( t) ( ) ( 0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem Lindeberg Levy) τότε η τ.μ. Sn

Transcript

1 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Cetral Lmt Theorem Leberg Levy Εάν ~ f (, με [ ] µ, Var [ ] σ < και S τότε η τμ S ( S S µ συγκίνει ως προς κατανομή (coverges strbuto στη Var S σ ( N ( 0,, δηαδή N( 0, ή ισοδύναμα lm F lm P{ } ( 0, Φ N u u Επειδή το αναπαρίσταται σαν ( µ ροπογεννήτρια της τμ Y µ t( µ M ( Y t e + µ t+ µ t + O t + µ t+ µ t + O t + σ t + O t Οπότε για την ροπογεννήτρια της Φ με πρώτα θα υποογίσουμε την σ θα έχουμε: t t ep ep µ Y σ σ t t t / t O O / M t t M + σ σ σ t / t lm M ( t ep lm log + + O t / t + O 5/ ep lm / t t + + O / t t /+ O / t ep lm ep / t t + + O / / Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ ΚΟΘ

2 Δηαδή δείξαμε ότι το όριο της ροπογεννήτριας της τυπικής κανονικής Αυτό σημάνει ότι η τμ lm είναι η ροπογεννήτρια της κατανέμεται σαν N ( 0, Παρατήρηση : Η τμ είναι η τυποποίηση του δειγματικού μέσου [ ] [ ] σ σ / µ µ S S S Var S Var Παρατήρηση : Πρακτικά για δείγμα μεγέθους περίπου 0 μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η τμ βρίσκεται «πού κοντά» στη τυπική κανονική, δηαδή προσεγγιστικά δεχόμαστε ότι µ σ ~ N( 0, ~, N µ Var σ / Δηαδή η κατανομή του δειγματικού μέσου σ κανονική με μέσο το µ και διασπορά είναι προσεγγιστικά Εφαρμογή Beroull (, Έχουμε δείξει ότι, εάν ~ τότε ΚΟΘ θα έχουμε S ~ B, p, και από το [ ] [ ] p ( S S S p Var S N ( 0, Εάν 0 προσεγγιστικά (, ( S N p p p S p p ( N ( 0, ή ισοδύναμα Έτσι για διωνυμικές πιθανότητες με αριθμό δοκιμών 0 θα έχουμε για την πιθανότητα του ενδεχομένου { < S } για 0 <, την προσέγγιση: p S p p P{ < S } P < p p p p p p p p P < p p p p ( ( ( ( ( Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ ΚΟΘ

3 p P p P p ( p ( p p Φ Φ p ( p ( Παρατηρήστε ότι εφόσον δεχόμαστε ότι S N ( p, p ( έχουμε: { < } ( P S N p, p p, εάν y { } (, 0 (, τότε ισοδύναμα θα p p ( p p( p p p p ( p ( y p P < S N y y Φ Φ Αριθμητική εφαρμογή Παίκτης κερδίζει παίγνιο, με πιθανότητα p 06 Εάν παίξει 00 ανεξάρτητα παίγνια να βρεθεί η πιθανότητα ο αριθμός των κερδισμένων παιγνίων να είναι τουάχιστον 55 και το πού 70 Θέουμε να υποογίσουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου { 54 S 70} ( S ~ 00,06, 00 B με μέση τιμή µ p 60 και τυπική απόκιση σ p 4 Από τα προηγούμενα έχουμε ότι: S P{ 54 < S00 70} P < P < 04 { } 00 Κάνοντας την υπόθεση N παίρνουμε: 00 0, { S } P 54 < Φ 04 Φ Φ 04 Φ 085 Εφαρμογή Εάν Po(,, δείξτε ότι για 0 έχουμε τις προσεγγίσεις: ~ e +! Φ Φ, και e 0! < 00 Φ Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ ΚΟΘ

4 Γνωρίζουμε ότι S ~ Po( Από το ΚΟΘ έχουμε ότι N( 0, έτσι για 0 θα έχουμε N( 0, ή ότι S N(, e P{ S } P +! S S < < P < Φ Φ ενώ, e P{ S } P 0! S P Φ S, που δίνει Παρατήρηση Χρησιμοποιήσαμε ότι εάν ~ Beroull ( ϑ τότε ~ (, Η ροπογεννήτρια της Beroull είναι: 0 { } { } t t t M t M t e P 0 + e P ϑ+ eϑ, ενώ η ροπογεννήτρια της S t t ts t t MS t e e e e e t M t ϑ+ eϑ { } Για την ροπογεννήτρια της διωνυμικής ~ (, t t ( 0 t t 0 ( { } ϑe ϑ ϑ eϑ M t e e ϑ ϑ + S B ϑ B ϑ έχουμε Επειδή M ( t M ( t παίρνουμε ότι S ~ B(, ϑ S Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ ΚΟΘ 4

5 Ορισμός { } : Λέμε ότι η ακοουθία τυχαίων μεταβητών συγκίνει ως προς πιθανότητα στην τμ (ασθενής σύγκιση όταν { } lm P ε 0, ε > 0 P Ο ασθενής νόμος των μεγάων αριθμών Δίνεται ακοουθία τμ { } που είναι ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεμημένες ( με μέση τιμή µ < τότε για τον δειγματικό μέσο ισχύει ότι P µ Απόδειξη με την επιπρόσθετη συνθήκη [ ] Var σ < Από την IID ακοουθία τμ { }, φτιάχνουμε την ακοουθία { } όπου Η μέση τιμή και η διασπορά της είναι [ ] µ, Var ( µ ( ( ( µ µ σ ( (, [ ] µ + Cov j Var < j Από την ανισότητα Chebyshev για την έχουμε ότι: { } Var ε ή ότι { µ ε } P ε Απόδειξη χωρίς την επιπρόσθετη συνθήκη σ P 0 ε σ Εδώ χρειάζεται μόνο η ύπαρξη της μέσης τιμής [ ] απόδειξη του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος < (Khtch Εάν ϕ ϕ, τότε είναι εύκοο να δείξουμε ότι ϕ ( t ϕ( t/ t t j t ( t e j + t j + ( t + t + ( t ϕ µ, έχουμε ϕ ( t ϕ( t tµ t / + + µ Η απόδειξη μοιάζει με την Επειδή, και παίρνοντας το όριο για Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ ΚΟΘ 5

6 tµ t tµ t lmϕ ( t lm lm tµ t ep lm log ep ( tµ + + Αά η μόνη τμ με χαρακτηριστική συνάρτηση ep( tµ είναι η (τετριμμένη τμ µ με P{ µ } Έτσι έχουμε ότι µ, δηαδή η τμ συγκίνει κατά νόμο (κατά κατανομή στην τμ µ Για να τεειώσουμε την απόδειξη, θα πρέπει να δείξουμε και ότι P µ Γενικά για ακοουθία τμ Y,, ισχύει ότι Y P Y Y Y, αά όχι και το αντίστροφο Στην ειδική περίπτωση όμως που Y σταθ ισχύει και το αντίστροφο, και έχουμε Y P σταθ Y σταθ Αποδεικνύουμε το τεευταίο για την περίπτωση { } { } Y Y c σταθ lm P Y y P c y c y { ε} { ε} + { ε} lm P Y c lm P Y c lm P Y c PY { c ε} lm PY { c ε} PY { c ε} PY { c ε} ( c c ( c c lm + + lm < + + lm < + ε + ε 0 0, ε > 0 Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ ΚΟΘ 6