Σχόλια για το Μάθημα. Λουκάς Βλάχος

Σχόλια για το Μάθημα Λουκάς Βλάχος

Σκοπός του μαθήματος Ηεξοικείωσημετολογισμότωνμεταβολών σε περισσότερες διαστάσεις Η άνετη χρήση του διανυσματικού λογισμού και των μετασχηματισμών συστημάτων συντεταγμένων Η σύνδεση του διαφορικού λογισμού πολλών μεταβλητών με φυσικά προβλήματα

Η σχέση της Φυσικής με τα Μαθηματικά: Γιατί διδασκόμαστε τόσα πολλά μαθηματικά είναι άραγε χρήσιμα; Πόσα μαθηματικά χρειάζεται ένας φυσικός; Θέμα για ειδική μελέτη Βλέπε το Κεφ 2 του βιβλίου Ο Χαρακτήρας του Φυσικού Κόσμου R Feynan Εκδόσεις Παν Κρήτης

Μέθοδοι διδασκαλίας και τα εκπαιδευτικά τους αποτελέσματα Διδασκαλία με τη συμμετοχή των φοιτητών Οι φοιτητές διακόπτουν το μάθημα συνεχώς με ερωτήσεις και συμμετέχουν στη διατύπωση εννοιών και τη λύση προβλημάτων Δημιουργία ομάδων συνεργασίας και ανταλλαγής πληροφοριών Είμαι ανοικτός για ιδιαίτερες συναντήσεις σε μικρές ομάδες (μετά από δικό σας αίτημα) για να αναλύσουμε ερωτήσεις και απορίες που προέκυψαν από το διάβασμα ή την παρακολούθηση του μαθήματος Δακτυλογραφημένη και προσεκτική λύση των ομάδων ασκήσεων

ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Παρακολούθηση: Η παρακολούθηση δεν είναι υποχρεωτική αλλά θα βοηθήσει σημαντικά την κατανόηση του μαθήματος Είναι επίσης σημαντικό αν αποφασίσετε να παρακολουθείτε το μάθημα να φτάνετε στο μάθημα στην ώρα σας γιατί με την καθυστερημένη άφιξη δημιουργείτε πολλά προβλήματα Διάβασμα εκτός των παρακολουθήσεων: Θεωρώ ότι είναι απαραίτητο να αφιερώνεται συνολικά 2-3 ώρες την εβδομάδα στη μελέτη του μαθήματος στις εργασίες και τις ομάδες ασκήσεων Είναι πολύ σημαντικό να δημιουργήσετε ομάδες μελέτης και συνεργασίας

ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Το μάθημα στο Internet: Έγινε μια προσπάθεια να παρουσιαστεί το μάθημα στο Internet https://backboardibauthgr/bin/indexp και στη συνέχεια το δρόμο course cataog ØPreview Æ Σχολή θετικών Επιστημών Æ Φυσική θα βρείτε τη σελίδα του μαθήματος Στην ιστοσελίδα υπάρχουν αρκετές χρήσιμες πληροφορίες για το μάθημα Η ύλη του μαθήματος η βιβλιογραφία και οι παραδόσεις μου (γιαόσουςδενμπόρεσαννα παρακολουθήσουν το μάθημα) θέματα από παλαιότερες εξετάσεις συνδέσεις σε παρόμοια μαθήματα θα βρείτε επίσης στην ιστοσελίδα του μαθήματος

ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ενεργός συμμετοχή: Είναι σημαντικό να συμμετέχετε ενεργά στο μάθημα με ερωτήσεις παρατηρήσεις και ιδέες Στο μάθημα θα αναλύονται ασκήσεις και θα εργάζεστε σε προβλήματα Γι αυτό να φέρνετε μαζί σας τετράδια και το βιβλίο Απαγορεύονται οι μεταξύ σας συνομιλίες και τα κινητά τηλέφωνα στην τάξη Θα ζητάτε και θα έχετε τη δυνατότητα να πείτε ότι θέλετε μεσα στο μάθημα Συστηματική παράβαση αυτών των κανόνων θα σημαίνει αποβολή από το μάθημα

ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Εγγραφή στο συγκεκριμένο τμήμα: Είναι απαραίτητο να εγγραφείτε στο μάθημα για να αποκτήσετε πρόσβαση σε όλα τα σημεία της ιστοσελίδας του μαθήματος και να έχω ηλεκτρονική επαφή μαζί σας Η απόκτησηe-ai στο NOC είναι υποχρεωτική ΟΗ/Υ σαν εργαλείο του σύγχρονου επιστήμονα: Είναι απαραίτητο να εξοικειωθείτε με τη χρήση του Η/Υ καινα γίνετε σύντομα χρήστες του αν δεν είστε ήδη Βιβλίο: Κυκλοφορούν δύο βιβλία για το μάθημα το ένα είναι γραμμένο από εμένα και το άλλο από τον κ Καρανικόλα ανάλογα με το τμήμα που τελικά θα παρακολουθήσετε προμηθευθείτε και το αντίστοιχο βιβλίο

ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Matheatica: Ένα υπέροχο εργαλείο για το φυσικό Ενώνει κείμενο γραφικά και μαθηματικούς υπολογισμούς Θα αρχίσουμε να χρησιμοποιούμε τη Matheatica στο μάθημα της Aναλυσις ΙΙ Aς δοκιμάσουμε μαζί τiς δυνατότητές της Ομάδες ασκήσεων: Θα μοιράζω ηλεκτρονικά κάθε βδομάδα σε όσους έχουν κάνει εγγραφή στο μάθημα τις νέες ασκήσεις και τα αποτελέσματα από τις παλιές Η επιστροφή των ασκήσεων θα γίνεται ηλεκτρονικά και θα σας τις επιστρέφω διορθωμένες μία βδομάδα μετά την προκαθορισμένη ημερομηνία παράδοσης Καθυστερημένες ομάδες ασκήσεων δεν γίνονται δεκτές Τις ασκήσεις διορθώνουν συμφοιτητές σας που αρίστευσαν στις εξετάσεις του μαθήματος Αν παραδώσετε περισσότερες από 5 ομάδες (το σύνολο θα είναι 8 ομάδες) ασκήσεων θα πάρετε μία μονάδα επιπλέον στις εξετάσεις (μόνο αν το γραπτό σας βαθμολογηθεί τουλάχιστον με 5) Τελικό διαγώνισμα: Θα σας ζητηθεί να λύσετε έξη ασκήσεις Η διάρκεια των εξετάσεων θα είναι τρεις ώρες και θα γίνουν με κλειστά βιβλία

ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τα τμήματα Β1Β2Β3Β4 είναι ανοικτά σε όλους Κανονίστε να παρακολουθείτε εκείνο το τμήμα που ταιριάζει καλύτερα στο πρόγραμμά σας Τα θέματα των εξετάσεων είναι για όλους κοινά και διορθώνονται όλα και από τους δύο διδάσκοντες Είναι το μάθημα δύσκολο; Όχι αν δουλέψετε όπως στο Λύκειο δηλαδή συστηματικά ολόκληρο το εξάμηνο Αξιοποιήστε τις Ομάδες ασκήσεων και το προγραμματισμό του μαθήματος (βλέπε Πίνακα στη συνέχεια) για να έρχεστε προετοιμασμένοι στο μάθημα και με πολλές απορίες για συζήτηση στη τάξη

ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ Ξένη γλώσσα: Είναι απαραίτητο να χειρίζεστε με άνεση τα Αγγλικά και να τα χρησιμοποιείτε στις σπουδές σας διαβάζοντας βιβλία από τη διεθνή βιβλιογραφία Η διεθνοποίηση της γνώσης και η κινητικότητα των επιστημών είναι πλέον καθεστώς Πρόγραμμα Socrates: Αναζητήστε νωρίς πληροφορίες από το Γραφείο Ευρωπαϊκών Προγραμμάτων ή τους αρμόδιους καθηγητές για τις ευκαιρίες που σας δίνει το πρόγραμμα αυτό Το Τμήμα Φυσικής διαθέτει περισσότερες θέσεις από την υπάρχουσα μέχρι τώρα ζήτηση που υπάρχει Άρα διαθέσιμες θέσεις υπάρχουν σχεδόν πάντα

ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ Τι θα κάνω μετά το πτυχίο; Απαντήστε σύντομα αυτό το ερώτημα και κανονίστε τις σπουδές σας ανάλογα Αν δεν μπορείτε να καταλήξετε κάπου αναζητήστε βοήθεια από τα μέλη ΔΕΠ του Τμήματος και αξιοποιήστε τις πληροφορίες που διαθέτει το Γραφείο Διασύνδεσης (http://wwwcsoauthgr) Διαβάστε επίσης τις προσωπικές μου σκέψεις για τις σπουδές στο τμήμα φυσικής κατεβάζοντας από την ιστοσελίδα μου τα κείμενα που θα βρείτε στο δεσμό (http://wwwastroauthgr/~vahos/spht) Τέλος λίγα λόγια για την έρευνά μου και την ερευνητική μου ομάδα στην οποία συμμετέχουν και φοιτητές και φοιτήτριες που ενδιαφέρονται για την αστροφυσική από όλα τα εξάμηνα (http://wwwastroauthgr/~vahos)

Επίλογος Είμαι στη διάθεσή σας Τρίτη και Τετάρτη (1-3) για απορίες στο μάθημα (αν χάσατε μαθήματα και έχετε απορίες θα είναι καλό να συναντηθούμε) αλλά και γενικότερες συζητήσεις πάνω σε θέματα που συνδέονται με τις σπουδές σας στο Τμήμα Φυσικής και πιστεύετε ότι μπορώ να σας είμαι χρήσιμος

! #"$%&(') *%+) &"- //01"1+) 235476985:<;>=?85@#35:BA CEDGFIH?=IJLKNMOQPL:SRTF?UJWV!JWOQPL: XZYG[]\^`_ KG354BF5KQab354 [dcbebebf

hgji k>n FIVoMV 69pq:rpqDGDG3 ^ : s JLt ^ aufv69f DG37=?F JLt ^ aymzd wwx O{3 ^ H5a H ^q} 3~69F OZ3@- zkg3 o s O{3 @ ^ auf O{3IH(3L=?37V!auF5:

t k k } J x ^ x F [ FIVoMVwP k>b aƒdqf 693L=?3~DGFvH ^ K VwKG85 354Bt ^ pqdgf 4 69 ~ F DQ 5t ^ DG3 xb 1 @-MzKQab:rOQJ _ 3ˆPQU ^ F OqMzD 4BDGF5KjOQP ^ MzD H ^ K 3BOGpqKNMzDSOQJL: nw F5:rt ^ O{F _ =IJWON zd(š 3 } 4BDGF5t 69 OQJ7: _ F5K OQJWOZF5:ŒV KNM FIH( pqdgf 47= 69 JLt ^ a 3 U(x y z) H5a ^ Ž P (x y z) 69F J)U ^ KGtB3I69KGF auf OQJLD)FIOGtB F KGF OQJL: JL: H(4769DG BOQJWO{F Ž ρ(x y z) OZ354 F ^ KQa 354 tbp ^ pqdgf } 3@ ^ ab3 aƒdqf H(F5KGF }G^ a VwtBFIOZFh 4 6ˆ zdœt ^ V ^ U1 zd H(354~H ^ K VwKG85 3 [ 1 DjO{F FIH( H(KGFIVwtBFIO 69pq: 4BDGF5KjOQP : H(3L=L= zdhh(kgfivwtbfio 6ˆ zd t ^ O{F _ =IJWON zd(š T (x y z)

