ΕΠΙΚΑΛΥΠΤΟΜΕΝΕΣ ΡΟΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΚΑΛΥΠΤΟΜΕΝΕΣ ΡΟΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Μαρία Σπέη ΑΜ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Ευφροσύνη Μακρή ΠΑΤΡΑ ΜΑΙΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΚΑΛΥΠΤΟΜΕΝΕΣ ΡΟΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Μαρία Σπέη ΑΜ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Ευφροσύνη Μακρή Τριμελής εξεταστική επιτροπή Ευφροσύνη Μακρή Αναπλ Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Πατρών Φίλιππος Αλεβίζος Αναπλ Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Σταύρος Κουρούκλης Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ ΜΑΙΟΣ

Μαρία Ν Σπέη Πτυχιούχος Μαθηματικός Πανεπιστημίου Πατρών Cogh Μαρία Ν Σπέη Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος A ghs eseed Απαγορεύεται η αντιγραφή αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής για εμπορικό σκοπό Επιτρέπεται η ανατύπωση αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Πανεπιστημίου Πατρών

Ευχαριστίες Η εργασία αυτή έγινε στα πλαίσια του Διατμηματικού Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών <<Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων>> υπό την επίβλεψη της κ Ευφροσύνης Μακρή Αναπληρώτριας καθηγήτριας του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών Θα ήθελα να ευχαριστήσω την κυρία Μακρή για την καθοδήγησή της και την πολύτιμη βοήθειά της στην εκπόνηση αυτής της διπλωματικής εργασίας Επίσης θα ήθελα να απευθύνω τις ευχαριστίες μου και στα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής τον κ Φίλιππο Αλεβίζο Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών και τον κ Σταύρο Κουρούκλη Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών που δέχτηκαν να αξιολογήσουν την παρούσα εργασία Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου για την υπομονή και την στήριξή τους σε όλη την διάρκεια των σπουδών μου 7

Περίληψη Θεωρούμε μία ακολουθία από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Beou X X X διατεταγμένες σε γραμμή Τα δυνατά αποτελέσματα είναι δύο και χαρακτηρίζονται ως επιτυχία (S ή ) ή αποτυχία (F ή ) Ροή επιτυχιών είναι μία ακολουθία συνεχόμενων επιτυχιών (S) των οποίων προηγούνται και έπονται αποτυχίες (F) ή τίποτα Μήκος μιας ροής επιτυχιών είναι ο αριθμός των επιτυχιών που περιλαμβάνονται στη ροή Η μελέτη τυχαίων μεταβλητών που σχετίζονται με ροές είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική σε πολλά επιστημονικά πεδία Συγκεκριμένα η μελέτη του αριθμού των ροών επιτυχιών σύμφωνα με διάφορα σχήματα απαρίθμησης αποτελεί ένα ενδιαφέρον θέμα ήδη από την εποχή του De Moe (7) Το 9 ορίστηκε η βάση για τη δημιουργία ελέγχων υποθέσεων από τους Wad και Wofowz (9) και τον Wofowz (9) Επίσης οι ροές χρησιμοποιήθηκαν και στον ποιοτικό έλεγχο από τους Mosee (9) και Wofowz (9) Στις μέρες μας πέρα από τη Στατιστική εφαρμόζεται και σε άλλες επιστημονικές περιοχές όπως η βιολογία (ακολουθίες DA) η οικολογία η ψυχολογία η αστρονομία και η αξιοπιστία μηχανικών συστημάτων Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στην μελέτη τυχαίων μεταβλητών που μετρούν ροές επιτυχιών μήκους Αρχικά αναλύονται οι τυχαίες μεταβλητές και M που παριστάνουν τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σύμφωνα με τον Fee (9) και τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σύμφωνα με τον Lg (9) αντίστοιχα Επίσης μελετάται η ασυμπτωτική τους συμπεριφορά και προσδιορίζεται η κατανομή τους μέσω συνδυαστικών μεθόδων αναδρομικών σχημάτων αθροισμάτων πολυωνυμικών και διωνυμικών συντελεστών καθώς και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Δίνονται εκφράσεις για τη μέση τιμή τη διασπορά και τη ροπογεννήτρια της τυχαίας μεταβλητής M Επιπλέον αναλύεται μια νέα κατηγορία αρνητικής διωνυμικής κατανομής τάξης Στη συνέχεια δίνεται έμφαση στη μελέτη της τυχαίας μεταβλητής η οποία παριστάνει τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε ανεξάρτητες δοκιμές Beou και γίνεται μία αναφορά στις γενικευμένες διωνυμικές κατανομές τάξης Παρουσιάζονται εκφράσεις για τη μέση τιμή και τη πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής και προσδιορίζεται η κατανομή της αναδρομικά συνδυαστικά και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Επίσης μελετάται η τυχαία μεταβλητή σε ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας oa-eggebege Τέλος γίνεται σύνδεση της αξιοπιστίας -συνεχόμενων- -από-τα- συστημάτων αποτυχίας με τις κατανομές των τυχαίων μεταβλητών και και παρουσιάζονται εκφράσεις για τον M υπολογισμό της αξιοπιστίας αυτών των συστημάτων 9

Oeag success us ad acaos Absac Cosde a seuece X X X of ba as wh oucoes aaged o a e Thee ae wo ossbe oucoes ehe a success (S ή ) o a faue (F ή ) A success u s a seuece of cosecue successes eceded ad foowed b faues (F) o b ohg The ube of successes a success u s efeed o as s egh The coce of us has bee used aous aeas I he ea 9s was used he aea of hohess esg (u es) b Wad ad Wofowz (9) ad Wofowz (9) ad he aea of sasca ua coo b Mosee (9) ad Wofowz (9) Rece has bee successfu used a ohe aeas such as eab of egeeg sses ua coo DA seuecg schoog ecoog ad ada asoo Dffee eueae schees hae bee eoed whe dscussg he ube of success us The sud of he ado aabes ad M eeseg he ube of o-oeag cosecue successes he sese of Fee s (9) coug ad he ube of oeag cosecue successes he sese of Lg s (9) coug esece s oa fo hs sud Aso he asoc behao of hese ado aabes s dscussed The ehods ha hae bee used o oba he dsbuos of ad ae aso eseed e cobaoa aass ecuse schees ad he Mao cha beddg echue The ea he aace ad he oe geeag fuco of ae ge I addo a ew cass of egae boa dsbuo of ode s aazed Ths wo s focused o he sud of he ado aabe whch eeses he ube of - oeag success us of egh Beou as Ou sud ges a oeew of esus efeg o he dsbuo of he ado aabe defed o seueces of Beou as (deede ad deca dsbued) ad Mao as Aso fouae fo he ea aue ad he obab geeag fuco of ae eseed The dsbuo of s deeed ecuse cobaoa ad a he Mao cha beddg echue Moeoe he ado aabe s suded fo seueces wh oucoes fo a oa- Eggebege sag schee M M The dsbuos of M ad s used o sud -cosecue- -ou-of- :F sses e sses ha fa f ad o f a eas seueces of cosecue cooes fa Seea esus coceg he eab of such sses ae aso eseed

