ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΡΟΩΝ ΦΟΡΤΙΟΥ Σε αρκετές εφαρµογές είναι επιθυµητή η γρήγορη αλλά προσεγγιστική επίλυση των εξισώσεων ροών φορτίου. ύο από τις µεθοδολογίες αυτές θα συζητηθούν στο κεφάλαιο αυτό. D.C. Ροή Φορτίου Η D.C. ροή φορτίου είναι µία απλούστευση των εξισώσεων ροών φορτίου. Η απλούστευση αυτή οδηγεί σε ένα µοντέλο που περιγράφει µόνο τη ροή πραγµατικής ισχύος. Οι άεργες ισχείς αγνοούνται. Οι βασικές υποθέσεις για την ανάπτυξη του µοντέλου αυτού είναι: R a R << X R 0 g 0 R 0 R + X b δ δ δ 0 sn δ δ, cosδ c Τα µέτρα των τάσεων παραµένουν σταθερά. Ας θεωρήσουµε τις εξισώσεις πραγµατικής ροής φορτίου σε υβριδική µορφή: α ( P V g + g V V s α α όπου α είναι το σύνολο των ζυγών που είναι συνδεδεµένοι µε το ζυγό, και και a g cos( δ δ + b sn( δ δ ( Με τις παραπάνω υποθέσεις οι ανωτέρω εξισώσεις µετατρέπονται σε: a b sn( δ δ b ( δ δ (3 (4 P V α V V b ( δ δ V α α Ορίζουµε ως: C C VV b α C (5
Συνήθως θεωρούµε V αµ... H εξίσωση (4 υπονοεί ότι η ροή P σε ένα κύκλωµα µεταξύ των ζυγών και δίνεται από την εξίσωση: P C ( δ δ (6 Για ένα σύστηµα n ζυγών µπορεί να γραφεί µία εξίσωση (4 για κάθε ζυγό, εκτός από το ζυγό ταλαντώσεως. Οι n αυτές εξισώσεις µπορεί να γραφούν στην ακόλουθη µητρική µορφή: όπου P Cδ (7 P δ P3 δ3 P δ P δ n n (8 και C C C C C Cn C n 3 3n nn (9 όπου τα στοιχεία C, C ορίσθηκαν από την εξίσωση (5. Η λύση της µητρικής εξίσωσης (7 δίνει το διάνυσµα δ. Αντικατάσταση στην εξίσωση (6 δίνει τις πραγµατικές ροές ισχύος των κυκλωµάτων. Παράδειγµα Σε ένα δίκτυο 3 ζυγών (ζυγός : αναφοράς, ζυγός : παραγωγής, ζυγός 3: φορτίου δίνονται: b α.µ. b 3 4 α.µ. b 3 α.µ. P G 0,8 α.µ. P G,5 α.µ. S D3,3 α.µ. V V V 3 V 4 V 5,0 α.µ. Ζητούνται : a Να σχηµατίσετε τη µήτρα [C] των D.C. εξισώσεων ροής φορτίου. Θεωρείστε ως ζυγό ταλάντωσης το ζυγό. b Να επιλύσετε το πρόβληµα της D.C. ροής φορτίου.
Λύση: c : c 3 : 4 c 3 : c : c c 3 c 33 : c 3 c 3 c c 3 C : c 3 c 33 C 4 6 C 0.3 0. P: 0. 0..5.3 δ 0. : C P δ 0.3 rad δ.605 7.767 deg Επαναληπτική Γραµµική Επίλυση Ροών Φορτίου Στην µεθοδολογία αυτή µε κατάλληλους µετασχηµατισµούς οδηγούµαστε σε ανακυκλωτικές µητρικές εξισώσεις µε σταθερές Ιακωβιανές µήτρες. Στους µετασχηµατισµούς αυτούς θα γίνουν οι εξής αντικαταστάσεις: snψ ψ + snψ ψ cosψ + cosψ 3 ψ sn ψ ψ 6 ψ cosψ δ δ δ Αν θεωρήσουµε τις εξισώσεις πραγµατικής ροής φορτίου σε υβριδική µορφή: P V g + g V a V s a a V g + g V V ( g cosδ + b sn δ s a a ( cos ( sn { } V g + g V V g + δ + b δ δ V V bδ s a a a (0 ή { ( cos ( sn } V V bδ P V g + g + V V g + V V g δ + b δ δ s a a a a ( 3
Ορίζουµε τη µήτρα C της οποίας τα στοιχεία είναι: C C VV b α C ( Επίσης ορίζουµε ως: (3 P P V g + g + V V g s a a Η εξίσωση ( γράφεται: 3 δ δ P V V g + b (4 a 6 C δ + C δ P + P (5 a Γράφοντας για όλους τους ζυγούς (εκτός από το ζυγό ταλαντώσεως την εξίσωση (5 και θέτοντας τις εξισώσεις αυτές σε µητρική µορφή παίρνουµε: όπου Cδ P + P (6 και δ P P δ 3 P 3 P 3 δ P P δ n P n P n C C C C C Cn C n 3 3n nn (7 (8 Παροµοίως για τις εξισώσεις αέργων ροών φορτίου έχουµε: Q V b + b V b V V β s a a { snδ cosδ } V b + b V b V V g b s a a (9 4
ιαιρώντας µε V παίρνουµε: Q V snδ ( cosδ (0 V b + b V b + V b V g b s a a a ή Έστω ότι a a Q V ( Vb + V b + V b + bs + V g snδ b ( cosδ ( a a a είναι το σύνολο των ζυγών φορτίου (PQ που συνδέονται µε το ζυγό και είναι το σύνολο των ζυγών παραγωγής (PV που συνδέονται στον ίδιο ζυγό, δηλ. Η εξίσωση ( µπορεί να γραφεί ως: + a a a Q V b + Vb + V b + bs + V( g snδ b ( cosδ V b a a V a a a ( Ορίζουµε ως: D D b a b Q Q + V b + b V b s V a a 3 δ δ Q V g δ + b a 6 (3 H εξίσωση ( έπειτα γράφεται: D V + D V Q + Q (4 a Γράφοντας την εξίσωση (4 για όλους τους ζυγούς φορτίου (P, Q και θέτοντας τις εξισώσεις αυτές σε µητρική µορφή παίρνουµε: όπου DV Q + Q (5 5
V Q Q V Q Q V Q Q V Q Q (6 n +, m,,, m και D D D D D D D D D D (7 6
Κεφάλαιο ο Εκτίµηση Κατάστασης. Εισαγωγή Οι συνθήκες κάτω από τις οποίες λειτουργεί ένα Σύστηµα Ηλεκτρικής Ενέργειας (Σ.Η.Ε. ανά πάσα χρονική στιγµή, µπορούν να προσδιοριστούν πλήρως αν είναι γνωστό το µοντέλο του δικτύου και οι παραστατικοί µιγαδικοί των τάσεων (µέτρο και γωνία κάθε ζυγού. Εφόσον οι παραστατικοί µιγαδικοί των τάσεων προσδιορίζουν πλήρως το σύστηµα, αναφέρονται ως στατική κατάσταση συστήµατος. Υπάρχουν τρείς πιθανές καταστάσεις για ένα σύστηµα, η κανονική, η επείγουσα και η διορθωτική (Εικόνα. Εικόνα Η εισαγωγή της εκτίµησης κατάστασης στα Κέντρα Ελέγχου Ενέργειας διεύρυνε τις δυνατότητες των συστηµάτων SCADA, τα οποία οδήγησαν στα Συστήµατα ιαχείρισης Ενέργειας (Energy Management Systems EMS. Προκειµένου να αναγνωριστεί η τρέχουσα λειτουργική κατάσταση του συστήµατος, οι εκτιµητές κατάστασης διευκολύνουν στην ακριβή και αποδοτική παρακολούθηση των λειτουργικών περιορισµών ορισµένων ποσοτήτων, όπως η φόρτιση των γραµµών µεταφοράς ή τα µέτρα τάσεων των ζυγών. Επίσης, παρέχουν µια βάση δεδοµένων του συστήµατος, πραγµατικού χρόνου, περιλαµβανοµένης της τρέχουσας κατάστασης, πάνω στην οποία µπορούν να εφαρµοστούν λειτουργίες ελέγχου ασφάλειας του συστήµατος. Συνήθως, οι εκτιµητές κατάστασης περιλαµβάνουν τις παρακάτω λειτουργίες: Επεξεργαστής Τοπολογίας: Συγκεντρώνει δεδοµένα κατάστασης των αποζευκτών και διακοπτών και παράγει το τρέχον µονογραµµικό διάγραµµα του συστήµατος. Ανάλυση Παρατηρησιµότητας: Προσδιορίζει αν µπορεί να ληφθεί µία λύση από τον εκτιµητή κατάστασης, χρησιµοποιώντας το διαθέσιµο σύνολο µετρήσεων. Επίσης, αναγνωρίζει µη παρατηρήσιµους κλάδους και παρατηρήσιµες νησίδες του συστήµατος, αν υπάρχουν. Εκτίµηση κατάστασης: Προσδιορίζει τη βέλτιστη εκτίµηση για την κατάσταση του συστήµατος. Αυτή αποτελείται από τα µέτρα και τις γωνίες των τάσεων όλων των ζυγών του συστήµατος. 7
