Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη στρατηγική του παίκτη i που να είναι προτιμότερη για τον i για όλα τα πιθανά προφίλ στρατηγικών των υπολοίπων παικτών. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 2 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη στρατηγική του παίκτη i που να είναι προτιμότερη για τον i για όλα τα πιθανά προφίλ στρατηγικών των υπολοίπων παικτών. Ψάξαμε για κυριαρχούμενες στρατηγικές ανάμεσα στις αμιγείς στρατηγικές των παικτών συγκρίνοντας μία μία την κάθε αμιγή στρατηγική του i με τις υπόλοιπες αμιγείς στρατηγικές του. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 2 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη στρατηγική του παίκτη i που να είναι προτιμότερη για τον i για όλα τα πιθανά προφίλ στρατηγικών των υπολοίπων παικτών. Ψάξαμε για κυριαρχούμενες στρατηγικές ανάμεσα στις αμιγείς στρατηγικές των παικτών συγκρίνοντας μία μία την κάθε αμιγή στρατηγική του i με τις υπόλοιπες αμιγείς στρατηγικές του. Ωστόσο μια μεικτή στρατηγική ενδέχεται να είναι κυριαρχούμενη από μια μεικτή στρατηγική. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 2 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη στρατηγική του παίκτη i που να είναι προτιμότερη για τον i για όλα τα πιθανά προφίλ στρατηγικών των υπολοίπων παικτών. Ψάξαμε για κυριαρχούμενες στρατηγικές ανάμεσα στις αμιγείς στρατηγικές των παικτών συγκρίνοντας μία μία την κάθε αμιγή στρατηγική του i με τις υπόλοιπες αμιγείς στρατηγικές του. Ωστόσο μια μεικτή στρατηγική ενδέχεται να είναι κυριαρχούμενη από μια μεικτή στρατηγική. Δείτε το παρακάτω παίγνιο: Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 2 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη στρατηγική του παίκτη i που να είναι προτιμότερη για τον i για όλα τα πιθανά προφίλ στρατηγικών των υπολοίπων παικτών. Ψάξαμε για κυριαρχούμενες στρατηγικές ανάμεσα στις αμιγείς στρατηγικές των παικτών συγκρίνοντας μία μία την κάθε αμιγή στρατηγική του i με τις υπόλοιπες αμιγείς στρατηγικές του. Ωστόσο μια μεικτή στρατηγική ενδέχεται να είναι κυριαρχούμενη από μια μεικτή στρατηγική. Δείτε το παρακάτω παίγνιο: Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 2 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 Στο παίγνιο ο στήλη δεν έχει κυριαρχούμενη στρατηγική σε αμιγείς στρατηγικές. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 3 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 Στο παίγνιο ο στήλη δεν έχει κυριαρχούμενη στρατηγική σε αμιγείς στρατηγικές.θα πρέπει τώρα να σας είναι προφανές αυτό. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 3 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 Στο παίγνιο ο στήλη δεν έχει κυριαρχούμενη στρατηγική σε αμιγείς στρατηγικές.θα πρέπει τώρα να σας είναι προφανές αυτό. Ωστόσο, η στρατηγική Μ είναι κυριαρχούμεη από τη μεικτή στρατηγική 1 2 Α, 1 2 Δ. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 3 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 Στο παίγνιο ο στήλη δεν έχει κυριαρχούμενη στρατηγική σε αμιγείς στρατηγικές.θα πρέπει τώρα να σας είναι προφανές αυτό. Ωστόσο, η στρατηγική Μ είναι κυριαρχούμεη από τη μεικτή στρατηγική 1 2 Α, 1 2 Δ. Δηλαδή ο στήλη προτιμάει να παίξει Α με πιθανότητα q = 1/2 και Δ με πιθανότητα 1 q = 1/2 από το να παίζει Μ. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 3 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 Στο παίγνιο ο στήλη δεν έχει κυριαρχούμενη στρατηγική σε αμιγείς στρατηγικές.θα πρέπει τώρα να σας είναι προφανές αυτό. