ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΜΕΣΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER ΜΕΤΡΩΝ ΧΡΗΣΤΟΣ ΧΑΤΖΗΦΟΥΝΤΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Από την ϑεωεία µέτου γνωίζουµε το ϑεώηµα του stainhaus που χαακτηίζει όλα τα σύνολα ϑετικού µέτου :Αν το σύνολο A R έχει ϑετικό µέτο τοτε το A A πειέχει µια πειοχή του µηδενός. Παόλο που το ϑεώηµα αυτό είναι σχετικά απλό στην διατύπωση και την απόδειξη του, η γενίκευση του στις ανώτεες διαστάσεις έχει αποδειχτεί ένα από τα πιο σύνχονα και δύσκολα πολήµατα της γεωµετικής ϑεωίας µέτου, το λεγόµενο falconer s distance set conjecture το οποίο διατυπώνεται ως εξής. Εστω A ένα υποσύνολο του R. Αν το Α έχει διάσταση Haussdorff µεγαλύτεη της µονάδας τότε τό σύνολο αποστάσεων του, A { x y : x A, y A} έχει ϑετικό µέτο lebesque. Ο τ Πετι Ματτιλα πώτος χησιµοποίησε ποχωηµένες τεχνικές αµονικής ανάλυσης και γεωµετικής ϑεωίας µέτου για την επίλυση του πολήµατος. Ποιο συγκεκιµένα ξεκίνησε από την εξής παατήηση : Εστω ένα µέτο µ µε ϕοέα που πειέχεται στο A, και η ποώθηση αυτού του µέτου : ν µ B µ µ {x, y : x y B} B R, B Borel σύνολο, τότε αν ο µετασχηµατισµός fourier του ν µ είναι στον L, E > 0. Η τεχνική που ανέπτυξε ο Mattila πειέχει εκτιµήσεις σφαιικών µέσων µετασχηµατισµού fourier µέτων. Το ϑεώηµα που ϑα αναλυθεί παακάτω δίνει εκτίµηση κυκλικών µέσων µετασχηµατισµού fourier µέτων, οφείλετε στον Thomas Wolff και είναι το καλύτεο αποτέλεσµα για την distance set conjecture στο επίπεδο που υπάχει µέχι σήµεα. εώηµα. Εστω ένα α 0,. Τότε Για κάθε > 0 υπάχει µια σταθεά C τέτοια ώστε το παακάτω να είναι αληθές. Εστω µ ένα ϑετικό µέτο στον R του οποίου ο ϕοέας να πειέχεται στο µοναδιαίο δίσκο και να έχει α - διαστατη ενέγεια Τότε για κάθε R I α def π x y α dµxdµy µ Re iθ dθ C R α Για την απόδειξη του ϑεωήµατος χησιµοποιούνται πολλά στοιχειώδη γεωµετικά επιχειήµατα, καθώς και ϐασικές ιδιότητες του µετασχηµατισµού fourier. Στην αχή ϑα παουσιάσουµε κάποιες ποτάσεις και λήµµατα που ϑα χειαστούν στην ποεία, έπειτα ϑα αναπτύξουµε κάποιες τεχνικές λεπτοµέειες και ϑα ολοκληώσουµε µε το κυίως µέος της απόδειξης. Πόταση. Εστω µια σταθεά C και µια οικογένεια A από οθογώνια µε µήκος µεταξύ l και Cl και πλάτος µεταξύ w και Cw για την οποία ισχύει ότι αν R, R A τότε R CR. Αν ο πληθάιθµος της A είναι µεγαλύτεος από µια σταθεά που εξατάται µόνο από την C τότε υπάχουν R, R µε R R.
Απόδειξη. Στην απόδειξη ϑα χησιµοποιήσουµε ακετές ϕοές την αχή του πειστεώνα. Σταθεοποιούµε ένα οθογώνιο στην A και παίνουµε εκείνο το οθογώνιο µε το ίδιο κέντο, πλευές παάλληλες και µήκος C l, πλα τος C w έτσι ώστε να πειέχει όλα τα υπόλοιπα της A. Επειτα για κάθε R A παίνουµε το N R. Αν υποθέσουµε ότι όλα τα lw N R είναι ξένα µεταξύ τους τότε ι #A N C lw. Αα για #A > N C πετυχαίνουµε τουλάχιστον δύο N οθογώνια να τέµνονται. Εστω p C N διαµείζουµε το [, C] σε διαστήµατα [, p], [p, p ],... [p N, p N ]. Οπως και πιν αν #A > N + τότε υπάχουν τουλάχιστον στοιχεία της A που το µήκος τους να ϐίσκεται σε ένα από αυτά τα διαστήµατα και άα τα µήκη τους να έχουν λόγο το πολύ p C N για να πετύχουµε όµως και το µήκος και το πλάτος να είναι p-ανάλογα και τα N οθογώνια να τέµνονται χειαζόµαστε πληθάιθµο > N + N + N C. Μέχι τώα µε το να «παίζουµε» µε τον πληθάιθµο έχουµε πετύχει να υπάχουν δύο οθογώνια που να τέµνονται ακετά και να έχουν ανάλογες πλευές. Μένει τώα να υπολογίσουµε πόσο πέπει να είναι αυτή η αναλογία δηλαδή να ϐούµε το N για να ισχύει το συµπέασµα. α µας χειαστεί η µεταξύ τους γωνία. Εστω λοιπόν δύο οθογώνια R, R µε γωνία αξόνων φ και µήκη l, l l l, πλάτη w, w w w για τα οποία ισχύουν τα πααπάνω. Από υπόθεση R CR και άα διαγώνιοςr sinφ Cw sinφ l + w Cw w sinφ C l + w C w l + w C w l Και χησιµοποιώντας ότι π φ sinφ φ όταν φ 0, π ] παίνουµε 0 φ π C w l Αυτή ϑα είναι και η γωνία που πέπει να έχουν οι σµικύνσεις T N R και T N R. Επιπλέον για R R ακεί NT NT.Χωής ϐλάη της γενικότητας υποθέτουµε ότι το κέντο του T είναι η αχή των αξόνων. Εστω A A x, A y το κέντο του T και B B x, B y ένα τυχαίο σηµείο του. ϑέλουµε A + NB A NT Επιπλέον χησιµοποιώντας στοιχειώδη γεωµετία παατηούµε ότι ακεί ι A x + NB x A x w l Nw ιι A y + NB y A y w w N. Για το ι έχουµε : A x µήκος T + διαγώνιος T B x A x διαγώνιος T l + w + l N l N w + l N l + l N p N l + p N l Τελικά ακεί A x + NB x A x l + l N + N + N + p N l + p N l N
το οποίο ισχύει για κατάληλη επιλογή του N. Γεια το ιι :Α θ την γωνία της διαγωνίου του µεγάλου άξονα του R, τότε Τελικά είναι ακετο να ισχύει ή απλούστεα A y πλάτος T w N + w N + + διαγώνιος T π l w C N l w N + w N + π w C N N + πc3 B y A y w + l N N πc3 N w + pw N w N + N + w + pw N sinφ + θ π πc3 N + w N + πc3 N + 3 N + w w N + + l sinφ + θ w N N + l φ + θ N wn + C 3 πc3 N N w + w N π πc3 N + w + w w C 3 N w + w w το οποίο είναι εφικτό αν επιλέξουµε το N ακετά µεγάλο Πόταση. Εστω και t µε < C και C µια σταθεά.αν F είναι µια οικογένεια από οθογώνια µε µήκη ανάµεσα σε t και C t και πλάτη ανάµεσα σε t και t τότε αν για κάθε T F κανένα οθογώνιο µε τον ίδιο άξονα και κέντο µε το T και πλάτος t δεν πειέχει πάνω από m στοιχεία της F, για κάθε > τότε χ T Cm log T T F Απόδειξη. ιαµείζω τον διάστηµα [0, π ] σε τόξα [0, ], [, ],..., [ N, π ] και σταθεοποιώ ένα οθογώνιο Ti. Αν κάποιο οθογώνιο T j, τέµνει το T i σε γωνία αξόνων ω τότε η τοµή τους σχηµατίζει ένα πααλληλόγαµµο µε εµαδόν T F T i T j ϐάση ύψος πλάτος T i πλάτος T j sin ω Χησιµοποιώντας ότι το πλάτος είναι µικότεο από t και ότι ω π sin ω ω : T i T j C ω. 3
Ισχύει ότι : X T T F T i F T i,t j F N k X Ti X Tj T i,t j F X Ti T j T i,t j F T i T j C t { } ω # T j : το T j τέµνει το T i σε γωνία ω : k ω k + + C t# {T j : το T j τέµνει το T i σε γωνία ω : 0 ω } Ακόµα N < π N C log + log π + Οποτε αν log > log π + C µποούµε να αντικαταστήσουµε το N µε C log Τέλος ω όλα τα οθογώνια που τέµνουν το σταθεοποιηµένο T i σε γωνία ϐίσκονται σε ένα οθογώνιο µε το ίδιο κέντο, άξονα, µήκος C t, πλάτος C ωt και σύµφωνα µε την υπόθεση, το πλήθος τους είναι το πολύ mc ω. Άα N C t { } ω # T j : το T j τέµνει το T i σε γωνία ω : k ω k + T i F k + C t # {T j : το T j τέµνει το T i σε γωνία ω : 0 ω } Cm log t Cm log T T i F T F T i F C log k C t ω mc ω + Ct mc Λήµµα. Εστω C 0 µια σταθεά ακετά µεγάλη και 0 ένα τετάγωνο στο επίπεδο µε πλευά C 0. Εστω F µια οικογένεια οθογωνίων µε πλάτος δ R, µήκος και πληθάιθµο #F δ 00 τα οποία πειέχονται στο.αν υποθέσουµε ότι τα µοναδιαία διανύσµατα που είναι παάλληλα στις πλευές µήκους δύο οποιονδήποτε στοιχείων της οικογένειας F σχηµατίζουν γωνία τουλάχιστον δ τότε µποούµε να διαµείσουµε την F σε το πολύ C log δ υποοικογένειες F ij έτσι ώστε για κάθε i και j να υπάχουν αιθµοί p και θ και µια οικογένεια από οθογώνια G ij {τ k } µε µήκος ανάµεσα σε και C 0 και πλάτος ανάµεσα σε θ και θ έτσι ώστε να ισχύουν τα παακάτω.. Αν T F ij τότε υπάχει τ k G ij µε T τ k. Αν T F τότε το T πειέχεται σε το ϕαγµένο αιθµό από τ k, τ k G ij 3. Κάθε τ k G ij πειέχει πείπου p θ δ T από την οικογένεια F.. τ k G ij χ τk C log δ τ k G ij τ k 5. T F ij χ T C log δ p T F ij T
