Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7. Ηλεκτρικά κυκλώματα...7.3 Φορά αναφοράς ρεύματος...9.3. Συμβατική φορά ρεύματος...9.3. Πραγματική φορά ρεύματος....4 Φορά αναφοράς τάσης....5 Ιδανικά στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων....6 Αντίσταση....6. Παράδειγμα...3.7 Πυκνωτής...3.7. Παράδειγμα...5.8 Πηνίο...6.8. Παράδειγμα.3...7
8 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ.9 Ανεξάρτητες πηγές...8.9. Ανεξάρτητη πηγή τάσης...8.9. Ανεξάρτητη πηγή ρεύματος...9. Εξαρτημένες πηγές...3. Διακόπτης...3 Προβλήματα...3 Κεφάλαιο : Θεωρήματα ηλεκτρικών κυκλωμάτων...35. Νόμοι Kirchhoff...35.. Νόμος ρευμάτων Kirchhoff...35.. Νόμος τάσεων Kirchhoff...36..3 Παράδειγμα...36. Διαιρέτης τάσης και ρεύματος...39.. Διαιρέτης τάσης...39... Παράδειγμα... 4... Παράδειγμα.3... 4.. Διαιρέτης ρεύματος...43... Παράδειγμα.4... 44... Παράδειγμα.5... 45.3 Σύνδεση αντιστάσεων σε σειρά και παράλληλα...45.3. Σύνδεση αντιστάσεων σε σειρά...45.3. Σύνδεση αντιστάσεων παράλληλα...47.3.3 Παράδειγμα.6...49.4 Αρχή της επαλληλίας...54.4. Παράδειγμα.7...54.4. Παράδειγμα.8...58.4.3 Παράδειγμα.9...6.5 Σύνδεση πηνίων σε σειρά και παράλληλα...63.5. Σύνδεση πηνίων σε σειρά...63.5. Σύνδεση πηνίων παράλληλα...64.5.3 Παράδειγμα...65.6 Σύνδεση πυκνωτών σε σειρά και παράλληλα...67.6. Σύνδεση πυκνωτών σε σειρά...67.6. Σύνδεση πυκνωτών παράλληλα...68.6.3 Παράδειγμα...69.7 Θεώρημα Kennely για αντιστάσεις...7.7. Παράδειγμα...73.8 Μετασχηματισμός πηγών...76.8. Σύνδεση πηγών τάσης σε σειρά...76.8. Σύνδεση πηγών τάσης παράλληλα...78
Περιεχόμενα 9.8.3 Σύνδεση πηγών ρεύματος παράλληλα...78.8.4 Σύνδεση πηγών ρεύματος σε σειρά...8.8.5 Σύνδεση πηγής τάσης παράλληλα με αντίσταση...8.8.6 Σύνδεση πηγής τάσης παράλληλα με πηγή ρεύματος...8.8.7 Σύνδεση πηγής ρεύματος σε σειρά με αντίσταση...8.8.8 Σύνδεση πηγής ρεύματος σε σειρά με πηγή τάσης...8.8.9 Σύνδεση πηγής τάσης σε σειρά με αντίσταση ή πηνίο ή πυκνωτή...8.8. Σύνδεση πηγής ρεύματος παράλληλα με αντίσταση ή πηνίο ή πυκνωτή...84.8. Παράδειγμα.3...86.8. Παράδειγμα.4...9.8.3 Παράδειγμα.5...96.9 Θεώρημα Thévenin...99.9. Μέγιστη μεταφερόμενη ισχύς...99.9. Ισοδύναμο Thévenin για κυκλώματα που περιέχουν μόνο ανεξάρτητες πηγές....9.. Παράδειγμα.6....9.. Παράδειγμα.7... 