Μηχανική Ρευστών ΙΙ. Ενότητα: Ασκήσεις Θεωρίας. ρ. Γ. Σιδερίδης. Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιοµηχανικού Σχεδιασµού

Μηχανική Ρευστών ΙΙ Ενότητα: Ασκήσεις Θεωρίας ρ. Γ. Σιδερίδης Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιοµηχανικού Σχεδιασµού

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreativeCommons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτάά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο TEI υτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδηµία Θεσσαλονίκης» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµ µατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους.

Περιεχόµενα 1. Σκοποί ενότητας... 7. Περιεχόµενα ενότητας... 7 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ... 7 3.1 Άσκηση 1... 7 3. Άσκηση... 8 3.3 Άσκηση 3... 8 3.4 Άσκηση 4... 10 3.5 Άσκηση 5... 13 3.6 Άσκηση 6... 14 3.7 Άσκηση 7... 14 3.8 Άσκηση 8... 14 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΕΠΙ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ... 15 4.1 Άσκηση 1.... 15 4. Άσκηση.... 16 4.3 Άσκηση 3... 18 4.4 Άσκηση 4... 19 4.5 Άσκηση 5... 19 4.6 Άσκηση 6... 0 4.7 Άσκηση 7... 0 4.8 Άσκηση8... 1 5. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ... 1 5.1 Άσκηση1... 1 5. Άσκηση... 3 5.3 Άσκηση 3... 7 5.4 Άσκηση 4.... 30 5.5 Άσκηση 5... 33 5.6 Άσκηση 6... 35 5.7 Άσκηση7... 36 5.8 Άσκηση 8... 38 5.9 Άσκηση 9... 41 5.10 Άσκηση 10... 43 5.11 Άσκηση11... 44 5.1 Άσκηση1... 44 5.13 Άσκηση13... 45 3

5.14 Άσκηση 14... 46 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΥΜΠΙΕΣΤΕΣ ΡΟΕΣ... 46 6.1 Άσκηση 1... 46 6. Άσκηση... 48 6.3 Άσκηση 3... 48 6.4 Άσκηση 4... 51 6.5 Άσκηση5... 53 6.6 Άσκηση 6... 56 6.7 Άσκηση 7... 6 6.8 Άσκηση8... 6 6.9 Άσκηση 9... 6 6.10 Άσκηση 10... 63 7. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΝΤΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ... 63 7.1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ... 63 7.1.1 Άσκηση 6... 63 7.1. Άσκηση 7... 63 7.1.3 Άσκηση 8... 64 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΕΠΙ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ... 65 7..1 Άσκηση6... 65 7.. Άσκηση 7... 65 7..3 Άσκηση 8... 65 7.3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ... 66 7.3.1 Άσκηση 10... 66 7.3. Άσκηση 11... 67 7.3.3 Άσκηση 1... 69 7.3.4 Άσκηση 13... 71 7.3.5 Άσκηση 14... 74 7.4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΥΜΠΙΕΣΤΕΣ ΡΟΕΣ... 75 7.4.1 Άσκηση 7... 75 7.4. Άσκηση 8... 76 7.4.3 Άσκηση 9... 77 7.4.4 Άσκηση10... 78 8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 79 9. Παράρτηµα... 79 4

Περιεχόµενα Πινάκων Πίνακας 1: Στοιχεία από το πρόγραµµα δοκιµών µε λεία σφαίρα σε αεροσήραγγα.. 16 Πίνακας : Πειραµατικά δεδοµένα του προγράµµατος δοκιµών.... 17 Περιεχόµενα ιαγραµµάτων ιάγραµµα 1: ιάγραµµα των δυνάµεων που ασκούνται στο ρευστό εντός του χώρου ελέγχου.... 5 ιάγραµµα : Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων.... 3 ιάγραµµα 3: Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων.... 34 ιάγραµµα 4: Απεικόνιση ταχυτήτων εισόδου στο στροφείο της αντλίας.... 39 ιάγραµµα 5: Απεικόνιση ταχυτήτων εξόδου από το στροφείο της αντλίας.... 40 ιάγραµµα 6: Απεικόνιση των ταχυτήτων εισόδου στο στροφείο.... 4 ιάγραµµα 7: Απεικόνιση των ταχυτήτων εξόδου από το στροφείο.... 4 ιάγραµµα 8: Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων.... 66 ιάγραµµα 9: Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων.... 68 ιάγραµµα 10: Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων.... 69 ιάγραµµα 11: Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων.... 7 ιάγραµµα 1: Μεταβολή δυνάµεων στην περίπτωση σφάλµατος στην ευθυγράµµιση του πτερυγίου µε το ακροφύσιο.... 73 ιάγραµµα 13: Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων.... 75 5

ΠεριεχόµεναΣχηµάτων Σχήµα 1: Αναλυτική Μέθοδος για την εύρεση του ολικού συντελεστή τριβής και της δύναµης τριβής που ασκείται στην πλάκα.... 11 Σχήµα : Η διάταξη του σώµατος που φέρει µια κυρτή και µια κοίλη επιφάνεια.... 15 Σχήµα 3: ιάταξη κυλινδρικής κεραίας και αεροδυναµικού καλύµµατος.... 0 Σχήµα 4: Ο αγωγός µεταφοράς νερού µε διακλάδωση ολικής γωνίας ανοίγµατος 45.... 1 Σχήµα 5: Ο χώρος ελέγχου στον αγωγό της παρούσας άσκησης.... Σχήµα 6: Οι δυνάµεις που ασκούνται στο ρευστό εντός του χώρου ελέγχου.... Σχήµα 7: Ο κατακόρυφος γωνιακός αγωγός της παρούσας άσκησης.... 4 Σχήµα 8: Καθορισµός του χώρου ελέγχου στον κατακόρυφο γωνιακό αγωγό.... 4 Σχήµα 9: Η δύναµη F* που ασκείται από τα τοιχώµατα του αγωγού στο νερό.... 7 Σχήµα 10: Η πρόσπτωση της δέσµης νερού στο πτερύγιο της παρούσας άσκησης. 8 Σχήµα 11: Προσδιορισµός του χώρου ελέγχου.... 8 Σχήµα 1: Απεικόνιση των ύφισταµένων δυνάµεων.... 9 Σχήµα 13: Η διάταξη της δέσµης νερού και της κινητής επίπεδης πλάκας.... 30 Σχήµα 14: Απεικόνιση των υφισταµένων δυνάµεων... 30 Σχήµα 15: Η ισοδύναµη κατάσταση του προβλήµατος της παρούσας άσκησης.... 31 Σχήµα 16: Προσδιορισµός του χώρου ελέγχου.... 31 Σχήµα 17: Η διάταξη της παρούσας άσκησης.... 33 Σχήµα 18: Προσδιορισµός του χώρου ελέγχου.... 34 Σχήµα 19: Απεικόνηση µέρους του στροφείου της φυγοκεντρικής αντλίας.... 38 Σχήµα 0: Απεικόνιση του στροφείου του υδροστροβίλου.... 41 Σχήµα 1: Οι γωνίες εισόδου και εξόδου της ροής από τα πτερύγια του στροφείου. 43 Σχήµα : Η διάταξη της παρούσας άσκησης.... 44 Σχήµα 3: Η διάταξη της παρούσας άσκησης.... 45 Σχήµα 4: Η διάταξη της παρούσας άσκησης.... 45 Σχήµα 5: Η διάταξη της παρούσας άσκησης..... 46 Σχήµα 6: Σχηµατική απεικόνιση διέλευσης υπερχητικού αεροσκάφους υπεράνω ακίνητου παρατηρητή.... 47 Σχήµα 7: Καθορισµός του χώρου ελέγχου.... 66 Σχήµα 8: Καθορισµός του χώρου ελέγχου.... 67 Σχήµα 9: Προσδιορισµός του χώρου ελέγχου.... 69 Σχήµα 30: Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων.... 71 Σχήµα 31: Προσδιορισµός του χώρου ελέγχου.... 7 Σχήµα 3: Απεικόνιση γωνίας θ... 74 6

1. Σκοποί ενότητας Η παρούσα ενότητα αποβλέπει στην επαρκή άσκηση των σπουδαστών ώστε να καταστούν ικανοί να αντιµετωπίζουνκαι επιλύουν µε ευχέρεια τεχνικάζητηµάτα που ανακύπτουν από την χρήση ρευστών σε διάφορες τεχνολογικές εφαρµογές.. Περιεχόµενα ενότητας Στην παρούσα ενότητα περιλαµβάνεται ένας ικανός αριθµός θεωρητικών ασκήσεων κατανεµηµένος σε οµάδες που αντιστοιχούνστα Κεφάλαια της ύλης του µαθήµατος.στηνπλειοψηφία των ασκήσεων κάθε οµάδαςπαρουσιάζεται αναλυτικά όλη η µεθοδολογία επίλυσήτους, αποσκοπώντας στην κατανόηση από τους σπουδαστές τηςπλήρους διαδικασίας ανάλυσης και αντιµετώπισης των θεµάτων που εξετάζονται. Στιςυπόλοιπες ασκήσεις κάθε οµάδαςπαρέχονται µόνο ορισµένα στοιχεία της επίλυσης και το αποτέλεσµα. Ως εκ τούτου, οι σπουδαστές αφού επιχειρήσουν την επίλυσηαυτώντων ασκήσεων, έχουν την δυνατότητα να ελέγξουν την µεθοδολογία που ακολούθησαν. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ 3.1 Άσκηση 1 Μία λεία επίπεδη πλάκα βρίσκεται σε ρεύµα νερού µε ταχύτητα U = 0,5m/s. Μέχρι ποιά απόσταση από την αρχή της πλάκας µπορεί να θεωρηθεί ότι το οριακό στρώµα παραµένει στρωτό; Ποιό θα είναι το πάχος του οριακού στρώµατος σε εκείνο το σηµείο; ίδεται το κινηµατικό ιξώδες νερού, ν = 1,1x10 6 m /s. Απάντηση. Με την παραδοχή ότι η µετάβαση του οριακού στρώµατος από στρωτό σε τυρβώδες γίνεται απότοµα και ότι η τιµή του κρίσιµου αριθµού ReynoldsRe(κρ) είναι 5x10 5, ισχύει: Re (κρ) U xµετ = = 5 10 ν 5 Όπουx µετ είναι το διάστηµα από την αρχή της πλάκας στο οποίο η ροή είναι στρωτή. Άρα: 6 5 10 5 1,1 10 x µετ = = 1,1 m 0,5 Χρησιµοποιώντας την σχέση δ(x) = 5 x Re (x) για το πάχος στρωτού οριακού στρώµατος (σύµφωνα µε την λύση Blasius): 7

δ = µετ 5 1,1 5 5 10 = 0,0077 m 3. Άσκηση Μία λεία επίπεδη πλάκα µήκους L = 1m και πλάτους b = 0,5m είναι τοποθετηµένη µε µηδενική κλίση σε οµοιόµορφο ρεύµα νερού µε ταχύτητα U = 0,4m/s. Επιβεβαιώστε ότι το οριακό στρώµα είναι στρωτό σε όλο το µήκος της πλάκας. Προσδιορίστε την δύναµη στήριξης που απαιτείται ώστε η πλάκα να µην παρασυρθεί από την ροή. ίδονται: κινηµατικό ιξώδες νερού, ν = 1,1x10-6 m /s και πυκνότητα νερού, ρ = 1000kg/m 3. Απάντηση. Θα πρέπει να συγκριθεί η τιµή του αριθµού Reynolds για όλο το µήκος της πλάκας µε την τιµή 5x10 5 που είναι η τιµή του κρίσιµου αριθµού ReynoldsRe (κρ) για ροή σε λεία επίπεδη πλάκα. U L 0,4 1 Re (L) = = = 363636 = 3,6 10 6 ν 1,1 10 5 (<Re (κρ) ) Άρα το οριακό στρώµα είναι στρωτό σε όλο το µήκος της πλάκας. Η δύναµη που απαιτείται θα πρέπει να είναι ίση και αντίθετη µε την ολική δύναµη τριβής F που ασκεί η ροή στην πλάκα. F = c F 1 ρ U L b όπου c F είναι ο ολικός συντελεστής τριβής. Ο παράγων υπάρχει στην ανωτέρω σχέση ώστε να συνυπολογιστούν οι δυνάµεις τριβής και από τις δύο επιφάνειες της πλάκας. Εφόσον το οριακό στρώµα είναι στρωτό σε όλο το µήκος της πλάκας, ο ολικός συντελεστής τριβής c F δίδεται από την σχέση (λύση Blasius): c = 1,38 Re F Άρα: (L) c F = 1,38 363636 = 0,00 και: 1 F = 0,00 1000 0,4 1 0,5 = 0,176 N 3.3 Άσκηση 3 Αν υποτεθεί στην περίπτωση της Άσκησης 1. ότι η ταχύτητα του νερού αυξάνεται σε U = m/s και ότι η ροή στο οριακό στρώµα εξαναγκάζεται σε τυρβώδη από την αρχή 8

