Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες. Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 1 (1/2) Να κατανοήσουν οι φοιτητές τις εισαγωγικές έννοιες της Στατιστικής. Να κατανοήσουν οι φοιτητές τον ρόλο και τις εφαρμογές της στατιστικής, ιδιαίτερα σε προβλήματα οικονομικής φύσεως. Να κατανοήσουν οι φοιτητές τις βασικές έννοιες της στατιστικής και την φυσική ερμηνεία των στατιστικών μεγεθών. 4

Σκοποί ενότητας 1 (2/2) Να κατανοήσουν οι φοιτητές την απλή στατιστική μεθοδολογία και να είναι σε θέση να ερμηνεύσει στατιστικά συμπεράσματα. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν εξειδικευμένο λογισμικό στατιστικής αναλύσεως για την ανάλυση πραγματικών (μεγάλων) προβλημάτων. 5

Περιεχόμενα ενότητας (1/8) Ορισμοί: Πληθυσμός. Δείγμα. Μονάδα έρευνας. Δειγματική μονάδα. Παράμετρος. Στατιστικό και μεταβλητή. 6

Περιεχόμενα ενότητας (2/8) Μονομεταβλητά περιγραφικά στατιστικά: Αριθμός περιπτώσεων. Αναλογίες και ποσοστά (%) και λόγοι. Κατανομές συχνοτήτων. Μέτρα κεντρικής τάσεως: Μέσος. Διάμεσος. Επικρατούσα τιμή. 7

Περιεχόμενα ενότητας (3/8) Μέτρα θέσεως: Δεκατημόρια. Τεταρτημόρια. Ποσοστημόρια. Μέτρα Διασποράς: Κύμανση. Τεταρτημοριακή απόκλιση. 8

Περιεχόμενα ενότητας (4/8) Μέτρα Διασποράς (συνέχεια): Μέση απόκλιση. Τυπική απόκλιση. Συντελεστής μεταβλητότητας. Μέτρα Σύνοψης: Λοξότητα. Κύρτωση. 9

Περιεχόμενα ενότητας (5/8) Θεωρητικές κατανομές. Δειγματοληψία: Μέθοδοι επιλογής δείγματος. Μέγεθος δείγματος. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων: Στατιστική εκτίμηση. Διαστήματα εμπιστοσύνης. 10

Περιεχόμενα ενότητας (6/8) Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων (συνέχεια): Στατιστική σημαντικότητα της διαφοράς μέσων όρων ενός, δύο, ή περισσοτέρων δειγμάτων. Στατιστική σημαντικότητα της διαφοράς ποσοστιαίων αναλογιών. Έλεγχοι υποθέσεων. 11

Περιεχόμενα ενότητας (7/8) Στατιστική. Μεταβλητές και δεδομένα. Αθροίσματα. Στατιστικά μέτρα. Απλός αριθμητικός μέσος. Μέσος Γεωμετρικός. 12

Περιεχόμενα ενότητας (8/8) Χαρακτηριστικά μέσου αριθμητικού. Χαρακτηριστικά μέσου γεωμετρικού. Διάμεσος. Τεταρτημόρια. 13

Στατιστική Στατιστική είναι Η συλλογή, Οργάνωση. Ανάλυση. Παρουσίαση και ερμηνεία δεδομένων, μέσω της διεξαγωγής ερευνών και πειραμάτων. 14

Μεταβλητές και δεδομένα (1/31) ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ: Το θεωρητικό σύνολο ομοειδών περιπτώσεων. Μεταβλητή: Ένα χαρακτηριστικό το οποίο μεταβάλλεται, δηλαδή με κάποιο τρόπο μετράται και μπορεί να πάρει διάφορες τιμές Π.χ το ύψος των φοιτητών του τμήματος Λ.Χ. (Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής). 15

Μεταβλητές και δεδομένα Ποσοτικές Μεταβλητές: Επιδέχονται μέτρηση. Ποιοτικές Μεταβλητές: (2/31) Δεν επιδέχονται μέτρηση π.χ το φύλο, η οικογ. κατάσταση. Στατιστικό Στοιχείο (Σ.Σ.): Οποιαδήποτε τιμή της Μεταβλητής. Σταθερές: Υπάρχουν πράγματα στη φύση που είναι αμετάβλητα. Παράδειγμα, το νερό βράζει στους 100 βαθμούς Κελσίου, η ταχύτητα του φωτός είναι περίπου 300.000 Km ανά δευτερόλεπτο, κλπ. 16

