ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α1. Α η συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη στο και c σταθερός πραγματικός αριθμός, α αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι c f(x) = c f (x), για κάθε x R Μοάδες 7 Α. Πότε μια συάρτηση f λέγεται γησίως φθίουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μοάδες 4 Α3. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή λέγεται διακριτή και πότε συεχής; Μοάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, α η πρόταση είαι σωστή, ή Λάθος, α η πρόταση είαι λαθασμέη. και η α) Α για τη συάρτηση f ισχύει f ( x ) =0, για x ( α, β) 0 0 παράγωγός της f διατηρεί πρόσημο εκατέρωθε του x 0, τότε η f είαι γησίως μοότοη στο ( α, β ) και δε παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα αυτό. (μοάδες ) β) lm εφx = εφx, ότα συx 0 x x 0 0 0 (μοάδες ) γ) Σε μια καοική ή περίπου καοική καταομή το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκοται στο διάστημα ( x s, x s) +, όπου x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω. (μοάδες ) δ) Α x είαι τιμή μιας ποσοτικής μεταβλητής X, τότε η αθροιστική συχότητα N εκφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μεγαλύτερες της τιμής x (μοάδες ) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ε) Το κυκλικό διάγραμμα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισμέος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες v ή τις σχετικές συχότητες f τω τιμώ x της μεταβλητής. (μοάδες ) Μοάδες 10 ΘΕΜΑ Β Δίεται η συάρτηση f με τύπο Να βρείτε: 3 f(x) = x 3x 9x+, x R Β1. το ρυθμό μεταβολής της f ως προς x, ότα x =. Β. τη μοοτοία και τα τοπικά ακρότατα της f. Μοάδες 7 Μοάδες 10 Β3. τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A(, f ). Μοάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Στο παρακάτω σχήμα φαίεται το ιστόγραμμα συχοτήτω, το οποίο παριστάει τις πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ που έγια από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια εός έτους. 14 αριθμός πωλητώ 1 10 8 6 4 6 8 10 πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Γ1. Να βρείτε το πλήθος τω πωλητώ της εταιρείας. Μοάδες 5 Γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας το παρακάτω πίακα συχοτήτω της καταομής τω πωλήσεω κατάλληλα συμπληρωμέο, δικαιολογώτας τη στήλη με τις σχετικές συχότητες f, = 1,, 3, 4 Kλάσεις Κετρικές τιμές x Συχότητα v Σχετική συχότητα f Σύολο Μοάδες 8 Γ3. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή τω πωλήσεω του έτους. (μοάδες 6) β) Να βρείτε το πλήθος τω πωλητώ που έκαα πωλήσεις τουλάχιστο 4,5 χιλιάδω ευρώ (θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είαι ομοιόμορφα καταεμημέες). (μοάδες 6) Μοάδες 1 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε έα κουτί σχήματος ορθογωίου παραλληλεπιπέδου με βάση ορθογώιο και αοικτό από πάω. 5 dm Το ύψος του κουτιού είαι 5 dm. Η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίμετρο 0 dm και μία πλευρά της είαι x dm με 0 < x < 10 x dm ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Δ1. Να αποδείξετε ότι η συολική επιφάεια του κουτιού ως συάρτηση του x είαι E(x) = x + 10x + 100, x 0, 10 και στη συέχεια α βρείτε για ποια τιμή του x το κουτί έχει τη μέγιστη επιφάεια. Μοάδες 10 Δ. Να αποδείξετε ότι ο όγκος V( x ) του κουτιού γίεται μέγιστος για x = 5 (δίεται ότι ο όγκος V ορθογωίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεω α, β, γ είαι V = αβγ ) Στη συέχεια, θεωρούμε τα σημεία με 5 = x1 < x <... < x0 < x1 = 9 A x, y, όπου y = E x, = 1,,...,1 Μοάδες 7 Δ3. Α το δείγμα τω τετμημέω x, = 1,,...,1 τω παραπάω σημείω A( x, y ) δε είαι ομοιογεές έχει μέση τιμή x = 8 και τυπική απόκλιση s τέτοια, ώστε s - 5s + = 0 τότε: α) α αποδείξετε ότι s= β) α βρείτε τη μέση τιμή τω Δίεται ότι: s = 1 t = 1 x, με = 1,,...,1 t = 1 (μοάδες 4) (μοάδες 4) Μοάδες 8 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέους) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου α γράψετε το εξεταζόμεο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάω-πάω α συμπληρώσετε τα Ατομικά στοιχεία μαθητή. Στη αρχή τω απατήσεώ σας α γράψετε πάω-πάω τη ημερομηία και το εξεταζόμεο μάθημα. Να μη ατιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και α μη γράψετε πουθεά στις απατήσεις σας το όομά σας.. Να γράψετε το οοματεπώυμό σας στο πάω μέρος τω φωτοατιγράφω αμέσως μόλις σας παραδοθού. Τυχό σημειώσεις σας πάω στα θέματα δε θα βαθμολογηθού σε καμία περίπτωση. Κατά τη αποχώρησή σας α παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοατίγραφα. 3. Να απατήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόο με μπλε ή μόο με μαύρο στυλό με μελάι που δε σβήει. Μολύβι επιτρέπεται, μόο α το ζητάει η εκφώηση, και μόο για πίακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάτηση επιστημοικά τεκμηριωμέη είαι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διαομή τω φωτοατιγράφω. 6. Χρόος δυατής αποχώρησης: 10.30 π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