της πλάκας (π.χ. κάνοντας την επιφάνεια του χείλους προσβολής της πλάκας πολύ τραχεία), υπολογίστε: (α) την ολική δύναµη τριβής που ασκείται στην πλάκα, (β) την ταχύτητα ροής στο µέσον και στο χείλος εκφυγής της πλάκας, και σε απόσταση y* = 4mm από την επιφάνειά της. (Θεωρείστε ένα εκθετικό νόµο κατανοµής της ταχύτητας στο οριακό στρώµα, µε τιµή εκθέτη n = 7). Απάντηση. Εφόσον το οριακό στρώµα είναι τυρβώδες σε όλο το µήκος της πλάκας και η κατανοµή της ταχύτητας κατά το πάχος του είναι εκθετική, ο ολικός συντελεστής τριβής cf δίδεται από την σχέση: c = 0,074 Re F -1 5 (L) U L 1 Re (L) = = = 1818180 = 18, 10 6 ν 1,1 10 Άρα: F 1 5 c = 0,074 1818180 = 0,0041 και: 1 F = 0,0041 1000 1 0,5 = 8, N Εφόσον η κατανοµή ταχύτητας στο οριακό στρώµα είναι εκθετική, ισχύει: 5 u( y) U = y δ 1 7 όπου u(y) είναι η ταχύτητα ροής στην απόσταση y από την επιφάνεια της πλάκας. Το πάχος δ είναι συνάρτηση της απόστασης x από το χείλος προσβολής της πλάκας: δ = 0,37 x Re (x) 1 5 (x) Για x = L/ = 0,5 m : 1 5 0,5 δ (x=l ) = 0,37 0,5 = 0,01 m 6 1,1 10 και: 1 1 y* 7 0, 004 7 u ( x =L, y= y* ) = U = = 1,71 m s δ ( L ) 0,01 Για x = L = 1m: 9

1 5 1 δ (x=l) = 0,37 1 = 0,01 m 6 1,1 10 και: 1 1 y* 7 0, 004 7 u ( x=l, y= y* ) = U = = 1,58 m s δ ( L) 0,01 3.4 Άσκηση 4 Ρεύµα αέρα προσπίπτει µε ταχύτητα U = 1m/s και µε µηδενική κλίση σε µία λεπτή, λεία επίπεδη πλάκα µε στρογγυλεµένο χείλος προσβολής. Θεωρώντας ότι η ανάπτυξη του οριακού στρώµατος γίνεται κανονικά, υπολογίστε την ολική δύναµη τριβής F που ασκείται στην πλάκα. ίδονται: µήκος πλάκας L = m, πλάτος b = 1m, πυκνότητα αέρα, ρ = 1,kg/m 3, κινηµατικό ιξώδες αέρα, ν = 1,46 x10-5 m /s. Απάντηση. Πρώτα εξετάζεται το είδος της ροής στο οριακό στρώµα υπολογίζοντας την τιµή του αριθµού Reynolds στο χείλος εκφυγής της πλάκας: U L 1 Re (L) = = = 1 643 836 = 16,4 10 5 ν 1,46 10 Εφόσον η τιµή αυτή υπερβαίνει την τιµή του κρίσιµου αριθµού Reynolds (=5x10 5 ) και το οριακό στρώµα αναπτύσσεται κανονικά, η ροή θα είναι στρωτή από την αρχή της πλάκας ως ένα σηµείο σε απόσταση xµετ, όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Re Στο σηµείο αυτό ισχύει: ( x µετ ) = Re ( κρ ) = 5 10. Οπότε: 5 5 5 10 1,46 10 x µετ = = 0,61 m 1 Μπορούν να εφαρµοστούν οι ακόλουθες δύο µέθοδοι για την εύρεση του ολικού συντελεστή τριβής και στην συνέχεια, της δύναµης τριβής που ασκείται στην πλάκα. α) Αναλυτική Μέθοδος. 5 5 10

Σχήµα 1: Αναλυτική Μέθοδος για την εύρεση του ολικού συντελεστή τριβής και της δύναµης τριβής που ασκείται στην πλάκα. Πηγή: ιδάσκων (015). Στο σηµείο µετάβασης, το πάχος απώλειας ορµής είναι το ίδιο και για το στρωτό και dδ για το τυρβώδες οριακό στρώµα, γιατί αν ήταν διαφορετικό, η παράγωγος dx θα έτεινε στο άπειρο, όπως και η τιµή της επιφανειακής διατµητικής τάσης τ Ε εκεί dδ τ Ε = ρ U. Αυτό ασφαλώς δεν ισχύει γιατί σε αντίθετη περίπτωση θα dx σήµαινε την ύπαρξη εκεί τριβής η οποία θα έτεινε στο άπειρο. Από την σχέση dδ c f = dx για τον τοπικό συντελεστή τριβής, η οποία προέρχεται από την ολοκληρωµατική εξίσωση της ορµής και ισχύει για στρωτό όπως και για τυρβώδες οριακό στρώµα και από το γεγονός ότι το δ είναι συνεχές σε όλο το µήκος της πλάκας, όπως προαναφέρθηκε, προκύπτει η ακόλουθη σχέση για τον ολικό συντελεστή τριβής c F : 1 1 δ c F = c dx = dx = L L dx L L L dδ (L) f 0 0 (3.1) Άρα, για τον υπολογισµό του c F απαιτείται µόνο η εύρεση του πάχους απώλειας ορµής στο χείλος εκφυγής της πλάκας, δ (L). Αυτό µπορεί να πραγµατοποιηθεί θεωρώντας µία εικονική αρχή για το τυρβώδες τµήµα του οριακού στρώµατος, σε απόσταση x o ανάντι του σηµείου µετάβασης, όπως φαίνεται στο ανωτέρω σχήµα. Το χείλος εκφυγής απέχει από το εικονικό αυτό σηµείο µια απόσταση x*, όπου: ( µετ o) x* = L x x (3.) Για το στρωτό οριακό στρώµα, το πάχος απώλειας ορµής στο σηµείο µετάβασης δ (µετ) µπορεί να υπολογιστεί από την ακόλουθη σχέση που προκύπτει από την λύση Blasius: 11

δ = 0,664 x Re ( ) 1 µετ (µετ) µετ ( x ) (3.3) Για το τυρβώδες οριακό στρώµα, το πάχος απώλειας ορµής στο σηµείο µετάβασης, δίδεται από την σχέση: δ = 0,037 x Re ( ) 1 5 (µετ) o ( xo) Λύνοντας ως προς x o : δ (µετ) 1 5 U = 0,037 x o x ν x = L 0,037 ν (3.4) 1 5 o 1 5 4 5 δ(µετ) U L 1 5 o 5 4 (µετ) 1 4 1 4 (L) δ x o = Re L 0,037 (3.5) Από την Σχέση 3.3: δ (µετ) ( ) 1 5 4 = 0,664 0,61 5 10 = 5,73 10 m Από τηνσχέση3.5: 4 5 4 1 4 1 4 5,73 10 x o = 1643836 = 0,164 m 0,037 Από τηνσχέση 3.5: x* = ( 0,61 0,164 ) = 1,55 m Εφαρµόζοντας την Σχέση 3.4 στο χείλος εκφυγής της πλάκας: ( ( )) 1 5 (L) x* δ = 0,037 x* Re δ (L) 5 1 5 1 1,55 = 0,037 1,55 = 0,00345 m 1,46 10 Και από την Σχέση 3.1: δ(l) 0,00345 c F = = = 0,00345 L (3.6) Η ολική δύναµη τριβής F που ασκείται στην πλάκα είναι: 1

1 1 F = cf ρ U L b = 0,00345 1, 1 1 = 1,1 N (3.7) β) Εµπειρική Μέθοδος. Ο ολικός συντελεστής τριβής c F υπολογίζεται από την ακόλουθη εµπειρική σχέση των Prandtl και Schlichting, µε τιµή κρίσιµου αριθµού Reynolds 5x10 5 (για την επιλογή της σταθεράς του δευτέρου όρου του δεξιού µέλους της). c = 0,455 log Re ( ) (,58) 1700 Re F (L) (L) (3.8) Αντικαθιστώντας την τιµή του Re (L) που υπολογίστηκε προηγουµένως: [ ( )] ( c = 0,455 log 1643836,58) 1700 1643836 = 0,00305 F Και η ολική δύναµη τριβής F είναι: 1 F = 0,00305 1, 1 1 = 1,07 N (3.9) 3.5 Άσκηση 5 Υποθέστε ότι στην εφαρµογή που αναφέρεται στην Άσκηση 3, το οριακό στρώµα αναπτύσσεται κανονικά κατά µήκος της επίπεδης πλάκας. Υπολογίστε το πάχος του στο µέσον και στο χείλος εκφυγής της πλάκας. Απάντηση. Στην παρούσα περίπτωση ισχύει το σχήµα της Άσκησης 1.4. Πρώτα πρέπει να υπολογιστεί η απόσταση του σηµείου µετάβασης x µετ από το χείλος προσβολής: Re 5 6 ( κρ) ν 5 10 1,1 10 x µετ = = = 0,75 m U Στο σηµείο µετάβασης, το πάχος απώλειας ορµής δ (µετ) δίδεται από την Σχέση 3.3 για στρωτή ροή: δ 1 1 ( ( )) ( 5 ) 4 = 0,664 xµετ Re = 0,664 0,75 5 10 =,58 10 m (µετ) κρ Αυτή η τιµή του πάχους απώλειας ορµής ισχύει στο σηµείο µετάβασης και για το τυρβώδες οριακό στρώµα η ανάπτυξη του οποίου θεωρείται ότι αρχίζει από το σηµείο που απέχει απόσταση x o ανάντη του σηµείου µετάβασης. Οπότε: δ 1 5 1 5 4 5 o U = 0,037 x o ( Re ( o) ) = 0,037 x ν (µετ) x Λύνονταςως προς x o : 13

5 4 1 4 4 5 4 1 4 δ(µετ) U,58 10 o 6 x = = = 0,074 m 0,037 ν 0,037 1,1 10 Το µέσον της πλάκας και το χείλος εκφυγής απέχουν από την εικονική αρχή του τυρβώδους οριακό στρώµατος αποστάσεις: L x* ( L ) = ( xµετ x o) = 0,5 ( 0,75 0,074 ) = 0,99 m x* = L x x = 1 0,75 0,074 = 0,799 m ( ) ( ) ( ) L µετ o Το πάχος του τυρβώδους οριακού στρώµατος στα σηµεία αυτά είναι: 1 5 0,99 δ (L ) = 0,37 x* ( L ) ( Re (x* ) ( ) ) = 0,37 0,99 = 0,0079 m 6 L 1,1 10 1 5 0,799 δ (L) = 0,37 x* ( L) ( Re (x*( ) )) = 0,37 0,799 = 0,0173 m L 6 1,1 10 Ασκήσεις προςλύση. 3.6 Άσκηση 6 Σε µία επίπεδη λεία πλάκα µήκους L = 3m και πλάτους b = m τοποθετηµένης σε ρεύµα αέρα, η διατµητική τάση τ Ε στο χείλος εκφυγής βρέθηκε ίση µε 8,8x10-4 N/m. Είναι γνωστό ότι το οριακό στρώµα παραµένει στρωτό σε όλο το µήκος της πλάκας. Επιβεβαιώστε το γεγονός αυτό και υπολογίστε την ολική δύναµη τριβής F που ασκείται στην πλάκα. ίδονται: πυκνότητα αέρα, ρ = 1,kg/m 3, κινηµατικό ιξώδες αέρα, ν = 1,46 10-5 m /s. ( Απάντηση: Re (L) =,03x10 5, F = 0,01N ) 3.7 Άσκηση 7 Υπολογίστε την ταχύτητα ροής στην περίπτωση της Άσκησης 6 ώστε να εµφανιστεί µετάβαση του οριακού στρώµατος σε τυρβώδες, στο µέσον του µήκους της πλάκας. Ποιά θα είναι τότε η τιµή της διατµητικής τάσης στο χείλος εκφυγής της πλάκας και ποιά η τιµή της ολικής δύναµης τριβής; ( Απάντηση: τ Ε = 0,059N/m, F = 0,89N ). 3.8 Άσκηση 8 Μία επίπεδη λεία πλάκα µήκους L = m και πλάτους b = 1m, βρίσκεται βυθισµένη σε ρεύµα νερού µε ταχύτητα U = 1m/s. Προσδιορίστε την µέση ταχύτητα ροής σε αποστάσεις 0,3m και 1,8m από το χείλος προσβολής και σε κάθετη απόσταση mm από την επιφάνεια της πλάκας. Θεωρείστε τις ακόλουθες κατανοµές µέσης ταχύτητας 1 5 1 5 14

κάθετα προς την επιφάνεια της πλάκας, για στρωτό και για τυρβώδες οριακό στρώµα, αντίστοιχα: u 3 ( y) 3 y = 1 y u U δ δ, ( y) U (δ: πάχος οριακού στρώµατος). = y δ 1 7 ίδεται το κινηµατικό ιξώδες νερού, ν = 1,1x10-6 m /s. ( Απάντηση: u ( x = 0,3m, y = mm) = 0,87 m s, u ( x = 1,8m, y = mm) = 0,676 m s ). 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΕΠΙ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 4.1 Άσκηση1. Η ολική αεροδυναµική αντίσταση F οπ ενός ηµισφαιρικού κοίλου σώµατος διαµέτρου d = 0,1m µετρήθηκε σε αεροσήραγγα ίση µε 0,19Ν όταν η ροή προσέπιπτε στην κυρτή επιφάνεια του σώµατος και ίση µε 0,69Ν όταν η ροή προσέπιπτε στην κοίλη επιφάνεια. Η ταχύτητα ροής ήταν U = 10m/s. Με βάση αυτά τα πειραµατικά δεδοµένα, υπολογίστε την ροπή Μ που ασκείται στον άξονα της διάταξης του σχήµατος που ακολουθεί. ίδονται: πυκνότητα αέρα ρ = 1,kg/m 3, κινηµατικό ιξώδες αέρα ν = 1,46 10-5 m /s. Σχήµα : Η διάταξη του σώµατος που φέρει µια κυρτή και µια κοίλη επιφάνεια. Πηγή: ιδάσκων (015). Απάντηση. Τα πειραµατικά δεδοµένα µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τον προσδιορισµό του συντελεστή οπισθέλκουσας C οπ του ηµισφαιρικού σώµατος, σε κάθε περίπτωση χρήσης του. Όταν η ροή προσπίπτει στην κυρτή επιφάνεια: 15

