Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Transcript

1 Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss 1

2 2. Νόμος του Gauss Ο νόμος του Gauss και ο νόμος του Coulomb ίναι ναλλακτικές διατυπώσις της ίδιας βασικής σχέσης μταξύ μιας κατανομής φορτίου και του ηλκτρικού πδίου που δημιουργί. Έστω θτικό φορτίο στο κέντρο σφαίρας ακτίνας R. 1 4π ( ) 1 4π R 2 d R 2 ( 2 4πR ) Νόμος του Gauss 2

3 Ότι ισχύι για όλη την σφαίρα, ισχύι και για μέρος της πιφάνιας της. Το πδίο στην μγάλη σφαίρα ίναι το 1/4 αυτού στην μικρή σφαίρα. Η πιφάνια της μγάλης σφαίρας ίναι 4 φορές αυτή της μικρής σφαίρας. Η ηλκτρική ροή σταθρή και ξαρτάται μόνο από το φορτίο. d d d 4d Νόμος του Gauss 3

4 Αντί για δύτρη σφαίρα πριβάλλουμ την σφαίρα ακτίνας R μ τυχαία πιφάνια. Αν d το μβαδόν στην τυχαία πιφάνια τότ cosφ d ίναι το αντίστοιχο μβαδόν σ σφαίρα ίδιας απόστασης από το φορτίο. Αν Ε το πδίο σ σφαίρα ίδιας απόστασης από το φορτίο τότ Ε cosφ ίναι το κάθτο πδίο στην τυχαία πιφάνια. Συνπώς η ροή ίναι Ε cosφ d (τυχαία πιφάνια - σωτρική σφαίρα). cosφd d ( ) ( ) Νόμος του Gauss 4

5 Όταν ο χώρος δν πριέχι φορτία, όσς δυναμικές γραμμές ισέρχονται πρέπι να ξέρχονται. ( ) d Για πρισσότρα φορτία: i ( ) i 1 ( ) n i d i d n i 1 n i i 1 ( ) i 1 ( ) i d n d tot Νόμος του Gauss 5 i

6 Πδίο ηλκτρικού δίπολου (Ηλκτρική ροή ανάλογη των δυναμικών γραμμών). C D > B < Ο νόμος του Gauss ίναι χρήσιμη σχέση μόνο όταν το σύστημα έχι ισχυρή συμμτρία. Νόμος του Gauss 6

7 3. Ασκήσις Α1) Πδίο μιας φορτισμένης αγώγιμης σφαίρας. Τοποθτούμ φορτίο σ μία συμπαγή αγώγιμη σφαίρα ακτίνας R. Να υπολογιστί το ηλκτρικό πδίο σ οποιοδήποτ σημίο μέσα και έξω από τη σφαίρα. Λύση Το φορτίο βρίσκται στην πιφάνια της σφαίρας. Λόγω της σφαιρικής συμμτρίας το φορτίο ίναι κατανμημένο ομοιόμορφα πάνω σ όλη την πιφάνια. Η διύθυνση του ηλκτρικού πδίου σ οποιοδήποτ σημίο έξω από τη σφαίρα πρέπι να συμπίπτι μ την ακτινική υθία μταξύ του κέντρου και του σημίου. Νόμος του Gauss 7

8 r r ds 4πr 2 1 4π r 2 Νόμος του Gauss 8

9 Tο πδίο που προκαλίται από την φορτισμένη σφαίρα ίναιτοίδιομαυτόπουδημιουργίταιαντοφορτίοίναι συγκντρωμένο στο κέντρο της. Στο όριο (R ) η σφαίρα γίνται σημιακό φορτίο. Μ αυτό τον τρόπο καταλήγουμ στον νόμο του Coulomb από τον νόμο του Gauss. Στο σωτρικό της σφαίρας, όπως και σ οποιοδήποτ στρό αγωγό όταν τα φορτία ίναι σ ηρμία, το πδίο ίναι μηδέν. Μπορούμ να χρησιμοποιήσουμ αυτή τη μέθοδο για έναν αγώγιμο σφαιρικό φλοιό (ένα σφαιρικό αγωγό μ μία ομόκντρη σφαιρική κοιλότητα στο κέντρο). Νόμος του Gauss 9

