Κοινωνικά Δίκτυα Χαρακτηριστικά & Μοντέλα Γράφων Ν. Μ. Σγούρος Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Παν. Πειραιώς sgouros@unipi.gr
Διάμετρος Ορίζουμε ως μήκος (length) ενός μονοπ ατιού τον αριθμό των ακμών π ου π εριέχει και ως απ όσταση (distance) μεταξύ δυο κόμβων το μήκος του μονοπ ατιού με το ελάχιστο μήκος π ου συνδέει τους δυο αυτούς κόμβους. Ορίζουμε ως διάμετρο (diameter) του γράφου το μήκος του μονοπ ατιού με το μεγαλύτερο μήκος μεταξύ όλων των μονοπ ατιών ελάχιστου μήκους π ου υπ άρχουν στον γράφο.
Μοντέλα Γράφων Περιγράφουν σύνολα προϋποθέσεων κάτω απο τις οποίες είναι δυνατόν να προκύψουν διάφορα φαινόμενα σε ένα κοινωνικό δίκτυο Χρησιμέυουν ως βασικές υποθέσεις έναντι των οποίων συγκρίνονται εναλλακτικά μοντέλα για την εξήγηση διαφόρων φαινομένων σε δίκτυα Προτείνουν εφικτούς τρόπους για τον υπολογισμό διαφόρων χαρακτηριστικών των κοινωνικών δικτύων Ο αριθμός των πιθανών δικτύων για πχ 30 κόμβους είναι 2 435!! (n*(n+1)/2 πιθανός αριθμός συνδέσεων καθεμία εκ των οποίων μπορεί να υπάρχει ή όχι)
Μοντέλο Erdos-Renyi Οι Erdős-Renyi γράφοι ανήκουν στους τυχαίους γράφους και κατασκευάζονται χρησιμοπ οιώντας δύο κύριες υπ οθέσεις: οι κόμβοι συνδέονται μεταξύ τους με τυχαίο τρόπο ο γράφος είναι μη κατευθυνόμενος Υπ άρχουν δύο κύριες π αράμετροι π ου χαρακτηρίζουν τους συγκεκριμένους γράφους: Ν, είναι ο συνολικός αριθμός των κόμβων του γράφου p, είναι η π ιθανότητα να υπ άρχει μια ακμή μεταξύ δύο τυχαίων κόμβων. Η π ιθανότητα αυτή είναι σταθερή και ίδια για όλους τους κόμβους του δικτύου.
Αλγόριθμος Κατασκευής Για κάθε ζευγάρι κόμβων πρόσθεσε μια ακμή μεταξύ τους με πιθανότητα p και κάνε τίποτα με πιθανότητα 1-p Επομένως κάθε κόμβος έχει Ν-1 προσπάθειες να συνδεθεί με τους υπόλοιπους κόμβους και σε καθεμία προσπάθεια η πιθανότητα σύνδεσης είναι p. Άρα η πιθανότητα κάποιος κόμβος να έχει βαθμό k δίδεται από την διωνυμική κατανομή: (Ν-1)!/(k!(N-1-k)!)
Στατιστική Ανάλυση Η μέση τιμή μ degree του βαθμού των κόμβων του γράφου προκύπ τει ως: μ degree = (Ν-1)*p ( = E(X) = x p(x)) ενώ η διασπ ορά των τιμών του βαθμού ενός κόμβου υπ ολογίζεται ως: 2 σ degree = (Ν-1)*p*(1-p) (σ 2 = E(X) = ( x- μ) 2 p(x)))
Γράφοι Poisson Για μεγάλες τιμές του N και μικρές τιμές του p η διωνυμική κατανομή μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από μια κατανομή Poisson. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει ότι:
Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Η μέση τιμή των βαθμών των κόμβων είναι ανάλογη του π ληθυσμού των κόμβων. Η κατανομή των βαθμών των κόμβων δεν π αρουσιάζει ιδιαίτερη κύρτωση. Αυτό σημαίνει ότι όσο ο π ληθυσμός των κόμβων αυξάνεται η εμφάνιση κόμβων με βαθμό πολλαπ λάσιο ή υποπολλαπ λάσιο της μέσης τιμής των βαθμών των κόμβων γίνεται όλο και π ιο σπ άνια. Επ ομένως σε τέτοιου είδους δίκτυα σπ ανίως εμφανίζονται κόμβοι με π άρα π ολύ υψηλή ή π άρα π ολύ χαμηλή δημοφιλία. Το μήκος του μονοπ ατιού L π ου συνδέει δύο τυχαίους κόμβους είναι περίπ ου ανάλογο του λογαρίθμου του π ληθυσμού των κόμβων ( Ν) δηλ: L ~ log(n)
Γιγάντια Συνιστώσα Μια συνιστώσα π ου π εριλαμβάνει ένα σταθερό και υπ ολογίσιμο π οσοστό των κόμβων του γράφου αναεξάρτητα απ ό τον συνολικό π ληθυσμό των κόμβων. Στους ER των κόμβων είναι 1 γράφους η γιγάντια συνιστώσα εμφανίζεται όταν ο μέσος βαθμός 0.99 1.18 3.95
Παράδειγμα
Χρησιμότητα των γράφων Poisson Περιγράφουν ένα σύνολο προϋποθέσεων για την εμφάνιση μιας γιγάντιας συνιστώσας (+) Ικανοποιούν το φαινόμενο του μικρού κόσμου (+) Σε πραγματικά δίκτυα η πιθανότητα σύνδεσης δύο κόμβων δεν είναι σταθερή αλλά εξαρτάται απο πολλούς παράγοντες (π.χ κοινούς γνωστούς) (-) Σε πραγματικά δίκτυα υπάρχει μεγαλύτερη ανισοκατανομή στους βαθμούς των κόμβων. (-)
Εναλλακτικά Μοντέλα Μοντέλο Συστάσεων ( Η π ιθανότητα να συνδεθεί με έναν απ ό τους φίλους των φιλων του για ένα κόμβο είναι μεγαλύτερη απ ο ότι για έναν τυχαίο κόμβο) (π ερισσότερες τριάδες, μακρύτερο μέσο μήκος μονοπ ατιού, μεγαλύτερη διασπ ορά στους βαθμούς, μικρότερη γιγάντια συνιστώστα για μεγάλο p) Στατικό Γεωγραφικό Μοντέλο ( κάθε κόμβος συνδέεται με έναν ορισμένο σταθερό αριθμό απ ό κόμβους π ου βρίσκονται π λησίον του ) ( μακρύτερο μέσο μήκος μονοπ ατιού, μικρότερη διασπ ορά στους βαθμούς, μικρότερη γιγάντια συνιστώστα για μεγάλο p)