Πίνακας περιεχομένων Εισαγωγή Μελέτη της τυχαίας μεταβλητής σε ανεξάρτητες δοκιμές Beou Ασυμπτωτική συμπεριφορά της Η κατανομή της μέσω συνδυαστικών μεθόδων 9 Εμβάπτιση τυχαίας μεταβλητής σε πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Εύρεση της κατανομής του αριθμού των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους με την μέθοδο της εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Τρόπος μέτρησης των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών σύμφωνα με τον Lg 7 Η κατανομή της M 7 Μέση Τιμή Διασπορά και Ροπογεννήτρια της M Συνάρτηση πιθανότητας και πιθανογεννήτρια συνάρτηση της B ΙΙ () 7 Εύρεση της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής M μέσω εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Ασυμπτωτική κατανομή της τυχαίας μεταβλητής M Μια νέα κατηγορία Αρνητικής Διωνυμικής Κατανομής τάξης 7 7 Ιδιότητες της τυχαίας μεταβλητής W ΙΙ Επικαλυπτόμενες ροές επιτυχιών μήκους Γενικευμένες διωνυμικές κατανομές τάξης Ο αριθμός των -επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε ανεξάρτητες δοκιμές 7 Εύρεση της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής μέσω εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Σχήμα δειγματοληψίας oa-eggebege 7 Εφαρμογές στην αξιοπιστία συστημάτων 9 Εισαγωγικές έννοιες 9 -συνεχόμενα--από-τα-:f συστήματα αποτυχίας με μη επικαλυπτόμενες ροές 9 -συνεχόμενα--από-τα-:f συστήματα με επικαλυπτόμενες ροές Γραμμικό -συνεχόμενο- -από-τα-:f σύστημα Αναφορές 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Οι δοκιμές Beou των οποίων η ονομασία οφείλεται στον Σουηδό μαθηματικό Jaes Beou (-7) οδηγούν στον ορισμό της αντίστοιχης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με τον όρο δοκιμή Beou αναφερόμαστε σε ένα πείραμα με δύο δυνατά αποτελέσματα Το ένα από τα δύο αποτελέσματα θα ονομάζεται επιτυχία (S ή ) ενώ το άλλο αποτυχία (F ή ) Έστω X μια τυχαία μεταβλητή με πεδίο τιμών το και συνάρτηση πιθανότητας X Η τυχαία μεταβλητή X λέγεται τυχαία μεταβλητή Beou Θεωρούμε μία ακολουθία από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Beou διατεταγμένες σε γραμμή με πιθανότητα επιτυχίας της αποτυχίας X X X X X και πιθανότητα X Ροή επιτυχιών είναι μία ακολουθία συνεχόμενων επιτυχιών (S) των οποίων προηγούνται και έπονται αποτυχίες (F) ή τίποτα Μήκος μιας ροής επιτυχιών είναι ο αριθμός των επιτυχιών που περιλαμβάνονται στη ροή Για παράδειγμα έστω ότι εκτελούμε διαδοχικές επαναλήψεις ενός πειράματος Beou με δύο δυνατά αποτελέσματα (S για κάθε επιτυχία και F για κάθε αποτυχία) Αν υποθέσουμε ότι προέκυψε η ακολουθία αποτελεσμάτων SSSSFFSSSFFF τότε μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι έχουμε διαδοχικά μία ροή επιτυχιών μήκους και μία ροή επιτυχιών μήκους (Επίσης έχουμε και δύο ροές αποτυχιών) Η μελέτη τυχαίων μεταβλητών που σχετίζονται με ροές είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική σε πολλά επιστημονικά πεδία Συγκεκριμένα η μελέτη του αριθμού των ροών επιτυχιών σύμφωνα με διάφορα σχήματα απαρίθμησης αποτελεί ένα ενδιαφέρον θέμα ήδη από την εποχή του De Moe (7) Το 9 ορίστηκε η βάση για την δημιουργία ελέγχων υποθέσεων από τους Wad και Wofowz (9) και τον Wofowz (9) Επίσης οι ροές χρησιμοποιήθηκαν και στον ποιοτικό έλεγχο από τους Mosee (9) και Wofowz (9) Στις μέρες μας πέρα από τη Στατιστική βρίσκει εφαρμογές και σε άλλες επιστημονικές περιοχές όπως η βιολογία (ακολουθίες DA) η οικολογία η ψυχολογία η αστρονομία και η αξιοπιστία μηχανικών συστημάτων

Έτσι μπορούμε να ορίσουμε μία σειρά από τυχαίες μεταβλητές που αναφέρονται σε αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης με δυο δυνατά αποτελέσματα Τέτοιες τυχαίες μεταβλητές είναι η που παριστάνει τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους η M που παριστάνει τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους η G που παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον η E που παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους ακριβώς και η επιτυχιών στην ακολουθία L που παριστάνει το μέγιστο μήκος ροής Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία από ανεξάρτητες δοκιμές Beou Θα υπολογίσουμε τις τιμές των παραπάνω τυχαίων μεταβλητών για διάφορες τιμές του SSFSSSFFSSSSSFS Για έχουμε: M 7 G E Για έχουμε: M G E Για έχουμε: M G E Τέλος L Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στις τυχαίες μεταβλητές που μετρούν ροές επιτυχιών μήκους Παρουσιάζονται μελέτες που έχουν γίνει για τις μεταβλητές αυτές σε ακολουθίες δυαδικών τυχαίων μεταβλητών οι οποίες είναι διατεταγμένες σε γραμμή Πιο συγκεκριμένα στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύεται η τυχαία μεταβλητή Δίνεται η ασυμπτωτική συμπεριφορά της τυχαίας μεταβλητής και προσδιορίζεται η κατανομή της μέσω συνδυαστικών μεθόδων και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Στο τρίτο κεφάλαιο προσδιορίζεται η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής M μέσω πινάκων πιθανοτήτων μετάβασης (με τη μέθοδο εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα) αναδρομικών σχέσεων και αθροισμάτων πολυωνυμικών ή διωνυμικών συντελεστών Επιπλέον δίνονται τύποι για τη μέση τιμή τη διασπορά και την ροπογεννήτρια και παρουσιάζονται εκφράσεις για την πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής M Στη συνέχεια γίνεται αναφορά στην

ασυμπτωτική κατανομή της τυχαίας μεταβλητής M και παρουσιάζεται μια νέα κατηγορία αρνητικής διωνυμικής κατανομής τάξης Στο τέταρτο κεφάλαιο δίνεται έμφαση στη μελέτη της τυχαίας μεταβλητής η οποία παριστάνει τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε ανεξάρτητες δοκιμές Beou και αποτελεί γενίκευση των και M Γίνεται μία αναφορά στις γενικευμένες διωνυμικές κατανομές τάξης Ακόμη παρουσιάζονται εκφράσεις για τη μέση τιμή και τη πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής και προσδιορίζεται η κατανομή της αναδρομικά συνδυαστικά και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Επίσης μελετάται η τυχαία μεταβλητή σε ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας oa-eggebege Ο κύριος σκοπός του πέμπτου και τελευταίου κεφαλαίου είναι η σύνδεση της αξιοπιστίας των - συνεχόμενων- -από-τα- συστημάτων αποτυχίας με τις κατανομές των τυχαίων μεταβλητών M και συστημάτων Τέλος παρουσιάζονται εκφράσεις για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας αυτών των 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μελέτη της τυχαίας μεταβλητής σε ανεξάρτητες δοκιμές Beou Ασυμπτωτική συμπεριφορά της Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε την τυχαία μεταβλητή και θα προσδιορίσουμε την κατανομή της Θεωρούμε μια ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων δοκιμών Beou Η τυχαία μεταβλητή αυτή παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους σε μία ακολουθία δοκιμών Beou δηλαδή τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων συνεχόμενων επιτυχιών σε δοκιμές Beou Όταν συνεχόμενες επιτυχίες εμφανίζονται μία ροή μήκους δημιουργείται και η διαδικασία απαρίθμησης αρχίζει εκ νέου Αυτός ο τρόπος απαρίθμησης ονομάζεται απαρίθμηση μη επικαλυπτόμενων ροών και η αντίστοιχη τυχαία μεταβλητή που μετρά τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων ροών μήκους σε δοκιμές θα συμβολίζεται με Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία από ανεξάρτητες δοκιμές Beou Θα καταγράψουμε την τιμή της μεταβλητής για διάφορες τιμές του SSFSSSFFSS SSFS Για έχουμε: SSFSSSFFSS SSFS Για έχουμε: SSFSSSFFSS SSFS Για έχουμε: SSFSSSFFSS SSFS