Μεταβλητές και δεδομένα (3/31) Διάγραμμα 1. Μεταβλητές και δεδομένα (3/31) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960- 93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 17

Μεταβλητές και δεδομένα (4/31) Ποσοτικές Μεταβλητές: Συνεχείς. Μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή μεταξύ δυο πραγματικών αριθμών. Ασυνεχείς. Παίρνουν μόνο ακέραιες τιμές. Πίνακας συχνοτήτων (ποιοτικά) ή κατανομή συχνοτήτων (ποσοτικά): Καταχωρούμε ή κατατάσσουμε τα δεδομένα σε πίνακα. Συχνότητα: Το πλήθος των στοιχείων κάθε κατηγορίας. Απόλυτη συχνότητα, που συμβολίζεται με f, και δείχνει το πλήθος σε απόλυτο αριθμό. 18

Μεταβλητές και δεδομένα (5/31) Πίνακας συχνοτήτων (ποιοτικά) ή κατανομή συχνοτήτων (ποσοτικά) (συνέχεια): Σχετική συχνότητα, που συμβολίζεται με fi/n και δείχνει την ποσοστιαία αναλογία της κατηγορίας στο σύνολο των κατηγοριών. 19

Μεταβλητές και δεδομένα (6/31) Διάγραμμα 2. Μεταβλητές και δεδομένα 6/31 (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 20

Μεταβλητές και δεδομένα (7/31) Διάγραμμα 3. Μεταβλητές και δεδομένα 7/31 (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 21

Μεταβλητές και δεδομένα Ομαδοποίηση: (8/31) Η ταξινόμηση των δεδομένων σε κάποιες κλάσεις ή ομάδες. Γενικά, ο αριθμός των κλάσεων που θα πρέπει να γίνουν για την ομαδοποίηση μιας σειράς δεδομένων καθορίζεται: Αφενός από το συνολικό αριθμό των δεδομένων. Αφετέρου όμως, και κυρίως, από την εμπειρία του ερευνητή και από το τι ακριβώς θέλει να δείξει ο ερευνητής. 22

Μεταβλητές και δεδομένα (9/31) Τα δεδομένα μας όσα και αν είναι, έχουν μια ελάχιστη και μια μέγιστη τιμή. Η διαφορά μεταξύ της ελάχιστης και μέγιστης τιμής καλείται εύρος: R= Xmax=Xmin Στην επόμενη διαφάνεια εαν προσθέσουμε όλες τις συχνότητες κάτω από μια συγκεκριμένη τιμή προκύπτει η αιροιστική συχνότητα, η οποία συμβολίζεται με F. 23

Μεταβλητές και δεδομένα (10/31) Διάγραμμα 4. Μεταβλητές και δεδομένα 10/31 (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960- 93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 24

Μεταβλητές και δεδομένα (11/31) Για να χωρίσουμε το εύρος των δεδομένων σε k κλάσεις: Διαιρούμε το εύρος των δεδομένων R με το k. Παίρνουμε έναν αριθμό τον οποίο στρογγυλοποιούμε, έτσι ώστε τελικά να προκύψει ένας εύχρηστος αριθμός που θα αποτελέσει το εύρος της κάθε κλάσης. Προσοχή: Η στρογγυλοποίηση πρέπει να γίνεται πάντα προς τα πάνω, αλλιώς υπάρχει ο κίνδυνος να χάσουμε ακραίες παρατηρήσεις. 25

Μεταβλητές και δεδομένα (12/31) Προσοχή (συνέχεια): Tι γίνεται όταν έχουμε μια τιμή στο όριο; Αν και είναι σχετικά σπάνιο να συμβεί κάτι τέτοιο σε συνεχή δεδομένα, θα πρέπει να έχουμε προσυμφωνήσει σε έναν κανόνα. 26

