ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά αποτελέσματα εός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είαι το σύολο:ω={ω 1,ω 2,...,ω κ }. 1. Τι λέγεται εδεχόμεο εός πειράματος τύχης. Ποιο είαι το έαιο και ποιο το αδύατο εδεχόμεο. Έα σύολο που έχει ως στοιχεία έα ή περισσότερα αποτελέσματα εός πειράματος τύχης, δηλ έα υποσύολο του δειγματικού χώρου. Βέαιο είαι το εδεχόμεο Ω, εώ αδύατο το κεό σύολο. 2. Ποιες πράξεις γίοται στα εδεχόμεα Α Α και Β είαι δύο εδεχόμεα, έχουμε: Το εδεχόμεο A B, που διαάζεται Α τομή Β ή Α και Β και πραγματοποιείται, ότα πραγματοποιούται συγχρόως τα Α και Β. Το εδεχόμεο Α Β, που διαάζεται Α έωση Β ή Α ή Β και πραγματοποιείται, ότα πραγματοποιείται έα τουλάχιστο από τα Α, Β. Το εδεχόμεο A', που διαάζεται όχι Α ή συμπληρωματικό του Α και πραγματοποιείται, ότα δε πραγματοποιείται το Α. Το A' λέγεται και ατίθετο του Α. Το εδεχόμεο A - B, που διαάζεται διαφορά του Β από το Α και πραγματοποιείται, ότα πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. Είαι εύκολο α δούμε ότι A-B = A B'. 3. Πως διατυπώοται στη γλώσσα τω συόλω οι παρακάτω εκφράσεις. Το εδεχόμεο Α πραγματοποιείται : ω Α Το εδεχόμεο Α δε πραγματοποιείται : ω Α' (ή ω Α) Έα τουλάχιστο από τα Α και Β πραγματοποιείται : ω A B Πραγματοποιούται αμφότερα τα Α και Β : ω A B Δε πραγματοποιείται καέα από τα Α και Β : ω (Α Β)' Πραγματοποιείται μόο το Α : ω A - B (ή ω A B ') Η πραγματοποίηση του Α συεπάγεται τη πραγματοποίηση του Β : Α B 4. Πότε δυο εδεχόμεα εός πειράματος τύχης λέγοται ασυμίαστα. Δύο εδεχόμεα Α και Β λέγοται ασυμίαστα, ότα A B=. Δύο ασυμίαστα εδεχόμεα λέγοται επίσης ξέα μεταξύ τους ή αμοιαίως αποκλειόμεα. 1

5. Ποιος είαι ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας σε έα πείραμα τύχης με ισοπίθαα εδεχόμεα. Σε έα πείραμα με ισοπίθαα στοιχειώδη αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθαότητα του εδεχομέου Α το αριθμό: Από το προηγούμεο ορισμό προκύπτει άμεσα ότι: 3. Για κάθε εδεχόμεο Α ισχύει 0 P(A) 1, αφού το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχομέου είαι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος τω στοιχείω του δειγματικού χώρου. 6. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμίαστα μεταξύ τους εδεχόμεα Α,Β ισχύει Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β). Α ο αριθμός τω στοιχείω του Α είαι N(A)=κ και ο αριθμός τω στοιχείω του Β είαι N(Β)=λ, τότε το Α Β έχει κ+λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήτα ασυμίαστα. Δηλαδή, έχουμε N(A Β)=κ+λ= N(A)+N(Β). Ν(A Β) Ν(Α) Ν(Β) Ν(Α) Ν(Β) Επομέως: Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Β) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) 7. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά εδεχόμεα Α, Α ισχύει Ρ(Α)=1-Ρ(Α ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή A A'=, δηλαδή τα Α και A' είαι ασυμίαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωα με το απλό προσθετικό όμο:p(a A')=P(A)+P(A') άρα P(Ω)=P(A)+P(A') άρα 1=P(A)+P(A'). Οπότε P(A')=1-P(A). 8. Να αποδείξετε ότι για δύο εδεχόμεα Α,Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ). Για δυο εδεχόμεα Α και Β έχουμε N(A B)=N(A)+N(B)-N(A B), (1) αφού στο άθροισμα N(A)+N(B) το πλήθος τω στοιχείω του A B υπολογίζεται δυο φορές. Α διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με N(Ω) έχουμε: και επομέως P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως προσθετικός όμος. 9. Να αποδείξετε ότι για δύο εδεχόμεα Α,Β εός δειγματικού χώρου Ω α ΑΒ τότε Ρ(Α) Ρ(Β). Επειδή A B έχουμε διαδοχικά: N(A) N(Β) N(A) N(B) Ρ(Α) Ρ(Β) N(Ω) N(Ω) 10. Να αποδείξετε ότι για δύο εδεχόμεα Α,Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-Ρ(ΑΒ). Επειδή τα εδεχόμεα A-B και A B είαι ασυμίαστα και (A-B) (A B)=A, έχουμε:p(a)=p(a-b)+p(a B) Άρα P(A-B)=P(A)-P(A B) 2