Θεωρούμε μία τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε δοκιμές Beou και W την τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των πειραμάτων Beou μέχρι την πραγματοποίηση συνεχόμενων επιτυχιών φορές Ο Fee (9) μέσω της θεωρίας των ανανεωτικών διαδικασιών έδωσε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της τυχαίας μεταβλητής και έδειξε την ασυμπτωτική κανονικότητα μιας κανονικοποιημένης έκφρασής της μέσω της σχέσης W / μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών και W Έδειξε δηλαδή ότι για μεγάλο αν τότε = / e d όπου και είναι η μέση τιμή και η διασπορά αντίστοιχα μιας τυχαίας μεταβλητής X με γεωμετρική κατανομή τάξης και Η κατανομή της μέσω συνδυαστικών μεθόδων Στην συνέχεια θα δώσουμε ακριβείς τύπους της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής μέσω συνδυαστικών μεθόδων Οι hou και Ma (9) καθώς και ο Hao (9) ανεξάρτητα έδωσαν ακριβή τύπο για την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Έτσι έδωσαν το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα Έστω μία τυχαία μεταβλητή η οποία παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους σε ανεξάρτητες δοκιμές με πιθανότητα επιτυχίας ( < < ) Τότε 9

/ όπου το εσωτερικό άθροισμα ορίζεται πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους με και Παρατηρήσεις Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής θα συμβολίζεται ) ( B και θα ονομάζεται διωνυμική κατανομή τάξης με διάνυσμα παραμέτρων ) ( Ισχύει ότι )! ( )! ( Στην περίπτωση όπου παίρνουμε την γνωστή διωνυμική κατανομή ) ( ) ( B B Ως εκ τούτου η ) ( B είναι μία γενικευμένη διωνυμική κατανομή Πράγματι για έχουμε: ) ( όπου Για όχι μεγάλες τιμές του ο τύπος του Θεωρήματος είναι εύκολος στην χρήση Επειδή για μεγάλο οι πολυωνυμικοί συντελεστές καθιστούν τον υπολογισμό δύσκολο ο Godboe (99) στηριζόμενος στο Θεώρημα έδωσε έναν εναλλακτικό τύπο για την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής μέσω διωνυμικών συντελεστών Πριν προχωρήσουμε στο θεώρημα του Godboe (99) θα παραθέσουμε ένα λήμμα που δίνει το άνω και το κάτω φράγμα του αριθμού των αποτυχιών της ακολουθίας με δεδομένο ότι Λήμμα Έστω Y ο αριθμός των αποτυχιών που έχουμε σε μία ακολουθία από δοκιμές Beou και Τότε ισχύει η σχέση Y / Πιο συγκεκριμένα

Y αν και μόνο αν / όπου είναι το ακέραιο μέρος του Στο ακόλουθο θεώρημα δίνεται ο τύπος του Godboe (99) για την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Θεώρημα Θεωρούμε δοκιμές Beou με πιθανότητα επιτυχίας και έστω η παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους Τότε / Εμβάπτιση τυχαίας μεταβλητής σε πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Στη συνέχεια θα αναλύσουμε την μέθοδο που έδωσαν οι Fu και Kouas (99) για να προσδιορίσουν την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής ακολουθώντας έναν διαφορετικό τρόπο Οι Fu και Kouas (99) παρουσίασαν έναν τρόπο εύρεσης της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας την μέθοδο εμβάπτισης τυχαίων μεταβλητών ακεραίων μη αρνητικών τιμών σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Όλα τα αποτελέσματα που θα δοθούν αναφέρονται σε ανεξάρτητες αλλά όχι απαραίτητα ισόνομες δοκιμές Beou Έτσι η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής που μας ενδιαφέρει μπορεί να εκφραστεί μέσω των πιθανοτήτων μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας Στη συνέχεια δίνονται κάποιες εισαγωγικές έννοιες σχετικές με την τεχνική εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Για δεδομένο έστω ένα σύνολο δεικτών και πεπερασμένος χώρος καταστάσεων ένας Ορισμός Μία μη αρνητική ακέραια τυχαία μεταβλητή X μπορεί να εμβαπτιστεί σε πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα εάν:

Υπάρχει μία πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Y χώρο καταστάσεων Υπάρχει μία πεπερασμένη διαμέριση C καταστάσεων Για κάθε Έχουμε επίσης ότι: έχουμε X Y C : ορισμένη στον πεπερασμένο του πεπερασμένου χώρου είναι ένας αλυσίδας πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης της πεπερασμένης Μαρκοβιανής : U είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα διάστασης στοιχείο και μηδέν οπουδήποτε αλλού U είναι ο ανάστροφος πίνακας του U διάστασης Για κάθε διαμέριση C ορίζεται ένα το οποίο έχει μονάδα στο -οστό διάνυσμα τέτοιο ώστε UC U : a C Θεώρημα Αν η X μπορεί να εμβαπτιστεί σε μία πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα τότε: X U C όπου Y Y Y καταστάσεων της Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι διάνυσμα πιθανοτήτων αρχικών Παρατήρηση Αν η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι ομογενής (ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές Beou) τότε ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης είναι ίσος με για όλα τα Έτσι η ακριβής κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X εκφράζεται ως εξής: X UC Γενικεύοντας για να βρούμε την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής με την μέθοδο αυτή χρειάζεται να κατασκευάσουμε τα εξής: () έναν κατάλληλο χώρο καταστάσεων () μία κατάλληλη διαμέριση C του χώρου καταστάσεων και () τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης ο οποίος σχετίζεται με την τεχνική εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα

Εύρεση της κατανομής του αριθμού των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους με την μέθοδο της εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Σε μία σειρά από εργασίες στην αξιοπιστία όπως των Fu (9) Fu και Hu (97) και Chao και Fu (99 99) έχει αποδειχθεί ότι η πιθανότητα ( ) μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο U όπου και U είναι διανύσματα διάστασης πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης διάστασης και είναι ο A e e είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα διάστασης και A είναι πίνακας διάστασης όπου Η βασική ιδέα εύρεσης κατανομής των τυχαίων μεταβλητών που αφορούν ροές είναι να δούμε τον τρόπο που μετράμε τις ροές επιτυχιών σε μία ακολουθία με δοκιμές Beou σε μια πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα με κατάλληλο χώρο καταστάσεων και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης Ένα τυπικό στοιχείο του χώρου καταστάσεων μπορεί να αναπαρασταθεί από μία δυάδα της μορφής και ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης θα έχει την μορφή ; ; Y Y το γεγονός Για από ροές επιτυχιών μέχρι την όπου Y δηλώνει ότι σε μία ακολουθία αποτελεσμάτων έχουμε εμφανίσεις οστή δοκιμή και το τελευταίο αποτέλεσμα είναι αποτυχία ή αρχίζουμε να μετράμε για την επόμενη ροή Εάν το σύστημα είναι στην κατάσταση μετά την

δοκιμή και στην οστή δοκιμή συμβεί αποτυχία τότε το σύστημα μεταβαίνει στην κατάσταση Αυτό συμβαίνει γιατί οποτεδήποτε συμβεί αποτυχία πρέπει να ξεκινήσουμε να ; μετράμε την επόμενη ροή από την αρχή Έτσι η πιθανότητα μετάβασης είναι Για να συμπληρώσουμε τον πίνακα μετάβασης αυτό που χρειάζεται είναι να δούμε τις πιθανότητες μετάβασης όταν συμβαίνει επιτυχία στην οστή δοκιμή Beou Φυσικά αυτές οι πιθανότητες μετάβασης βασίζονται στην κατασκευή των συγκεκριμένων τυχαίων μεταβλητών Θεωρούμε ότι Y και ότι η τελευταία κατάσταση της Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι μία απορροφητική κατάσταση οπότε η τελευταία γραμμή του πίνακα είναι ίση με Συγκεκριμένα για την εμβάπτιση της τυχαίας μεταβλητής παρακάτω αποτελέσματα () Χώρος καταστάσεων Θεωρούμε τον χώρο καταστάσεων : σε Μαρκοβιανή αλυσίδα ισχύουν τα και και την πεπερασμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα Y / κάθε ακολουθία αποτελεσμάτων μήκους SFS F SS S : ορισμένη πάνω στον Ω Για είναι ο αριθμός των συνεχόμενων S μετρώντας από το τέλος (= αν το αποτέλεσμα είναι F ή είναι θετικό πολλαπλάσιο του ) Έτσι ορίζουμε Y συνεχόμενες επιτυχίες μέχρι το πείραμα και od () Διαμερίσεις Για δεδομένο σύνολο C : Y C εάν υπάρχουν μη επικαλυπτόμενες θεωρούμε το υποσύνολο του : αποτελεί μία διαμέριση του χώρου καταστάσεων C Το και