4.9.3 Ισοδύναμο Thévenin για κυκλώματα που περιέχουν μόνο εξαρτημένες πηγές...7.9.3. Παράδειγμα.8... 8.9.4 Ισοδύναμο Thévenin για κυκλώματα που περιέχουν ανεξάρτητες και εξαρτημένες πηγές....9.4. Παράδειγμα.9.... Θεώρημα Norton...6.. Παράδειγμα...7. Θεώρημα Millman..... Παράδειγμα.... Συμμετρικά κυκλώματα...3.. Παράδειγμα...3.. Παράδειγμα.3...6..3 Παράδειγμα.4...8.3 Μέθοδος κόμβων...3.3. Παράδειγμα.5...3.3. Παράδειγμα.6...34.3.3 Παράδειγμα.7...37.4 Μέθοδος βρόχων...38.4. Παράδειγμα.8...39
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ.4. Παράδειγμα.9...4.4.3 Παράδειγμα.3...43 Προβλήματα...45 Κεφάλαιο 3: Στοιχειώδη μεταβατικά φαινόμενα...55 3. Εισαγωγή...55 3. Ανάλυση μεταβατικών φαινομένων σε κυκλώματα πρώτης τάξης...55 3.. Διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης...55 3.. Μεθοδολογία...56 3..3 Παράδειγμα 3...57 3..4 Παράδειγμα 3...6 3.3 Ανάλυση μεταβατικών φαινομένων σε κυκλώματα δεύτερης τάξης...65 3.3. Διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης...65 3.3. Μεθοδολογία...67 3.3.3 Παράδειγμα 3.3...67 3.3.4 Παράδειγμα 3.4...7 3.3.5 Παράδειγμα 3.5...75 Προβλήματα...79 Κεφάλαιο 4: Εναλλασσόμενο ρεύμα...83 4. Eισαγωγή...83 4. Αναπαράσταση ημιτονοειδών συναρτήσεων με μιγαδικούς αριθμούς...86 4.. Παράδειγμα 4...88 4.. Παράδειγμα 4...88 4.3 Σχέσεις τάσης-ρεύματος στοιχείων ηλεκτρικών κυκλωμάτων στην ημιτονοειδή μόνιμη κατάσταση...89 4.3. Αντίσταση...89 4.3. Πηνίο...9 4.3.3 Πυκνωτής...9 4.3.4 Σύνοψη αποτελεσμάτων...93 4.3.5 Παράδειγμα 4.3...94 4.3.6 Παράδειγμα 4.4...95 4.3.7 Παράδειγμα 4.5...95 4.4 Σύνθετη αντίσταση και σύνθετη αγωγιμότητα...96 4.4. Σύνδεση σύνθετων αντιστάσεων σε σειρά...97 4.4. Σύνδεση σύνθετων αντιστάσεων παράλληλα...98 4.4.3 Παράδειγμα 4.6...99 4.5 Νόμοι Kirchhoff... 4.5. Νόμος ρευμάτων Kirchhoff... 4.5. Νόμος τάσεων Kirchhoff...
