4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f το σύνολο των σημείων (, f()) του επιπέδου. Η συνάρτηση = α με α > 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = α με α > 0 είναι μια καμπύλη γραμμή που λέγεται παραβολή. Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης = Το σημείο Ο (0, 0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής =. Η παραβολή βρίσκεται από τον άξονα και πάνω, που σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του ισχύει 0. 0 - Η συνάρτηση = παίρνει ελάχιστη τιμή = 0, όταν = 0. Η παραβολή = έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα. f ( ) = 5 0 Η συνάρτηση = α με α < 0. Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης = Το σημείο Ο (0, 0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής = -. Η παραβολή βρίσκεται από - τον άξονα και κάτω, που σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του ισχύει g ( ) = - - 0. Η συνάρτηση = - παίρνει - μέγιστη τιμή = 0, όταν = 0. Η παραβολή = - έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα. -5 5 0

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ποια από τα σημεία ανήκουν στην παραβολή = ; α) Α (-, ) β) Β (, ) γ) Γ, δ) Δ (-, ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Θα αναζητήσουμε το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν την συνάρτηση. α) Για το σημείο Α (-, ) έχουμε : ( ) = = Άρα το σημείο Α (-, ) δεν ανήκει στην παραβολή = β) Για το σημείο Β (, ) έχουμε : = = Άρα το σημείο Β(, ) ανήκει στην παραβολή = γ) Για το σημείο Γ, έχουμε : = = =.Άρα το σημείο Γ, ανήκει στην παραβολή = δ) Για το σημείο Δ (-, ) έχουμε : ( ) = = Άρα το σημείο Δ (-, ) δεν ανήκει στην παραβολή =. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις παίρνουν μέγιστη και ποιες ελάχιστη τιμή ; α) = β) = γ) = ( ) δ) = ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γνωρίζουμε ότι η παραβολή = α παίρνει μέγιστη τιμή εάν α > 0 και ελάχιστη τιμή εάν α < 0 α) Η παραβολή = για την οποία α = <0 παίρνει μέγιστη τιμή. β) Η παραβολή = για την οποία α = >0 παίρνει ελάχιστη τιμή. γ) Η παραβολή = ( ) = για την οποία α = >0 παίρνει ελάχιστη τιμή. δ) Η παραβολή = ( ) = για την οποία α = >0 παίρνει μέγιστη τιμή.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Η παραβολή = έχει κορυφή το σημείο Ο (0, 0). β) Ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής =. γ) Οι παραβολές = και = είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα. δ) H συνάρτηση = παίρνει ελάχιστη τιμή την = 0. ε) H συνάρτηση = παίρνει μέγιστη τιμή την = 0.

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 7 στ) Αν η παραβολή = α διέρχεται από το σημείο Μ (, ), τότε θα διέρχεται και από το σημείο Λ (, ). ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι σωστό (Σ),γιατί μια παραβολή της μορφής =α με α>0 έχει κορυφή το σημείο Ο(0,0). β) Είναι Λάθος (Λ),γιατί μια παραβολή της μορφής =α με α>0 έχει ά- ξονα συμμετρίας τον. γ) Είναι Λάθος (Λ),γιατί οι παραβολές = και = είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα. δ) Είναι σωστό (Σ),γιατί η συνάρτηση = παίρνει ελάχιστη τιμή την = 0 για =0. ε) Είναι σωστό (Σ),γιατί η συνάρτηση = παίρνει μέγιστη τιμή την = 0 για =0. στ) Είναι σωστό (Σ),γιατί η συνάρτηση = α έχει άξονα συμμετρίας τον και τα σημεία Μ (, ) και Λ (, ) είναι συμμετρικά ως προς τον.. Στο διπλανό σύστημα αξόνων έχουμε σχεδιάσει ένα τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης =. α) Να ολοκληρώσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. β) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης =. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης =. συμπληρώνεται βρίσκοντας τα συμμετρικά των σημείων του τμήματος που έχει γίνει ως προς τον άξονα. β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης - - - - -0-5 5 0 5 - f ( ) = ()

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 =. είναι συμμετρική προς την γραφική παράσταση της συνάρτησης =. ως προς τον άξονα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. - - g ( ) = () -5 5 0 - f ( ) = () - - 5. Αν η παραβολή = α διέρχεται από το σημείο Μ (, ), τότε α) α = β) α = γ) α = δ) α =. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Επειδή οι συντεταγμένες του σημείου Μ επαληθεύουν την παραβολή = α τότε: = α ή = α ή α = ή α =, Δηλαδή το γ.. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παραβολή της πρώτης γραμμής την εξίσωσή της από τη δεύτερη γραμμή.. =. =. =. = α β γ δ ΑΠΑΝΤΗΣΗ α β γ δ

