Ένα Φρένο Σ Μια Τροχαλία Η ομογνής ράβδος του σχήματος έχι μάζα ΜΡ και μήκος = και μπορί να στρέφται ως προς κάθτο άξονα που διέρχται από το σημίο μ την βοήθια άρθρωσης. Πάνω στη ράβδο και σ απόσταση /4 από το άκρο στήριξης έχι τοποθτηθί ένα σώμα μάζας =1kg. ρχικά η ράβδος ισορροπί οριζόντια μ την βοήθια αβαρούς νήματος που ίναι τυλιγμένο στη διπλή τροχαλία. Η τροχαλία αποτλίται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους μ μάζς Μ1=4kg και ακτίνα R1=0,1 και Μ=8kg και ακτίνα R=0,. Στο άκρο του μικρού κυλίνδρου ίναι πρασμένο σώμα μάζας =kg. Στο άλλο άκρο του μγάλου κυλίνδρου ίναι πρασμένο σχοινί που δένται στο άκρο της ράβδου και ίναι κάθτο σ αυτήν. (Σχήμα 1). Να υπολογίστ τα μέτρα των δυνάμων που ασκούνται στο σώμα μάζας και στην ράβδο και βρίτ τη μάζα της ράβδου. Β. Κάποια χρονική στιγμή που θωρούμ t=0s τοποθτούμ το σώμα στο άκρο και συγκρατούμ την τροχαλία ακλόνητη μ τη βοήθια φρένου όπως φαίνται στο σχήμα. Εκτοξύουμ το σώμα προς τα δξιά από το άκρο μ ταχύτητα μέτρου υ=0,/s. ν μταξύ των πιφανιών της ράβδου και του σώματος δν μφανίζονται τριβές και το νήμα έχι όριο θραύσης Τθρ=1Ν να κάντ τα διαγράμματα της δύναμης της στατικής τριβής που ασκί το φρένο στην τροχαλία σ συνάρτηση μ την απομάκρυνση x του σώματος από το σημίο και μ το χρόνο t. Θωρίστ ότι το φρένο ακουμπά φαπτομνικά στην τροχαλία σ ένα σημίο. Γ. Τη στιγμή t1 που κόβται το νήμα απνργοποιίται αυτόματα το φρένο και η τροχαλία αρχίζι να πριστρέφται χωρίς τριβές, νώ το σώμα μάζας αρχίζι να πέφτι προς τα κάτω. Υποθέστ ότι το σχοινί δν γλιστρά όπως ξτυλίγται. Να υπολογιστούν: Γ1. Η ισχύς προσφοράς νέργιας στην τροχαλία την χρονική στιγμή t=6,s. Γ. Ο ρυθμός μταβολής της δυναμικής νέργιας του σώματος την χρονική στιγμή 6,s. Πως συσχτίζται μ το ρυθμό μταβολής της κινητικής νέργιας του σώματος και της τροχαλίας; Δ. ν το σώμα χάνι την παφή του μ τη ράβδο τη στιγμή που κόβται το νήμα και τα σώματα δν ξανασυναντώνται να βρθί η δύναμη που δέχται η ράβδος από την άρθρωση την στιγμή που έχι στραφί από την οριζόντια θέση κατά γωνία θ τέτοια ώστ ημθ =0,6 και συνθ=0,8. /4 /4 R R 1 Ο Σχήμα 1 Σχήμα 1
Δίνται η ροπή αδράνιας του κάθ κυλίνδρου ως προς τον άξονα πριστροφής του ίναι 1 Iκυλ = Μ R όπου Μ η μάζα του κάθ κυλίνδρου και R η αντίστοιχη ακτίνα του. Η 1 ροπή αδράνιας της ράβδου ως προς το σημίο ίναι IΡ( ) = Μ Ρ πάντηση. πό την ισορροπία του σώματος Σ1 έχουμ: ( ) Σ F= 0 T1 w1 = 0 T1 = w1 T1 = g 1 T1 = 0N (1) Επιδή το σχοινί ίναι αβαρές στα άκρα του ασκί δυνάμις ίσου μέτρου. /4 Τ1 =Τ1=0Ν () Στην τροχαλία δν έχουμ σχδιάσι την δύναμη από τον άξονα και το βάρος της. πό την στροφική ισορροπία της διπλής τροχαλίας έχουμ: FA ( ) Σ τ ( Ο) = 0 TR 1 1 TR = 0 0 0,1 T 0, = 0 N =w T = 10 N () Επιδή το σχοινί ίναι αβαρές στα άκρα του ασκί δυνάμις ίσου μέτρου. Τ=Τ =10Ν (4) wρ T T Σχήμα Ο T 1 T1 w1 Στην δοκό ασκούνται η δύναμη του βάρους της wρ, μία δύναμη παφής Ν από το σώμα η τιμή της οποίας ισούται μ w = g γιατί το ισορροπί*, η τάση του νήματος Τ και η δύναμη από την άρθρωση FA. Η δύναμη FA θα ίναι κατακόρυφη γιατί η ράβδος ισορροπί και όλς οι υπόλοιπς δυνάμις ίναι κατακόρυφς.