Μεταβλητές και δεδομένα (13/31) Προσοχή: H στρογγυλοποίηση πρέπει να γίνεται πάντα προς τα πάνω, αλλιώς υπάρχει ο κίνδυνος να χάσουμε ακραίες παρατηρήσεις. Tι γίνεται όταν έχουμε μια τιμή στο όριο; Αν και είναι σχετικά σπάνιο να συμβεί κάτι τέτοιο σε συνεχή δεδομένα, θα πρέπει να έχουμε προσυμφωνήσει σε έναν κανόνα. 27

Μεταβλητές και δεδομένα (14/31) Το γράφημα για ομαδοποιημένα -ταξινομημένα δεδομένα λέγεται ιστόγραμμα συχνοτήτων. Οι ράβδοι στην περίπτωσή μας λέγονται ιστοί είναι στην ουσία κάποια ορθογώνια: o Mε βάση ίση με το εύρος της κλάσης. o Ύψος ίσο με τη συχνότητα της κάθε κλάσης. 28

Μεταβλητές και δεδομένα (15/31) Στο ιστόγραμμα οι ιστοί εκπροσωπούν ομάδες αριθμών που βρίσκονται σε ορισμένη σειρά και για το λόγο αυτό ενώνονται μεταξύ τους. 29

Μεταβλητές και δεδομένα (17/31) Κάποιες φορές τα δεδομένα δίνουν στο ιστόγραμμα συγκεκριμένες μορφές, οι κυριότερες από τις οποίες είναι οι εξής: Ομοιόμορφο: Εάν σε όλες τις κλάσεις μπαίνει περίπου ίδιος αριθμός δεδομένων τότε το ιστόγραμμα είναι επίπεδο και ομοιόμορφο. Λοξό αριστερά: Εάν οι περισσότερες παρατηρήσεις συγκεντρώνονται στη δεξιά πλευρά του ιστογράμματος και προς τα αριστερά έχουμε όλο και λιγότερες παρατηρήσεις. 31

Μεταβλητές και δεδομένα Λοξό αριστερά (συνέχεια): (18/31) Με άλλα λόγια εάν δημιουργείται μια ουρά προς τα αριστερά, τότε το ιστόγραμμα εμφανίζει αριστερή λοξότητα. Σημειώνεται ότι εναλλακτικά χρησιμοποιείται ο όρος αρνητική ασυμμετρία. 32

Μεταβλητές και δεδομένα Λοξό δεξιά: (20/31) Εάν οι περισσότερες παρατηρήσεις συγκεντρώνονται στην αριστερή πλευρά του ιστογράμματος και προς τα δεξιά έχουμε όλο και λιγότερες παρατηρήσεις. o Με άλλα λόγια εάν δημιουργείται μια ουρά προς τα δεξιά. o Τότε το ιστόγραμμα εμφανίζει δεξιά λοξότητα. o Σημειώνεται ότι εναλλακτικά χρησιμοποιείται ο όρος θετική ασυμμετρία. 34

Καμπάνα: Μεταβλητές και δεδομένα (23/31) Εάν ένα ιστόγραμμα έχει όλο και περισσότερες παρατηρήσεις καθώς πλησιάζουμε στο κέντρο του από οποιαδήποτε πλευρά και στα δύο άκρα σχηματίζει ουρές τότε έχει σχήμα καμπάνας. Συμμετρικό: Εάν σε ένα ιστόγραμμα φέρουμε μια κάθετη γραμμή στη μέση και η εικόνα αριστερά είναι περίπου ή ακριβώς καθρέφτης της εικόνας δεξιά τότε το ιστόγραμμα είναι συμμετρικό. 37

Μεταβλητές και δεδομένα Σχήματος U: (25/31) Εάν οι περισσότερες παρατηρήσεις συγκεντρώνονται στα άκρα του ιστογράμματος και στο μέσο έχουμε λιγότερες παρατηρήσεις τότε το ιστόγραμμα έχει σχήμα U. 39

Δικόρυφο: Μεταβλητές και δεδομένα (27/31) Εάν υπάρχουν δύο σημεία στο ιστόγραμμα όπου συγκεντρώνονται περισσότερα στοιχεία και σχηματίζουν κορυφές, τότε έχουμε δικόρυφο ιστόγραμμα. 41