Απόδειξη. Για κάθε οθογώνιο T F οίζουµε Π T να είναι εκείνο το οθογώνιο µε το ίδιο κέντο και πλευές παάλληλες στο T το οποίο να µεγιστοποιεί την ποσότητα. Από τον τόπο κατασκευής του Π T ισχύει ότι dπ δ # {T F : T Π}. Το Π T πειέχει το T και το πολύ να πειέχει όλα τα στοιχεία της F που ϐίσκονται στο τετάγωνο πλευάς C 0.Άα µήκος του Π T C 0 και δ πλάτος του Π T C 0. dπ T δ #F T δ 00 ιαµείζουµε την F ως έξής. Αν το πλάτος του Π T το πούµε θ T τότε για κάποιο i Z και για κάποιο j Z έχουµε i < θ T i και j < dπ T j+i. Οίζουµε F ij : { T F : θ T i, i ] και dπ T j, j+i ] }, p j και θ C i, οπού C µια σταθεά η οποία ϑα καθοιστει αγότεα. Η µικότεη τιµή που µποεί να πάει το i είναι τέτοια ώστε i min C 0 και η µεγαλύτεη είναι τέτοια ώστε imax δ. ηλαδή Οµοια και για το j Π i max i min logδ + log C 0 log C0 δ j δ 00 0 j 00 log δ Τελικά έχουµε i j log δ 00 log δ 00 log δ Για κάθε i, j ϑεωούµε ένα µεγιστικό υποσύνολο G ij του F ij τέτοιο ώστε αν T, T G ij Π T. Οίζω G ij : {C Π T, T G ij } να συνεπάγεται ότι Π T Για να δείξουµε το κάνουµε το εξής : έστω T 0 F ij. Αν C Π T0 G ij τότε T 0 C Π T0 και έχουµε τελειώσει.αν C Π T0 / G ij, υπάχει κάποιο T µε C Π T G ij και Π T0 Π T ή Π T Π T0. Αν ισχύει το πώτο έχουµε τελειώσει. Στην πείπτωση που ισχύει το δεύτεο, παατηούµε ότι τα Π T, Π T0 έχουν συνγκίσηµα πλάτη και µήκη διότι τα πλάτη τους κυµαίνονται από C i έως C i ενώ τα µήκη από ώες C 0. Συµπεαίνουµε ότι για κατάλληλα µεγάλη σταθεά C πετυχαίνουµε να ισχύει T 0 Π T0 C Π T.Για το : Εστω δύο τυχόντας τ k G ij που πειέχουν το ίδιο T. Επειδή έχουν συνγκίσιµες διασασεις το ένα πειέχεται σε καταλήλη πααµόφωση του άλλου.αν λάουµε υπόψη οτί κανένα τ k δεν πειέχεται στο διπλάσιο κάποιου αλλου τότε από την πόταση, ο πληθάιθµος ενως τέτοιυ συνόλου είναι ϕαγµένος. Για το 3, έστω ένα τ k C Π T G ij και τα αντίστοιχα Π T και T. Τότε εξ οισµού dπ T δ #{T F : T Π T } Π T p j δ #{T F : T Π T } #{T F : T Π T } δc θ T θ και λαµάνοντας υπόψη ότι Π T τ k C Π T ϐίσκουµε ότι #{T F : T τ k } p θ δ 5
Από την άλλη µειά το Π T µεγιστοποιεί την συνάτηση d και άα dτ k δ #{T F : T τ k } τ k p #{T F : T τ k } p τ k δ p θ δ Εστω ένα τ k C Π T G ij και R ένα τετάγωνο µε πλευές παάλληλες στο τ k και το ίδιο κέντο και πλάτος. Αν το R πειέχει n τ k G ij τότε από τις και 3 ϑα πειέχει τουλάχιστον np θ δ οθογώνια T από την F. Από την µεγιστική ιδιότητα του Π T, ισχύει ότι dr dπ T δ np θ δ δ p θ δ θ n C θ Εφαµόζουµε την πόταση µε m C, t, θ και αποδεικνύουµε το. Οµοια για το 5 εφαµόζουµε την πόταση µε m Cp, t, δ, όπου Σ είναι η καταληλη σταθεα στο 3, για την οποία ισχύει οτίκανένα οθογώνιο δεν πειέχει πααπάνω από C θ δ στοιχεία της οικογένειας Για κάθε οθογώνιο T στον R οίζουµε Γ T ως τον γαµµικό µετασχηµατισµό που στέλνει το T στο µοναδιαίο τετάγωνο. Αν επιπλέον φx max{ x k, } τότε οίζουµε φ k T καθένα έχει µήκος πείπου R φ Γ T. ϊαιούµε τον κύκλο σε τόξα που το καθώς και σε τόξα µε µήκος πείπου θ, έτσι ώστε κάθε τόξο να πειέχεται σε κάποιο τόξο. Για τις οικογένειες F ij, G ij του ποηγούµενου λήµµατος ϑεωούµε τις συνάτησεις ψ k T F ij, γωνία του T πειέχεται στο ψ k τ G ij, γωνία του τ πειέχεται στο φ k T φ k τ Λήµµα. Για τις συνατήσεις ψ k, ψk ψ k p log R T T F i j ψ k log R T τ G i j Οταν k ισχύουν Απόδειξη. Εστω A > 0 και η οικογένεια F ij τότε τα οθογώνια AT και Aτ έχουν πλάτη από Aδ έως Aδ, από AC i έως AC i+ αντοίστοιχα και µήκη από A µέχι CC 0 A. Για το πώτο : Γνωίζουµε ότι για σταθεοποιηµένα T και κάποιο A > 0 υπάχουν λιγότεο από Am δ άλλα που πειέχονται σε κάθε οθογώνιο µε πλευά A και άα και 6
