των ασκήσεων που έχουν τροποποιηθεί

15/4/2015 ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ των ασκήσεων που έχουν τροποποιηθεί Χαράλαμπος Τζόκας 1 ΓΕΛ ΝΕΟΥ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΤΤΙΚΗΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. (4.4) Ένα στερεό στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Θεωρήστε δύο στοιχειώδεις μάζες του σώματος σε διαφορετικές αποστάσεις από τον άξονα περιστροφής. Ποια από τα μεγέθη α) γραμμική ταχύτητα β) γωνιακή ταχύτητα γ) γωνιακή επιτάχυνση και δ) κεντρομόλος επιτάχυνση, έχουν την ίδια τιμή για τις δύο μάζες; 2. (4.6) Ένα στερεό κάνει σύνθετη κίνηση. Α). Υπάρχει κάποιο σημείο του στερεού, έξω από τον άξονα περιστροφής του, που έχει πάντα την ίδια ταχύτητα με το κέντρο μάζας; Αιτιολογήστε την απάντηση σας. Όχι, γιατί όλα τα σημεία εκτελούν σύνθετη κίνηση και η ταχύτητα τους (διανυσματική) είναι άθροισμα της ταχύτητας του κέντρου μάζας και της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής που είναι διάφορη του μηδενός (εκτός από τα σημεία του άξονα περιστροφής) Β). Ναι αρκεί να εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση. 1 ος τρόπος: Πράγματι αν σχεδιάσουμε το παραλληλόγραμμο των ταχυτήτων για την σύνθεση, θα είναι ρόμβος αφού υcm = uγρ Αφού θέλουμε και η συνισταμένη να έχει ίδιο μέτρο θα σχηματιστεί τρίγωνο με τρεις ίσες πλευρές άρα η γωνία μεταξύ υcm,u θα είναι π/3, οπότε οι υcm,uγρ θα σχηματίζουν γωνία 2π/3 2 ος τρόπος Έστω σημείο που ισχύει η σχέση υcm = υ. Το μέτρο της ταχύτητας ενός σημείου στο οποίο η κατεύθυνσή της σχηματίζει γωνία θ με την κατεύθυνση της κίνησης δίνεται από τον τύπο : υ = υ 2 cm + υ 2 γρ + 2υ cm u γρ συν2θ ( 2θ η γωνία υcm, uγρ ) και θέτοντας υ = υcm = uγρ προκύπτει ότι υcm = 2υ 2 cm (1 + συν2θ (1 + συν2θ = 1 2 συν2θ = - ½ 2θ = 2π/3 θ = π/3 σε σχέση με την κατεύθυνση της κίνησης Άρα υπάρχει τέτοιο σημείο 3. (4.12) Η ράβδος του σχήματος είναι αβαρής και οι μάζες m απέχουν το ίδιο από τον άξονα περιστροφής. Αν η απόσταση των μαζών από τον άξονα περιστροφής διπλασιαστεί, η ροπή αδράνειας του συστήματος α) παραμένει ίδια β) διπλασιάζεται γ) διπλασιάζεται, δ) τετραπλασιάζεται. 4. (4.17)Η γωνιακή επιτάχυνση ενός στερεού που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα είναι α) ανάλογη με τη ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής. β) ανάλογη με τη μάζα του σώματος, γ) ανάλογη με τη δύναμη που ασκείται στο σώμα δ) ανάλογη με τη ροπή που ασκείται στο σώμα. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Επιλογή από το σχολικό βιβλίο με μικρές αλλαγές [1] επιμέλεια χ. τζόκας