ΔΕΙΓΜΑ: Μεταβλητές και δεδομένα Μέρος ενός πληθυσμού. ΜΕΓΕΘΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ: (29/31) Το σύνολο των Στοιχείων του Πληθυσμού (σύμβολο: Ν). Το δείγμα είναι μέρος ενός συνόλου που, συνήθως, καλείται πληθυσμός. 43

Μεταβλητές και δεδομένα (30/31) Ένα δείγμα μπορεί να ληφθεί κατά "τυχαίο" ή μη τυχαίο τρόπο. Στην περίπτωση τυχαίου δείγματος, επεκτείνουμε τα συμπεράσματα από τη μελέτη του δείγματος στον πληθυσμό. Μόνο όταν έχουμε τη δυνατότητα τυχαίας δειγματοληψίας, μπορούμε πράγματι να κάνουμε χρήση των αρχών της Επαγωγικής Στατιστικής. 44

Μεταβλητές και δεδομένα (31/31) Είναι διαφορετική η επεξεργασία των αποτελεσμάτων από μεγάλο δείγμα, από ότι από μικρό. Ένα δείγμα θεωρείται μεγάλο όταν έχει τουλάχιστον 30 παρατηρήσεις. 45

Αθροίσματα (1/6) Αθροίσματα Σ i=1 n x i = x i +x i +.x n 46

Αθροίσματα (2/6) Κανόνες Αθροίσεως Κανόνας 1: A α είναι μια σταθερή ποσότητα τότε ισχύει η ισότητα Σ i=1 n α i = α+α+.α= n*a. 47

Αθροίσματα (3/6) Κανόνες Αθροίσεως Κανόνας 2: A α είναι μια σταθερή ποσότητα και Χi μια μεταβλητή ποσότητα τότε ισχύει η ισότητα Σ i=1 n αx i = α* Σ i=1 n αx i. 48

Αθροίσματα (4/6) Απόδειξη: Κανόνας 2: A α είναι μια σταθερή ποσότητα και Χi μια μεταβλητή ποσότητα τότε ισχύει η ισότητα Σ i=1 n αx i = α*x 1 +α*x 2 +α*x n = α*(x 1+ x 2 +x n ) = α * Σ i=1 n x i 49

Αθροίσματα (5/6) Κανόνες Αθροίσεως Κανόνας 3: A α και β είναι μια σταθερές ποσότητες και Χi μια μεταβλητή ποσότητα τότε ισχύει η ισότητα Σ i=1 n α+β*x i = n*α +β*σ i=1 n x i 50

Αθροίσματα (6/6) Κανόνες Αθροίσεως Κανόνας 4: Aν Χi και Υi είναι μεταβλητές ποσότητες τότε ισχύει η ισότητα Σ i=1 n (xi+yi)= Σ i=1 n x i +Σ i=1 n y i 51

Στατιστικά μέτρα (1/2) Αντιπροσωπευτικοί αριθμοί: Συνοψίζουν τα χαρακτηριστικά μιας κατανομής. Τα στατιστικά μέτρα χωρίζονται σε δύο γενικές κατηγορίες: o Μέτρα θέσης και κεντρικής τάσης. o Μέτρα διασποράς. 52

Στατιστικά μέτρα (2/2) Τα μέτρα θέσης περιγράφουν περιληπτικά τη θέση που έχουν τα δεδομένα πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Ενώ τα μέτρα κεντρικής τάσης εξετάζουν την τάση των δεδομένων να συγκεντρώνονται γύρω από ένα μέσο όρο. 53

Στατιστικά μέτρα τάσης Μέσοι Κεντρικής Τάσεως: Ο Αριθμητικός. Ο Γεωμετρικός. Μέσοι (παράμετροι) Θέσεως: Η Διάμεσος. Τα Τεταρτημόρια. Τα Δεκατημόρια. 54

Απλός αριθμητικός μέσος (1/8) Τo πιο κοινό μέτρο του τυο κέντρου των δεδομένων είναι ο αριθμητικός μέσος (arithmetic mean) ή απλά μέσος (mean). Πρόκειται για ένα εύκολα υπολογιζόμενο μέτρο που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα μ εάν πρόκειται για το μέσο του πληθυσμού. Εάν πρόκειται για το μέσο ενός δείγματος, με το λατινικό γράμμα x. 55

Απλός αριθμητικός μέσος (2/8) O αριθμητικός μέσος δίνεται από τον τύπο μ= Σ i=1 n (xi/ν)= (1/Ν)*Σ i=1 n x i 56

