Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
ÌÜèçìá ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü ìáèçìáôéêþ óåéñü ôï ìüèçìá áõôü êáíïíéêü ðñýðåé íá áêïëïõèåß áõôü ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò, ðïõ áêïëïõèåß óôç óõíý åéá... ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç Ïñéóìüò.. - áüñéóôï ïëïêëþñùìá). óôù ïé óõíáñôþóåéò f êáé F ìå êïéíü ðåäßï ïñéóìïý D üðïõ D R. Ôüôå ç F èá ëýãåôáé üôé åßíáé ìßá ðáñüãïõóá Þ áñ éêþ óõíüñôçóç Þ äéáöïñåôéêü Ýíá áüñéóôï ïëïêëþñùìá ôçò óõíüñôçóçò f óôï D êáé èá óõìâïëßæåôáé áõôü ìå fx) = F x) ãéá êüèå x D.. - ) ôüôå êáé ìüíïí, üôáí õðüñ åé ç ðáñüãùãïò ôçò F óôï D êáé éó ýåé F x) = fx) ãéá êüèå x D:.. - ) Ï áíáãíþóôçò ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç ôùí åííïéþí êáé ôùí êáíüíùí ïëïêëþñùóçò ðïõ èá äïèïýí, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá êáé óôï âéâëßï Á. ÌðñÜôóïò [] Êåö. 7.
Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Óõíåðþò fx) = F x) ôüôå êáé ìüíïí, üôáí F x) = fx).. - 3) ãéá êüèå x D êáé áíôßóôñïöá. Áðïäåéêíýåôáé üôé: Èåþñçìá.. -. Áí F êáé G åßíáé äýï ðáñüãïõóåò ôçò óõíüñôçóçò f óôï D, ôüôå áõôýò èá äéáöýñïõí êáôü ìßá óôáèåñü óõíüñôçóç. Óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá.. - ï ôýðïò :: 3) ôåëéêü ãñüöåôáé fx) = F x) + c ãéá êüèå x D.. - 4) üðïõ c áõèáßñåôç óôáèåñü. Óôï ðáñáêüôù ðáñüäåéãìá äßíïíôáé ôá áüñéóôá ïëïêëçñþìáôá ïñéóìýíùí óõíáñôþóåùí, åíþ óôïí Ðßíáêá.. - ôùí êõñéüôåñùí óôïé åéùäþí óõíáñôþóåùí. ÐáñÜäåéãìá.. - x 3 = x3+ 3 + + c = x4 4 + c ; åðåéäþ x 4 4 + c ) = x 3 : x = ln x + c ; åðåéäþ ln x + c) = ; üôáí x > 0: x cos x = tan x + c ; åðåéäþ tan x + c) = cos x : + x = tan x + c ; åðåéäþ tan x + c ) = + x :
Éäéüôçôåò ôïõ áüñéóôïõ ïëïêëçñþìáôïò 3 Ðßíáêáò.. - : áüñéóôá ïëïêëçñþìáôá ôùí êõñéüôåñùí óôïé åéùäþí óõíáñôþóåùí á/á fx) F x) á/á fx) F x) x a ; a R { } x a+ a + sin x cos x 8 3 cos x sin x 9 4 5 7 e x e x x cos x ln x tan x + x tan x 0 sin cot x x sin x cosh x sinh x x 6 x cos x sinh x cosh x.. Éäéüôçôåò ôïõ áüñéóôïõ ïëïêëçñþìáôïò Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ìå ôç ìïñöþ èåùñçìüôùí ïé éäéüôçôåò ôïõ áüñéóôïõ ïëïêëçñþìáôïò. Èåþñçìá.. -. Áí f åßíáé ìßá ïëïêëçñþóéìç óõíüñôçóç óôï D êáé ë R, ôüôå ë fx) = ë fx) :.. - ) Èåþñçìá.. -. Áí f; g åßíáé ïëïêëçñþóéìåò óõíáñôþóåéò óôï D, ôüôå [fx) + gx)] = fx) + gx) :.. - ) Áðü ôéò :: ) êáé :: ) ðñïêýðôåé ôüôå ç ðáñáêüôù ãñáììéêþ éäéüôçôá [kfx) + ëgx)] = k fx) + ë gx) ;.. - 3)
4 Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üôáí k; ë R. Ç ãñáììéêþ éäéüôçôá ãåíéêåýåôáé ãéá - óõíáñôþóåéò. ÐáñÜäåéãìá.. - x + 5 sin x e x ) = x + 5 sin x e x = x3 3 + 5 cos x) ex + c = x3 3 5 cos x ex + c: ¼ìïéá tan x 3 x + 4 ) = x tan x + x =3 + 4 x. ÌÝèïäïé ïëïêëþñùóçò 3 + = cos x x + 4 ln x + c + = 3 cos x 3 4 x 4 3 + 4 ln x + c: Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïñéóìýíåò ìýèïäïé ïëïêëþñùóçò, ðïõ áðáéôïýíôáé óôç ëýóç ôùí äéáöüñùí ðñïâëçìüôùí, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò äéüöïñåò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Óôï åîþò õðïôßèåôáé üôé ïé óõíáñôþóåéò ðïõ åîåôüæïíôáé åßíáé ïëïêëçñþóéìåò óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò... ÏëïêëÞñùóç ìå äçìéïõñãßá ôïõ äéáöïñéêïý Ï Ðßíáêáò.. - ôùí ïëïêëçñùìüôùí ôçò ðáñáãñüöïõ.. äåí åöáñìüæåôáé, üôáí ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç åßíáé óýíèåôç. ïíôáò õð' üøéí ôïí Ðßíáêá 9::4 êáé ôïí ôýðï 9::4 ) ôïõ ÌáèÞìáôïò 9, åßíáé äõíáôüí íá äçìéïõñãþóïõìå ôïí ðáñáêüôù Ðßíáêá.. - ìå ôá áüñéóôá ïëïêëçñþìáôá ôùí êõñéüôåñùí óýíèåôùí óõíáñôþóåùí.
