Εηνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 7 ου Πανεηνίου Συνεδρίου Στατιστικής (4 σε. 9-98 ΤΟ EWA ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΜΕ ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ Π.Ε. Μαραβεάκης Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Στατιστικής ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το EWA είναι ένα από τα πιο ευρέως χρησιµοποιούµενα διαγράµµατα για να διατηρήσουµε υπό έεγχο µια διαδικασία. Η εφαρµογή του στην περίπτωση του εέγχου της µεταβητότητας και πιο συγκεκριµένα της διακύµανσης έχει δώσει σηµαντικά αποτεέσµατα. Η έρευνα έχει δείξει ότι αν θεωρήσουµε τις παραµέτρους µιας διαδικασίας άγνωστες και πρέπει να τις εκτιµήσουµε τότε η συµπεριφορά του διαγράµµατος επηρεάζεται. Σε αυτό το άρθρο υποογίζουµε την κατανοµή του µήκους ροής του EWA διαγράµµατος για την διακύµανση µε εκτιµώµενες παραµέτρους καθώς και τις δύο πρώτες ροπές χρησιµοποιώντας κατάηες οοκηρωτικές εξισώσεις. 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα διαγράµµατα εέγχου είναι το εργαείο του Στατιστικού Εέγχου Ποιότητας που χρησιµοποιείται για να έχουµε υπό έεγχο µια παραγωγική διαδικασία. Συγκεκριµένα το διάγραµµα εέγχου είναι µια γραφική απεικόνιση της διαδικασίας. Οι δύο κύριες χρήσεις του είναι η αναγνώριση ειδικών όγων µεταβητότητας και η διαδικασία επαναφοράς µιας διαδικασίας σε κατάσταση εέγχου καθώς και η διαδικασία ρύθµισης µιας σταθερής διαδικασίας ώστε να 9
βρίσκεται γύρω από µια κεντρική τιµή στόχο. Όταν αναφερόµαστε σε ειδικούς όγους µεταβητότητας εννοούµε κάθε µεταβητότητα που δεν οφείεται στον τυχαίο παράγοντα. Το Exponentially Weighted oving Average (EWA διάγραµµα εέγχου είναι ένα από τα γνωστότερα διαγράµµατα και χρησιµοποιείται για να αναγνωρίζει µικρές έως µεσαίες µετατοπίσεις του µέσου ή της διακύµανσης µιας διαδικασίας. Η χρήση του για τον έεγχο της µεταβητότητας είναι επίσης διαδεδοµένη. Στα διαγράµµατα εέγχου η συνήθης πρακτική είναι να θεωρούµε γνωστές τις παραµέτρους µιας διαδικασίας και να χρησιµοποιούµε αυτές τις γνωστές τιµές για την παρακοούθησή της. Οι τιµές αυτές όµως τις περισσότερες φορές δεν είναι γνωστές και πρέπει να εκτιµηθούν από ιστορικά δεδοµένα. Η έρευνα τα τεευταία χρόνια έδειξε ότι η εκτίµηση των παραµέτρων µιας διαδικασίας από ιστορικά δεδοµένα επηρεάζει σηµαντικά την απόδοση του διαγράµµατος. Στο άρθρο αυτό παρουσιάζουµε το EWA διάγραµµα για την διακύµανση όταν εκτιµούµε την διακύµανση από ιστορικά δεδοµένα. Υποογίζεται η µορφή της κατανοµή του µήκους ροής για αυτό το διάγραµµα καθώς και οι δύο πρώτες ροπές της.. ΤΟ EWA ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Το EWA διάγραµµα για την διακύµανση ορίστηκε από τους Croder and Hamilton (99 και δίνεται από τον τύπο Υ i ln( s i (-Yi- Y ln( σ i όπου σταθερά µε τιµές <. Οι τιµές s i είναι οι τιµές της συνήθης διακύµανσης σε διαδοχικά δείγµατα i και σ η γνωστή εντός εέγχου διακύµανση. Τα όρια εέγχου αποδεικνύεται ότι είναι 9
h h 4 6 [ 3 5 ] n (n 3(n 5(n ( 4 6 [ 3 5 ] n (n 3(n 5(n ( µε < και h h κατάηες σταθερές. 3. EWA ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕ ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ Το πρόβηµα της εκτίµησης των παραµέτρων σε ένα διάγραµµα εέγχου και πως αυτές οι εκτιµήσεις επηρεάζουν την συµπεριφορά των διαγραµµάτων εξετάστηκε από αρκετούς ερευνητές (Quesenberry (993 Chen (997 Chen (998 και Braun (999. Το EWA διάγραµµα για την µέση τιµή όταν εκτιµούµε τις παραµέτρους εξετάστηκε από τους Jones Champ and Rigdon (. Εκεί υποογίστηκε η κατανοµή του µήκους ροής καθώς και οι δύο πρώτες ροπές της. Ο σχεδιασµός του EWA διαγράµµατος για την µέση τιµή όταν εκτιµούµε τις παραµέτρους παρουσιάστηκε από την Jones (. Σε αυτή την εργασία υποογίζουµε την κατανοµή του µήκους ροής καθώς και τις δύο πρώτες ροπές της για το EWA διάγραµµα για την διακύµανση που δεν έχουν υποογιστεί µέχρι σήµερα από όσο γνωρίζει ο συγγραφέας. Έστω ότι Υ i ln( s i - ln( ~σ και Ζ i Υ i (-Ζ i- Z u i όπου s i είναι οι τιµές της συνήθης διακύµανσης σε διαδοχικά δείγµατα i και u η αρχική τιµή που παίρνει τιµές από το έως το. Με ~σ συµβοίζουµε την εκτίµηση της διακύµανσης από ιστορικά δεδοµένα και δίνεται από τον τύπο 93