Απλός αριθμητικός μέσος (3/8) Διάγραμμα 12. Απλός αριθμητικός μέσος (3/8) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960- 93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 57

Απλός αριθμητικός μέσος (4/8) Διάγραμμα 13. Απλός αριθμητικός μέσος (4/8) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960- 93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 58

Απλός αριθμητικός μέσος (5/8) Ιδιότητες Μέσου Αριθμητικού. Αν προσθέσουμε σε όλες τις τιμές μιας μεταβλητης Χ μια σταθερή ποσότητα c, τότε και ο μέσος αριθμητικός τους αυξάνεται κατά τη σταθερή αυτή ποσότητα. Σ (xi+c)/n= Σ xi+nc/n = Σ xi/n +nc/n = x(μέσος)+c 59

Απλός αριθμητικός μέσος (6/8) Ιδιότητες Μέσου Αριθμητικού. Αν αφαιρέσουμε από όλες τις τιμές μιας μεταβλητης Χ μια σταθερή ποσότητα c, τότε και ο μέσος αριθμητικός τους ελατώνεται κατά τη σταθερή αυτή ποσότητα. Σ (xi-α)/n= Σ xi-nc/n = Σ xi/n -nc/n = x(μέσος)-c 60

Απλός αριθμητικός μέσος (7/8) Ιδιότητες Μέσου Αριθμητικού. Αν πολλαπλασιάσουμε όλες τις τιμές μιας μεταβλητης Χ μια σταθερή ποσότητα c, τότε και ο μέσος αριθμητικός τους πολλαπλασιάζεται κατά τη σταθερή αυτή ποσότητα. Σ (xi*c)/n= c*σ xi/n = c*x(μέσος) 61

Απλός αριθμητικός μέσος (7/8) Ιδιότητες Μέσου Αριθμητικού. To αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων (διαφορών) του μέσου αριθμητικού από κάθε τιμή της μεταβλητης Χ είναι μηδέν. Δηλαδή ισχύει η σχέση: Σ (xi-x(μέσος)= Σ xi - Σ x (μέσος) =n*x(μέσος)- n*x(μέσος) 62

Ο αριθμητικός μέσος τιμών με συχνότητες (1/2) Διάγραμμα 14. Ο αριθμητικός μέσος τιμών με συχνότητες (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 63

Ο αριθμητικός μέσος τιμών με συχνότητες (2/2) Υπολογισμός του Αριθμητικού μέσου. Χ(μέσος) = (1/n)* Σ ρ i=1 x i f i =(1/1000)Σ 8 i=1 x i f= =0,0001*1874=1,87 --- 2 παιδιά. 64

Ο αριθμητικός μέσος ομαδοποιημένων -ταξινομημένων τιμών (1/2) Διάγραμμα 14. Ο αριθμητικός μέσος ομαδοποιημένων -ταξινομημένων τιμών (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 65

Ο αριθμητικός μέσος ομαδοποιημένων -ταξινομημένων τιμών (2/2) Υπολογισμός Αριθμητικού ομαδοποιημένων ταξινομημένων τιμών: μ =Σx i f i/ Σf i = 6417/100=64,17. 66

Μέσος Γεωμετρικός (1/3) Εάν πολλαπλασιάσουμε όλες τις τιμές και πάρουμε τη-ιοστή ρίζα του γινομένου τότε έχουμε το γεωμετρικό μέσο ο οποίος εκφράζεται με : G= n X 1 x 2 x n = G= n X 1 x 2 x n 2 4*9 = 6. 67

Μέσος Γεωμετρικός (2/3) Για τον υπολογισμό του μέσου γεωμετρικού χρησιμοποιούμε λογάριθμους. Λογαριθμούμε και τα δου μέλη της σχέσεως: G= n X 1 x 2 x n = (x 1 x 2 x n ) 1/n logg = log (x 1 x 2 x n ) 1/n (logx 1 +logx 2 +logx n )/n. 68

Μέσος Γεωμετρικός (3/3) Ο μέσος αριθμητικός είναι πάντοτε μεγαλύτερος από το μέσο γεωμετρικό. 69

