Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr

wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ο Σε αυτή τη περίπτωση λέμε ότι έχουμε άξονα με αρχή Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το i Οι ημιευθείες Ο και Ο λέγονται αντίστοιχα θετικός και αρνητικός ημιάξονας Έστω τώρα ένα σημείο Μ του άξονα Υπάρχει ακριβώς ένας πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε OM i Ό αριθμός ονομάζεται τετμημένη του Μ ώστε Καρτεσιανό επίπεδο Πάνω σε ένα επίπεδο θεωρούμε δύο κάθετους άξονες και που έχουν κοινή αρχή το Ο και μοναδιαία διανύσματα i και j αντίστοιχα Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο (καρτεσιανό επίπεδο) και το συμβολίζουμε με Ο Το λέγεται τετμημένη του Μ,το τεταγμένη του και οι αριθμοί, λέγονται συντεταγμένες του Μ Συντεταγμένες διανύσματος στο επίπεδο Θεωρούμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Ο και ένα διάνυσμα του επιπέδου Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε διάνυσμα OA Έστω Α1 και Α οι προβολές του Α στους άξονες και αντίστοιχα και έστω, οι συντεταγμένες του Α Είναι OA OA1 OA i j Άρα αν OA με A,, τότε i j Τα διανύσματα i και j λέγονται συνιστώσες του κατά τη διεύθυνση των i και j αντίστοιχα Οι αριθμοί, λέγονται συντεταγμένες του ως προς το Ο και γράφουμε, Πρόταση Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή i j Απόδειξη Έστω ότι i j και i j με και Τότε: i j i j i i j j i j i j i / / j Άρα τα, είναι μοναδικά άτοπο 1

wwwaskisopolisgr Από τον τρόπο που ορίστηκαν οι συντεταγμένες διανύσματος προκύπτει ότι: Ένα διάνυσμα είναι το μηδενικό διάνυσμα αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του είναι μηδέν Δηλαδή: 0, 0 0 Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες Δηλαδή αν, και, 1 1, τότε: Σημείωση: Είναι 0 0,0, i 1,0 και j 0,1 1 1 Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων Έστω τα διανύσματα 1, 1 και,,,, ισχύει: 1 1 1 1 Είναι: και γενικά για το γραμμικό συνδυασμό,,, 1 1 1 1 Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα Έστω 1, 1 και, Είναι,, 1 1, δύο σημεία του επιπέδου 1 1 Απόσταση σημείων μέτρο διανύσματος Γνωρίζουμε ότι η απόσταση των σημείων, και, 1 1 1 1 Αν θεωρήσουμε διάνυσμα, με AB, τότε 1 είναι: και 1, οπότε Συντεταγμένες μέσου τμήματος Θεωρούμε τα σημεία,,, και έστω M, 1 1 μέσο του ΑΒ Γνωρίζουμε ότι: 1 OM OA OB, άρα 1, 1, 1, 1 1 και το

wwwaskisopolisgr Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων Αν θεωρήσουμε δύο διανύσματα, και, 1 1 1 1 / / det, 0 Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος Έστω, ένα μη μηδενικό διάνυσμα Τη γωνία φ που διαγράφει ο ημιάξονας Ο αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ, την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα Ισχύει ότι 0 Όπως ξέρουμε από την τριγωνομετρία, είναι, τότε έ Ο αριθμός: λέγεται συντελεστής διεύθυνσης του έ Προφανώς αν 0, δηλαδή αν / /, τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Αν 0 τότε / / και 0 Αν 1, οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων και, τότε: / / 1 3