ÏëïêëÞñùóç ìå äçìéïõñãßá ôïõ äéáöïñéêïý 5 Ðßíáêáò.. - : óõíáñôþóåùí áüñéóôá ïëïêëçñþìáôá ôùí êõñéüôåñùí óýíèåôùí á / á ÓõíÜñôçóç Áüñéóôï ïëïêëþñùìá f x)f a x); a R { } f a+ x) a + f x)e fx) e fx) 3 f x) fx) ln fx) 4 f x) sin fx) cos fx) 5 f x) cos fx) sin fx) 6 f x) cos fx) 7 f x) sin fx) 8 9 0 f x) + f x) f x) f x) f x) f x) tan fx) cot fx) tan fx) sin fx) cos fx) f x) cosh fx) sinh fx) f x) sinh fx) cosh fx) 3 f x) cosh fx) 4 f x) sinh fx) tanh fx) coth fx)
6 Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñÜäåéãìá.. - Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá x 5 : Ëýóç. Ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç ãñüöåôáé x 5) = = f = x) üðïõ fx) = x 5 êáé f x) =. Ôüôå åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï ôïõ Ðßíáêá.. - ãéá a = = Ý ïõìå x 5) = = f x)= {}}{ x 5) x 5) = ÐáñÜäåéãìá.. - = x 5) + + + c = 3 x 5)3= + c: ¼ìïéá ôï ïëïêëþñùìá 5x + : Ëýóç. Ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç áíüãåôáé ìå êáôüëëçëï ìåôáó çìáôéóìü óôç ìïñöþ f x)=fx) üðïõ fx) = 5x+ êáé f x) = 5 äçìéïõñãßá óôáèåñüò). Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 3 ôïõ Ðßíáêá.. - Ý ïõìå 3x + 5 = 5 ÐáñÜäåéãìá.. - 3 f x)=5 {}}{ 5x + ) 5x + = ln 5x + + c: 5 ¼ìïéá ôï x x + 4 : Ëýóç. ¼ìïéá ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç, åðåéäþ óôïí áñéèìçôþ õðüñ åé Þäç ôï x, áíüãåôáé óôç ìïñöþf x)=fx) üðïõ fx) = x + 4 êáé f x) = x. Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 3 ôïõ Ðßíáêá.. - Ý ïõìå x x + 4 = f x)=x {}} ) { x + 4 x + 4 = ln ) x + 4 + c:
ÏëïêëÞñùóç ìå äçìéïõñãßá ôïõ äéáöïñéêïý 7 ÐáñÜäåéãìá.. - 4 ¼ìïéá cos!x ; üôáí! > 0: Ëýóç. ¼ìïéá áíüãåôáé óôç ìïñöþ f x) cos! üðïõ fx) =!x êáé f x) =! äçìéïõñãßá óôáèåñüò). Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 5 ôïõ Ðßíáêá.. - Ý ïõìå cos!x =!x) cos!x = sin!x + c:!! ÐáñÜäåéãìá.. - 5 ¼ìïéá åßíáé sin!x =!!x) sin!x = cos!x + c:! ÐáñÜäåéãìá.. - 6 ¼ìïéá ôï xe x : Ëýóç. Ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç ãñüöåôáé óôç ìïñöþ f x)e fx) üðïõ fx) = x êáé f x) = x, åíþ ç f x) åßíáé äõíáôüí íá äçìéïõñãçèåß, åðåéäþ Þäç õðüñ åé ôï x. ñá óýìöùíá ìå ôïí ôýðï ôïõ Ðßíáêá.. - Ý ïõìå xe x = x)e x = e x + c: ÐáñáôÞñçóç.. - Ï õðïëïãéóìüò ôïõ ïëïêëçñþìáôïò e x äå ãßíåôáé ìå ôïí ðáñáðüíù ôñüðï, åðåéäþ áðáéôåß ôç äçìéïõñãßá ôçò f x) = x; äçëáäþ ôïí ðïëëáðëáóéáóìü êáé ôç äéáßñåóç ìå x, ðïõ óçìáßíåé üôé áðáéôåßôáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ç äçìéïõñãßá ìåôáâëçôþò.