} k x 3 F 3 4 3 3 4765= ^ a }G^ 35:T@- zkg35: k aƒdqf pqdgf5: } F5DG4 tbfio 69 5: @- zkg35: _ =wš =Ia 3 ^ MzKjVwF5DG IH(3547=?354 [] FIH(F } IH(3547=?354 [ 8IV#69F1A ^ =wš Xj Bš^ [ 3 } tbpqdg35:œt ^ OQJLD ^ H H?=?pq3D 4BD UPW6-JŒOQJL: FIH( O{F JL: JLt ^ aymzd A(x 1 x 2 x 3 ) 69F B(y 1 y 2 y 3 ) d 2 = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 R 1 OZF547OQauž ^ O{F F5K U tl zd t ^ OQJLD ^ 4WU ^ auf O{MzDhH(KGFIVwtBFIO 6ˆ zd R 2 O{F547OQauž ^ OZF t ^ OZ3 ^ H5a H ^q} 3 Oxy } JW=F } P ^ H5a H ^q} 3 O{3 3IH(3ˆab3 pq@#354bt ^Ÿ^ 65=?pq ^ pqdgf 35K U 3LVo zd OQJLtBF~69F5KjO ^ F5DN zd 4BDjO ^ O{FIVwtBpqDNMzD wxb 1 O{3 R 3 O{F547OQauž ^ OZF t ^ OZ3 @- zkg3 } JW=?F } P O{3 @- [ Oxyz KG3 O{3?D 3IH(3ˆab3 pq@#354lt ^ ^ 65=?pq ^ pqdgf OGK 35K U 3LVo zd 69F n }G^ OGKG35 3 OQJLtBF 4BDjO ^ OZFIVwtBpqDNMzD(Š R n (n > 3) }G^ D pq@#354bt ^ V ^ Mzt ^ OGK 6-P ^ H(3IH?O ^ auf

k V 3 x k F ^ V [ ^ a 3 ^ [ 4BžQJWOQP 354Bt FSO{354B: tj 4765= }G^ 354B: @- zkg354b: 69F OQJ 4 6-P- 1 KN OQJ J- :)8I=B=?354B: @- zkg354b: 4BDGF5DjOG85t OQJ 4 6-P)69F 1 FIOQa ;

^ x x [ OZ3vtB8?UJLtBFvF547OG U F F @#37=IJQU 3 s 69pq: 4BDGF5KjOQP : } 3t ^ O{F _ =IJWON zd t ^ 694BKQayMz:Et ^ H(KGFIVwtBFIO 1 05 0-05 -1-4 -2 0 2 4-4 -2 0 2 4

k O K x x A x F J F ;>C R«C C ² 22³ s ª k> >Ž Ž s s ± Ž s Ž s Cr;>2 ³ k± Ž O{3 H ^q} a 3œ35K tb3 FIH(3LO ^ = ^ alt 47=B=?37V!P FIH( JLt ^ auf n O{347H(3 DG3L=?3 M j (x y) wx D OZ354 R 2 O{3?D 69F5DG DGF t ^ OZ3D 3IH(3ˆab3 69F?U pqdgf FIH( O{F JLt ^ auf F547OG8F5DjO O{3 @ ^ a ^ pqdgf5d tb3dgf } 69 H(KGFIVwtBFIO 69 F [ n U tb y D (xy) f f(áâ) (áâ) x f(xy) 1 A-V F H(F5KG8 }G^ VwtBF AoJ 4BDG85KjOQJ z = (1 x 2 y 2 ) 1/2 pq@ ^ H ^q} a 335K tb3 b D OZ3 ^ MO ^ K 69 ~69F OQJLDSH ^ K pqk ^ OZ354 6 65=?354 x 2 + y 2 1 Š µ

P x t F a DGF F5D ^ KG ~ LO Â V Fv698?U ^ O tp)oqmzd k x y OQJLDrH ^ K pqk ^ F O{354 6 65=?354 J t ^ O{F _ =IJWOQP 69F tb3dgf } 6-Ṕ H(KGFIVwtBFIO 6-P)O tp-š FŸOZ3 =? 7Vw3 F547OG 3 t ^ O{F _ =IJWOGpq: OQJWO ^ :T69F J t ^ OZF _ =IJWOQP z =?p V ^ O{F O{3 ^ MO ^ K z H(FˆauKGD ^ 69 x y =?p Vw3?DjO{F F5D ^G85K [ ^GF5KjOQJLtBpqDQJ-Š

6 x Ž J x x x F5KG8 }G^ JL: VwtBF F _ K ^ U ^ a!o{3 H ^q} a 3 35K n tb3 OQJL: 4BDG85KjOQJ [ F (x y) = (x 2 + y 2 1) 1/2 + og(4 x 2 y 2 ) C H(85DjOQJ J- 4BDG85KjOQJ F (x y) 35KQauž ^ O{F LOZF5D y 2 1 0 69F 4 x 2 y 2 3)H ^q} ab3 35K tb3 > 0 n ^ a DGF OZ3 DG3L=?3 wx } JW=?F } PTO{3 DG3L=?3SOqMzD JLt ^ aymzd O{354 ^ H H(p } 354<t ^ O{F5 wx 65=MzD x 2 + y 2 1 69F x 2 + y 2 < 4 x 2 + OQJL: {(x y) : x 2 + y 2 1 x 2 + y 2 < 4} O{MzD y 0 1 2 x ¹

Š x x F5KG8 }G^ JL: VwtBF F _ K ^ U ^ a!o{3 H ^q} a 3 35K n tb3 OQJL: 4BDG85KjOQJ [ G(x y) = (x 2 y 2 ) 1/2 + (x 2 + y 2 1) 1/2 C H(85DjOQJ DG3L=?3 wx J- 3œH ^q} a 3 35K tb3 OQJL: 4BDG85KjOQJ JL: b G ^ a DGF {(x y) : x 2 y 2 69F x 2 + y 2 1} OZ3 y A x-y=0 A 0 x+y=01 x º

t s J F J J 3 ² ² «CEK U tjwo 6-P 4BDG85KjOQJ J P FIH?=?8 >ª»s 4BDG85KjOQJ AzH(37=B= zdÿt ^ O{F _ =IJWON [ f : D E D(A ^ aƒdgf tb3dq LO tj FIH ^ 69 D ^ DG 5: 47H(3 [ b f 4BDG 7=?354 D O{354 R n ^ pqdgf 47H(3 DG37=?3 wx E O{354 R 1 69F H ^ K VwKG85 ^ OZF 4Bt _ 3L= 698¼FIH( ½OQJ @-p z = f(x 1 x 2 x 3 x n ) Š Ž n [ 8 } F OqMzD H(KGFIVwtBFIO 6ˆ zd F5K F5D ^G85KjOQJWO ^ :rt ^ O{F _ =IJWOGpq:«69F O{3 OZF _ =IJQOQP-Š U tl zd ^ aƒdgf x 1 x n z ^ a DGF J ^GF5KjOQJLtBpqDQJ t ^ [ ¾

J k J x } x x 3 3 À 0%&ˆÁÂ!% 0%&ˆÁÂ') Ã"9 &*ÁÄ*&(Å! Ã"- ÆÃ+)! CEDGF5 pqkgf5t ^ P } J BO FIH( P (x y) 69F P (x y OQJLD ) KQauž ^ OZF FIH( ~OQJ @#p J-A O{F t ^ O{F5 4765= ^ a }G^ JLt ^ aymzd F ^ Mzt ^ OGKQauF 3 [ d(p P ) = (x x ) 2 + (y y ) 2 Xjš ^ OQJ _ 3ˆPQU ^ U Fœ35KQa 354Bt ^ F OQJL: pqdgdg3 OQJ 4BDGpq@ ^ F5: OQJL: FIH( FrOQJÇV ^ O{3D OZF JL: } 8 PÇH ^ K 3@oP JLt ^ aymzd(a JLt ^ ab354#š È

O ² Ž F s x [ É F @-K ^ F5DG3 65OG8 CE: F5KG@oa (x 0 y 0 ) O ^ a OQJ DG37=?F~69F wx 4BDGpq@ ^ F¼DGFŸ35KQa 354Bt ^ O{F 65= ^ OQJ 4BDG35K FI6-P)H ^ K 3B@oP Š 354Bt ^ t ^ OZ3D 35K tb OQJL: H ^ K n 3B@oPL: b OG8 A%O{F JLt ^ ab354 ² Ê OqM >ª»s kz M 0 (x 0 y 0 ) pqdgf JLt ^ a 3 O{3D R 2 69F pqdgf5: δ 69 5: F5K U tl 5:BA OG BO ^ 35KQaužG354Bt ^ Mz: 65= ^ OQP 694765= 6-P H ^ K 3B@oP O{354 O{3 n M 0 wx π(m 0 δ) = {(x y) : H ^ K ^ 3B@oP 65=?354 69F O{3 JLt ab3 ^ a DGF U ^ [ δ DG37=?3 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 δ} π(m 0 δ) ^ a DGF OZF JLt ^ auf O{354 6 3 694765= 69 5: } a 6935: H(354 pq@ ^ 69pqDNOGKG3 69F FI65OQa DGF M 0 δ Ë

(x y ) 0 0 ä

x 65OG 5: FIH( OQJLDÌ694765= 6-PhH ^ K k 69F O{3?Dœ35K tb ŒOQJL: O ^ OGKGFIVoMzD n 69F y y 0 δ 3B@oPŸt7H(35KG3 t ^ DGF } 6-PL: H ^ K 3B@oPL: 354Bt ^ x x 0 δ y 2ä (x y ) 0 0 0 2ä x

Ê k Ê k ² s k t F LO ^ pqdgf DG37=?3 JLt ^ aymzd ^ a DGF F5DG3 65OG Í wx DGF DG37=?3 JLt ^ aymzd wx D 3DG35tB85ž ^ O{F F5DG3 65OG LOZF5D V 698?U ^ JLt ^ a 3œOZ354 P 47H(85KG@ ^ Fœ694765= 6-Ṕ ÎP O ^ OGKQFIV#MzD 6-P š F5DG3 65OQP)H ^ K 3B@oṔ H(354ŒF5DQPW6 ^ OZ3 o D Š r ä Ñ ² Ê DQF O{F >ª»s 65= ^ OG A BO{F5D OZ3 wx n C(D) = R 2 D ^ a DGF Ñ DG37=?3 JLt ^ aymzd 4Bt7H?=IJLKNMztBFIO F5DG3 65OG Š =?p V ^ [ 69 OZ354 DGF)8I=B=?3 ^ a DGF OZ3 JLtBF5DjO 4BDG35K FI69 69 OZ3 @ ^ a 3 JLt ^ a 3 Š OZ3D«35K n tb SO{MzD 4BDG 7=MzD

Ê k K s k ^ ^ D ² ² 85D >ª»s D ^ a DGF pqdgf DG37=?3 JLt ^ a [ wx MzD(AÏO{3 JLt ^ a 3 P =?p V ^ O{F 4BDG35K FI69 AÏ BO{F5D Ï 698?U ^ H ^ K 3B@oPÐOZ354 P H ^ K pq@#3djozf OZ3547=?85@ OZ3D n pqdgf JLt ^ ab3~o{354 D 69F pqdgf JLt ^ a 3 OZ354 C(D) Š Ê² =?F O{F 4BDG35K OZ3 DG35KG3 OZ354 wx FI698 JLt ^ auf ^ DG 5: 4BDG 7=?354 D A9H(354 4Bt _ 37=Iauž ^ OZF t ^ DGF JLt ^ ab3 P O{354 4BDG 7=?354 69 A ^ 85D<47H(85KG@ ^ H ^ K 3B@oP OZ354 KG354 O{3 D Š D FIH(3LO ^ =?3 x B(D) J7t ^ aum±d D =?p V ^ OZF MO ^ [ P H(354)F5DQPW6 ^ ^ {Ê?37=?3I65=IP [ Ë

s } x x x x [ 3 MO ^ K kz 6ˆ zd OZ354 69 ^ DG 5: JLt ^ aymzd(a 4BDG 7=?354 ^ a DGF O{3 DG3L=?3½OqMzD ^ wx MÏO ^ K ^ DN pqdgf DG37=?3 =?p V ^ O{F 4BDGF5 pq: P 4BD ^ 65O 69 BO{F5D } wx 3IH(3 F } PWH(3LO ^ JLt ^ aufso{354<t7h(35kg3 D«DGF 4LD }G^ U 3 D«t ^ H(37=?4 [ VoMzD 6-P VwKGF5tBtP-A% 7=?FÌOZF JLt ^ aufìoqjl:)3ih(3ˆauf5: F5DQPW69354BD OZ3 DG3L=?3 Š wx y A B Ó 1 Ó 2 Ã C Ä 0 x OQJLD ^ 4BD } p ^ KNMO 698 6-P H ^ KQa H?OqM J H(354 OZ3 ^ 4WU VwKGF5tBtB3 OGtPLtBF H(354 3IH(3 F } PWH(3LO ^ JLt ^ aufto{354 4BDG L=?354 F5DQPW6 ^ 37=?3I65=IJ [ O{3 DG3L=?3~=?p V ^ O{F 694BKjOG Š wx µ

k } x J x [ Ê DGF wx 3 3IH(3 tb 5:E69F pqdgfv47h(3 OG ~69F DG37=?3 =?p V ^ O{F 3?D } PWH(3LO ^ OGp =?35: DG3L=?3 OZ354 wx KGFIVwtBpqDG3 KGFIVwtBpqDG3 F5D J FIH( JLt ^ aymzd<o{354 ^ a DGF H ^ H ^ KGF R 2 =?p V ^ O{F 4Bt7H(FIVwpq:BA F5D ^ a DGF OZF t ^ OZF5 tbpqdg35:ef5k U [ 65= ^

2 x C x x x x J J V F J C CEÑ k>ª hc X Š F _ K ^ U ^ awo{3~h ^q} ab335k n tb3 O{MzD 4BDGF5KjOQP ^ MzD5 i) f 1 (x y) = n(1 x 2 y 2 ) ii) f 2 (x y) = 1 1 x 2 y 2 iii) f 3 (x y) = n(y x) J- KQJ tb3ih(3 zdjo{f5: H(37= 69pq: 4BDjO ^ O{FIVwtBpqD ^ :BA xb (i) Ò 1 x = r cos φ y = r sin φ A J 4BDG85KjOQJ H(FˆauKGD ^ OQJ~tB35KG P f 1 (r) = n(1 r 2 ) 69F 35KQaž ^ O{F 0 r < 1 Š H(35tBpqDNMz:ÇOZ3 H ^q} a 3 35K tb3 OQJL: FIH(3BO ^ = ^ a OZF k b FIH( 7=?F OZF JLt ^ auf H(354 _ KQa 693DjOZF O{3 ^ MO ^ K 69 O{354 > 694765= 693 } a 69354 FI65OQa DGF5: r = 1 (ii) ^ OZ3D a } 3¼OGKG IH(3 _ KQa 69354Bt ^ LO 69F pq@ ^ H ^q} ab3ð35k tb3 3L=? I65=IJLKG3O{3 ^ H5a H ^q} 3 f 2 b OQJL:TH ^ K pqk ^ F5:EO{354 6 65=?354 r = 1 f 1 (x y z) 4BDG85KjOQJ (xy) ^ 65OG 5: ¹

@ x ^ x J J x (iii) F DGF 35KQauž ^ O{F 4BDG85KjOQJ U F H(KGp H ^ DGF f 3 b y x > 0 } JW=?F } P y > x Š H(35tBpqDNMz: OZ3 H ^q} ab3 k 35K tb3 OQJL: 4BDG85KjOQJ JL: O{3)FIH(3BO ^ =?3 D 7=?FSOZF JLt ^ auf b f OZ354ŒJLt ^ H H(p } 354 H(85DNM FIH( ~OQJLD 3 ^ 4WU ^ auf y = x Š

2 3 J 6 x F J c Š F _ K ^ U ^ awo{3~h ^q} ab335k n tb3 OQJL: 4BDG85KjOQJ JL: f(x y) = 1 x y + 1 x + y + 2 y y=x 0 y=-x x J- Ã FvDGF ^ aƒdgf 4BDG85KjOQJ xb f(x y) H(KGFIVwtBFIO 6-PSU F H(KGp H ^ OZ3 x y > 0 69F x + y > 0 AP x > y 69F x > y Š OQJLtBFOqMzD F5D ^ MzD t7h(35k ^ a DGF~H(F5KGF OZF?U ^ a wxb n OZ3 ^ H5a H ^q} 3vFIH( OQJSVwKGF5tBtB3 tbpqdqjsh ^ K 3B@oP Ó@-MzKQab:«O{F JLt ^ auf~oqmzd ^ 4WU ^ zd x = y 69F x = y š Š º

2 x x @ x ^ x [ Ô Š F _ K ^ U ^ awo{3~h ^q} ab335k n tb3 OQJL: 4BDG85KjOQJ JL: J- xb f(x y z) = 3 1 z 2 4 x 2 y 2 É F H(KGp H ^ DGF 354BD 47Vw@#KG DNMz: b 1 z 2 0 69F 4 x 2 y 2 0 Š KQJ tb3ih(3 zdjozf5: 6947= D } K 69pq: 4BDjO ^ [ Ò 1 OZFIVwtBpqD ^ :BA3 H(F5KGFIH(85DNM @#p :H(FˆauKGDG354BDÇOQJTtB35KG P 1 P 1 z 1 69F r 2 H(35tBpqDNMz:BA1O{3ÌH ^q} a 3h35K 4 k tb3 ^ a DGF OZ3 ^ MO ^ K 69 ¼69F J ^ H 85D ^ FhOZ3546947=Ia D } KG354 t ^ _ 8 J OZ3D 6 65=?3 x 2 + y 2 = 4 69F 35: c Š ox z 2 Î¾

2 Ê k O @ x x x ^ J : x Õ Š F _ K ^ U ^ a O{3 H ^{} ab3 35K f(x y z) = arcsin x + arcsin y + arcsin z Š b tb3 OQJL: 4BDG85KjOQJ JL: xb J- KGp H ^ DGF b 354BD OZF547OG B@#KG3DGF3 w @#p 1 x 1 1 y 1 69F 1 z 1 O{F JLt ^ auf 1 (x y z) H(354½35KQauž ^ OZF f ^ a DGF O{F J [ t ^ aufvoqjl: ^ H 85D ^ F5:«69F O{354 ^ MO ^ K 693 ^ DG 5:E6 _ 354)H(354 35KQauž ^ OZF FIH( OZF ^ H5a H ^q} F x = ±1 A y = ±1 A z = ±1 Š d

2 s J x F J F x x x [ f ŠÑvaƒD ^ O{F OQJQU ^ aw69f J- xb DGF 4BDG85KjOQJ @ ^q} z = U ^ awo{3~h ^q} ab335k cos(x 2 + y 2 ) n tb3 OQJL:BŠ A5DGF t ^ = ^ [ 3TH ^q} a 3<35K tb3 OQJL: 4BDG85KjOQJ JL:F547OQPL:ÖFIH(3LO ^ = ^ a OZF FIH( b JLt ^ auf A<V F OZF 3IH(3ˆauF ^ a DGF cos(x 2 + y 2 ) 0 69F 2kπ π/2 x 2 + y 2 2kπ + π/2 k = 1 2 Š Š Š 4BD ^ HI z:oz3œh ^q} a 3 35K tb3 OQJL: n z FIH(3LO ^ = ^ a OZF FIH( O{3DÇ6 65=?3Ð69pqDjOGKG354 ² 69F FI65OQa DGF5: π/2 69F O{354B: } FI65OG47=Iab354B: t ^Œ^ MO ^ K 6-P½FI65OQa DGF [π(4k 1)/2] 1/2 69F ^NMO ^ K 6-P [π(4k + 1)/2] 1/2A9V k = 0 1 2 Š Š Š Š È

y 0 5 2 9 2 x

k 2 ² ª k k ² É C k s ³ C k k ² k Ñ ª R Ž k Ê ª ² ² [ ªs ² Ñ C k>ª Cr s Ž k> Ć Ø X Š ² Cr >ª»s ² 22³ Ž k± Cr;>2 Cr hc ³ Ž ª s C ± Ž s Ž c Š C k± Ž s ± Ž s k Cr ² k ³ ² 22³ ² ² ² >ª»s Cr;>2 ³ k± Ž s Ô Š ² >ª»s Cr Ž k> >ª ÒœŽ s Ž Õ Š C Cr <s ª C ² Ž >ª DG37=?3 A 4BDG35K FI69 wx =?3 A 4BDGF5 pq:jù~694bkjog 4Bt7H(FIVwpq: DG3L=?3 š wx R ² ² k> >ª <s >ª»s <s ² 2³ ÓF5DG3 65OG 9ÙQ65= ^ OG s n JLt ^ a 3 A 4Bt7H?=IJLKNMztBFIO 69 DG3 [ wx DG37=?3 AH ^ H ^ KGF tbpqdg3 DG37=?3 A wx wx Î

! "$#&%('*)+ %(- /01+ 32465*1+7 891+:65*6%<;=?>+/#47/@6 A

BCEDGFIHKJELMFNL DOCEPFRQSF=LUTVJEW4PYX3P Z[]\ R%<;N_^0[R%(1#41=%`1+7a#41@@6)-b%(+'*1+0b%<;=)1+0c5*1d fe!b%(ghs[3 :i!4jn+)@61]k!0b%<;=) ^+0;+[0b%b%<;=)n 1+ i#401s2s@ 1+o#41+ i5*pd @61+ q@61+ /r s tfuv0o1+0c5*1/fe!b%(o /?! :wx=%zy 1=%;=+0R%(+t 1=%;= /@4%{-0b%<;= : 1=%'*=%(0b%<;=t }

~ L FRQ4D L PYW4ƒ DOCEPFRQSFNLUTVJEW4PYQ4ƒ > +;= )+ 1+ 0 %`t)+ 1S: Oxj Oy ;==% Oz ;=1=%{ +0^f ˆ +) -71n;=)65*:1+ o + 7i:1+?;==%I161+)+ 1+ +wš:1=%`^ ê x ê y ê z : 16+-b%(&wŒn-b%(+7 n;=)ns d ;=1+! + v6! + / e!4r Ž 5*Y[ ;=)65*gY[:wŠ1+ P :1 #4+0#4)+ 7[ + vs!];=65*1+0wœ :=%E#4v SwŒ 0b%()+- #40b%<;&e! +0b% 5*e! (x y z) qg 1 -b%œ)+ 5*Y[ 1+ P (x y z) :wx=% r vn+ /v +@67:=% b%` b%`d e!t:1+ r = xê x + yê y + zê z z Ñ(xyz) z x x y (xy0) y

~ CI ŠPY YI š$w4ƒ DOCEPFRQSFNLUTVJEW4PYQ4ƒ œ;=)65*uy[:w1 P (x y z) +b%:1=%^1+7œ[z0b%()+-a! +0b% 5*e! (r θ z) z Ñ(rèz) z x è r P(rè0) e z e r e è y x = r cos θ y = r sin θ z = z Ÿž v#41+ 0 θ < 2π ;==% r > 0 Z 1 #+w #4-1 z = 0 1=%*;= /@4%{-0b%<;=3 3;6d '* /@wœ 1S =%Yb%`#41@4%<;=

qb%0'*1s:+tb%` ^ %`] ŸžZ#401;=7/#6:1+ h1=% r 2 = x 2 + y 2 tan θ = y x Z 1 1 7[ 1=% -b%(+ b%<;= 1S)+- ê r ê θ ê z #41@61+7 1 - b%(v+01+'*1 0b%`1+0c5*1fe!b%`1 7d [*r ˆ % ^ %` #41+ -1+ b%` ;= /@4%{-0b%<;=pd -b%(+ b%<;= 16)+- b% ;=+0R%(+: w{=% ê r = ê x cos θ + ê y sin θ ê θ = ê x sin θ + ê y cos θ ê z = ê z

B L$ I š$w4ƒ DOCEPFRQSF=LUTVJEW4PYQ4ƒ ;=)65* Y[:w1 P (x y z) +b%` 1=%`^1+7 [ 0b%()+- (ρ θ ϕ) z x è ö ñ P(ñöè) e ö e ñ e è y ˆ %N;=+0R%(+ ;==%1=%'*=%(0b%<;=q :t -1d =%ab%` ^ %` x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ S

ˆ %6'*=%(0b%<;= f -1S =%6Ob%ª;=+0R%(d b%t^ %y ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 φ = cos 1 ( z (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 θ = tan 1 y x «6 ) B G K ± "Gw{=%'*+0vivb%zj=+?;=:@@6 / 1+7kb%`a!0b%<;= %(-b%(v[b²:1+ i /#4v @6[³'* R%<;=1+7³#401S26@6 1+²;==%Rpd #&%<@6 1+ ;=)@[b@6]:1g7[!4jnv :1g#40vS26@[#6@61#41=%( w :=%Y[+b%<;=)*r

s 1 -/%()+ n5*!µ /@4%<;=1+7Y[:wŠ1+ ²#41/@4%<;=h pd r = rê r h /#41/@61/R%N5*:w4[a +^7/[b:?;==%6[#&% )+^ Y[O#41@4%<;= r #4)+[Y[ v = ṙê r + r θê θ v 2 = ṙ 2 + r 2 θ 2 γ = ( r r θ 2 )ê r + (2ṙ θ + r θ)ê θ

s Ž o¹u º PYQ= Q4ƒ YQ4CIFRW4Y C»¼L¾½ JE 1 71@S1! Y[:w(! #41+ %<;=+1#41=%`1+7 [ ^Y[ G(x y z) = 0 1+0wŒ 1+ 6%( #&%('*)+ %( :1 ^Ne!01! 0b% e! -b%(+)+!4ruà`"!_#6@6vµ#4+0)+- %Á_:wx=% 1Â#+w #4pd -1 Ax + By + Γz + = 0 v#41+ A B Γ ;==% :wx=%f 65*0rGÃ %(#&%('*)+ %(]#41+ YQ4CY FRQ4Y M»¼ºM½ JU L 1+0wŒ =%#4v3 wf!y[²- /01+ a2465*1+7²1s1+)+ :=% QS¹u º PYQ= LÄ b%<;=v0[ wšf!y[ - d 01+ 32465*1+7_b%0 %` -b%(+)+ %t:wx=% Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + F xz + Gx + Hy + Iz + J = 0 v#41+ A B J R :wx=%:65*0r Å

s À`"!h#6@6v?#4+0)+- % h- /01S24)65*6%(+#&%('*)+ %(+:wx=%[ '*&wœ0 j= Y[:wŒi[ 1#41&wŒ+t-wx1S =%Y#4vi[3 wf!y[ (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = α 2 1];=01][:wx=%= 1iY[:w1 (x 0 y 0 z 0 ) ;==%f[µ;+wx [ :wx=% αr À @@61 #4+0)+- %Á - /01S24)65*6%(+ #&%('*)d %(+t:wx=%y[_ wšfuy[ x 2 α 2 + y2 β 2 + z2 γ 2 = 1 #41+ ]1+0wŒ %f:1 @@6 %(Æ*1+c% -: -4-2 0 2 0-1 4-2 1 1 05 0-05 -2-1 AÈÇ

s Ž wf!y[ x 2 α 2 + y2 β 2 = z γ 1+0wŒ %f:1 #4+0S241/@61+ %(- z z 0 y x 0 y x 1 /#40 241/@4%<;=vh#4+0S241@61+ %(- #40b%Á0)+'* =%4#4v3[ wd f!y[ x 2 α 2 y2 β 2 = z γ R%( γ > 0 s 1 Y[/:wŠ1 O 161+)+ :=% b%<;=v j*#4 %(- + ;%{[5*1+7i;=) Sb;=1+ 1+ )+ 16 y +)+ 1 Y[:wŠ1 O @6)+^%:1*jÉ e ;=) Sb;=1+o 1+ )+ 1S x R%`d 1*r A9A

ˆ @@6 %<#6b%<;=v+Z;&e!1+ 1+0wŒ =%#4v?[t^Y[ (x 2 /α 2 )+ (y 2 /β 2 ) = (z 2 /γ 2 ) 1 1 05 0-05 -1-05 0 05 1 05 0-05 -1 AÊ}

"! e 1=%Y^ %` x 2 α 2 + y2 β 2 z2 γ 2 = 1 1+0wŒ 1+? 1 /#40 241@61+ %(-tv+ 0 1 2-1 2-2 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2 AÈ

A s @61+ [Â wšf!y[ x 2 α 2 + y2 β 2 = 1 #4+0b%)+ %Z:1S @@6 %<#6b%<;=v ;=7/@4%Ë-01 ;==%ª[ ^Y[ y = αx 2 :1S #4+0S241@4%<;=v³;=7/@4%{-01 z z 0 y 0 y x x

Ž ÌDO DGFNL¾½ JU š$w4ƒ ~ L JI¹ I UQ4ƒ 0+'K%<;N+#4+0)+:+Y[ 6%(+h )+0[Y[Â-b%( /;=1@67 % [k@6[!í%œ-b%`1b:!z[r Ã %(1+0'Ik+#4+0)+ +Y[ +0!i#41/@@Se!g:S26@[b e!i:wx=%k;==%e1=%m%`1+:65d 6%<;=q;=+/#47/@6r z z=ê 4 0 y x k=ê 1 k=ê 4 k=ê 2 k=ê 5 k=ê 3 k=ê 6 f(xy)=k q :1 #+w #4-1 (xy) e!1+ v@6 : Y[:wŒ : 1d #41&wŒg[µ )+0[Y[ f(x y) ^ %:65*03b%(S k vk5* ^f[wš1+ SwŒnÎ %1+:65*6%<;N²;=+/#47/@[NÏ#41+?[h 241d @wœ 1+ k AÊ

s ˆ Ð 8Ñ ÍÃ ˆ ˆ %N%`1+:65*6%<;=k;=+/#47/@6k[ )+0[Y[ f(x y) :wd =% 1=%¼;=+/#47/@6³#41+ 1+0wŒ 1S =%œ#4v [ :1+S [#&%`d '*)+ %(+ wf!y[ f(x y) = z ;==%Z:! #&%<#4-! z = k j v#41+ k :w{=%o:65*0) #41+ #4&wŒ0 %Z-b%(;=0b% b%( 1 71@61! %`1+:65*6%<;&e! ;=+/#4 /@Se!4jœ#41+ v#! d +'*0+ -[ 241@wŒ :=% b%` ^+0;+[0b%b%<;= b%`d k 1 k 2 k 3 1+ 7Æ*1+ z +#4+0+:1+7 #6@0 d [ )+0[Y[ f(x y) 5R! :1 k = nh v#41+ n = 1 2 3 ;==% h 65*0v+ +0b% 5*v+r AÈ

Ò L Yº YQ= ŒTVJEL± ^-b%()+ b%` %`1+ 65*S% ;= ;=+/#47b@6 [ )+0[Y[ f(x y) = 9 x 2 y 2 R%( k = 0 1 2 3r 3 2 1 25 20 15 10-2 0 2 0-1 -2 0-2 -3 2-3 -2-1 0 1 2 3 ¹ º PFIÓKDªÓ!± ˆ %M%`1+ 65*6%<;=h;=+/#47/@63 /#41@61/YwŒ 1S =% #4v][3^Y[ f(x y) = k x 2 + y 2 = 9 k 2 r!"gwx=% '*+0vovb%R%(²b%Zb%(Z 1+ k = 0 1 2 1=%6%1+:65*6%<;= ;=+/#47/@6i:wx=% 1+v;=01=%U;=7/;+@61=% Â;=01 1 Y[:w1 (0 0) ;==%f;+wx 9 k 2 A

q V (x y) :wx=%=:1i- +6%<;=v][ 24+07/[b:+:1gY[:wd 1 (x y) #4)+ 1 #+w #4:-1 (xy)jevµ1=%¼%`1+ 65*6%<;= ;=+/#47/@6ª1S1+)+ 1S =%6%`1+- +6%<;=O;=+/#47/@6j#4c%(-a v@6 Y[:wŒ 6%(+3:1=%(+3;=+/#47/@[3 1 - +6%<;=v w{=% 1 wœ-b%`1*r?ô³wx:=%k 1 - +6%<;=v V = Ax2 +By 2 2 x 2 y 2 j v#41+ A B 5*b%<;= 65*0r 240Õ5*:wG[ 1+0'I! %1+- +6%<;&e!?;=+/#47/@S!?;=16):1 Y[:wŠ1 (0 0)r AÈ

A Ö 7Y[Ny ˆ %R%1+- +6%<;=q;=+/#47/@6q#40b% 0)+'*1S:=%Y#4vi[_^Y[ Ax 2 + By 2 2 x 2 y 2 = c È + v#41+ c 65*0Nr "$#4 %Œ-µ240b%;=v++²[µ#40b%`1S^f]:1+ Y[:wŠ1+ (0 0)j*1 v+01+ x 2 y 2 :wx=%r#41@676%<;=0v01=%i#4v 1+ v+01+ Ax 2 ;==% By 2 jz;=) #4 %(*j+ / 1&wO/#41d 01+7 #4+0@['5*1+74r "$#41+!n[ "! 4r È + ²0)+'* =% (Ax 2 +By 2 ) 2c ;==%#4+0b%)+ %/6%( 1S1#4+0+0b%<;N 1=%<;=1 %(µ@@6:wœæ*!4j670 #4v3[t+0^f :u :&d!4jft[6%()+ 1S (2c/A) 1/2 ;==% (2c/B) 1/2 r Å