Περιεχόμενα 4.5.3 Παράδειγμα 4.7... 4.6 Διαιρέτης τάσης και ρεύματος...5 4.6. Διαιρέτης τάσης...5 4.6. Διαιρέτης ρεύματος...6 4.7 Θεώρημα Kennely...7 4.8 Μέθοδος κόμβων...8 4.8. Περιγραφή...8 4.8. Μαθηματική θεμελίωση...9 4.8.3 Παράδειγμα 4.8... 4.9 Μέθοδος βρόχων...3 4.9. Περιγραφή...3 4.9. Μαθηματική θεμελίωση...3 4.9.3 Παράδειγμα 4.9...4 4. Θεώρημα Thevenin...6 4.. Παράδειγμα 4...7 4. Θεώρημα Norton... 4. Ισχύς... 4.3 Ισοζύγιο ισχύος...4 4.3. Παράδειγμα 4...4 4.4 Συντελεστής ισχύος...7 4.4. Συντελεστής ισχύος και σύνθετη αντίσταση φορτίου...9 4.4. Συντελεστής ισχύος και φαινόμενη ισχύς φορτίου...3 4.5 Διόρθωση συντελεστή ισχύος...3 4.5. Σημασία συντελεστή ισχύος...3 4.5. Διόρθωση συντελεστή ισχύος...3 4.5.3 Παράδειγμα 4...34 4.5.4 Παράδειγμα 4.3...35 4.6 Ροή ισχύος...36 4.6. Παράδειγμα 4.4...38 Προβλήματα...4 Κεφάλαιο 5: Τριφασικά κυκλώματα...49 5. Εισαγωγή...49 5. Τριφασική γεννήτρια...5 5.. Τριφασική γεννήτρια σε διάταξη αστέρα...5 5.. Τριφασική γεννήτρια σε διάταξη τριγώνου...5 5.3 Τριφασικό φορτίο...5 5.3. Τριφασικό φορτίο σε διάταξη αστέρα...53 5.3. Τριφασικό φορτίο σε διάταξη τριγώνου...53 5.4 Συνδεσμολογίες γεννητριών και φορτίων...54
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 5.5 Συνδεσμολογία αστέρα-αστέρα...55 5.5. Παράδειγμα 5...57 5.6 Συνδεσμολογία τριγώνου-τριγώνου...59 5.7 Συνδεσμολογία αστέρα-τριγώνου...6 5.7. Παράδειγμα 5...63 5.8 Συνδεσμολογία τριγώνου-αστέρα...64 5.8. Παράδειγμα 5.3...66 5.9 Τάσεις και ρεύματα τριφασικού φορτίου...69 5. Ισχύς στα τριφασικά κυκλώματα...69 5.. Σύνδεση του φορτίου σε αστέρα...7 5.. Σύνδεση του φορτίου σε τρίγωνο...7 5..3 Ισχύς και σύνθετη αντίσταση...73 5..4 Παράδειγμα 5.4...74 5..5 Παράδειγμα 5.5...76 5..6 Παράδειγμα 5.6...79 5. Διόρθωση συντελεστή ισχύος...8 5.. Παράδειγμα 5.7...8 Προβλήματα...85 Παράρτημα Α: Μιγαδικοί αριθμοί...93 Α. Εναλλακτικές μορφές γραφής μιγαδικού αριθμού...93 Α. Μετατροπές μιγαδικών αριθμών με υπολογιστή τσέπης...95 Α.3 Πράξεις μιγαδικών αριθμών...98 Α.3. Παράδειγμα Α...99 Βιβλιογραφία...3
4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 4.3 Ισοζύγιο ισχύος Σε κάθε κύκλωμα εναλλασσόμενου ρεύματος, εξαιτίας της αρχής διατήρησης της ε- νέργειας, η συνολική παρεχόμενη φαινόμενη ισχύς G από όλες τις πηγές που παρέχουν φαινόμενη ισχύ στο κύκλωμα, είναι ίση με τη συνολική καταναλισκόμενη φαινόμενη ισχύ C όλων των στοιχείων που καταναλώνουν φαινόμενη ισχύ στο κύκλωμα, δηλαδή: G = C (4.3) Σε ένα κύκλωμα εναλλασσσόμενου ρεύματος, φαινόμενη ισχύ καταναλώνουν τα φορτία του. Επίσης φαινόμενη ισχύ μπορούν να καταναλώνουν και κάποιες από τις πηγές. Για παράδειγμα, μία πηγή τάσης καταναλώνει φαινόμενη ισχύ όταν η φορά του ρεύματος (στον κλάδο που είναι η πηγή τάσης) διέρχεται από το θετικό προς τον αρνητικό πόλο της πηγής τάσης. 4.3. Παράδειγμα 4. Να γίνει το ισοζύγιο ισχύος για το κύκλωμα του Σχήματος 4.5, στο οποίο δίνονται οι μέγιστες τιμές των πηγών τάσης. I Z = Ω I 3 Z = j Ω E = 4 V J I J Z 3 = 4 Ω E = V Σχήμα 4.5: Κύκλωμα παραδείγματος 4.. Λύση Ορίζουμε τα ρεύματα των βρόχων J και J, όπως φαίνονται στο Σχήμα 4.5.