wwwaskisopolisgr Ασκήσεις 1 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό, για τον οποίο τα διανύσματα 3 5 1, 3, 3 3 είναι ίσα και 3 3 3 5 6 0 3 5 1 4 3 0 1 ή 3 3 ή 3 Δίνονται το διάνυσμα 16, 5 4 οποία είναι: α) 0 β) 0, Να βρείτε τη τιμή του λ για την και / / 16 0 16 4 α) 0 5 4 0 1 ή 4 1 ή 4 0 4 4 β), άρα 4 / / 16 0 4, άρα 4 3 Δίνονται τα σημεία A, 1 και B 1, 4 τα σημεία Α και Β είναι συμμετρικά ως προς: α) τον άξονα β) τον άξονα γ) την αρχή Ο των αξόνων δ) τη διχοτόμο Να βρείτε τα, για τα οποία α) Δύο σημεία είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα αν έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες, δηλαδή: A B 1 1 A B 1 4 5 4 4 και 4 5 9 β) Δύο σημεία είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα αν έχουν την ίδια τεταγμένη και αντίθετες τετμημένες, δηλαδή: A B 1 1 4 και A B 1 4 3 4 3 7 γ) Δύο σημεία είναι συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων αν έχουν αντίθετες συντεταγμένες, δηλαδή: A B 1 1 3 6 A B 1 4 5 και 5 3 4

wwwaskisopolisgr γ) Δύο σημεία είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο αλλάζουν συντεταγμένες, δηλαδή: A B 4 4 A B 1 1 0 0 αν 4 Δίνονται τα σημεία A4,9 και το οποίο ισχύει ότι AM 3MB B 4,5 Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Μ για Έστω M,,, Είναι AM 4, 9 και MB 4,5 4 3 4 4 1 3 AM 3MB 4, 9 34,5 9 3 5 9 15 3 4 8 4 4 6 5 Να γραφεί το διάνυσμα 11, 9 ως γραμμικός συνδυασμός των, 3 1,4 Έστω, για τα οποία ισχύει ότι:, τότε: 11, 9, 3 1, 4 11, 9, 3 4 11 4 8 4 44 5 15 3 3 4 9 3 4 9 και και 3 11 5 6 Δίνεται το διάνυσμα 8i 6 j α) Να βρείτε το μέτρο του β) Να βρείτε διάνυσμα αντίρροπο του με μέτρο ίσο με το μισό του α) Είναι 8, 6 8 6 64 36 100 10 και β) Είναι με 0 και 10 Όμως 1 1 5 άρα 10 5 και επειδή 0, είναι 1 1 8i 6 j 4i 3 j Οπότε 1 5

wwwaskisopolisgr 7 Να βρείτε τις συντεταγμένες διανύσματος, αν, 6 Είναι 6 10, 6 8, 6 4 4 36 4 40 10, οπότε α) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5 β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα 8 Δίνονται τα διανύσματα, και 3,3 α) Είναι 5 5, 3,3 4, 4 3 4 5 5 β) Επειδή OB OA 4 και, το ΟΑΓΒ είναι τετράγωνο και AO 45 Η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα είναι η 90 45 135 Β Γ 4 Α 4 O 9 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαγώνιες 7,13 και 5,3 υπολογίσετε το μήκος των πλευρών του Είναι 7,13 7,13 7,13 5,3 5,3 () Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και () έχουμε: 1 7,13 5,3 1,16 1,16 6,8 και από τη σχέση (1) είναι: 6,8 7,13 7,13 6,8 1,5 6 8 36 64 100 10 και 1 5 6 (1) Να 10Δίνονται τα σημεία 1,5 και 3,1 το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ Να βρείτε σημείο Α του άξονα για το οποίο Έστω A,0 Είναι AB A 1 5 3 1 1 6 9 5 4 16 4, άρα A 4,0 5 9 6 1 6

wwwaskisopolisgr και τα διανύσματα, για τα οποία ισχύει ότι: και α) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα β) Να αποδείξετε ότι,5 και 1, 7,3 ως γραμμικό συνδυασμό των, 11Δίνονται τα διανύσματα 3, 3, 3,1 γ) Να γράψετε το διάνυσμα α) Επειδή 3, το ΟΒΑΓ είναι τετράγωνο και 45 Τότε η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα, είναι: 360 315 1 β) 3,3 4,1,5 3 και 3,1,5 1, O 3 θ Γ 3 Β Α γ) Έστω, για τα οποία ισχύει:, τότε: 7,3,5 1, 7,3,5 7 5 3 4 14 17 17 9 9 17 και 7 7 7 Άρα 5 3 9 9 9 17 9 9 9 1Δίνονται τα σημεία A,, B4,6 και για τα οποία ισχύει ότι 7 O AB 3A α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β, σχηματίζουν τρίγωνο γ) Αν Μ το μέσο του ΑΒ, να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του M δ) Αν Δ σημείο της ΒΓ τέτοιο, ώστε 3 B, να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων Β,Δ α) Έστω,, τότε: O,, AB 4,6,4 και A, O AB 3A,, 4 3, 4, 8 3 6,3 6 4 3 6 1 8 3 6 1, άρα 1, 1 β) Για να σχηματίζουν τρίγωνο τα Α,Β,Γ, αρκεί να μην είναι συνευθειακά AB,4 A, 1, 3 και Είναι, 4 det AB, A 6 4 0 1 3, άρα τα Α,Β,Γ δεν είναι συνευθειακά και επομένως σχηματίζουν τρίγωνο γ) Για τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ, έχουμε: A B 4 A B 6 M 3, M 4 M 3,4, άρα