5. (4.18) Στο σχήμα βλέπουμε την τομή μιας πόρτας με το οριζόντιο επίπεδο. Η πόρτα αποτελείται από δύο διαφορετικά υλικά. Το υλικό 1 έχει μεγαλύτερη πυκνότητα από το υλικό 2. Τα δύο υλικά καταλαμβάνουν τον ίδιο χώρο. Από ποια μεριά πρέπει να τοποθετηθούν οι μεντεσέδες ώστε η πόρτα να ανοίγει και να κλείνει πιο εύκολα; Για αν ανοιγοκλείνει πιο εύκολα πρέπει να έχει μικρότερη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής, δηλαδή η κατανομή μάζας να είναι πιο κοντά του. Αυτό συμβαίνει όταν αυτό που έχει μεγαλύτερη πυκνότητα είναι πιο κοντά στον άξονα. Άρα το 1 6. (4.28) Ένας κύβος από πάγο και μία σφαίρα αφήνονται από το ίδιο ύψος σε πλάγιο επίπεδο. Η σφαίρα κυλίεται κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου ενώ ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβή. Οι μάζες των δύο σωμάτων είναι ίσες και οι διαστάσεις τους μικρές σε σχέση με το ύψος από το οποίο αφέθηκαν να κινηθούν. Να συγκρίνετε 1. Το έργο του βάρους κατά την κίνηση των δύο σωμάτων. Το έργο βάρους ισούται με ΔU = MgH. Αφού οι μάζες είναι ίδιες τα έργα βάρους κύβου και σφαίρας θα είναι ίσα 2. Την ταχύτητα με την οποία τα σώματα φτάνουν στη βάση του πλαγίου επιπέδου. Εφαρμόζοντας ΘΜΚΕ για κάθε σώμα έχουμε: Κύβος: Κκυβ-0 = W u 2 = 2gH (1) Σφαίρα: Κσφ-0 = W ½ mu 2 + ½ (2/5)mr 2 ω 2 = mgh u 2 + (2/5) u 2 = 2gH ( αφού u=ωr ) u 2 = 10 gh (2) 7 Από (1) και (2) προκύπτει ότι ο κύβος θα φτάσει με μεγαλύτερη ταχύτητα 7. (4.29) Σε τροχό ο οποίος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ασκείται δύναμη F που μεταβάλλει τη γωνιακή του ταχύτητα: α) από 1 rad/s σε 3 rad/s. β) από 4 rad/s σε 6 rad/s. γ) από -2 rad/s σε 5 rad/s. δ) από -3 rad/s σε 4 rad/s. Σε ποια περίπτωση το έργο της δύναμης είναι μεγαλύτερο; Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ και δεδομένου ότι η ροπή αδράνειας δεν αλλάζει μεγαλύτερο θα είναι το έργο όπου η διαφορά τετραγώνων των ω θα είναι μεγαλύτερη: Έτσι στο α) 9-1=8, στο β) 36-16=20, στο γ) 25-4=21 και στο δ) 16-9 8. (4.54 ΕΓΙΝΕ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ)Η ράβδος του σχήματος που έχει μήκος L και μάζα Μ είναι οριζόντια και στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. Στο άλλο άκρο Α της ράβδου ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου που είναι διαρκώς κάθετη στη διεύθυνση της ράβδου. Η ράβδος αρχικά ήταν ακίνητη και με την επίδραση της δύναμης F= 2Μg/π αρχίζει να στρέφεται. Έστω ω η γωνιακή ταχύτητα που θα έχει αποκτήσει η ράβδος τη στιγμή κατά την οποία θα έχει ολοκληρώσει μισή περιστροφή. Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία αλλά πλέον η ράβδος είναι ακίνητη σε κατακόρυφη θέση, ο άξονας που περνά από το Ο είναι οριζόντιος, η δύναμη F ασκείται στο κάτω άκρο Α ( συνεχώς κάθετη στην ράβδο) και η περιστροφή γίνεται σε κατακόρυφο επίπεδο. Αν μετά την μισή περιστροφή η ράβδος έχει γωνιακή ταχύτητα ω θα ισχύει: Επιλογή από το σχολικό βιβλίο με μικρές αλλαγές [2] επιμέλεια χ. τζόκας