Κεφάλαιο 4: Εναλλασσόμενο ρεύμα 5 Σχηματίζουμε τη μήτρα σύνθετων αντιστάσεων βρόχων και το διάνυσμα πηγών τάσεων με εποπτεία του κυκλώματος του Σχήματος 4.5 και εφαρμόζοντας τους κανόνες της ενότητας 4.9. για τους πίνακες αυτούς. Έτσι έχουμε: Z Z J V Z J = V = Z Z J V Z + Z Z Z Z + Z 3 J J = E E E + j j j J 4 + j J = 4 J + j j J = = J j 4 + j J Από το κύκλωμα του Σχήματος 4.5 προκύπτει ότι: I = J I = 4.77.3 I = J J I =.664 56.3 4.77.3 A 3.7 7. A I 3 = J I3 = 3.7 7. A Επειδή στο κύκλωμα του Σχήματος 4.5 είναι γνωστές οι μέγιστες τιμές των πηγών τάσης E και E, όλα τα μεγέθη (τάσεις και ρεύματα) του κυκλώματος που υπολογίστηκαν αφορούν τις μέγιστες τιμές των μεγεθών αυτών, οπότε για τον υπολογισμό της φαινόμενης ισχύος των στοιχείων του κυκλώματος θα χρησιμοποιηθεί η σχέση (4.89): = που χρησιμοποιεί μέγιστες τιμές τάσης και ρεύματος και όχι η σχέση (4.8): V m I = V rms I rms που χρησιμοποιεί ενεργές τιμές τάσης και ρεύματος. α) Υπολογισμός της φαινόμενης ισχύος της πηγής τάσης E Η πηγή τάσης E παρέχει ισχύ στο κύκλωμα επειδή το ρεύμα I διέρχεται από τον αρνητικό προς το θετικό πόλο της πηγής τάσης E. Η φαινόμενη ισχύς της πηγής τάσης E είναι: * * m A A
6 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ E E * = E I = (4 ) (4.77.3 ) = 56.48.3 VA E * = 55.39 W + j.8 VAR β) Υπολογισμός της φαινόμενης ισχύος της πηγής τάσης E Η πηγή τάσης E καταναλώνει ισχύ επειδή το ρεύμα I διέρχεται από το θετικό προς τον αρνητικό πόλο της πηγής τάσης E. Η φαινόμενη ισχύς της πηγής τάσης E είναι: E E = * * E I = ( ) (.664 56.3 ) = 9.985 56.3 VA E = 5.54 W + j8.3 VAR γ) Υπολογισμός της φαινόμενης ισχύος της σύνθετης αντίστασης Z Η σύνθετη αντίσταση Z καταναλώνει φαινόμενη ισχύ: Z * * * I Z) I I) Z Z = V = ( I Z = ( I =.6 VA Z = I = 4.77 =.6 W + j VAR δ) Υπολογισμός της φαινόμενης ισχύος της σύνθετης αντίστασης Z Η σύνθετη αντίσταση Z καταναλώνει φαινόμενη ισχύ: = I =.664 Z Z (j) Z =.77 9 VA Z = W + j.77 VAR ε) Υπολογισμός της φαινόμενης ισχύος της σύνθετης αντίστασης Z 3 Η σύνθετη αντίσταση Z 3 καταναλώνει φαινόμενη ισχύ: = I = 3.7 Z 3 Z3 (4) 3 Z 3 = 7.69 VA Z 3 = 7.69 W + j VAR ()
Κεφάλαιο 4: Εναλλασσόμενο ρεύμα 7 στ) Ισοζύγιο ισχύος Στον Πίνακα 4.3 φαίνεται το ισοζύγιο ισχύος. Όπως προκύπτει από την τελευταία γραμμή του Πίνακα 4.3, ικανοποιείται η σχέση (4.3), G = C, του ισοζυγίου ισχύος. Πίνακας 4.3: Ισοζύγιο ισχύος. Στοιχείο Παραγωγή φαινόμενης ισχύος Κατανάλωση φαινόμενης ισχύος E E Z Z Z 3 Σύνολο E = 55.39 W + j.8 VAR E Z Z Z 3 = 5.54 W + =.6 W + = W + = 7.69 W + j8.3 VAR j VAR j.77 VAR j VAR = 55.39 W j.8 VAR = 55.39 W j.8 VAR G + C + 4.4 Συντελεστής ισχύος Ο λόγος της πραγματικής ισχύος P προς το μέτρο της φαινόμενης ισχύος ονομάζεται συντελεστής ισχύος cos φ. Από τον ορισμό αυτό του συντελεστή ισχύος και με τη βοήθεια των σχέσων (4.99) και (4.85) έχουμε: P Vrms Irms cos( θv θi ) cos φ = = V I rms rms cosφ = cos( θ θ ) (4.4) Στη σχέση (4.4), ο συντελεστής ισχύος απόκλισης μεταξύ τάσης και ρεύματος. Στο Σχήμα 4.6 δίνεται ο γραφικός υπολογισμός του συντελεστή ισχύος ποίος βασίζεται στη σχέση (4.4). v i cos φ υπολογίζεται συναρτήσει της φασικής cos φ, ο ο-
8 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ φανταστικός άξονας V rms cos φ = cos( θ v θ ) i θ v I rms θ i πραγματικός άξονας Σχήμα 4.6: Γραφικός υπολογισμός του συντελεστή ισχύος cos φ με βάση τη σχέση (4.4). Εναλλακτικά, από τον ορισμό του συντελεστή ισχύος και με τη βοήθεια της σχέσης (4.97) έχουμε: P P cosφ = cosφ = (4.5) P + Q Στη σχέση (4.5), ο συντελεστής ισχύος cos φ υπολογίζεται συναρτήσει της ενεργού ισχύος P και της αέργου ισχύος Q. Στο Σχήμα 4.7 δίνεται ο γραφικός υπολογισμός του συντελεστή ισχύος cos φ, ο οποίος βασίζεται στη σχέση (4.5). φανταστικός άξονας Q φ P P cos φ = πραγματικός άξονας Σχήμα 4.7: Γραφικός υπολογισμός του συντελεστή ισχύος cos φ με βάση τη σχέση (4.5).
Κεφάλαιο 4: Εναλλασσόμενο ρεύμα 9 4.4. Συντελεστής ισχύος και σύνθετη αντίσταση φορτίου Από τη σχέση (4.4) βλέπουμε ότι ο συντελεστής ισχύος είναι ίσος με το συνημίτονο της διαφοράς φάσης μεταξύ τάσης και έντασης. Ο συντελεστής ισχύος παίρνει τιμές από μηδέν έως ένα. Ο συντελεστής ισχύος παίρνει τιμή ένα, όταν το φορτίο είναι καθαρά ωμικό. Έτσι, για παράδειγμα το καθαρά ωμικό φορτίο Z = Ω = Ω, έχει φ Z =, οπότε cosφ Z = cos =. Ο συντελεστής ισχύος παίρνει τιμή μηδέν, όταν το φορτίο είναι καθαρά επαγωγικό ή καθαρά χωρητικό. Έτσι, για παράδειγμα το καθαρά επαγωγικό φορτίο Z = j4 Ω = 4 9 Ω, έχει φ = 9 Z, οπότε cosφ = cos9 = Z. Επίσης, για παράδειγμα το καθαρά χωρητικό φορτίο Z = j7 Ω = 7 9 Ω, έχει φ Z = 9, οπότε cosφ Z = cos( 9 ) =. Ο συντελεστής ισχύος παίρνει τιμές μεταξύ μηδέν και ένα (εξαιρουμένων των τιμών μηδέν και ένα), όταν το φορτίο είναι επαγωγικό ή χωρητικό (όχι καθαρά επαγωγικό και όχι καθαρά