10 Α2) Ομοιόμορφα φορτισμένη σφαίρα. Ηλκτρικό φορτίο ίναι ομοιόμορφα κατανμημένο σ ολόκληρο τον όγκο μιας μονωτικής σφαίρας μ ακτίνα R. Το ολικό φορτίο ίναι Q. Να βρθί το ηλκτρικό πδίο σ όλο τον χώρο. Λύση Στον χώρο κτός της σφαίρας οι υπολογισμοί ταυτίζονται μ αυτούς της άσκησης Α1. Στον χώρο ντός της σφαίρας πιλέγοντας κατάλληλη πιφάνια Gauss ισχύι: ρ Q 4 π R 3 3 Q 4 3 Q ' ρ. V ' πr πr 3 Q r R 3 3 Νόμος του Gauss 1

11 r r ds 1 4π Q' Qr 3 R 4 2 π r Qr R 3 3 Στο κέντρο (r ), Ε, όπως θα πριμέναμ από τη συμμτρία. Στην πιφάνια της σφαίρας (r R) το πδίο έχι το ίδιο μέτρο σαν να ήταν συγκντρωμένο το φορτίο στο κέντρο της σφαίρας. Νόμος του Gauss 11

12 Α3) Πδίο γραμμικού φορτίου. Ηλκτρικό φορτίο ίναι ομοιόμορφα κατανμημένο κατά μήκος νός σύρματος πολύ μγάλου μήκους. Το φορτίο ανά μονάδα μήκους ίναι λ. Ποιο ίναι το ηλκτρικό πδίο; Λύση Το πδίο δν μπορί να έχι συνιστώσα παράλληλη προς το σύρμα (διάκριση του νός άκρου του σύρματος απότοάλλο). Το πδίο δν μπορί να έχι συνιστώσα φαπτόμνη σ κύκλο του οποίου το πίπδο ίναι κάθτο στο σύρμα μ το κέντρο του στο σύρμα (γιατί αυτή η κατύθυνση και όχι η άλλη). Άρα το πδίο κατυθύνται ακτινικά. Νόμος του Gauss 12

13 Χρησιμοποιούμ σαν πιφάνια Gauss έναν κύλινδρο μ ακτίνα r, μήκος Ι και άξονά του το σύρμα. r r d 2πrl. 2π Q' λ. l Μόνο το φορτίο που βρίσκται μέσα στην πιφάνια Gauss λαμβάνται υπ' όψη; (συμμτρία του προβλήματος). 1 λ r Νόμος του Gauss 13

14 Α4) Πδίο πίπδου φορτίου απίρων διαστάσων. Να υπολογιστί το ηλκτρικό πδίο που δημιουργίται από ένα μγάλο ομοιόμορφα φορτισμένο πίπδο φύλλο αν το φορτίο ανά μονάδα πιφάνιας ίναι σ. Λύση Σ κάθ σημίο το Ε ίναι κάθτο στο πίπδο μ φορά προς το ξωτρικό της πιφάνιας (αν η σ ίναι θτική). ΤοπδίοέχισταθρόμέτροΕσσταθρήαπόστασηαπό την κάθ μία πλυρά της πιφάνιας. ΗπιφάνιαGauss ίναι κύλινδρος συμμτρικός ως προς το φύλλο του φορτίου. Νόμος του Gauss 14

15 r r d 2 2 Q' σ Αυτή ίναι μία καλή προσέγγιση για σημία που βρίσκονται κοντά στην πιφάνια (σ σύγκριση μ τις διαστάσις) και όχι κοντά στα άκρα ππρασμένης πιφάνιας. Εκί το πδίο θωρίται σχδόν ομογνές και κάθτο στο πίπδο. σ Νόμος του Gauss 15

16 Α5) Πδίο μταξύ παράλληλων αγώγιμων πλακών μ αντίθτα φορτία. Δύο μγάλς παράλληλς αγώγιμς πλάκς φορτίζονται μ ίσα και αντίθτα φορτία. Το φορτίο ανάμονάδαπιφάνιαςίναι+σ γιατημίακαι-σ γιατην άλλη. Να βρθί το ηλκτρικό πδίο στον χώρο μταξύ των πλακών. Λύση Λόγω του Α4 παραδίγματος ίναι μόνο στο χώρο μταξύ των πλακών. σ Νόμος του Gauss 16