Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 9: Προσδιορισμός Γεωειδούς με Ολοκληρωματικές, Στοχαστικές και Φασματικές Μεθόδους Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 009-00

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης reative ommos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 009-00

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 009-00

ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 4 ο Εξάμηνο Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Itroductio to gravity field Ακαδημαϊκή Χρονιά: 04 05 Πρόγραμμα: Τετάρτη 9:00 3:00 Διδάσκοντες: Η.Ν. Τζιαβός, Γ.Σ. Βέργος Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

http://web.auth.gr/e-topo/ http://olimpia.topo.auth.gr/courses/ Ιστοσελίδες ΔΕΠ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Η. Τζιαβός ή Γ. Βέργος Μαθήματα - εργασίες Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Stokes T R 4π σ ψ,α S ψ dσ S ψ P cosψ 5P cosψ 7 P 3 cosψ 3P 4 cosψ ψ si ψ 6si 5cosψ 3cosψ l ψ si si ψ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ ΜΕ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Stokes R 4πγ gs(ψ)dσ oλοκλήρωμα Stokes R 4πγ i obs S ( ψ)dφdλ i απλοποιημένη μορφή πρακτικές εφαρμογές Συνάρτηση Stokes S(ψ) si ψ 6 si ψ 5 cosψ 3cosψ l si ψ + si ψ S(ψ) si( / ) / για μικρές τιμές του ψ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΧΕΣΕΙΣ Veig Meiesz ξ η 4 π π α 0 ψ 0 ψ, α S ψ cosα siα siψ dψdα ξ η σ S ψ cosα si α dσ S ψ ds ψ dψ cos si ψ/ ψ/ 8siψ ψ 6cos 3 3si ψ/ siψ 3siψ l ψ si si ψ Συνάρτηση S ψ si ψ/ ψ/ ψ Veig - Meiesz S ψ si ψ/ ψ/ ψ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Συναρτήσεις Stokes / Veig - Meiesz S ψ si ψ/ ψ/ ψ S ψ si Εικόνα ψ/ ψ/ ψ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Πρακτική εφαρμογή του τύπου του Stokes από τη σφαίρα στο επίπεδο R gs(ψ)dσ 4πγ S(ψ) si( / ) / r dσ dx dψ X πγ -X Y r -Y dxdy Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Προσδιορισμός του γεωειδούς με το ολοκλήρωμα Stokes τρεις συνιστώσες Ν, Ν, Ν 3 Ν = Ν + Ν + Ν 3 Ν γεωδυναμικό μοντέλο * R max m cosmλ Sm simλ Pm(siφ) m 0 Ν από ανηγμένες τιμές βαρύτητας g R 4 ( g obs pot )S(ψ)dσ max * pot γ ( ) m cosmλ Sm simλ Pm(siφ) m 0 Ν 3 συνεισφορά ευρύτερης περιοχής R ( gobs pot) S(ψ) dσ 4 c Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΟΥ Stokes Το γεωειδές είναι μία ισοδυναμική επιφάνεια και το ελλειψοειδές μία σφαιροδυναμική (Wo=Uo) Οι ανωμαλίες βαρύτητας θεωρούνται ανηγμένες στην επιφάνεια του γεωειδούς Η μάζα του ΕΕΠ είναι ίση με τη μάζα της γης Το κέντρο του ΕΕΠ συμπίπτει με το κέντρο του συστήματος αναφοράς (Γης) Δεν υπάρχουν μάζες έξω από το γεωειδές, η αφαίρεσή τους έχει γίνει με τις αναγωγές των ανωμαλιών βαρύτητας στην επιφάνεια του σφαιρικού γεωειδούς Γη και ΕΕΠ περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα Η αποχή του γεωειδούς δίνεται σε σχέση με