11. Αξιοσημείωτες ταυτότητες (α + ) 2 = α 2 + 2α + 2 (α - ) 2 = α 2-2α + 2 α 2-2 = ( α + ) ( α - ) (α + ) 3 = α 3 + 3α 2 + 3α 2 + 3 (α - ) 3 = α 3-3α 2 + 3α 2-3 α 3 + 3 =(α + ) (α 2 - α + 2 ) α 3-3 =( α - ) ( α 2 + α + 2 ) (α + + γ ) 2 = α 2 + 2 + γ 2 + 2α + 2γ + 2γα 12. Ιδιότητες αισοτήτω (α>0 και >0) α + > 0 και (α < 0 και < 0) α + < 0 α, ομόσημοι α > 0 0 α α > 0 και α, ετερόσημοι α < 0 0 α 2 0, για κάθε α R. (Η ισότητα ισχύει μόο ότα α = 0) 2 2 2 2 A α 0 α = 0 και = 0 και α α 0 α 0 ή 0 (α > και > γ) α > γ α> α + γ > + γ Α γ > 0, τότε: α > α γ > γ Α γ < 0, τότε: α > α γ < γ (α > και γ > δ ) α + γ > + δ Για θετικούς αριθμούς α,, γ, δ ισχύει η συεπαγωγή: (α > και γ > δ ) α γ > δ Για θετικούς αριθμούς α, και θετικό ακέραιο ισχύει η ισοδυαμία: α> α > 13. Διαστήματα ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ α x [α, ] α x [α, ) α < x (α, ] α < x (α, ) x α [α, + ) x > α (α, + ) x α (-, α] 3

x < α (-, α) 14. Πως ορίζεται η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού α. Η απόλυτη τιμή εός πραγματικού αριθμού α συμολίζεται με α και ορίζεται από το τύπο: Δηλαδή: Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είαι ο ίδιος ο αριθμός. Η απόλυτη τιμή αρητικού αριθμού είαι ο ατίθετός του. 0 = 0. Γεωμετρικά παριστάει τη απόσταση του αριθμού α από τη αρχή τω αξόω Ο : 15. Ιδιότητες τω απόλυτω τιμώ α = -α 0 α α και α -α Α θ>0, τότε: x = θ x = θ ή x = -θ x = α x = α ή x = -α α 2 = α 2 α = α α α α + α + 16. Να αποδείξετε ότι για κάθε α, R είαι: α = α. Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας α = α είαι μη αρητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά: α = α α 2 = ( α ) 2 α 2 = α 2 2 (α ) 2 = α 2 2,που ισχύει, άρα και η αρχική. 17. Να αποδείξετε ότι για κάθε α, R είαι: α+ α + Επειδή και τα δύο μέλη της αισότητας α + < α + είαι μη αρητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά: α+ α + α+ 2 ( α + ) 2 (α + ) 2 α 2 + 2 + 2 α α 2 + 2 + 2α α 2 + 2 + 2 α α α, που ισχύει άρα και η αρχική. Είαι φαερό ότι η ισότητα α = α ισχύει α και μόο α α 0, δηλαδή α και μόο α οι αριθμοί α και είαι ομόσημοι ή έας τουλάχιστο από αυτούς είαι ίσος με μηδέ. 18. Πως ορίζεται η τετραγωική ρίζα εός μη αρητικού αριθμού α και ποιες είαι οι ασικές ιδιότητες : H τετραγωική ρίζα εός μη αρητικού αριθμού α συμολίζεται με υψωθεί στο τετράγωο, δίει το α. Άρα α α>0, η παριστάει τη μη αρητική λύση της εξίσωσης x 2 = α. Ιδιότητες και είαι ο μη αρητικός αριθμός που, ότα 4

