Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (Συνδυασμένη, ολική και δεσμευμένη) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 KELLER

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, 6 4 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 60 6905, Φαξ: 60 9684, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής Ι. Μητρόπουλο ς TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE DEPARTMENT: BUSINESS ADMINISTRATION (PATRAS) Address: M. Alexandrou, 6 4 PATRA Greece Tel.:+60 69,Fax:+60 9684, email: mitro@teipat.gr Professo r J. Mitropoulos Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (Συνδυασμένη, ολική και δεσμευμένη) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 KELLER Επιμέλεια: ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ Ι. ΒΑΣΙΟΥ Γ. Ημερομηνία: ΜΑΪΟΣ 06

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνδυασμένη, ολική και δεσμευμένη πιθανότητα Τομή ενδεχομένων Τομή δύο ενδεχομένων Α και Β (συμβολίζεται ) είναι το ενδεχόμενο που συμβαίνει όταν τα δύο ενδεχόμενα Α και Β συμβούν ταυτόχρονα. Η πιθανότητα της τομής δύο ενδεχομένων ονομάζεται συνδυασμένη πιθανότητα (join probability). Ένωση ενδεχομένων Ένας άλλος τρόπος συνδυασμού ενδεχομένων είναι η ένωση. Ένωση δύο ενδεχομένων Α ή Β (συμβολίζεται ) είναι το ενδεχόμενο που συμβαίνει όταν συμβεί ένα από τα ενδεχόμενα Α ή Β ή και τα δύο. Ολική πιθανότητα Η ολική πιθανότητα (marginal probability) υπολογίζεται αθροίζοντας μια γραμμή ή μια στήλη του πίνακα ο οποίος περιέχει τις συνδυασμένες πιθανότητες κάποιων ενδεχομένων. (Τέτοιους πίνακες θα δούμε στην επίλυση των ασκήσεων) Δεσμευμένη πιθανότητα Συχνά αυτό που μας ενδιαφέρει είναι πώς σχετίζονται μεταξύ τους δύο ενδεχόμενα και ιδιαίτερα ποιες είναι οι πιθανότητες να συμβεί ένα ενδεχόμενο αν γνωρίζουμε ότι κάποιο άλλο έχει συμβεί. Η πιθανότητα αυτή ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα (conditional probability) ή αλλιώς πιθανότητα υπό συνθήκη, συμβολίζεται ως P ) και ( διαβάζεται «πιθανότητα του δεδομένου του. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α δεδομένου ενός ενδεχομένου Β ) είναι : P ( ). ) Όμοια, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Β δεδομένου του Α είναι : ) P ( ). ) Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Ένας από τους στόχους της δεσμευμένης πιθανότητας είναι η εξάρτηση ενός ενδεχομένου από ένα άλλο. Για τον λόγο αυτό εισάγεται η έννοια των ανεξάρτητων ενδεχομένων (independent events). Δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους αν είναι : P ( ) ) ή P ( ) ) Με απλά λόγια, δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους αν η πιθανότητα του ενός δεν επηρεάζεται από την παρουσία του άλλου. Ασκήσεις. Ένα πολυκατάστημα πραγματοποίησε μια έρευνα για τον τρόπο πληρωμής σε σχέση με την τιμή ενός προϊόντος. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποίησε ένα δείγμα 00 πελατών και κατέγραψε τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα :

Πλήθος πελατών Τιμή (σε δολάρια) Μετρητά Πιστωτική κάρτα Χρεωστική κάρτα <0 5 4 0-00 8 >00 9 4 α) Ποιο ποσοστό του συνόλου των αγορών πληρώνεται με χρεωστική κάρτα; β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα μια αγορά άνω των 00 δολαρίων να πληρωθεί με πιστωτική κάρτα. γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα μια αγορά να πληρώνεται με πιστωτική ή με χρεωστική κάρτα. α) Από τον πίνακα συμπεραίνουμε ότι το πλήθος των πελατών που πληρώνουν με χρεωστική κάρτα είναι 4+8+4=6. Το αντίστοιχο ποσοστό επί του συνόλου των 00 πελατών είναι 6%. β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Α : Η τιμή είναι μικρότερη από 0 δολάρια Α : Η τιμή είναι μεταξύ 0 και 00 δολαρίων Α : Η τιμή είναι μεγαλύτερη από 00 δολάρια Β : Η πληρωμή γίνεται με μετρητά Β : Η πληρωμή γίνεται με πιστωτική κάρτα Β : Η πληρωμή γίνεται με χρεωστική κάρτα Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου δεδομένου του δηλαδή τη δεσμευμένη πιθανότητα P ) η οποία, σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο, είναι : ( ) P ( ) P ( ) είναι η συνδυασμένη πιθανότητα ) των δύο ενδεχομένων και P ( ) η ολική πιθανότητα του ενδεχομένου. Το πλήθος των πελατών που πλήρωσαν με πιστωτική κάρτα για μια αγορά άνω των 00 δολαρίων είναι και το πλήθος των πελατών που έκαναν αγορές άνω των 00 δολαρίων είναι 9++4=46. Οπότε P ( ) = 46 0, και P ( ) 0, 46. Άρα, τελικά έχουμε : 00 00 ) 0, P ( ) 0,5 50 % ) 0,46 γ) Οι πελάτες που πλήρωσαν με πιστωτική κάρτα είναι ++=47, ενώ εκείνοι που πλήρωσαν με χρεωστική κάρτα είναι 4+8+4=6. Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η ) (πιθανότητα ένωσης ενδεχομένων) όπου τα δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα. Άρα : 47 6 8 ) P ( ) ) 0,8 8 % 00 00 00. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι συνδυασμένες πιθανότητες των άνεργων ανδρών και γυναικών ανά επίπεδο εκπαίδευσης.

Επίπεδο εκπαίδευσης Άνδρας Γυναίκα Δεν ολοκλήρωσε τη δευτεροβάθμια 0,08 0,09 Απόφοιτος δευτεροβάθμιας 0,5 0,90 Λίγες σπουδές, χωρίς πτυχίο 0, 0, Πτυχιούχος κολεγίου-πανεπιστημίου 0,09 0,08 α) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν άνεργο, ποια είναι η πιθανότητα να μην έχει ολοκληρώσει τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση; β) Αν επιλέξουμε τυχαία μια άνεργη γυναίκα, ποια είναι η πιθανότητα να είναι πτυχιούχος; γ) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν άνεργο απόφοιτο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, ποια είναι η πιθανότητα να είναι άνδρας; Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : : Ο άνεργος δεν ολοκλήρωσε τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση : Ο άνεργος είναι απόφοιτος δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης : Ο άνεργος έχει λίγες σπουδές, χωρίς πτυχίο 4 : Ο άνεργος είναι πτυχιούχος κολεγίου-πανεπιστημίου : Ο άνεργος είναι άνδρας : Ο άνεργος είναι γυναίκα α) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η ολική πιθανότητα της ης γραμμής του πίνακα, δηλαδή το άθροισμα των συνδυασμένων πιθανοτήτων της ης γραμμής. P ( ) 0,08 0,09 0,9 9, % β) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η δεσμευμένη πιθανότητα 4) P ( 4 ) 4) είναι η συνδυασμένη πιθανότητα ) των δύο ενδεχομένων η οποία, σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα είναι 0,08 και P ( ) είναι η ολική πιθανότητα του ενδεχομένου η οποία ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων της ης στήλης δηλαδή 0,09+0,90+0,+0,08=0,54. Άρα : 4) 0,08 P ( 4 ) 0, 0 % ) 0,54 γ) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η δεσμευμένη πιθανότητα ) P ( ) ) είναι η συνδυασμένη πιθανότητα ) των δύο ενδεχομένων η οποία, σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα είναι 0,5 και P ( ) 0,5 0,90 0,4 είναι η ολική πιθανότητα του ενδεχομένου που ι- σούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων της ης γραμμής. ) 0,5 Άρα : P ( ) 0,446 44, 6 % ) 0,4. Για το σκοπό μιας ιατρικής έρευνας επιλέχθηκε τυχαία ένα δείγμα 50 ανδρών ηλικίας 60-65 ετών και καταγράφηκε το πλήθος αυτών που είναι καπνιστές και αυτών 4