Επεξεργασία µη αποδεκτών δεδοµένων: Εντοπίζει την ύπαρξη µεγάλων σφαλµάτων στο σύνολο των µετρήσεων. Επιπλέον, αναγνωρίζει και εξαλείφει µη αποδεκτές µετρήσεις, µε την προϋπόθεση να υπάρχει πλεόνασµα µετρήσεων. Επεξεργασία παραµέτρων και δοµικών σφαλµάτων: Κάνει εκτίµηση διάφορων παραµέτρων του δικτύου. Εντοπίζει δοµικά σφάλµατα στην τρέχουσα διαµόρφωση του δικτύου και αναγνωρίζει τους αποζεύκτες που αναφέρουν λανθασµένη κατάσταση. Από τα παραπάνω, είναι εµφανές ότι ο εκτιµητής κατάστασης είναι ο «πυρήνας» της ανάλυσης ασφάλειας. Λειτουργεί ως φίλτρο ανάµεσα στις ακατέργαστες µετρήσεις και τις υπόλοιπες εφαρµογές που απαιτούν αξιόπιστα δεδοµένα. Τo µπλοκ διάγραµµα της ανάλυσης ασφάλειας παρουσιάζεται στην Εικόνα. Εικόνα. Αλγόριθµος Εκτίµησης Κατάστασης Η στατική εκτίµηση κατάστασης αναφέρεται στη διαδικασία λήψης των µετρήσεων τάσεων (µέτρου και φάσης, σε όλους τους ζυγούς τους συστήµατος, κάθε χρονική στιγµή. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί µε άµεση λήψη συγχρονισµένων µετρήσεων από όλους τους ζυγούς του συστήµατος. Ωστόσο, µια τέτοια µέθοδος δεν θα ήταν αξιόπιστη, εξαιτίας των σφαλµάτων των µετρήσεων αλλά και της αδυναµίας απόλυτα ταυτόχρονης λήψης µετρήσεων από αποµακρυσµένους ζυγούς. Αντί αυτής της µεθόδου, η εκτίµηση κατάστασης 8
χρησιµοποιεί ένα επαρκές σύνολο µετρήσεων, προκειµένου να φιλτράρει τα σφάλµατα και να υπολογίσει τη βέλτιστη εικόνα του συστήµατος. Όπως προαναφέρθηκε, ταυτόχρονες µετρήσεις από διαφορετικά µέρη του συστήµατος είναι πρακτικά αδύνατες και γι αυτό το λόγο µια χρονική απόκλιση ανάµεσα στις µετρήσεις είναι ανεκτή. Η ανοχή δικαιολογείται εξαιτίας των αργά µεταβαλλόµενων συνθηκών ενός Σ.Η.Ε. στην κανονική λειτουργία. Ο ορισµός της κατάστασης του συστήµατος περιλαµβάνει µόνο τις µιγαδικές τάσεις των ζυγών του συστήµατος, στη µόνιµη κατάσταση. Βέβαια, υπονοείται ότι η τοπολογία του δικτύου και οι παράµετροί του είναι πλήρως γνωστά. Ωστόσο, σφάλµατα στις παραµέτρους ή την τοπολογία εµφανίζονται µερικές φορές, εξαιτίας βλαβών σε εξοπλισµό. Τέτοια σφάλµατα µπορούν να αντισταθµιστούν από τον εκτιµητή κατάστασης... Υποθέσεις Το Σύστηµα Ηλεκτρικής Ενέργειας θεωρείται ότι λειτουργεί στη µόνιµη συµµετρική κατάσταση. Αυτό σηµαίνει ότι όλα τα φορτία, οι ροές ισχύος, οι γραµµές µεταφοράς και οι εγκάρσιες αγωγιµότητες του δικτύου θα είναι τριφασικά και συµµετρικά µεγέθη. Οι παραπάνω προϋποθέσεις επιτρέπουν τη χρήση του µονοφασικού ισοδύναµου για την εξαγωγή των µοντέλων των διαφόρων στοιχείων και τελικά του µοντέλου όλου του συστήµατος. Επιπλέον, όλα τα µεγέθη εκφράζονται στο ανά-µονάδα σύστηµα. Τα ακόλουθα µοντέλα στοιχείων θα χρησιµοποιηθούν στην ανάλυση του ΣΗΕ.... Γραµµές Μεταφοράς Οι γραµµές µεταφοράς αναπαρίστανται µε το δίθυρο ισοδύναµο π. Το µοντέλο µιας τέτοιας γραµµής µεταφοράς, που συνδέει το ζυγό µε το ζυγό, αποτελείται από µία εν σειρά σύνθετη αγωγιµότητα y g+ b και δύο εγκάρσιες σύνθετες αγωγιµότητες ys gs+ bs, µία συνδεδεµένη στο ζυγό και µία στο ζυγό. Το σχήµα του µοντέλου φαίνεται στην Εικόνα 3.... Εγκάρσια Στοιχεία Εικόνα 3 Τα εγκάρσια στοιχεία µπορεί να είναι είτε πυκνωτές είτε αυτεπαγωγές και χρησιµοποιούνται για τον έλεγχο της τάσης ή της άεργου ισχύος. Αναπαρίστανται µε µία εγκάρσια φανταστική αγωγιµότητα ys bs. Το πρόσηµο της τιµής της αγωγιµότητας καθορίζει τον τύπο του εγκάρσιου στοιχείου: αν είναι θετικό ( b 0 s > αντιστοιχεί σε 9
εγκάρσιο πυκνωτή, ενώ αν είναι αρνητικό ( b 0 σχήµα του µοντέλου φαίνεται στην Εικόνα 4. s < αντιστοιχεί σε εγκάρσια αυτεπαγωγή. Το Εικόνα 4...3 Φορτία και Γεννήτριες Τα φορτία σταθερής ισχύος και οι γεννήτριες αναπαρίστανται ως ισοδύναµες µιγαδικές εγχύσεις ισχύος και ως εκ τούτου δεν έχουν καµία επίδραση στο µοντέλο του δικτύου. Η γεννήτρια έχει µιγαδική έγχυση S G PG + Q µε θετική ενεργό ισχύ, ενώ το φορτίο G σταθερής ισχύος έχει µιγαδική έγχυση S D PD + Q µε αρνητική ενεργό ισχύ. Αντίθετα, D τα φορτία σταθερής αγωγιµότητας έχουν επίδραση στο µοντέλο του δικτύου και αναπαρίστανται ως εγκάρσιες σύνθετες αγωγιµότητες ys gs+ bs. Στην Εικόνα 5 φαίνονται τα σχήµατα για φορτίο σταθερής αγωγιµότητας, σταθερής ισχύος και γεννήτριας αντίστοιχα. Πίνακας Ενεργός Ισχύς P Άεργος Ισχύς Q Φορτίο Σταθερής Αγωγιµότητας P> 0 ή P< 0 Q> 0 ή Q< 0 Φορτίο Σταθερής Ισχύος P< 0 Q> 0 ή Q< 0 Γεννήτρια P> 0 Q> 0 ή Q< 0 Εικόνα 5 0
...4 Μετασχηµατιστές Ο πραγµατικός µετασχηµατιστής µοντελοποιείται ως ένας ιδανικός µετασχηµατιστής, µε λόγο µετασχηµατισµού a εν σειρά µε µια ισοδύναµη σύνθετη αντίσταση Z R+ X, όπως φαίνεται στην Εικόνα 6. Οι ακροδέκτες του πραγµατικού µετασχηµατιστή αντιστοιχούν στους ζυγούς και. Οι εξισώσεις κόµβων του δίθυρου δικτύου προκύπτουν αν εκφραστούν κατάλληλα τα ρεύµατα I και I στα άκρα του κλάδου της σύνθετης αντίστασης. Αν η σύνθετη αγωγιµότητα του κλάδου είναι y, τότε τα ρεύµατα Z συναρτήσει των τάσεων υ και υ δίνονται από το σύστηµα εξισώσεων: I y y υ I y y υ Αν αντικατασταθούν το ρεύµα I και η τάση υ µε I a I υ, τότε: υ a y y I a a υ I y υ y a Το σχήµα του τελικού µοντέλου του µετασχηµατιστή φαίνεται επίσης στην Εικόνα 6. Εικόνα 6