() Πίνακας μετάβασης Η περιγραφή του μοντέλου θα ολοκληρωθεί εάν προσδιοριστούν οι πιθανότητες μετάβασης από την στην Έτσι έχουμε: Y Y εάν και για και εάν και για και εάν και για και εάν και διαφορετικά Με βάση τους παραπάνω κανόνες ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης για την μεταβλητή θα έχει την μορφή: A B A B A B * A και η διάστασή του είναι C Ο πίνακας B είναι ένας πίνακας διάστασης που έχει πιθανότητα στην είσοδο και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του είναι μηδέν Ο πίνακας μορφής A είναι ένας πίνακας διάστασης της A

Ο πίνακας A είναι ένας πίνακας της ίδιας μορφής με τον A μόνο που στην τελευταία του γραμμή έχει το διάνυσμα Όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα είναι μηδέν Ως εκ τούτου από το Θεώρημα συμπεραίνουμε ότι U C

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρόπος μέτρησης των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών σύμφωνα με τον Lg Η κατανομή της M Σε αυτό το κεφάλαιο θα αναφέρουμε έναν άλλο τύπο διωνυμικής κατανομής τάξης που εισήχθη από τον Lg (9) Προκειμένου να γίνει διάκριση μεταξύ των δύο διωνυμικών κατανομών τάξης θα ονομάζουμε Τύπου Ι αυτήν που μελετήθηκε από τον Hao (9) και τους hou και Ma (9) και Τύπου ΙΙ αυτήν που μελετήθηκε από τον Lg (9) Έτσι θα συμβολίζουμε την Τύπου Ι διωνυμική κατανομή τάξης με B και την Τύπου ΙΙ με B Έστω θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε Για να καθορίσουμε την διωνυμική κατανομή Τύπου ΙΙ θεωρούμε μία ακολουθία αποτελούμενη από ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές Beou X X X με συνάρτηση πιθανότητας X όπου Για κάθε ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή Y ως εξής: X Y Έστω ότι M είναι το άθροισμα όλων των Y δηλαδή M Y Y Y Είναι φανερό ότι η τυχαία μεταβλητή M δίνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους και κάθε τέτοια ροή δίνει μία συμβολή από στην M Η κατανομή της M θα ονομάζεται διωνυμική κατανομή τάξης Τύπου ΙΙ Ουσιαστικά ο Lg (9) πρότεινε έναν διαφορετικό τρόπο μέτρησης των ροών επιτυχιών (Τύπου ΙΙ) Σύμφωνα με αυτόν οι διαδοχικές ροές μπορούν να επικαλύπτονται Μία επιτυχία μπορεί να αποτελεί τμήμα περισσοτέρων της μιας ροής Έτσι η τυχαία μεταβλητή M παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους σε μία ακολουθία δοκιμών Beou δηλαδή τον αριθμό των επικαλυπτόμενων συνεχόμενων επιτυχιών σε δοκιμές Beou 7

Παρατηρήσεις Στην περίπτωση όπου παίρνουμε την γνωστή διωνυμική κατανομή B Πράγματι για έχουμε: M Y Y Y Y Y Y X X X όπου Y X X X Αφού η τυχαία μεταβλητή M γίνεται άθροισμα τυχαίων μεταβλητών Beou τότε η M θα ακολουθεί την γνωστή διωνυμική κατανομή Επειδή το σύνολο των τιμών κάθε τυχαίας μεταβλητής X είναι το σύνολο τιμών κάθε τυχαίας μεταβλητής Y τιμών της τυχαίας μεταβλητής θα είναι επίσης το M είναι το Άρα το σύνολο Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία από ανεξάρτητες δοκιμές Beou Θα υπολογίσουμε την τιμή της μεταβλητής SSFSSSFFSS SSFS Για έχουμε: M SSFSSSFFSS SSFS Για έχουμε: M SSFSSSFFSS SSFS Για έχουμε: M SSFSSSFFSS SSFS M για διάφορες τιμές του Παράδειγμα Στον ακόλουθο πίνακα δίνονται οι τιμές της M M για

Για και οι δυνατές περιπτώσεις που έχουμε είναι: ή ή ή ή Επομένως M Για και οι δυνατές περιπτώσεις που έχουμε είναι: ή ή ή ή ή ή ή M Επομένως Για και οι δυνατές περιπτώσεις που έχουμε είναι: ή ή ή ή Επομένως M Στην συνέχεια βρίσκουμε την μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής M για τις διάφορες τιμές του Για έχουμε: E M Για έχουμε: E M Για έχουμε: E M 9

Παρατηρούμε ότι M E έκφραση της μέσης τιμής που αποδεικνύεται στην συνέχεια Ένας αναδρομικός τρόπος υπολογισμού της M είναι ο ακόλουθος και δόθηκε από τον Lg (9) Θεώρημα Έστω M ο αριθμός των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε δοκιμές Beou Τότε M M a αν αν αν Απόδειξη Για έχουμε: Y Y Y Y Y Y M X X X X X X Για έχουμε: M Y Y Y Y Y Y Y Y Y

X X X X X X X X Για έχουμε: Ορίζουμε τα γεγονότα A όπου ως A το πρώτο παρατηρείται στο X Τότε το σύνολο A για και A X για A A αποτελεί μία διαμέριση του δειγματικού χώρου Ως εκ τούτου για το γεγονός M μπορεί να γραφεί σαν ένωση των ξένων μεταξύ τους γεγονότων M A Δεδομένου του γεγονότος A το X X X δίνει συμβολή a στην M και το X X που είναι ανεξάρτητο από τα X X M Έτσι έχουμε: M A M A M δίνει συμβολή a στην M A A A M a M a Παρατήρηση Για προφανώς M Ο Lg (9) έδωσε έναν εναλλακτικό κλειστό τύπο για M που έδωσαν οι hou και Ma (9) και ο Hao (9) για την μεταβλητή Θεώρημα Έστω με μέθοδο ανάλογη αυτής M ο αριθμός των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε δοκιμές Beou Τότε η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής M δίνεται από τη σχέση

M όπου το άθροισμα ορίζεται πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: και Απόδειξη Ένα τυπικό στοιχείο του γεγονότος τέτοια ώστε: a M είναι μία διάταξη της μορφής: από τα είναι e από τα είναι e από τα είναι e από τα είναι e όπου τα ικανοποιούν τις δύο συνθήκες που προαναφέραμε Στη δεύτερη συνθήκη το a είναι ο αριθμός των συνεχόμενων επιτυχιών (όπως θεωρεί αυτές ο Lg) που βρίσκονται στις επιτυχίες μετά την τελευταία αποτυχία ενώ το είναι ο αριθμός των συνεχόμενων επιτυχιών (ροών επιτυχιών μήκους ) που βρίσκονται στις Αν θεωρήσουμε σταθερό το τότε ο αριθμός των παραπάνω διατάξεων είναι αρχικές προσπάθειες

και κάθε μία από αυτές τις διατάξεις έχει πιθανότητα e e e αφού Επομένως έχουμε: M όπου το εσωτερικό άθροισμα ορίζεται πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους οι οποίοι ικανοποιούν τις δύο συνθήκες που δίνονται στην εκφώνηση του θεωρήματος Στην συνέχεια δίνουμε ένα παράδειγμα για την εύρεση της συνάρτησης πιθανότητας της τμ M χρησιμοποιώντας τον τύπο του Lg (9) Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε μία ακολουθία από ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές Beou με και έστω Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα M Αρχικά θα πρέπει να επιλύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

a που αποτελεί τον περιορισμό για τους μη αρνητικούς ακεραίους Πιο συγκεκριμένα έχουμε Για : Επίλυση του συστήματος Για : Επίλυση του συστήματος Είναι αδύνατο Για : Επίλυση του συστήματος Είναι αδύνατο Για : Επίλυση του συστήματος

Για : Επίλυση του συστήματος Είναι αδύνατο Επομένως M!!!!!!!!!! Μέση Τιμή Διασπορά και Ροπογεννήτρια της M Στην συνέχεια θα δοθούν οι εκφράσεις για την μέση τιμή E την διασπορά ροπογεννήτρια G M της τυχαίας μεταβλητής M σύμφωνα με τον Lg (9) Va και την M Θεώρημα E M () () Va M () G e a G e όπου G αν