F 0,19 C = = = 0,397 οπ 1 οπ 1 ρ U A 1 π 0,1 1, 10 Όταν η ροή προσπίπτει στην κοίλη επιφάνεια: 0,69 C = = 1, 44 οπ 1 π 0,1 1, 10 4 Χρησιµοποιώντας αυτές οι τιµές, υπολογίζονται οι δυνάµεις που ασκούνται στα ηµισφαιρικά σώµατα της διάταξης του σχήµατος. Για το κυρτό (ως προς την ροή) σώµα: 1 1 π 0, 1 οπ 1 οπ F = C ρ U A = 0,397 1, 15 = 1,71 N 4 Για το κοίλο (ως προς την ροή) σώµα: 1 1 π 0, οπ οπ F = C ρ U A = 1,44 1, 15 = 6,1 N 4 Η ροπή Μ των δυνάµεων αυτών ως προς το µέσον του βραχίονα είναι: s d s d M = F + 1F + = ( F 1F ) s + d οπ οπ οπ οπ ( ) ( ) M = 6,1 1,7 0,5 + 0,1 =,69 Nm 4. Άσκηση. Μετά από ένα πρόγραµµα δοκιµών σε αεροσήραγγα, προέκυψαν τα ακόλουθα στοιχεία σχετικά µε την ολική οπισθέλκουσα δύναµη F οπ µιας λείας σφαίρας διαµέτρου 0,15m, σε διάφορες ταχύτητες ροής U. 4 Πίνακας1: Στοιχεία από το πρόγραµµα δοκιµών µε λεία σφαίρα σε αεροσήραγγα. Πηγή: ιδάσκων (015). 16

Χρησιµοποιείστε αυτά τα στοιχεία για να υπολογίσετε την πυκνότητα του υλικού από το οποίο πρέπει να είναι κατασκευασµένη µια σφαίρα διαµέτρου d = 0,1m, ώστε όταν αφεθεί να πέσει ελεύθερα στην ατµόσφαιρα, να αποκτήσει οριακή ταχύτητα U ορ = 5m/s. Απάντηση. Όταν η σφαίρα πέφτει µε την οριακή ταχύτητα, εκτελεί οµαλή κίνηση. Άρα η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που ενεργούν σε αυτήν είναι µηδέν. Αυτές οι δυνάµεις είναι το βάρος Β και η ολική οπισθέλκουσα δύναµη F οπ. Εποµένως θα πρέπει: F οπ = Β Για να υπολογιστεί η F οπ απαιτείται η τιµή του συντελεστή οπισθέλκουσας C οπ, η οποία πρέπει να επιλεγεί µετά από σύγκριση του αριθµού Reynolds της παρούσας περίπτωσης µε τον κρίσιµο αριθµό Reynolds (= 3x10 5 ). Για να γίνει αυτή η διαδικασία, θα πρέπει ο πίνακας των πειραµατικών δεδοµένων να συµπληρωθεί ως εξής: Πίνακας : Πειραµατικά δεδοµένα του προγράµµατος δοκιµών. Πηγή: ιδάσκων (015). Οι τιµές του C οπ βρέθηκαν από την σχέση: C = οπ οπ F 1 ρ U A όπου Α είναι το εµβαδόν της µέγιστης διατοµής, δηλαδή: Α = πd /4. Για την σφαίρα διαµέτρου d = 0,1m: U ορ d 5 0,1 Re = = = 1,71 10 5 ν 1,46 10 Άρα: C οπ = 0,45 και: 5 17

1 1 π 0,1 οπ οπ ορ F = C ρ U A = 0,45 1, 5 = 1,35 N 4 Όµως: F = B = ρ V g οπ σϕ σϕ όπου ρ σφ είναι η πυκνότητα και V σφ ο όγκος της σφαίρας: 3 3 4 d 4 0,1 V = π = π σϕ = 0,53 10 m 3 3 Άρα: 3 3 Β 1,35 ρ σϕ = = = 63,1 kg 3 V g 0,53 10 9,81 σϕ m 3 4.3 Άσκηση3 Θεωρείστε µια λεία σφαίρα ιδίων διαστάσεων µε αυτή της Άσκησης, η οποία αφήνεται να πέσει ελεύθερα µέσα σε νερό. Πόσο πρέπει να είναι το βάρος της ώστε η οριακή ταχύτητά της να µην υπερβεί την τιµή,5m/s; ίδονται: πυκνότητα νερού, ρ = 1000kg/m 3, κινηµατικό ιξώδες νερού, ν = 1,1x10-6 m /s. Απάντηση. Στην παρούσα περίπτωση θα πρέπει να συνυπολογιστεί και η ανωστική δύναµη F Α που ασκεί το νερό στην σφαίρα. Για οµαλή κίνηση της σφαίρας ισχύει: B = F οπ + FΑ (B: βάρος της σφαίρας) Για τον υπολογισµό της F οπ : U ορ d,5 0,1 Re = = =,7 10 6 ν 1,1 10 Από τον ανάλογο πίνακα της Άσκησης, επιλέγεται η τιµή C οπ = 0,45. Άρα: 5 1 1 π 0,1 οπ οπ ορ F = C ρ U A = 0,45 1000,5 = 11,04 N 4 Η άνωση F Α είναι: 4 ( ) 3 F A = ρ ύ V g = 1000 π 0,1 νερο σϕ 9,81 = 5,14 N 3 Άρα το βάρος της σφαίρας πρέπει να είναι: 18

Β = 11,04 + 5,14 = 16,18 N 4.4 Άσκηση4 Ένα επιβατικό αυτοκίνητο µε µετωπική επιφάνεια Α=1,91m, έχει συντελεστή αεροδυναµικής οπισθέλκουσας C οπ = 0,4. Πόση ισχύ πρέπει να αποδώσει ο κινητήρας για να αντισταθµίσει την αεροδυναµική αντίσταση όταν το αυτοκίνητο κινείται σε επίπεδο και οριζόντιο δρόµο µε σταθερή ταχύτητα U ο = 60km/h; Πόση θα πρέπει να είναι αυτή η ισχύς ώστε το αυτοκίνητο να αναπτύξει σταθερή ταχύτητα 10km/h; (Θεωρείστε ότι η τιµή του συντελεστή αεροδυναµικής οπισθέλκουσας παραµένει η ίδια). ίδεται η πυκνότητα του αέρα: ρ = 1,kg/m 3. Απάντηση. Η απαιτούµενη ισχύς P είναι: P = F οπ Uo όπου Fοπ είναι η αεροδυναµική οπισθέλκουσα δύναµη που ασκείται στο αυτοκίνητο. Στην ταχύτητα U ο = 60 km/h = 16,67m/s: 1 1 F οπ = Cοπ ρ U A = 0,4 1, 16,67 1,91 = 19,5 N ορ Και: P = 19,5 16,67 =,16 kw ( U = 60) o Όταν η ταχύτητα είναι U ο = 10 km/h = 33,33 m/s: 1 1 F οπ = Cοπ ρ U A = 0,4 1, 33,33 1,91 = 517,8 N ορ Η αντίστοιχηισχύςείναι: P = 517,8 33,33 = 17,6 kw ( U = 10) o Παρατηρείται ότι για να διπλασιαστεί η ταχύτητα του οχήµατος, απαιτείται η παροχή οκταπλάσιας ισχύος από τον κινητήρα. 4.5 Άσκηση5 Ένα αεροσκάφος έχει µάζα m = 400kg και εµβαδόν επιφανείας πτέρυγας Α = 6m. Υπολογίστε την γωνία προσβολής a της πτέρυγας όταν το αεροσκάφος πετά ευθύγραµµα και οµαλά σε σταθερό ύψος, µε σταθερή ταχύτητα U ο = 180km/h. Θεωρείστε ότι ο συντελεστής άντωσηςc αν (υπολογισµένος µε βάση το εµβαδόν επιφανείας της πτέρυγας) συνδέεται µε την γωνία προσβολής a µε την γραµµική σχέση: C αν = 0,35 + 0,08 a. 19

ίδεται η πυκνότητα του αέρα: ρ = 1,kg/m 3. Απάντηση. Εφόσον το αεροσκάφος πετά ευθύγραµµα και οµαλά, θα πρέπει το βάρος του Β να είναι ίσο µε την άντωσηf αν που παράγει η πτέρυγα: 1 B = F αν = Cαν ρ U A ο Και: Β 400 9,81 C αν = = = 0,594 1 ρ U A 1 180 1000 ο 1, 6 3600 Άρα: Cαν 0,36 a = =,93 0,08 Ασκήσεις προςλύση. 4.6 Άσκηση 6 Οµοίωµα µε κλίµακα 1:10 ενός σώµατος µε αεροδυναµική µορφή και κυκλική διατοµή, δέχεται ολική αντίσταση 0,8Ν όταν βρίσκεται σε ρεύµα νερού µε ταχύτητα 6m/s. Πόση θα είναι η ολική αεροδυναµική αντίσταση στο πραγµατικό σώµα όταν αυτό κινείται στην ατµόσφαιρα µε ταχύτητα 00km/h; ίδονται: πυκνότητα αέρα: ρ αέρα = 1,kg/m 3, πυκνότητα νερού: ρ νερού = 1000kg/m 3. ( Απάντηση: F οπ = 8,36N ) 4.7 Άσκηση7 Η ολική αεροδυναµική αντίσταση µιας εξωτερικής κυλινδρικής κεραίας αεροσκάφους βρέθηκε ίση µε 5Ν στην ταχύτητα 30km/h. Το ύψος της κεραίας είναι 0,m και η διάµετρός της 0,05m. Για να µειωθεί η αντίσταση της κεραίας, πρόκειται να τοποθετηθεί γύρω από αυτήν ένα κάλυµµα µε αεροδυναµική µορφή, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. Ποιά θα πρέπει να είναι η τιµή του συντελεστή οπισθέλκουσας του καλύµµατος ώστε η αντίσταση να µειωθεί στο 1/5 της αρχικής; ίδεται η πυκνότητα του αέρα: ρ = 1,kg/m 3. Σχήµα 3: ιάταξη κυλινδρικής κεραίας και αεροδυναµικού καλύµµατος. Πηγή: ιδάσκων (015). 0

(Απάντηση: C οπ = 0, ). 4.8 Άσκηση8 οκιµές σε αεροσήραγγα έδειξαν ότι αέρας µε ταχύτητα 10m/s δηµιουργεί πίεση 7N/m στην επιφάνεια επίπεδης πλάκας τοποθετηµένης κάθετα στην ροή. Με βάση αυτά τα στοιχεία, υπολογίστε την µέγιστη ταχύτητα ανέµου µέχρι την οποία δεν υπάρχει κίνδυνος να παρασυρθεί επίπεδη επιγραφή µε εµβαδόν 4m, γνωρίζοντας ότι η µέγιστη επιτρεπτή κάθετη δύναµη σε αυτήν είναι 1500Ν. ίδεται η πυκνότητα του αέρα: ρ = 1,kg/m 3. (Απάντηση: U ανεµ = 8,1km/h ). 5. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 5.1 Άσκηση1 Αγωγός µεταφέρει νερό µε πίεση p 1 = 40kN/m. Σε κάποιο σηµείο υπάρχει η διακλάδωση που φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. Υπολογίστε το µέγεθος και την διεύθυνση της δύναµης που ασκείται από το νερό στην διακλάδωση του αγωγού. Σχήµα 4: Ο αγωγός µεταφοράς νερού µε διακλάδωση ολικής γωνίας ανοίγµατος 45. Πηγή: ιδάσκων (015). Όλη η διάταξη βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Οι τριβές µπορούν να θεωρηθούν αµελητέες. ίδεται η πυκνότητα του νερού: ρ = 1000kg/m 3. Απάντηση. Αρχικά πρέπει να οριστεί ο χώρος ελέγχου όπου θα εφαρµοστεί η εξίσωση της ορµής: 1

Σχήµα 5: Ο χώρος ελέγχου στον αγωγό της παρούσας άσκησης. Πηγή: ιδάσκων (015). Στην συνέχεια, σχεδιάζεται το διάγραµµα των δυνάµεων που ασκούνται στο ρευστό που βρίσκεται µέσα στον χώρο ελέγχου: Σχήµα 6: Οι δυνάµεις που ασκούνται στο ρευστό εντός του χώρου ελέγχου. Πηγή: ιδάσκων (015). όπου F είναι η δύναµη που ασκεί το νερό στα τοιχώµατα. Από το διάγραµµα αυτό προκύπτουν οι εξής σχέσεις για τις συνιστώσες F x και F y : ( p ) ( p ) x 1 1 1 1 3 3 3 3 F = p A + ρ u A A + ρ u A συν30 A + ρ u A συν15 ( p ) ( p ) F = A + ρ u A ηµ30 A + ρ u A ηµ15 y 3 3 3 3 Σε αυτές τις σχέσεις, άγνωστα µεγέθη είναι η ταχύτητα εισόδου u 1 και οι πιέσεις στις διακλαδώσεις, p 1 και p. Η ταχύτητα u 1 µπορεί να προσδιοριστεί µε εφαρµογή της εξίσωσης συνέχειας: u A = u A + u A 1 1 3 3 Άρα: π d π d 3 u + u 3 4 4 10 0, 09 8 0,1 u = + = = 6,06 m s 1 π d 1 0,18 4