Α) ω=ω, B) ω= ω 2, Γ ) ω= 2ω Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε. Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ δυο φορές: I) οριζόντια περιστροφή δεν παράγει έργο το βάρος : Κ1-0 = F L π = 2ΜgL II) κατακόρυφη περιστροφή παράγει έργο το βάρος : Κ2-0 = F L π - ΜgL = 2ΜgL-MgL=MgL Άρα : Κ2/Κ1 = ½ ½ Ιω 2 = ½ ½ Ι ω2 ω = ω 2 δηλαδή σωστή είναι η (Β) 9. (4.64 ΕΓΙΝΕ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ)Το σφαιρίδιο Σ του έχει μάζα M και διαγράφει κύκλο ακτίνας R με γωνιακή ταχύτητα ω Το σκοινί στο οποίο είναι δεμένο το σφαιρίδιο περνάει από κατακόρυφο σωλήνα ΚΑ. Το έργο της δύναμης F που πρέπει να ασκήσουμε στην ελεύθερη άκρη του σκοινιού μέχρις ότου η ακτίνα περιστροφής του σφαιριδίου Σ γίνει R/2 έχει μέτρο: Α) ΜR 2 ω 2 Β) 0,5 ΜR 2 ω 2 Γ) 1,5 ΜR 2 ω 2 (Θα θεωρήσετε ότι σ' όλη τη διάρκεια του φαινομένου το σκοινί είναι οριζόντιο και ότι δεν υπάρχουν τριβές μεταξύ του σκοινιού και του σωλήνα). Έχουμε διατήρηση της στροφορμής γιατί ο φορέας της δύναμης διέρχεται από τον άξονα περιστροφής άρα : L1=L2 mr 2 ω = (1/4) mr 2 ω ω = 4ω K1 =½ mr 2 ω 2, K2 = ½ m R 2 ω 2 = 2 mr 2 ω 2 4 WF = ΔΚ = 2 mr 2 ω 2 -½ mr 2 ω 2 = 3 2 mr2 ω 2 δηλαδή σωστή είναι η (Γ) 10. 4.22) (ΕΓΙΝΕ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ) Το σχήμα δείχνει ένα συμπαγή κυκλικό δίσκο και ένα κυκλικό δακτύλιο που έχουν την ίδια ακτίνα και την ίδια μάζα και μπορούν να στρέφονται γύρω από οριζόντιο άξονα. Τη στιγμή μηδέν, που τα δύο σώματα είναι ακίνητα, ασκούνται σ' αυτά δυνάμεις του ίδιου μέτρου, εφαπτόμενες στην περιφέρειά τους. Για τις στροφορμές τους τη χρονική στιγμή t ισχύει: Α) μεγαλύτερη είναι η στροφορμή του δακτύλιου Επιλογή από το σχολικό βιβλίο με μικρές αλλαγές [3] επιμέλεια χ. τζόκας

Β) μεγαλύτερη είναι η στροφορμή του δίσκου Γ) οι στροφορμές είναι ίσες Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογήστε 1 η λύση : Εφαρμόζουμε τον γενικευμένο νόμο για την περιστροφή: Στ = ΔL/Δt ΔL = Στ Δt L-0 =Στ (t-0) L = Στ t (1) Δεδομένου ότι και τα δυο στερεά δέχονται την ίδια δύναμη και η απόσταση από τους άξονες περιστροφής είναι ίδιοι, οι ροπές είναι ίσες και λόγω της (1) και οι στροφορμές είναι ίσες 2 η λύση: Για τον δίσκο: L1 = I1 ω1 = (Ι1 αγ1) t = Στ1 t = FR t (1) Για τον δακτύλιο: L2 = I2 ω2 = (Ι2 αγ2) t = Στ2 t = FR t (2) Από (1) και (2) προκύπτει ότι οι στροφορμές είναι ίσες Άρα σωστή απάντηση είναι η (Γ) 11. (4.24) Ένας καλλιτέχνης του πατινάζ περιστρέφεται. Στην αρχή ο καλλιτέχνης έχει τα χέρια απλωμένα και στη συνέχεια τα συμπτύσσει. Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστή; α) Η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα περιστροφής του αυξάνεται. β) Η στροφορμή του αυξάνεται γ) Η συχνότητα περιστροφής του αυξάνεται. δ) Ο καλλιτέχνης παύει να περιστρέφεται. 12. (4.25) (ΕΓΙΝΕ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ) Αν έλιωναν οι πολικοί πάγοι, θα ανέβαινε λίγο η στάθμη της θάλασσας. Τότε η συχνότητα περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της a. Θα μικρύνει b. Θα μεγαλώσει c. Θα παραμείνει σταθερή Αιτιολογήστε την απάντηση σας. Από διατήρηση στροφορμής αφού το Ι μεγαλώνει το ω θα μικρύνει άρα και το f 13. ( 4.26 ΕΓΙΝΕ ΕΠΕΚΤΑΣΗ)Ένα παιδί κάθεται σε κάθισμα το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Στα χέρια του κρατάει κατακόρυφα τον άξονα ενός τροχού ποδηλάτου. Αρχικά το παιδί το κάθισμα και ο τροχός είναι ακίνητα. Επιλογή από το σχολικό βιβλίο με μικρές αλλαγές [4] επιμέλεια χ. τζόκας

Α) Με το ένα χέρι το παιδί περιστρέφει τον τροχό προσδίδοντάς του στροφορμή +L ( θετικά προς τα πάνω). Εξηγήστε πώς θ αντιδράσει το υποσύστημα κάθισμα-παιδί. Λόγω διατήρησης της στροφορμής στον κατακόρυφο άξονα το υποσύστημα παιδί κάθισμα θα πρέπει να αποκτήσει στροφορμή L ώστε η συνολική στροφορμή να γίνει μηδέν όπως ήταν αρχικά Β). Σαν συνέχεια των προηγούμενων το παιδί στρέφει τον άξονα του τροχού κατά 90 ; Εξηγήστε πώς θα αντιδράσει τώρα το υποσύστημα κάθισμα παιδί Ο τροχός θα μηδενίσει την στροφορμή του στον κατακόρυφο άξονα Λόγω διατήρησης της ολικής στροφορμής στον κατακόρυφο άξονα το υποσύστημα παιδί κάθισμα θα πρέπει να μηδενίσει επίσης την στροφορμή του ώστε η συνολική στροφορμή να γίνει μηδέν όπως ήταν αρχικά άρα θα ακινητοποιηθεί Γ). Ας δεχθούμε ότι το αρχικό σύστημα αποτελείται μόνο από το κάθισμα και το παιδί. Μια φίλη του παιδιού κρατάει ένα τροχό και τον θέτει σε κίνηση περί τον κατακόρυφο άξονα του προσδίδοντάς του στροφορμή +L και τον δίνει στο παιδί. Πώς θα αντιδράσει στην περίπτωση αυτή το σύστημα παιδί- κάθισμα; Θα παραμείνει ακίνητο γιατί σαν σύστημα παιδί-κάθισμα διατηρεί την στροφορμή του μηδενική. Απλά δημιουργείται ένα άλλο σύστημα τροχός-παιδί- κάθισμα που έχει αρχική στροφορμή +L Δ). Το παιδί στρέφει τον άξονα του τροχού που πήρε από την φίλη του κατά 60 μοίρες. Τι στροφορμή θα αποκτήσει το σύστημα παιδί-κάθισμα; Η στροφορμή του τροχού στον κατακόρυφο άξονα θα γίνει +Lσυν60 = +L/2 ( η γωνία αναφέρεται ως προς τον κατακόρυφο άξονα ) Επειδή η ολική στροφορμή του συστήματος ήταν αρχικά +L πρέπει το υποσύστημα παιδίκάθισμα να «συμπληρώσει» κατά +L/2 άρα θα αρχίσει να περιστρέφεται αριστερόστροφα 14. (4.30-ΕΓΙΝΕ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ)Κύλινδρος που αφήνεται από το σημείο Α πλάγιου επιπέδου κυλίεται μέχρι το σημείο Γ, που βρίσκεται στη βάση του πλάγιου επιπέδου. Το