wwwaskisopolisgr Είναι M 3 1, 4 1,5 δ) Έστω, 5 και M 3B 1, 1 3 4,6, τότε 13 1 1 3 4 13 4 13 17, δηλαδή 1 18 3 4 17 17, 4 4 4 13 17 9 49 58 58 Είναι 4 6 4 4 16 16 16 4 13Δίνονται τα διανύσματα 1,6, 1, 3 και 3, 3 αξόνων Να βρεθεί σημείο Μ του άξονα για το οποίο το άθροισμα γίνεται ελάχιστο Έστω,0, τότε AM OM OA,0 1,6 1, 6 BM OM OB,0 1,3 1, 3 M OM O,0 3, 3 3,3 Είναι, όπου Ο η αρχή των, και 1 6 1 3 3 3 1 36 1 9 6 9 9 3 6 65 3 65 3 11 65 3 1 3 65 3 1 6 3 1 0 3 1 6 6 Είναι Η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος είναι 6 όταν 3 1 0 1 Τότε M 1,0 14Αν τα σημεία Δ(1, -), Ε(6,1) και Ζ(,5) είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα τριγώνου ΑΒΓ, να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Έστω ότι,, B, και, 1 1 3 3 Επειδή το Δ είναι μέσο του ΑΒ, ισχύει ότι: 1 1 1 (1) και 1 1 4 () Επειδή το Ε είναι μέσο του ΒΓ, ισχύει ότι: 3 3 6 3 1 (3) και 1 3 (4) Επειδή το Ζ είναι μέσο του ΓΑ, ισχύει ότι: 1 3 1 3 1 3 4 (5) και 5 1 3 10 (6) 8

wwwaskisopolisgr Από το σύστημα των (1), (3), (5) έχουμε: 1 3 1 1 3 18 1 3 9 (7) 1 3 4 Από (7) (1) 3 7, από (7) (3) 1 3 και από (7) (5) 5 Όμοια από το σύστημα των (), (4), (6) προκύπτει: 1, 6 και 3 8, άρα 7,8 3,, B5, 6 και 15Οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης 13 0 Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το μέσο του τμήματος ΑΒ έχει τετμημένη 3 Έστω 1, οι τετμημένες των σημείων Α και Β αντίστοιχα Επειδή τα 1, εξίσωσης ου βαθμού, από τους τύπους του Vietta έχουμε: S 1 (1) Επειδή το μέσο του ΑΒ έχει τετμημένη 3, ισχύει ότι: 1 1 3 1 6 6 6 8 0 ή 4 είναι ρίζες της 16 Δίνονται τα σημεία B1,0 και 3, Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Α ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με υποτείνουσα τη ΒΓ Έστω A, Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ έχει υποτείνουσα τη ΒΓ, ίσες θα είναι οι κάθετες πλευρές του ΑΒ και ΑΓ Άρα: AB A 1 3 1 9 6 Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: 4 4 4 1 4 3 (1) AB 1 3 3 1 1 9 6 4 4 8 8 4 6 0 1 4 3 0 3 4 3 3 0 9 6 1 4 3 0 4 0 0 0 ή Αν 0 αν, τότε 1 3, τότε 1 1 και και A1, A 3,0, ενώ 9

