Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής 5 1 Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων
2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια
Αναλυτικός Υπολογισμός Χρονικής Απόκρισης Πρόβλημα/Ερώτημα Μοντελοποίηση Ανάλυση απόκρισης συχνότητας Απόκριση στο πεδίο συχνότητας Μοντέλο Κατάστρωση Δυν. Εξισώσεων Δυναμικές εξισώσεις Ιδιοανυσματική Ανάλυση Αναλυτικός Υπολ. Απόκρισης Απόκριση στο πεδίο χρόνου Προσομοίωση
Υπολογισμός Χρονικής Απόκρισης Περιεχόμενα Σκοποί Μελέτης Χρονικής Απόκρισης Τρόποι Υπολογισμού Χρονικής Απόκρισης Χρονική Απόκριση σε Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα
Τι σημαίνει «χρονική απόκριση» Χρονική Απόκριση ενός Δυναμικού Συστήματος
Χρονική Απόκριση Δυναμικού Συστήματος Υπολογισμός της κατάστασης του συστήματος ως συνάρτηση του χρόνου Εκφρασμένες ως προς Β.Ε.: υπολογισμός της q(t) Εκφρασμένες ως προς Μ.Κ.: υπολογισμός της x(t) Αρχικές συνθήκες: Η κατάσταση του συστήματος την στιγμή t = 0 Εκφρασμένες ως q(0) ή x(0) Η κατάσταση ενός συστήματος μεταβάλεται για δύο λόγους: Το σύστημα αρχικά δεν είναι σε ισορροπία Το σύστημα διεγείται από εξωτερικές διεγέρσεις f(t)
Χρονική Απόκριση Δυναμικού Συστήματος Tο πρόβλημα του υπολογισμού της χρονικής απόκρισης εκφράζεται μαθηματικά ως επίλυση ενός ΠΑΣ (Προβλήματος Αρχικών Συνθηκών) Επίλυση συστημάτων ΣΔΕ σε αρχικές συνθήκες: q = h q (q, q, f) q(0) = q 0 q(0) = q 0 q(t) x = h x (x, f) x(0) = x 0 x(t)
Χρονική Απόκριση Δυναμικού Συστήματος Στο μάθημα της «δυναμικής μηχανών Ι» θα εστιάσουμε σε γραμμικά συστήματα που περιγράφονται από γραμμικές ΣΔΕ Μ q + C q(0) = q 0 q(0) = q 0 q + K q = G f(t) q(t) x = A x + b f x(0) = x 0 x(t)
Τι έχει να μας πει η ανάλυση της χρονικής απόκρισης Σκοποί της Μελέτης Χρονικής Απόκρισης Ενός Δυναμικού Συστήματος
Σκοποί της Μελέτης Χρονικής Απόκρισης Ενός Δυναμικού Συστήματος Η μελέτη της χρονικής απόκρισης ενός δυναμικού συστήματος 1. Παρέχει κρίσιμες πληροφορίες που περιγράφουν τον τρόπο της δυναμικής απόκρισης του συστήματος Κρίσιμες χρονικές συχνότητες, Χαρακτηριστική απόσβεση, Κρίσιμες χωρικές χαρακτηριστικές (συστήματα Ν>1 Β.Ε.), ευστάθεια, ταχύτητα απόκρισης 2. Παρέχει την απόκριση του συστήματος σε συνθήκες που μοντελοποιούν την λειτουργία του συστήματος και την αλληλεπίδραση του με το περιβάλλον Σχεδιασμό του συστήματος Κατανόηση της λειτουργίας του Διάγνωση βλαβών, προληπτική διαγνωστική
Πως υπολογίζεται η «χρονική απόκριση» Τρόποι Υπολογισμού Χρονικής Απόκρισης
Τρόποι Υπολογισμού Χρονικής Απόκρισης Αναλυτικός Υπολογισμός Αναλυτική λύση του ΠΑΣ μέσω των αναλυτικών εργαλείων της θεωρείας των συνήθων διαφορικών εξισώσεων Βλέπε ύλη μαθήματος «μαθηματικά ΙΙβ) Αριθμητικός Υπολογισμός Αριθμητική επίλυση μέσω αλγορίθμων «αριθμητικής ολοκλήρωσης» ΣΔΕ Βλέπε ύλη μαθήματος «αριθμητικής ανάλυσης» Χρήση υπολογιστικών πακέτων (MATLAB, Simulink, Mathematica, κτλ)
Αναλυτικός Υπολογισμός Η «δυναμική δυναμικών» εστιάζει σε γραμμικά δυναμικά συστήματα Συστήματα γραμμικών ΣΔΕ λύνονται αναλυτικά Επανάληψη ύλης ΣΔΕ που έχετε διδαχθεί (βιβλίο Σταυρακάκη) κεφάλαια 1 (εισαγωγή), 2 (ΣΔΕ πρώτης τάξης), 4 (ΣΔΕ ανώτερης τάξης), και 6 (συστήματα ΣΔΕ) Έμφαση στα εδάφια 4.2-4.5 και 6.4 Επίσης, βλέπετε κεφάλαιο 7 («απόκριση στο πεδίο του χρόνου») στο βιβλίο των «ηλεκτρικών κυκλωμάτων» του Δρ. Ε. Παπαδόπουλου