...5 Γενικευµένος Ζυγός Συστήµατος Ηλεκτρικής Ενέργειας- ιάνυσµα κατάστασης σε πολικές συντεταγµένες Ας θεωρήσουµε το γενικευµένο ζυγό ενός ΣΗΕ. Σε αυτόν συνδέεται µια γραµµή µεταφοράς, της οποίας το άλλο άκρο συνδέεται στο ζυγό και παριστάνεται µε το ισοδύναµο π µοντέλο. Στο ζυγό είναι επίσης συνδεδεµένη µία εγκάρσια σύνθετη αγωγιµότητα y s, που παριστάνει οποιονδήποτε συνδυασµό πυκνωτών, αυτεπαγωγών ή φορτίων σταθερής σύνθετης αγωγιµότητας. Η γεννήτρια που συνδέεται στο ζυγό εγχέει µιγαδική ισχύ S G, ενώ το αντίστοιχο φορτίο σταθερής ισχύος απορροφά µιγαδική ισχύ Η µιγαδική τάση στο ζυγό συµβολίζεται µε V και η µιγαδική τάση στο ζυγό µε S D. Μετασχηµατιστής δεν υπάρχει στο ζυγό, αλλά αν υπήρχε θα ήταν συνδεδεµένος εν σειρά µε τη γραµµή µεταφοράς, οπότε θα µπορούσε να υπολογιστεί ένα ισοδύναµο κύκλωµα που θα αποτελείτο από µία σύνθετη αγωγιµότητα γραµµής y και δύο εγκάρσιες αγωγιµότητες y s, όπως στην Εικόνα 7. Τα µιγαδικά µεγέθη των τάσεων µπορούν να εκφρασθούν σε τριγωνοµετρική µορφή, ενώ οι σταθερές σύνθετες αγωγιµότητες σε καρτεσιανή µορφή: V V cos δ + V snδ V V cos δ + V snδ y g + b ys gs + bs y g + b V. Εικόνα 7
Οι εξισώσεις έγχυσης και ροής ισχύος συναρτήσει των µέτρων τάσεων, γωνιών τάσεων και αγωγιµοτήτων, είναι οι παρακάτω: όπου, { cos( δ δ sn( δ δ } P V g + g + V g V V g + b s a a { sn( δ δ cos( δ δ } Q V b + b V b V V g b s a a { } cos( δ δ sn( δ δ P V g + g VV g + b s { } sn( δ δ cos( δ δ Q V b + b VV g b s P, Q : η έγχυση ενεργού (αέργου ισχύος στο ζυγό P, Q : η ροή ενεργού (αέργου ισχύος στη γραµµή V, δ : το µέτρο και το όρισµα της τάσης του ζυγού Στις εξισώσεις ισχύος το σύνολο α είναι το σύνολο των ζυγών οι οποίοι είναι συνδεδεµένοι µε το ζυγό και η διαφορά δ δ γράφεται για λόγους συντοµίας ως δ δ δ. Εάν θέσουµε b sn α g cos δ + δ b cos β g sn δ δ Τότε οι εκφράσεις ενεργού και αέργου ροής και ισχύος, γίνονται: P V g + g + V g V Vα s a a Q V b + b V b V V β s a a P V g + g VVα s Q V b + b VV β s Παράλληλα, η τιµή του ρεύµατος που διαρρέει τη γραµµή υπολογίζεται µε βάση τον ο κανόνα του Krchhoff, ως: 3
I V y + V V y V y + y V y s s ή { cosδ snδ cosδ snδ } I V g + gs b + bs V g b + { cosδ snδ cos sn } s s δ δ + V b + b + g + g V b + g Θεωρώντας ότι το πραγµατικό και φανταστικό µέρος του ρεύµατος συµβολίζονται µε I,r και I,, αντίστοιχα, θα έχουµε ότι: I,r V ( g+ gs cos δ ( b + bs snδ V g cosδ b snδ I, V ( b + bs cos δ+ ( g+ gs snδ V b cosδ + g snδ H πολική µορφή της µιγαδικής έκφρασης του ρεύµατος, θα είναι: I I θ όπου I I + I το µέτρο και, r, I, θ arctg I,r το όρισµα του µιγαδικού. Πιο αναλυτικά οι εκφράσεις για το µέτρο και το όρισµα, δίνονται από τις σχέσεις: I A V + B V + C VV όπου A ( g+ gs + ( b + bs B g b ( + C ( b + bs β ( g + gs α και V b bs cosδ g gs snδ V b cosδ g snδ + + + + θ arctg V g + g s cosδ b + b s snδ V g cosδ b snδ Παραστατικά η γωνία αυτή φαίνεται στην εικόνα 8. 4
Εικόνα 8...6 Γενικευµένος Ζυγός Συστήµατος Ηλεκτρικής Ενέργειας- ιάνυσµα κατάστασης σε καρτεσιανές συντεταγµένες Ας θεωρήσουµε και πάλι το γενικευµένο ζυγό ενός συστήµατος ηλεκτρικής ενέργειας, όπως φαίνεται στην εικόνα 7. Εάν το διάνυσµα κατάστασης είναι εκπεφρασµένο σε καρτεσιανές συντεταγµένες, τότε τα διανύσµατα των τάσεων και του ρεύµατος µπορούν να γραφούν ως εξής: V E + F V E + F I I, r + I, Η αναλυτική έκφραση του ρεύµατος, εφαρµόζοντας και πάλι τον ο κανόνα του Krchhoff, θα δίνεται από τη σχέση: { } + { ( gs+ g F + ( bs + b E gf be } I g + g E b + b F g E + b F + s s και εποµένως το πραγµατικό και φανταστικό µέρος του ρεύµατος I, r και I, θα δίνονται, αντίστοιχα, από τις σχέσεις: I, r gs + g E bs + b F ge + bf I, gs+ g F + bs + b E gf be Οι σχέσεις αυτές εκφράζουν τις µετρήσεις ρεύµατος σε καρτεσιανή µορφή. 5
Η µιγαδική ροή ισχύος ορίζεται ως S * V I. Εποµένως: ( EI, r F I, ( F I, r E I, S E + F I I E I + F I E I + F I, r,, r,,, r + + Η ισχύς αυτή µπορεί να εκφρασθεί ως S P + Q, όπου P E I, r + F I, και Q F I E I οι ροές ενεργού και αέργου ισχύος στη γραµµή. Πιο αναλυτικά,, r, τόσο οι εκφράσεις των ροών, όσο και των εγχύσεων, θα δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: P ( g + g E + F + E g E + b F F g F + b E s Q ( b + b E + F + E g F + b E + F g E + b F s P E + F g + g + E g E + b F F g F + b E s α α α Q E + F b + b + E g F + b E + F g E + b F s α α α όπου και πάλι, α είναι το σύνολο των ζυγών που είναι συνδεδεµένοι µε το ζυγό... Εκτίµηση Μέγιστης Πιθανοφάνειας Ο στόχος της εκτίµησης κατάστασης είναι ο προσδιορισµός της πιο πιθανής κατάστασης του συστήµατος, βάσει κάποιων µετρούµενων ποσοτήτων. Ένας τρόπος να επιτευχθεί αυτός ο στόχος, είναι µε τη χρήση της Εκτίµησης Μέγιστης Πιθανοφάνειας. Τα σφάλµατα των µετρήσεων υποτίθεται ότι έχουν γνωστή κατανοµή πιθανότητας µε άγνωστες παραµέτρους. Η µικτή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας όλων των µετρήσεων, µπορεί να γραφεί βάσει αυτών των άγνωστων παραµέτρων. Αυτή η συνάρτηση αναφέρεται ως συνάρτηση πιθανοφάνειας και παίρνει τη µέγιστη τιµή της όταν οι άγνωστες παράµετροι επιλεγούν ώστε να είναι πιο «κοντά» στις πραγµατικές τους τιµές. Εποµένως, ένα πρόβληµα βελτιστοποίησης µπορεί να οριστεί, προκειµένου να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση πιθανοφάνειας, συναρτήσει των άγνωστων παραµέτρων. Η λύση θα δώσει την εκτίµηση µέγιστης πιθανοφάνειας για τις παραµέτρους που µας ενδιαφέρουν. Συνήθως, τα σφάλµατα των µετρήσεων υποτίθεται πως έχουν κανονική κατανοµή, της οποίας οι παράµετροι είναι η µέση τιµή µ και η διασπορά σ. Κατόπιν, το πρόβληµα της εκτίµησης µέγιστης πιθανοφάνειας επιλύεται γι αυτές τις δύο παραµέτρους.... Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Κανονικής Κατανοµής Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανοµής για µια τυχαία µεταβλητή z ορίζεται ως: 6