04 03 02 01-04 0 02 04 0-02 00204-02 -04 02 0-02 -04-04-02 0 0204 } Ç

Ö Ø?^-b%(+:w[q#&%('*)+ %( ;==%1=%6%1+:65*6%<;=Z;=+/#47/@6 R%(i[31#41&wŒ %`^7 % x 2 a 2 + y2 b 2 = 2cz v#41+ a b c :wx=% 65*0r 7Y[Ny #40#4 % :1 z :wx=% #4)+ 5*b%<;=v*r ˆ % 1+ #+w #4- x = 0 ;==% y = 0 :w{=% #4+0S241/@6j e 1=%Í:1+ [ : #+w #4- z = p :wx=%k1=% @@6:wŒÆ* % (x 2 /(2a 2 cp)) + (y 2 /(2b 2 cp)) = 1j!:! 1#41&w(! 1=% [6%()+ 1S: + )+1+ o;=65reua+ )+ %+ 1 pr!ž 1+0'I?[apd #&%('*)+ %(+ ;==%&!h%`1+:65*6%<;&e! ;=+/#4 /@Se! '*&wx =%= 1 ^f }ÙA

04 03 02 01-04 0 02 04 0-02 00204-02 -04 02 0-02 -04-04-02 0 0204 }9}

S 4 4 #%$ &('*) +-/ 0132 450 67813290 6 0:0<;>=?450 @7A0 B0 7 C DE7 C:4>C f(x y) = 9 x 2 y 2 F 0GE7DH4I7 C: JLKM7 NOPQGRNO y z x y x 00TU6Q F V K:450 UW7X0Y0Z45/ F 7 =% δ F [ F 2 E70!7 C:/JLKM7XNO/QRNO\ F T F 0 ]=%[_^3 7a`bCc7GKc7 C DR7 C<4>C 13 C:48DdA 7A0fe gh7x0fb0[ihp:0 F [j9;5t<7 Ck F =?A3`j4507X0 δ C:48DdAL7X0GC:n2 \ o

0 p 4 q p 0: F D<00T@k4I7 K:450 0:729 45H7 Cr45JI2 4>C 7A0DRN q i f(x y) = 3 gtsei (xy) (00) pxs yz @uwv DE7 C:4>C f(x y) 2 JIAB067A0G{ 13 k :7AfC:48Dd0 }7A0 4>C:X=?0 M 0 (x 0 y 0 ) 7A0 n =Bq 0Z450T 7 C D `]:7A~;8 F D131397 F 13 ɛ` DJIAI1397 F 13 δ 7297A0[Z0 4I7-;8 F D13-4>C:X=B0 M(x y) 7X0 n =?0 0Z450T7 C f(x y) ;8 7X0 00 =?0 0 [(x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 ] 1/2 δ g K x x 0 δ F [ y y 0 δiƒ}z45jita8crz45:7 C7A f(x y) k < ɛ i f(x y) = k g Gi (xy) (x 0 y 0 )

+ y 4 DnA ;5 yb =%97A[>Ĉ 4 DE7 C:4>C f(x y) = x2 y 2 x 2 + y 2 X= QE7:7L7A0B0Š7 C RNOPX=%[I7A0 GC:n2 \ DE7 C:4>C 4I7 C:PJLKˆ7 NOMQq 1 15 2 05 1 0-2 -1 0 1 05 1 2 0 0-1 -05 2-2 -1-1 -05 0 05 1 naq C 2 JI0 An K x 2 x 2 + y 2 F [ y 2 y 2 + x 2 f(x y) 0 = x 2 y 2 x 2 + y 2 (x2 + y 2 ) 2 x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 ) Œ

F [ 9An K x 2 + y 2 δ 2 2 JI0 DJIA δ = ɛ 29748 4I7 Ž:7 ;8 F D13 ɛ > 0 f(x y) 0 < δ 2 13297A0GE7X δ 2 = ɛ F [ X^3d0GE7X X=%[5^3 7 7X0ƒ0B45-7X0 0 =B0 i f(x y) = 0 (xy) (00) D~7A0B0~7 C GC:n2 \ f(x y) 7X (x y) (0 0) X=%[(7X0

+ + 4 0ŠB07 C DE7 C:4>C f 7X DJIAIX=%[L0Gn F 3\ i (xy) (x 0 y 0 ) f(x y) = k 1 g ei F [ i (xy) (x 0 y 0 ) f(x y) = k 2 45T^8NO ˆ7A0Gk0B45 2 JI0 :7 ;8 F D13 ɛ > 0 q DJIAL Z0GJLKr- F 7 =% δ 4I7 g i!7 f 1 k 1 ɛ 1 F [ f 2 k 2 ɛ 2 Z457 C7 72 0 F T<7A k 1 k 2 = k 1 f + f k 2 f k 1 + f k 2 2ɛ

z \ 4 4 RNO = d0 7A0G 0B45 :7w7X0 ɛ 29A <0X= c;>=%a 0450n K0:7M F 3`š C}n^30D k 1 k 2 2 JIA P4 ; F F p 2 C7GK \ < =%0 0[œH7G;8P DJI0 }7X 13 29A 7A0 k F 1 [ k 2 X=%[_=?45 97AQTM7A0 ž]ÿ ' DRN n7 C7XH7X0 0 =?0 X=%[E0<T JI K:48GC 4I7A0q 0<0:;8Z45 7XNO 0 =NO DE7 C:4>C nt0 97Xq C7 Ỳ9An K F 7AK;50 45fn^30 97 F D 3` 7:7 7A0cB0 7 C DE7 C:4>C n DJIAa\ cn^30q 97 F DMˆ<00TM0 F T 30 -ˆnT0ˆn^3097Zq F 0T 70 04529;I;8B4>C 7A0 4>C:X=?0 (x 0 y 0 ) ª

+ 4 y 4 4 DnA ;5 y]«997 C 13X=L7A0 B0Š7 C DE7 C:4>C f(x y) = xy x 2 + y 2 4I7 C:PJLKM7 NOPQGRNO\ DE7 C:4>C DE7 C:4>C ODrE7 F 7A4I7 K:450 @7A0 y = x 7:76C f(x y) = x 2 x 2 + (x) 2 = 1 + 2 0:7 F [ 7A0 i f(x y) = (xy) (00) 1 + 2 + ~7X0Z0~7 C DE7 C:4>C f n DJIA3;87 =j QXq 7D7A[ 7 C: F <T<CPgh7 C F =?4>C i 0 0459;I;>= d0 7A0 4>C:X=?0 (0 0)

1 025 05-001 0 0005 001-025 -05 0 0-0005 005 0-0005 -1 0005 001-001 -2-2 -1 0 1 2 2

+ 4 4 + DnA ;5 y] DJIAL7X0Z0Š7 C DE7 C:4>C xy 2 x 2 + y 4 4I7 C:PJLKM7 NOPQGRNO y + DE7 C:4>C 0459;I;>=?450 7 C: JLK 7XNO QGRNO F 7D GK F 0 7 C 13X= y = x =?4 F 0 : :7_7X0 Z0 X=%[8C:n2X`5D6C:48D450 7 C:PJLK F 7DGK F 0 7 C F <T<C x = y 2 7A0 Z0 X=%[ 1/2\ c7a0fb0 7 C DE7 C:4>C f(x y) 4I7X04>C:X=B0 (0 0) nx DJIA 1 05 025-1 0 05 1-025 -05 0-05 005-05 1-1 05 0-05 -1-1 -05 0 05 1 " ±

4 + -C@4 DE7 C:4>C f 2 JIAZ067A0MGC<n 2 `G77 C@4 1/f 132 JIA5Z0!7X0DA0 ± \ DE7 C:4>C pxs py< @uwv 0/B0 7 C DE7 C:4>C f X=%[7A0 k :7Xq kc:48dd0 7X0 DA03`_k;8 F D13Ž0450n K0:7ŠZq F ɛ > 0 DJIA δ > 0 7297A0[Z0 4I7 ;8 < 7X 4>C:X= M(x y) 7X0 n =?0 0B450T~7 C f ` ;8 7X 0q 0 = OM > δì0 O 2!4I7A13 4>C:X=?03` X=V[ f(m) k ɛ "²"

4 \ 4 ³ 7 C F F ` C 2 7c7A0 B0 DE7 C:4>C f(x y) 4I7X0 4>C:X=?0 M 0 (x 0 y 0 ) X=%[!7X0 DA0 g K 7A0 i i (xy) (x0 y 0 ) f(x y) g K í 7Xµ;8 D13 2 ~0450n K0:7Š9;5D0 1397 13 K DJIA q B0JLK π(m 0 δ) 7X0 4>C:X=?0 M 0 7X0 n =?0 0Z450T-7 DE7 C:4>C f(m) > K (K f(m) < K ;8 ) v²45jita>9=?4>c :7I7A0 i f(x y) = i (xy) ( ) f(1/w 1/z) (wz) (00) "ho

y + v²n:7 C7 7 NOˆ0 =NO i (xy) (x0 y 0 ) f(x y) = k F 1 [ i (xy) (x0 y 0 ) g(x y) = k 2 77 i [f(x y) + g(x y)] (xy) (x 0 y 0 ) f(x y) = i (xy) (x 0 y 0 ) + i (xy) (x 0 y 0 ) = k 1 + k 2 g(x y) f(x y) i (xy) (x 0 y 0 ) g(x y) = i (xy) (x 0 y 0 ) f(x y) i (xy) (x0 y 0 ) g(x y) = k 1 k 2:7X k2 0 i [f(x y) g(x y)] (xy) (x 0 y 0 ) f(x y) i = [ i (xy) (x 0 y 0 ) = k 1 k 2 g(x y)] (xy) (x 0 y 0 ) "

= i f(x y) = k 1 (xy) (x 0 y 0 ) i [f(x (xy) (x 0 y 0 ) y)]a = [k 1 ] a :7X f(x y) 0 i f(x y) (xy) (x 0 y 0 ) i (xy) (x 0 y 0 ) f(x y) = k 1 N a R " Œ

+ y z 4 4 DnA ;5 y]«ž 13X=L7A0 B0Š7 C DE7 C:4>C f(x y) = x2 + y 2 + 2 x 2 + y 2 :7A (x y) ( )\ DE7 C:4>C 4I7 C: DE7 C:4>C <0X=6 97X45JLC:7Z4 13X= f( 1 w 1 z ) = 1 + 2 w2 z 2 w 2 + z 2 7:7 i f( 1 (xy) ( ) w 1 z ) = 1 + 2 i (wz) (00) w 2 z 2 w 2 + z 2 "h

9An KM7X0 i (wz) (00) w 2 z 2 w 2 + z 2 = 0 N n X= Q 45 0 C;L0T 0 DnA ;5 \ 02 RN i (xy) ( ) f(x y) = i (wz) (00) f(1/w 1/z) = 1 "