Οι πιέσεις p 1 και p µπορούν να βρεθούν µε εφαρµογή της εξίσωσης Bernoulli. Έτσι, στα σηµεία 1 και ισχύει: p 1 1 1 + ρ u 1 = p + ρ u Άρα: p 1 1 = 40000 + 1000 6,06 1000 10 = 8 361,8 N m Αντίστοιχα, στα σηµεία 1 και 3 ισχύει: p 1 1 1 + ρ u 1 = p3 + ρ u3 Και: p 3 1 1 = 40000 + 1000 6,06 1000 8 = 6 361,8 N m Θέτοντας τιµές στις εκφράσεις των F x και F y : π 0,18 F x = 40000 + 1000 6,06 4 π 0,09 4 π 0,1 4 = 368, N ( ) ( ) 8361,8 + 1000 10 συν30 ( ) 6361,8 + 1000 8 συν15 π 0,09 F y = ( 8361,8 + 1000 10 ) ηµ30 4 π 0,1 4 = 80, N ( ) 6361,8 + 1000 8 ηµ15 Το µέγεθος της δύναµης F είναι: x + y F = F F = 376,8 N και η κλίση της, θ: 1 Fy 1 θ = εφ = εφ ( 0,18 ) = 1,3 F x 5. Άσκηση 3

Κατακόρυφος γωνιακός αγωγός 90 ελαττώνει την διάµετρο αγωγού µεταφοράς νερού από d 1 = 30cm σε d = 0cm, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. Η παροχή του δικτύου είναι V = 0,4m 3 /s και η πίεση p 1 πριν τον γωνιακό αγωγό είναι 0,7bar. Ο όγκος v του εσωτερικού χώρου του γωνιακού αγωγού υπολογίστηκε ίσος µε 0,1m 3 και το κέντρο βάρους του (κ.β.) στην θέση που σηµειώνεται στο σχήµα. Οι απώλειες ενέργειας που προκαλεί ο γωνιακός αγωγός εκφράζονται από την σχέση: 1 u Ηαπωλ = 0,3 g, όπου u η ταχύτητα εισόδου. Υπολογίστε το µέγεθος, την 1 διεύθυνση και την θέση του φορέα της δύναµης που ασκείται στον γωνιακό αγωγό. ίδεται η πυκνότητα του νερού: ρ = 1000kg/m 3. Σχήµα 7: Ο κατακόρυφος γωνιακός αγωγός της παρούσας άσκησης. Πηγή: ιδάσκων (015). Απάντηση. α) Καθορισµός του χώρου ελέγχου για την εφαρµογή της εξίσωσης της ορµής: Σχήµα 8: Καθορισµός του χώρου ελέγχου στον κατακόρυφο γωνιακό αγωγό. Πηγή: ιδάσκων (015). 4

β) Σχεδίαση του διαγράµµατος των δυνάµεων που ασκούνται στο ρευστό που περικλείεται στον χώρο ελέγχου: ιάγραµµα 1: ιάγραµµα των δυνάµεων που ασκούνται στο ρευστό εντός του χώρου ελέγχου. F είναι η δύναµη που ασκεί το νερό στα τοιχώµατα. Πηγή: ιδάσκων (015). γ) Προσδιορισµός της δύναµης F: Από το ανωτέρω διάγραµµα προκύπτουν οι εξής εκφράσεις για τις συνιστώσες F x και F y : ( ) x p p F = A + ρ u A = A + ρ u ( p ) y p1 1 1 1 1 1 1 F = A + ρ u A + B = A + ρ u + B Σε αυτές τις σχέσεις, άγνωστα µεγέθη είναι οι ταχύτητες u 1 και u, η πίεση p και το βάρος Β. Οι ταχύτητες µπορούν να βρεθούν από την σχέση της παροχής: V = A 1 u 1 = A u Οπότε: V 0,4 u 1 = = = 5,66 m s π d 1 π 0,3 4 4 V 0,4 u = = = 1,73 m s π d π 0, 4 4 5

Η πίεση p µπορεί να βρεθεί από την εξίσωση ενέργειας στην ακόλουθη µορφή: 1 1 1 p u p u + + z = + + z + Η ρ g g ρ g g Θεωρώντας ένα οριζόντιο επίπεδο αναφοράς διερχόµενο από το µέσον της διατοµής στην θέση, τότε z 1 = 1 και z = 0. Αντικαθιστώντας στην ανωτέρω σχέση τις γνωστές τιµές των διαφόρων µεγεθών: απωλ p + + 1 = + + 0,3 70000 5,66 1,73 5,66 1000 9,81 9,81 1000 9,81 9,81 9,81 Οπότε: p = 9 996 N m Το βάρος του νερού στον χώρο του γωνιακού αγωγού είναι: B = ρ v g = 1000 0,1 9,81 = 1 177, N Αντικαθιστώντας τις τιµές των διαφόρων µεγεθών στις εκφράσεις των F x και F y : π 0, F x = 9996 + 1000 1,73 4 = 5 405,1 N ( ) π 0,3 F y = ( 70000 + 1000 5,66 ) + 1177, 4 = 8 389,7 N Το µέγεθος της δύναµης F είναι: F = F x + Fy = 9 980,1 N Η κλίση θ της δύναµης F είναι: 1 Fy 1 θ = εφ = εφ ( 1,55 ) = 57, F x Υπενθυµίζεται ότι η F είναι η δύναµη που ασκεί το νερό στα τοιχώµατα του αγωγού. Τονερόδέχεται µια ίση και αντίθετηδύναµη, F*: 6

Σχήµα 9: Η δύναµη F*που ασκείται από τα τοιχώµατα του αγωγού στο νερό. Πηγή: ιδάσκων (015). Στο ανωτέρω διάγραµµα απεικονίζονται όλες οι δυνάµεις που ασκούνται στον όγκο του νερού που περιέχεται στον χώρο ελέγχου. Επιλέγεται το σηµείο Ο, το κέντρο της διατοµής του αγωγού στην θέση, ως προς το οποίο θα προσδιοριστεί η θέση του φορέα της δύναµης F*, δηλαδή το µέγεθος του µήκους r. Παίρνοντας ροπές ως προς το σηµείο Ο όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο νερό που περικλείεται στον χώρο ελέγχου και θεωρώντας θετική φορά την φορά των δεικτών ωρολογίου, προκύπτει: ( p ) F* r B 0,1 A + ρ u A 1 = 0 π 0, 9980,1 r 1177, 0,1 ( 9996 + 1000 1,73 ) 1 = 0 4 r = 0,55 m 5.3 Άσκηση3 έσµη νερού προσκρούει µε ταχύτητα 1m/s στο πτερύγιο του παρακάτω σχήµατος. Αν η ογκοµετρική παροχή της δέσµης είναι 0,1m 3 /s, βρείτε την δύναµη που ασκείται στο πτερύγιο όταν αυτό είναι ακίνητο και όταν αυτό κινείται µε ταχύτητα 9m/s στην διεύθυνση της δέσµης. Στην δεύτερη περίπτωση υπολογίστε και την παραγόµενη ισχύ. Η ροή θεωρείται σε οριζόντιο επίπεδο. υνάµεις τριβής µπορούν να αγνοηθούν. ίδεται η πυκνότητα του νερού: ρ = 1000kg/m 3. 7

Σχήµα 10: Η πρόσπτωση της δέσµης νερού στο πτερύγιο της παρούσας άσκησης. Πηγή: ιδάσκων (015). Απάντηση. α) Χώρος ελέγχου: Σχήµα 11: Προσδιορισµός του χώρου ελέγχου. Πηγή: ιδάσκων (015). β) ιάγραµµα δυνάµεων: Σε όλο το µήκος της δέσµης επιδρά σταθερή πίεση (η ατµοσφαιρική), οπότε η συνισταµένη των δυνάµεων πίεσης που ασκούνται στον χώρο ελέγχου είναι µηδέν. Επίσης, εφ όσον οι τριβές είναι αµελητέες, u 1 = u = u. 8

Σχήµα 1: Απεικόνιση των ύφισταµένων δυνάµεων. Πηγή: ιδάσκων (015). γ) Προσδιορισµός της δύναµης F: F = ρ V u x + ρ V u συν60 F = ρ V u συν30 y Αν το πτερύγιο είναι ακίνητο, u = 1 m/s. Άρα: F = 1000 0,1 1 + 1000 0,1 1 συν60 x y = 160 N F = 1000 0,1 1 συν30 = 1 47,1 N Και: x + y F = F F = 494, N Αν το πτερύγιο κινείται, η ταχύτητα u στις ανωτέρω σχέσεις είναι η σχετική ταχύτητα της δέσµης ως προς το πτερύγιο. Σε αυτή την περίπτωση µπορεί να θεωρηθεί ότι το πτερύγιο είναι ακίνητο και ότι η δέσµη προσπίπτει σε αυτό µε ταχύτητα u = 1 9 = 3 m/s. Το διάγραµµα των δυνάµεων παραµένει το ίδιο και οι εκφράσεις των F x και F y ισχύουν, όπως προηγουµένως. Έτσι: F = 1000 0,1 3+ 1000 0,1 3 συν60 x y = 540 N F = 1000 0,1 3 συν30 = 311,8 N x + y F = F F = 63,6 N 9

Η παραγόµενη ισχύς P είναι το γινόµενο της δύναµης στην διεύθυνση κινήσεως (δηλ. της F x ) επί την ταχύτητα του πτερυγίου: P = 540 9 = 4860 W 5.4 Άσκηση4. έσµη νερού εξέρχεται από ακροφύσιο διαµέτρου d ακρ = 7cm µε ταχύτητα u δ = 10m/s και προσπίπτει σε κατακόρυφη επίπεδη πλάκα υπό γωνία θ = 30, όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Η πλάκα κινείται µε οριζόντια ταχύτητα u πλ = 3m/s. Υπολογίστε την δύναµη που ασκείται στην πλάκα, την ισχύ που παράγεται και τον βαθµό απόδοσης της διάταξης. Η ροή θεωρείται σε κατακόρυφο επίπεδο. υνάµεις τριβής µπορούν να αγνοηθούν. ίδεται η πυκνότητα του νερού: ρ = 1000 kg/m 3. Σχήµα 13: Η διάταξη της δέσµης νερού και της κινητής επίπεδης πλάκας. Πηγή: ιδάσκων (015). Απάντηση. Αρχικά πρέπει να βρεθεί η σχετική ταχύτητα της δέσµης ως προς την πλάκα. Για τον σκοπό αυτόν εφαρµόζεται στην δέσµη µια ταχύτητα ίση και αντίθετη της ταχύτητας της πλάκας (οπότε η πλάκα θεωρείται ότι είναι ακίνητη). Η ταχύτητα αυτή θα πρέπει να προστεθεί στην u δ διανυσµατικά: Σχήµα 14: Απεικόνιση των υφισταµένων δυνάµεων 30

u σχ είναι η σχετική ταχύτητα της δέσµης ως προς την πλάκα. Πηγή: ιδάσκων (015). Από το ορθογώνιο τρίγωνο µε κάθετες πλευρές a και b: u = a + b = + σχ Και: ( u ηµθ) ( u συνθ u ) ( 10 ηµ30) + ( 10 συν30 3) δ δ πλ = = 7,55 m s 1 a 1 uδηµθ φ = εφ = εφ = εφ 1 ( 0,883 ) = 41,4 b uδσυνθ u πλ Κατ αυτόν τον τρόπο, το αρχικό πρόβληµα µετασχηµατίζεται στο ακόλουθο, στο οποίο η πλάκα είναι ακίνητη: Σχήµα 15: Η ισοδύναµη κατάσταση του προβλήµατος της παρούσας άσκησης. Πηγή: ιδάσκων (015). α) Χώρος ελέγχου: Σχήµα 16: Προσδιορισµός του χώρου ελέγχου. 31

Πηγή: ιδάσκων (015). β) ιάγραµµα δυνάµεων: ιάγραµµα : Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων. Πηγή: ιδάσκων (015). Β είναι το βάρος του νερού στον χώρο ελέγχου. Εφόσον οι τριβές είναι αµελητέες, θα πρέπει: u 1 = u = u σχ. Επίσης, η δύναµη F που ασκεί η δέσµη νερού θα πρέπει να είναι κάθετη προς στην πλάκα γιατί σε αντίθετη περίπτωση θα υπήρχε µια συνιστώσα δύναµη παράλληλη µε την πλάκα η οποία θα έπρεπε να αντισταθµιστεί από δυνάµεις τριβής. Αυτό δεν µπορεί να συµβαίνει γιατί οι τριβές θεωρήθηκαν αµελητέες. Από το διάγραµµα δυνάµεων συνάγεται ότι ο συνυπολογισµός του βάρους του νερού που περικλείεται στον χώρο ελέγχου δεν επηρεάζει την δύναµη F. Επηρεάζει (αυξάνει) µόνο την τιµή της δύναµης ορµής ρ V& * u (συγκριτικά µε την τιµή που θα είχε αν παραλειπόταν το βάρος του νερού εντός του χώρου ελέγχου), ώστε να υφίσταται ισορροπία δυνάµεων στην κατακόρυφη διεύθυνση. Αυτό σηµαίνει ότι το βάρος του νερού θα επηρεάσει τον διαχωρισµό της δέσµης µετά την πρόσπτωσή της στην πλάκα, ενισχύοντας την ροή µε φορά προς τα κάτω. * V& δ είναι η παροχή της δέσµης που εισέρχεται στον χώρο ελέγχου και ισούται µε το γινόµενο (u σχ Α δ ), όπου Α δ είναι το εµβαδόν διατοµής της δέσµης. π dακρ π 0,07 3 A δ = = = 3,85 10 m και 4 4 * 3 3 V & = 7,55 3,85 10 = 0,091m s δ γ) Υπολογισµός της δύναµης F: F = ρ V& u Και: * δ σχ συνφ ( ) F = 1000 0,091 7, 55 συν 41,4 = 164,8 N Η παραγόµενη ισχύς είναι το γινόµενο της δύναµης στην διεύθυνση κινήσεως επί την ταχύτητα της πλάκας: P πλ = F u πλ. 3