ένα ελλειψοειδές του οποίου η επιπλάτυνση είναι ίδια με εκείνη του ελλειψοειδούς που χρησιμοποιήθηκε για τις αναγωγές βαρύτητας Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ (Stokes) Σφάλματα του μαθηματικού μοντέλου Σφάλμα σφαιρικής προσέγγισης Επίδραση ατμοσφαιρικών μαζών Συνιστώσα μηδενικής τάξης Σφάλμα ολοκλήρωσης σν c Σφάλμα εκ μεταφοράς (commissio error) Σφάλματα του γεωδυναμικού μοντέλου σν 0 Σφάλμα παράλειψης (ανάπτυξη μέχρι max ) (omissio error) σ D Διακριτική ικανότητα 80 θ Σφάλματα των ανωμαλιών βαρύτητας σ P Σφάλμα προσδιορισμού Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Επίδραση ατμοσφαιρικών μαζών στις Μέσο υψόμετρο κελύφους σε [m] ψ c 0 00 00 300 400 5 0.56 0.56 0.55 0.55 0.54 0.7.6.4.3. 5.75.73.7.69.67 0.6.3..8.6 5.67.64.6.58.55 30.97.93.90.87.83 Μέσο υψόμετρο 00 m 0 Ακτίνα ολοκλήρωσης ψ c 5 Διόρθωση 0.56 m Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Προσδιορισμός βέλτιστης ακτίνας συλλογής Ελαχιστοποίηση σφαλμάτων σ tot ψ c σ c σ 0 σ D σ P σ tot ψ c miimum Απόσταση [km] σν c σν 0 σ D σ P σ tot 0.3 0.0 0.8..5 4 0.5 0..5.4.9 6 0.8 0..0 3.6 4. 8.0 0..0 4.7 5.3 0.3 0.. 5.8 6.4.6 0.. 6.9 7.5 4.8 0.. 8.0 8.5 6. 0..0 9.0 9.5 8.4 0.3.9 0.0 0.5 0.6 0.3.9.0.5 Τιμές σφαλμάτων σε cm φ 50 ψ c Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISRETE FOURIER TRASFORM D h(x, y) Mx έ έ x k x, k 0,,,..., M x T x M y l y, l 0,,,..., y T y u m u, m 0,,,..., M u F u M T x v m v, 0,,,..., v F v T y Εικόνα Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISRETE FOURIER TRASFORM D H(m u, v) M k 0 l 0 h(k x,l y)e j (m uk x vl y) x y x y M k 0 l 0 h(k x,l y)e j (m uk x vl y) x y T x M T y H(m u, v) T x M T y M k 0 l 0 h(k x,l y)e j mk ( M l ) h(k x,l y) u v M k 0 l 0 H(m u, v)e j (m uk x vl y) T x T y M k 0 l 0 H(m u, v)e j mk ( M l ) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISRETE FOURIER TRASFORM D h(k, l) H(m, ) H(m,) T x M T y M k 0 l 0 h(k x,l y)e j mk ( M l ) F[H(m, )] h(k x,l y) T x T y M k 0 l 0 H(m u, v)e j mk ( M l ) F [H(m, )] ό ύ ώ ό T x x, T y y F u u, F v v Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ ΜΕ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER X πγ -X Y r -Y dxdy (x p,y p ) X Y πγ -X -Y (x,y) (x p - x) + (y p - y) / dxdy [ ] l (x,y) r (x,y) (x y ) -/ (x,y) πγ (x,y) l (x,y) (x,y) πγ F { ΔG(u;v) L (u;v)} ΔG(u,v) F{(x,y)} L (u,v) F{L (x,y)} (u v ) / (x,y) πγ F ΔG(u;v) (u + v ) -/ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ Γεωειδές με το ολοκλήρωμα ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ Stokes ΜΕ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ μέσω μετασχηματισμών Fourier FOURIER Εικόνα 3 ( x, y ) R πγ g dxdy r ΔG(u, v) F (x, y) r x P x y P y L (u, v) F l Ν (x, y) ( x, y ) R πγ (x, y) l Ν ( x, y) dxdy (x, y) F ΔG(u, v) L (u, v) l Ν r ( x, y) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ σημειακή