Σταθμικός Γεωμετρικός Μέσος Εάν η κάθε τιμή εμφανιζεται με συχνότητα, τότε σοτν τύπο υπολογισμού του γεωμετρικού μέσου έχουμε: x g = n X 1 X 1 X 2 X 2 X 2 X k X k X k X k G= n X 1 f1 X 2 f2 X k fk 70

Eφαρμογές του Μέσου Γεωμετρικού (1/4) Ο υπολογισμός της μέσης ποσοστιαίας μεταβολής κυρίως οικονομικών χρονοσειρών. Κατάρτιση αριθμοδεικτών. Μετατρέπουμε τα δεδομένα σε αριθμοδείκτες ποσοστιαίας μεταβολής. o Διαιρούμε κάθε όρο με τον προηγούμενο: o G = 1 + i = n x 1 x 0 x 2 x 1 x n x n 1. 71

Eφαρμογές του Μέσου Γεωμετρικού (1/4) O υπολογισμός της μέσης ποσοστιαίας μεταβολής κυρίως οικονομικών χρονοσειρών. Κατάρτιση αριθμοδεικτών. Μετατρέπουμε τα δεδομένα σε αριθμοδείκτες ποσοστιαίας μεταβολής. Διαιρούμε κάθε όρο με τον προηγούμενο. G=1+I = n X 1/ X 0 X 2/ X 1..X n/ X n-1 72

Eφαρμογές του Μέσου Γεωμετρικού (2/4) Διάγραμμα 15. Eφαρμογές του Μέσου Γεωμετρικού (2/4) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 73

Eφαρμογές του Μέσου Γεωμετρικού (3/4) Εάν θέλουμε να υπολογίσυοεμ τη μέση αύξηση τηε δεκαετίας τότε θα πρέπει να υπολογίσυοεμ το γεωμετρικό μεσο: G+1= 10 (1,1)*(1,13)...(1,09)*(1,05) = = 10 2,422736 = 1,08412=~1,084 = G=0,084. 74

Eφαρμογές του Μέσου Γεωμετρικού (4/4) Η μέση ετήσια ποσοστιαία αύξηση της τιμής του προϊόντος είναι περίπου 8,4%. 75

Χαρακτηριστικά μέσου αριθμητικού Η τιμή του αριθμητικού μέσου επηρεάζεται από όλες τις τιμές της μεταβλητής. Ιδιαιτέρως από τις ακραίες τιμές. Ο τύπος του αριθμητικού μέσου δύναται να χρησιμοποιηθεί αλγεβρικά καθώς αποτελεί εξίσωση. Ο αριθμητικός μέσος βρίσκεται πάντοτε ανάμεσα στην ελάχιστη και μέγιστη τιμή της μεταβλητής. 76

Χαρακτηριστικά μέσου γεωμετρικού (1/2) Η τιμή του γεωμετρικού μέσου δεν επηρεάζεται τόσο πολύ από τις ακραίες τιμές όσο ο αριθμητικός μέσος. Ο γεωμετρικός μέσος έχει νόημα και υπολογίζεται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής είναι θετικοί αριθμοί και μη μηδενικοί. Ο τύπος του γεωμετρικού μέσου δύναται να χρησιμοποιηθεί αλγεβρικά. 77

Χαρακτηριστικά μέσου γεωμετρικού (2/2) Αν μια κατανομή είναι συμμετρική ή κατά προσέγγιση συμμετρική τότε: Ο μέσος αριθμητικός είναι το πιο αντιπροσωπευτικό στατιστικό μέτρο έκφρασης κεντρικής μέσης τιμής. Αν μια κατανομή είναι ασυμμετρική τότε: Πιθανώς ο μέσος αριθμητικός να μην είναι το πιο αντιπροσωπευτικό μέτρο. Υπάρχουν αλλά στατιστικά μέτρα όπως: Διάμεσος, Επικρατούσα τιμή. 78

Διάμεσος (1/2) Η διάμεσος είναι, πολύ απλά, η μεσαία τιμή της κατανομής: Εάν κατατάξουμε τις τιμές σύμφωνα με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά. Συνήθως από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη. 79