8 Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñÜäåéãìá.. - 7 ¼ìïéá 9 + 4x : Ëýóç. ïõìå ïëïêëþñùóç ñçôþò óõíüñôçóçò ìå óôáèåñü ùò áñéèìçôþ êáé óõíüñôçóç ðïõ åßíáé Üèñïéóìá ôåôñáãþíùí óôïí ðáñïíïìáóôþ. Ç ðåñßðôùóç áõôþ áíüãåôáé óôçí f x) + f x) ìå ôçí ðáñáêüôù äéáäéêáóßá: áñ éêü ãñüöåôáé ï ðáñïíïìáóôþò óôç ìïñöþ + f x) ùò åîþò: ) [ ) ] 9 + 4x = 9 + 4x x = 9 + üðïõ fx) = x 9 3 3 êáé f x) = 3 : ñá óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 8 ôïõ Ðßíáêá.. - åßíáé 9 + 3x = 3 9 ÐáñÜäåéãìá.. - 8 f x)==3 {}}{ x 3 ) ) = x + 3x 6 tan 3 ) + c: ¼ìïéá x + 6x + 0 : Ëýóç. Ðñüêåéôáé ãéá ïëïêëþñùóç ñçôþò óõíüñôçóçò ìå óôáèåñü ùò áñéèìçôþ êáé ôñéþíõìï ìå ñßæåò ìéãáäéêýò óôïí ðáñïíïìáóôþ. Áñ éêü ìåôáó çìáôßæåôáé ï ðáñïíïìáóôþò óå Üèñïéóìá ôåôñáãþíùí óýìöùíá ìå ôïí ôýðï ax + bx + c = a x + b ) b 4ac ;.. - ) a 4a äçëáäþ x + 6x + 0 = x + 3) + ; ïðüôå óýìöùíá êáé ìå ôï ÐáñÜäåéãìá.. - 7 Ý ïõìå x + 6x + 0 = x + 3) + = f x)= {}}{ x + 3) x + 3) + = tan x + ) + c:
ÏëïêëÞñùóç ìå äçìéïõñãßá ôïõ äéáöïñéêïý 9 ÐáñÜäåéãìá.. - 9 ¼ìïéá x + ) x + 6x + 0 : Ëýóç. Ðñüêåéôáé ãéá ïëïêëþñùóç ñçôþò óõíüñôçóçò ìå ïõ âáèìïý ðïëõþíõìï óôïí áñéèìçôþ êáé ôñéþíõìï ìå ñßæåò ìéãáäéêýò óôïí ðáñïíïìáóôþ. Áñ éêü äçìéïõñãåßôáé óôïí áñéèìçôþ ç ðáñüãùãïò ôïõ ðáñïíïìáóôþ. ïõìå ïðüôå ï áñéèìçôþò ãñüöåôáé x + 6x + 0) = x + 6; x + = x + 6 5 = x + 6x + 0) 5: Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 4 ôïõ Ðßíáêá.. - êáé ôï ÐáñÜäåéãìá.. - 8 åßíáé x + ) x + 6x + 0 = ÐáñÜäåéãìá.. - 0 x + 6x + 0 ) 5 x + 6x + 0 x + 6x + 0 ) = x 5 + 6x + 0 x + 6x + 0 ) = ln x + 6x + 0 5 tan x + 3) + c: ¼ìïéá 3x ) x + 6x + 0 : Ëýóç. ¼ìïéá ðñüêåéôáé ãéá ïëïêëþñùóç ñçôþò óõíüñôçóçò ìå ïõ âáèìïý ðïëõþíõìï óôïí áñéèìçôþ êáé ôñéþíõìï ìå ñßæåò ìéãáäéêýò óôïí ðáñïíïìáóôþ, ïðüôå óýìöùíá êáé ìå ôï ÐáñÜäåéãìá.. - 9, åðåéäþ x + 6x + 0 ) = x + 6, ï áñéèìçôþò ãñüöåôáé 3x = 3 x ) x = 3 3 = 3) 3 x 4 ) 3 = 3 x + 6 6 4 3 ) = 3 x + 6) 7:
0 Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 4 ôïõ Ðßíáêá.. - êáé ôï ÐáñÜäåéãìá.. - 9 åßíáé 3x ) x = 3 x + 6) + 6x + 0 x + 6x + 0 x + 3) + = 3 ) x ln + 6x + 0 tan x + ) + c: óêçóç Íá õðïëïãéóôåß ôï áüñéóôï ïëïêëþñùìá ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí fx) x i) vii) 3x + x + ii) e x viii) 3 cosh x 4 sinh x iii) iv) x + 5x cos 4x ix) x) v) x sin x xi) vi) x a x = e x ln a ) xii) 5x + x + x + x ln 3 x tan x cos x tan x tan x = ) sin x : cos x.. ÏëïêëÞñùóç ìå áíôéêáôüóôáóç ÐïëëÝò öïñýò ôï ðñüâëçìá ôïõ õðïëïãéóìïý ôïõ áüñéóôïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò fx) ìå ðåäßï ïñéóìïý, Ýóôù D, áðëïõóôåýåôáé, áí áíôéêáôáóôþóïõìå ôç ìåôáâëçôþ x ìå ìßá íýá, Ýóôù u = ux), ðïõ íá åßíáé ïñéóìýíç óå Ýíá êáôüëëçëï äéüóôçìá D ôçò ìåôáâëçôþò u, Ýôóé þóôå ôï óýíïëï ôùí ôéìþí ôçò óõíüñôçóçò áõôþò íá åßíáé u D ) = D. Óôç ìýèïäï áõôþ ðñýðåé íá ëáìâüíïíôáé õð' üøéí ôá åîþò: Ï ìåôáó çìáôéóìüò ðñýðåé íá áíôéóôñýöåôáé ìïíïóþìáíôá, äçëáäþ íá ëýíåôáé ìïíïóþìáíôá ùò ðñïò x, êáé