που δεν είναι καπνιστές καθώς και πόσοι από αυτούς έχουν προσβληθεί από καρκίνο του πνεύμονα και πόσοι όχι. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Καπνιστής Μη καπνιστής Καρκινοπαθής 5 6 Μη καρκινοπαθής 99 Αν επιλέξουμε τυχαία έναν άνδρα, ποιες είναι οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων : α) Να είναι καπνιστής. β) Να μην είναι καρκινοπαθής. γ) Να είναι καρκινοπαθής δεδομένου ότι είναι καπνιστής. δ) Να είναι καρκινοπαθής δεδομένου ότι δεν είναι καπνιστής. Α : Ο άνδρας είναι καρκινοπαθής Α : Ο άνδρας δεν είναι καρκινοπαθής Β : Ο άνδρας είναι καπνιστής Β : Ο άνδρας δεν είναι καπνιστής α) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η ολική πιθανότητα του ενδεχομένου Β. Το πλήθος των καπνιστών είναι 5+=48 οπότε η πιθανότητα ισούται με : 48 P ( ) 0, % 50 β) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η ολική πιθανότητα του ενδεχομένου Α. Το πλήθος των μη καρκινοπαθών είναι +99= οπότε η πιθανότητα ισούται με : P ( ) 0,88 88% 50 ) γ) Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα P ( ) ) 5 ) 0, είναι η συνδυασμένη πιθανότητα των δύο ενδεχομένων 50 και P ( ) 0, είναι η ολική πιθανότητα που βρήκαμε στο (α) σκέλος. Άρα : ) 0, P ( ) 0,5,5 % ) 0, ) δ) Ζητάμε την δεσμευμένη πιθανότητα P ( ) ) 6 ) 0, 04 είναι η συνδυασμένη πιθανότητα των δύο ενδεχομένων 50 5 6 και P ( ) 0, 4 είναι η ολική πιθανότητα του ενδεχομένου Α. Άρα : 50 ) 0,04 P ( ) 0,857 8,57 % ) 0,4 4. Μια έρευνα κατέγραψε τον παρακάτω πίνακα συνδυασμένων πιθανοτήτων για τους λόγους και τις ηλικίες απόλυσης εργαζομένων. 5

Λόγος απόλυσης Ηλικία 0-4 5-54 55-64 65+ Κλείσιμο-μετακίνηση μονάδας 0,05 0,4 0,075 0,07 Μείωση παραγωγής 0,008 0,5 0,07 0,04 Κατάργηση θέσης εργασίας 0,005 0,9 0,054 0,008 α) Ποια είναι η πιθανότητα κάποιος 5-54 ετών να απολυθεί λόγω μείωσης παραγωγής; β) Ποια είναι η πιθανότητα να απολυθεί κάποιος άνω των 65 ετών; γ) Ποια είναι η πιθανότητα να απολυθεί κάποιος άνω των 65 ετών επειδή έκλεισε ή μετακινήθηκε η μονάδα όπου εργαζόταν; Α : Η απόλυση οφείλεται σε κλείσιμο-μετακίνηση μονάδας Α : Η απόλυση οφείλεται σε μείωση παραγωγής Α : Η απόλυση οφείλεται σε κατάργηση θέσης εργασίας Β : Ο απολυμένος έχει ηλικία μεταξύ 0 και 4 ετών Β : Ο απολυμένος έχει ηλικία μεταξύ 5 και 54 ετών Β : Ο απολυμένος έχει ηλικία μεταξύ 55 και 64 ετών Β 4 : Ο απολυμένος έχει ηλικία από 65 ετών και άνω α) Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα P ( ) ) ) ) 0, 5 είναι η συνδυασμένη πιθανότητα των δύο ενδεχομένων όπως φαίνεται στον παραπάνω πίνακα και P ( ) 0,4 0,5 0,9 0,768 είναι η ολική πιθανότητα του ενδεχομένου Β που ισούται με το άθροισμα των συνδυασμένων πιθανοτήτων της ης στήλης του πίνακα. Άρα : ) 0,5 P ( ) 0,9 9, % ) 0,768 β) Ζητάμε την ολική πιθανότητα του ενδεχομένου Β 4 η οποία ισούται με το άθροισμα των συνδυασμένων πιθανοτήτων της 4 ης στήλης του πίνακα, δηλαδή : P ( 4) 0,07 0,04 0,008 0,09,9 % 4 ) γ) Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα P ( 4) ) 4 ) 0, 07 είναι η συνδυασμένη πιθανότητα των δύο ενδεχομένων. Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα και P ( 4) είναι η ολική πιθανότητα που βρήκαμε στο (β) σκέλος. Άρα : 4 ) 0,07 P ( 4) 0,46 4,6 % ) 0,09 4 5. Μια εταιρία κινητής τηλεφωνίας μελετά τους λογαριασμούς των πελατών της ως προς δύο χαρακτηριστικά. Αν ένας λογαριασμός είναι νέος (λιγότερο από μήνες) 4 6