χωρητικό). Έτσι, για παράδειγμα το επαγωγικό φορτίο Z = ( + j) Ω=.4 6.57 Ω, έχει φ Z =6.57, οπότε στην περίπτωση αυτή cosφ Z = cos 6.57 =.894 επαγωγικό. Επίσης, για παράδειγμα το χωρητικό φορτίο Z = ( j) Ω =.4 45 Ω, έχει φ Z = 45, οπότε στην περίπτωση αυτή cosφ Z = cos( 45 ) =.77 χωρητικό. Στον Πίνακα 4.4 συνοψίζονται τα αποτελέσματα από τα παραπάνω παραδείγματα του συντελεστή ισχύος. Πίνακας 4.4: Χαρακτηρισμός συντελεστή ισχύος (ΣΙ) ανάλογα με τη σύνθετη αντίσταση του φορτίου. Φορτίο Z Z = Ω = Ω Z = j4 Ω = 4 9 Ω Z = j7 Ω = 7 9 Ω Z = ( + j) Ω=.4 6.57 Ω Z = ( j) Ω =.4 45 Ω φ Z cosφ Z Χαρακτηρισμός ΣΙ. ΣΙ = καθαρά ωμικός 9. ΣΙ = καθαρά επαγωγικός 9. ΣΙ = καθαρά χωρητικός 6.57.894 ΣΙ =. 894 επαγωγικός 45.77 ΣΙ =. 77 χωρητικός
3 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ο συντελεστής ισχύος ενός φορτίου φωτισμού, το οποίο αποτελείται από λαμπτήρες, είναι πρακτικά ίσος με ένα, καθώς η αυτεπαγωγή είναι αμελητέα σε σχέση με την ω- μική αντίσταση. Αντίθετα, σε ένα εργοστάσιο, το φορτίο αποτελείται κυρίως από κινητήρες επαγωγής, οπότε ο συντελεστής ισχύος σπάνια ξεπερνά το.85 και μπορεί να πέσει μέχρι και το.4, αν οι κινητήρες φορτίζονται σε μικρό ποσοστό της ονομαστικής τους ισχύος. 4.4. Συντελεστής ισχύος και φαινόμενη ισχύς φορτίου = Ο χαρακτηρισμός του συντελεστή ισχύος ανάλογα με τη φαινόμενη ισχύ του φορτίου συμβαδίζει με το χαρακτηρισμό του συντελεστή ισχύος ανάλογα με τη σύνθετη αντίσταση του φορτίου. Ο συντελεστής ισχύος παίρνει τιμή ένα, όταν το φορτίο είναι καθαρά ωμικό. Έτσι, για παράδειγμα το καθαρά ωμικό φορτίο με φαινόμενη ισχύ = kw + j kvar, έχει ενεργό ισχύ P > και άεργο ισχύ Q =, οπότε από τη σχέση (4.5) προκύπτει ότι cosφ = P / P + Q. Ο συντελεστής ισχύος παίρνει τιμή μηδέν, όταν το φορτίο είναι καθαρά επαγωγικό ή καθαρά χωρητικό. Έτσι, για παράδειγμα το καθαρά επαγωγικό φορτίο με φαινόμενη ισχύ = kw j kvar, έχει ενεργό ισχύ P = και άεργο ισχύ Q >, οπότε + από τη σχέση (4.5) προκύπτει ότι cosφ = P / P + Q =. Επίσης, για παράδειγμα το καθαρά χωρητικό φορτίο με φαινόμενη ισχύ = kw j kvar, έχει ενεργό ισχύ P = και άεργο ισχύ Q <, οπότε από τη σχέση (4.5) προκύπτει ότι = cosφ = P / P + Q. Ο συντελεστής ισχύος παίρνει τιμές μεταξύ μηδέν και ένα (εξαιρουμένων των τιμών μηδέν και ένα), όταν το φορτίο είναι επαγωγικό ή χωρητικό (όχι καθαρά επαγωγικό και όχι καθαρά χωρητικό). Έτσι, για παράδειγμα το επαγωγικό φορτίο με φαινόμενη ισχύ = 8 kw j6 kvar, έχει ενεργό ισχύ P > και άεργο ισχύ Q >, οπότε + από τη σχέση (4.5) προκύπτει ότι cosφ = P / P + Q = 8/ 8 + 6 =. 