προσαρμογή χωρίς σφάλματα (exact collocatio) ελάχιστα τετράγωνα σημειακή προσαρμογή με σφάλματα (smoothig collocatio) σημειακή προσαρμογή με παραμέτρους (parametric least squares collocatio) Σημειακή προσαρμογή χωρίς σφάλματα Σημειακή προσαρμογή με σφάλματα Εικόνα 4 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΧΩΡΙΣ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Aπό ένα σύνολο μετρήσεων (παρατηρήσεων) s i, i=,,...,r, οι οποίες σχετίζονται με το διαταρακτικό δυναμικό τη γης T και οι οποίες μπορεί να εκφραστούν ως τιμές ορισμένων γραμμικών συνεχών συναρτησιακών του διαταρακτικού δυναμικού σύμφωνα με τη σχέση s i L i T ζητείται να βρεθεί μία προσέγγιση για το T, η, η οποία να ικανοποιεί τις μετρήσεις si και τη συνθήκη T mi Σημειώνεται ότι τα συναρτησιακά είναι ορισμένοι τελεστές, οι οποίοι μετατρέπουν συναρτήσεις σε πραγματικούς αριθμούς Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΧΩΡΙΣ ΣΦΑΛΜΑΤΑ T^P [ P P... Pr ]... r... r............ r r... rr - s s.... s r Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΧΩΡΙΣ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Pi (T P, s i ) ij (si, sj) T^ P Ps - ss s ^' s k s's - ss s Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΧΩΡΙΣ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ˆ ˆ ˆ ˆ k T ˆ k Ν T k k k E Ν σφάλμα πρόγνωσης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ l i t i e i μέτρηση=σήμα +θόρυβος s T ss s ε T εε ε miimum συνθήκη ελαχιστοποίησης ll tt te et ee ll tt ee sˆ sl ll l sl tt ee l sˆ st tt ee l Ε ss ss st ll ts Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ sˆ sl ll l sl tt ee l sˆ st tt ee l Ε ss ss st ll ts Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ l i t i e i Στάδιο : Πίνακας παρατηρήσεων T l [... i ξ...ξ j η...η k ] Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ l i t i e i Στάδιο : Πίνακας συμμεταβλητοτήτων σημάτων tt i ξ ξ j η η k i ii ξ i ξ ji η i η ki ξ ξ i ξξ ξξ j η ξ η ξ k ξ j ξ i j ξξ j ξξ jj ηξ j η ξ k j η η i ξη ξη j ηη ηη k η k η ik ξη k ξη jk ηη k ηη kk Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Στάδιο 3: Πίνακας συμμεταβλητοτήτων σφαλμάτων (συσχετισμένα σφάλματα) D...D i.... D i D ξ...d ii...dξ i.... D ξ j...d ξ j D η...dη i.... D η k...dη ki D ξ...dξ j.... D ξ i D ξξ...d ξ ij...dξξ j.... D ξξ j...dξξ jj D ηξ...dηξ j.... D ηξ k...dηξ kj D η...dη k.... D η i D ξη...d η ik...dξη k.... D ξη j...dξη jk D ηη...dηη k.... D ηη k...dηη kk Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Στάδιο 3: Πίνακας συμμεταβλητοτήτων σφαλμάτων (ασυσχέτιστα σφάλματα) ee m m 0 m ξ m ξ 0 m η m η Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Στάδιο 4: Υπολογισμός πίνακα b b = ( ss + ) - l Στάδιο 5: Υπολογισμός συμμεταβλητοτήτων ανάμεσα στα σημεία πρόγνωσης και τα σημεία των δεδομένων s' l [ g ] P... g Pi ξ P... ξ Pj η P... η Pk Στάδιο 6: Πρόγνωση υψομέτρων γεωειδούς ^ P s' l