Απόδειξη Για να υπολογίσουμε την μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής M θα χρησιμοποιήσουμε την έκφραση M Y Y Y Ως εκ τούτου χρειαζόμαστε την μέση τιμή και την διασπορά για κάθε μεταβλητή Y και την συνδιασπορά των Y για κάθε ζεύγος δεκτών Παρατηρούμε ότι: Y οι τυχαίες μεταβλητές Y έχουν την ίδια κατανομή οι Y έχουν την ίδια κατανομή (για σταθερό και μεταβαλλόμενο ) Y οι τυχαίες μεταβλητές Y Y είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν Έτσι έχουμε: E Y X E Y Y () E M E Y Y Y E Y E Y E Y Άρα () Va Y EY EY Για έχουμε: Y Y Y Y X E και Co Άρα Y Y EY Y EY EY M Va Y Y Y Va = Va Y CoY Y

() G Ee M Ee M A A όπου A X X X X Παρατηρούμε ότι: Y Y Y a Y και Y Y Y Y είναι ανεξάρτητα Επομένως με δεδομένο A και M για M a M έχουμε: Άρα G E E e e a e a E e M e e a G e όπου G Ee M e M e αν Παρατήρηση Η προσέγγιση αυτή που δόθηκε από τον Lg (9) για την εύρεση της κατανομής της M μπορεί να εφαρμοστεί και στην περίπτωση όπου οι X είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές αλλά όχι ισόνομες Συνάρτηση πιθανότητας και πιθανογεννήτρια συνάρτηση της B ΙΙ () Στην συνέχεια θα δώσουμε την πιθανογεννήτρια συνάρτηση και την συνάρτηση πιθανότητας της Τύπου ΙΙ διωνυμικής κατανομής τάξης Το ακόλουθο λήμμα έχει αποδειχθεί από τον Lg (9) Λήμμα Έστω ακόλουθη αναδρομική σχέση η πιθανογεννήτρια συνάρτηση της B Τότε η ικανοποιεί την 7

a όπου αν Στην συνέχεια οι Hao A Kashwag και Kubo (99) έδωσαν τον ακόλουθο τύπο για την Θεώρημα Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση της B μπορεί να γραφεί ως εξής όπου αν αν Απόδειξη Θέτουμε z z Αυτές οι σειρές συγκλίνουν απολύτως για και z Αθροίζοντας ως προς και τα δύο μέλη της εξίσωσης του λήμματος αφού έχουμε πολλαπλασιάσει με z έχουμε: z z z z z z z z z z z z Ως εκ τούτου z z z z z z z z z Επειδή η είναι ο συντελεστής του z καταλήγουμε στο εξής

9 Το επόμενο θεώρημα δίνει έναν τύπο για την συνάρτηση πιθανότητας της B διαφορετικό από αυτόν του Lg Έτσι σύμφωνα με τους Hao A Kashwag και Kubo (99) έχουμε: Θεώρημα Για M Απόδειξη Η συνάρτηση πιθανότητας M είναι ο συντελεστής του της στο Θεώρημα Παρατηρούμε ότι Έτσι έχουμε M Στην συνέχεια θέτουμε Οπότε έχουμε:

Έτσι προκύπτει ότι M Ο Godboe (99) βρήκε έναν εναλλακτικό τύπο για την M ο οποίος είναι ουσιαστικά απλούστερος να εφαρμοστεί από τον τύπο του Lg (9) και των Hao A Kashwag και Kubo (99) Θεωρούμε μια ακολουθία X X από ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές Beou () και έστω Y Y M M και L L που συμβολίζουν τον αριθμό των αποτυχιών τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους και το μήκος της μεγαλύτερης ροής επιτυχιών αντίστοιχα Ο τύπος αυτός δεν περιέχει πολυωνυμικούς συντελεστές και περιλαμβάνει μία βοηθητική μεταβλητή V η οποία παριστάνει τον αριθμό των φορών που απαιτούνται λιγότερες από επιτυχίες μέχρι την εμφάνιση της πρώτης αποτυχίας σε μία ακολουθία πειραμάτων Beou Έτσι ορίζουμε τις βοηθητικές μεταβλητές: και w Στο θεώρημα που ακολουθεί δίνεται ο τύπος του Godboe (99) Θεώρημα Έστω M ο αριθμός των επικαλυπτόμενων ροών μήκους σε δοκιμές Beou () Τότε M M / / και για M

Απόδειξη Για την απόδειξη του θεωρήματος πρέπει αρχικά να αναφέρουμε δύο συμπεράσματα στα οποία κατέληξε ο Godboe (99) () s s s s () Είναι προφανές ότι M Επίσης ο Godboe (99) έδειξε ότι L M / / Θα επικεντρωθούμε στη συνέχεια στην περίπτωση που Με την χρήση των βοηθητικών μεταβλητών οι συνθήκες του Θεωρήματος του Lg (9) μπορούν να ξαναγραφούν ως εξής: a a

a a και a a Έτσι η συνάρτηση πιθανότητας του Θεωρήματος μπορεί να γραφεί ως εξής: V Y M M w Στην συνέχεια χωρίζουμε το τρίτο άθροισμα της παραπάνω σχέσης σε δύο μέρη και έχουμε w M w

όπου τα αθροίσματα μέχρι ικανοποιούν τις σχέσεις: w και w αντίστοιχα Στην συνέχεια εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι τα αθροίσματα και είναι ανεξάρτητα από το Το άθροισμα ικανοποιεί τις σχέσεις w και Από το συμπέρασμα () του Godboe (99) έχουμε w w w Το άθροισμα ικανοποιεί τις σχέσεις

Από το συμπέρασμα () του Godboe (99) έχουμε Άρα w w M w Με τον ίδιο τρόπο αναλύουμε και τα αθροίσματα και Το άθροισμα ικανοποιεί τις συνθήκες και Από το συμπέρασμα () του Godboe (99) έχουμε Το άθροισμα ικανοποιεί τις συνθήκες w και

Από το συμπέρασμα () του Godboe (99) έχουμε w w w Άρα M Θέλουμε να εξαλείψουμε το από τα αθροίσματα Έτσι με την βοήθεια του συμπεράσματος () του Godboe (99) έχουμε

Τελικά έχουμε M Οι Chssahou aasads & Tsaeas (99) έδωσαν μία αναδρομική σχέση για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας της M Θεώρημα 7 Έστω M και Τότε η ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις: για

για ή για για όπου αν αν Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε μία ακολουθία από ανεξάρτητες δοκιμές Beou με Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα για Για να βρούμε την πιθανότητα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τις πιθανότητες Έτσι έχουμε: και 7

Άρα Επομένως για μία συγκεκριμένη τιμή έστω έχουμε Βέβαια στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήξουμε αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Lg (9) για την συνάρτηση πιθανότητας της τμ M Εύρεση της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής M μέσω εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Στη συνέχεια θα αναλύσουμε την μέθοδο που ακολούθησαν οι Fu και Kouas (99) για να δώσουν τον τύπο της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής M Οι Fu και Kouas (99) παρουσίασαν έναν τρόπο εύρεσης της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής M χρησιμοποιώντας την μέθοδο εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής ακεραίων μη αρνητικών τιμών σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Η μέθοδος αυτή είναι ανάλογη αυτής που αναφέραμε στο Κεφάλαιο για την μεταβλητή Η Μαρκοβιανή αλυσίδα Y καταστάσεων : που συνδέεται με την M είναι ορισμένη στον χώρο M : και όπου

