ΠΠΜ 51: Ανάλυση Κινδύνου για ΠΜΜΠ Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος Δρ. Σ. Χριστοδούλου, Επικ. Καθηγητής Ακαδημαϊκό Έτος 005-006 Εαρινό Εξάμηνο 1 η Ενδιάμεση Εξέταση 6:00-8:30 μ.μ. (150 λεπτά) Τετάρτη, 9 Μαρτίου 006 Όνομα: Επίθετο: Αριθμός Ταυτότητας: Διαβάστε προσεκτικά τις πιο κάτω οδηγίες, χωρίς να γυρίσετε σελίδα προτού αρχίσει η εξέταση, και υπογράψτε: 1. Δεν επιτρέπεται η χρήση οποιουδήποτε βοηθητικού υλικού ή χαρτιού πέρα από τα φύλλα χαρτιού που θα σας προμηθεύσει ο υπεύθυνος της εξέτασης. Αφού ξεκινήσει η εξέταση πρέπει να γράψετε το ονοματεπώνυμο σας σε όλες τις σελίδες που θα χρησιμοποιήσετε.. Κατά την διάρκεια της εξέτασης απαγορεύεται: οποιαδήποτε συνεργασία, συνομιλία ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο επικοινωνία με συμφοιτητές/ριες σας η ανταλλαγή οποιονδήποτε αντικειμένων (π.χ. χάρακες, υπολογιστικές μηχανές, κλπ) με συμφοιτητές/ριες σας η χρήση κινητών τηλεφώνων τα οποία θα πρέπει να απενεργοποιηθούν αμέσως 3. Αποχώρηση από τον χώρο εξέτασης επιτρέπεται μόνο 30 λεπτά μετά την έναρξη της εξέτασης, ενώ δεν επιτρέπεται αποχώρηση από τον χώρο της εξέτασης τα τελευταία 15 λεπτά πριν από την λήξη της εξέτασης. 4. Ισχύουν όλοι οι Κανόνες Εξετάσεων του Πανεπιστημίου τους οποίους έχετε υποχρέωση να γνωρίζετε. Έχω διαβάσει προσεκτικά και κατανοήσει πλήρως τις πιο πάνω οδηγίες. Υπογραφή:.. 9 Μαρτίου 006
ΠΠΜ 51: Ανάλυση Κινδύνου για ΠΜΜΠ Πρόβλημα Μονάδες Βαθμός 1 15 15 3 15 4 15 5 15 6 15 7 10 Τελικός Βαθμός 100 Σελίδα από 5
ΠΠΜ 51: Ανάλυση Κινδύνου για ΠΜΜΠ Άσκηση 1: [15 μονάδες] Η συνδυασμένη κατανομή πιθανότητας (joint probability mass function, pmf) δύο μεταβλητών (Χ, Υ) δίδεται από τη σχέση pxy ( xi, y i ) = Κ(x i + y i ) x i = 1,,3 y i = 1, 0 Αλλού όπου, «Κ» είναι μία σταθερά. (α) Υπολογίστε τη τιμή «Κ» (β) Βρείτε τις περιθώριες συναρτήσεις κατανομής (marginal distribution functions) των μεταβλητών Χ και Υ Άσκηση : [15 μονάδες] Η συνδυασμένη κατανομή πιθανότητας (joint probability mass function, pmf) δύο μεταβλητών (Χ, Υ) δίδεται από τη σχέση f XY ( xy=, ) e -(x+y) x >0 y>0 0 Αλλού (α) Είναι οι μεταβλητές Χ και Υ ανεξάρτητες; (β) Υπολογίστε τις δεσμευμένες κατανομές (conditional probability distribution functions) των μεταβλητών Χ και Υ Άσκηση 3: [15 μονάδες] H δύναμη σε τάση ενός δομικού υλικού (tensile strength of a structural material) βρίσκεται να είναι ιδιαίτερα μεταβλητή. Με βάση εργαστηριακές παρατηρήσεις, η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (probability distribution function) της δύναμης τούτης, Χ, του υλικού υπολογίστηκε ότι μπορεί να αντιπροσωπευθεί από τη συνάρτηση f X ( x) x = α 0 < x < 0 N/mm Ποια η πιθανότητα Χ > 10 Ν/mm? 9 Μαρτίου 006