λιγότεα AT οθογώνια που ϑα πειέχονται. Τελικά από το λήµµα, ισχύει και T F ij χ AT τ G ij χ Aτ A 3 p log R A 3 log R T F ij T m p T F ij T m σταθεά εωούµε µια ϐοηθητική συνάτηση B t + m0 km χ m T. α δείξουµε ότι φ k T B T. Ακεί να δείχθεί ότι φ k T Γ T B T Γ. Οπου ο Γ T T είναι ο αφινικος µετασχηµατισµός που στέλνει το T στο. Με άλλα λόγια ϑα δουλέψουµε µε το στην ϑέση του T. Εστω x R τότε υπάχει k Z τέτοιο ώστε km φ k x m k και άα για κάθε x [ m, m+ ] φ k x km χ m+ x k m k χ m+ x.τέλος για όλα τα x R Τελικά έχουµε ψ k + φ k x k km χ m x m0 φ k T k T F ij, γωνία του T πειέχεται στο i k km χ m Minkowski T F ij m + m km χ m T T F ij k i km χ m m i km χ m T F ij Cp log R T 3km T F ij T F ij, γωνία του T πειέχεται στο m + m + m Cp log R T Cp log R T 3km T F ij T F ij Με τον ίδιο τόπο αποδεικνύεται και η δευτεη ανισώτητα Εστω A r ο δακτύλιος A r {ξ : R ξ R + } και έστω µια διαµείση του σε ξένα τµήµατα δακτυλίου µε κυκλικό µήκος πείπου R, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα είναι της µοφής { ξ : ξ R, R +, 7 } ξ ξ γ
µε γ να είναι τµήµα του µοναδιαίου κύκλου µε µήκος πείπου R. Επειτα ϑεωούµε την επιµήκυνση του κατά C και την συµολίζουµε µε C δηλαδή κάθε C είναι της µοφής { ξ : ξ CR, CR +, } ξ ξ γ όπου γ Cγ αν Cγ π η γ π αλλιώς. Εστω f µια συνάτηση µε την ιδιότητα f f όπου όλες οι f έχουν ϕοέα το C και έστω G f. Εστω µια άλλη διαµέιση του δακτυλίου τέτοια ώστε κάθε να πειέχεται σε ένα. Οίζουµε. Sf G και S θ f G Λήµµα 3. S θ f C Sf Απόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι το έχουµε κάνει µε την f να έχει ϕοέα σε ένα ογδοιµόιο του κύκλου. Τότε οίζουµε τις Και παατηούµε ότι f i f i Άα έχουµε f αν το πειέχεται στο i τετατηµόιο f i 0 αλλιώς S θ f S θ f i G i i i Minkoswki G i S θ f i i i i G i Από τιγωνική ανισότητα : S θ f i S θ f i i Sf i i G i χησιµοποιώντας την holder : i G i G i i 8 f i fi i
έτω h ij f i f j Τότε G i f i fi f i f i c ĥii Και G f f f f c ĥ Άα plancerel f i fi i i h ii h plancerel i,j ĥ ii h i,j ĥ i αφού h ij 0 όταν i j G Sf Και το Ϲητούµενο έπεται άµεσα. Μένει µόνο να το δείξουµε, χωίς πλέων ϐλάη της γενικότητας για συνάτησης µε ϕοέα το πώτο ογδοιµόιο. S θ f G,,, 3 G G, Ĝ Ĝ Ĝ Ĝ 3 P lancerel, Ĝ Ĝ.Στην τελευταία γαµµή χησιµοποιήσαµε απλός ότι i a i i,j a ia j. Τώα ϑα χησιµοποιήσουµε ότι fygy dy fy 0gy dy f g0 και την µεταθετιτότητα της συνέλιξης. Η τελευταία γαµµή γίνεται Ας εκτιµήσουµε την ποσότητα,,,,, 3 Ĝ Ĝ Ĝ Ĝ 3 0, 3 Ĝ Ĝ Ĝ Ĝ 3 Ĝ Ĝ Ĝ Ĝ 3 0 : 0 Ĝ Ĝ Ĝ Ĝ 3 0 Ĝ Ĝ Ĝ Ĝ 3,,, 3 9
Οµως Ĝ f f και το κάθε f έχει ϕοέα το C και κάθε f j f j έχει ϕοέα το C i + C j και κάθε χ ϐίσκεται σε ένα ϕαγµένο πλήθος από τέτοια σύνολα. Αν k το πλήθος αυτό τότε. Ĝ Ĝ Ĝ Ĝ 3 Ĝ ki Ĝ kj k i,k j, x k i,k j Τέλος Holder k Ĝ Ĝ S θ f P lancerel k, G G. G G Sf Το παακάτω λήµµα είναι µια ειδική µοφή της αχής της αεαιότητας Λήµµα. Εστω φ φ M min{, x M } και έστω G µια συνάτηση της οποίας ο µετασχηµατισµός fourier Ĝ έχει ϕοέα σε ένα οθογώνιο. Τότε για κάθε δυϊκό οθογώνιο σ ισχύει G φ σ G φ σ Οπου φ σ φ T σ µε T σ ο αφινικός µετασχηµατισµός που στέλνει το µοναδιαίο τετάγωνο στο οθογώνιο στο σ. Απόδειξη. α το κάνουµε πώτα µε την υπόθεση ότι σ. Αφού έστω k µια συνάτηση Σωατζ τέτοια ώστε ˆkx όταν x. Τότε k G ˆkĜ Ĝ αφού εκεί που η Ĝ δεν είναι µηδέν η ˆk είναι. Από το ϑεώηµα µοναδικότητας του µετασχηµατισµού fourier πέπει k G G σχεδόν για κάθε x R.Ισχύει ότι G φ G k φ φ φ max {, x M} kx y min {, y M} G y dy φ ιακίνουµε πειπτώσεις : I. x και y. Τότε max {, x M} kx y min {, y M} kx y k II. x και y /. Τότε max {, x M} kx y min {, y M} kx y min {, y M} k y M < + 0