ÏëïêëÞñùóç ìå ìå áíôéêáôüóôáóç ôï ïëïêëþñùìá ðïõ ðñïêýðôåé íá åßíáé áðëïýóôåñï ôïõ áñ éêïý, äçëáäþ íá ìçí ðåñéý åé ñßæåò, áíôßóôñïöåò ôñéãùíïìåôñéêýò óõíáñôþóåéò, ê.ëð. ÐáñÜäåéãìá.. - óôù ôï ïëïêëþñùìá e 3x : Áí u = 3x åßíáé x = u 3 ; ïðüôå = d u ) 3 ôüôå áíôéêáèéóôþíôáò Ý ïõìå = u 3 ) du = 3 du; e 3x = e u { }}{ ) du = 3 3 e u du = 3 eu + c = 3 e 3x + c: ÐáñÜäåéãìá.. - ¼ìïéá ôï e x : Áí u = x ìå u < 0; ôüôå åßíáé x = ± u: ÅðïìÝíùò ï ìåôáó çìáôéóìüò äå ëýíåôáé ìïíïóþìáíôá ùò ðñïòx êáé ç ìýèïäïò äåí åöáñìüæåôáé. ÐáñÜäåéãìá.. - 3 ¼ìïéá ôï I = tan 5x : Áí u = 5x åßíáé x = u ) ) 5 ; ïðüôå u u = d = du = 5 5 5 du;
Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò êáé áíôéêáèéóôþíôáò Ý ïõìå tan 5x = tan u {}}{ 5) du = 5 tan u du = 5 cos u) du {}}{ sin u du cos u = 5 cos u) du cos u = 5 ln cos u + c = 5 ln cos 5x + c: óêçóç ñçóéìïðïéþíôáò êáôüëëçëç áíôéêáôüóôáóç íá õðïëïãéóôïýí ôá ðáñáêüôù áüñéóôá ïëïêëþñùìá ôùí óõíáñôþóåùí fx) i) cos!x + ) iii) cot 3x ii) 5x 3 iv) x + 9x 4 :..3 ÐáñáãïíôéêÞ ïëïêëþñùóç óôù üôé ïé óõíáñôþóåéò f; g ðáñáãùãßæïíôáé óôï D R ìå D áíïéêôü óýíïëï. Åöáñìüæïíôáò ôïí êáíüíá ðáñáãþãéóçò ãéíïìýíïõ Ý ïõìå [fx)gx)] = f x)gx) + fx)g x): Ïëïêëçñþíïíôáò êáé ôá äýï ìýëç ôçò ðáñáðüíù ó Ýóçò ðñïêýðôåé üôé [fx)gx)] = f x)gx) + fx)g x) ðïõ óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü.. - ãñüöåôáé fx)gx) = f x)gx) + fx)g x) ; äçëáäþ ôåëéêü fx)g x) = fx)gx) f x)gx) :..3 - )
ÐáñáãïíôéêÞ ïëïêëþñùóç 3 Ç ìýèïäïò ïëïêëþñùóçò ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôïí ôýðï ::3 ) åßíáé ãíùóôþ óáí ç ìýèïäïò ôçò ðáñáãïíôéêþò Þ ôçò êáôü ìýñç ïëïêëþñùóçò. Åßíáé ðñïöáíýò üôé ï ôýðïò ::3 ) åöáñìüæåôáé, üôáí ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç åßíáé Þ åßíáé äõíáôüí íá èåùñçèåß óáí ãéíüìåíï äýï óõíáñôþóåùí, áöïý ðñþôá ìßá áðü ôéò äýï óõíáñôþóåéò ãñáöåß óôç ìïñöþ g x), üðùò áõôü ðåñéãñüöåôáé óôá ðáñáêüôù ðáñáäåßãìáôá üðïõ äßíïíôáé ïé ðåñéóóüôåñï ñçóéìïðïéïýìåíåò ðåñéðôþóåéò åöáñìïãþò ôçò ðáñáãïíôéêþò ïëïêëþñùóçò. Ãéíüìåíï ðïëõùíýìïõ ìå åêèåôéêþ óõíüñôçóç Áñ éêü äçìéïõñãåßôáé ç ðáñüãùãïò ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò. ÐáñÜäåéãìá..3 - Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá x e x : Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï ::3 ) Ý ïõìå gx) {}}{}{{} x e x = fx) x }{{} fx) g x) {}} ) { e x = x e x + gx) {}}{}{{} x e x = x + e x f x) = + ) = + xe x e x xe x 4 e x c: e x ÐáñÜäåéãìá..3 - ¼ìïéá ôï x e x :
4 Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ïõìå Ëýóç. x e x = x e x ) = x e x + x {}}{ x ) e x = x e x + xe x = x e x + xe x ; üôáí óýìöùíá ìå ôï ÐáñÜäåéãìá..3 - åßíáé x e x = xe x 4 e x + c: ñá x e x = x e x xe x 4 e x + c: Ãéíüìåíï ðïëõùíýìïõ ìå ôñéãùíïìåôñéêþ óõíüñôçóç Áñ éêü äçìéïõñãåßôáé ç ðáñüãùãïò ôçò ôñéãùíïìåôñéêþò óõíüñôçóçò. ÐáñÜäåéãìá..3-3 Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá x sin 3x : Ëýóç. Åöáñìüæïíôáò äéáäï éêü ëüãù ôïõ x äýï öïñýò ôçí ðáñáãïíôéêþ ïëïêëþñùóç Ý ïõìå ) x sin 3x = x cos 3x 3 = 3 x cos 3x + 3 x ) cos x = 3 x cos 3x + 3 x cos 3x ç ðáñáãïíôéêþ Çìéôüíïõ Þ óõíçìéôüíïõ.