σημείο Β είναι ένα ενδιάμεσο σημείο της διαδρομής του σώματος. Να συμπληρωθεί ο πίνακας αν δίνεται ότι Ι = ½ MR 2. Βρίσκουμε τη σχέση ΚΜ/ΚΠ = 2 ΚΜ=2ΚΠ Θέση Α : ΚΠ=0, ΚΜ= 0 Θέση Β : ΚΜ= 2.20 =40 U=120-40-20=60 Θέση Γ: ΚΠ= 80/2 =40 Δυναμική Ενέργεια Κινητική ενέργεια από μεταφορική κίνηση Κινητική ενέργεια από περιστροφική κίνηση A 120J 0 0 B 60 40 20J Γ 0 80J 40 (4.57) Το εμπόδιο στο σχήμα έχει ύψος h και ο τροχός ακτίνα R και μάζα Μ. Ν αποδείξετε ότι ο τροχός θα υπερπηδήσει το εμπόδιο για τιμές της οριζόντιας δύναμης F μεγαλύτερες από Mg h(2r h) R h Οριακά η σφαίρα θα υπερπηδήσει το εμπόδιο όταν η ροπή της F γίνει ίση με την ροπή του βάρους ως προς Επιλογή από το σχολικό βιβλίο με μικρές αλλαγές [5] επιμέλεια χ. τζόκας

το υψηλότερο σημείο του εμποδίου. Ταυτόχρονα η σφαίρα θα χάσει την επαφή με το έδαφος άρα θα μηδενιστεί η Α. Η απόσταση της F από το εμπόδιο είναι R-h Η απόσταση χ του βάρους από το εμπόδιο προκύπτει από πυθαγόρειο θεώρημα : χ 2 +(R-h) 2 =R 2 Πρέπει F (R-h) >Wx και με αντικατάσταση προκύπτει εύκολα το ζητούμενο.. 15. (4.65) ΕΓΙΝΕ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ)Ο τροχός του σχήματος έχει ροπή αδράνειας, ως προς τον άξονά του, Ι και στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Ασκώντας στο σημείο Α του άξονα περιστροφής την κατάλληλη δύναμη τον μετακινούμε ώστε να γίνει κατακόρυφος. Το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του τροχού είναι: Α) μηδέν Β) Ιω 2 Γ) Ιω 2 ΔL = L2-L1 =L2 + ( -L1) δηλαδή διανυσματική πρόσθεση της τελικής στροφορμής και της αντίθετης της αρχικής. Επειδή επίσης έχουν ίδιο μέτρο και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία π/2 θα ισχύει ΔL = L 2 2 +L 1 2 = (Iω) 2 +(Ιω) 2 = Ιω 2 άρα σωστή η (Β) 16. (4.67 ΕΓΙΝΕ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ)Ένας τροχός αφήνεται να κινηθεί σε πλάγιο επίπεδο που σχηματίζει με το οριζόντιο γωνία φ. Για να γίνεται η κίνησή του χωρίς ολίσθηση οι τιμές του συντελεστή οριακής στατικής τριβής πρέπει να είναι: α) μs > 3 εφφ, β) μs >εφφ/3, γ) μs >εφφ Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο στρέφεται I = ½ mr 2. Επιλέξτε και δικαιολογήστε Έχουμε: ΣFx = ma και Στ(ο) = Ι αγ mgημφ Τs= ma και Τs R = ½ mr 2 αγ για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση πρέπει αγr=a mgημφ Τs= ma (1) και Τs= ½ ma (2) και με πρόσθεση: mgημφ = 3ma/2 a = 2gημφ/3 (3) Από (2) Τs=gημφ/3 (4) Επιλογή από το σχολικό βιβλίο με μικρές αλλαγές [6] επιμέλεια χ. τζόκας