III. Οµοια αν x / και y, max {, x M} kx y min {, y M} k x M < + IV. Αν x / και y /. Τότε max {, x M} kx y min {, y M} x M x + M kx y M kx y y M y + M M + x y M kx y C ky + y M < +. Εδώ χησιµοποιήσαµε ότι y > y y + και την ανισότητα + y + x y + x. Από τα πααπάνω είναι ποφανές ότι µποώ να επιλέξω κατάλληλη σταθεά C έτσι ώστε max {, x M} kx y min {, y M} G y dy φ C + y M G y dy φ holder C + y M G φ C G φ α πεάσουµε στην γενική πείπτωση τώα. Εστω ένα οθογώνιο µε κέντο k και ένα δυϊκό σ µε κέντο λ. Αν T είναι ο γαµµικός µετασχηµατισµός που στέλνει το στο k Τότε T t είναι ο γαµµικός µετασχηµατισµός που στέλνει το στο σ λ. Εστω Ĝ µε ϕοέα το. Τότε G dett e ιkt tξ GT t ξ φ σ T t dett ξ φ σ.όµως dett e ιkt tξ GT t ξ b dett e πιx ξ e ιkt tξ GT t ξ dett e πιxt t T t ξ+kt t ξ GT t ξ dett e πιxt t +kt tξ GT t ξ e πιt x+kξ Gξ ĜT x + k Οι φ σ T t ξ, ĜT x + k έχει ϕοέα το και µποούµε να εφαµόσουµε τα αποτελέσµατα στον µοναδιαίο κύο, παίνοντας τελικά G dett e ιkt tξ GT t ξ φ σ T t C G ξ φ σ φ σ
Λήµµα 5. Εστω µ ένα µέτο του οποίου ο ϕοέας πειέχεται στον µοναδιαίο δίσκο και µε α-διαστατη ενέγεια I α. Τότε µποούµε να διαµείσουµε το µ σε ένα άθοισµα µέτων µ j µε πλήθος Olog R για τα οποία ισχύει : µ j R µ j Dx, r sup sup x r R r α. Απόδειξη. Γεια κάθε x D0; έχουµε ότι Dx; r D0; Dx; και άα µ Dx; r sup r R r α µ Dx; a Αφού ο ϕοέας του µέτου ϐίσκεται στον D0; και µ Dx; r D0; µ Dx; r.από την άλλη µεαιά µ Dx; r sup r R r α µ R R α µ R R α εωούµε τα σύνολα E j { x : m Dx, r [ sup r R r α j µ R, j µ R } Το µικότεο j για το οποίο το σύνολο E j έχει µη µηδενικό µέτο είναι της τάξης α µ R και άα το µικότεο j είναι της τάξης α. Οµοια το µεγαλύτεο j είναι της τάξης R α το οποίο δίνει ένα j της τάξης α log R +. Τελικά παίνουµε ότι το πλήθος των j είναι της τάξης C log R. Παατηούµε ότι Dx, r sup sup r α j µ R µ j x R r R. Πάγµατι αν x E j είναι ποφανές ότι sup r R ότι Dx, r E j. Για y Dx, r E j ισχύει ότι µ j Dx,r r j µ R α. Αν x / E j Τότε Μποούµε να υποθέσουµε Dx, r Dy, r µ j Dx, r r α a µ j Dy, r r α a µ j Dx, r sup sup x E j r R r α και το Ϲητούµενο έπεται για κάθε x R. Άα για να αποδείξουµε το λήµµα µένει να δείξουµε ότι για κάθε j, µ j R µe j j µ R Γεια κάθε j ισχύει ότι το Ej είναι ϕαγµένο υποσύνολο του R και κάθε σηµείο του είναι κέντο κάποιου δίσκου Dx, r µε ακτίνα που από τον τόπο που οίστηκαν τα E j µποούµε να την επιλέξουµε έτσι ώστε µ Dx, r j µ R r α. Από το λήµµα επικάλυψης του Besicovitch υπάχει µια το πολύ αιθµισιµη οικογένεια από τέτοιους δίσκους, D n x, r που καλύπτουν όλο το E j και κάθε στοιχείο του R n ϐίσκεται σε έναν ϕαγµένο αιθµό C από αυτούς τους δίσκους. Γεια κάθε n έχουµε dµxdµy dµxdµy D n D n x y α D n D n r α r α µd n µd n µd n j µ R Τελικά έχουµε j µ R µd n n n D n D n dµxdµy x y α R n dµxdµy dµxdµy χ Dn Dn x y α C R x y α CI α