ÐáñáãïíôéêÞ ïëïêëþñùóç 5 = 3 x cos 3x + ) sin 3x x 3 3 = 3 x cos 3x + [ 3 3 x sin 3x 3 x sin 3x ] = 3 x cos 3x + 9 x sin 3x 9 x sin 3x = 3 x cos 3x + 9 x sin 3x 9 = 3 x cos 3x + 9 x sin 3x + 7 cos 3x 3 {}}{ sin 3x cos 3x + c: Ãéíüìåíï åêèåôéêþò ìå ôñéãùíïìåôñéêþ óõíüñôçóç Äçìéïõñãåßôáé áíüëïãá ìå ôçí åõêïëßá ðïõ ðáñïõóéüæåôáé ç ðáñüãùãïò Þ ôçò ôñéãùíïìåôñéêþò Þ ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò êáé åöáñìüæåôáé äýï öïñýò ï ôýðïò ::3 ). Óôç ç ðáñáãïíôéêþ äçìéïõñãåßôáé ðüíôïôå ç ðáñüãùãïò ôçò ßäéáò óõíüñôçóçò ìå ôçí ç öïñü. ÐáñÜäåéãìá..3-4 Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá e x sin x : Ëýóç. óôù üôé äçìéïõñãåßôáé ç ðáñüãùãïò ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò. Ôüôå äéáäï éêü Ý ïõìå I = e x }{{} fx) gx) {}}{ sin x = f x) {}}{ e x ) sin x = e x sin x + e x cos x {}}{ sin x)
6 Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò = e x sin x + e x cos x ç ðáñáãïíôéêþ = e x sin x + e x ) cos x = e x sin x + e x cos x e x sin x {}}{ cos x) = e x sin x e x cos x 4 e x sin x = e x sin x + cos x) 4 I ç ðáñáãïíôéêþ: ñá I = e x sin x + cos x) 4 I; ïðüôå ëýíïíôáò ùò ðñïò I ôåëéêü Ý ïõìå e x sin x = e x sin x + cos x) 5 + c: Ï õðïëïãéóìüò ôïõ ðáñáðüíù ïëïêëçñþìáôïò ìå ôï MATLAB ãßíåôáé ìå ôéò åíôïëýò: >> syms x >> intexp-x)*sin*x),x) Ãéíüìåíï ðïëõùíýìïõ ìå ëïãáñéèìéêþ óõíüñôçóç Áñ éêü äçìéïõñãåßôáé ç ðáñüãùãïò ôïõ ðïëõùíýìïõ. ÐáñÜäåéãìá..3-5 Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá x ln x :
ÐáñáãïíôéêÞ ïëïêëþñùóç 7 Ëýóç. ïõìå x ln x = x 3 ) ln x 3 = 3 x3 ln x 3 = 3 x3 ln x 3 x 3 x {}}{ ln x) x = 3 x3 ln x 9 x3 + c: ¼ìïéá ï õðïëïãéóìüò ìå ôï MATLAB åßíáé: >> syms x >> intx^*logx),x) Ãéíüìåíï ðïëõùíýìïõ ìå áíôßóôñïöç ôñéãùíïìåôñéêþ óõíüñôçóç Áñ éêü äçìéïõñãåßôáé ç ðáñüãùãïò ôïõ ðïëõùíýìïõ. ÐáñÜäåéãìá..3-6 Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá tan 3x : Ëýóç. ¼ìïéá Ý ïõìå tan 3x = x 0 tan 3x = f x) {}}{ x tan 3x = x tan 3x x 3x) +3x) = 3 +9x {}}{ tan 3x) = x tan 3x 3x + 9x = x tan 3x 6 = x tan 3x 6 ln + 9x ) + c: [ 9x + ] + 9x
8 Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÁóêÞóåéò. Íá õðïëïãéóôïýí ôá áüñéóôá ïëïêëçñþìáôá ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí fx) i) x e 3x viii) ln x ii) x sin!x;! > 0 ix) ln x + ) + x iii) x tan x x) sin x iv) e x sin 3x xi) x cos x. Áí a; ù 0, äåßîôå üôé e ax sin ùx = eax a sin ùx ù cos ùx) a + ù + c:..4 ÏëïêëÞñùóç ìå õðïâéâáóìü Ç ìýèïäïò áõôþ åöáñìüæåôáé êõñßùò, üôáí ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç Þ üñïò áõôþò åßíáé õøùìýíç óå äýíáìç êáé áðïóêïðåß óôçí áíáãùãþ ôïõ õðïëïãéóìïý ôïõ áñ éêïý ïëïêëçñþìáôïò óå õðïëïãéóìü ïëïêëçñþìáôïò ìå üñï õøùìýíï óå âáèìü ìéêñüôåñï ôïõ áñ éêïý. Ï ôýðïò õðïëïãéóìïý ðïõ ðñïêýðôåé, ëýãåôáé ôüôå áíáãùãéêüò. ÐáñÜäåéãìá..4 - óôù ôï ïëïêëþñùìá I = x e x ; üôáí = ; ; : : : : Åöáñìüæïíôáò ðáñáãïíôéêþ ïëïêëþñùóç Ý ïõìå I = x e x = x e x) = x e x + x ) e x = x e x + x e x : ñá x e x = x e x + x e x ;
ÏëïêëÞñùóç ìå õðïâéâáóìü 9 äçëáäþ I = x e x + I ;..4 - ) üôáí = ; ; : : : : Óôïí áíáãùãéêü ôýðï ::4 ) ôï ðñïò õðïëïãéóìü ïëïêëþñùìá I õðïëïãßæåôáé óõíáñôþóåé ôïõ üñïõ x e x êáé ôïõ ïëïêëçñþìáôïò I = x e x, üðïõ ï üñïò x óôçí ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç åßíáé êáôü âáèìü ìéêñüôåñïò ôïõ áñ éêïý üñïõ x. Åßíáé ðñïöáíýò üôé ìå äéáäï éêþ åöáñìïãþ ôïõ ôýðïõ õðïëïãßæåôáé ôåëéêü ôï ïëïêëþñùìá I. ÅöáñìïãÞ ãéá = 3 I 3 = x 3 e x + 3I I = x e x + I I = xe x + I 0 = xe x + e x = x e x e x ; ïðüôå I 3 = x 3 e x = x 3 e x + 3 I ) = x 3 e x + 3 x e x + I = x 3 e x 3 x e x + 6 I = x 3 e x 3 x e x + 6 x e x e x) ) = x 3 + 3x + 6x + 6 e x + c: óêçóç Áí = ; 3; : : :, åêôüò áí äéáöïñåôéêü ïñßæåôáé, äåßîôå ôïõò ðáñáêüôù áíáãùãéêïýò ôýðïõò cos x = sin x cos x ln x = x ln x + cos x : ln x ; üôáí = ; ; : : : :
0 Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò x sin ùx = x cos ùx ù + x sin ùx ù ) ù x sin ùx ; üôáí ù 0: e x sin x = ex sin x + sin x cos x) + ) + e x sin x :..5 ÏëïêëÞñùóç ñçôþí óõíáñôþóåùí óôù üôé ç ñçôþ óõíüñôçóç åßíáé ôçò ìïñöþò fx) = P x) Qx)..5 - ) üðïõ ôï ðïëõþíõìï P x) åßíáé âáèìïý, Ýóôù êáé ôï Qx) âáèìïý m. Ôüôå äéáêñßíïíôáé ïé ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò. I. Ï âáèìüò ôïõ áñéèìçôþ íá åßíáé ìéêñüôåñïò áðü ôï âáèìü ôïõ ðáñïíïìáóôþ ÕðïèÝôïíôáò üôé ï ðáñïíïìáóôþò Qx) Ý åé áíáëõèåß óå ãéíüìåíï ðñùôïâüèìéùí êáé äåõôåñïâüèìéùí üñùí, 3 ç ñçôþ óõíüñôçóç ::5 ) åßíáé äõíáôüí íá áíáëõèåß óå Üèñïéóìá áðëþí êëáóìüôùí ùò åîþò: i) ï ðáñüãïíôáò ìå ðáñïíïìáóôþ ax + b áíáëýåôáé óå áðëü êëüóìá ôçò ìïñöþò A ;..5 - ) ax + b ii) ï ìå ðáñïíïìáóôþ ax + b), áíôßóôïé á ax + b) 3, óå A ax + b + B ; áíôßóôïé á..5-3) ax + b) A ax + b + B ax + b) + C ; ê.ëð...5-4) ax + b) 3 3 Ðåñéðôþóåéò ðáñáãüíôùí áíùôýñïõ âáèìïý äå èá åîåôáóôïýí. Ï áíáãíþóôçò ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ãéá ôç ãåíéêþ ðåñßðôùóç êáé ôá ó åôéêü ìå áõôþ èåùñþìáôá.