ΠΠΜ 51: Ανάλυση Κινδύνου για ΠΜΜΠ Άσκηση 4: [15 μονάδες] Μια συγκεκριμένη δοκιμή συμπιεστικής αντοχής (compressive strength) 50 κύβων από ένα συγκεκριμένο μίγμα σκυροδέματος οδηγεί στις τιμές μέσης (mean) και σταθερής απόκλισης (standard deviation) των 60,14 και 5,0 Ν/mm αντίστοιχα. Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση κατανομής (probability distribution function) είναι Κανονικής Μορφής (normal pdf), (α) Ποια τιμή συμπιεστικής αντοχής ξεπερνιέται σε 9 από κάθε 10 δοκιμές; (β) Ποια η πιθανότητα η συμπιεστική δύναμη να είναι εντός μιας τυπικής απόκλισης από το παρατηρούμενο μέσο της συνάρτησης κατανομής (1 standard deviation from the observed mean); (γ) Πόσο μικρό μπορεί να είναι το δείγμα για να εξασφαλίσει ότι ο μέσος όρος του (sample mean) είναι εντός 10 N/mm από τον γνήσιο μέσο όρο (population mean), με σιγουριά 99% (confidence interval); Άσκηση 5: [15 μονάδες] Θεωρείστε μια απλοποιημένη διαδικασία κατασκευής ενός σπιτιού, με 4 διαδοχικές φάσεις εργασιών των οποίων η διάρκεια, σε μέρες, χαρακτηρίζεται από κανονική κατανομή (normal pdf) με μέσο όρο διάρκειας μ και διασπορά σ (δηλαδή, διάρκεια t N( μ, σ )) Θεμέλια Δομικά Εσωτερικές Εργασίες Διάφορες Τελικές Εργασίες N(0,5 ) N(40,10 ) N(30,5 ) N(10, ) (α) Ποια η πιθανότητα το έργο να τελειώσει σε 100 μέρες; (β) Ποια είναι η αναμενόμενη διάρκεια κατασκευής του έργου (expected project duration) αν επιζητείται περιθώριο σιγουριάς 95% (confidence interval); (γ) Αν υπάρχει ρήτρα επιβολής προστίμου 1000/μέρα για κάθε μέρα καθυστέρησης του έργου πέραν των 10 ημερών, ποιο είναι το αναμενόμενο συνολικό πρόστιμο (expected total penalty); Άσκηση 6: [15 μονάδες] Ένα πολυώροφο κτίριο υπόκειται σε οριζόντιες δυνάμεις που προκαλούνται από δυνατούς ανέμους. Ένας σημαντικός παράγοντας που θα πρέπει να ληφθεί υπόψη κατά τη διάρκεια σχεδιασμού και κατασκευής του κτιρίου είναι η διάρκεια των ανέμων τούτων. Η διάρκεια, Τ, των ανέμων στη περιοχή του κτιρίου είναι μεταβλητή, με μέγιστη τιμή 18 ωρών. Από παρατηρήσεις ιστορικών δεδομένων για τους ανέμους στη περιοχή μπορούμε να 1.5 υποθέσουμε ότι η συνάρτηση κατανομής (pdf) δίδεται από την εξίσωση ft () t = ct, με μέγιστη διάρκεια (maximum ordinate) την τιμή k. (α) Υπολογίστε τις τιμές c και k. (β) Υπολογίστε το μέσο όρο (mean) και συντελεστή μεταβολής (coefficient of variation) της διάρκειας (Τ). (γ) Ποια η πιθανότητα ένας άνεμος να διαρκεί πάνω από 9 ώρες; Σελίδα 4 από 5
ΠΠΜ 51: Ανάλυση Κινδύνου για ΠΜΜΠ Άσκηση 7: [10 μονάδες] Ο χρόνος, σε μήνες, μεταξύ διακοπών/σπασιμάτων ενός συστήματος κλιματισμού θεωρείται t ότι δίδεται από εκθετική κατανομή (exponential distribution), f () t = λe λ, με λ = 0.. (α) Πόσος είναι ο αναμενόμενος χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών διακοπών του συστήματος (expected time between system breakdowns); (β) Πόση είναι η τυπική απόκλιση του χρόνου μεταξύ διαδοχικών διακοπών (the standard deviation between system breakdowns); (γ) Ποια η πιθανότητα, μετά από μια επιδιόρθωση του συστήματος το σύστημα να διαρκέσει τουλάχιστον 7 μήνες προτού χαλάσει ξανά; (δ) Αν το σύστημα λειτουργούσε ικανοποιητικά για 6 μήνες, ποια η πιθανότητα να συνεχίσει να λειτουργεί για ακόμη μήνες προτού χαλάσει; T Σελίδα 5 από 5