Και το Ϲητούµενο έπεται άµεσα από το ποηγούµενα, αν δείξουµε ότι για µέτο µ µε ϕοέα τον µοναδιαίο δίσκο να ισχύει µε B sup x sup r R µ Dx;r r α A R µ Re iθ dθ Bµ R R α +.Ας υποθέσουµε οτι ισχύει, τότε για µια µια συνάτηση Schwartz k ίση µε ένα στον ϕοέα του µ τον µοναδιαίο δίσκο έχουµε ότι d ˆk ˆµ d kµ µ και άα ˆµ ˆk ˆµ. Ισχύει ότι π µ Re iθ π dθ π π ˆk µ Re iθ π dθ R R holder π η b k είναι Scwatrz k Re iθ y ˆk µ Re iθ π dθ µy dy dθ k Re iθ y µy µy k R π µy dy k R k Re iθ y Re iθ y dy R Αφού η k είναι Scwartz kx C n + x n για όλα τα n. ky µ R dy dθ k Re iθ y dy dθ Re iθ y dy dθ Re iθ y dy dθ π dy k ιακίνουµε τις εξής πειπτώσεις Άα π Re iθ y dy R dθ + R e iθ y N+ π Rdθ + R e iθ y + R y N. το y δεν ϐίσκεται έξω από τον κύκλο µε κέντο το µηδέν και ακτίνα R Σε αυτήν την πείπτωση έχω ότι τα σηµεία του κύκλου έχουν µεγαλύτεη απόσταση από το y σε σύγκιση µε ένα άλλο σταθεοποιηµένο σηµείο του κύκλου. το y να ϐίσκεται στο εσωτεικό του κύκλου. Σε αυτήν την πείπτωση το y δεν έχει απααίτητα µεγαλύτεη απόσταση από τα σηµεία του κύκλου εν συγκίσει µε ένα σταθεοποιηµένο αλλά έχει ένα κάτω ϕάγµα της µοφής Re iθ y R eiθ Από τα πααπάνω καταλήγουµε στο ότι π Rdθ R + Re iθ y + R y N π R π Rdθ R + cr θ + R y N + R π Rdθ + R e iθ + ct dt + R y N + R y N R + R y N k Re iθ y dy R + R y N µy dy R 3
Από εκεί και πέα έχουµε R R + R y N µy dy R R R + m[ R ] + m[ R ] + m[ R ] R+m y R+m+ R + m + m 00 R Bµ R R α + + R y 00 µy dy R+m y R+m+ R + m + m 00 Bµ R R + m 0 m[ R ] R Bµ R R α + R R α [ ] + m0 R R α [ ] + R α + m0 + m + m [ R ] m0 α + R 00 α + R 00 µy dy α + R + m m 00 R m R m + m 00 + R m + + m + + m + m R + m 00 + m + + + m + m m R + m + m 00 + R m R + m + m 00 + R Σταθεοποιούµε µια συνάτηση f µε ϕοέα στον δακτύλιο A r {ξ : R ξ R + } και µε f L. ϑέτω G f x και j f x R dµ. Εστω h, µια συνάτηση schwartz της οποίας ο µετασχηµατισµός fourier έχει ϕοέα το µοναδιαίο τετάγωνο µε κέντο την αχή των αξόνων. Από αυτήν οίζω µια άλλη συνάτηση b fx k Z fx + k Για την οποία ισχύει fx + m bx + m fx + k + m m Z m Z k Z m Z fx + m k Z fx + m Οπότε, αν καλύψουµε το Z µε οθογώνια δυϊκά σε δοσµένο οθογώνιο ισχύει b Επειτα καλύουµε τον δακτύλιο A r µε ξένα ανά δύο κυκλικά όθογώνια για τα οποία η γωνία είναι πείπου R τα οποία πειέχονται σε κανόνικα οθογώνια µε διαστάσεις C και CR µε κατάλληλη σταθεά C.έτω G G µε G χ f x.για κάθε στην κάλυψη του Z και για δυϊκό του οίζω G b G. Επιπλέον για το κάθε το b ϑα έχει ϕοέα το που αντιστοιχεί στο εν λόγω. Αυτό σε συνδυασµό µε την αχή της
αεαιότητας µας δίνει : G φ G b φ G b φ R G b φ Η b είναι swartz και παίνει την τιµή στο ενώ η φ µε ότι b άα είναι στο και πολυώνυµο στο R \. Σε συνδυασµό b φ b φ G R b φ G G R b φ G. Τελικά G φ R G plancherelr Ĝ R χ f x R Συνοψίζοντας δείξαµε ότι G φ C M R Στο λήµµα 5 αποδείξαµε ότι µ R n B. Χωίς ϐλάη της γενικότητας µποούµε να υποθέσουµε ότι G µ R n R 0.Στην αντίθετη πείπτωση έχουµε G µ R n R 0 µ R n µ R n R 0 Bµ R R α όταν το R είναι ακετά µεγάλο. Από εδώ και πέα ϑα εγαζόµαστε µε αυτή την υπόθεση. φ G : G φ R 00 : G dµ φ R 00 φ G φ φ G dµ : G φ R 00 dµ µ R R 00 µ R R 50 Ακόµα από την G φ C M R Βλέπουµε ότι G G : φ G C mr 5 G
Τώα ϑα χειαστούµε για τεχνικούς λόγους ένα κατάλληλο υποσύνολο από τα Επιλέγουµε εκείνα για τα οποία ισχύει R 00 φ C M R Επειτα ϑα εκτιµήσουµε το ολοκλήωµα της G πάνω σε αυτή την οικογένεια. G G dµ : R 00 φ G CR G dµ : φ G CR Gdµ Gdµ R 0 C Gdµ G : φ G R 00 dµ Gdµ µ R R 50 Με τον συνήθη τόπο, χωίζουµε τα σε ClogR το πλήθος οικογένειες F i διαµείζοντας το R 00, CR ] σε δυαδικά διαστήµατα F i { : i R 00 < φ G i R 00 } Παακάτω το N είναι της τάξης log R : R 00 φ G CR dµ N i G G : i R 00 φ G i R 00 dµ Gdµ Άα υπάχει ένα i τέτοιο ώστε Gdµ C F i N Gdµ C log R Gdµ Τώα ϑα πειοίσουµε και άλλο το πλήθος των αντικαθιστώντας το F i µε µια υποοικογένεια F της όποιας όλα τα στοιχεία ϑα ϐίσκονται σε ένα σταθεοποιηµένο τετάγωνο µε πλευά 0, µε το κόστος ότι το log R ϑα γίνει R. Αν το R είναι ακετά µεγάλο τότε το τετάγωνο αυτό ϑα ϐίσκεται µέσα στο δίσκο µε κέντο το µηδέν και ακτίνα R 5 F i G dµ F i d,0>r 5 dµ + G 6 F i d,0r 5 dµ G log R Gdµ