ÏëïêëÞñùóç ñçôþí óõíáñôþóåùí iii) ï ìå ax + bx + c óå Ax + B ax ; ê.ëð...5-5) + bx + c Ç ìýèïäïò ðñïóäéïñéóìïý ôùí óõíôåëåóôþí A, B, C; : : : ðïõ èá åîåôáóôåß óôï ìüèçìá áõôü óôçñßæåôáé óôç óýãêñéóç ôùí óõíôåëåóôþí ôùí ßóùí äõíüìåùí ôïõ x. ÐáñÜäåéãìá..5 - Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I = x + x ; üôáí x 3; 4: + x Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôçí ::5 ) Ý ïõìå x + x + x = x + x 3)x + 4) = A x 3 + B x + 4 : ) ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò êáé ôá äýï ìýëç ôçò ) ìå ôïí ðáñïíïìáóôþ ðïõ áíáëýåôáé, äçëáäþ ìå x 3)x + 4), ðñïêýðôåé üôé x + = Ax + 4) + Bx 3): ) Ç ) ãñüöåôáé A + B )x + 4A 3B = 0 ðïõ ãéá íá éó ýåé ãéá êüèå x R, ðñýðåé A + B = 4A 3B = ; ïðüôå A = 5 7 êáé B = 7 : ÔåëéêÜ óýìöùíá êáé ìå ôçí ) Ý ïõìå I = 5 7 x 3 + 7 x + 4 = 5 7 ln x 3 + ln x + 4 + c: 7
Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñÜäåéãìá..5 - ¼ìïéá ôï ïëïêëþñùìá I = ; üôáí x ±: x + )x ) Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôéò ::5 ) - ::5 3) Ý ïõìå x + )x ) = A x + + B x + C x ) ; ïðüôå = Ax ) + Bx )x + ) + Cx + ): 3) Ç 3) ãñüöåôáé A + B)x + A + C)x + A B + C ) = 0 ðïõ ãéá íá éó ýåé ãéá êüèå x R, ðñýðåé A + B = 0 A + C = 0 ïðüôå A = 4 ; B = 4 êáé C = : A B + C = ; ÔåëéêÜ I = 4 x + 4 x + x ) = 4 ln x + 4 ln x + { x ) + + }} { x ) x ) = 4 ln x + 4 ln x x ) + c: ÐáñÜäåéãìá..5-3 ¼ìïéá ôï ïëïêëþñùìá I = x x ) x ; üôáí x : + 4)
ÏëïêëÞñùóç ñçôþí óõíáñôþóåùí 3 Ëýóç. ¼ìïéá óýìöùíá ìå ôéò ::5 ) êáé ::5 5) Ý ïõìå x x ) x + 4) = A x + Bx + C x + 4 ; ïðüôå ) x = A x + 4 + Bx + C)x ): 4) Ç 4) ãñüöåôáé A + B)x + B + C )x + 4A C) = 0 ðïõ ãéá íá éó ýåé ãéá êüèå x R, ðñýðåé A + B = 0 B + C = ïðüôå A = 5 ; B = 5 êáé C = 4 5 : 5) 4A C = 0; ÔåëéêÜ Ý ïõìå I = 5 x + + 5 x x + 4 + 4 5 x + 4 = 5 ln x + + I + I üðïõ I = 5 x x + 4 = 5 x {}}{ x + 4) x + 4 = ) 0 ln x + 4 ; I = 4 5 x + 4 = 4 5 x ) = 4 4 + 5 ) x + = 5 ) x ) x = ) x 5 tan : +
4 Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ñá I = 5 ) ln x + + 0 ln x + 4 + ) x 5 tan + c: Ï õðïëïãéóìüò ôïõ ïëïêëçñþìáôïò ìå ôï MATLAB ãßíåôáé ìå ôçí åíôïëþ: >> syms x >> intx/x-)*x^+4)),x) II. Ï âáèìüò ôïõ áñéèìçôþ åßíáé ìåãáëýôåñïò Þ ßóïò áðü ôï âáèìü ôïõ ðáñïíïìáóôþ Áñ éêü óôçí ::5 ) ãßíåôáé ç äéáßñåóç ôùí ðïëõùíýìùí P x) êáé Qx), ïðüôå ç ðåñßðôùóç áõôþ áíüãåôáé ôåëéêü óôç ðåñßðôùóç I. ÐáñÜäåéãìá..5-4 óôù ôï ïëïêëþñùìá x 3 x ; üôáí x ±: 4 Áðü ôç äéáßñåóç ôïõ áñéèìçôþ êáé ôïõ ðáñïíïìáóôþ êáé ìåôü ôçí áíüëõóç óå áðëü êëüóìáôá Ý ïõìå x 3 x 4 = x + 4x x 4 = x + 7 4 x + 9 4 x + ; ïðüôå x 3 x x = 4 + 7 4 ln x + +9 ln x + + c: 4 óêçóç Íá õðïëïãéóôïýí ôá áüñéóôá ïëïêëçñþìáôá ôùí ðáñáêüôù ñçôþí óõíáñôþóåùí fx) i) ii) iii) x 3 x + )x 5) iii) x )x ) iv) e x + e x viii) x 4 x 3 x 3 x x + :
ÏëïêëÞñùóç ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôþóåùí 5..6 ÏëïêëÞñùóç ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôþóåùí ÅîåôÜæïíôáé ìüíïí ïé ìïñöýò: sin mx cos nx, sin mx sin nx êáé cos mx cos nx Óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò ñçóéìïðïéïýíôáé ïé ðáñáêüôù ôýðïé ôçò Ôñéãùíïìåôñßáò sin A cos B = sina + B) + sina B);..6 - ) sin A sin B = cosa B) cosa + B);..6 - ) cos A cos B = cosa B) + cosa + B):..6-3) Åðßóçò éó ýïõí sin x = cos x êáé cos x = + cos x :..6-4) ÐáñÜäåéãìá..6 - Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï ::6 ) Ý ïõìå sin x sin 3x = [cosx 3x) cosx + 3x)] = cos x cos 4x) sin x 4 sin 4x ) = = 4 sin x 8 sin 4x + c: óêçóç 4 Íá õðïëïãéóôïýí ôá áüñéóôá ïëïêëçñþìáôá ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí fx) 4 Óôçí i) íá ñçóéìïðïéçèåß ðñþôá ç ::6 4).