Διάμεσος (2/2) Η διάμεσος κατέχει την κεντρική θέση: Είναι η τιμή που χωρίζει τις τιμές της μεταβλητής σε δύο ισοπληθείς ομάδες. 50% κάτω της Διαμέσου και τα υπόλοιπα 50% πάνω. Η διάμεσος συμβολίζεται με Μ η Μd. 80

Διάμεσος απλών δεδομένων (1/4) Τα δεδομένα διατάσσονται κατά αύξουσα σειρά. Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: Όταν το πλήθος είναι μονός αριθμός, τότε υφίσταται μόνο μια τιμή της μεταβλητής που κατέχει την κεντρική θέση. 3,10,15,6,16,14,9. 3,6,9,10,14,15,16. (Ν+1)/2 = (7+1)/2=4. 81

Διάμεσος απλών δεδομένων (2/4) Η διάμεσος βρλίσκεται στη 4 η θέση Md=10. To Πλήθος των τιμών είναι ζυγός αριθμός: Υπάρχουν δυο τιμές. Μεταξύ των δυο κεντρικών τιμών βρίσκεται η διάμεσος. 82

Διάμεσος απλών δεδομένων (3/4) Το πλήθος των τιμών είναι ζυγός αριθμός (συνέχεια): Η διάμεσος ισούται με το ημιάθροισμα των δύο κεντρικών τιμών. o 3, 10, 15, 6, 16, 14, 8, 4. o 3, 4, 6, 8, 10, 14, 15, 16. o N+1 2 = 8+1 2 = 4,5. 83

Διάμεσος απλών δεδομένων (4/4) Η διάμεσος βρίσκεται μεταξύ του 4 ου και 5 ου όρου. Md=(8+10)/2=9. 84

Eφαρμογές του Μέσου Γεωμετρικού (2/4) Διάγραμμα 16. Διάμεσος Ομαδοποιημένων δεδομένων (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 85

Διάμεσος ταξινομημένων Μd=X i -δ/f i *(N/2 F i-1 ). δεδομένων (1/3) Ν/2 είναι η θέση αθροιστική σειρά που εντοπίζουμε τη διάμεσο. X i το κατώτερο όριο της τάξης που βρίσκεται η διάμεσος. δ το διάστημα της τάξης που βρίσκεται η διάμεσος. f i = η συχνότητα της τάξης που βρίσκεται η διάμεσος. F i-1 = η αμέσως μικρότερη αθροιστική συχνότητα από αυτή που έχουμε εντοπίσει τη διάμεσο. 86

Διάμεσος ταξινομημένων δεδομένων (2/3) Διάγραμμα 17. Διάμεσος ταξινομημένων δεδομένων (2/3) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 87

Διάμεσος ταξινομημένων δεδομένων (3/3) Μd=X i -δ/f i *(N/2 F i-1 )=120+10/39(50-36)=123,59. Ν το σύνολο των συχνοτήτων =100. X i το κατώτερο όριο της τάξης=120. δ το διάστημα της τάξης 10. f i = η συχνότητα της τάξης που εντοπίζεται=39. F i-1 = η αμέσως μικρότερη από το F που εντοπίζεται. 88

Τεταρτημόρια (1/15) Το πρώτο τεταρτημόριο συμβολίζεται με το Q1. Είνια η τιμή εκείνη της μεταβλητής που χωρίζει τα δεδομένα στο 25% και στο 75% του συνόλου των τιμών. Κάτω από το Q1 βρίσκεται το 25% των δεδομένων και πάνω από την τιμή αυτή το 75%. Το δεύτερο τεταρτημόριο είναι η Διάμεσος. 89

Τεταρτημόρια (2/15) Το τρίτο τεταρτημόριο συμβολίζεται με το Q3. Κάτω από το Q3 βρίσκεται το 75% των δεδομένων και πάνω από την τιμή αυτή το 25%. 90

Τεταρτημόρια (3/15) Απλά δεδομένα. Διατάσουμε τα δεδομενα. Χρησιμοποιούμε του εξής τύπους: Tο πρώτο τεταρτημόριο εντοπίζεται στη θέση PN=0,25*N. Το τρίτο τεταρτημόριο εντοπίζεται στη θέση PN=0,75*N. 91