Και F i d,0r 5 G dµ F i d,0r 5 i R 00 R 3 x >R 5 G φ φ dµ G φ F i d,0r 5 R dx x M φ dµ R R F i d,0r 5 3 R 5 M R 00 R 90 F i d,0r 5 φ dµ d, 0 M G dµ Με λίγη ποσοχή µποούµε να επιλέξουµε την κάλυψη µε τετάγωνα έτσι ώστε το κάθε να πειέχεται εξολοκλήου µόνο σε ένα τέτοιο τετάγωνο. Αυτό γίνεται µε κατάλληλη µετακίνηση του κάθε τετάγωνο σε πείπτωση δεν πειέχεται ένα σε κάποιο τετάγωνο, σε συνδυασµό ότι από κατασκευή τους τα δεν µποεί να τέµνονται πολύ αν έχουν µική γωνία µεταξύ τους, όπως ϐλέπουµε παακάτω. Η οικογένεια οθογωνίων F.έχει τις εξής ιδιότητες. ύο στοιχεία της, είτε ϑα τέτµονται στο σύνοο τους, αν είναι δυϊκά στο ίδιο αχικό διότι αποτελούν πλακόστωση του R είτε αν τέµνεται το εσωτεικό τους η γωνία τους ϑα είναι µεγαλύτεη από δcr αφού το ίδιο ισχύει για τα δυϊκά τους. #F #F 0 R 50 δ 00 Το µήκος των στοιχείων της F είναι C συγκίσιµο µε και το πλάτος είναι Cδ Τώα µποούµε να χησιµοποιήσουµε το λήµµα και να διαµείσουµε την F σε F ij υποοικογένειες για τις οποίες αν F, τότε G i R 00 φ Αυτό ποκύπτει από ότι φ G i R 00 Υπάχουν αιθµοί p και θ R και ένα σύνολο G από οθογώνια µε πλάτος πείπου θ τέτοια ώστε κάθε να πειέχεται σε ένα τουλάχιστον από την G Κάθε τ G πειέχει πείπου pθ R πειέχεται σε ένα τουλάχιστον οθογώνιο από την G. card G #F pθ R F ij G N pθ R dµ R j Επειτα χωίζουµε τον κύκλο σε τόξα µε τον συνήθη τόπο, δηλαδή η γωνία του κάθε το αντίστοιχο κυκλικό οθογώνιο να πειέχεται σε ένα από τα τόξα τα οποία έχουν µήκος πείπου θ. τα F που είναι δυϊκά στο συγκεκιµένο. Κατ αναλογία µε το λήµµα οίζουµε ψ k Ψ k G φk τ Οίζουµε F να είναι όλα F φk Οπου Gθ είναι όλα τα τ G των οποίων ο αξονας κατεύθυνσης τους ϐίσκεται σε µια 7 και
κατάλληλη πααµόφωση του. Από τα ποηγούµενα και από το λήµµα. έχουµε ψ pnr log R F Ψ pnr log R F Παατηούµε ακόµα ότι επειδή τα F το πολύ να εφάπτονται στο σύνοο αν είναι γειτονικά, ψ n C n Οίζουµε H F G Υπενθυµίζουµε ότι G b χ f x και άα Ĥ F G F b χ fx χ fx F b Σηµειώνουµε εδώ ότι και supp b, για όλα τα F. Άα supp Ĥ +. Ακόµα ϑέτουµε H H, P H και για απλότητα h R 00 i Λήµµα 6. Με τους ποηγούµενους οισµούς ισχύει P hlog R pnr Απόδειξη. Από το λήµµα 3 και το ότι supp Ĥ έχουµε ότι P H Απο την άλλη Συνδυάζοντας τα ποηγούµενα : H F hφ P h εξ οιζµου F h ψ φ h ψ ψ h ψ hlog R 8 pnr
Στην τελευταία γαµµή χησιµοποιήσαµε ότι τα που έχουµε είναι στην F και το πολύ να εφάπτονται οπότε µε το γνωστό επιχείηµα ψ ψ M n n M C α χειαστούµε επίσης και την παακάτω εκτίµηση για το H H H hφ F Το κάθε πειέχεται σε ένα τ. Στο λήµµα δείξαµε ότι η γωνία του και του τ δεν µποεί να είναι µεγαλύτεη από µια σταθεά επί θ και άα τ G Από αυτά έχουµε F hφ h τ G τ Ξανά από το λήµµα έχουµε ότι κάθε τ πειέχει το πολύ CR οθογώνια F και επειδή για κάθε τέτοιο F ισχύει φ φ τ h τ G τ φ hcr τ G φ φ τ hcrψ Από δω και πέα είναι το κυίως µέος της απόδειξης. Ξεκινάµε µε την παατήηση ότι maxθ, x y φ τ x φ τ y θ Γεια κάθε x και y, και από αυτό συνεπάγεται Ψ maxθ, x y x Ψ θ y Οίζουµε ένα A τετάγωνο να είναι ένα τετάγωνο µε πλευά θ R και max Ψ ποηγούµενη παατήηση έχουµε ότι η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή των Ψ ένα A-τετάγωνο έχουµε min Ψ max Ψ A Χησιµοποιώντας και ότι Ψ N p R log R έχουµε [A, A]. Από την είναι συγκίσιµες και άα αν είναι A #A θ Σε ένα τετάγωνο πλευάς έχουµε : Ψ Ψ N p log R # N R p R log Rθ A max{θ x y } R θ R Και άα max Ψ min Ψ R Επειδή ϑέλουµε να υπολογίσουµε το G dµ µας ενδιαφέουν τα A τετάγωνα που τέµνουν τον ϕοέα του µ δηλαδή που τέµνουν το µοναδιαίο δίσκο. Σε ένα τετάγωνο µε πλευά 3 και κέντο το κέντο του µοναδιαίου δίσκου από την max Ψ min Ψ R έχουµε ότι Αν η τιµή του Α είναι τουλάχιστον η ελάχιστη τιµή που παίνει 9