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 9 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να σχεδιάσετε τις παραβολές. α) = β) = γ) = δ) =. α) Κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης δίνοντας τιμές στο και βρίσκοντας το όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Για παράδειγμα για =- είναι =(-) =.=.Κατόπιν στο ορθογώνιο σύστημα - B f ( ) = ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ Χ - - 0 Υ 0-5 5 0 5 συντεταγμένων τοποθετούμε τα σημεία του πίνακα τιμών και ενώνοντας τα σημεία αυτά βρίσκουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης. β) Κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης δίνοντας τιμές στο και βρίσκοντας το όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Για παράδειγμα για =- είναι =-(-) =-.=- - ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ( ) = - Χ - - 0 - g - - -5 5 0 5 Υ - - 0 - -.Κατόπιν στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τοποθετούμε τα σημεία του πίνακα τιμών και ενώνοντας τα σημεία αυτά βρίσκουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης. γ) Ομοίως και για την συνάρτηση =. -0-5 5 0 h ( ) = - ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ () Χ - 0 - - - Υ - 0 - -

0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 δ) Ομοίως και για την συνάρτηση =. f ( ) = () ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ Χ - 0 Υ 0-0 -5 5 0 ΑΣΚΗΣΗ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις παραβολές α) =, = και =.β) = α) Κατασκευάζουμε h ( ) = πίνακα τιμών για X - 0 Y 0 κάθε μια συνάρτηση. και - =. f ( ) = X - - 0 Y 0 g ( ) = () X - 0 Y 0 Κατόπιν κάνουμε την γραφική της - παράσταση όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα παρατηρώντας ότι σε σχέση με την παραβολή -5-0 -5 5 0 5 = η παραβολή = ( < ) απομακρύνεται από τον άξονα, ενώ η παραβολή = (>) πλησιάζει τον άξονα αυτόν. β) Κατασκευάζουμε πίνακα g ( ) = () τιμών για κάθε μια συνάρτηση. X - 0 Κατόπιν κάνουμε την γραφική της παράσταση όπως φαί- Y 0 νεται στο διπλανό σχήμα παρατηρώντας ότι οι γραφικές -5 5 0 - παραστάσεις των δύο συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως - f ( ) = () - προς τον άξονα. - X - 0 Y - 0 - -

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής του διπλανού σχήματος. Να σχεδιάσετε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα και να γράψετε την εξίσωσή της. Η εξίσωση της παραβολής του σχήματος αυτού είναι της μορφής = α. Επειδή δε διέρχεται από το σημείο (, ) του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την εξίσωση αυτή έχουμε : = α( ) ή = α ή α = ή α =. Επομένως η ζητούμενη εξίσωση της παραβολής είναι = Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η συμμετρική της = ως προς τον άξονα. Η εξίσωση της θα είναι = - - (-,-) f ( ) = () Γιατί γνωρίζουμε ότι οι - παραβολές = α και = -α είναι συμμετρικές ως προς άξονα συμμετρίας τον. ΑΣΚΗΣΗ 5 g ( ) = () - - Nα βρείτε τα σημεία της παραβολής = που έχουν τεταγμένη 9. Επειδή τα ζητούμενα σημεία έχουν τεταγμένη 9 οι τετμημένες τους θα είναι λύσεις της εξίσωσης: 9 = ή = 9 ή = 9 = 9 ή = ± 9 = ±.

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα, 9 και, 9 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η παραβολή = ( λ + ) να διέρχεται από το σημείο Μ,. Αφού η παραβολή διέρχεται από το σημείο Μ, οι συντεταγμένες του σημείου αυτού την επαληθεύουν. Επομένως έχουμε : = (λ + ) ή = (λ + ) ή Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ στην εξίσωση της παραβολής και κάνουμε τις σχετικές πράξεις για τον υπολογισμό της τιμής του λ. = (λ + ) ή = λ + ή λ = 0 ΑΣΚΗΣΗ Αν η συνάρτηση = λ παίρνει μέγιστη τιμή και η γραφική της παράσταση.διέρχεται από το σημείο Μ(, λ), να βρείτε την τιμή του αριθμού λ. Επειδή η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή πρέπει < 0 ή λ < 0. λ Ακόμα δε πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου Μ να επαληθεύουν την εξίσωση = λ οπότε και έχουμε : λ = λ ή λ = λ ή λ = λ ή λ = ή λ = ±. Σύμφωνα με όσα είδαμε παραπάνω αφού λ<0 πρέπει λ =. ΑΣΚΗΣΗ 7 Από τη Φυσική είναι γνωστό ότι η κινητική ενέργεια ενός σώματος που κινείται με ταχύτητα υ και έχει μάζα m δίνεται από τον τύπο Ε = m υ. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας ενέργειας για τρία σώματα που έχουν μάζες Κg, Κg και Κg αντιστοίχως. β) Αν τα σώματα έχουν την ίδια ενέργεια Ε = Joule, τότε από το διάγραμμα να προσδιορίσετε ποιο από τα τρία σώματα έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα.