19. Πως ορίζεται η -οστή ρίζα εός μη αρητικού αριθμού α και ποιες είαι οι ασικές ιδιότητες : Η -οστή ρίζα εός μη αρητικού αριθμού α συμολίζεται με και είαι ο μη αρητικός αριθμός που, ότα υψωθεί στη, δίει το α. Ορίζουμε Άρα α α 0, τότε η παριστάει τη μη αρητική λύση της εξίσωσης x = α. Ιδιότητες τω ριζώ: Α α 0, τότε: α α και α α Α α 0 και άρτιος, τότε: α α Α α, 0, τότε: α α ρ μρ μ α α 20. Να αποδείξετε ότι α α, μη αρητικοί πραγματικοί αριθμοί ισχύει. Έχουμε: α α α α α α α α αρχική. 21. Δυάμεις με ρητό εκθέτη που ισχύει, άρα και η Α α>0, μ ακέραιος και θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε: 22. Η εξίσωση x = α Η εξίσωση x = α, με α>0 και περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριώς μια λύση τη α Η εξίσωση x = α, με α<0 και περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριώς μια λύση τη - α Η εξίσωση x = α, με α>0 και άρτιο φυσικό αριθμό, έχει ακριώς δύο λύσεις τις α και - α Η εξίσωση x = α, με α<0 και άρτιο φυσικό αριθμό, είαι αδύατη Α ο περιττός τότε η εξίσωση x = α έχει μοαδική λύση, τη x = α Α ο άρτιος τότε η εξίσωση x = α έχει δύο λύσεις, τις x 1 = α και x 2 = - α. 23. Να επιλύσετε τη εξίσωση αx+=0. αx + = 0 αx + - = - αx = - Διακρίουμε τώρα τις περιπτώσεις: Α α 0 τότε: αx = - Άρα, α α 0 η εξίσωση έχει ακριώς μία λύση, τη. Α α = 0, τότε η εξίσωση αx = - γίεται 0x = -, η οποία: i. α είαι 0 δε έχει λύση και γι αυτό λέμε ότι είαι αδύατη, εώ ii. α είαι = 0 έχει τη μορφή 0x = 0 και αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x δηλαδή είαι ταυτότητα. Η λύση της εξίσωσης αx + = 0 και γεικά κάθε εξίσωσης λέγεται και ρίζα αυτής. 5

24. Ποιες περιπτώσεις συατάμε στη επίλυση της εξίσωσης αx 2 +x+γ=0. Δ = 2-4αγ Η εξίσωση αx 2 + x + γ = 0, α 0 Δ > 0 Έχει δύο ρίζες άισες τις Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη Δ < 0 Είαι αδύατη στο R. 25. Να αποδείξετε ότι α η εξίσωση αx 2 +x+γ=0 έχει πραγμ. ρίζες x 1, x 2 τότε ισχύει x 1 + x 2 =-, εώ x 1 x 2 =. Ότα η εξίσωση έχει δύο ρίζες (Δ>0) τότε είαι Έτσι είαι : S= + =. P = =. 26. Σε ποιες τρεις ασικές μορφές μετασχηματίζεται έα τριώυμο αx 2 +x+γ : Διακρίουμε τις εξής περιπτώσεις: Δ>0. Τότε ισχύει : αx 2 + x + γ = α(x - x 1 )(x - x 2 ), όπου x 1, x 2 οι ρίζες του τριωύμου. Άρα, ότα Δ>0, τότε το τριώυμο μετατρέπεται σε γιόμεο του α επί δύο πρωτοάθμιους παράγοτες. 2 2 Δ = 0. Τότε έχουμε: αχ χ γ αχ 2α Άρα, ότα Δ = 0, τότε το τριώυμο μετατρέπεται σε γιόμεο του α επί έα τέλειο τετράγωο. 2 2 Δ Δ<0. Τότε ισχύει : αχ χ γ α χ 2α 2 4α Επειδή για κάθε x R, η παράσταση μέσα στη αγκύλη είαι θετική, το τριώυμο δε ααλύεται σε γιόμεο πρωτοάθμιω παραγότω. 27. Ποιες είαι οι περιπτώσεις οι σχετικές με το πρόσημο εός τριωύμου : Α Δ>0, τότε, το τριώυμο είαι : ομόσημο του α στα διαστήματα εκτός τω ριζώ του και ετερόσημο του α στο διάστημα ετός τω ριζώ του. Α Δ = 0, τότε το τριώυμο είαι ομόσημο του α για κάθε πραγματικό χ, εώ μηδείζεται για χ 2α 2α Α Δ<0, τότε το τριώυμο είαι ομόσημο του α σε όλο το R. 28. α) Με ποιες συθήκες είαι έα τριώυμο θετικό για κάθε πραγματική τιμή του χ ; Δ<0 και α>0 ) Με ποιες συθήκες είαι έα τριώυμο αρητικό για κάθε πραγματική τιμή του χ : Δ<0 και α<0 6