b m t = b t ( s' l ) t Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ k D g Στάδιο : Διάνυσμα παρατηρήσεων,..., T Διάνυσμα σημάτων πρόγνωσης ˆ k ˆ, ˆ,..., ˆ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Πίνακας συμμ. ανάμεσα στα σημεία των δεδομένων και τα σημεία πρόγνωσης.................. k k... k Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Πίνακας συμμ. ανάμεσα στα σημεία των δεδομένων..................... Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΣΦΑΛΜΑΤΑ Πίνακας συμμ. σφαλμάτων των δεδομένων D m.. m Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΗΜΕΙΑΚΗΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ Κατανομή δεδομένων τυχαία ή σε πλέγμα Πρόγνωση σε τυχαία σημαία ή σε πλέγμα Αποτέλεσμα ανεξάρτητο από τον αριθμό των σημείων πρόγνωσης Δεδομένα και προσδιοριζόμενα σήματα μπορεί να είναι ετερογενείς παρατηρήσεις Βέλτιστη λύση, ακριβέστερη από οποιαδήποτε άλλη γραμμική προσέγγιση Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ l AX s l (rx) s (rx) (rx) πίνακας των μετρήσεων πίνακας των σημάτων πίνακας των θορύβων Χ (mx) πίνακας των παραμέτρων Α (rxm) γνωστός πίνακας, που εκφράζει τη σχέση μεταξύ μετρήσεων και παραμέτρων Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ X^ ( ) A T A A T - l ^' s s' l - (l AX) E s's' ll s' l - ls' H A ( A ) T - - - A A T H T H s'l - Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ αποτέλεσμα ανεξάρτητο από τον αριθμό των σημείων πρόγνωσης παρατηρήσεις και σήματα μπορεί να είναι ετερογενείς ποσότητες είναι η άκριβέστερη λύση από οποιαδήποτε άλλη γραμμική προσέγγιση Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ K(P i,p j ) = π 8π λ=0 π θ=0 π α=0 T P' T Q' siθ dθ dλ dα M(T) 4π σ T dσ 0 (P i,p j ) = π 8π λ=0 π θ=0 π α=0 P' Q' siθ dθ dλ dα Εικόνα 5 (P,Q) M{ P' Q' } (d) M{ P' Q' } P'Q' Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ K(P, Q) 0 R r r P B Q P (cos ) συντελεστές μεταβλητότητας διαταρακτικού δυναμικού s R B r P r Q R B σφαίρα του Bjerhammar s R B R K(P,Q) 0 R r r P B Q P (cos ) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ (P,Q) 0 c s P (cos ) c συντελεστές μεταβλητότητας ανωμαλιών βαρύτητας Συναρτήσεις συμμεταβλητότητας μέσων τιμών ανωμαλιών βαρύτητας (P,Q) 0 c s P (cos ) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ (ψ) - - A i A j i j i;j=;.. A i A j i,j=,.. Α i, A j εμβαδά διαμερισμάτων μέσων τιμών (ψ) - - i j i,j=,.. ισεμβαδικά διαμερίσματα ψ Δψ ψ ij ψ Δψ κλάσεις της συνάρτησης συμμεταβλητότητας Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ μεταβλητότητα (variace) o i= i μήκος συσχέτισης (correlatio legth) (ξ) o συντελεστής καμπυλότητας (curvature parameter) χ κ ξ o Εικόνα 6 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04,ψ,r K r T,T T r r T - γ T K r r 4 r K r r K r r r K K r r K r r K r r Κ γ γ γ K, ΝΟΜΟΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΩΝ

ΝΟΜΟΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΩΝ Συνδυασμός σημειακής προσαρμογής και ολοκλ. μεθόδου Stokes περιοχή σ + σ εσωτ εξωτ * R max m cosmλ Sm simλ Pm(siφ) m 0 ψ εξ σ Ρ ψ εσ σ εσωτερική ζώνη σ Τ D (σ ) res res obs pot Εικόνα 7 g max * pot γ ( ) m cosmλ Sm simλ Pm(siφ) m 0 εξωτερική ζώνη σ R εξωτ gobs g 4πγ pot S(ψ)dσ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΑΣΚΗΣΗ A R 4πG 3 i obs S i ψ dφdλ i 3 4 5 6 7 8 ψ 0 05-89. -94.3-94.8-93.0 0 0-8.8-8.7-89.7-9.0-96.5-94.9-89.5-77.4 0 0-74.5-83.8-85.0-88.0-89.7-95.3-96. -88.8 Εικόνα 8 i 9 0 3 4 5 6 ψ 0 05 0 0-79.9-85.4-88. -84.0 0 0-69. -63.8-64. -6.5-59.0-75.5-74. -7.5 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΛΥΣΗ Εμβαδόν διαμερισμάτων πρώτου τομέα (τεταρτοκύκλια) = πr / 4 r 0.05 Τα εμβαδά των διαμερισμάτων των δύο άλλων τομέων ~ dφ dλ dφ dλ 0.05 4 διαμερίσματα ου τομέα διαμερίσματα ου τομέα 6 διαμερίσματα 3ου τομέα ψ 0.05 S ψ 89.0334 ψ 0.075 S ψ 3.75 ψ 0.5 S ψ 9.749 Συνάρτηση Stokes A 3.78m Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΑΣΚΗΣΗ Δεδομένα - Ανωμαλίες ελευθέρου αέρα Σημείο φ λ H m gal 39.00.00 0.00 0.058 39.00.00 0.00 0.064 3 39.5.70 0.00 0.05 4 39.50.50 0.00 0.074 5 39.75.5 0.00 0.088 6 39.80.50 0.00 0.03 7 39.90.90 0.00 0.09 8 39.0.70 0.00 0.077 9 39.0.30 0.00 0.06 0 39.75.75 0.00 0.00 Σημεία (σταθμοί) που θα γίνει πρόγνωση υψομέτρων γεωειδούς Σημείο φ λ H m 39.50.50 0.00 39.70.40 0.00 3 39.0.50 0.00 4 39.40.80 0.00 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ As L l A γ R s l t s L st s L- st t cosψ siφ siφ i j cosφ cosφ i j cos(λ i - λ j ) γ Σταθερές 980.546 mgal A s 0.99967 R 637000m /600.0575 6gal Δεδομένα l 3 4 5 6 7 8 9 0 T Άγνωστες ποσότητες (υψόμετρα γεωειδούς) ˆ ˆ ˆ 3 4 ˆ ˆ T Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04 0 0 0 0 0 0 ll 0 0 gal.00 0.03 0.03 0. 0. 0.05 0.07 0.04 0.03 0.0 0.03.00 0.06 0.0 0.03 0.04 0.06 0.07 0.04 0.07 0.03 0.06.00 0.0 0.03 0.03 0.05 0.4 0.08 0.04 0. 0.0 0.0.00 0.07 0.04 0.04 0.03 0.0 0.0 0. 0.03 0.03 0.07.00 0. 0.07 0.04 0.0 0.0 0.05 0.04 0.03 0.04 0..00 0.07 0.03 0.0 0.03 0.07 0.06 0.05 0.04 0.07 0.07.00 0.07 0.03 0.03 0.04 0.07 0.4 0.03 0.04 0.03 0.07.00 0.06 0.03 0.03 0.04 0.08 0.0 0.0 0.0 0.03 0.06.00 0.03 0.0 0.07 0.04 0.0 0.0 0.03 0.03 0.03 0.03.00 l l.03.0.0.0.09.04.05.03.0.0.0.0.05.0.0.03.05.05.0.06.0.05.03.0.0.0.03.3.07.03.0.0.0.0.05.03.03.0.0.0.0.0.0.05.03.0.05.0.0.0.04.03.0.03.0.0.05.0.0.0.05.05.03.03.05.05.0.06.0.0.03.05.0.0.0.0.06.03.05.0.0.0.07.0.0.0.0.05.0.0.0.06.03.0.0.0.0.0.0.0 - l l ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΩΝ-ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

4 0 4 4 b 0 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 4 - ll l 0 0 b.04.045.078.044.063.074.069.048.038.070 0.39 9.93.8 0.0 0.39 9.70.8.3 0. 0.93 3.54 3.46 7.6.94.7.57.05 4.09 0.59 0.73.7 4.08 0.5.5 0.94.30 9.93 0.93.33 0.35 3.7.09.89 0.93 3.65.9.05.38 0.59.79 ˆ l ll ˆ ˆ ˆ ˆ 3 4 6.86 6.76 6.60 6.6 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 03-04

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνες,, 3, 4, 5, 6, 7, 8: Αραμπέλος Δ και Τζιαβός ΗΝ (007) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 009-00

Σημείωμα Αναφοράς opyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Ηλίας Τζιαβός Γεώργιος Βέργος. «Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας. Προσδιορισμός Γεωειδούς με Ολοκληρωματικές, Στοχαστικές και Φασματικές Μεθόδους». Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ors374/. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 009-00

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης reative ommos Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [] http://creativecommos.org/liceses/by-sa/4.0/ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 009-00

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δαλάκης Νικόλαος Θεσσαλονίκη, 6/9/04 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 009-00

ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 009-00

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 009-00