wwwaskisopolisgr 17Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ όπου A1,3, B4, και 5, 1 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Δ β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου α) Επειδή το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο ισχύει ότι: Έστω,, τότε: A 1, 3, 5 4, 1 1,1 1 1 0 3 1 4, άρα 0,4 β) Επειδή στο Κ διχοτομούνται οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου, το Κ είναι το μέσο του ΑΓ και του ΒΔ Επομένως: 1 5 3 1 και K 1, άρα,1 18 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με,3, 7,5 και 6, 7 α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο β)να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ γ) Να βρείτε το εμβαδόν του δ) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Δ ώστε το ΑΒΔΓ να είναι ορθογώνιο α) Είναι 7,5 3 5,, 6, 7 3 4, 10 6 7, 7 5 1, 1 Είναι 5 9, 4 10 116 και 1 1 145 Παρατηρούμε ότι 145, οπότε λόγω του πυθαγορείου θεωρήματος το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη ΒΓ β) Επειδή η ΑΜ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου 145 είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας ΒΓ, δηλαδή: και 1 1 1 1 9 116 9 4 9 γ) 9 9 9 9 τμ δ) Επειδή οι διαγώνιες ΑΔ,ΒΓ του ορθογωνίου διχοτομούνται, το Μ είναι μέσο των διαγωνίων, οπότε: 7 6 13 5 7 και 1 13 Είναι 13 11 και 3 1 3 5, άρα 11, 5 10

wwwaskisopolisgr Συνθήκη Παραλληλίας 19 Δίνονται τα σημεία A, 3, B1,4 και 5, 10 α) Να δείξετε ότι τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Β ως προς το Γ 1ος τρόπος: Παρατηρούμε ότι, άρα / / Α,Β,Γ συνευθειακά 3 7 ος τρόπος: det, 1 1 0 / / Α,Β,Γ συνευθειακά 3 7 α) 1, 4 3 3,7 και 5, 10 3 3, 7 β) Έστω, το συμμετρικό του Β ως προς το Γ, τότε το Γ είναι μέσο του ΒΔ και από τις συντεταγμένες μέσου έχουμε: 1 5 10 1 11 και 4 10 0 4 4, άρα 11, 4 0Δίνονται τα σημεία 3, 1, 1, 1 και, 1 είναι κορυφές τριγώνου για κάθε Να δείξετε ότι τα Α,Β,Γ Για να σχηματίζουν τα Α,Β,Γ τρίγωνο αρκεί δύο από τα διανύσματα AB,, να μην είναι παράλληλα Είναι 1 3, 11 4, και A 3, 11 3, 4 det, 4 3 3 det, 4 8 6 4 8 Το τριώνυμο 4 8 έχει διακρίνουσα 4 8 0 4 4 1 8 16 0, άρα det, 0 / / 1Δίνονται τα διανύσματα, 3, 1,1 και O 5, 1 τα σημεία Α,Β,Γ σχηματίζουν τρίγωνου Να αποδείξετε ότι Είναι AB OB OA 1,1,3 3, και A 5, 1,3 3, 4 3 det, 1 6 18 0 / /, οπότε τα Α,Β,Γ είναι κορυφές τριγώνου 3 4 11

wwwaskisopolisgr Ασκήσεις Ευκλείδειας Γεωμετρίας Αν θέλουμε να λύσουμε μια άσκηση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, στην οποία δεν υπάρχουν συντεταγμένες, με διανύσματα τότε μπορούμε να βάλουμε στο σχήμα συντεταγμένες με τον παρακάτω τρόπο: Τοποθετούμε το σχήμα με τέτοιο τρόπο ώστε μια κορυφή του να είναι στην αρχή των αξόνων και μια πλευρά του να βρίσκεται πάνω σε έναν άξονα Στη συνέχεια και με βάση τα δεδομένα βάζουμε συντεταγμένες και στο υπόλοιπο σχήμα Να αποδείξετε ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσες Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και έστω ότι η αρχή Ο των αξόνων ταυτίζεται με τη κορυφή Β και η πλευρά ΒΓ βρίσκεται στον άξονα Έστω ότι η κορυφή Α έχει συντεταγμένες, και η κορυφή Γ,0 Επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, έχουμε: AB 0 0 0 που είναι αδύνατο ή Τότε,0 3 Επειδή το Δ είναι μέσο του ΑΓ είναι: και 3, και 3 9 B 4 4 Επειδή το Ε είναι μέσο του ΑΒ είναι: και και 3 9 4 4 4, άρα, άρα, Άρα 3Να αποδείξετε ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι και διάμεσός του Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και έστω ότι η αρχή Ο των αξόνων ταυτίζεται με τη κορυφή Β και η πλευρά ΒΓ βρίσκεται στον άξονα Έστω ότι η κορυφή Α έχει συντεταγμένες, και η κορυφή Γ,0 Επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, έχουμε: Τότε,0 0 0 0 που είναι αδύνατο ή Επειδή, το Δ έχει συντεταγμένες,0 1