N s y ³ ~n7 naq C \ 450 64I7 C!4 2 JIA}2 E7@0:7D45¹ `(J Nb= :7X4>C OD!B45JITA f(x y) < g(x y) ;8 F Dq 13 (x y) E7 7A0 n =B0 0Z450T7XNOM4 E7 K:45ºNO f F [ g F [ i (xy) (x0 y 0 ) g(x y) = 0 77 F [ i (xy) (x0 y 0 ) f(x y) = 0 y + :7X4>C -Cµ4 DE7 C:4>C f(x y) <0X= /;5^3X= f(x y) = g(x y)h(x y) 0 g(x y) M ;8 F D13]d T<;50 7 (x y) E7 7X0 n =?0 0Z450T 7 C g F [ i (xy) (x0 y 0 ) h(x y) = 0 7:7 C f 13 7X=%A54I7X0GC:n2 i (xy) (x0 y 0 ) f(x y) = 0 " ª

4 e ¼ y + :7X4>C DJIA] Z0JLK π 7X0 (x 0 y 0 ) 72 q 7X0[ 4I7 ;8 F D13 4>C:X=?0 M(x y) 7 C π Zq 45JITA f(x y) g(x y) h(x y) 7:7 i (xy) (x0 y 0 ) f = i (xy) (x 0 y 0 ) h = Z45JITA F [ i (xy) (x0 y 0 ) g = y + :7X4>C C 4 DE7 C:4>C f(x y) <0X=»` 7X0 97X45JLC:7B45 t = φ(x y) 97A7q X= 45 4 DE7 C:4>C 97XGC7 K f(t) F [ i (xy) (x0 y 0 ) φ(x y) = t 0 7:7@Z45JITA8Cr45JI2 4>C i f(x y) = i f(t) (xy) (x 0 y 0 ) t t 0 y + :7X4>C n DJIAU B0JLK π((x 0 y 0 ) δ) 4I7 C: 00 = C 4 DE7 C:4>C X=%[w^3;5:2X C ẁ7:77a0 Z0c7 C DE7 C:4>C f(x y) n DJIA 4I7X0 4>C:X=B0 M 0 (x 0 y 0 ) "

4 y \ 4 + Q = dai9=b4>c 7 K: C:4>C \ r04 132 450 F [[r0<tmji K:48GC6q 7 K: C:4>C O 7A0 B0 DE7 C:4>CRq f(x y) 4I7X0 4>C::A=B0 (x 0 y 0 ) 7A0 n =B0 0Zq 450T 7 C X=%[ i (xy) (x0 y 0 ) f(x y) = 0 0 K i (xy) (x0 y 0 ) f(x y) = n <00T JI C:4800[ K:450 ;8 7 C: [ 72 RN D 4>C 7 C DE7 C:4>C F [@7X0G 045nZ0B45 7A0 0 =B0 7 C 7A0G F G Hopita N 4I7 C:{D 4>C-7XNO{4 E7 K:45ºNO 97XGC7 K "

p S \ 4 c4 DE7 C:4>C0< Š97AGC7 Ž<0X= 0459; q ;>=?45AL!4 ; F F <2 C67 K Ì:7A@7X0!4>C:X=B0 (x y) 0q 459;I;>= dax7x0 (x 0 y 0 ) nn0gj5 F D3`{n C5\ 7X 7X 7X0 x x F 0 [4I7 C 4 2 JIA P7A0 y y 0 K F [E7Z4I7^8N q OD 7X0 B0Š7 C f(x y) DJIA>:7Aµ7A0 x x 0`[7:7 0 = d0 2 4 DE7 C:4>C ϕ(y) = i x x0 f(x y)\ 7A0 7 C 4 2 JIA-<00TOY0T:7X0B0H7 C y y 0 n Cn K ` ϕ(y) :7A i [ i f(x y)] = k x x 0 y y0 1 KˆE7 =?4I70^3 <00TH 7X 7 C DE7 C:4>C f(x y) :7A 7A0 JIA :7Aµ7A0 x x 0` i [ i f(x y)] = k y y 0 x x0 2 0<0:;>=B450 H7X0 Z0 y y F 0 [54I7 CŽ4 2 q o ±

S u 4 u 4 4 \ J5 F DKM 7D 0G0Dd0E7X[ 9 Kcnn0q F D 3\ HD4>C452 JI0 ^32 A> JI57 F 7AK:Q0 :-45 F 2 n^32 0 45 k<00t 7 C: K:45A + + Yz zhp wv py + @7A0ŠB0Š DE7 C:4>C DJIA F [IX=%[[7X0 k ` 7:7 k 1 = k 2 = k`9an K 7A 9 0 = d0 PnT0n<^3097 F : 0T 7 0 04529;I;8Zq 4>C 7A0 4>C:X=?0 (x 0 y 0 )\ + {7Xˆnn0J5 F Dˆ DJI0 F [X=%[=?45ˆ97XQT : 7A0 (k 1 = k 2 ) K!n DJI0 `87:7@7X0~<Z0k7 C DE7 C:4>C n ~X=%[ 4>= ;50 0 :7 DJIAa` 7A nq n0gj5 F DM F T<7X0-0ˆnT0ˆP7X0 DA0 70 04529;I;8Z4>C 7A0 4>C:X=B0 (x 0 y 0 )\ ½ {7X!7X nn0j5 F D DJI0 97 F D3`[7X0Z0Š7 C DE7 C:4>C nx F [ X=%[ n^30q DJIAa\ o¾"

MAJHMA-5 Sunèqeia ParadeÐgata 1

Sunèqeia ORISMOS: An (x 0 y 0 ) eðnai èna sheðo tou pedðou orisoô D R 2 i c sun rthshc f(x y) ja èe ìti h f(x y) eðnai suneq c sto sheðo (x 0 y 0 ) an i f(x y) =f(x 0y 0 ) (xy) (00) O orisìc autìc poreð na diatupwjeð kai diaforetik pq an h sun rthsh f(x y) eðnai orisènh sto sônoo D R 2 tìte èe ìti eðnai suneq c sto sheðo M 0 (x 0 y 0 ) tou D an gia k je ɛ>0 up rqei δ>0 tètoio ste gia ìa ta sheða tou sunìou π(m 0 δ) isqôei f(x y) f(x 0 y 0 ) ɛ 2

An to sheðo (x 0 y 0 ) eðnai eswterikì tou pedðou orisoô thc f tìte o trìpoc prosèggis c tou den èqei periorisoôc a an to sheðo (x 0 y 0 ) eðnai sunoriakì tìte to (x y) prèpei na phsi zei to (x 0 y 0 ) en par ha ja paraènei sto eswterikì tou pedðou orisoô thc 'Otan ia sun rthsh eðnai suneq c se ìa ta sheða tou pedðou orisoô thc D tìte ja èe ìti fih sun rthsh f eðnai suneq c sto Df 3

SubaÐnei poèc forèc h sun rthsh f(x y) na èqei ìrio sto sheðo M 0 D ìpou D eðnai to pedðo orisoô thc a to ìrio autì na diafèrei apì thn ti thc sun rthshc sto M 0 i f(x y) =λ f(x 0y 0 ) M 0 H asunèqeia aut ègetai pr tou eðdouc kai eðnai apaeðyih giatð poroôe na orðsoue ia nèa sun rthsh pou na èqei ti λ sto M 0 4

Par deiga: H sun rthsh f(x y) = ) { (1 + x 2 ) ( sin y y ìtan (x y) (0 0) λ ìtan (x y) =(0 0) } Na prosdiorisjeð to gia na eðnai h sun rthsh suneq c sto pedðo orisoô thc Ap nthsh: To ìrio thc sun rthshc sto (0 0) eðnai h on da giatð ìpwc gnwrðzoue i y 0 sin y y =1 'Ara an to λ =1 pr gati h sun rthsh f(x y) ja eðnai suneq c Autì eðnai èna par deiga asunèqeiac pr tou eðdouc ìtan to λ èqei ti di forh thc on dac a h asunèqeia aut poreð na apaeifjeð e ton epanaprosdiorisì tou λ 5

E n oi sunart seic f kai g èqoun koinì pedðo orisoô D kai h k je Ða eðnai suneq c sto sheðo (x 0 y 0 ) tou D tìte 1 to jroisa f +g kai to ginìeno f g eðnai epðshc suneqeðc sunart seic sto sheðo (x 0 y 0 ) 2 to phðko (f/g) an fusik g(x 0 y 0 ) 0 a kai oi sqèseic f 1 f n n f eðnai epðshc suneqeðc ìtan up rqoun oi kat hec proôpojèseic 6

JEWRHMA: E n h sun rthsh f eðnai suneq c se èna sugkekrièno sheðo M 0 tou pedðou orisoô thc tìte up rqei p ntote ia perioq tou sheðou M 0 sthn opoða h sun rthsh f eðnai fragènh H apìdeixh autoô tou jewr atoc eðnai ap afoô apì ton orisì èqoue ìti gia k je ɛ>0up rqei δ>0 tètoio ste ìa ta sheða thc perioq c π(m 0 δ) na isqôei h sqèsh f f(m 0 ) <ɛ ra f(m 0 ) ɛ<f<ɛ+ f(m 0 ) MporeÐ epðshc na apodeiqjeð ìti an h sun rthsh f eðnai suneq c se ìa ta sheða enìc supagoôc sunìou tìte oi tièc thc sun rthshc orðzoun èna fragèno sônoo pragatik n arij n 7

Na ujoôn oi ask seic 1 Na eethjeð h sunèqeia thc sun rthshc f(x y) = x y μ x 2 +y 2 ìtan (x y) (0 0) 0 ìtan (x y) =(0 0) 2 Na eethjeð an h sun rthsh f(x y) = 1 x 2 y 2 ìtan ( x 2 + y 2 ) 1 1 1 x 2 +y 2 1 ) ìtan x 2 + y 2 > 1 exp( eðnai suneq c 3 Na eethjeð h sunèqeia thc sun rthshc f(x y) = xy x 2 +y 2 ìtan (x y) (0 0) 0 ìtan (x y) =(0 0) 8

MAJHMA-6 Merik par gwgoc ParadeÐgata 1

Merik par gwgoc E n h sun rthsh f(x y) eðnai orisènh ston tìpo D tou R 2 kai to sheðo M 0 (x 0 y 0 ) an kei sto D tìte an h etabht y p rei th ti y 0 =stajer h sun rthsh f(x y) ja etatrapeð se sun rthsh iac etabht c f(x y 0 ) Sth perðptwsh aut poroôe na orðsoue th erik etabo thc sun rthshc f(x y) wc proc x Δ x f = f(x 0 +Δx y 0 ) f(x 0 y 0 ) pou antistoiqeð sth etabo Δx thc etabht c x sthn perioq π(m 0 δ) ìpou δ>0 2

H erik par gwgoc sun rthshc f(x y) wc proc th kateujunsh tou xona Ox sto sheðo M 0 orðzetai to ìrio tou phðkou (Δ x f/δx) ìtan to Δx 0 kai suboðzetai e ( f/ x) dhad ( f x ) M 0 = i Δx 0 Δ x f Δx Antistoiqa h erik par gwgoc thc f(x y) wc proc th kateôjunsh tou xona Oy eðnai ( f y ) M 0 = i Δy 0 Δ y f Δy 3

QrhsiopoioÔe di forouc trìpouc gia na suboðsoue th erik par gwgo thc sun rthshc f wc proc x pq f x x f EÐnai shantikì na prosèxoue ìti h erik par gwgoc apoteeð suboisì kai den eðnai isodônah e to k sa dôo etabo n ìpwc h par gwgoc df/dx stic sunart seic iac etabht c 4