29. Να επιλύσετε τη αίσωση αx+>0. ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ αx + > 0 αx + - >- αx >- Διακρίουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις: αχ Α α>0, τότε: αχ χ α α α αχ Α α<0, τότε: αχ χ. α α α Α α = 0, τότε η αίσωση γίεται 0x>-, η οποία: α είαι >0 αληθεύει για κάθε x R, α είαι <0 είαι αδύατη. 30. Πότε μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος. Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεό του με πρόσθεση του ίδιου πάτοτε αριθμού. Το αριθμό αυτό το συμολίζουμε με ω και το λέμε διαφορά της προόδου. Επομέως, η ακολουθία (α) είαι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω, α και μόο α ισχύει: 31. Να δείξετε ότι σε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω, για το -στό όρο α ισχύει α = α 1 +(-1)ω. Από το ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε: Προσθέτοτας κατά μέλη της αυτές ισότητες και εφαρμόζοτας τη ιδιότητα της διαγραφής ρίσκουμε α =α 1 +(-1)ω. 32. Να δείξετε ότι τρεις αριθμοί α,,γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α και μόο α. (αριθμητικός μέσος) Α πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α,, γ μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω, τότε ισχύει: Αλλά και ατιστρόφως, α για τρεις αριθμούς α,, γ ισχύει τότε έχουμε που σημαίει ότι οι α,, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ο λέγεται αριθμητικός μέσος τω α και γ. Αποδείξαμε λοιπό ότι: Τρεις αριθμοί α,,γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α και μόο α ισχύει 33. Με τι ισούται το άθροισμα τω πρώτω διαδοχικώ όρω αριθμητικής προόδου 7

34. Πότε μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος. Να δείξετε ότι σε μια γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α 1 και λόγο λ, για το -στό όρο α ισχύει α = α 1.λ -1 Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεο με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό αριθμό. Το αριθμό αυτό το συμολίζουμε με λ και το λέμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (α ) υποθέτουμε πάτα ότι α 1 # 0, οπότε, αφού είαι και λ 0, ισχύει α 0 για κάθε v N *. Επομέως, η ακολουθία (α ) είαι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, α και μόο α ισχύει: Ο ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α1 και λόγο λ είαι α =α 1 λ -1 Απόδειξη Από το ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε: Πολλαπλασιάζοτας κατά μέλη τις αυτές ισότητες και εφαρμόζοτας τη ιδιότητα της διαγραφής, ρίσκουμε α =α 1 λ -1 35. Να δείξετε ότι τρεις αριθμοί α,,γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου α και μόο α 2 (γεωμετρικός μέσος) Α πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α,, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει Αλλά και ατιστρόφως, α για τρεις αριθμούς α,, γ 0 ισχύει 2 = αγ, τότε που σημαίει ότι οι α,, γ είαι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός λέγεται γεωμετρικός μέσος τω α και γ. Αποδείξαμε λοιπό ότι: Τρεις μη μηδεικοί αριθμοί α,, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, α και μόο α ισχύει 2 = αγ. 36. Τι λέγεται συάρτηση από έα σύολο Α σε έα σύολο Β. Συάρτηση από έα σύολο Α σε έα σύολο Β λέγεται μια διαδικασία με τη οποία κάθε στοιχείο του συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριώς στοιχείο του συόλου Β. 37. Τι γωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συάρτησης με τύπο y = αx+. Τι παριστάει το α και τι το ; Η γραφική παράσταση είαι μια ευθεία γραμμή, η οποία σχηματίζει με το άξοα γωία ω όπου εφω =α. Ο α επομέως παριστάει τη κλίση της ευθείας. Επειδή για x=0 προκύπτει y=, το σημείο (0,) είαι το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμει το άξοα y y. 38. Με τι ισούται η απόσταση δύο σημείω Α(x 1,y 1 ) και B(x 2,y 2 ) σε έα ορθοκαοικό σύστημα αξόω; (AB) = 8