και αν ένας λογαριασμός παρουσιάζει καθυστερήσεις στην εξόφλησή του. Με βάση τα δεδομένα της εταιρίας σχηματίστηκε ο εξής πίνακας συνδυασμένων πιθανοτήτων. Λογαριασμός Παρουσιάζει καθυστερήσεις ΝΑΙ ΟΧΙ Νέος 0,08 0, Παλιός 0,50 0,9 α) Αν ο λογαριασμός παρουσιάζει καθυστέρηση, ποια είναι η πιθανότητα να πρόκειται για νέο λογαριασμό; β) Αν ο λογαριασμός είναι νέος, ποια είναι η πιθανότητα να παρουσιάζει καθυστέρηση; Α : Ο λογαριασμός είναι νέος Α : Ο λογαριασμός είναι παλιός Β : Ο λογαριασμός παρουσιάζει καθυστερήσεις Β : Ο λογαριασμός δεν παρουσιάζει καθυστερήσεις ) α) Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα P ( ) ) ) 0, 08 είναι η συνδυασμένη πιθανότητα των δύο ενδεχομένων, σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα και P ( ) 0,08 0,50 0, 58 είναι η ολική πιθανότητα του ενδεχομένου Β η οποία ισούται με το άθροισμα των συνδυασμένων πιθανοτήτων της ης στήλης του πίνακα. Άρα : ) 0,08 P ( ) 0,79,79 % ) 0,58 ) β) Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα P ( ) ) ) 0, 08 είναι η συνδυασμένη πιθανότητα των δύο ενδεχομένων, σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα και P ( ) 0,08 0, 0, είναι η ολική πιθανότητα του ενδεχομένου Α η οποία ισούται με το άθροισμα των συνδυασμένων πιθανοτήτων της ης γραμμής του πίνακα. Άρα : ) 0,08 P ( ) 0,809 8,09 % ) 0, 6. Το πιστοληπτικό προφίλ είναι μια στατιστική τεχνική που χρησιμοποιούν οι τράπεζες και άλλοι οικονομικοί οργανισμοί για την έγκριση δανείων προς τους πελάτες τους. Από τα στοιχεία που διατηρεί μια τράπεζα για 00 πελάτες προκύπτει ο παρακάτω πίνακας όπου φαίνεται το πλήθος των πελατών που αποπλήρωσαν ή δεν αποπλήρωσαν το δάνειο σε συνδυασμό με το πιστοληπτικό τους προφίλ : 7