P πλ = 164,8 3 = 494,4 W Ο βαθµός απόδοσης η της διάταξης είναι ο λόγος της παραγόµενης ισχύος προς την παρεχόµενη ισχύ. Θεωρώντας ότι η παρεχόµενη ισχύς P δ προέρχεται αποκλειστικά από την κινητική ενέργεια της δέσµης: 1 1 1 P = m& u = ( ρ A u ) u = ρ A u 3 δ δ δ δ δ δ δ δ Άρα: 1 = 1000 3,85 10 10 3 3 = 1 95 W Pπλ 494,4 η = = = 0,6 P 195 δ 5.5 Άσκηση5 Μια δεξαµενή περιέχει νερό ως το ύψος h = 50cm. Στον πυθµένα υπάρχει µια οπή εκροής µε διάµετρο d οπ = 10cm. Η δέσµη νερού που σχηµατίζεται, προσκρούει σε οριζόντιο δίσκο διαµέτρου d δισκ = 40cm, ο οποίος είναι τοποθετηµένος σε κατακόρυφη απόσταση s = 1m από τον πυθµένα της δεξαµενής, όπως δείχνεται στο ακόλουθο σχήµα. Υπολογίστε την δύναµη που ασκείται στον δίσκο. Θεωρείστε τις τριβές αµελητέες. Πυκνότητα νερού: ρ = 1000kg/m 3. Σχήµα 17: Η διάταξη της παρούσας άσκησης. Πηγή: ιδάσκων (015). Απάντηση. α) Χώρος ελέγχου: 33

Σχήµα 18: Προσδιορισµός του χώρου ελέγχου. Πηγή: ιδάσκων (015). Εφ όσον οι τριβές είναι αµελητέες, u 1 = u = u 3. Ο χώρος ελέγχου είναι ένας κατακόρυφος κύλινδρος µε διάµετρο βάσης d δισκ και ύψος t. Η οριζόντια ροή είναι ακτινική, από το κέντρο του δίσκου προς την περίµετρό του. Λόγω συµµετρίας, οι οριζόντιες δυνάµεις ορµής αλληλοαναιρούνται ανά ζεύγη. β) ιάγραµµα δυνάµεων: ιάγραµµα 3: Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων. Πηγή: ιδάσκων (015). Β είναι το βάρος της ποσότητας του νερού µέσα στον χώρο ελέγχου, δηλαδή επάνω στον δίσκο. Α 1 είναι το εµβαδόν διατοµής της δέσµης. γ) Προσδιορισµός της δύναµης F: Από το ανωτέρω διάγραµµα προκύπτει: F = ρ u 1 1 A + B Η ταχύτητα u1 µπορεί να βρεθεί µε εφαρµογή της εξίσωσης ενέργειας στην κατακόρυφη δέσµη, µεταξύ των επιπέδων της οπής και του δίσκου: 1 1 1 οπ u = u + g s u οπ είναι η ταχύτητα εξόδου στην οπή και δίδεται από την σχέση: u = g h οπ (σχέση του Torricelli). Άρα: 34

1 ( ) u = g h + g s = 9,81 0,5+ 1 = 5,4 m s Το βάρος της ποσότητας του νερού επάνω στον δίσκο είναι: B = ρ v g v είναι ο όγκος του χώρου ελέγχου, δηλ. είναι ο όγκος κυλίνδρου µε διάµετρο βάσης d δισκ και ύψος t. Το ύψος αυτό µπορεί να βρεθεί µε εφαρµογή της εξίσωσης συνέχειας στον χώρο ελέγχου: ( ) A u = π d t u 1 1 δισκ 1 Το γινόµενο (π d δισκ t) είναι το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλινδρικού όγκου ελέγχου. Από την ανωτέρωσχέση προκύπτει: ( π ) 4 A d 0,1 4 π d π d 0,4 1 οπ t = = = δισκ 3 = 6,5 10 m Οπότε: δισκ π dδισκ π 0,4 3 B = ρ v g = ρ t g = 1000 6,5 10 9,81 4 4 Και: = 7,7 N 0,1 F = 1000 5,4 π + 7,7 4 = 65,4 Ν 5.6 Άσκηση6 Σε ένα σύστηµα εξαερισµού, απαιτείται η παραγωγή δέσµης αέρα µε ταχύτητα 5m/s και διάµετρο 0,71m. Ο ανεµιστήρας που χρησιµοποιείται βρίσκεται σε περιβάλλον ακίνητου αέρα. Υπολογίστε την διάµετρο που πρέπει να έχει ο ανεµιστήρας, την δύναµη που θα ασκεί στην βάση στήριξής του και την παραγόµενη ισχύ. Η πυκνότητα του αέρα µπορεί να ληφθεί ίση µε 1,kg/m 3. Απάντηση. Η παροχή όγκου του συστήµατος είναι: 35

π dρ π dαν V & = U δ = U 4 4 αν όπου d δ, U δ και d αν, U αν δηλώνουν την διάµετρο και την ταχύτητα του αέρα στην παραγόµενη δέσµη και στον ανεµιστήρα, αντίστοιχα. Εφόσον ο ανεµιστήρας είναι σταθερός, σε ακίνητο περιβάλλον, η ταχύτητα προσροής είναι µηδέν και η ταχύτητα στην θέση του ανεµιστήρα είναι: Uδ+ 0 U αν = =,5 m s Άρα: π 0,71 π d V & αν = 5 =,5 4 4 Και: & 3 V = 1,98 m s, dαν = 1,0 m Η δύναµη F που ασκείται στην βάση στήριξης του ανεµιστήρα είναι: F = ρ V& U 0 = 1, 1,98 5 = 1,1 Ν ( ) δ Η διαφορά πίεσης p που δηµιουργεί ο ανεµιστήρας είναι: ( δ ) 1 1 p = ρ U 0 = 1, 5 = 15, Pa και παραγόµενη ισχύς P παρ είναι: P = P V & = 15, 1,98 παρ = 30,1 W 5.7 Άσκηση7 Ένα ελικοφόρο αεροσκάφος πετά σε σταθερό ύψος και µε σταθερή ταχύτητα 360km/h. Η απαιτούµενη δύναµη ώσης από την έλικα, που έχει διάµετρο,5m, είναι 5000Ν. Υπολογίστε την απαιτούµενη ισχύ του κινητήρα και τον βαθµό απόδοσης της έλικας. ίδεται πυκνότητα του αέρα στο ύψος πτήσης: 1,1kg/m 3. Απάντηση. Απαιτούµενηισχύς: 36

( δ ) 1 P = m& απ V V όπου V δ είναι η ταχύτητα του αέρα µετά την έλικα και V είναι η ταχύτητα του αεροσκάφους. Η δύναµη ώσης F προκύπτει από την εξίσωση ορµής: F = m& ( V δ V ) Η παροχή µάζας εκφρασµένη στο επίπεδο της έλικας, είναι: π DE V δ + V m & = ρ ΑΕV Ε = ρ 4 όπου Α Ε και V Ε είναι αντίστοιχα το εµβαδόν του δίσκου της έλικας και η ταχύτητα του αέρα στο επίπεδο της έλικας. Μετά από αντικατάσταση στην έκφραση για την F: π DE V δ + V F = ρ 4 ( E )( δ ) ρ = π D V V 8 ( V V ) Αντικαθιστώντας τις τιµές των γνωστών µεγεθών: 1,1 360 1000 5000 = ( π,5 ) V δ 8 3600 V = 108,9 m s δ Άρα: δ π,5 108,9 +100 m & = 1,1 = 563,98 kg s 4 Και: P απ ( ) 1 = 563,98 108,9 100 = 54,3 kw Βαθµός απόδοσηςτηςέλικας: 37

ωφέλιµη (διαθέσιµη) ισχύς F V 5000 100 η = = = παρεχόµενη (απαιτούµενη) ισχύς Pαπ 54300 = 0,95 5.8 Άσκηση8 Σε µια φυγοκεντρική αντλία που περιστρέφεται µε 1500 στροφές/λεπτό, το νερό εισέρχεται στο στροφείο µε ταχύτητα 10m/s και µε γωνία 60 ως προς την εφαπτοµένη της εσωτερικής περιµέτρου, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. Γνωρίζοντας ότι η γωνία εξόδου των πτερυγίων είναι 50 και ότι η (απόλυτη) ταχύτητα του νερού στην έξοδο σχηµατίζει γωνία 40 µε την εφαπτοµένη της εξωτερικής περιµέτρου του στροφείου, υπολογίστε: α) την γωνία εισόδου των πτερυγίων, β) τις σχετικές ταχύτητες εισόδου και εξόδου του νερού από το στροφείο, γ) την απόλυτη ταχύτητα εξόδου του νερού, δ) την αποδιδόµενη ισχύ ανά µονάδα παροχής µάζας. Οι τριβές θεωρούνται αµελητέες. Η πυκνότητα νερού µπορεί να θεωρηθεί ίση µε 1000kg/m 3. Σχήµα 19: Απεικόνηση µέρους του στροφείου της φυγοκεντρικής αντλίας. Πηγή: ιδάσκων (015). Απάντηση. Οι γωνίες εισόδου και εξόδου των πτερυγίων είναι οι γωνίες των σχετικών ταχυτήτων του νερού ως προς τα πτερύγια, έτσι ώστε το νερό να προσπίπτει και να εγκαταλείπει τα πτερύγια εφαπτοµενικά. Συµβολισµοί: c: απόλυτη ταχύτητα. u: εφαπτοµενική ταχύτητα (πτερυγίου). w: σχετική ταχύτητα νερού ως προς το πτερύγιο. α : γωνία εισόδου ( η γωνία µεταξύ σχετικής ταχύτητας νερού και εφαπτοµένης στροφείου στην είσοδο). β: γωνία εξόδου ( η γωνία µεταξύ σχετικής ταχύτητας νερού και εφαπτοµένης στροφείου στην έξοδο). δείκτης 1: είσοδος. 38

δείκτης : έξοδος. δείκτης u: εφαπτοµενική διεύθυνση. δείκτης m: ακτινική διεύθυνση. ιάγραµµα ταχυτήτων εισόδου: ιάγραµµα 4: Απεικόνιση ταχυτήτων εισόδου στο στροφείο της αντλίας. Πηγή: ιδάσκων (015). c 1 = 10m/s και u 1 = ω r 1 = π 1500 60 Από το διάγραµµα ταχυτήτων εισόδου προκύπτει: w ηµα = c ηµ60 1 1 w συνα = u c συν60 1 1 1 ιαιρώντας κατάµέλη: c ηµ60 10 ηµ60 0,15 = 3,56 m s 1 εφα = = = 0,467 u 1 c 1συν60 3,56 10 συν60 α = 5 Και: ηµ60 ηµ60 w 1 = c 1 = 10 = 0,5 m s ηµα ηµ5 ιάγραµµα ταχυτήτων εξόδου: 39

ιάγραµµα 5: Απεικόνιση ταχυτήτων εξόδουαπό το στροφείο της αντλίας. Πηγή: ιδάσκων (015). u = ω r = π 1500 60 0,30 = 47,1 m s Από το διάγραµµα ταχυτήτων εξόδου προκύπτει: w ηµ50 = c ηµ40 Άρα: c = u = w συν50 + c συν40 ηµ50 w ηµ40 Και: u = w συν50 + ηµ50 συν40 w ηµ40 Οπότε: u 47,1 ηµ50 συν40 1,55 ηµ40 w = = = 30,4 m s συν50 + c = ηµ50 ηµ40 30,4 = 36,93 m s Η ισχύς που αποδίδεται από το στροφείο είναι: P = M ω = m& (cu r c 1u r 1 ) ω, όπου Μ είναι η ροπή που ασκούν τα πτερύγια στο νερό. Η ισχύς ανά µονάδα παροχής µάζας είναι: 40

P = (( c συν40 ) r ( c 1 συν60 ) r 1) ω m& ( ) = 36,93 συν40 0,30 10 συν60 0,15 = 1 15,3 J kg π 1500 60 5.9 Άσκηση9 έσµη νερού προσπίπτει στα πτερύγια στροφείου υδροστροβίλου µε ταχύτητα 36m/s και µε γωνία 30 ως προς την εφαπτοµένη της εξωτερικής περιµέτρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Η ταχύτητα του νερού στην έξοδο των πτερυγίων είναι 3m/s σε γωνία 10 ως προς την εφαπτοµένη της εσωτερικής περιµέτρου. Προσδιορίστε τις γωνίες εισόδου και εξόδου των πτερυγίων του στροφείου, καθώς και την αποδιδόµενη ισχύ ανά µονάδα παροχής µάζας. Οι τριβές θεωρούνται αµελητέες. ίδεται η πυκνότητα του νερού: ρ = 1000kg/m 3. Σχήµα 0: Απεικόνιση του στροφείου του υδροστροβίλου. Πηγή: ιδάσκων (015). Απάντηση. Συµβολισµοί: c: απόλυτη ταχύτητα. u: εφαπτοµενική ταχύτητα (πτερυγίου). w: σχετική ταχύτητα νερού ως προς το πτερύγιο. α : γωνία εισόδου ( η γωνία µεταξύ σχετικής ταχύτητας νερού και εφαπτοµένης στροφείου στην είσοδο). β: γωνία εξόδου ( η γωνία µεταξύ σχετικής ταχύτητας νερού και εφαπτοµένης στροφείου στην έξοδο). δείκτης 1: είσοδος. δείκτης : έξοδος. δείκτης u: εφαπτοµενική διεύθυνση. 41