8 επαγωγικό. Επίσης, για παράδειγμα το χωρητικό φορτίο με φαινόμενη ισχύ = 8 kw j6 kvar, έχει ενεργό ισχύ P > και άεργο ισχύ Q <, οπότε από τη = σχέση (4.5) προκύπτει ότι cosφ = P / P + Q = 8/ 8 + 6. 8 χωρητικό. Στον Πίνακα 4.5 συνοψίζονται τα αποτελέσματα από τα παραπάνω παραδείγματα του συντελεστή ισχύος.
Κεφάλαιο 4: Εναλλασσόμενο ρεύμα 3 Πίνακας 4.5: Χαρακτηρισμός συντελεστή ισχύος ανάλογα με τη φαινόμενη ισχύ του φορτίου. Φαινόμενη ισχύς Χαρακτηρισμός cos φ = kw j kvar cos φ = καθαρά ωμικός + = kw j kvar cos φ = καθαρά επαγωγικός + = kw j kvar cos φ = καθαρά χωρητικός = 8 kw j6 kvar cos φ =. 8 επαγωγικός + = 8 kw j6 kvar cos φ =. 8 χωρητικός 4.5 Διόρθωση συντελεστή ισχύος 4.5. Σημασία συντελεστή ισχύος Έστω ότι η ενεργός ισχύς για την εκτέλεση ορισμένου έργου είναι P (σε kw ). Για την επίτευξη του επιδιωκόμενου σκοπού μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο τριφασικοί κινητήρες της ίδιας ονομαστικής τάσης, όπου ο πρώτος κινητήρας λειτουργεί στο υπόψιν φορτίο με συντελεστή ισχύος cosφ =. 9, ενώ ο δεύτερος λειτουργεί με cosφ =.45, δηλαδή ο δεύτερος κινητήρας λειτουργεί στο μισό συντελεστή ισχύος. Στην περίπτωση αυτή, το ρεύμα στη γραμμή τροφοδοσίας του δεύτερου κινητήρα (με συντελεστή ισχύος.45) είναι διπλάσιο από το ρεύμα στη γραμμή τροφοδοσίας του πρώτου κινητήρα (με ίδια ενεργό ισχύ και τάση με το δεύτερο κινητήρα, αλλά με συντελεστή ισχύος το διπλάσιο, δηλαδή.9). Αυτό έχει σαν συνέπεια τα ακόλουθα μειονεκτήματα της δεύτερης λύσης (κινητήρας με συντελεστή ισχύος.45), σε σχέση με την πρώτη λύση (κινητήρας με συντελεστή ισχύος.9): Οι απώλειες R I κατά μήκος της γραμμής τροφοδοσίας του δεύτερου κινητήρα είναι τετραπλάσιες, λόγω του διπλάσιου ρεύματος Η πτώση τάσης στη γραμμή του δεύτερου κινητήρα θα είναι μεγαλύτερη Λόγω κυκλοφορίας μεγαλύτερου ρεύματος στη γραμμή του δεύτερου κινητήρα, απαιτείται μεγαλύτερη διατομή του αγωγού τροφοδοσίας Στο δεύτερο κινητήρα, για την παροχή του μεγαλύτερου ρεύματος, απαιτείται μεγαλύτερη γεννήτρια. Βλέπουμε λοιπόν τη σημασία την οποία έχει ο συντελεστής ισχύος και γίνεται αντιληπτός ο λόγος για τον οποίο οι εταιρίες ηλεκτρικής ενέργειας (πχ η ΔΕΗ) επιβαρύνουν συμπληρωματικά τους καταναλωτές που παρουσιάζουν χαμηλό συντελεστή ισχύος.