wwwaskisopolisgr Επειδή και, το Δ είναι μέσο του ΒΓ 4Αν σε τρίγωνο μια διάμεσος του είναι και ύψος του, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και έστω ότι η αρχή Ο των αξόνων ταυτίζεται με τη κορυφή Β και η πλευρά ΒΓ βρίσκεται στον άξονα Έστω ότι η κορυφή Α έχει συντεταγμένες, και η κορυφή Γ,0 Έστω τώρα ότι το ύψος ΑΔ είναι και διάμεσος Επειδή, είναι,0, οπότε Επειδή το Δ είναι το μέσο του ΒΓ είναι Είναι και Επειδή, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, άρα,0 5Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας και αντιστρόφως Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και έστω ότι η αρχή Ο των αξόνων ταυτίζεται με τη κορυφή Α, η πλευρά ΑΒ βρίσκεται στον άξονα και η πλευρά ΑΓ στον άξονα Αν τα σημεία Β και Γ έχουν συντεταγμένες,0 και 0, αντίστοιχα, τότε:, και 0 0 Γ 0,γ Αντιστρόφως Έστω ότι το τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει η σχέση,δεν είναι ορθογώνιο στο Α Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων στο οποίο η κορυφή Α ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων και η πλευρά B,0, με ΑΒ βρίσκεται στον άξονα Έστω και, 0 Είναι 0 Α Α Γ(γ,δ) Β β,0 Β(β,0) χ χ 0 ή 0 που είναι αδύνατο Άρα 90 13

wwwaskisopolisgr 6Να αποδείξετε ότι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και έστω ότι η αρχή Ο των αξόνων ταυτίζεται με τη κορυφή Α, η πλευρά ΑΒ βρίσκεται άξονα και η πλευρά ΑΓ στον άξονα Αν τα σημεία Β και Γ έχουν συντεταγμένες,0 και 0, αντίστοιχα, τότε το μέσο Μ του ΒΓ έχει συντεταγμένες, 0 0 και Είναι AM 4 4 4 B AM Α στον Γ 0,γ β γ Μ, Β β,0 χ 7Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα διανύσματα και Να αποδείξετε ότι Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, στο οποίο η αρχή Ο ταυτίζεται με την κορυφή Β του τριγώνου και η πλευρά ΒΓ βρίσκεται στον άξονα,,0 Έστω και Επειδή, το Α είναι μέσο του ΒΔ, οπότε; Ε και,, άρα Επειδή, το Α είναι μέσο του ΓΕ, άρα: και Β, άρα,,,0,0,0 Είναι και Α Δ α,β Γ γ,0 άρα χ 8Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΔ, ΓΕ διάμεσοί του Έστω τα σημεία Κ και Λ, τέτοια ώστε και Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ,Α,Λ είναι συνευθειακά και το Α είναι μέσο του ΚΛ Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, στο οποίο η αρχή Ο ταυτίζεται με την κορυφή Β του τριγώνου και η πλευρά ΒΓ βρίσκεται στον άξονα Λ Αα,β,,,0, τότε το μέσο Δ του ΑΓ έχει Κ Αν συντεταγμένες, και το μέσο Ε του ΑΒ έχει Ε Δ 14 Β Γ γ,0 χ