(δν υπάρχι καμία δύναμη στον x x) *στο ασκούνται το βάρος του W και μία δύναμη παφής N από την ράβδο. Επιδή ισορροπί: ΣF = 0w N =0 w = N=10Ν λόγω δράσης αντίδρασης και το σώμα θα ασκί στη ράβδο μία αντίθτη δύναμη Ν από αυτή που δέχται από τη ράβδο. Άρα το μέτρο της Ν = g=10ν N w Επιδή η ράβδος ισορροπί Σ Fx = 0, Σ Fy = 0 και Σ τ = 0 ως προς οποιοδήποτ σημίο. Σ τ = 0 τf τ τwρ τt 0 0 w M w T 0 Ν = ρ = 4 10 M Ρ 10 10 = 0, M Ρ 10 = 0 M Ρ 4 = 7, / = 1, Kg και Σ Fy = 0 F T w w = 0 F = w w T = 10 1 10 F = 1N A Ρ A Ρ A
Β. Η τάση Τ1 συνχίζι να έχι την ίδια τιμή μ πριν δδομένου ότι το σώμα συνχίζι να ισορροπί. Η ράβδος ισορροπί, στην τυχαία θέση x που βρίσκται το σώμα έχουμ: Σ τ = 0 τ τ τ τ = 0 F Ν Wρ T 0 w x wρ T = 0 10 x 1, 10 T = 0 4 10 T = 10x T = 7, x Τ,ax=1N1=7,10x/7,=10x/x=,. Έτσι Τ=7,10x/, 0 x, x F N =w wρ Tστ N Ο T T 1 T T1 Σχήμα 4 w1 Στην τροχαλία ασκίται μία δύναμη παφής από το φρένο η οποία αναλύται σ δύο κάθτς συνιστώσς την στατική τριβή Τστ η οποία φάπτται στην πριφέρια της τροχαλίας και την δύναμη Ν ο φορέας της οποίας διέρχται από το κέντρο της τροχαλίας. πό τη στροφική ισορροπία της τροχαλίας και θωρώντας θτική τη ροπή της στατικής τριβής έχουμ: ( ) 10 Σ τ ( Ο) = 0 TR 1 1 Tστ R TR = 0 0 0,1 0, Tστ (7, x) 0, = 0 10 0, Tστ 1, x= 0 0, Tστ = x 0, Tστ = x, 0 x, Επιδή το σώμα κινίται μ σταθρή ταχύτητα x=u t x=0, t Για x=/4=0,7t=1,s Για x=,t=4,s. Έτσι Tστ(Ν) T = στ t, 0 t 4,s Tστ(Ν) -. 0,7, x() Σχήμα -. 1, 4, t(s) Παρατηρούμ ότι η στατική τριβή αλλάζι φορά κατά την κίνηση του σώματος στη σανίδα. πό 0 x<0,7 έχι αντίθτη φορά από αυτή που έχι σχδιαστί στο σχήμα
νώ από 0,7<x, έχι τη φορά του σχήματος. Στη θέση x=0,7 η στατική τριβή ίναι μηδέν και ίναι σαν να έχουμ το ρώτημα όπου η σανίδα ισορροπί χωρίς την παρουσία του φρένου. Γ1. Υπολογίζουμ τη ροπή αδράνιας της διπλής τροχαλίας 1 1 1 1 IΣ υσ =Ι 1Ι = MR 1 1 MR = 8 0, 4 0,1 I = 0,16 0, 0 I = 0,18 kg Συσ Συσ Fαξ Β Εφαρμόζουμ το Θμλιώδη Νόμο της Στροφικής Κίνησης για T τη Στροφική κίνηση της τροχαλίας. Προσοχή έχι αλλάξι η τάση του νήματος. Γ T Σ ττρ =Ιαγ Τ R1 =Ισυσαγ Τ 0,1 = 0,18 α γ Τ = 1,8 αγ (1) Εφαρμόζουμ το Θμλιώδη Νόμο της Μηχανικής για τη Μταφορική κίνηση του σώματος στον κατακόρυφο άξονα Για το Σ1: Σχήμα 6 w1 Σ F1 = a 1 c g 1 T = a 1 c 0 T = ac () Επιδή το νήμα ίναι αβαρές και μη κτατό και συνχώς τντωμένο ασκί ίσου μέτρου τάσις στα σώματα, που «νώνι». T = T () Επιδή το νήμα δν ολισθαίνι στην τροχαλία και παραμένι τντωμένο, όλα τα σημία του κάθ νήματος έχουν ίδια ταχύτητα. Οπότ: υ = υ ω R = u α R = α α = 0,1 a (4) B Γ 1 c γ 1 c c γ wολ (1),() () 0 