( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης

Σχετικά έγγραφα
Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

( ) = ke r/a όπου k και α θετικές σταθερές

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα

) z ) r 3. sin cos θ,

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 5-Μάρτη-2016

GMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c

GMm. 1 2GM ) 2 + L2 2 + R L=4.5 L=4 L=3.7 L= 1 2 =3.46 L= V (r) = L 2 /2r 2 - L 2 /r 3-1/r

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 7-Μάρτη-2015

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα

O y. (t) x = 2 cos t. ax2 + bx + c b 2ax b + arcsin. a 2( a) mk.

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες

( ) Ολική στροφορμή L = p! i. L =! R M! v + ri m i vi. r i. q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r! i

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

Hamiltonian φορμαλισμός

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι(ΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι.

ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

Για τη συνέχεια σήμερα...

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

Αρµονικοί ταλαντωτές

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

Κίνηση σε μία διάσταση

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα

Έργο Ενέργεια. ΦΥΣ Διαλ.15 1

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 16 Φεβρουαρίου, 2011

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 2ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4

Εξισώσεις κίνησης του Hamilton

της µορφής:! F = -mk! r

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2003

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο)

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

website:

Ορμή - Κρούσεις, ΦΥΣ Διαλ.19 1

Φυσική για Μηχανικούς

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( ( videos/bulletproof-balloons) n=0

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

Αρµονικοί ταλαντωτές

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016

ΦΥΣ η Πρόοδος: 14-Οκτωβρίου-2017

ΦΥΣ η Πρόοδος: 14-Οκτωβρίου-2017

Μηχανική - Ρευστομηχανική

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

( σφόνδυλος : τροχαλία με μεγάλη μάζα)

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου}

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014

ΘΕΜΑ 2: Α. Ένα σωματίδιο κινείται στο επίπεδο xy έτσι ώστε υ


Ανακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες

mv V (x) = E με V (x) = mb3 ω 2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία.

ΦΥΣ Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ΦΥΣ Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 2013

Transcript:

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 Τι είδαμε: q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ü Ανάγαμε το πρόβλημα 2 σωμάτων σε πρόβλημα κεντρικής δύναμης ü διατήρηση ορμής CM μετατρέπει το πρόβλημα από 6 DoF σε 3 DoF ü διατήρηση της στροφορμής (σταθερό επίπεδο τροχιάς) και διατήρηση του μέτρου της L z ελαττώνει το πρόβλημα DoF q Το πρόβλημα περιορίζεται σε εξίσωση με DoF ( =! ) ü Χρήση της διατήρησης στροφορμής: q Πρώτο βήμα: Ποιοτική συμπεριφορά κίνησης V ( ) V ü Φραγμένες, μη φραγμένες και κυκλικές τροχιές ü Συνθήκες για σταθερές κυκλικές τροχιές q Δεύτερο βήμα: Πρέπει να λύσουμε για την τροχιά ü διατήρηση Ενέργειας δίνει: E = m 2! 2 + ( ) + ( ) 2m 2 + V 2m 2 m!! = m + F( ) 3

ΦΥΣ 2 - Διαλ.3 2 Ποιοτική συμπεριφορά q Ολοκλήρωση της ακτινικής εξίσωσης δεν είναι πάντα εύκολο 2! = m E V() Ø Πολλές φορές είναι αδύνατο 2m 2 q Συμπεράσματα για την γενική συμπεριφορά βλέποντας τη σχέση V ( ) V ( ) + 2m 2 Ημί-δυναμικό το οποίο περικλύει την κεντρομόλο δύναμη Ø Η ενέργεια διατηρείται και Ε-V πρέπει να ναι θετική ποσότητα E = m! 2 2 + V ( ) m! 2 2 = E V ( ) 0 E V ( ) q Σχεδιάζουμε το V () και μελετούμε τις τομές με το διάγραμμα της ενέργειας Ε

ΦΥΣ 2 - Διαλ.3 3 Δύναμη ανάλογη του / 2 q Θεωρήστε μια ελκτική / 2 δύναμη F( ) = k V ( ) = k 2 q Βαρύτητα ή ηλεκτροστατική δύναμη V ( ) = k + 2m 2 q Η / 2 δύναμη υπερισχύει σε μεγάλα q Η κεντρομόλος δύναμη υπερισχύει σε μικρά V ( ) 2m 2 V () q Μια «κοιλιά» εμφανίζεται στις μέσες τιμές k