wwwaskisopolisgr συντεταγμένες, Επειδή το Δ είναι μέσο του ΒΚ, έχουμε: και, άρα, Επειδή το Ε είναι μέσο του ΓΛ, έχουμε: και, άρα, Επειδή, τα σημεία Α,Κ,Λ είναι σε ευθεία παράλληλη στον άξονα, οπότε είναι συνευθειακά Επειδή, το Α είναι μέσο του ΚΛ 9Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και Μ τυχαίο σημείο του επιπέδου του Να αποδείξετε MA Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων στο οποίο η κορυφή Β του ορθογωνίου ταυτίζεται με την αρχή Ο των αξόνων και οι πλευρές Μ(,) ΒΓ,ΒΑ αντίστοιχα βρίσκονται επί των ημιαξόνων Ο, Ο Έστω ότι το Γ έχει συντεταγμένες,0 και το Α 0,, τότε το Δ Α(0,α) Δ(γ,α) έχει συντεταγμένες, Αν το Μ έχει συντεταγμένες,, τότε: Β(0,0) Άρα MA Γ(γ,0) 30Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Θεωρούμε τα διανύσματα και τη ΔΑ κατά τμήμα Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ζ,Β,Ε είναι συνευθειακά 1ος τρόπος και, άρα οπότε τα σημεία Ζ,Β,Ε είναι συνευθειακά ος τρόπος Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, στο οποίο η αρχή Ο ταυτίζεται με την κορυφή Β και η πλευρά ΒΓ βρίσκεται στον άξονα Έστω,,, και,0 χ 15 Ζ α γ,β Β Α α,β Δ δ,β Κ Λ Γ γ,0 χ Ε γ α, β

wwwaskisopolisgr Είναι, Επειδή και, είναι και, δηλαδή, Επειδή, το Γ είναι μέσο του ΔΕ, άρα και 0, άρα, Παρατηρούμε ότι 0 και 0, δηλαδή το Β είναι το μέσο του ΕΖ, άρα τα σημεία Ζ,Β,Ε είναι συνευθειακά 16

wwwaskisopolisgr Εξάσκηση 31Να βρείτε τα, για τα οποία τα διανύσματα, είναι αντίθετα 3Δίνονται τα διανύσματα 1,9 και, 3 αριθμό για τον οποίο τα διανύσματα και είναι ομόρροπα 33Δίνονται το διάνυσμα 9, 5 6 οποία είναι: α) 0 β) 0 και 17 και 34, Να βρείτε τον πραγματικό, Να βρείτε τη τιμή του λ για την / / (α 3, β ) 34,Να βρείτε τα, για τα οποία τα διανύσματα i 3 3 j 35Δίνονται τα σημεία A, και B,3 4 διάνυσμα AB είναι: α) παράλληλο στον άξονα β) παράλληλο στον άξονα 36Δίνονται τα σημεία A,3 και οποίο ισχύει ότι AM MB 4 i 4 5 j και είναι ίσα Στη συνέχεια να βρείτε το 3 (5) (3, -, 601 ) Να βρείτε το για το οποίο το (α), β) 3) B 4,6 Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Μ για το 37Δίνονται τα διανύσματα 4,,,1 και 3, του επιπέδου για το οποίο ισχύει ότι: 3 38 Δίνεται το διάνυσμα 5, 1 α) Να βρείτε το β) Να βρείτε διάνυσμα αντίρροπο του με διπλάσιο μέτρο από του 39Να βρείτε τις συντεταγμένες διανύσματος, αν 1,3 40 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαγώνιες 9,1 υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του (=, = -3) Να βρείτε σημείο Μ και 3, 4 (3,5) (13, (-10,4)) Να (4,3) (5, 10) και 41Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία A0,5, B,9,,3 4, 1 είναι παραλληλόγραμμο 4Δίνονται τα σημεία B4,5,, 1 και 1, 3 Α για τις οποίες το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο 43Δίνονται τα διανύσματα, Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου και, 4 Να βρείτε τα, για τα οποία τα διανύσματα, είναι παράλληλα (1,3)