δείκτης m: ακτινική διεύθυνση. ιάγραµµα ταχυτήτων εισόδου: ιάγραµµα 6: Απεικόνισητων ταχυτήτων εισόδου στο στροφείο. Πηγή: ιδάσκων (015). c 1 = 36m/s και u 1 = ω r 1 = π 360 60 0,45 = 16,96 m s Από το διάγραµµα ταχυτήτων εισόδου προκύπτει: w = c ηµ30 = 36 ηµ30 = 18 m s 1m 1 w = c συν30 u = 36 συν30 16,96 = 14, m s 1u 1 1 Άρα: w1u εφ( 90 α ) = = 0,79 w 1m α = 51,7 ιάγραµµα ταχυτήτωνεξόδου: ιάγραµµα 7: Απεικόνιση των ταχυτήτων εξόδουαπό το στροφείο. Πηγή: ιδάσκων (015). c = 3m/s και u = ω r = π 360 60 0,5 = 8,48 m s Από το διάγραµµα ταχυτήτων εισόδου προκύπτει: 4

w = c ηµ60 = 3 ηµ 60 =,6 m s m w = u + c συν60 = 9,98 m s u Οπότε: w m εφ( β ) = = 0,6 w u β = 14,6 Γωνίες εισόδου και εξόδου πτερυγίων: Σχήµα 1: Οι γωνίες εισόδου και εξόδου της ροής από τα πτερύγια του στροφείου. Πηγή: ιδάσκων (015). Η ισχύς που παράγεται στο στροφείο είναι: P = M ω = m& ( c u r c 1u r 1 ) ω, σύµφωνα µε τον ορισµό της εξίσωσης στροφορµής. Μ είναι η ροπή (γύρω από τον άξονα του στροφείου) που ασκούν τα πτερύγια στο νερό. Ο όρος (c u r ) είναι αρνητικός γιατί η ταχύτητα c έχει αντίθετη φορά από την c 1. Η αρνητική τιµή της ροπής Μ δηλώνει ότι έχει αντίθετη φορά από την περιστροφή των πτερυγίων. Άρα η ροπή που ασκεί το νερό στα πτερύγια έχει την φορά της περιστροφής και συνεπώς, αυτή η ροπή κινεί το στροφείο. P m& ( ) = c r + c r ω u 1u 1 ( ) = c συν60 r + c συν30 r ω 1 1 = 541,6 J kg Ασκήσεις προς λύση. 5.10 Άσκηση 10 Ένας ευθύγραµµος αγωγός µε κλίση 45 και διάµετρο 10cm καταλήγει σε ακροφύσιο µε διάµετρο εξόδου 5cm, από όπου εκτονώνεται αέρας στο περιβάλλον µε ταχύτητα 43

30m/s. Βρείτε την δύναµη η οποία τείνει να διαχωρίσει το ακροφύσιο από τον αγωγό. ίδεται η πυκνότητα του αέρα: ρ = 1,kg/m 3. Σχήµα : Η διάταξη της παρούσας άσκησης. Πηγή: ιδάσκων (015). (Απάντηση: F =,43N ) 5.11 Άσκηση11 Θεωρείστε ότι από το ακροφύσιο της Άσκησης 5.10 εκτινάσσεται νερό µε ταχύτητα 0m/s. Υπολογίστε πάλι την δύναµη η οποία τείνει να διαχωρίσει το ακροφύσιο από τον αγωγό. ίδεται η πυκνότητα του νερού: ρ = 1000kg/m 3. (Απάντηση: F = 890,4N ) 5.1 Άσκηση1 Σε ένα κατακόρυφο δίκτυο µεταφοράς νερού χρησιµοποιείται γωνιακός αγωγός ορθής γωνίας µε ακροφύσιο, όπως απεικονίζεται στο σχήµα που ακολουθεί. Γνωρίζοντας ότι οι απώλειες ενέργειας σε γωνιακό αγωγό αυτού του είδους δίδονται από µια σχέση του τύπου: u H = 5 1 απωλ, όπου u g 1 είναι η ταχύτητα εισόδου στον αγωγό, υπολογίστε το µέγεθος, την διεύθυνση και την θέση του φορέα της δύναµης που ασκείται στον γωνιακό αγωγό. ίδεται η πυκνότητα του νερού: ρ = 1000kg/m 3. 44

Σχήµα 3: Η διάταξη της παρούσας άσκησης. Πηγή: ιδάσκων (015). (Απάντηση: F = 1551,9N, κλίση ως προς την κατακόρυφο = 1,5, απόσταση από κέντρο στοµίου κατακόρυφου αγωγού = 0,061m) 5.13 Άσκηση13 έσµη αέρα εκτοξεύεται από ακροφύσιο διαµέτρου d ακρ = 0cm µε ταχύτητα u δ = 50m/s και προσπίπτει στο πτερύγιο που φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Το πτερύγιο κινείται µε ταχύτητα u πτ = 0m/s στην διεύθυνση της δέσµης. Το εσωτερικό του πτερυγίου είναι διαµορφωµένο ώστε η δέσµη να χωρίζεται σε δύο ίσα τµήµατα. Υπολογίστε την δύναµη που ασκείται στο πτερύγιο, την ισχύ που παράγεται και τον βαθµό απόδοσης της διάταξης. Αν υποτεθεί ότι λόγω αστοχίας στην ευθυγράµµιση του πτερυγίου µε το ακροφύσιο, το ένα τµήµα της δέσµης λαµβάνει το 1/3 της παροχής του ακροφυσίου και το άλλο τµήµα τα /3 αυτής, ποιες θα είναι οι επιπτώσεις στα ζητούµενα µεγέθη; Οι δυνάµεις τριβής µπορούν να αγνοηθούν. ίδεται η πυκνότητα του αέρα: ρ = 1, kg/m 3. Σχήµα 4: Η διάταξη της παρούσας άσκησης. 45

Πηγή: ιδάσκων (015). (Απάντηση: α) F = 51,7N, P πτ = 1034W, η = 0,43 β) απόκλιση F: 10,9, F x = 51,7N, F y = 9,95N, P πτ και η παραµένουν ίδια ) 5.14 Άσκηση14 Ακροφύσιο παρέχει 15kg νερού ανά δευτερόλεπτο µε ταχύτητα m/s. Η δέσµη που δηµιουργείται προσπίπτει σε µια σειρά πτερυγίων που κινούνται µε ταχύτητα 10m/s, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. Προσδιορίστε την γωνία που πρέπει να έχουν τα χείλη προσβολής των πτερυγίων ώστε η δέσµη να προσπίπτει εφαπτοµενικά σε αυτά. Υπολογίστε επίσης την ισχύ που παράγεται και τον βαθµό απόδοσης της διάταξης. Οι τριβές µπορούν να θεωρηθούν αµελητέες. ίδεται η πυκνότητα του νερού: ρ = 1000kg/m 3. Σχήµα 5: Η διάταξη της παρούσας άσκησης.. Πηγή: ιδάσκων (015). (Απάντηση: θ = 35,, P πτ = 394,8W, η = 0,91 ) 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΥΜΠΙΕΣΤΕΣ ΡΟΕΣ 6.1 Άσκηση1 Κατά την διέλευση ενός υπερηχητικού αεροσκάφους, µετρήθηκαν: (α) ο χρόνος που µεσολάβησε από την στιγµή που βρισκόταν ακριβώς υπεράνω ενός παρατηρητή µέχρι να ακουστεί από αυτόν, t = 3,s. (β) η πλάγια απόσταση του αεροσκάφους από τον παρατηρητή την στιγµή που άκουσε το αεροσκάφος, d = 764m. Υπολογίστε την ταχύτητα του αεροσκάφους, το ύψος πτήσεως καθώς και την θέση του αεροσκάφους όταν εξέπεµψε τον ήχο που άκουσε ο παρατηρητής. Θεωρείστε ότι το αεροσκάφος πετούσε ευθεία και οριζόντια. Η θερµοκρασία του αέρα ήταν 0 C. Απάντηση. 46

Σχήµα 6: Σχηµατική απεικόνιση διέλευσης υπερχητικού αεροσκάφους υπεράνω ακίνητου παρατηρητή. Πηγή: ιδάσκων (015). Το αεροσκάφος βρισκόταν στην θέση Β όταν ακούστηκε από τον παρατηρητή στην θέση Π. Η ταχύτητα του αεροσκάφους U ήταν: U = M α = d συνa t όπου Μ είναι ο αριθµός Mach, α είναι η ταχύτητα του ήχου και a είναι η γωνία Mach. 1 M = και α = γ R T ηµa όπου γ = 1,4, R = 87 J/kgK και Τ = 73+0 = 93Κ. Άρα: α = γ R T = 1,4 87 93 = 343,11 m s Αντικαθιστώντας στην πρώτησχέση: α ηµa = d συνa t 1 α t ηµa συνa = ηµa = d Και: α t 343,11 3, ηµa = = = 0,794 d 764 Άρα: a = 6,3 o 47

α 343,11 U = M α = = ηµa ηµ6,3 = 774,4 m s h= dηµa= 764*ηµ6,3 =14,6 m Ο ήχος που άκουσε ο παρατηρητής εκπέµφθηκε από το αεροσκάφος όταν αυτό βρισκόταν στο σηµείο Α, το οποίο είναι το σηµείο τοµής της πορείας του αεροσκάφους µε την κάθετο στην ευθεία ΒΠ, στο σηµείο Π. Άρα: ΑΠ = h εφa = 14,6 εφ6, 3 = 605, m 6. Άσκηση Ένα υπερηχητικό αεροσκάφος πετά σε ύψος 30000ft (9,1km) µε αριθµό Mach Μ =,. Υπολογίστε την θερµοκρασία και την πίεση που αναπτύσσονται σε σηµεία ανακοπής του αεροσκάφους (π.χ. στο ρύγχος της ατράκτου, στο χείλος προσβολής των πτερύγων). ίδονται η θερµοκρασία και η πυκνότητα του αέρα στο ύψος πτήσεως: -43 C και 0,466kg/m 3, αντίστοιχα. Επίσης, για τον αέρα: R = 87J/kgK, γ = 1,4. Απάντηση. Στα σηµεία ανακοπής του αεροσκάφους επικρατούν συνθήκες λιµνάσεως και κατά συνέπεια, εκεί εµφανίζονται οι ολικές τιµές των ζητουµένων µεγεθών. Ολική θερµοκρασία στις συνθήκες πτήσεως: γ 1 1,4 1 T 0 = T 1+ Μ = ( 73 43) 1+, = 45,6 Κ = 179,6 C Ολική πίεση στις συνθήκες πτήσεως: γ γ γ 1 γ 1 γ 1 γ 1 p 0 = p 1+ Μ = ( ρ R T) 1+ Μ 1,4 1 = ( 0, 466 87 ( 73 43) ) 1+, = 38908,9 Pa = 3,9 bar 1,4 1,4 1 6.3 Άσκηση3 Αέρας που περιέχεται σε δεξαµενή εκτονώνεται στο περιβάλλον µέσω ενός συγκλίνοντος ακροφυσίου µε διάµετρο στοµίου εξόδου 5cm. Η θερµοκρασία στο 48

εσωτερικό της δεξαµενής παραµένει σταθερή στους 0 C. Πόση πρέπει να είναι η πίεση στην δεξαµενή ώστε να εµφανιστεί ηχητική ροή στην έξοδο του ακροφυσίου; Ποιά θα είναι τότε η παροχή µάζας; Υπολογίστε επίσης την ταχύτητα εξόδου, τον αντίστοιχο αριθµό Mach και την παροχή µάζας, αν η πίεση στο εσωτερικό της δεξαµενής µειωθεί κατά 15%. Πόση θα είναι τότε η πίεση και η θερµοκρασία σε σηµείο ανακοπής µικρού αντικειµένου τοποθετηµένου στην δέσµη εκροής του ακροφυσίου; Θεωρείστε ότι η ροή είναι ισεντροπική σε όλο το µήκος του ακροφυσίου. Η ατµοσφαιρική πίεση µπορεί να ληφθεί ίση µε 101,3kPa. Για τον αέρα: R = 87J/kgK, και γ = 1,4. Απάντηση. Εφόσον επικρατεί ηχητική ροή στο στόµιο: * p p 0 = 0,583 όπου p* είναι η πίεση στο στόµιο, η οποία στην παρούσα περίπτωση είναι η ατµοσφαιρική και p 0 είναι η πίεση λιµνάσεως στην δεξαµενή. Άρα: p = 0 101300 0,583 = 191 747,1 Pa Η παροχή µάζας στις παρούσες συνθήκες είναι: m & = 0,0404 Α p * 0 Ε T0 E 3 π d π 0,05 A E = = = 1,96 10 m 4 4 Και Τ 0 = 73 + 0 = 93 Κ. Άρα: * 3 191747,1 m & = 0,0404 1,96 10 93 = 0,887 kg s Αν η πίεση στην δεξαµενή µειωθεί κατά 15%, p 0 = 16985Pa. Ο αριθµός Mach εξόδου Μ Ε µπορεί να βρεθεί από την σχέση: 49

γ 1 p = p 1 + M 0 E E γ γ 1 p Ε είναι η πίεση εξόδου, η οποία παραµένει ίση µε την ατµοσφαιρική. Λύνοντας ως προς Μ Ε : 1 1 γ 1 1,4 1 p γ 0 16985 1,4 Μ E = 1 = 1 p E γ 1 101300 1,4 1 = 0,85 Η αντίστοιχη ταχύτητα ροής είναι: U E = M E α, όπου α είναι η ταχύτητα του ήχου στις συνθήκες στοµίου, που δίδεται από την σχέση: α = γ R T E Τ Ε είναι η θερµοκρασία του αέρα στο στόµιο, η οποία υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση: γ 1 T = T 1+ Μ 0 E E Λύνοντας ως προς Τ Ε : 0 T E = = γ 1 1,4 1 1+ ΜE 1+ 0,85 Άρα: T 93 ( ) = 56 K = 17 C U = M E γ R T = 0,85 1,4 87 56 E = 7,6 m s Η παροχήµάζας είναι: m & E = ρe AE UE E Η πυκνότητα του αέρα στην έξοδο του ακροφυσίου ρ Ε µπορεί να υπολογιστεί από την σχέση: γ 1 ρ 0 = ρe 1+ Μ Ε 1 γ 1 50