6 Áüñéóôï ïëïêëþñùìá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò i) sin x cos 4x iii) sin 0x sin 8x ii) sin x sin x iv) sin x sin x sin 3x...7 Ðñïóåããéóôéêüò õðïëïãéóìüò ïëïêëçñþìáôïò Óôá ðåñéóóüôåñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôï ïëïêëþñùìá äåí õðïëïãßæåôáé ìå êáíýíá ìåôáó çìáôéóìü Þ Üëëç ôñïðïðïßçóç ôçò ïëïêëçñùôýáò óõíüñôçóçò. Ç ãåíéêþ áíôéìåôþðéóç ôïõ ðñïâëþìáôïò, ìýñïò ôïõ ïðïßïõ èá ìåëåôçèåß óå ðñïóå Ýò åîüìçíï, åßíáé áíôéêåßìåíï ìåëýôçò ôùí ìáèçìáôéêþí êáé ï áíáãíþóôçò ðáñáðýìðåôáé ãéá ðåñáéôýñù ìåëýôç óôç âéâëéïãñáößá. Óôï ìüèçìá áõôü èá ãßíåé ç ðñïóýããéóç ôïõ ïëïêëçñþìáôïò ìå áíôéêáôüóôáóç ôçò ïëïêëçñùôýáò óõíüñôçóçò Þ üñïõ áõôþò ìå ôï áíôßóôïé ï ðïëõþíõìï ôïõ Taylor Þ ôïõ Maclaurin. ÐáñÜäåéãìá..7 - óôù ôï ïëïêëþñùìá e x : Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï ôïõ Maclaurin ôï ðïëõþíõìï 4ïõ âáèìïý ðïõ ðñïóåããßæåé ôçí ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç e x åßíáé ÅðïìÝíùò e x e x x + x4 : ) x + x4 = x x3 3 + x5 0 + c: ÐáñÜäåéãìá..7 - ¼ìïéá Ýóôù ôï ïëïêëþñùìá ln x ; üôáí x > : x Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor ìå êýíôñï, Ýóôù = e, ôï ðïëõþíõìï ïõ âáèìïý ðïõ ðñïóåããßæåé ôçí ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç ln x åßíáé ln x + x e e :
Ðñïóåããéóôéêüò õðïëïãéóìüò ïëïêëçñþìáôïò 7 ÅðïìÝíùò ln x x + x e x e ) = x e + lnx ) e + c: óêçóç ñçóéìïðïéþíôáò ôï ðïëõþíõìï ôïõ Maclaurin 5ïõ, áíôßóôïé á 4ïõ âáèìïý íá õðïëïãéóôïýí ôá ïëïêëçñþìáôá sin x cos x ; áíôßóôïé á x x : 5 5 Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. E-mail: bratsos@teiath.gr URL: http://users.teiath.gr/bratsos/
Âéâëéïãñáößá [] ÌðñÜôóïò, Á. 0), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{960{35{874{7. [] ÌðñÜôóïò, Á. 00), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 960{35{453{5/978{960{35{453{4. [3] ÎÝíïò È. 008), ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò, Åêäüóåéò ÆÞôç, ISBN 978{ 960{456{09{9. [4] Finney R. L., Giordano F. R. 004), Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ISBN 978{960{54{84{. [5] Spiegel M., Wrede R. 006), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Ôæéüëá, ISBN 960{48{087{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí http://en.wikipedia.org/wiki/main Page http://eqworld.ipmnet.ru/index.htm http://mathworld.wolfram.com/ http://eom.springer.de/ 9
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 04. Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα». Έκδοση:.0. Αθήνα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.