wwwaskisopolisgr 44Να βρείτε το για το οποίο τα διανύσματα, 1 είναι συγγραμμικά 45Δίνονται τα σημεία 1,1, 7, 1, 1,0 ΑΒ και ΓΔ τέμνονται και (, - ) και 5 6, (-) 3, 5 Να δείξετε ότι οι ευθείες Να βρείτε τα, για τα οποία τα διανύσματα και είναι παράλληλα ( = -5/3, = 31/3),,, και, Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των, για τις διάφορες τιμές του 46Δίνονται τα διανύσματα 3, 1,,,,1 και,6 47Δίνονται τα διανύσματα 48Δίνονται τα διανύσματα 3,3,,1 και 5,3 επιπέδου για το οποίο το άθροισμα Να βρείτε σημείο Μ του γίνεται ελάχιστο 49 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία 0,4,,3 ισοσκελές 50Δίνονται τα σημεία 1,, B 1, 4 και 3,4 κάθε τα σημεία Α,Β,Γ σχηματίζουν τρίγωνο 51Δίνονται τα διανύσματα,5,,1 και O 3, σημεία Α,Β,Γ σχηματίζουν τρίγωνου και 1,5 (0,7/3) είναι Να αποδείξετε ότι για Να αποδείξετε ότι τα 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου του Αν 5, 1 και 4, 1 3, 3,, να αποδείξετε ότι το Μ βρίσκεται μεταξύ των Β και Γ 53 Δίνονται τα σημεία,5, 6,3 και 0, Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Γ για τις οποίες το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις ΑΒ και ΓΔ (4/5,- /5) 54Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο οι διαγώνιες του είναι ίσες 3,4, 1 Να βρείτε σημείο Μ του άξονα για το οποίο 55Δίνονται τα σημεία και το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ 56 Δίνονται τα σημεία B1,5 και 3, 3 α) Να βρείτε σημείο, 5, για το οποίο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ 5,, να βρείτε σημείο Μ του επιπέδου του οποίου το άθροισμα των αποστάσεων β) Αν από τις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ είναι ελάχιστο ( =3, (1,0)), Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι 57 Δίνονται τα σημεία A,6, B, ορθογώνιο και ισοσκελές και 18

wwwaskisopolisgr 58 Δίνονται τα σημεία A6,4, B,0, 0,6 και 8, α) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος β) Να βρείτε τα μήκη των διαγωνίων του ΑΒΓΔ Συντεταγμένες μέσου 59 Δίνονται τα σημεία 3, και 3, 6 α) Να βρείτε το μέσο Μ του ΑΒ β) Να βρείτε το συμμετρικό του Α ως προς το Β 60Δίνονται τα σημεία A,1, B3,0 και 7, α) Να δείξετε ότι τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Β ως προς το Α 61 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A6,5, B, 3 και 8, 7 Να βρείτε τις συντεταγμένες των μέσων Δ,Ε,Ζ των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα καθώς και τις συντεταγμένες των διανυσμάτων,, 6 Αν τα σημεία Δ(3,1), Ε(,) και Ζ(1, -4) είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα τριγώνου ΑΒΓ, να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του (,-5), (4,7), (0,-3) 1 0 Να 63Οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το μέσο του τμήματος ΑΒ έχει τετμημένη 6 (4 ή -3) 64 Έστω Ε,Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ Να αποδείξετε ότι / / 65 Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιες παραλληλογράμμου διχοτομούνται 66 Έστω 3, και 1,0 κορυφών Β και Δ κορυφές τετραγώνου ΑΒΓΔ Να βρείτε τις συντεταγμένες των ((1,), (3,0)) Συντελεστής διεύθυνσης 67 Δίνονται τα διανύσματα 1, 3, 1,1, 1, 3 και 3, 1 α) Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει καθένα από τα τέσσερα διανύσματα με τον άξονα 68Δίνονται τα διανύσματα 1, 1 και, α) Να δείξετε ότι 1 β) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του γ) Τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα 69 Δίνονται τα σημεία, και Αν, τότε: 4,6,, α) Αν να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος και τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα 19

wwwaskisopolisgr β) Αν 3, να βρείτε το β ώστε το διάνυσμα να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 10, α) Να αποδείξετε ότι τα, δεν είναι πάντα παράλληλα β) Για 4 να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα γ) Για να γράψετε το διάνυσμα u 11i 5 j ως γραμμικό συνδυασμό των και 70Δίνονται τα διανύσματα 1, 3 και 1,3 δ) Για 0 να βρείτε διάνυσμα αντίρροπο του με μέτρο 10 ( β) π/4, γ) u 3, δ), ) 0