Sp ~σ c4 m όπου S p m i n ( Xij Xi. j m(n και c4m Γ m(n m ( n ( m ( n Γ(. Με Γ(a συµβοίζουµε την Γάµµα συνάρτηση στο a µε m το πήθος των ιστορικών δειγµάτων και µε n το µέγεθος του κάθε ιστορικού δείγµατος. Υποθέτουµε φυσικά ότι όα τα ιστορικά δεδοµένα προέρχονται από δείγµατα που είναι γνωστό ότι είναι εντός εέγχου. Ορίζουµε W ln( s i W ln( ~σ και Τ την τυχαία µεταβητή που παριστάνει το µήκος ροής. Τότε υποθέτοντας ότι s i είναι ανεξάρτητη Γ((n-/ σ /(n- τυχαία µεταβητή η τ.µ. W κατανέµεται ως log-gamma. Οµοίως υποθέτοντας ότι ~σ ε ίναι ανεξάρτητη Γ(m(n-/ σ /[m(n-] τυχαία µεταβητή η τ.µ. W κατανέµεται ως log-gamma. Θεώρηµα. Η δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την τ.µ. Τ δίνεται από τους τύπους P( u ( F [ ] - ( F [ ] όταν Τ και y ( P Q dy ( (t y f P(t u (t yf ( y P dy όταν Τt>. Απόδειξη P( u P(Τ Z up(z < ή Z > Z up[(- Ζ <] 94
( u P[(-Ζ >]P[Ζ < ] P[Ζ > ( u ] P[ W < ( u - ( u F [ ] ]P[ W > ( u F [ ]. ( u ] P(t u P(Tt Z up(tt <Z < Z u P(Tt Z ή Z Z u P(Tt <Z < Z up(<z < Z u P(T t Ζ u Ζ yf Ζ ( y dy Pr( t yf Ζ ( y dy. Ισχύει ότι: FZ (y P(Z yp(( - y Y yp [ Y F ( W ( u y ( u ]P( W f (y Z f ( W y ( u y ( u y ( Άρα καταήγουµε ότι P(t u (t y f ( P dy. Θεώρηµα. Το µέσο µήκος ροής (ARL δίνεται από τον τύπο E[T u] (u f ( d 95
z ( (z f ( όπου (u για συγκεκριµένες τιµές των u και W. είναι η τιµή του ARL dz Απόδειξη t t t t E[T u] Pr( t u Pr( t u f W ( d (u f ( d t t Pr( t u f W ( d P(T Z u ( t Pr( Τ t u όπου (u t t t Pr( Τ t < Z < u t t Pr( Τ t < Z < Z u Pr( < Z < Z u t Z t Pr( Τ t Z z Z u f ( zdz (zfz (z dz z ( (zf ( dz. Θεώρηµα 3. Η δεύτερη ροπή της τ.µ. Τ δίνεται από τον τύπο όπου E[ Τ u] (u f ( d 96
z ( (u (z f ( dz z ( (z f ( dz. Απόδειξη Ακοουθώντας παρόµοια µεθοδοογία µε το θεώρηµα έχουµε ότι E[ Τ u] (u f ( d όπου (u E[ Τ Z u] t t Pr ( Τ t u Pr( Τ t Ζ u t t t t Pr( Τ t Ζ u (zf ( z dz (zf ( z Z Z dz z ( (zf ( dz z ( ( (zf dz. ABSTRACT The EWA chart is one of the most usually used charts for monitoring a process. Its application for keeping the variability of a process stable has shon important results. The research has shon that if e consider the parameters of a process unknon and e estimate them then the ability of a chart to detect out of control situations is affected. In this paper e compute the run length distribution of the EWA chart for process dispersion ith estimated process parameters along ith its first to moments using suitable integral equations. 97
ΑΝΑΦΟΡΕΣ Braun W.J. (999: Run Length Distributions for Estimated Attributes Charts. etrika 5-9. Chen G. (997: The ean and Standard Deviation of the Run Length Distribution of X Charts hen Control Limits Are Estimated. Statistica Sinica 7 789-798. Chen G. (998: The Run Length Distributions of the R s and s Control Charts hen σ is Estimated. The Canadian Journal of Statistics 6 3-3. Croder S.V. & Hamilton. (99: An EWA for onitoring a Process Standard Deviation. Journal of Quality Technology 4 -. Jones L.A. (: The Statistical Design of EWA Control Charts ith Estimated Parameters. Journal of Quality Technology 34 77-88. Jones L.A. Champ C.W. & Rigdon S.E. (: The Performance of Exponentially Weighted oving Average Charts ith Estimated Parameters. Technometrics 43 56-67. Quesenberry C.P. (993: The Effect of Sample Size on Estimated Limits for X and X Control Charts. Journal of Quality Technology 5 37-47. 98