όπου z : τυχαία µεταβλητή µ : µέση τιµή της z ( E( z f ( z z µ σ e πσ σ : τυπική απόκλιση της z Η συνάρτηση f ( z αλλάζει σχήµα ανάλογα µε τις τιµές των παραµέτρων µ και σ. Ωστόσο, το σχήµα µπορεί να κανονικοποιηθεί εφαρµόζοντας αλλαγή µεταβλητής: οπότε: E µ u z σ σ ( u ( E( z µ 0 Var σ σ ( u Var( z µ Η νέα συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µετασχηµατίζεται στην:... Η Συνάρτηση Πιθανοφάνειας Φ σ u ( u e Έστω η µικτή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που αναπαριστά την πιθανότητα µέτρησης m ανεξάρτητων µετρήσεων, κάθε µία από τις οποίες έχει την ίδια κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η µικτή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µπορεί να εκφραστεί ως γινόµενο όλων των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας, αφού κάθε µέτρηση θεωρείται ανεξάρτητη από τις άλλες: όπου z : η -οστή µέτρηση f π ( z f( z f( z f m z m T z : [ z, z,, z m ] H συνάρτηση f m ( z ονοµάζεται συνάρτηση πιθανοφάνειας της τυχαίας µεταβλητής z. Ουσιαστικά, εκφράζει ένα µέτρο της πιθανότητας να παρατηρηθεί ένα συγκεκριµένο σύνολο µετρήσεων στο διάνυσµα z. Ο στόχος της εκτίµησης µέγιστης πιθανοφάνειας είναι η µεγιστοποίηση της συνάρτησης πιθανοφάνειας, µεταβάλλοντας, εν προκειµένω, τις παραµέτρους µ και σ. Για διευκόλυνση στους υπολογισµούς, η συνάρτηση αντικαθίσταται από το λογάριθµό της. Η νέα συνάρτηση λέγεται συνάρτηση Λογαριθµο-Πιθανοφάνειας, συµβολίζεται µε L, και δίνεται από: 7
L log f m ( z log f m z m z µ m log π σ Για να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση Λογαριθµο-Πιθανοφάνειας, πρέπει: να µεγιστοποιηθεί η log ( z m z να ελαχιστοποιηθεί το µ σ f m, ή αφού οι υπόλοιποι όροι του αθροίσµατος είναι σταθεροί. Το πρόβληµα ελαχιστοποίησης r z µ z E z. Η µέση τιµή της τυχαίας µπορεί να γραφεί συναρτήσει της διαφοράς ( µεταβλητής, µ, µπορεί να εκφραστεί ως h ( x, δηλαδή ως µία µη γραµµική συνάρτηση που συνδέει το διάνυσµα κατάστασης του συστήµατος x µε την - οστή µέτρηση. Το τετράγωνο της διαφοράς r πολλαπλασιάζεται µε το βάρος m z ελαχιστοποίησης του όρου µ σ m W log σ ι θα είναι ισοδύναµο µε το παρακάτω: ελαχιστοποίηση του W r µε z h( x + r m,,, m. σ. Τελικά, το πρόβληµα Η λύση του παραπάνω προβλήµατος λέγεται σταθµισµένη εκτιµήτρια ελαχίστων τετραγώνων για το διάνυσµα κατάστασης x....3 Μοντέλο Μετρήσεων και Υποθέσεις όπου: h T Έστω το παρακάτω σύνολο µετρήσεων: [ h ( x h ( x,, h ( x ], m ( ( z h x,x,,xn e z h x,x,,x e zm hm( x,x,,xn em n z + h x + e h ( x είναι η µη γραµµική συνάρτηση που συνδέει την -οστή µέτρηση µε το διάνυσµα κατάστασης x. 8
[ x, x, x ] T x, είναι το διάνυσµα κατάστασης του συστήµατος m [ e, e, e ] T e, είναι το διάνυσµα των σφαλµάτων των µετρήσεων. m Συνήθως, γίνονται οι παρακάτω υποθέσεις, σχετικά µε τις στατιστικές ιδιότητες των σφαλµάτων των µετρήσεων: E( e 0,,, m Τα σφάλµατα των µετρήσεων είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους: E [ e e ] 0 T Cov( e E[ ee ] R dag{ σ σ, σ }.,, m. Άρα, Η σταθµισµένη εκτιµήτρια ελαχίστων τετραγώνων θα πρέπει να ελαχιστοποιήσει την παρακάτω συνάρτηση: J ( x m ( z h ( x R T [ z h( x ] R [ z h( x ] Για να είναι ελάχιστη η J ( x, πρέπει να ικανοποιούνται τουλάχιστον οι συνθήκες πρώτης τάξης, δηλαδή: όπου H( x ( x h. x g ( x ( x J x H T ( x R [ z h( x ] 0 Αναπτύσσουµε την g ( x σε σειρά Taylor, γύρω από το σηµείο g ( x g( x + G( x ( x x + 0 Αγνοούµε τους όρους υψηλότερης τάξης ώστε να φτάσουµε σε µια επαναληπτική λύση, που είναι γνωστή ως µέθοδος Gauss-Newton: όπου, είναι ο δείκτης της επανάληψης x x [ G( x ] g( x + x είναι το διάνυσµα κατάστασης στην επανάληψη, G x : g ( x T T x H ( x R H( x, g( x H ( x R ( z h( x x 9
Ο πίνακας G ( x λέγεται µήτρα κέρδους. Είναι αραιός, θετικά ορισµένος και συµµετρικός, υπό την προϋπόθεση ότι το σύστηµα είναι πλήρως παρατηρήσιµο. Γενικά, κατά την επίλυση, ο G ( x δεν αντιστρέφεται, αλλά παραγοντοποιείται σε δύο τριγωνικούς πίνακες (έναν άνω και έναν κάτω τριγωνικό και κατόπιν το σύστηµα εξισώσεων επιλύεται µε εµπρός-πίσω αντικατάσταση σε κάθε επανάληψη : όπου x x + + x. G + T ( x x H ( x R [ z h( x ] Το παραπάνω σύνολο εξισώσεων αναφέρεται ως Κανονικές Εξισώσεις (Normal Equatons...3 Αλγόριθµος Εκτίµησης Κατάστασης Σταθµισµένων Ελαχίστων Τετραγώνων Η λύση των Κανονικών Εξισώσεων είναι επαναληπτική και γι αυτό το λόγο απαιτείται 0 µια αρχική εικασία για το διάνυσµα κατάστασης του συστήµατος x. Στην περίπτωση των συστηµάτων ηλεκτρικής ενέργειας, θεωρούµε µοναδιαία µέτρα τάσεων (ανά-µονάδα και µηδενικές γωνίες τάσεων (rad. Τα βήµατα του αλγορίθµου είναι τα ακόλουθα:. Εκκίνηση επαναλήψεων και ορισµός του δείκτη επανάληψης 0.. Αρχικοποίηση του διανύσµατος κατάστασης στην τιµή 3. Υπολογισµός του πίνακα κέρδους ( x G. T 4. Υπολογισµός του δεξιού µέλους t H( x R ( z h( x 5. Παραγοντοποίηση του ( x G και επίλυση για την εύρεση του 0 x, που αναφέρθηκε πριν.. x +. 6. Έλεγχος για σύγκλιση, αν το max x + ε, όπου ε το µέγιστο σφάλµα. 7. Αν όχι, x + x + x, + και επιστροφή στο βήµα 3. Αν ναί, τέλος. Ο παραπάνω αλγόριθµος περιλαµβάνει τους εξής υπολογισµούς σε κάθε επανάληψη : T. Υπολογισµός του δεξιού µέλους t H( x R ( z h( x a. Υπολογισµός της συνάρτησης µετρήσεων, h ( x. b. ηµιουργία της Ιακωβιανής µετρήσεων, H ( x.. Υπολογισµός της ( x a. ηµιουργία του πίνακα κέρδους G ( x. b. Παραγοντοποίηση του G ( x σε LU. G και επίλυση των Κανονικών εξισώσεων., c. Εφαρµογή εµπρός και πίσω-αντικατάστασης για την εύρεση του x +. 0
..3. Μη Γραµµική Συνάρτηση Μετρήσεων h(x - ιάνυσµα κατάστασης σε πολικές συντεταγµένες Οι µετρήσεις µπορεί να είναι διαφόρων ειδών. Όµως, οι πιο συνηθισµένοι τύποι µετρήσεων είναι ροές ισχύος γραµµών, εγχύσεις ισχύος ζυγών και µέτρα τάσεων ζυγών. Αυτές οι µετρήσεις µπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των µεταβλητών κατάστασης του διανύσµατος κατάστασης x, είτε σε καρτεσιανό είτε σε πολικό σύστηµα συντεταγµένων. Αν χρησιµοποιηθεί πολικό σύστηµα συντεταγµένων για ένα σύστηµα N ζυγών, το διάνυσµα κατάστασης ηλαδή, το διάνυσµα x θα έχει N στοιχεία, N µέτρα τάσεων ζυγών και N γωνίες τάσεων ζυγών. x θα είναι: [ δ δ δ ] T x,,, N,V,V,,VN..3. Ιακωβιανή Μήτρα Μετρήσεων Η - ιάνυσµα κατάστασης σε πολικές συντεταγµένες Η δοµή της ιακωβιανής µήτρας µετρήσεων έχει την παρακάτω δοµή: H P P Q Q 0 P P Q Q Με παραγώγιση των εξισώσεων έγχυσης και ροής ισχύος, προκύπτουν οι ακόλουθες αναλυτικές εκφράσεις των επιµέρους στοιχείων: Μετρήσεις έγχυσης ενεργού ισχύος P V V g δ b δ V V β ( sn cos δ a a P ( sn cos VV g δ b δ VV β P V ( g + g + V g V ( g cosδ + b snδ P s a a V g + g + V g Vα s a a ( cos sn V g δ + b δ Vα