ΦΥΣ 2 - Διαλ.3 4 Μη φραγμένη κίνηση q Έστω V () παρόμοιο με την περίπτωση / 2 Ø Ενδιαφέρουν µόνο τα γενικά χαρακτηριστικά q Ε = Ε à > min Ø Σώμα μπορεί να πάει στο άπειρο E V () q Γενική συμπεριφορά 2 m! 2 Φθάνει από = E 2 min Σημείο στροφής E = V! = 0 E 3 Πηγαίνει προς = Mια δύναμη / 2 θα έκανε υπερβολή

ΦΥΣ 2 - Διαλ.3 5 Φραγμένη κίνηση q Ε = Ε 2 à min < < max Ø To σώμα είναι περιορισμένο μεταξύ δύο κύκλων Κινείται μεταξύ των 2 ακτινών E E 2 V () 2 m! 2 E 3 Η τροχιά μπορεί ή και όχι να ναι κλειστή Μια δύναμη / 2 θα έκανε μια έλλειψη

ΦΥΣ 2 - Διαλ.3 6 Κυκλική κίνηση q Ε = Ε 3 à = 0 Ø Mόνο μία ακτίνα επιτρέπεται Παραμένει σε κύκλο Ε = V ( 0 )! = 0 = σταθ = 0 E E 2 V () 0 2 m! 2 E 3 q O καταχωρισμός σε φραγείς, μη φραγείς και κυκλικές κινήσεις εξαρτάται από το γενικό σχήμα του V Ø Όχι από τις λεπτομέρειες (/ 2 ή διαφορετικά)

ΦΥΣ 2 - Διαλ.3 7 Άλλο παράδειγμα V = a F = 3a V () = a 3 4 + 3 2m 2 q Ελκτική δύναμη -4 Ø V () έχει κάποια κορυφή 2m 2 Ø Σωματίδιο με ενέργεια Ε μπορεί να είναι φραγμένο ή όχι, ανάλογα από την αρχική E V () V

ΦΥΣ 2 - Διαλ.3 8 Ευσταθής κυκλική τροχιά q Κυκλική τροχιά υπάρχει στο βάθος ενός κοίλους του V m! 2 2 = E V = 0 m!! = d V d = 0 = σταθ Ø Στην κορυφή ενός κοίλους «δουλεύει» θεωρητικά, αλλά είναι ασταθές E 0 ευσταθής Ø Η αρχική συνθήκη πρέπει να ναι ακριβής E ασταθής! = 0 και = 0 q Σταθερή κυκλική τροχιά απαιτεί: d 2 V > 0 d 2 0

Εκθετική Δύναμη V ( ) V ( ) + 2m 2 ΦΥΣ 2 - Διαλ.3 9 d V = F( 0 ) d =0 m = 0 d 2 V 3 = df + 3 και 0 d 2 d = =0 m > 0 4 0 0 F( 0 ) = m 0 3 Μόνο ελκτική δύναμη ( ) df < 3F 0 d =0 0 q Υποθέστε ότι η δύναμη έχει τη μορφή: Ø k>0 για ελκτική δύναμη F( ) = k n q Συνθήκες για ευσταθή κυκλική τροχιά είναι kn 0 n < 3k 0 n n > 3 Εκθετικές δυνάμεις μπορούν να δημιουργήσουν ευσταθή κυκλική τροχιά όταν ο εκθέτης ικανοποιεί: n > -3

Εξίσωση τροχιάς m!! m + dv = 0 3 d q Προσπαθούμε να λύσουμε την εξίσωση = (t) και θ = θ(t) Ø Ενδιαφερόμαστε για την μορφή της τροχιάς = (θ) Ø Αλλάζουμε µεταβλητή από dt dθ l = m 2!θ σταθ.!! = d! dt = d dt (!θ ) ( ) m!! m + dv 3 d! = d dt = dθ d dt dθ d dt =!! =!θ d θ! dθ = 0 ( )!! l 2 ( ) d l dθ m 2 d dθ m + dv 3 d = 0 ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 0 l d d m 2 dθ dt =!θ d dt X =!θ d dθ X =!θ d dθ l m 2 q Αλλάζουμε μεταβλητή από σε u = / dθ = d dθ = d 2 dθ d d = u2 d