H gewetrik erhneða thc erik c parag gou eðnai h akìoujh: An ono soue C 1 thn kapôh f(x y 0 ) pou prokôptei apì th to thc epif neiac pou orðzoun ta sheða thc f(x y) e to epðpedo y = y 0 (bèpe to par deiga tou Sq atoc) tìte h erik par gwgoc isoôtai e th kðsh pou sqhatðzei h efaptoènh thc kapôhc sto sheðo M(x 0 y 0 ) e to epðpedo Oxy Gia par deiga h erik par gwgoc thc f(x y) =4 x 2 2y 2 wc proc x kai y sto sheðo (11) poreð na anaujeð wc ex c: z 2 2 z=4-x -2y C 1 y=1 (111) (11) y 2 x 5

H to thc epif neiac z(x y) =4 x 2 y 2 e to epðpedo y = 1 eðnai h kapôh C 1 (z(x 1) = 2 x 2 ) H efaptoènh sto sheðo (11) thc kapôhc C 1 sqhatðzei gwnða ϕ e thn probo thc epif neiac y = 1 sto epðpedo (xy) Oi erikèc par gwgoi wc proc x kai y antðstoiqa eðnai: ( f x ) 11 =( 2x) 11 = 2 ( f ) y 11 =( 4y) 11 = 4 6

Par deiga: E n u = x 2 y + e xy3 na upoogðsete tic erikèc parag gouc ( u/ x) kai ( u/ y) Ap nthsh: ( u x ( u y ) ) =2xy y 3 e xy3 = x 2 3xy 2 e xy3 7

An h sun rthsh pou prokôptei apì th erik par - gwgo thc f eðnai orisènh sto D kai èqei suneqeðc parag gouc sthn perioq π(m 0 δ) tou D tìte poroôe na orðsoue kai na upoogðsoue parag gouc an terhc ( t xhc sthn perioq tou sheðou M 0 pq 2 ) f x 2 = ( ) f M x x M ( 0 0 2 ) f y 2 = ( ) f M y y 0 ( 2 f x y ) M 0 = x ( f y M 0 ) M 0 8

JEWRHMA: An up rqoun oi par gwgoi ( f/ x) ( f/ y) kai h ( 2 f/ x y) kai eðnai suneqeðc se ia perioq tou M 0 tìte up rqei kai ( 2 f/ y x) kai ista isqôei: 2 f(x 0 y 0 ) = 2 f(x 0 y 0 ) x y y x 9

Apìdeixh: To je rha thc èshc ti c eðnai dh gnwstì apì th eèth twn sunart sewn iac etabht c Ja to epana boue ed kai ja to qrhsiopoi soue sth sunèqeia gia thn apìdeix ac E n ia sun rthsh f(x) eðnai suneq c sto keistì di - stha Δx kai paragwgðsih sto anoiktì di stha Δx tìte f(x +Δx) f(x) =Δxf (x + θδx) ìpou 0 <θ<1 'Estw M(x 0 y 0 ) èna sheðo tou D sto opoðo up rqoun kai eðnai suneqeðc oi iktèc par gwgoi f xy kai f yx thc sun rthshc f SqhatÐzoue thn posìthta A = f(x 0 +Δx y 0 +Δy) f(x 0 y 0 +Δy) f(x 0 +Δx y 0 )+f(x 0 y 0 ) pou eðnai sun rthsh twn etabo n Δx kai Δy twn x kai y An orðsoue tic sunart seic 10

F (x y) = f(x +Δx y) f(x y) Φ(x y) = f(x y +Δy) f(x y) (1) tìte h sqèsh A gr fetai A = F (x 0 y 0 +Δy) F (x 0 y 0 ) = Φ(x 0 +Δx y 0 ) Φ(x 0 y 0 ) Efarìzontac to je rha èshc ti c gia sunart seic iac etabht c sth sqèsh aut prokôptei A = F y (x 0 y 0 + θ 1 Δy)Δy = Φx(x 0 + θ 2 Δx y 0 )Δx 0 <θ 1 θ 2 < 1 11

A =[f y (x 0 +Δx y 0 + θ 1 Δy) f y (x 0 y 0 + θ 1 Δy)]Δy = [f x (x 0 + θ 2 Δx y 0 +Δy) f x (x 0 + θ 2 Δx y 0 )]Δx (2) Efarìzontac ek nèou to je rha thc èshc ti c sth sqèsh aut prokôptei A = ΔxΔyf xy (x 0 + θ 3 Δx y 0 + θ 1 Δy) = ΔxΔyf yx (x 0 + θ 2 Δx y 0 + θ 4 Δy) 0 <θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 < 1 (3)

Sunep c f xy (x 0 + θ 3 Δx y 0 + θ 1 Δy) = f yx (x 0 + θ 2 Δx y 0 + θ 4 Δy) Efìson ìwc oi f xy kai f yx eðnai suneqeðc sto sheðo M 0 (x 0 y 0 ) èpetai ìti f xy (x 0 + θ 3 Δx y 0 + θ 1 Δy) =f xy (x 0 y 0 ) + O 1 (Δx Δy) f yx (x 0 + θ 2 Δx y 0 + θ 4 Δy) =f yx (x 0 y 0 ) + O 2 (Δx Δy) ìpou O 1 kai O 2 eðnai apeirostèc sunart seic twn Δx kai Δy Epoènwc ìtan (Δx Δy) (0 0) O 1 0O 2 0 12

opìte ìgw thc (43) èpetai ìti f xy (x 0 y 0 )=f yx (x 0 y 0 ) (4) sqèsh pou apodeiknôei to je rha 13

Par deiga: UpoogÐste tic parag gouc ( f/ x) ( f/ y) kai ( f/ z) an f(x y z) =e xy n z Apìdeixh: E n krat soue ta y kai z stajer kai paragwgðsoue wc proc x èqoue ( f x ) = ye xy n z 'Ooia ( f/ y) =xe xy n z kai ( f/ z) =e xy /z 14

Par deiga: DeÐxte ìti h sun rthsh f(x y) =x 3 3xy 2 epahjeôei thn exðswsh 2 f x 2 + 2 f =0 (5) y2 H exðswsh (5) ègetai exðswsh Lapace en oi sunart seic pou epahjeôoun thn exðswsh tou Lapace ono zontai aronikèc sunart seic Apìdeixh: UpoogÐzoue pr ta th erik par gwgo pr thc t xhc wc proc x ( f/ x) =3x 2 3y 2 kai sth sunèqeia thn par gwgo ( 2 f/ x 2 )=6x ìoia ( 2 f/ y 2 )= 6x ra h exðswsh Lapace epahjeôetai 15

Par deiga: DeÐxte oti h sun rthsh y = sin(x at) + cos(x + at) eðnai Ôsh thc exðswshc tou kôatoc 2 y t 2 = y a2 2 x 2 Apìdeixh: H par gwgoc pr thc t xhc wc proc x eðnai: y x = cos(x at) sin(x + at) kai thc deuterhc t xhc eðnai: 2 y = sin(x at) cos(x + at) x2 16

H par gwgoc deôterhc t xhc wc proc to qrìno eðnai: 2 y t 2 = a2 [ sin(x at) + cos(x + at)] Antikajist ntac tic parag gouc autèc sthn exðswsh tou kôatoc bèpoue ìti thn epahjeôoun 17

MAJHMA-7 Diafìrish sunart sewn po n etabht n Oikì diaforikì ParadeÐgata 1

Diafìrish sunart sewn po n etabht n JEWRHMA : 'An oi erikèc parˆgwgoi thc f(x y) wc proc x kai y upˆrqoun kai eðnai suneqeðc sto sheðo (x 0 y 0 ) tìte h sunˆrthsh f(x y) eðnai diaforðsih sto sheðo (x 0 y 0 ) Xekin ntac apì ton orisì tou diaforikoô kai e th qr sh tou jewr atoc thc èshc ti c èqoue: f = f(x 0 + h y 0 + k) f(x 0 y 0 ) = [f(x 0 + h y 0 + k) f(x 0 + h y 0 )] + [f(x 0 + h y 0 ) f(x 0 y 0 )] = hf x (x + θ 1 y + k) + kf y (x 0 + h y 0 + θ 2 k) ìpou 0 < θ 1 θ 2 < 1 Epeid oi f x f y eðnai suneqeðc isqôoun f x (x 0 + θ 1 h y 0 + k) = f x (x 0 y 0 ) + ɛ 1 2

kai f y (x 0 + h y 0 + θ 2 k) = f y (x 0 y 0 ) + ɛ 2 ìpou ɛ 1 ɛ 2 0 ìtan h k 0 Teikˆ èqoue f = hf x (x 0 y 0 ) + kf y (x 0 y 0 ) + ɛ 1 + ɛ 2 ˆn h = x 3

kai k = y f = f f x + x y y + O( h 2 + k 2 ) Poèc forèc qreiˆzetai na apodeðxoue ìti ia sunˆrthsh f(x y) eðnai diaforðsih se èna sugkekrièno sheðo M 0 tou pedðou orisoô thc H apìdeixh gðnetai eôkoa e th qr sh tou parakˆtw krithrðou thc diaforisiìthtac JEWRHMA : Ean h sunˆrthsh f(x y) den eðnai suneq c sto sheðo M 0 (x 0 y 0 ) entìc tou pedðou orisoô den eðnai kai diaforðsih EpÐshc an ia sunˆrthsh f(x y) eðnai diaforðsih se èna sheðo M(x 0 y 0 ) tou pedðou orisoô thc tìte eðnai suneq c sto sheðo autì 4

Oikì diaforikì OrÐzoue wc oikì diaforikì oik parˆgwgo apˆ diaforikì iˆc sunˆrthshc f(x y) to graikì èroc tou f ìtan to x kai y teðnoun sugqrìnwc sto hdèn (kai ta ɛ 1 ɛ 2 teðnoun epðshc sto hdèn) To oikì diaforikì thc f suboðzetai e df kai isqôei df = ( f x ) dx + ( f y ) dy 5

Ja deðxoue (sto kefˆaio 6) ìti h gewetrik erhneða tou oikoô diaforikoô eðnai to efaptìeno epðpedo sthn epifˆneia f(x y) To oikì diaforikì iac sunˆrthshc f grˆfetai kai df = ( x dx + ) y dy f(x y) kai h èkfrash d = x dx + y dy ègetai diaforikìc teest c 6

Eˆn f 1 kai f 2 eðnai dôo diaforðsiec sunart seic dôo etabht n ( n-etabht n) kai c 1 c 2 stajerèc tìte apodeiknôetai ìti isqôoun oi akìoujec sqèseic: d(c 1 f 1 + c 2 f 2 ) = c 1 df 1 + c 2 df 2 d(f 1 f 2 ) = f 1 df 2 + f 2 df 1 d(f 1 /f 2 ) = f 2df 1 f 1 df 2 f 2 2 (ìtan f 2 0) 7

To oikì diaforikì deôterhc tˆxhc upoogðzetai apì th sqèsh ( ) d 2 f f f = d dx + x y dy = ( f f dx + x x y dy + y ( f f dx + x y dy ) ) dx dy = 2 f x 2(dx)2 + 2 2 f x y dxdy + 2 f y 2(dy)2 8