Θεωρούμε ότι είναι ο αριθμός των συνεχόμενων επιτυχιών μετρώντας από το τέλος και ο αριθμός των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους μέχρι την Y αν και ; οστή δοκιμή Ορίζουμε Y αν Οι πιθανότητες μετάβασης είναι οι εξής ; για και ; για ; για Η αντίστοιχη διαμέριση του χώρου καταστάσεων καθορίζεται από M C : C και C : Έτσι η ακριβής κατανομή της τυχαίας μεταβλητής M θα βρεθεί από τον ακόλουθο τύπο: M U C όπου Y Y Y είναι διάνυσμα αρχικών καταστάσεων της Μαρκοβιανής αλυσίδας και U C το διάνυσμα με μονάδα στην τιμή του που αναφερόμαστε και μηδέν σε όλα τα υπόλοιπα Τέλος είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης διάστασης C Παράδειγμα Θα υπολογίσουμε την συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής M με την μέθοδο εμβάπτισης έχοντας δοκιμές Beou διατεταγμένες σε γραμμή και Έχουμε λοιπόν και Όπως έχουμε αναφέρει για να μπορέσουμε να βρούμε την κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής με την μέθοδο εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα πρέπει να κατασκευάσουμε: 9

κατάλληλο χώρο καταστάσεων μία διαμέριση του χώρου καταστάσεων τον αντίστοιχο πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης Έτσι ο χώρος καταστάσεων είναι Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης M M θα είναι της μορφής M Επειδή έχουμε ότι και για κάθε τότε M Η διαμέριση του χώρου καταστάσεων για το συγκεκριμένο παράδειγμα θα είναι: C C C και C Επειδή έχουμε ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές Beou προκύπτει ότι M Μετά από πράξεις

7 7 Αυτό που θέλουμε να υπολογίσουμε εδώ είναι C U M για κάθε Αρχικά θα υπολογίσουμε την περίπτωση όπου το Κάνοντας αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο έχουμε: C U M

7 7 Για έχουμε: C U M

7 7 Για έχουμε: C U M

7 7 Για έχουμε: C U M

7 7 M M M M M

Ασυμπτωτική κατανομή της τυχαίας μεταβλητής M Οι Hao A Kashwag Kubo (99) έδειξαν ότι η κατανομή της M είναι ασυμπτωτικά κανονική Έτσι έχουμε το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα Έστω M μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Τύπου ΙΙ διωνυμική κατανομή τάξης Τότε καθώς έχουμε M όπου Στην συνέχεια ο Godboe (99) έδειξε ένα κεντρικό οριακό θεώρημα για τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους με την αξιοποίηση του γεγονότος ότι η M μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα των -εξαρτημένων δεικτριών τυχαίων μεταβλητών Z X X M όπου αν πραγματοποιηθεί το Α και διαφορετικά Συγκεκριμένα απέδειξε ότι η οριακή κατανομή του / M όπου z και z είναι η τυπική κανονική κατανομή

Μια νέα κατηγορία Αρνητικής Διωνυμικής Κατανομής τάξης Θεωρούμε μία ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών X X που ακολουθούν την κατανομή Beou έτσι ώστε X X Έστω ένας θετικός ακέραιος και W ο μικρότερος ακέραιος έτσι ώστε να υπάρχει μία ροή επιτυχιών μήκους στην ακολουθία X X X Τότε η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή τάξης με παράμετρο η οποία συμβολίζεται με συνάρτηση πιθανότητας η μέση τιμή η διασπορά και η πιθανογεννήτρια της τους hou Geoghou και hou (9) Συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής W I W W W G Η W έχουν δοθεί από όπου το άθροισμα ορίζεται για όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους έτσι ώστε και I Μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής W Διασπορά της τυχαίας μεταβλητής W I E W W Va Πιθανογεννήτρια της τυχαίας μεταβλητής W W s s s E s s s s 7

Για κάθε θετικό ακέραιο η αρνητική διωνυμική κατανομή τάξης με παραμέτρους ορίζεται να είναι η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής W Y Y Y όπου οι τυχαίες μεταβλητές Y είναι ανεξάρτητες και η κάθε μία ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή τάξης με παράμετρο Η αρνητική διωνυμική κατανομή τάξης θα συμβολίζεται με B Με άλλα λόγια η W μπορεί να θεωρηθεί ως ο μικρότερος ακέραιος έτσι ώστε να υπάρχουν μη επικαλυπτόμενες ροές επιτυχιών μήκους στην ακολουθία X X X Παρατηρούμε ότι W αν X για κάποιο όπου W τότε μπορεί να συμβάλλει στην ακολουθία με το πολύ μία ροή επιτυχιών μήκους Για κάθε ακέραιο ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή Y X X X Έτσι λοιπόν μήκους διαφορετικά Y Ο Lg (99) έδωσε τον ακόλουθο ορισμό Y αν και μόνο αν η X X δίνει μια ροή επιτυχιών Ορισμός Έστω W ο μικρότερος ακέραιος ώστε Y Y Y W Αν κάθε ροή επιτυχιών μήκους μετράται τότε η τυχαία μεταβλητή W είναι απλά ο μικρότερος ακέραιος έτσι ώστε να υπάρχουν επικαλυπτόμενες ροές επιτυχιών μήκους στην ακολουθία X X X W Παρατηρήσεις W W για κάθε θετικό ακέραιο Άρα η τυχαία μεταβλητή γεωμετρική κατανομή τάξης W ακολουθεί την W W για κάθε θετικό ακέραιο Άρα η τυχαία μεταβλητή αρνητική διωνυμική κατανομή (δηλαδή ) με παραμέτρους W ακολουθεί την συνήθη Προκειμένου να γίνει διάκριση θα ονομάζουμε την κατανομή της W Τύπου Ι αρνητική διωνυμική κατανομή τάξης με παραμέτρους και την κατανομή της W Τύπου ΙΙ

αρνητική διωνυμική κατανομή τάξης Έτσι θα συμβολίζουμε την Τύπου Ι αρνητική διωνυμική τάξης με B και την Τύπου ΙΙ με B Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε την ακολουθία των 9 ανεξάρτητων δοκιμων Beou Θα υπολογίσουμε τις τιμές των τυχαίων μεταβλητών FSSSSFSSS W και W για διάφορες τιμές του όταν Για έχουμε: W W FSSSSFSSS Για έχουμε: W 9 FSSSSFSSS και W FSSSSFSSS Για έχουμε: W 9 και W 9 FSSSSFSSS Για και είναι φανερό ότι W W και έτσι η τυχαία μεταβλητή W δεν μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που η κάθε μία να ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή τάξης με παράμετρο Το ακόλουθο λήμμα έχει αποδειχθεί από τον Lg (99) Λήμμα Έστω και ακέραιοι μεγαλύτεροι του Τότε W W με πιθανότητα και W W W με πιθανότητα όπου W και W είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Απόδειξη Υποθέτουμε ότι W Έτσι στην ακολουθία X X X υπάρχουν ακριβώς ροές επιτυχιών μήκους και η τελευταία ροή δίνεται από X X X X Αν προσθέσουμε την X στην ακολουθία X X X τότε έχουμε δύο περιπτώσεις 9

Περίπτωση : Αν X τότε X X X X θα είναι η -οστή επικαλυπτόμενη ροή επιτυχιών μήκους στην ακολουθία X X X X Οπότε έχουμε W ή W W Αλλά X Έτσι με πιθανότητα έχουμε W W Περίπτωση : Αν X παρατηρούμε ότι ο μικρότερος αριθμός των X που χρειάζεται για μια καινούρια ροή επιτυχιών μήκους στην ακολουθία X X είναι W Οπότε έχουμε W W ή W W W Αφού οι ακολουθίες X X X και X X είναι ανεξάρτητες τότε W και είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Συμπεραίνουμε ότι με πιθανότητα W W W αφού X Ο Lg (99) έδωσε τους ακόλουθους τύπους για την W Θεώρημα 9 Έστω και ακέραιοι μεγαλύτεροι του Για έχουμε: W W W W W Απόδειξη Από το Λήμμα παρατηρούμε ότι W αν και μόνο αν W με πιθανότητα ή W W με πιθανότητα Οπότε έχουμε: W W W W W W X W X W W W W αφού W και W είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές