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 Εξίσωση τροχιάς Αλλαγή μεταβλητών ( ) d 2 u dθ + u + m dv u 2 = 0 q Λύση της εξίσωσης αυτής δίνει το σχήμα της τροχιάς Ø Όχι τόσο εύκολη η λύση της q Θα τη λύσουμε για δύναμη αντιστρόφως ανάλογη του 2 Ø Μια ακόμα χρήσιμη πληροφορία μπορεί να εξαχθεί χωρίς να λύσουμε την εξίσωση

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 2 Συμμετρία τροχιάς ( ) d 2 u dθ + u + m dv u 2 = 0 q Η εξίσωση είναι άρτια (συμμετρική) ως προς θ Ø Αντικαθιστώντας θ με θ δεν αλλάζει την εξίσωση q Η λύση u(θ) πρέπει να συμμετρική αν είναι η αρχική συνθήκη Ø Διαλέγοντας θ=0 για t = 0 και παίρνοντας το συμμετρικό του θ à -θ u( 0) u( 0) οκ ( dθ 0) ( dθ 0) Ισχύει ΑΝ dθ 0 ( ) = 0 Ø Η τροχιά είναι συμμετρική σε γωνίες όπου dθ = 0

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 3 Συμμετρία της τροχιάς q Η τροχιά είναι συμμετρική σε κάθε σημείο στροφής = αψίδες q Η τροχιά είναι αναλλοίωτη κάτω από αντικατοπτρισμούς ως προς τα διανύσματα των αψίδων Ø Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο δεν ενδιαφερόμαστε πολύ για το πρόσημο του! Ø Λύνοντας την εξίσωση της τροχιάς μεταξύ ενός ζεύγους αψίδων à γνωρίζουμε ολόκληρη την τροχιά q Προχωρούμε στην λύση της εξίσωσης dθ = 0

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 4 Λύση της εξίσωσης τροχιάς d 2 u dθ + u + m dv u 2 ( ) = 0 q Ολοκληρώνοντας την Δ.Ε. θα πάρουμε διατήρηση της ενέργειας m!! = m + F( ) m!!! = 3 m d dt 2! 2 = d dt 2m + V 2 ( )! m d dt m d dt m 3 + F 2! 2 = d d 2m + V 2! = 0 E = const. q Χρησιμοποιώντας διατήρηση ενέργειας διευκολύνουμε τις πράξεις 2! 2 + 2m 2 + V d dt g( ) = dg d d dt E = m! 2 2 + 2m 2 + V ( )! = Ø Αλλάζουμε μεταβλητές:! = l m dθ = 2mE dθ u 2 2mV u ( ) 2 m E V Oλοκλήρωση 2m 2 ( )

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 5 Δύναμη ανάλογη αντιστρόφου του 2 F = k 2 V = k k = GMm dθ = 2mE u 2 + 2mku u u 0 2mE + 2mku u 2 = dθ = θ 0 θ Ø Από πίνακες ολοκληρωμάτων έχουμε: dx = a + βx + γ x 2 γ β + 2γ x accos β 2 4αγ Ø Επομένως αντικαθιστούμε όπου α,β,γ τις σταθερές μας Ø Διαφορετικά το λύνουμε μόνοι μας...

