ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι ( cf ( x ))' = cf '( x ), για κάθε x R Μονάδες 7 Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες Α. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή λέγεται διακριτή και πότε συνεχής; Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. f' x 0 α) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ( ) 0 =, για x ( α,β) 0, και η παράγωγος της f διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν του x 0, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β) και δεν παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα αυτό. (μονάδες ) β) Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: ( ) = ( ) ( ) ΡΑ Β ΡΒ ΡΑ Β (μονάδες ) γ) Σε μια κανονική ή περίπου κανονική κατονομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα ( x s,x+ s), όπου x η μέση τιμή και S η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων. (μονάδες ) δ) Αν x είναι τιμή μιας ποσοτικής μεταβλητής X, τότε η αθροιστική συχνότητα Ν εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες της τιμής x. (μονάδες ) ε) Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικους τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες f των τιμών x της μεταβλητής. (μονάδες )

2 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ιστόγραμμα συχνοτήτων, το οποίο παριστάνει τις πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Β. Να βρείτε το πλήθος των πωλητών της εταιρείας. Μονάδες 5 Β. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων κατάλληλα συμπληρωμένο, δικαιολογώντας τη στήλη με τις σχετικές συχνότητες f, =,,, Β. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των πωλήσεων του έτους. (μονάδες 6)

3 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 β) Να βρείτε το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον,5 χιλιάδων ευρώ (θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες) (μονάδες 6) Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Ένα δοχείο περιέχει κόκκινες (Κ), άσπρες (Α) και πράσινες (Π) μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία μία μπάλα. Η πιθανότητα να προκύψει κόκκινη μπάλα είναι Ρ(Κ)=x, ενώ η πιθανότητα να προκύψει άσπρη μπάλα είναι Ρ(Α)=x, όπου x, x είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης 7 f( x) = x x + x, x R με x <x Γ. Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Κ), Ρ(Α) και Ρ(Π), όπου Ρ(Π) η πιθανότητα να προκύψει πράσινη μπάλα. Μονάδες 0 Γ. Αν ΡΚ ( ) = και ΡΑ ( ) =, να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: Γ: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι κόκκινη ή άσπρη» Δ: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι ούτε κόκκινη ούτε άσπρη» Ε: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι άσπρη ή να μην είναι πράσινη». Γ. Αν οι άσπρες μπάλες είναι κατά τέσσερις () λιγότερες από τις πράσινες μπάλες, να βρείτε πόσες μπάλες έχει το δοχείο. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση ορθογώνιο και ανοικτό από πάνω.

4 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Το ύψος του κουτιού είναι 5dm. Η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίμετρο 0dm και μία πλευρά της είναι x dm με 0<x<0 Δ. Να αποδείξετε ότι η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση του x είναι Ε(x)= -x +0x+00, x ( 0,0) και να βρείτε για ποια τιμή του x το κουτί έχει μέγιστη επιφάνεια. Στη συνέχεια θεωρούμε τα σημεία A (x, y ), όπου y =E(x ), =,,, 5 με 5=x <x < <x <x 5 =9 Δ. Αν το δείγμα των τετμημένων x, =,,,5 των παραπάνω σημείων A (x, y ) δεν είναι ομοιογενές έχει μέση τιμή x=8 και τυπική απόκλιση s τέτοια, ώστε s -5s+=0 τότε: α) να αποδείξετε ότι s= β) να βρείτε τη μέση τιμή των x, με =,,, 5 t = Δίνεται ότι: s = t = (μονάδες ) (μονάδες ) Δ. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα παραπάνω σημεία Α(x, y ), =,,, 5. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Β={Α(x, y ), =,,, 5 τέτοια, ώστε y >-x +9R+}, όπου R είναι το εύρος των y =E(x ), =,,, 5 Μονάδες 9 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 0

5 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Α. Θεωρία σχολικού Βιβλίου σελίδα Α. Θεωρία σχολικού Βιβλίου σελίδα 59 Α. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. ν = ν + ν + ν + ν = = 0 Β. Κλάσεις Κεντρικές Συχνότητα Σχετική x Τιμές x Συχνότητα f [,) 0,0 6 [,6) 5 8 0,0 0 [6,8) 7 0,5 98 [8,0) 9 6 0,5 5 Σύνολο 0 8 f 8 0,0 = = = 0, = = = 0,5 f = = = 0,5 0 0 = = = f f x 8 = Β. α) x = = = 5,7 χιλ. ευρώ. 0 Β) Το πλήθος των πωλητών με πωλήσεις τουλάχιστον,5 χιλιάδων ευρώ είναι = ΘΕΜΑ Γ Γ. f ( x) = x x+, x R f ( x) = 0 x x+ = 0 x= ή x =

6 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Το πρόσημο της f φαίνεται από τον παρακάτω πίνακα: x + f (x) + + f(x) Γνησίως αύξουσα Γνησίως φθίνουσα Γνησίως αύξουσα Στο x = η f παρουσιάζει τ.μέγιστο και στο x = η f παρουσιάζει τ.ελάχιστο. Άρα PK ( ) =, PA ( ) = 5 P( Π ) = = 7 Γ. ΡΓ ( ) =ΡΚ Α ( ) =ΡΚ ( ) +ΡΑ ( ) = 5 ΡΔ ( ) = P( Π ) = 7 ΡΑ Π ( ) =ΡΑ ( ) + P( Π ) ΡΑ Π ( ) = P( A) + P( Π) P( A) = P( Π ) = Γ. Έστω x οι πράσινες και x οι άσπρες και ν όλες οι μπάλες x x + Ρ( Α ) = = x = 5 5 P( Π ) = x x x = = + 5 Άρα = + = 5 = = = 8 ΘΕΜΑ Δ Δ. Αν y dm η άλλη διάσταση της βάσης τότε: x + y = 0, οπότε y = 0 x Ex ( ) = x(0 x) + 5(0 x) + 5x= x+ 0x+ 00, x (0,0) E ( x) = x+ 0, x (0,0)

7 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 x E (x) + E(x) Γνησίως αύξουσα Γνησίως φθίνουσα Ολικό μέγιστο Για x = 5 dm το κουτί έχει την μέγιστη επιφάνεια Δ. Αφού το δείγμα δεν είναι ομοιογενές τότε: s s CV > > > s > 0,8 0 x Έχουμε s 5s+ = 0 s= ή s = (απορρίπτεται) Άρα s = t t = = β) s = t t x ( x) = = = = Άρα x = s + ( x) = + 8 = 68 Δ. Επειδή η Ε γνησίως φθίνουσα στο [5,0) και αφού x < x τότε 5 E( x ) > E( x ) οπότε R= E( x ) E( x ) = E(5) E(9) = 5 09 = Έχουμε y > x + 9R+ x + 0x + 00> x x + x 5 > 0 5 < x < 9, =,..., B= A( x, y ), =,,..., Οπότε { } N( B) PB ( ) = = N( Ω) 5 ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΕ Ο ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΟΥΣΗΣ Π. ΣΙΦΝΑΙΟΣ Δ. ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Ι. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Ε. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Α.