Μετρήσεις έγχυσης άεργου ισχύος Q ( cos + sn V V g δ b δ V Vα δ a a Q VV ( g cos δ + b sn δ VV α δ Q Q a ( δ δ V b + b V b V g sn b cos s a a V b + b V b V β s a ( sn cos V g δ b δ Vβ Μετρήσεις ροής ενεργού ισχύος P VV ( g snδ b cosδ VV β P VV ( g snδ b cosδ VV β P P ( cosδ snδ α V g + b + V g + g V + V g + g s s ( cos sn V g δ + b δ Vα Μετρήσεις ροής άεργου ισχύος Q ( cos sn VV g δ + b δ VVα Q VV ( g cos δ + b sn δ VV α δ Q Q ( snδ cosδ β V g b V b + b V V b + b s s ( sn cos V g δ b δ Vβ Μετρήσεις µέτρων τάσεων, 0, 0, 0
Η Ιακωβιανή µήτρα µπορεί να διευρυνθεί ακόµη περισσότερο, ώστε να συµπεριλάβει µετρήσεις γωνιών και ρευµάτων. Έτσι έχουµε: Μετρήσεις ορισµάτων τάσεων 0, 0,, 0 V V Μετρήσεις µέτρων ρευµάτων ( + β + ( + VV g g b b α s s V g gs b b s V g b VV g gs b bs β ( + + ( + + ( + ( + α ( + ( + β + ( + VV g g b b s s V g gs b b s V g b VV g gs b bs β ( + + ( + + ( + ( + α ( + α ( + + ( + ( + α ( + V g g b b V g g b b β s s s s V g gs b b s V g b VV g gs b bs β ( + + ( + + ( + ( + α ( + V( g + b V ( g+ gs α ( b + bs β ( + + ( + + ( + ( + α ( + V g gs b b s V g b VV g gs b bs β Μετρήσεις ορισµάτων ρευµάτων ( + + ( + + ( + β ( + V g g b b VV b b g g α θ s s s s δ V g gs b bs V g b VV b bs β g gs α ( + + ( + + ( + + ( + ( + V ( g + b + VV ( b + bs β ( g + gs α ( + + ( + + ( + + ( + ( + θ δ V g gs b bs V g b VV b bs β g gs α V ( g + gs β + ( b + bs α ( + + ( + + ( + + ( + β ( + θ V V g gs b bs V g b VV b bs g gs α V ( g + gs β + ( b + bs α ( + + ( + + ( + + ( + β ( + θ V V g gs b bs V g b VV b bs g gs α 3
Χάριν απλότητας, οι παραπάνω εξισώσεις µπορούν να πάρουν την µορφή που φαίνεται στον Πίνακα : Πίνακας I V A + VC V V A + V B + VV C VV D δ V A + V B + VV C I VB + VC V V A + V B + VV C VV D δ V A + V B + VV C θ V D V V A + V B + VV C θ V D V V A + V B + VV C θ V A + VV C V A V B VV C δ + + θ V B + VV C V A V B VV C δ + + όπου: B ( g + b A g + g + b + b s s α β D ( g + g β + ( b + b C g + g + b + b s s α s s ή εναλλακτικά Πίνακας 3 I V A + V C E I V B + V C E θ V D E θ V D E VV D E VV D E θ V A + VV C E θ V B + VV C E όπου: E V A + V B + VV C 4
Εάν οι µετρήσεις ρεύµατος εκφράζονται σε καρτεσιανή µορφή, τότε οι αντίστοιχες παράγωγοι είναι οι ακόλουθες: Μετρήσεις πραγµατικού µέρους ρευµάτων, r, r, r, r snδ V g + g + b + b cosδ s s V g snδ + b cosδ ( g g cosδ ( b b + + snδ s s g cosδ b snδ Μετρήσεις φανταστικού µέρους ρευµάτων,, cosδ V g + g b + b snδ s s V g cosδ b snδ I, V I, V ( b + bs cos δ+ ( g+ gs snδ - b cosδ + g snδ..3.3 Ιακωβιανή Μήτρα Μετρήσεων Η - ιάνυσµα κατάστασης σε καρτεσιανές συντεταγµένες Η δοµή της ιακωβιανής µήτρας µετρήσεων έχει την παρακάτω δοµή: P P E P P E Q Q H E Q Q E 0 E 0 5
Με παραγώγιση των εξισώσεων έγχυσης και ροής ισχύος προκύπτουν οι ακόλουθες αναλυτικές εκφράσεις των επιµέρους στοιχείων: Μετρήσεις έγχυσης ενεργού ισχύος P E ( g + g + ( g E + b F s E a a P E g E b F P F ( g + g ( g F + b E s F a a P g F + b E Μετρήσεις έγχυσης άεργου ισχύος Q E ( b + b + ( g F + b E s E a a Q E g F + b E Q F ( b + b + ( g E + b F s F a a Q g E + b F F Μετρήσεις ροής ενεργού ισχύος P E P E P P ( g + g E g E + b F s g E b F ( g + g F g F b E s g F + b E Μετρήσεις ροής άεργου ισχύος Q E ( b + b E + g F + b E s 6
Q E Q Q g F + b E ( b + b F g E + b F g E + b F s Μετρήσεις µέτρων τάσεων E E E + F, 0, E F F E + F, 0 Η Ιακωβιανή µήτρα µπορεί να διευρυνθεί ακόµη περισσότερο, ώστε να συµπεριλάβει και µετρήσεις ρευµάτων. Έτσι έχουµε: Μετρήσεις πραγµατικού µέρους µέτρων ρευµάτων, r E, r E, r, r g + g s g ( b + b b s Μετρήσεις φανταστικού µέρους µέτρων ρευµάτων, E, E,, b + b s b s g + g g 7
..3.4 Μήτρα Κέρδους G Η µήτρα κέρδους G σχηµατίζεται από την ιακωβιανή H και τον πίνακα αυτοµεταβλητότητας των σφαλµάτων R. G T ( x H R H Ο πίνακας R θεωρείται ότι είναι διαγώνιος, µε διαγώνια στοιχεία τις διασπορές των µετρήσεων. Οι ιδιότητες του G είναι οι εξής:. Είναι δοµικά και αριθµητικά συµµετρικός. Είναι αραιός, αλλά λιγότερο αραιός από την H. 3. Γενικά, όλες οι ιδιοτιµές του είναι µη αρνητικές και αν το δίκτυο είναι παρατηρήσιµο, είναι επιπλέον θετικά ορισµένος...3.5 Παραγοντοποίηση του G και επίλυση Κανονικών Εξισώσεων Ο πίνακας κέρδους µπορεί να γραφεί ως γινόµενο δύο τριγωνικών πινάκων, ενός κάτω L και ενός άνω U. ηλαδή είναι: G L U Αφού ο G είναι πλέον παραγοντοποιηµένος, το επόµενο βήµα είναι η επίλυση των κανονικών εξισώσεων: LU x t Η λύση υπολογίζεται σε δύο βήµατα και δεδοµένης της αραιότητας των πινάκων L και U υπολογίζεται πολύ αποδοτικά. Τα δύο βήµατα υπολογισµού είναι:. Εµπρός-αντικατάσταση: U x u. Πίσω-αντικατάσταση: Lu t 8