Θεώρημα Έστω και ακέραιοι μεγαλύτεροι του Για έχουμε: W W Απόδειξη Θα αποδείξουμε αυτό το θεώρημα με μαθηματική επαγωγή στο Με την βοήθεια του Λήμματος για έχουμε: W W με πιθανότητα και W W W με πιθανότητα όπου W και W είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Αλλά W W W Ως εκ τούτου έχουμε W W Οπότε η σχέση W W ισχύει για Στην συνέχεια υποθέτουμε ότι η σχέση W W για κάποιο αληθεύει Δηλαδή W W Αυτό σημαίνει ότι W W με πιθανότητα Λήμμα έχουμε για για Από το W W W W με με πιθανότητα πιθανότητα Έτσι έχουμε τις ακόλουθες δύο περιπτώσεις (Ι) W W με πιθανότητα και

(ΙΙ) W W W με πιθανότητα Αλλά οι τυχαίες μεταβλητές W και W είναι ανεξάρτητες και έτσι στο δεξί μέλος της (ΙΙ) θα έχουμε W W W Συνδυάζοντας τις περιπτώσεις (Ι) και (ΙΙ) παίρνουμε W W με πιθανότητα W W με πιθανότητα και για W W με πιθανότητα Οπότε με πιθανότητα έχουμε: W W το οποίο αποδεικνύει ότι η σχέση W W Η απόδειξη του θεωρήματος ολοκληρώθηκε ισχύει για 7 Ιδιότητες της τυχαίας μεταβλητής W ΙΙ Ας συμβολίσουμε την πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής έχουμε W όπου s s s E s εκφράσεις για την πιθανογεννήτρια s s W με Τότε Ο Lg (99) έδωσε τις παρακάτω

Θεώρημα Για και έχουμε: Απόδειξη (α) s s s s s (β) s s s s s W W W W (α) s Es Es Es s s s s s s s s s (β) Θα αποδείξουμε αυτή τη σχέση με μαθηματική επαγωγή στο Για από την σχέση (α) έχουμε: s s s s s s s ss s s Οπότε η σχέση s s s s ισχύει για Υποθέτουμε ότι η σχέση αυτή ισχύει για κάποιο Άρα για έχουμε: s s s s Για από την σχέση (α) έχουμε: s s s s ss s s s s s s ss s s Οπότε η σχέση s s s s απόδειξη για το (β) ισχύει και για Έτσι ολοκληρώθηκε η

Στο επόμενο θεώρημα οι Hao A Kashwag και Kubo (99) παρουσιάζουν έναν διαφορετικό τρόπο έκφρασης της μεταβλητής W Θεώρημα Θεωρούμε Y Y την γεωμετρική κατανομή τάξης ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν G Έστω ότι για κάθε Z με με πιθανότητα πιθανότητα και υποθέτουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές Y και τυχαίες μεταβλητές X X που ορίζονται ως εξής Z είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους Θεωρούμε τις X Y αν αν Z Z για κάθε Τότε οι X X Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές και W X X Y Απόδειξη Από τον ορισμό διαπιστώνουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητες Αφού η πιθανογεννήτρια συνάρτηση των αντίστοιχα η πιθανογεννήτρια συνάρτηση του όπου X X και Y είναι X X Y είναι και X Y δίνεται από τον τύπο είναι η πιθανογεννήτρια της τυχαίας μεταβλητής W Δηλαδή η πιθανογεννήτρια της τυχαίας μεταβλητής X X Y συμπίπτει με την πιθανογεννήτρια της W όπως αυτή ορίστηκε στο Θεώρημα Παρατήρηση Από το Θεώρημα υπολογίζουμε την μέση τιμή και την διασπορά της μεταβλητής W Έτσι έχουμε EX EY E Y

Y E X E E Y X E X E Y X X E W E αφού οι X Y X είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Y E Z X E E X E X Va X E X E + + + + + + + +

Οπότε W Va Y Va X Va Παράδειγμα 7 Θα υπολογίσουμε την μέση τιμή και την διασπορά της τυχαίας μεταβλητής W για και Η μέση τιμή της τμ W θα είναι: W E 7 Η διασπορά της τμ W θα είναι: W Va

9 7 7 7 9 7 7 9 7 7 7 7 9 9 7 9 7 9 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Επικαλυπτόμενες ροές επιτυχιών μήκους Γενικευμένες διωνυμικές κατανομές τάξης Οι A και Hao () πρότειναν έναν άλλο τρόπο μέτρησης ροών ο οποίος αποτελεί γενίκευση των προηγούμενων και ονομάζεται επικαλυπτόμενος Σύμφωνα με αυτόν κάθε ροή μήκους μπορεί να έχει επικαλυπτόμενο μέρος το πολύ με την προηγούμενη ροή που έχει μετρηθεί ( μηαρνητικός ακέραιος μικρότερος του ) Ο επικαλυπτόμενος τρόπος μέτρησης ταυτίζεται με τον Τύπου Ι για και με τον Τύπου ΙΙ για Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία από ανεξάρτητες δοκιμές Beou Θα υπολογίσουμε τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους για διάφορες τιμές του στην παρακάτω ακολουθία SSSSFSSSSS SSF Για η ακολουθία περιέχει (-επικαλυπτόμενες) ροές επιτυχιών μήκους SSSSFSSSSS SSF Για η ακολουθία περιέχει (-επικαλυπτόμενες) ροές επιτυχιών μήκους SSSSFSSSSS SSF Για η ακολουθία περιέχει 7 (-επικαλυπτόμενες) ροές επιτυχιών μήκους SSSSFSSSSS SSF Θεωρούμε a και θετικούς ακέραιους και X μία δυαδική ακολουθία ανεξάρτητων και X ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με X δοκιμή ορίζουμε Καλούμε X την οστή δοκιμή Σε κάθε

s = - Παράδειγμα Θεωρούμε μία ακολουθία από ανεξάρτητες δοκιμές Beou SSSSFSSSSS SSF έχουμε s s s a s s7 s a s 9 s s a Για s s Ορισμός Η κατανομή του αριθμού των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους όταν το άθροισμα των s είναι μικρότερο ή ίσο του καλείται γενικευμένη διωνυμική κατανομή τάξης και συμβολίζεται B a Παρατήρηση Για a η γενικευμένη διωνυμική κατανομή τάξης είναι η συνηθισμένη διωνυμική κατανομή τάξης Σύμφωνα με τους A και Hao () έχουμε τα ακόλουθα θεωρήματα που δίνουν τους τύπους για την πιθανογεννήτρια συνάρτηση της B a Θεώρημα Θεωρούμε τότε αν a αν a τότε αν a την πιθανογεννήτρια συνάρτηση της B a Τότε τότε a Απόδειξη Αν a τότε καμία ροή επιτυχιών μήκους δεν μπορεί να συμβεί Άρα X X X Αν a τότε μόνο η περίπτωση όπου X X X είναι πιθανή για εμφάνιση μιας ροής επιτυχιών μήκους Έτσι X X X X X Τέλος αν a εξετάζοντας την θέση της πρώτης εμφάνισης του έχουμε a 9

Θεώρημα Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση της B a a δίνεται από τον ακόλουθο τύπο + a a Θεωρούμε μια ακολουθία X από ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με X X X Έστω ένας θετικός ακέραιος και ο χρόνος αναμονής μέχρι την οστή επιτυχία στην X Έτσι προκύπτει η ακόλουθη πρόταση X Πρόταση Η κατανομή του αριθμού των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους μέχρι τον είναι γενικευμένη διωνυμική κατανομή τάξης Στην συνέχεια θεωρούμε τον χρόνο αναμονής μέχρι την B οστή επικαλυπτόμενη ροή επιτυχιών μήκους στην X X Θεώρημα Έστω X μία δυαδική ακολουθία τυχαίων μεταβλητών με X X X Τότε ο αριθμός των μήκους μέχρι ακολουθεί την γενικευμένη διωνυμική κατανομή τάξης -επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών B Ο αριθμός των -επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε ανεξάρτητες δοκιμές Οι Ha και A () μελέτησαν τις -επικαλυπτόμενες ροές επιτυχιών μήκους Θεωρούμε X X X μία δυαδική ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με X Καλούμε X την οστή δοκιμή Έστω ότι είναι ένας θετικός ακέραιος και ένας μη αρνητικός ακέραιος μικρότερος του Συμβολίζουμε με την 7