Η πυκνότητα του αέρα στην δεξαµενή ρ 0 υπολογίζεται από την εξίσωση τελείων αερίων: p 16985 R T 87 56 0 ρ 0 = = 0 Οπότε: ρ =, kg m 3 ρ, = = 0 E 1 1 γ 1 γ 1 1,4 1 1,4 1 1+ Μ Ε 1+ 0,85 Και: = 1,584 kg m E E E E 3 3 m & = ρ A U = 1,584 1,96 10 7,6 = 0,846 kg s Σε σηµεία ανακοπής µικρού αντικειµένου τοποθετηµένου στην δέσµη εκροής του ακροφυσίου επικρατούν συνθήκες λιµνάσεως. Άρα οι τιµές της τοπικής πίεσης και τοπικής θερµοκρασίας είναι ίσες µε τις ολικές τιµές αυτών των µεγεθών, δηλαδή 16,98kPa και 93 Κ, αντίστοιχα. Παρατηρείται ότι ενώ η θερµοκρασία του αέρα στην δέσµη εκροής είναι -17 C, σε σηµεία ανακοπής του αντικειµένου η θερµοκρασία είναι 0 C. 6.4 Άσκηση4 Σε µια υπερηχητική αεροσήραγγα η ροή δηµιουργείται µε εκτόνωση αέρα µέσω ενός ακροφυσίουdelaval από δεξαµενή όπου η πίεση και η θερµοκρασία διατηρούνται σταθερές στις τιµές 1013kPa και 5 C, αντίστοιχα. Ο αριθµός Mach στον χώρο πειραµάτων είναι,5. Υπολογίστε την απαιτούµενη διάµετρο του στοµίου του ακροφυσίου, αν η διάµετρος του χώρου πειραµάτων είναι 0,15m. Υπολογίστε επίσης, την ταχύτητα, πίεση, θερµοκρασία και πυκνότητα στον χώρο πειραµάτων. Θεωρείστε ότι η ροή είναι ισεντροπική σε όλο το µήκος της αεροσήραγγας. ίδονται για τον αέρα: R = 87J/kgK, γ = 1,4. Απάντηση. Στις σχέσεις που ακολουθούν, οι δείκτες Π και Σ δηλώνουν χώρο πειραµάτων και στόµιο ακροφυσίου, αντίστοιχα. Το εµβαδόν του στοµίου Α Σ µπορεί να προσδιοριστεί από την ακόλουθη σχέση: 51

A A Σ Π = = Μ Π γ 1 1+ Μ γ +1,5 Π γ+1 γ 1 1,4 1 1+,5 1,4 +1 1,4 + 1 1,4 1 = 0,379 Άρα: Α = 0,379 Α = 0,379 Σ Και: Π 3 = 6,69 10 m π 0,15 4 d = Σ 4 A π Σ = 0,09 m Η ταχύτητα στον χώρο πειραµάτων U Π είναι: U Π = MΠα Π = MΠ γ R T Π όπου α Π είναι η ταχύτητα του ήχου στις συνθήκες του χώρου πειραµάτων και R = 87J/kgK. Η θερµοκρασία στον χώρο πειραµάτων Τ Π δίδεται από την σχέση: γ 1 T 0 = TΠ 1+ Μ Λύνοντας ως προς Τ Π : 0 T Π = = γ 1 1,4 1 1+ ΜΠ 1+,5 Άρα: Π T 98 ( ) = 13,4 K = 140,6 C U = M γ R T =,5 1,4 87 13,4 Π Π Π = 576,6 m s Η πίεση στον χώρο πειραµάτων pπ δίδεται από την σχέση: 5

γ 1 p 0 = pπ 1+ Μ Λύνοντας ως προς p Π : Π γ γ 1 p 1013000 p = = 0 Π γ 1,4 γ 1 γ 1 1,4 1 1,4 1 1+ Μ Π 1+,5 = 59 88,5 Pa Για να υπολογιστεί η πυκνότητα ρ Π, χρησιµοποιείται η εξίσωση τελείων αερίων: p 5988,5 R T 87 13, 4 ρ Π = Π = Π = 1,56 kg m 3 6.5 Άσκηση5 Πυραυλοκινητήρας σε συνδυασµό µε ένα συγκλίνον αποκλίνον ακροφύσιο παράγει ωστική δύναµη F = 5000Ν σε ύψος 40000ft (1,km). Η πίεση και η θερµοκρασία στον θάλαµο καύσης είναι 100kPa και 3000 Κ, αντίστοιχα και η τιµή του λόγου ειδικών θερµοχωρητικοτήτων γ των καυσαερίων είναι 1,3. Υπολογίστε τον αριθµό Mach εξόδου των καυσαερίων, καθώς και τις διαµέτρους του στοµίου εξόδου και του λαιµού του ακροφυσίου. Θεωρείστε ότι η ροή είναι ισεντροπική σε όλο το µήκος του ακροφυσίου. Η ατµοσφαιρική πίεση στο ύψος των 40000ft είναι 1871,1Pa. Απάντηση. Ο αριθµός Mach στην έξοδο των καυσαερίων Μ Ε µπορεί να βρεθεί από την ακόλουθη σχέση µεταξύ πίεσης εξόδου p E και πίεσης λιµνάσεωςp 0 στον θάλαµο καύσης: γ 1 p 0 = pε 1+ Μ Ε Λύνοντας ως προς Μ Ε : γ γ 1 1 1 γ 1 1,3 1 p γ 1,3 0 100000 M = Ε 1 = 1 p Ε γ 1 1871,1 1,3 1 = 3,63 53

Το εµβαδόν διατοµής εξόδου του ακροφυσίου Α Ε µπορεί να βρεθεί από την ακόλουθη έκφραση της παροχής µάζας των καυσαερίων: m & E = ρe AE UE όπου ρ Ε και U E είναι αντίστοιχα η πυκνότητα και η ταχύτητα εξόδου των καυσαερίων. Για να υπολογιστεί η πυκνότητα ρ Ε, χρησιµοποιείται η εξίσωση τελείων αερίων: p E ρ E = R T Ε όπου R = 87J/kgK και Τ Ε είναι η θερµοκρασία εξόδου των καυσαερίων, η οποία υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση: γ 1 T 0 = TΕ 1+ Μ Λύνοντας ως προς Τ Ε : Ε 0 T Ε = = γ 1 1,3 1 1+ ΜΕ 1+ 3,63 Και: T 3000 = 1 008 K p 1871,1 R T 87 1008 Ε ρ Ε = = Ε = 0,0647 kg m 3 Η ταχύτητα U E δίδεται από τις σχέσεις: U = M α = M γ R T = 3,63 1,3 87 1008 E Ε Ε Ε E = 6,1 m s όπου α Ε είναι η ταχύτητα του ήχου στις συνθήκες εξόδου. Η παροχή µάζας των καυσαερίων µπορεί να προσδιοριστεί από την εφαρµογή της εξίσωσης ορµής: F = m & U Άρα: E Ε 54

F 5000 m & E = = U 6,1 Ε =,5 kg s Επειδή: m & = ρ V & = ρ Α U E E E Ε Ε Συνεπάγεται: m&,5 ρ U 0,0647 6,1 E Α Ε = = E Ε 3 = 15,6 10 m Επίσης: A = E π d 4 E 4 A 4 15,6 10 π π E d E = = = 0,141 m 3 Το εµβαδόν διατοµής του λαιµού του ακροφυσίου Α* δίδεται από την ακόλουθη σχέση: * A M 3,63 A Ε Άρα: E = = γ+1 1,3 + 1 γ 1 γ 1 1,3 1 1,3 1 1+ ΜΕ 1+ 3,63 = 0, 0948 γ +1 1,3 +1 A * = 0,0948 Α = 0,0948 0,0156 Ε 3 = 1,48 10 m Και: 55

A * = π d 4 * d * * 3 4 A 4 1,48 10 = = π π = 0,043 m 6.6 Άσκηση 6 Αέρας προερχόµενος από δεξαµενή όπου διατηρείται υπό πίεση 700kPa και θερµοκρασία 35 C, εκτονώνεται σε χώρο µε ελεγχόµενη πίεση, µέσω ενός κυλινδρικού συγκλίνοντος αποκλίνοντος ακροφυσίου µε διάµετρο στένωσης 5cm Υπολογίστε την απαιτούµενη πίεση στον χώρο εκτόνωσης, καθώς και την απαιτούµενη διάµετρο εξόδου του ακροφυσίου, για συνεχή ισεντροπική ροή µε αριθµό Mach εξόδου,5. Υπολογίστε ακόµη πόσο πρέπει να ανυψωθεί η πίεση εξόδου ώστε να εµφανιστεί κάθετο κρουστικό κύµα στο αποκλίνον τµήµα του ακροφυσίου, στην θέση όπου η διάµετρος είναι το ηµιάθροισµα των διαµέτρων στένωσης και εξόδου. Ποιά θα είναι η τιµή του αριθµού Mach στην έξοδο υπό αυτές τις συνθήκες, αν θεωρηθεί ότι η ροή είναι ισεντροπική µετά το κρουστικό κύµα µέχρι την έξοδο; (Για τον αέρα: R = 87J/kgK, γ = 1,4.) Απάντηση. Αρχικά, όταν η ροή είναι ισεντροπική σε όλο το µήκος του ακροφυσίου, η πίεση εξόδου p E είναι: p 700000 p = = 0 E γ 1,4 γ 1 γ 1 1,4 1 1,4 1 1+ Μ Ε 1+,5 = 40 969,4 Pa Το απαιτούµενο εµβαδόν διατοµής Α Ε της εξόδου του ακροφυσίου δίδεται από την σχέση: M,5 * A = E = A γ+1 1,4 + 1 E γ 1 γ 1 1,4 1 1,4 1 1+ ΜΕ 1+,5 = 0,379 γ +1 1,4 +1 Το εµβαδόν διατοµής στην στένωση Α* είναι: 56

A * * ( ) π d π 0,05 = = 4 4 Άρα: 3 = 1,96 10 m * A 1, 96 10 A E = = 0, 379 0,379 Και: 3 = 5,17 10 m 3 4 A 4 5,17 10 π π E d E = = = 0,081 m 3 Στην θέση όπου εµφανίζεται το κρουστικό κύµα µετά την ανύψωση της πίεσης εξόδου, η διάµετρος d Κ του ακροφυσίου είναι: * E d d K = = + d 0,05 + 0,081 = 0,0655 m Και τοεµβαδόν: K π d π 0,0655 A K = = 4 4 3 = 3,37 10 m Χρησιµοποιώντας τηνσχέση: * A = A K M K 1 γ 1 1+ M γ +1 K 1 γ+1 γ 1 (όπου Κ Μ 1 είναι ο αριθµός Mach ακριβώς πριν το κρουστικό κύµα), προκύπτει η σχέση: * A 1,96 10 = = 0,58 = A 3,37 10 K 3 K M1 3 γ+1 γ 1 γ 1 1+ K M1 γ +1 57

Στην ανωτέρω σχέση ο µόνος άγνωστος είναι ο Κ Μ 1. Για την αποφυγή πολύπλοκων πράξεων, χρησιµοποιείται Πίνακας Μεταβολής Χαρακτηριστικών Μεγεθών Ισεντροπικής Ροής Αέρα σε ακροφύσιο, από τον οποίο προκύπτει µε γραµµική παρεµβολή ότι για την τιµή Κ Μ 1 =,0 * A = 0,58, ο αριθµός Mach A Κ Μ 1 είναι: K Ο αριθµός Mach αµέσως µετά το κρουστικό κύµα Κ Μ, δίδεται από την σχέση: K ( K 1 ) ( ) γ 1 1,4 1 1+ M 1 1+,0 1 γ +1 1,4 +1 M = = γ 1,4 1+ ( K M 1 1) 1+,0 1 γ +1 1,4 +1 = 0,574 ( ) Μέχρι την θέση του κρουστικού κύµατος, η ροή έχει τα ίδια χαρακτηριστικά όπως προηγουµένως που ήταν ισεντροπική σε όλο το µήκος του ακροφυσίου. Εφόσον στην στένωση υπάρχει ηχητική ροή, η παροχή είναι η µέγιστη δυνατή και δίνεται από την σχέση: * p0 m & = 0,0404 Α T Άρα: 3 700000 m & = 0,0404 1,96 10 73+ 35 = 3,16 kg s 0 Αυτή η τιµή παροχής διατηρείται και µετά την εµφάνιση του κρουστικού κύµατος γιατί η εξίσωση συνέχειας ισχύει και διαµέσου αυτού. (Το κρουστικό κύµα είναι ένα µόνιµο φαινόµενο κατά το οποίο δεν παράγεται ούτε αφαιρείται µάζα του ρευστού). Υπολογίζοντας την παροχή σύµφωνα µε την παρακάτω σχέση, και χρησιµοποιώντας τις τιµές των απαιτούµενων µεγεθών στην έξοδο του ακροφυσίου (δείκτης Ε ) µετά την εµφάνιση του κρουστικού κύµατος (δείκτης Κ ): m & = Kρ E Α Ε K U Ε = Kρ E Α Ε K M Ε γ R KTΕ Η πυκνότητα Κ ρ Ε και η θερµοκρασία Κ Τ Ε µπορούν να εκφραστούν σαν συναρτήσεις του αριθµού Mach στην έξοδο Κ Μ Ε, ως εξής: ρ = K 0 K E 1 γ 1 γ 1 1+ KΜΕ ρ 58