Αριθμητικός Υπολογισμός Επίλυση συστημάτων ΣΔΕ μέσω διακριτοποίησης των ΣΔΕ Δεν θα εξεταστεί στο μάθημα της «δυναμικής μηχανών Ι» αλλά αν υπάρχει χρόνος θα γίνει μια διάλεξη στο PC lab Επίσης, βλέπετε κεφάλαιο αριμητικού υπολογισμού χρονικής απόκρισης στο βιβλίο των «ηλεκτρικών κυκλωμάτων» του Δρ. Ε. Παπαδόπουλου
Χαρακτηριστικά της Χρονικής Απόκρισης Γραμμικών Συστημάτων Χρονική Απόκριση σε Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα
Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Ένα Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα περιέχει μόνο γραμμικά στοιχεία και περιγράφεται από γραμμικές ΣΔΕ Εξωτερικές Διεγέρσεις f(t) Εξωτερικές Διεγέρσεις f(t) Σύστημα q(t) Σύστημα x(t) Ισοδύναμα Έξοδοι y(t) Έξοδοι y(t)
Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Ένα Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα περιέχει μόνο γραμμικά στοιχεία και περιγράφεται από γραμμικές ΣΔΕ f(t) Μ q + C q(0) = q 0 q(0) = q 0 q + K q = G f(t) επίλυση q(t) y(t) Ισοδύναμα f(t) x = A x + b f x(0) = x 0 επίλυση x(t) y(t)
Απόκριση Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Η απόκριση q(t) ενός γραμμικού δυναμικού συστήματος περιέχει 2 όρους Η λύση του συστήματος Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης είναι: q t = q h t + q p t Η ειδική λύση q p t περιγράφει την απόκριση του συστήματος στις εξωτερικές διεγέρσεις f(t) H oμογενής λύση q h t περιγράφει την απόκριση του συστήματος σε αρχικές συνθήκες δεδομένης της q p t Η τελική ομογενής λύση εξαρτάται από την ειδική λύση!!!!! Αντίστοιχα αν η δυναμική εκφραστεί ως προς τις Μ.Κ. Η λύση του συστήματος S ΣΔΕ 1 ης τάξης είναι: x t = x h t + x p t
Μόνιμη και Μεταβατική Απόκριση Απόκριση Μόνιμης Κατάστασης (steady state) Υπάρχει σε μόνο ευσταθή δυναμικά συστήματα Μετά από κάποιο πεπερασμένο χρονικό διάστημα, η κατάσταση του συστήματος τείνει σε μια σταθερή τιμή q t q ss Ένα σύστημα φτάνει σε steady state σε 2 περιπτώσεις: 1. Δεν ασκούνται εξωτερικές διεγέρσεις f t = 0 2. Σταθερές εξωτερικές διεγέρσεις f t = f 0 Η τιμή q ss εξαρτάται από την εξωτερική διέγερση και καθορίζεται από την ειδική λύση q ss = lim t q p t
Μόνιμη και Μεταβατική Απόκριση Στην αρχική φάση, η απόκριση περιέχει συνεισφορά τόσο από την ειδική όσο και από την ομογενή λύση q t = q h t + q p t Η φάση αυτή λέγεται «μεταβατική» διότι (σε ευσταθή συστήματα) η ομογενής λύση συνεισφέρει για πεπερασμένο χρονικό διάστημα, μετά από το οποίο γίνεται μηδέν lim t q h t = 0 Αντίστοιχες σχέσεις όταν η απόκριση εκφράζεται ως προς Μ.Κ. x t
Μόνιμη και Μεταβατική Απόκριση Παράδειγμα: x t = x h (t) + x p (t) 2 Μεταβατική απόκριση = 1, = 0.25 Μόνιμη απόκριση 1.5 1 x(t) 0.5 0-0.5-1 x(0)=u(0)=0, step input x(0)=1 u(0)=2, no input x(0)=1 u(0)=2, step input -1.5 0 5 10 15 20 time
Ημιτονοειδής Μόνιμη Απόκριση (ΗΜΑ) Όταν σε ένα γραμμικό σύστημα ασκείται μια αρμονική διέγερση f t = Α cos(ω t), τότε όταν περάσει η μεταβατική διάταξη (x h t 0), η απόκριση x t x p t κάθε Μ.Κ. θα είναι μια αρμονική ίδιας κυκλ. συχνότητας με την διέγερση x i t = B i cos Ω t + ψ i Σκοπός της μελέτης απόκρισης συχνότητας (ΗΜΑ) είναι ο υπολογισμός των B i Α και ψ i ως συνάρτηση της συχνότητας Ω. Περισσότερα σε επόμενες διαλέξεις και στο κεφάλαιο 8 («απόκριση ημιτονοειδούς μόνιμης απόκρισης») του βιβλίου των «ηλεκτρικών κυκλωμάτων» του Δρ. Ε. Παπαδόπουλου