η Ψ R στο τετάγωνο αυτό και µέγιστη τιµή που παίνει στην διαµέιση είναι j το πολύ η µέγιστη τιµή της Ψ R Στο ίδιο τετάγωνο τότε υπάχουν το πολύ j log R Α τετάγωνα που τέµνουν τον ϕοέα του µ Γεια να αποδείξουµε το ϑεώηµα ακεί να δείξουµε ότι οµοιόµοφα ως πος τα A AR E A F Με E A να είναι η ένωση των A-τεταγώνων. dµ Bµ R R α G Ισχυισµός : Υπάχει µια ακτινική συνάτηση q για την οποία ισχύει qx C N + x N για κάθε N και έχει και την παακάτω ιδιότητα.αν t θr R, q t x t qt x και µ είναι το απόλυτα συνεχές µέτο q t µ δηλαδή µa A R q t x ydµydx το οποίο έχει ποφανώς πυκνότητα dµ dx R q t x ydµy τότε για κάθε και για κάθε τετάγωνο µε πλευά µεγαλύτεη από t H dµ Mj j 0 j H dµ Απόδειξη. α το δείξουµε πώτα για τετάγωνα µε πλευά t. Η γενική πείπτωση έπεται άµεσα Εστω k µια swartz ακτινική συνάτηση µε k σε ένα ακετά µεγάλο δίσκο µε κέντο την αχή των αξόνων. Αφού το t είναι σταθεοποιηµένο ο ϕοέας της Ĥ ϐίσκεται µέσα σε ένα δίσκο πααµοφωµένο κατα Ct Γεια κάποιο C. Άα H C k t H H k t H Και H dµ R k t H k t x y H xφ yφ R k t x yφ ydµx H xφ y dy ydµx dy Επιπλέων αν x 0 το κέντο του και T y ty στέλνει το µοναδιαίο τετάγωνο στο x 0 τότε για κάθε x ισχύει φ y max{, T y + x 0 M } + T y x 0 M + t y x M έτοντας qx + x M kx τότε η q εξασθενεί όπως ϑέλουµε και επιπλέον H dµ φ y H ydµy από το οποίο έπεται το Ϲητούµενο γιατί α χησιµοποιήσουµε επίσης ότι µ R q t x ydµy q t µ R Cµ R, ότι µ D r q t µ D r C µdr r r α Br α µ Dx;r α Οπου B sup x sup r R r α Καθώς και την επόµενη πόταση Πόταση 3. dµ dx BθR α 0
Απόδειξη. dµ dx q t x y dµy θr q θrx y dµy C N θr + θrx y N dµy C N θr Dx, + θrx y N dµy + k R k x y k + θrx y N dµ R R C N θr dµy + dµ Dx, k R k x y k k N R R [ θr B + ] [ ] R α + k N µ D x, k R C N θr B + kα k R α + B k N k R α [ C N θr BR α + ] + N kα N C N θr BR α C N BθR α k Εστω ένα A-τετάγωνο τότε G F dµ H dµ :max Ψ R H dµ + :max Ψ <R H dµ Γεια το δεύτεο όο ϑα χησιµοποιήσουµε την ανισότητα H RhΨ οπότε παίνουµε :max Ψ <R.Το πλήθος των στον πώτο όο είναι το πολύ R A αφου Ψ H dµ BhR M BR 00 για M ακετά µεγάλο R και το άθοισµά τους είναι A. Ξησιµοποιώντας ότι θ Rθ και τον τελευταίο ισχυισµό παίνουµε την εκτίµηση G F α εκτιµήσουµε το ολοκλήωµα dµ Mj j 0 AR Mj j j :max Ψ j H dµ + BR R P dµ + BR 00 j 00 E A F G dµ αθοίζοντας πάνω από όλα τα A-τετάγωνα E A ένωση όλων των A-τεταγώνων. Επειδή υπάχουν το πολύ R το πλήθος από αυτά που τέµνουν τον ϕοέα του µέτου µ ο δεύτεος όος δεν ϑα δώσει πααπάνω από BR 99. Χησιµοποιούµε το λήµµα 6 και την πόταση 3 E A F dµ holder AR P j Mj dµ dx G j j L 3 E j A
AR log R h pnr Κάθε τετάγωνο πλευάς θ έχει µέτο µ το πολύ Bθ α dµ dµ dx dx dµ dx j Mj µ R θr a µe j A 3 dx BθR α. Επίσης δείξαµε ότι το πλήθος των A-τεταγώνων είναι το πολύ N p R log Rθ A : Ισοδύναµα µ E A log R N p R θ A Bθ α p BNθ R A µ E A θ α log R Ενα πααµοφωµένο κατά j, A-τετάγωνο έχει µέτο µ το πολύ B jα θ α p BNθ R A µ EA j jα θ α log R Χησιµοποιώντας την εκτιµήση για το p και ότι h R 00 i R N συνοψίζουµε G dµ E A F log R AR R log R R N M+ α j µ R j log R R µ R B R α j BN θ R A µ EA j jα θ α log R Mj B a θr µe j A 3 E j A R α