πιθανογεννήτρια συνάρτηση της κατανομής του αριθμού των μήκους στην ακολουθία X X X επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών Έστω ότι είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος όχι μεγαλύτερος από τον Έστω ότι έχουμε μία ροή επιτυχιών μήκους μέχρι την -οστή δοκιμή Έτσι θεωρούμε ότι είναι η πιθανογεννήτρια συνάρτηση της κατανομής του αριθμού των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους στην ακολουθία X X Ισχύει ότι και αν Τότε και Πιο συγκεκριμένα από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων έχουμε την εξίσωση Αν βρίσκουμε οπότε 7

Έτσι οι Ha και A () έδωσαν μία αναδρομική σχέση για την πιθανογεννήτρια συνάρτηση της κατανομής του αριθμού των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους στην ακολουθία X X X χρησιμοποιώντας ένα σύστημα εξισώσεων δεσμευμένης πιθανογεννήτριας Θεώρημα Η πιθανογεννήτρια ικανοποιεί την εξίσωση αν M αν όπου M M και αν αν Στην συνέχεια οι Ma και hou () απέδειξαν συνδυαστικά άμεσο τύπο για την συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής που παριστάνει τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε ανεξάρτητες δοκιμές Beou Θεώρημα Έστω ότι είναι η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε ανεξάρτητες δοκιμές Beou με πιθανότητα επιτυχίας Τότε για για και και για και s 7

όπου το εσωτερικό άθροισμα ορίζεται πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους οι οποίοι ικανοποιούν τις συνθήκες: s και cs όπου και c s s αν s αν s Απόδειξη Ένα τυπικό στοιχείο του γεγονότος είναι μία διάταξη της μορφής: s έτσι ώστε από τα να είναι της μορφής e Δηλαδή έχουμε s από τα είναι e από τα είναι e από τα είναι e από τα είναι e όπου τα ικανοποιούν τις συνθήκες που προαναφέραμε Έτσι υπάρχουν από τα οποία δεν περιλαμβάνει καμία ροή επιτυχιών μήκους οποία περιλαμβάνει ροή επιτυχιών μήκους περιλαμβάνει ροές επιτυχιών μήκους Γενικά e καθένα e καθένα από τα e καθένα από τα οποία επικαλυπτόμενες ροές επιτυχιών 7

7 μήκους περιλαμβάνονται σε κάθε ένα από τα e Έτσι οι μη αρνητικοί ακέραιοι πρέπει να ικανοποιούν τις συνθήκες () s s και () c s Αν θεωρήσουμε σταθερά τα s και τότε ο αριθμός των παραπάνω διατάξεων είναι και κάθε μία από αυτές τις διατάξεις έχει πιθανότητα s s e e e s s αφού s Επομένως για και έχουμε: s

όπου το εσωτερικό άθροισμα ορίζεται πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους οι οποίοι ικανοποιούν τις δύο συνθήκες που δίνονται στην εκφώνηση του θεωρήματος Παρατηρήσεις Η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την διωνυμική κατανομή τάξης στην περίπτωση των επικαλυπτόμενων ροών με παραμέτρους και συμβολίζεται με Η τυχαία μεταβλητή B ακολουθεί την Τύπου Ι διωνυμική κατανομή τάξης B Η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την Τύπου ΙΙ διωνυμική κατανομή τάξης B Στην συνέχεια δίνουμε ένα παράδειγμα για την εύρεση της συνάρτησης πιθανότητας της τμ χρησιμοποιώντας τον τύπο των Ma και hou () Παράδειγμα Θεωρούμε μία ακολουθία από ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές Beou με Έστω και Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα s όπου το εσωτερικό άθροισμα ορίζεται πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: s ή s και s c ή s c ή 7

7 s c ή s c ή s c ή s c ή c s όπου και αν αν s s s c s Άρα για έχουμε και για έχουμε Αρχικά θα πρέπει να επιλύσουμε το σύστημα εξισώσεων c s s που αποτελεί τον περιορισμό για τους μη αρνητικούς ακεραίους Πιο συγκεκριμένα έχουμε Για s : Έχουμε c αφού s Επίλυση του συστήματος

77 Για s : Έχουμε c αφού s Επίλυση του συστήματος Είναι αδύνατο Για s : Έχουμε c αφού s Επίλυση του συστήματος Είναι αδύνατο Για s : Έχουμε c αφού s Επίλυση του συστήματος Είναι αδύνατο Για s : Έχουμε c αφού s Επίλυση του συστήματος

7 Είναι αδύνατο Για s : Έχουμε c αφού s Επίλυση του συστήματος Για s : Έχουμε c αφού s Επίλυση του συστήματος Επομένως 7

Πριν προχωρήσουμε σε έναν άλλο τύπο για την συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής θα αναφέρουμε ένα αποτέλεσμα της Συνδιαστικής Ανάλυσης (Roda 9) Λήμμα Ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν όμοιες μπάλες σε διαφορετικά κελιά έτσι ώστε η μέγιστη χωρητικότητα ανά κελί να είναι δίνεται από τον τύπο C αν αν και διαφορετικά Οι Ma και hou () έδωσαν τον ακόλουθο εναλλακτικό τύπο για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Θεώρημα Έστω ότι είναι η τυχαία μεταβλητή που παριστάνει τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε ανεξάρτητες δοκιμές Beou με πιθανότητα επιτυχίας Τότε C και για / / M C C a όπου a a a και M a Οι Ma και hou () έδωσαν τον ακόλουθο τύπο για την μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής 79

Θεώρημα 7 Έστω ότι είναι η τυχαία μεταβλητή όπως ορίστηκε προηγουμένως Τότε για E και για E Απόδειξη Έστω X X X είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με πιθανότητα X θεωρούμε E το γεγονός ότι XX X Για και για και θεωρούμε E το γεγονός ότι X και X Στην συνέχεια έστω A A X X A μία διαμέριση του συνόλου δεικτών I όπου A A I A A A και Ορίζουμε τις τυχαίες μεταβλητές Y ως εξής: Y αν E εμφανίζεται διαφορετικά Για A Y E E και για A

Y E Τότε Y Συνεπώς A A Y Y Y E Παρατηρήσεις Για έχουμε: E Για έχουμε: E

Παράδειγμα Θα υπολογίσουμε την μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής για και E

97 Εύρεση της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής μέσω εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Οι Ioue και A () μελέτησαν τις κατανομές του αριθμού των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους σε μια ακολουθία δοκιμών ( σταθερός ακέραιος) και βρήκαν την πιθανογεννήτρια συνάρτηση Το κύριο εργαλείο σε αυτή την παράγραφο είναι η μέθοδος εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα Θεωρούμε μια χρονικά ομογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα X X X με πιθανότητα μετάβασης X X για και αρχικές πιθανότητες X X Στην συνέχεια δίνουμε τον ορισμό της τυχαίας μεταβλητής διωνυμικού τύπου εμβαπτισμένη σε Μαρκοβιανή αλυσίδα η οποία εισήχθη από τους Kouas και Aeadou (99) Ορισμός Μία θετική ακέραια τυχαία μεταβλητή X καλείται μεταβλητή διωνυμικού τύπου εμβαπτισμένη σε Μαρκοβιανή αλυσίδα αν πληροί τις συνθήκες () () () του Ορισμού και () w C Y C Y για w και

Τα σύνολα C της διαμέρισης C έχουν τον ίδιο πληθάριθμο s C για κάθε και πιο συγκεκριμένα c c c C s Έτσι δημιουργούνται οι επόμενοι δύο πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης διάστασης τα διανύσματα πιθανότητας με αρχικές πιθανότητες Y c Y c A Y c Y c B Y c Y c Y c f s Y c Y c Y c s s s Έστω ο αριθμός των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους στην ακολουθία X X X Στην περίπτωση των ανεξάρτητων και ισόνομων δοκιμών έχουμε ότι και πιθανογεννήτρια συνάρτηση της Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση και η διπλή συμβολίζονται με z και zw αντίστοιχα z Ez z z w zw z w Στην περίπτωση ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας ισχύει το ακόλουθο θεώρημα Θεώρημα Αν A A B B για και η διπλή γεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής δίνεται από τον τύπο z w f z w wa zb όπου