3 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Για να αποφύγουν οι βιομηχανικοί καταναλωτές την πληρωμή προστίμου, λόγω χαμηλού συντελεστή ισχύος, θα πρέπει να αυξήσουν (να διορθώσουν) το συντελεστή ισχύος. 4.5. Διόρθωση συντελεστή ισχύος Ο βιομηχανικός καταναλωτής του Σχήματος 4.8(α) έχει επαγωγικό φορτίο Z = R + jx με συντελεστή ισχύος cosφ old και ενεργό ισχύ P. Η γραμμή τροφοδοσίας του βιομηχανικού καταναλωτή έχει τάση ενεργού τιμής V rms και συχνότητας f. Έστω ότι είναι επιθυμητή η διόρθωση του συντελεστή ισχύος του βιομηχανικού καταναλωτή από cosφ old σε cosφ new. Η διόρθωση του συντελεστή ισχύος γίνεται με σύνδεση πυκνωτή παράλληλα με το επαγωγικό φορτίο του βιομηχανικού καταναλωτή, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.8(β). I I Γ I + R + I C R V = V rms V V = V rms V C X X - - α β Σχήμα 4.8: (α) βιομηχανικός καταναλωτής (β) χρήση πυκνωτή για τη διόρθωση του συντελεστή ισχύος του βιομηχανικού καταναλωτή. Επειδή το φορτίο του βιομηχανικού καταναλωτή είναι επαγωγικό, η τάση V προπορεύεται του ρεύματος I κατά γωνία φ old, επειδή ο συντελεστής ισχύος είναι cosφ old. Στον πυκνωτή, το ρεύμα I C προπορεύεται της τάσης V κατά 9. Η ένταση του ρεύματος γραμμής I Γ, η οποία είναι το διανυσματικό άθροισμα των εντάσεων I και I C, καθυστερεί της τάσης V κατά γωνία φ new, μικρότερη από τη γωνία φ old. Έτσι έχουμε διόρθωση (αύξηση) του συντελεστή ισχύος, αφού cosφ > cosφ, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 4.9. new old
Κεφάλαιο 4: Εναλλασσόμενο ρεύμα 33 I C V φ new φ old I Γ I C I Σχήμα 4.9: Διανυσματικό διάγραμμα ρευμάτων Σχήματος 4.8(β). Από το Σχήμα (4.9) προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: και I I cosφ = I cosφ Γ new old (4.6) sin φ + I = I sin φ Γ new C old (4.7) Το επαγωγικό φορτίο του βιομηχανικού καταναλωτή απορροφά ενεργό ισχύ P με συντελεστή ισχύος cos φ old από γραμμή τροφοδοσίας τάσης με ενεργό τιμή V rms, άρα από τη σχέση (4.99), η ενεργός τιμή του ρεύματος I είναι: Αντικαθιστώντας την (4.8) στην (4.6) έχουμε: I Γ cosφ new P I = V rms cosφ (4.8) = V rms P cosφ old old new cosφ old P IΓ = (4.9) V rms cosφ Από τη σχέση (4.45), η ενεργός τιμή του ρεύματος I C του πυκνωτή είναι: I C V rms = π f C (4.) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (4.8) έως (4.) στη σχέση (4.7) έχουμε: V rms P cosφ new sin φ new + π f C V rms = V rms P cosφ old sin φ old