Απλά Δεδομένα (συνέχεια). Τεταρτημόρια (4/15) Αν το παραπάνω αποτέλεσμα είναι δεκαδικός, τότε το στρογγυλοποιούμε προς τον αμέσως μεγαλύτερο. Αν το παραπάνω αποτέλεσμα είναι ακέραιος, τότε το ποσοστιαίο σημείο είναι το ημιάθροισμα αυτού του ακέραιου με τον αμέσως επόμενο στη σειρά. 92

Τεταρτημόρια (5/15) Q1=PN=0,25*N=0,25*12=3. Να βρεθεί το Q1 στην παρακάτω κατανομή: 15,32,77,24,10,53,73,8,68,3,42,18. Θέτουμε τα δεδομένα κατά αύξουσα σειρά: 3,8,10,15,18,24,32,42,53,68,73,77. Q1 =(10+15)/2=12,5. 93

Τεταρτημόρια (6/15) Αν το παραπάνω αποτέλεσμα είναι ακέραιος τότε το ποσοστιαίο σημείο είναι το ημιάθροισμα αυτού του ακέραιου με τον αμέσως επόμενο στη σειρά. 94

Τεταρτημόρια (7/15) Διάγραμμα 18. Τεταρτημόρια (7/15) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 95

Τεταρτημόρια (8/15) Q3=PN=0,75*N=0,75*12=9. Να βρεθεί το Q3 στην παρακάτω κατανομή: 15,32,77,24,10,53,73,8,68,3,42,18. Θέτουμε τα δεδομένα κατά αύξουσα σειρά: 3,8,10,15,18,24,32,42,53,68,73,77. Q3 =(53+68)/2=60,5. 96

Τεταρτημόρια (9/15) Αν το παραπάνω αποτέλεσμα είναι ακέραιος τότε το ποσοστιαίο σημείο είναι το ημιάθροισμα αυτού του ακέραιου με τον αμέσως επόμενο στη σειρά. 97

Τεταρτημόρια (11/15) Για τον υπολογισμό των τεταρτημορίων χρησιμοποιούμε του εξής τύπους: Για ταξινομημένα δεδομένα σε κατανομή συνχοτήτων χρησιμοποιούνται οι τύποι: Q1=X i -δ/f i *(N/4 Φ i ). Q3=X i -δ/f i *(3N/4 Φ i ). 99

Τεταρτημόρια (13/15) Q1=X i -δ/f i *(N/4 F i-1 )=50+10/22(50-17)=53,64. X i το κατώτερο όριο της τάξης = 50. δ το διάστημα της τάξης 10. f i = η συχνότητα της τάξης που εντπίζεται = 22. Ν=σύνολο δεδομένων= 100. F i-1 =17 η αμέσως μικρότερη από το F που εντοπίζεται. 101

Τεταρτημόρια (15/15) Q3=X i -δ/f i *(0,75N F i-1 )=70+10/15(75-70)=73,33. X i το κατώτερο όριο της τάξης = 70. δ το διάστημα της τάξης 10. f i = η συχνότητα της τάξης που εντπίζεται = 15. Ν=σύνολο δεδομένων= 100. F i-1 =70 η αμέσως μικρότερη από το F που εντοπίζεται. 103

Επικρατούσα τιμή (1/2) Επικρατούσα τιμή (Mode). Συμβολίζεται Μο και είναι η τιμή η οποία εμφανίζεται πιο συχνά στα δεδομένα. Είναι πιθανόν σε μία κατανομή να μην έχουμε καμία τιμή που να εμφανίζεται πάνω από μία φορά, οπότε δεν υπάρχει επικρατούσα τιμή. 104

Επικρατούσα τιμή (2/2) Διάγραμμα 22. Επικρατούσα τιμή (2/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 105

Στατιστικά μέτρα (1) Τα στατιστικά μέτρα θέσης και τάσης δεν επαρκούν για την πλήρη περιγραφή της κατανομής μιας μεταβλητής.δεν παρέχουν πληροφορίες: Για τη διασπορά των τιμών γύρω από το μέσο. Ούτε για τη μορφή της κατανομής που αντιπροσωπεύουν. 106

Στατιστικά μέτρα (2) Για να περιγραφεί ικανοποιητικά μια κατανομή θα πρέπει να μελετηθούν: Κεντρική Τάση. Διασπορά. Ασυμμετρία. Κύρτωση. 107

Τέλος Ενότητας