Η ολοκλήρωση ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 6 dθ = 2mE + 2mku u 2 = 2mE + m2 k 2 mk l 4 u 2 = 2mE + m2 k 2 l 4 = sinω sinω dω = ω mk u 2mΕ + m2 k 2 l 4 2 Ορίζεται σαν cosω = 2mE + m2 k 2 l 4 sinωdω cosω = cos( θ θ ) = mk u 2mE + m2 k 2 l 4 Λύνουμε ως προς u=/

Λύση ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 7 u = = mk + + 2E mk cos θ θ 2 ( ) q Η λύση αυτή είναι όμοια με την γενική εξίσωση κωνικής τομής: = C + ecos θ θ ( ( )) ( θ )( + ecosθ ) = mk = P ( x, y) = ( cosθ,sinθ ) Ø e ονομάζεται εκκεντρότητα x 2 + y 2 + ex = P x 2 + y 2 = P 2 + e 2 x 2 2ePx e = + 2E mk 2 x 2 + y 2 = ( P ex) 2 Ø Μια εστία είναι στην αρχή των αξόνων e > E > 0 υπερβολή e = E = 0 παραβολή e < E < 0 έλλειψη ( e 2 )x 2 + 2ePx + y 2 = P 2 Που συμφωνεί με την ποιοτική ταξινόμηση των τροχιών e = 0 E = mk 2l 2 2 κύκλος

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 8 Ενέργεια και εκκεντρότητα q Ε=0 ξεχωρίζει φραγμένες και μή φραγμένες τροχιές Ø Συνοριακή κατάσταση = Παραβολή Ø Κυκλική τροχιά απαιτεί: V ( 0 ) = k + 0 2m = E 2 0 d V = k d 0 2 0 m = 0 3 0 Ø Λύνοντας ως προς 0 ή από την εξίσωση της εκκεντρότητας για κυκλική τροχιά (e=0) έχουμε: E = mk 2 2 υπερβολή παραβολή έλλειψη κύκλος l 2 2m 2 V () k

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 9 Μη φραγμένες τροχιές ( ( ) ) = C + ecos θ θ θ-θ' θ' q e > à υπερβολή Ø θ' είναι το σημείο καμπής (περιήλιο) Ø cos(θ-θ') > -/e περιορίζει θ q e = à παραβολή θ'

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 20 Φραγμένες τροχιές a = ( 2 + 2 ) = 2 ( ( )) = C + ecos θ θ C + e C = mk q Τα άκρα του μέγιστου άξονα είναι / = C(± e) Ø Το μήκος του μέγιστου ημιάξονα είναι: ( ) + C( e) = k 2E e = + 2E mk 2 q O μέγιστος ημιάξονας δίνεται από την ολική ενέργεια Ε q O μικρός ημιάξονας δίνεται από: 2b 2 θ' b = a e 2 = 2mE 2α

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 2 Περίοδος στροφής a = k 2E b = 2mE A = πab = π k 2 8mE 3 Εμβαδό τροχιάς q Ξέρουμε ότι η εμβαδική ταχύτητα είναι σταθερή da dt = 2 2!θ = l 2m τ = A da dt = π mk 2 2E 3 Περίοδος στροφής q Εκφράζουμε τ σαν συνάρτηση του μέγιστου άξονα: τ = 2π m k a3/2 3 ος Νόμος του Keple: H περίοδος στροφής είναι ανάλογη της 3/2 δύναμης του μέγιστου άξονα

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 22 Ο τρίτος νόμος του Keple τ = 2π m k a3/2 q Ο 3 ος νόμος του Keple δεν είναι πλήρης Ø Ο λόγος: η ανηγμένη μάζα Ø Το k δίνεται από την βαρύτητα F = G Mm 2 = k 2 k = GMm µ = + M H m π Ήλιος Πλανήτης q Η περίοδος στροφής γίνεται: τ = 2π µ k a3/2 = 2π G(Μ + m) a3/2 q Oι παράμετροι είναι όλοι ίδιοι για όλους του πλανήτες μόνο αν Μ>>m

ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 23 Εξίσωση της τροχιάς με εξάρτηση από χρόνο q Ασχοληθήκαμε με τη μορφή/σχήμα της τροχιάς =(θ) q Δεν έχουμε τις πλήρεις λύσεις =(t) και θ=θ(t) q Για ποιο λόγο δεν το κάνουμε: q Ιδιαίτερα πολύπλοκο q Θα μπορούσαμε να πάρουμε t=t(θ) q Αντιστρέφοντας στο θ=θ(t) αδύνατο. q Οι φυσικοί περνάνε αιώνες υπολογίζοντας προσεγγιστικές λύσεις q Πήραμε ήδη ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά για την λύση q Η πλήρης λύση αφήνεται στους υπολογιστές