EÐnai fanerì apì th orf aut c thc sqèshc ìti to diaforikì deôterhc tˆxhc poreð na parastajeð suboikˆ wc ex c d 2 f = ( f f dx + x y dy ) 2 kai h oik parˆgwgoc -tˆxhc paristˆnetai wc: d f = ( f f dx + x y dy ) (1) Prèpei na tonðsoue akìa ia forˆ ìti h sqèsh (47) èqei suboikì qarakt ra kai den eðnai apˆ to anˆptuga iac tautìthtac 9

EÐnai endiafèron poèc forèc na ereun soue to antðstrofo prìbha: An ac dojeð Ða èkfrash thc orf c P (x y)dx + Q(x y)dy (2) upˆrqei sunˆrthsh f pou na eðnai to oikì thc diaforikì dhad na isqôei df = P dx + Qdy kai an nai p c ja broôe thn èkfras thc? MporoÔe na deðxoue ìti to pr to skèoc tou erwt atoc poreð na apanthjeð aèswc an oi parˆgwgoi ( P/ y) kai ( Q/ x) eðnai suneqeðc sto pedðo orisoô touc Eˆn akìa P (x y) y = Q(x y) x (3) tìte prˆgati upˆrqei f pou na eðnai to oikì diaforikì thc èkfrashc 10

O upoogisìc thc sunˆrthshc f gðnetai apˆ apì th sqèsh ˆra f x = P f(x y) = P (x y)dx + R(y) (4) ParagwgÐzontac th sqèsh (49) wc proc y èqoue f y = ( ) P (x y)dx y + dr dy = Q(x y) kai e ton trìpo autì upoogðzoue th sunˆrthsh R 11

'Enac ˆoc trìpoc upoogisoô thc sunˆrthshc f(x y) apì to oikì diaforikì eðnai apì th sqèsh f(x y) = x a P (t y)dt + y b Q(a t)dt ìpou a b eðnai tuqaða sheða sto pedðo D pou oi parˆgwgoi P x kai Q y eðnai suneqeðc MporoÔe na genikeôoue ta parapˆnw gia treic perissìterec etabhtèc 12

MAJHMA-9 Je rha thc èshc ti c kai seirˆ T ayor Pepegènec sunart seic ParadeÐgata 1

Je rha thc èshc ti c kai seirˆ T ayor To je rha thc èshc ti c pou to sunant sae dh sto diaforikì ogisì twn sunart sewn iac etabht c ja to genikeôsoue ed qwrðc na to apodeðxoue JEWRHMA (Mèshc Ti c): Eˆn h sunˆrthsh f eðnai orisènh kai diaforðsih ston kurtì tìpo D R n kai M 0 D tìte h oik etabo f = f(m) f(m 0 ) = [df] P0 ìpou M(x 0 1 + x 1 x 0 n + x n) D kai P 0 (x 0 1 + θ 0 x 1 x 0 n + θ 0 x n ) 0 < θ 0 < 1 eðnai sheðo tou t atoc M 0 M 2

EpÐshc poô shantikì eðnai kai to je rha èshc ti c tou Tayor JEWRHMA (Tayor :) DÐnetai h sunˆrthsh f : D R 1 orisènh ston kurtì tìpo D R n kai èstw M 0 (x1 0 x0 n) èna sheðo tou D An h sunˆrthsh f èqei diaforikˆ èqri (n + 1) tˆxhc ston tìpo D tìte gia opoiod pote sheðo M(x 0 1 + x 1 x 0 n + x n) D upˆrqei P (x 0 1 + θ 0 x 1 x 0 n + θ 0 x n ) D e 0 < θ 0 < 1 tou t atoc MM 0 tètoio ste h oik etabo thc f sto M 0 na dðnetai apì th sqèsh f = n k=1 1 k! [dk f] M0 + 1 (n + 1)! [dn+1 f] P0 (1) ìpou to d k f èqei dh oristeð 3

H prohgoôenh sqèsh anaôetai f(x y) = f(x 0 y 0 ) + ( (x x 0 ) x + (y y 0) y + (x x 0) 2 2 + (y y 0) 2 2 2 f(x 0 y 0 ) x 2 2 f(x 0 y 0 ) y 2 + (x x 0 )(y y 0 ) 2 f(x 0 y 0 ) y x + ìrouc an terhc tˆxhc ) f(x 0 y 0 ) H sqèsh aut eðnai gnwst wc tôpoc tou Tayor thc sunˆrthshc f sto sheðo M 0 Eˆn to sheðo M 0 eðnai h arq twn axìnwn tìte o tôpoc tou Tayor paðrnei th orf 4

f(x y) = f(0 0) + n k=1 1 k! ( x x + y ) k f(0 0)+ y 1 (n + 1)! ( x x + y ) n+1 f(θ 0 x θ 0 y)0 < θ 0 < 1 y O nèoc tôpoc autìc eðnai gnwstìc wc tôpoc Mac-Laurin 5

O ìroc Q n = 1 (n + 1)! [dn+1 f] P0 onoˆzetai upìoipo tou tôpou tou Tayor Sthn perðptwsh pou isqôei i n Q n = 0 h seirˆ pou prokôptei onoˆzetai seirˆ Tayor thc sunˆrthshc f sto sheðo M 0 6

Sqìio: H axða tou tôpou tou Tayor brðsketai sto gegonìc ìti poroôe na kataskeuˆsoue èna apì pou nuo pou na proseggðzei e egˆh akrðbeia Ða poôpokh sunˆrthsh sth geitoniˆ iac gnwst c ti c thc sunˆrthshc Me ˆa ìgia an gnwrðzoue th ti iac poôpokhc sunˆrthshc se èna sheðo M 0 kai jèoue na proseggðsoue th ti thc sunˆrthshc sth geitoniˆ tou sheðou e pou nuo pr thc deôterhc kai uyhìterhc tˆxhc poroôe na qrhsiopoi soue to anˆptuga thc seirˆc Tayor 7

Parˆdeiga: BreÐte th seirˆ Tayor gia th sunˆrthsh f(x y) = e x2 sin xy gôrw apì to sheðo (20) diathr ntac ìrouc èqri deôterhc tˆxhc Sth sunèqeia upoogðste ia proseggistik ti tou f(198 0015) Apˆnthsh: Sto (2 0) brðskoue f = 1 f x = 0 f y = 8 f xx = 0 f xy = 12 f yy = 64 Sunep c h seirˆ Tayor gia thn f(x y) gôrw apì to (2 0) eðnai f(x y) = f(2 0) + (x 2) f x (2 0) + yf y (2 0) + 1 2! [(x 2 )2 f xx (2 0)+ +2(x 2) yf xy (2 0) + y 2 f yy (2 0)] + = = 1 + 8y + 12(x 2)y + 32y2 + 8

An antikatast soue to x e 2 + x kai to y e y sthn teeutaða exðswsh paðrnoue f(2 + x y) = 1 + 8 y + 12 x y + 32 y 2 An jèsoue x = 002 y = 0015 kai agno soue ìrouc egaôterhc apì deôterhc tˆxhc twn x y èqoue f(198 0015) = 1 + (8 + 12 x + 32 y) y = 1124 e akrðbeia tri n dekadik n yhfðwn Gia sôgkrish h akrib c ti eðnai 11235 e akrðbeia tessˆrwn dekadik n yhfðwn 9

Pepegènec sunart seic Se poèc efarogèc twn Majhatik n kata goue se sqèseic thc orf c F (x y z) = 0 Apo th sqèsh aut poroôe na orðsoue ia etabht (pq thn z) wc exarthènh apo tic ˆec (pq F (x y z(x y)) = 0) Oi sunart seic autèc ègontai pepegènec sunart seic Orisìc: Onoˆzoue pepegènh sunˆrthsh kˆje sunˆrthsh z(x y) e pedðo orisoô D R 2 pou eðnai Ôsh thc exðswshc F (x y z(x y)) = 0 10

To basikì er tha t ra eðnai: Me poiec proôpojèseic h exðswsh F (x y z(x y)) = 0 èqei Ôsh? Thn apˆnthsh ja ac d sei to je rha pou akooujeð to opoðo parajètoue qwrðc apìdeixh JEWRHMA: 'Estw F (x y z) = 0 Ða sunˆrthsh tri n etabht n h opoða phroð tic parakˆtw sunj kec: EÐnai suneq c kai h parˆgwgoc F z upˆrqei kai eðnai suneq c se Ða perioq π(m(x 0 y 0 z 0 ) δ) R 3 H F (x 0 y 0 z 0 ) = 0 en F z (x 0 y 0 z 0 ) 0 Tìte upˆrqoun jetikoð arijoð abg tètoioi ste gia kˆje x (x 0 α x 0 + α) kai y (y 0 β y 0 +β) h exðswsh F (x y z) = 0 dèqetai Ða kai onadik Ôsh entìc tou diast atoc (z 0 γ z 0 + γ) h opoða teðnei sto z 0 ìtan ta x kai y teðnoun sto x 0 y 0 11

An jewr soue ìti to z eðnai sunˆrthsh twn x y (pq F (x y z(x y)) = 0) tìte oi parˆgwgoi thc pepegènhc sunˆrthshc z(x y) brðsketai wc ex c: Ta x kai y efanðzontai tautìqrona kai sth sunˆrthsh F aˆ kai sthn sunˆrthsh z ˆra to diaforikì thc F ja eðnai df = F x dx + F y dy + F z dz = 0 (2) epðshc dz = z x dx + z y dy Antikajist ntac thn èkfrash gia to dz sthn exðswsh (535) èqoue (F x + F z z x )dx + (F y + F z z y )dy = 0 Apì th sqèsh aut prokôptei ìti F x + ( F z ) ( z x ) = 0 (3) 12

kai an to ( F/ z) 0 tìte ( z x ) ( F/ x ) = ( ) F/ z (4) ìoia upoogðzetai kai h parˆgwgoc ( z/ y) 13

H parˆgwgoc deôterhc tˆxhc upoogðzetai eôkoa apì th sqèsh (3) Gia parˆdeiga h deuterh parˆgwgoc 2 z / x2 poreð na upoogisjeð wc ex c: x ( F x + F z z x ) = 0 x ( F x ) + x ( F z ) ( ) z x + F z 2 z x 2 = 0 14

2 F x 2 + 2 F z x y x [ 2 F + x z + 2 F z 2 = 0 ( z ) ] ( ) z x x + F z 2 z x 2 2 ( F 2 ) ( z ) x 2 + 2 F x z x + F z 2 z x 2 = 0 + 2 F z 2 ( z x ) 2 opìte 2 z x 2 = F zf xx 2F x F z F xz + F 2 x F zz F 3 z (5) ( ìoia ) upoogðzoue ( kai tic parag gouc kai 2 z y 2 2 z x y ) 15

Parˆdeiga: An h exðswsh F (x y z) = 0 poreð na epiujeð gia opoiad pote apì tic etabhtèc x y z sunart sei twn ˆwn dôo deðxte ìti ( x ) ( y ) ( z ) y z z x x y = 1 ìtan h etabht èxw apì kˆje parènjesh diathreðtai stajer katˆ thn parag gish 16

Apˆnthsh: Jewr ntac arqikˆ to x wc sunˆrthsh twn y kai z paðrnoue e parag gish wc proc y F x x y + F y = 0 ( x y ) z = F y F z (6) Me parìoio trìpo brðskoue ( y z ) x = F ( ) z z F y x y = F x F z (7) Poˆpasiˆzontac tic (6) kai (7) katˆ èh èqoue ( x ) ( y ) ( z ) y z z x x y = 1 17