηξία απηά δηαλύζκαηα. ab c a b c

Ιδιόηηηερ ab c b c a c ab ab c a c b

ςνθήκη ομοεπίπεδων διανςζμάηων a 0 b 0 c 0 a, b, c νκνεπίπεδα a b c 0

ΑΚΗΔΙ «Σο ςλικό ηηρ παποςζίαζηρ πποέπσεηαι από ηιρ πανεπιζηημιακέρ παπαδόζειρ ηος καθηγηηή Φπ. Κοςηελιέπη».