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 γ) Αν τα σώματα έχουν την ίδια ταχύτητα υ = m / sec, τότε από το διάγραμμα να προσδιορίσετε ποιο από τα τρία σώματα έχει τη μεγαλύτερη ενέργεια. α) Η κινητική ενέργεια του πρώτου σώματος θα είναι: Ε κ =..υ = υ Ομοίως η κινητική ενέργεια του δεύτερου σώματος θα είναι: Ε Ε κ =..υ = υ και του τρίτου σώματος θα είναι Ε(υ)= υ Ε Ε(υ)=υ κ =..υ = υ. Ε(υ)=υ Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα ταχύτητας- ενέργειας υ των τριών σωμάτων με διαφορετικά Ο(0,0) -5 5 0 χρώματα. β) Στο σημείο με τεταγμένη Ε= (δηλαδή κινητική ενέργεια δύο)φέρνουμε παράλληλη στο άξονα η οποία τέμνει τις παραβολές σε τρία σημεία. Παρατηρούμε ότι από τα τρία αυτά σημεία εκείνο που έχει την Ε= μεγαλύτερη τετμημένη(επίσης δύο),δηλαδή την μεγαλύτερη ταχύτητα, είναι το σημείο τομής της ευθείας Ε= Ο(0,0) - με την παραβολή Ε(υ) = υ. Άρα το σώμα με την μεγαλύτερη ταχύτητα είναι το πρώτο. Ε (,0) Ε(υ)= υ Ε(υ)=υ Ε(υ)=υ -5 5 0 υ

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 γ) Στο σημείο με τετμημένη Ε υ = (δηλαδή ταχύτητα ( 9,0) Ε(υ)= υ υ = ) φέρνουμε παράλληλη Ε(υ)=υ στο άξονα η οποία τέμνει υ= Ε(υ)=υ τις παραβολές σε τρία σημεία. Παρατηρούμε ότι από τα τρία υ αυτά σημεία εκείνο που έχει -5 5 την μεγαλύτερη τεταγμένη Ο(0,0),δηλαδή την μεγαλύτερη κινητική ενέργεια, είναι το σημείο τομής της ευθείας υ = με την παραβολή Ε(υ) = υ. Άρα το σώμα με την μεγαλύτερη κινητική ενέργεια είναι το δεύτερο. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά. Να εκφράσετε το εμβαδόν του ως συνάρτηση του και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι επομένως το εμβαδόν του ως συνάρτηση του θα είναι: = με >0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ε = α = ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ X - - 0 Y 0-0 -5 5 0 5 - (0,0)

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Τα σημεία Α, Β ανήκουν στις παραβολές = και = - αντιστοίχως και έχουν την ίδια τετμημένη -. Να βρείτε την απόσταση των σημείων Α, Β. Στην εξίσωση της πρώτης παραβολής αν θέσουμε = έχουμε =. Άρα το σημείο Α είναι το Α(,). Ομοίως αν στην εξίσωση της δεύτερης παραβολής θέσουμε = έχουμε =-. Άρα το σημείο Β είναι το Β(,-). Η απόσταση των σημείων Α, Β είναι: ΑΒ = = = ( ) + ( ) ( ) + ( ) 5 = 5 = -5 5 =- - - - = Α(,) Β(,-). (Συμπληρωματική της άσκησης ) Αν Α, Β είναι σημεία της παραβολής = με την ίδια τεταγμένη, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων.. (Συμπληρωματική της άσκησης ) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής σε κάθε ένα από τα παρακάτω σχήματα: - - - 0 - - - - - - 0 - - - - - -

ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 - - 0 - - - - - Η πρώτη παραβολή είναι της μορφής = α και επειδή περνά από το σημείο (,) οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωσή της ε- πομένως έχουμε: = α. α = και η ζητούμενη παραβολή είναι η =. Η δεύτερη παραβολή είναι της μορφής = α και επειδή περνά από το σημείο (,) οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωσή της επομένως έχουμε: = α. α = α = και η ζητούμενη παραβολή είναι η =. Η τρίτη παραβολή είναι της μορφής = α και επειδή περνά από το σημείο (,-) οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωσή της ε- πομένως έχουμε: = α. α = α = και η ζητούμενη παραβολή είναι η =.