K T = E KT0 γ 1 1+ KΜ Ε ρ και Τ Κ 0 Κ 0 είναι οι ολικές τιµές πυκνότητας και θερµοκρασίας στην (ισεντροπική) ροή µετά το κρουστικό κύµα, µέχρι την έξοδο. Αντικαθιστώντας στην έκφραση για την παροχή: Kρ0 KT0 m & = Α 1 Ε KM Ε γ R γ 1 γ 1 γ 1 1+ KΜΕ 1+ KΜ Ε Σε αυτή την σχέση, ο µόνος άγνωστος είναι ο Κ Μ Ε, άρα µπορεί να βρεθεί. Γνωρίζοντας ότι ο αριθµός Mach στην έξοδο Κ Μ Ε είναι αρκετά µικρότερος της µονάδας (καθόσον η ροή µετά το κρουστικό κύµα είναι υποηχητική και συνεχώς γ 1 επιβραδύνεται µέχρι την έξοδο του ακροφυσίου), ο όρος KΜE µπορεί να θεωρηθεί αµελητέος ώστε να απλουστευθεί σηµαντικά η λύση της ανωτέρω εξίσωσης. Με αυτή την παραδοχή, προκύπτει: m & = ρ Α M γ R T Και: K 0 Ε K Ε K 0 K M = Ε ρ K 0 Α m& γ R T Ε K 0 Η ολική τιµή της πυκνότητας Κ ρ 0 µπορεί να βρεθεί ως εξής: K ρ γ 1 = ρ 1+ KΜ 0 K Ε 1 γ 1 όπου Κ ρ είναι η πυκνότητα αµέσως µετά το κρουστικό κύµα και η οποία δίδεται από την σχέση: K 1 Kρ = Kρ 1 K 1 ( ) ( ) Μ γ +1 + Μ γ 1 Η πυκνότητα πριν από το κρουστικό κύµα Κ ρ 1, δίδεται από την σχέση: ρ ρ = = p0 R T 0 0 Κ 1 1 1 γ 1 γ 1 γ 1 γ 1 1+ KΜ 1 1+ KΜ 1 59

όπου p 0 και T 0 είναι οι ολικές τιµές πίεσης και θερµοκρασίας στην ροή πριν από το κρουστικό κύµα, δηλαδή είναι οι τιµές λιµνάσεως, στην δεξαµενή. Άρα: ρ = 700000 87 73 + 35 ( ) Κ 1 1 1,4 1 1,4 1 1+,0 = 1,78 kg m 3 Αντικαθιστώντας στην έκφραση για την πυκνότητα Κ ρ : ( ) ( ) K 1 Kρ = Kρ1 = 1, 78 K 1 = 4,8 kg m 3 ( ) ( ) Μ γ +1,0 1,4 +1 + Μ γ 1 +,0 1,4 1 Αντικαθιστώντας στην έκφραση για την ολική πυκνότητα Κ ρ 0 : K ρ 0 1 1 γ 1 γ 1 1,4 1 1,4 1 K K = ρ 1+ Μ = 4,8 1+ 0,574 = 5,63 kg m 3 Αντίστοιχα, η ολική τιµή της θερµοκρασίας Κ Τ 0 µπορεί να βρεθεί ως εξής: γ 1 KT 0 = KT 1+ KΜ όπου Κ Τ είναι η θερµοκρασία αµέσως µετά το κρουστικό κύµα και η οποία δίδεται από την σχέση: T = T ( ) ( ) ( γ +1) Μ γ KΜ 1 γ 1 KΜ1 γ 1 + K K 1 K 1 Η θερµοκρασία πριν από το κρουστικό κύµα Κ Τ 1, δίδεται από την σχέση: Τ = Κ 1 Άρα: Τ0 γ 1 1+ Μ K 1 Τ = Κ 1 ( 73 + 35) 1,4 1 1 +,0 = 169,6 Κ 60

Αντικαθιστώντας στην έκφραση για την θερµοκρασία Κ Τ : ( ) ( ) ( 1,4 +1),0 1, 4,0 1,4 1,0 1,4 1 + KT = 169, 6 = 88,9 Κ Και αντικαθιστώντας στην έκφραση για την ολική θερµοκρασία Κ Τ 0 : 1,4 1 T = 88,9 1 + 0,574 K 0 = 307,9 Κ Αντικαθιστώντας τα αποτελέσµατα αυτά στην σχέση για τον αριθµό Mach εξόδου: m& 3,16 M = = Α γ R T 5,63 5,17 10 1,4 87 307,9 K Ε 3 Kρ0 Ε K 0 = 0,31 Η απαιτούµενη πίεση εξόδου Κ p Ε είναι: p = Κ E p Κ 0 γ 1 1+ KΜ E γ γ 1 όπου Κ p 0 είναι η ολική πίεση της (ισεντροπικής) ροής µετά το κρουστικό κύµα, µέχρι την έξοδο. Αυτή η πίεση µπορεί να υπολογιστεί στις συνθήκες αµέσως µετά το κρουστικό κύµα: Κ γ 1 p = p 1+ Μ 0 Κ K γ γ 1 Η πίεση Κ p προκύπτει από την πίεση πριν το κρουστικό κύµα Κ p 1 από την σχέση: ( ) γ p = p 1+ Μ 1 γ +1 Κ Κ 1 Κ 1 Η πίεση Κ p 1 µπορεί να υπολογιστεί από την σχέση: p 700000 p = = 0 Κ 1 γ 1,4 γ 1 γ 1 1,4 1 1,4 1 1+ KΜ1 1+,0 Οπότε: = 86 71,3 Pa 61

Κ ( ) 1,4 p = 8671,3 1+,0 1 1,4 +1 = 398 380,3 Pa Και: γ 1,4 γ 1 γ 1 1,4 1 1,4 1 Κ p 0 = Κ p 1+ KΜ = 398380,3 1+ 0,574 = 498 079,4 Pa Άρα η απαιτούµενη πίεση εξόδου Κ p Ε είναι: p 498079,4 p = = Κ 0 Κ E γ 1,4 γ 1 γ 1 1,4 1 1,4 1 1+ KΜE 1+ 0,31 = 465 973 Pa Ασκήσεις προς λύση. 6.7 Άσκηση 7 Στον χώρο πειραµάτων µιας αεροσήραγγας υψηλών υποηχητικών ταχυτήτων, ο αριθµός Mach σε κανονική λειτουργία είναι 0,9. Η πίεση και θερµοκρασία στον θάλαµο ηρεµίας είναι 101,3kPa και 5 C, αντίστοιχα. Υπολογίστε την πίεση, την θερµοκρασία και την πυκνότητα στον χώρο πειραµάτων. (Για τον αέρα: R = 87J/kgK, γ = 1,4.) (Απάντηση: p Π = 59,9kPa, Τ Π = -16 C, ρ Π = 0,813kg/m 3 ) 6.8 Άσκηση8 Προσδιορίστε την διάµετρο στοµίου συγκλίνοντος ακροφυσίου για µέγιστη παροχή αέρα kg/s από δεξαµενή µε εσωτερική θερµοκρασία 35 C. Το ακροφύσιο εκβάλλει σε χώρο µε πίεση 50kPa. (Για τον αέρα: R = 87J/kgK, γ = 1,4.) (Απάντηση: d E = 0,108m) 6.9 Άσκηση 9 Αέριο ήλιο εκτονώνεται ισεντροπικά από δεξαµενή µε εσωτερική πίεση 6bar και θερµοκρασία 90 C σε χώρο µε πίεση 1bar, µέσω ενός συγκλίνοντος αποκλίνοντος ακροφυσίου. Προσδιορίστε την παροχή γνωρίζοντας ότι το εµβαδόν διατοµής της στένωσης του ακροφυσίου είναι 3x10-4 m. Υπολογίστε επίσης το απαιτούµενο εµβαδό εξόδου του ακροφυσίου, καθώς και την ταχύτητα ροής στην έξοδο. Η τιµή της ειδικής σταθεράς R για το ήλιο είναι 078,75J/kgK και η τιµή του λόγου ειδικών θερµοχωρητικοτήτων γ είναι 5/3. (Απάντηση: m& = 0,15kg/s, A E = 3,98x10-4 m, U E = 1385,5m/s) 6

6.10 Άσκηση 10 Αέρας εκτονώνεται από δεξαµενή µέσω ενός ακροφυσίουdelaval. Στο αποκλίνον τµήµα του ακροφυσίου σχηµατίζεται κάθετο κρουστικό κύµα στο σηµείο όπου ο λόγος του εµβαδού διατοµής της στένωσης προς το τοπικό εµβαδόν διατοµής είναι 0,6. Η πίεση πριν το κρουστικό κύµα είναι 8kPa. Υπολογίστε την αύξηση πίεσης που προκαλεί το κρουστικό κύµα, καθώς και την πίεση στην δεξαµενή. (Για τον αέρα: R = 87J/kgK, γ = 1,4.) (Απάντηση: p Κ = 79,4kPa, p 0 = 61,9kPa) 7. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝΤΩΝ ΑΝΑΠΑΝΤΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 7.1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ 7.1.1 Άσκηση 6 c f = 0,664 Re (L) 1 - τ E U L = 0,664 1 ρ U ν 1 0,00088 1 1,46 10 = 1, U 0, 664 3 U U = 0,989 m/s 0,989 3 Re (L) = =,03 10 5 1,46 10 1 3 F Re (L) c = 1,38 =,94 10 5 5 1 1 F = cf ρ U L b = 0,0094 1, 0,989 3 = 0,01 N 7.1. Άσκηση7 x µετ = 1,5 m U x 5 5 µετ 5 10 1,46 10 Re ( κρ) =, U = = 4,87m s ν 1,5 ( ) Re ( ) 1 (µετ) µετ 1 5 3 ( κρ ) στρ. : δ = 0,664 x = 0,664 1,5 5 10 = 1,41 10 m 63

( ) δ ( ) 1 5 1 5 U 4 5 o (x ) o τυρβ. : = 0,037 x Re = 0,037 x (µετ) o ν 5 4 1 4 3 5 4 1 4 δ(µετ) U 1,408 10 4,87 o 5 x = = = 0,404 m 0,037 ν 0,037 1,46 10 x* = L x x = 3 1,5 0,404 = 1,904 m ( ) ( ) ( ) L µετ ο 1 5 1 5 4,87 1,904 3 f (x*( L) ) 5 c = 0,059 Re = 0,059 = 4,09 10 1,46 10 1 τ E = cf ρ U = 0,059 N m 1 5 3 F (x* ) c = 0,074 Re = 5,11 10 ( L) 1 1 F = cf ρ U L b = 0,00511 1, 4,87 3 = 0,89 N 7.1.3 Άσκηση8 U x 5 6 µετ 5 10 1,1 10 µετ Re ( κρ ) =, x = = 0,55 m ν 1 x = 0,3m στρωτή ροή x = 1,8m τυρβώδης ροή 1 1 0,3 (x 0,3) ( Re = ( x) ) 6 1 δ = 5 x = 5 0,3 = 0,009 m 1,1 10 u 3 0,00 3 y 1 y 3 0,00 1 = = = 0,87 U δ δ 0,009 0,009 ( y = mm) u ( x = 0,3m, y = mm) = 0,87 m s ( στρ. ): δ Re ( ) 1 (µετ) 1 5 4 (κρ) = 0,664 x = 0,664 0,55 5 10 = 5,16 10 m µετ 3 ( ) δ Re o o 1 5 1 5 U 4 5 (x ) o τυρβ. : = 0,037 x = 0,037 x (µετ) ν 5 4 1 4 4 5 4 1 4 δ(µετ) U 5,16 10 1 o 6 x = = = 0,148 m 0,037 ν 0,037 1,1 10 x* = x = 1,8 0,55 0,148 = 1,398 m ( x = 1,8) ( xµετ x o) ( ) 64

( ) 1 5 1 5 1 1,398 δ ( x* ) = 0,37 x * Re ( x* ) = 0,37 1,398 = 0,031 m 6 1,1 10 1 u 7 ( y = mm) y 7 0,00 = = = 0,676 U δ 0,031 1 u ( x = 1,8m, y = mm ) = 0,676 m s 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΕΠΙ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 7..1 Άσκηση6 Για το οµοίωµα: Fοπ 0,8 4,44 10 C οπ = = = 1 1 A νερού ύ οµ οµ οµ ρ U νερο A 1000 6 A Για το πραγµατικό σώµα: F = C ρ U A = 1, A Aπρ = 0,0836 A 5 1 4,44 10 1 00 1000 οπ οπ νερού νερού οµ πρ A οµ 3600 οµ Α π d 4 d πρ πρ πρ = = = 10 = 100 Αοµ π dοµ 4 d οµ F οπ = 0,0836 100 = 8,36 Ν 7.. Άσκηση7 Fοπ 5 C οπ = = = 0, 1 1 ρ U Aκυλ 30 1000 1, 0, 0, 05 3600 7..3 Άσκηση8 Fοπ Fοπ A 7 C οπ = = = = 1,18 1 1 1 ρ U A ρ U 1, 10 5 65

Fοπ 1500 U ανεµ = = = 50,98 1 1 ρ C οπ Aεπιγρ 1, 1,18 4 U =,8 m s = 8,1 km h ανεµ 7.3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 7.3.1 Άσκηση10 Καθορισµός χώρου ελέγχου: Σχήµα 7: Καθορισµός του χώρου ελέγχου. Πηγή: ιδάσκων (015). ιάγραµµα δυνάµεων: ιάγραµµα 8: Απεικόνιση των υφιστάµενων δυνάµεων. Πηγή: ιδάσκων (015). F είναι η δύναµη η οποία τείνει να διαχωρίσει το ακροφύσιο από τον αγωγό. 1 1 1 1 F = p A + ρ u A ρ u A A 1 u 1 = A u 66