Παραδείγµατα DC Εκτίµηση Κατάστασης Θεωρήστε ένα δίκτυο 3 ζυγών (ζυγός : αναφοράς, ζυγός : παραγωγής, ζυγός 3: φορτίου µε παραµέτρους γραµµών b 3 α. µ., b3 4 α. µ., b3 4 α. µ. και µέτρα τάσεων ζυγών V V V3,0 α. µ. Στο δίκτυο υπάρχουν οι µετρήσεις P, α. µ., P 0,36 α. µ., P 3,06 α. µ. και P3 0,74 α. µ.. Όλες οι µετρήσεις έχουν τυπική απόκλιση σ 0,.. Να υπολογιστούν οι γωνίες των τάσεων των ζυγών και 3 (σε rad και degrees µε την DC µέθοδο εκτίµησης κατάστασης. Να ανιχνευθεί η ύπαρξη σφαλµάτων στις µετρήσεις µέσω του J( xˆ testκαι να εντοπιστεί η εσφαλµένη µέτρηση µε τη βοήθεια των κανονικοποιηµένων υπολοίπων. Λύση Στη DC εκτίµηση κατάστασης το µοντέλο µετρήσεων είναι γραµµικό και έχει την ακόλουθη µορφή: z Hx+ e Το διάνυσµα µετρήσεων για το συγκεκριµένο πρόβληµα είναι το εξής: T [ ] [ ] z P P P3 P3, 0,36, 06 0, 74 Επίσης, το διάνυσµα κατάστασης έχει τη µορφή: x [ δ δ ] 3 Η Ιακωβιανή µήτρα των µετρήσεων σχηµατίζεται βάσει των εξισώσεων των µετρήσεων που σχετίζονται µε το διάνυσµα z. Έχει τόσες γραµµές όσες ο αριθµός των µετρήσεων του διανύσµατος z και τόσες στήλες όσες ο αριθµός των µεταβλητών κατάστασης που εµπεριέχονται στο διάνυσµα x. Οι εξισώσεις που αντιστοιχούν στις µετρήσεις του διανύσµατος z είναι οι ακόλουθες: T ( δ δ ( δ δ ( δ δ ( δ δ ( δ δ P P + P 3 c c3 3 P P c P3 P3 c3 3 P P c 3 3 3 3 Εφόσον ο ζυγός είναι ζυγός αναφοράς, θεωρείται δεδοµένο ότι δ 0. Άρα το παραπάνω σύστηµα µετρήσεων γίνεται: T 9
( δ ( δ δ ( δ ( δ ( δ δ P P + P 3 c c3 3 P P c P3 P3 c3 3 P P c 3 3 3 3 Συνεπώς η Ιακωβιανή µήτρα µετρήσεων θα έχει την ακόλουθη µορφή: H δ δ 3 c c c P c 0 P 0 c P c c P 3 3 3 3 3 3 3 Κάνοντας αντικατάσταση, η µήτρα H είναι η ακόλουθη: 7 4 3 0 H 0 4 4 4 Η µήτρα συνδιασποράς σφάλµατος, δίνεται από την σχέση R dag{ σ } 0, 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 R 0 0 0, 0 0 0 0 0 0, 0. Έτσι: Η µήτρα κέρδους, δίνεται από την σχέση T G H R H. Με αντικατάσταση, προκύπτει: 7400 4400 G 4400 4800 T Η εκτιµώµενη τιµή του διανύσµατος κατάστασης, δίνεται από την σχέση ˆ Με αντικατάσταση, προκύπτει: x G H R z. ˆ ˆ δ 0, 0477 xˆ δ ˆ δ 0, 079 3 ( rad ή ˆ ˆ δ 80 0, 0477, 45067 xˆ δ deg ˆ δ π 0, 079, 077496 3 30
Οι εκτιµώµενες τιµές των µετρήσεων υπολογίζονται κάνοντας αντικατάσταση του διανύσµατος ˆx ˆ δ, στις εξισώσεις του συστήµατος µετρήσεων, δηλαδή: Έτσι: ( ˆ δ c ( ˆ δ ˆ δ c( ˆ δ c3( ˆ δ3 c3( ˆ δ ˆ 3 δ P P zˆ P3 P 3 δ ˆ δ c 3 3,4574 0,837 zˆ 0,84368, 0457. Το διάνυσµα των υπολοίπων των µετρήσεων ορίζεται ως rˆ z zˆ. Εποµένως: 0, 05746 0, 3683 rˆ. 0, 683 0, 7457 Η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης θα είναι: T J xˆ rˆ R rˆ J xˆ 7,9079 Ο αριθµός των µετρήσεων είναι m 4, ενώ ο αριθµός των µεταβλητών κατάστασης είναι n. Εποµένως οι βαθµοί ελευθερίας είναι m n. Για βαθµούς ελευθερίας και για βαθµό εµπιστοσύνης 95%, προκύπτει από πίνακες ότι J /0,95 5,99. Άρα ( ˆ J/0,95 J x >, που σηµαίνει ότι ανιχνεύθηκε εσφαλµένη µέτρηση. Για τον εντοπισµό της εσφαλµένης µέτρησης, σχηµατίζουµε αρχικά την µήτρα συσχετισµού του σφάλµατος εκτίµησης Σ x. T 0, 00097 0, 0007 x G H R H Σ 0, 0007 0, 000458 Η µήτρα συσχετισµού του διανύσµατος υπολοίπων Σ r, θα είναι: 0, 003366 0, 0097 0, 00097 0, 003663 T 0, 0097 0, 00737 0, 00367 0, 00097 Σ r R HΣ xh 0, 00097 0, 00367 0, 00673 0, 0097 0, 003663 0, 00097 0, 0097 0, 006634 3
Τα κανονικοποιηµένα υπόλοιπα υπολογίζονται από τη σχέση r ˆ, N rˆ. Έτσι: Σ r, rˆ 0, 05746 r ˆN, 0,989755 Σr, 0, 003366 rˆ 0, 3683 r ˆN,, 706695 Σr, 0, 00737 rˆ 0, 683 3 rˆ N,3 4,9374 Σr,33 0, 00673 rˆ 0, 7457 4 r ˆN,4 3,36799 Σr,44 0, 006634 Το µέγιστο κανονικοποιηµένο υπόλοιπο είναι αυτό που αντιστοιχεί στην τρίτη µέτρηση, δηλαδή η µέτρηση P3 είναι εσφαλµένη. Μη Γραµµική Εκτίµηση Κατάστασης µε Μετρήσεις SCADA ίνεται το ακόλουθο δίκτυο τριών ζυγών. Τα χαρακτηριστικά των γραµµών του δικτύου και οι µετρήσεις που γίνονται σ αυτό δίδονται στους πίνακες Π. και Π., αντίστοιχα. 3
Π. Χαρακτηριστικά γραµµών δικτύου Από Γραµµή Προς R( p. u. X ( p. u. B( p. u. 0,0 0,03 0,0 3 0,0 0,05 0,0 3 0,03 0,08 0,0 Π. Μετρήσεις α/α Τύπος µέτρησης Τιµή µέτρησης ( p. u. Τυπική απόκλιση ( R σ P 0,888 0,008 P 3,73 0,008 3 P 0,50 0,00 4 Q 0,568 0,008 5 Q 3 0,663 0,008 6 Q 0,86 0,00 7 V,006 0,004 8 V 0,968 0,004 Ζητούνται:. Να καταστρωθούν οι εξισώσεις του συστήµατος µετρήσεων.. Να γίνει εκτίµηση του διανύσµατος κατάστασης ˆx. 3. Να υπολογισθεί το διάνυσµα υπολοίπων ˆr. 4. Να υπολογισθεί η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης J( x ˆ. 5. Να υπολογιστούν τα κανονικοποιηµένα υπόλοιπα r ˆN,. 33
Λύση. Κατάστρωση εξισώσεων συστήµατος µετρήσεων Το σύστηµα των εξισώσεων µπορεί να γραφεί στη γενική του µορφή ως εξής: z h( x + e Το δεδοµένο σύστηµα µετρήσεων περιλαµβάνει 4 µετρήσεις ενεργού και αέργου ροής ισχύος ( P, P 3, Q, Q 3, µετρήσεις ενεργού και αέργου έγχυσης ισχύος ( P, Q και µετρήσεις µέτρων τάσης ( V, V, όπου: το διάνυσµα των µετρήσεων z θα είναι: το διάνυσµα κατάστασης x θα είναι: [ ] z P P P Q Q Q V V 3 3 [ δ δ ] x V V V 3 3 (για να πραγµατοποιήσουµε την εκτίµηση κατάστασης, θεωρούµε ότι ένας από τους ζυγούς του δικτύου είναι ζυγός αναφοράς. Έστω ότι ο ζυγός αυτός είναι ο ζυγός. Αυτό σηµαίνει ότι η γωνία του διανύσµατος της τάσης του είναι γνωστή και ίση µε δ 0 το διάνυσµα των µη γραµµικών συναρτήσεων, h( x, που σχετίζει τις µετρήσεις µε το διάνυσµα κατάστασης x θα είναι: T P P3 P Q Q3 Q V V h x h x h x h x h x h x h x h x h x P ( + cos( δ δ + sn( δ δ T h x P V g g VV g b P 3 s ( + cos( δ δ + sn( δ δ h x P V g g VV g b 3 3 s3 3 3 3 3 3 (( + + ( 3+ 3 + VV ( g cos( δ δ b sn( δ δ VV3 ( g3 cos( δ δ3 + b3 sn( δ δ3 h x P V g g g g V g P s s Q + ( + sn( δ δ cos( δ δ h x Q V b b VV g b Q3 s ( + sn( δ δ cos( δ δ h x Q V b b VV g b 3 3 s3 3 3 3 3 3 T 34