1,8α = 0, α α = 10 r/ s (4) Και αc=1/s γ γ γ πό την (1) προκύπτι Τ=18Ν υc= υαρχ αc(t tαρχ) υc= 0 1(t 4,) υc= t 4, και ω= υc/r1 = 10t 4 μ t 4,s O ρυθμός προσφοράς νέργιας στην τροχαλία θα ισούται μ το άθροισμα των ισχύων των δυνάμων ή ροπών που μταφέρουν νέργια στην τροχαλία. Η μόνη δύναμη που προσφέρι νέργια στην τροχαλία ίναι η τάση Τ μέσω της ροπής της. Tην t=6,s υc= /s και ω =0r/s P. = P, = TR1 = 18 0,1 0 = 6W προσϕ τ T ω 4
Γ. Ο ρυθμός μταβολής της βαρυτικής δυναμικής νέργιας του σώματος : du du = wu = 0 = 40 J / s. ( ) βαρ. βαρ. c dk dk Τρ =Σ F u = ( g Τ ) u = (0 18) = 4 J / s c c =Σ τ ω = TR ω = 18 0,1 0 = 6 J / s τρ 1 1 dk dk dk = =Σ F uc Σ ττρ ω = ( g Τ ) uc TR1ω1 = guc = 40 J / s ΣΥΣ Τρ Ουσιαστικά αυτό μας λέι ότι οι κινητικές νέργις των σωμάτων προέρχονται από τη μίωση της βαρυτικής δυναμικής νέργιας του σώματος. Δηλ. ο τροφοδότης του συστήματος ίναι η διαθέσιμη βαρυτική νέργια του η μίωση της οποίας γίνται στροφική κινητική νέργια στη διπλή τροχαλία και μταφορική κινητική νέργια στο. υτό γίνται μέσω της δύναμης του βάρους w1 και των τάσων Τ και Τ. du βαρ. dk dk = τρ Δ. Μτά το κόψιμο του νήματος το σώμα και η ράβδος χάνουν οριστικά την παφή τους. ποδικνύται ότι αν το σώμα ίναι σ απόσταση πάνω στη σανίδα μγαλύτρη ή ίση από / χάνται η παφή ακόμη και αν η σανίδα δν ίναι σ οριζόντια θέση αλλά να βρίσκται υπό γωνία. Το κέντρο μάζας της ράβδου (c) κτλί κυκλική μταφορική κίνηση. Μ βάση τον ορισμό του κέντρου μάζας ως υλικό σημίο, μπορούμ να φαρμόσουμ το θμλιώδη νόμο της μηχανικής θωρώντας όλη τη μάζα του στρού συγκντρωμένη στο κέντρο μάζας και όλς τις δυνάμις να ασκούνται στο σημίο αυτό, δηλ. φαρμόζουμ δυναμική για ένα υλικό σημίο που κτλί κυκλική μταφορική κίνηση. ναλύουμ τις δυνάμις αυτές σ δύο άξονς, τον ακτινικό (κ) μ κέντρο το Ο και τον φαπτομνικό () κάθτο στον (κ). Για κάθ άξονα φαρμόζουμ τον ο νόμο Newton. ακτινική (κ) Fκ F θ πιτρόχια () w F θ θ Δ h Ε wρ wκ (1) UB=0 κ () Σχήμα 7
Στον ακτινικό άξονα έχουμ: υ ΣF k = Μ Ρ ak c Fk w=μ k Ρ F=Μ k Ρgημ(θ) Μ Ρ ω (1) Για να βρούμ τη γωνιακή ταχύτητα φαρμόζουμ την διατήρηση της μηχανικής νέργιας. ΔΜΕ από την θέση (1) στη θέση (). Ε= / h στο τρίγωνο ΔΕ : ηµ ( θ ) = h= ηµ ( θ ) Ε h= 0,6 = 0,9 Ε E =E (1) () ΜΗΧ ΜΗΧ h= ηµθ 1 Kαρχ. Uαρχ. =Κ τλ. Uτλ. 0 0= Μg ρ h I( ) ω 1 1 gηµ ( θ ) 10 0, 6 = M ω ω = = ω = ΜΡg ημ(θ) Ρ 6 / () r s () (1) Fk = 1, 10 0,6 1, 6 = 9 1, Fk =,N Για τον υπολογισμό της φαπτομνικής συνιστώσας φαρμόζουμ το ο Νόμο του Νύτωνα ΣF = a w F =a w F =α γων F = gσυν ( θ ) α γων = 1, 10 0,8 1,α γ F = 1, α γ () Για τον υπολογισμό της γωνιακής πιτάχυνσης φαρμόζουμ το ΘΝΣΚ στη θέση () 1 1 Σ τ =ΙA αγων w = MΡ αγων MΡgσυν ( θ ) = MΡ αγων gσυν ( θ ) 1 gσυν ( θ ) 10 0,8 = = = = rad s αγων αγων αγων αγων 4 / (4) (4) () F = 1, 4 F = Ν Έτσι η δύναμη του άξονα ίναι F=F Fκ F= F F =, = 9 06, = 1,, 7N F ϕθ = = F, k κ 6
7