Αλλά πρέπει Τs < Τορ m gημφ/3 < μs Ν m gημφ/3 < μs mgσυνφ εφφ/3 <μs σωστή απάντηση είναι η (β) 17. (4.69) Μια μικρή σφαίρα μάζας m και ακτίνας r αφήνεται από το σημείο Α, πάνω σε οδηγό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η κίνηση της σφαίρας γίνεται χωρίς ολίσθηση, ποιο είναι το μικρότερο ύψος h από το οποίο πρέπει να αφεθεί η σφαίρα για να κάνει ανακύκλωση; α) 2R, β) 2,7 R, γ) 1,5 R Επιλέξτε τη σωστή απάντηση: Δικαιολογήστε Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι I = 2/5 mr 2. Η ακτίνα της σφαίρας είναι πολύ μικρή σε σχέση με την ακτίνα R. 4.69 ΑΝΑΚΥΚΛΩΣΕΙΣ Ανακύκλωση σώματος μάζας m στην άκρη αβαρούς σχοινιού. Ένα σώμα κάνει ανακύκλωση όταν η Τάση του σχοινιού στο ανώτερο σημείο είναι μεγαλύτερη του μηδενός. Η οριακή περίπτωση είναι όταν Τ=0 Σε κάθε θέση της κυκλικής τροχιάς η συνιστώσα στη διεύθυνση της ακτίνας παίζει το ρόλο της κεντρομόλου. Άρα στο ανώτερο σημείο έχουμε: Fk = mυ 2 /R T + mg = mυ 2 /R T = mυ 2 /R mg και αφού πρέπει Τ 0 mυ 2 /R mg 0 υ 2 Rg υορ = gr (1) υ ορ Τ mg Αν ζητείται η υα στο κατώτερο σημείο ώστε να γίνει ανακύκλωση εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ στο κατώτερο και στο ανώτερο σημείο και έχουμε: 0 + ½ mυα 2 = mg 2R + ½ mυορ 2 υ Α Επιλογή από το σχολικό βιβλίο με μικρές αλλαγές [7] επιμέλεια χ. τζόκας

Ανακύκλωση σφαίρας στο εσωτερικό κατακόρυφης σφαιρικής κοιλότητας Ίδια περίπτωση με το αβαρές νήμα για την συνθήκη ανακύκλωσης Fk = mυ 2 /R T + mg = mυ 2 /R T = mυ 2 /R mg και αφού πρέπει Τ 0 mυ 2 /R mg 0 υ 2 Rg υορ = gr (1) Προσοχή : Αν ζητείται η υα στο κατώτερο σημείο ώστε να γίνει ανακύκλωση εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ αλλά τώρα έχουμε σύνθετη κίνηση, άρα: υ ορ Γ Τ mg 1 η παρατήρηση : ακτίνα σφαίρας r << ακτίνας της σφαιρικής κοιλότητας. Αν δεν ισχύει χρειάζεται προσοχή στην ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που είναι R r 2 η παρατήρηση : θεωρούμε δυναμική 0 στο επίπεδο που περνάει από το Α Α υ Α UA + KA(μ) + ΚΑ (π)= UΓ + KΓ(μ) + ΚΓ (π) 0 + ½ m υα 2 + ½ Ι ωα 2 = Mg2R + ½ m υγ 2 + ½ Ι ωγ 2 και αντικαθιστώντας από (1) την υγ, την Ι με 2/5 mr 2 και ωr = υ στα σημεία Α και Γ αντίστοιχα έχουμε.. υα= 27gR 7 Ανακύκλωση ράβδου Για να ανακυκλωθεί μια ράβδος αρκεί να φτάσει στο ανώτερο σημείο, δηλαδή αρκεί να έχει στο ανώτερο σημείο ω 0 Επιλογή από το σχολικό βιβλίο με μικρές αλλαγές [8] επιμέλεια χ. τζόκας

Αν θέσουμε U =0 το επίπεδο που περνάει από το ΚΜ όταν η ράβδος βρίσκεται στην κάτω θέση και στη θέση αυτή έχει γωνιακή ταχύτητα ωο, στο ανώτερο σημείο θα έχει ω=0 και U = M G L άρα: ½ Ι ωο 2 +0 = 0 + ΜG L 1/6 M L 2 ωο 2 = ΜgL ω0 = 6g L Εφαρμογή η άσκηση του βιβλίου Για να κάνει ανακύκλωση πρέπει στο ανώτερο σημείο η σφαίρα να έχει υορ = ) Εφαρμόζουμε την ΑΔΜΕ με U=0 το οριζόντιο επίπεδο και έχουμε gr ( βλέπε ανακύκλωση σφαίρας mgh +0=mg2R+ ½ m υορ 2 + ½ I ωορ 2 ( θεωρούμε r<<r) και υορ= ωορ r) h =2,7R Επιλογή από το σχολικό βιβλίο με μικρές αλλαγές [9] επιμέλεια χ. τζόκας