( + + ( 3+ 3 VV ( g sn( δ δ b cos( δ δ V V g sn( δ δ b cos( δ δ h x Q V b b b b V b Q s s, h x V V 3 3 3 3 3 h x V V το διάνυσµα θορύβου e θα είναι: e e e e e e e e e P P3 P Q Q3 Q V V T Οι παράµετροι του δικτύου υπολογίζονται από τον πίνακα Π., µέσω των ακόλουθων τύπων: g R R + X b R X + X b s B Έτσι: g g 0, 000 g g 6,896 3 3 g3 g 3 4,09 b b 30, 000 b b 7, 4 3 3 b3 b 3 0,959 bs bs 0,000 b b 0,000 s3 s3 bs 3 b s3 0,000 Οι υπόλοιπες παράµετροι θεωρούνται αµελητέες. Βάσει των παραπάνω και κάνοντας αντικατάσταση, οι συναρτήσεις που σχετίζουν τις µετρήσεις µε το διάνυσµα κατάστασης γίνονται: P ( 0, 000+ 0, 000 0, 000 cos( 0 30,000sn( 0 h x V VV δ δ P 3 ( 6,896+ 0, 000 6,896 cos( 0 7, 4sn( 0 h x V VV δ δ 3 3 3 ( VV ( 0, 000 cos( δ 0 30, 000sn( δ 0 VV 3( 4,09 cos( δ δ3 0,959sn( δ δ3 h x V 0, 000+ 0, 000 + 4,09+ 0, 000 + V 0, 000 P Q ( 30, 000+ 0, 000 0, 000sn( 0 + 30, 000 cos( 0 h x V VV δ δ Q 3 ( 7, 4+ 0, 000 6,896sn( 0 + 7, 4cos( 0 h x V VV δ δ 3 3 3 ( VV ( 0,000sn( δ 0 30,000cos( δ 0 VV 3( 4,09 sn( δ δ3 + 0, 959 cos( δ δ3 h x V 30, 000+ 0, 000 + 0, 959+ 0, 000 V 0, 000 Q +, h x V V h x V V 35
. Εκτίµηση του διανύσµατος κατάστασης Ο WLS εκτιµητής κατάστασης ελαχιστοποιεί την ακόλουθη αντικειµενική συνάρτηση: m ( T / J x z h x R z h x R z h x όπου mο αριθµός των µετρήσεων, R dag{ R } η µήτρα συνδιασποράς σφάλµατος και R σ. Για την εύρεση του ελαχίστου, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη βελτίστου πρώτης τάξης: J x T g( x H ( x R z h( x 0 x h x όπου H( x η Ιακωβιανή µήτρα µετρήσεων. Η αναλυτική µορφή της Ιακωβιανής x µήτρας είναι η ακόλουθη: P P P P Q Q H Q Q 0 Τα στοιχεία της παραπάνω µήτρας εµφανίζονται στον ακόλουθο πίνακα: d dδ {}. d dδ {}. d dv {}. d dv {}. P P V V β a δ P VV β V ( g + gs + V g V α V a a P V Vα P VV β P VV β P Vα + V g + g s P Vα Q Q V V α a δ Q VV α V ( b + bs V b V β V a a Q V β Q VV α Q VV α Q V β V b + b s Q Vβ 0 0 0 36
όπου, α g cos( δ δ + b sn( δ δ, β g sn( δ δ b cos( δ δ Αναλύοντας τη µη γραµµική συνάρτηση g( x γύρω από το σηµείο σειρές Taylor, προκύπτει: ( + ( ( + 0 g x g x G x x x x, χρησιµοποιώντας Μηδενίζοντας τους όρους ανώτερης τάξης, οδηγούµαστε σε ένα επαναληπτικό σχήµα επίλυσης, γνωστό ως µέθοδος Gauss-Newton: όπου ο δείκτης της επανάληψης, + x x G x g x x το διάνυσµα της λύσης στην επανάληψη, g x G( x H x R H x x T ( T ( ( g x H x R z h x. Η µήτρα G( x ονοµάζεται µήτρα κέρδους. Η µήτρα αυτή είναι αραιή, θετικά ορισµένη και συµµετρική, διασφαλίζοντας ότι το σύστηµα είναι πλήρως παρατηρήσιµο. Για να συγκλίνει ο αλγόριθµος θα πρέπει: max σύγκλισης. x <, όπου + x x x και το όριο Εφαρµόζοντας τα παραπάνω για το σύστηµα των τριών ζυγών και θεωρώντας µια ανοχή 0 4 έχουµε: η Επανάληψη. Εκκίνηση επαναλήψεων ( 0. Αρχικοποίηση του διανύσµατος κατάστασης 0 x [ ] 0 0 T 3. Υπολογισµός Ιακωβιανής µήτρας µετρήσεων 37
0 H x 0 H x P P P P P P P P P P P P P P P Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ή 30, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 0, 000 7, 4 6,896 0, 000 6,896 40,959 0,959 0, 000 4,09 4,09 0, 000 0, 000 30, 000 30, 000 0, 000 0, 000 6,896 7, 4 0, 000 7, 4 4,09 4,09 30, 000 40,959 0,959 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4. Σχηµατισµός µήτρας συνδιασποράς σφάλµατος R dag{ R }, R σ. 0, 000064 0,000 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0, 000 0, 000 0,000 0, 000064 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0, 000 0, 000 0,000 0,000 0, 0000 0,000 0,000 0, 000 0, 000 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0, 000064 0,000 0, 000 0, 000 0, 000 R 0,000 0,000 0, 000 0,000 0, 000064 0, 000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, 000 0,000 0,000 0, 0000 0, 000 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0, 00006 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0, 000 0, 00006 38
5. Υπολογισµός µήτρας κέρδους 0 g x G x H x R H x x 0 T 0 0 3, 439 0, 50685 0, 037 0 0, 037 0,50685 0, 67578 0, 037 0, 037 0 0 7 G( x 0 0, 037 0, 037 3,0574, 9336 0,6893 0 0, 037,9336 3, 44546 0, 50685 0, 037 0 0,6893 0,50685 0, 67578 0 6. Υπολογισµός υπολοίπου z h( x 7. Υπολογισµός. 0,888 0 0,888,73 0,73 0,50 0 0, 50 0 0, 568 0 0, 568 z h( x 0, 663 0 0, 663 0, 86 0 0, 86, 006 0, 006 0, 968 0, 03 και εποµένως: x. Ισχύει x x 0 + G ( x 0 H T ( x 0 R z h( x 0 [ ] x 8. Έλεγχος σύγκλισης. 0,0055 0,0458989 0,99973308 0,974669 0,947533 T 0 max x 0, 007 >. Εποµένως, ο αλγόριθµος δε συγκλίνει και προχωράµε σε δεύτερη επανάληψη. η Επανάληψη. εύτερη ανακύκλωση (. Αρχικοποίηση του διανύσµατος κατάστασης [ ] x 0,0 0,0459 0,99973 0,9747 0,9475 T 3. Υπολογισµός Ιακωβιανής µήτρας µετρήσεων 39
H x P P P P P P P P P P P P P P P Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 H x ή 9, 40 0, 000 0,87368 9,3597 0, 000 0, 000 6, 5697 8, 0858 0, 000 6,0899 39,6049 0,533 0,360 3, 3689 3, 74658 9,846 0, 000 30, 55574 30,9709 0, 000 0, 000 5, 7595 7,940 0, 000 7,53059 3,88939 3,5309 9, 05 39, 6536 0, 7699 0 0 0 0 0 0 0 0 4. Σχηµατισµός µήτρας συνδιασποράς σφάλµατος R dag{ R }, R σ. 0, 000064 0,000 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0, 000 0, 000 0,000 0, 000064 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0, 000 0, 000 0,000 0,000 0, 0000 0,000 0,000 0, 000 0, 000 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0, 000064 0,000 0, 000 0, 000 0, 000 R 0,000 0,000 0, 000 0,000 0, 000064 0, 000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, 000 0,000 0,000 0, 0000 0, 000 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0, 00006 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0,000 0,000 0, 000 0, 000 0, 00006 40
5. Υπολογισµός µήτρας κέρδους g x G x H x R H x x T 3, 0879 0, 44667 0, 067 0, 0387 0, 0087 0, 44667 0,5947 0, 0436 0, 00533 0 7 G( x 0 0, 067 0, 0436 3, 074,8873 0, 679 0, 0387 0, 00533,8873 3, 35 0, 4765 0, 0087 0 0, 679 0, 4765 0, 66853 6. Υπολογισµός υπολοίπου z h( x.. 7. Υπολογισµός 0,888 0,8764 0, 086,73,3358 0, 0394 0,50 0, 49654 0, 00446 0, 568 0,56369 0, 0043 z h( x 0, 663 0, 705 0, 04 0, 86 0, 8 0, 00378, 006 0, 99973 0, 0067 0, 968 0,9747 0, 0067 και εποµένως: x. Ισχύει x x + G ( x H T ( x R z h( x [ ] x 8. Έλεγχος σύγκλισης. 0,07736 0,047946 0,99963095 0,9745774 0,9438855 T max x 0, 004 > Εποµένως, ο αλγόριθµος δε συγκλίνει και προχωράµε σε τρίτη επανάληψη. Στην τρίτη επανάληψη ο αλγόριθµος συγκλίνει και το εκτιµώµενο διάνυσµα κατάστασης είναι το ακόλουθο: [ ] 3 ˆ 0,07738 0,04798 0,999696 0,9745607 0,94389038 T x x 3. Υπολογισµός διανύσµατος υπολοίπων ˆr Το διάνυσµα υπολοίπων υπολογίζεται ως rˆ z h( xˆ. Εποµένως: 4