ΠΙΣΤΟΛΗΠΤΙΚΟ ΔΑΝΕΙΟ ΠΡΟΦΙΛ < 400 400 + ΑΠΟΠΛΗΡΩΘΗΚΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ 9 64 ΔΕΝ ΑΠΟΠΛΗΡΩΘΗΚΕ 4 i) Ποιο είναι το συνολικό ποσοστό των δανείων που αποπληρώθηκε κανονικά; ii) Ποια η πιθανότητα πελάτες με πιστοληπτικό προφίλ μικρότερο του 400 να αποπλήρωσαν κανονικά το δάνειό τους; iii) Ποια η πιθανότητα πελάτες με πιστοληπτικό προφίλ 400 και άνω να αποπλήρωσαν κανονικά το δάνειό τους; iv) Ποια η πιθανότητα ένας πελάτης που δεν αποπλήρωσε το δάνειό του να έχει πιστοληπτικό προφίλ 400 και άνω; Α : Το δάνειο αποπληρώθηκε κανονικά Α : Το δάνειο δεν αποπληρώθηκε Β : Πιστοληπτικό προφίλ <400 Β : Πιστοληπτικό προφίλ 400+ i) Οι πελάτες που αποπλήρωσαν κανονικά το δάνειό τους (ανεξάρτητα από το πιστοληπτικό τους προφίλ) είναι 9+64=8. Οπότε, το αντίστοιχο ποσοστό είναι 8%. ) ii) Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα P ( ) ) 9 ) 0, 9 είναι η συνδυασμένη πιθανότητα των δύο ενδεχομένων, 00 9 σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα και P ( ) 0, είναι η ολική 00 00 πιθανότητα του ενδεχομένου Β η οποία ισούται με το άθροισμα των συνδυασμένων πιθανοτήτων της ης στήλης του πίνακα. Άρα : ) 0,9 P ( ) 0,5975 59,75 % ) 0, ) iii) Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα P ( ) ) 64 ) 0, 64 είναι η συνδυασμένη πιθανότητα των δύο ενδεχομένων, 00 64 4 σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα και P ( ) 0, 68 είναι η ολική 00 00 πιθανότητα του ενδεχομένου Β η οποία ισούται με το άθροισμα των συνδυασμένων πιθανοτήτων της ης στήλης του πίνακα. Άρα : ) 0,64 P ( ) 0,94 94, % ) 0,68 ) iv) Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα P ( ) ) 8

4 ) 0, 04 είναι η συνδυασμένη πιθανότητα των δύο ενδεχομένων, 00 4 σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα και P ( ) 0, 7 είναι η ολική 00 00 πιθανότητα του ενδεχομένου A η οποία ισούται με το άθροισμα των συνδυασμένων πιθανοτήτων της ης γραμμής του πίνακα. Άρα : ) 0,04 P ( ) 0,5,5 % ) 0,7 7. Ο τρόπος διδασκαλίας της Στατιστικής στα Πανεπιστήμια αλλάζει. Ιστορικά δινόταν έμφαση στους χειρόγραφους υπολογισμούς, αλλά βαθμιαία οι αριθμητικοί υπολογισμοί τείνουν να εκτελούνται από υπολογιστή και κατάλληλο λογισμικό. Μια έρευνα κατέγραψε αν χρησιμοποιείται υπολογιστής και αν οι κύριες σπουδές του εισηγητή είναι στα Μαθηματικά και τη Στατιστική ή σε κάποιον άλλο κλάδο. Τα αποτελέσματα της έρευνας φαίνονται στον παρακάτω πίνακα συνδυασμένων πιθανοτήτων. Μέθοδος υπολογισμών Σπουδές Εισηγητή Χειρόγραφα Υπολογιστής Μαθηματικά/Στατιστική 0, 0,6 Άλλο 0, 0,0 α) Ποια είναι η πιθανότητα ένας εισηγητής να χρησιμοποιεί υπολογιστή; β) Ποια είναι η πιθανότητα ένας εισηγητής με σπουδές στα Μαθηματικά/Στατιστική να προτιμά χειρόγραφους υπολογισμούς; Α : Σπουδές σε Μαθηματικά/Στατιστική Α : Σπουδές σε άλλο αντικείμενο Β : Χειρόγραφοι υπολογισμοί Β : Υπολογισμοί με υπολογιστή α) Ζητάμε την ολική πιθανότητα του ενδεχομένου Β : P ( ) 0,6 0,0 0,66 66% β) Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα ) 0, P ( ) 0,898 9% ) 0, 0,6 9