0,888 0,8999 0, 00499,73,70 0, 0098 0,50 0, 49597 0, 00503 0, 568 0,5588 0, 0098 rˆ z h( xˆ 0, 663 0, 6676 0, 0046 0, 86 0, 9755 0, 075, 006 0,99963 0, 00637 0, 968 0,9746 0, 0066 4. Υπολογισµός τιµής αντικειµενικής συνάρτησης J( x ˆ Γενικά ισχύει: J( xˆ ( ˆ J x m rˆ σ. Εποµένως: ( ( ( 8 rˆ 0, 00499 0, 0098 0, 00503 0, 0098 + + + + σ 0,008 0,008 0,00 0,008 ( 0, 0046 0, 075 0, 00637 0, 0066 + + + + 0,008 0,00 0,004 0,004 8, 6487 5. Υπολογισµός κανονικοποιηµένων υπολοίπων r ˆN, Τα κανονικοποιηµένα υπόλοιπα υπολογίζονται από τη σχέση: r ˆ N, rˆ Σ r, όπου Σ r, τα διαγώνια στοιχεία της µήτρας διασποράς υπολοίπων Η µήτρα διασποράς υπολοίπων, Συνεπώς: r Σ r, ορίζεται ως: T { } T m Σ I H H R H H R R Σ r. 4
0,00003 dag{ Σ r} 0,0000 0,00004 0,00003 0,0000 0,00004 0,0000 0,0000 rˆ 0, 00499 rˆ N, 0, 9 Σ r, 0, 00003 rˆ 0, 0098 r ˆN, 0, 66 Σ r, 0, 0000 rˆ 0, 00503 3 rˆ N,3 0, 795 Σ r,33 0, 00004 rˆ 0, 0098 4 r ˆN,4, 676 Σ r,44 0, 00003 rˆ 0, 0046 5 rˆ N,5, 46 Σ r,55 0, 0000 rˆ 0, 075 6 r ˆN,6,858 Σ r,66 0, 00004 rˆ 0, 00637 7 r ˆN,7, 04 Σ r,77 0, 0000 rˆ 0, 0066 8 rˆ N,8, 948 Σ r,88 0, 0000 Παρατηρούµε ότι όλα τα κανονικοποιηµένα υπόλοιπα είναι απολύτως µικρότερα του 3, πράγµα που σηµαίνει ότι δεν υπάρχουν εσφαλµένες µετρήσεις. 43
Γραµµική Εκτίµηση Κατάστασης µε Μετρήσεις PMU ίνεται το ακόλουθο δίκτυο τριών ζυγών. Τα χαρακτηριστικά των γραµµών του δικτύου και οι µετρήσεις που γίνονται σ αυτό δίδονται στους πίνακες Π. και Π., αντίστοιχα. Π. Χαρακτηριστικά γραµµών δικτύου Από Γραµµή Προς R( p. u. X ( p. u. B( p. u. 0,0 0,03 0,0 3 0,0 0,05 0,0 3 0,03 0,08 0,0 α/α Τύπος µέτρησης Π. Μετρήσεις Τιµή µέτρησης ( p. u. Τυπική απόκλιση ( R σ E 3 0,948 0,000 F 3 0,045 0,000 3 I3,r,746 0,007 4 I3,r 0,39094 0,007 5 I3, 0,66787 0,007 6 I3, 0,43 0,007 44
Ζητούνται:. Να καταστρωθούν οι εξισώσεις του συστήµατος. Να γίνει εκτίµηση του διανύσµατος κατάστασης ˆx Λύση. Κατάστρωση εξισώσεων συστήµατος µετρήσεων Επειδή οι µετρήσεις φασιθετών και το διάνυσµα κατάστασης εκφράζονται σε καρτεσιανή µορφή, το σύστηµα των εξισώσεων µπορεί να γραφεί στη γενική του µορφή ως εξής: z Hx+ e Το δεδοµένο σύστηµα µετρήσεων περιλαµβάνει τη µέτρηση του φασιθέτη τάσης στο ζυγό 3 ( E 3, F 3 και τις µετρήσεις των φασιθετών ρεύµατος των γραµµών 3 και 3 ( I 3,r, I3,r, I3,, I3,. Έτσι: το διάνυσµα των µετρήσεων z θα είναι: T 3 3 3, r 3, r 3, 3, z E F I I I I το διάνυσµα κατάστασης x θα είναι: [ ] x E E E F F F 3 3 (για να πραγµατοποιήσουµε την εκτίµηση κατάστασης µε PMUs, θεωρούµε ότι η αναφορά µας είναι το σήµα το δορυφόρου. Εποµένως δε χρειάζεται να θεωρήσουµε κάποιο ζυγό ως ζυγό αναφοράς το διάνυσµα των γραµµικών συναρτήσεων που σχετίζει τις µετρήσεις µε το διάνυσµα κατάστασης x θα είναι: όπου: E3 x F3 x I3, r x I3, r x I3, x I3, x, E x E 3 3 T F x F 3 3 [ ] I x g E b F g E + b F 3, r 3 3 3 3 3 3 [ ] I x g E b F g E + b F 3, r 3 3 3 3 3 3 [ ] I x g F + b E g F b E 3, 3 3 3 3 3 3 [ ] I x g F + b E g F b E 3, 3 3 3 3 3 3 T 45
Οι εξισώσεις αυτές προήλθαν από τις γενικές εξισώσεις: I, r ( gs + g E ( bs + b F ge + b F I, ( gs+ g F + ( bs + b E gf b E το διάνυσµα θορύβου e θα είναι: e e e e e e e E3 F3 I3, r I3, r I3, I3, T Οι παράµετροι του δικτύου υπολογίζονται από τον πίνακα Π., µέσω των ακόλουθων τύπων: g R R + X b R X + X b s B Έτσι: g g 0, 000 g g 6,896 3 3 g3 g 3 4,09 b b 30, 000 b b 7, 4 3 3 b3 b 3 0,959 bs bs 0,000 b b 0,000 s3 s3 bs 3 b s3 0,000 Οι υπόλοιπες παράµετροι θεωρούνται αµελητέες. Βάσει των παραπάνω και κάνοντας αντικατάσταση, οι συναρτήσεις που σχετίζουν τις µετρήσεις µε το διάνυσµα κατάστασης γίνονται:. Εκτίµηση του διανύσµατος κατάστασης E x E 3 3 F x F 3 3 [ 6,896 7, 4 6,896 7, 4 ] I x E + F E F 3, r 3 3 [ 4,09 0,959 4,09 0,959 ] I x E + F E F 3, r 3 3 [ 6,896 7, 4 6,896 7, 4 ] I x F E F + E 3, 3 3 [ 4,09 0,959 4,09 0,959 ] I x F E F + E 3, 3 3 Ο WLS εκτιµητής κατάστασης ελαχιστοποιεί την ακόλουθη αντικειµενική συνάρτηση: T ( ( J x z Hx R z Hx 46
όπου H η Ιακωβιανή µήτρα, R dag{ R } η µήτρα συνδιασποράς σφάλµατος και R σ. Η αναλυτική µορφή της Ιακωβιανής µήτρας είναι η ακόλουθη: H E E E E, r, r E,, E Τα στοιχεία της παραπάνω µήτρας εµφανίζονται στον ακόλουθο πίνακα: Συµπαγής Μορφή Παράγωγοι d de {}. E E E 0 V E + F d de d df {}. {}. E E E 0 0 E 0 d df {}. E 0 0 d de {}., r E g + g s, E b + b s I I + I, r, d de d df {}. {}., r E, r g ( b + b s, E, b g + g s d df {}., r b, g 47
Η εκτίµηση ελαχίστων τετραγώνων γίνεται χρησιµοποιώντας την σχέση: T ( T T ( xˆ H R H H R z G H R z όπου T G H R H η µήτρα κέρδους. Κάνοντας αντικατάσταση έχουµε: z [ 0,948 0,045,746 0,39094 0,66787 0,43] T 0, 000004 0 0 0 0 0 0 0, 000004 0 0 0 0 0 0 0, 000003 0 0 0 R 0 0 0 0, 000003 0 0 0 0 0 0 0, 000003 0 0 0 0 0 0 0, 000003 H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6,89655 0 6,89655 7, 438 0 7, 438 0 4,0959 4,0959 0 0,9589 0,9589 7, 438 0 7, 438 6,89655 0 6,89655 0 0,9589 0,9589 0 4,0959 4,0959,9375 0,9375 0 0 0 0 4, 7400 4, 7400 0 0 0 7,9375 4, 7400 6, 69676 0 0 0 G 0 0 0 0,9375 0,9375 0 0 0 0 4, 7400 4, 7400 0 0 0,9375 4, 7400 6, 69676 Τελικώς, η εκτιµώµενη τιµή του διανύσµατος κατάστασης είναι: E 0,999637 E 0,973730 E3 0,94800 xˆ F 0, 0000044 F 0, 04 F3 0, 04500 48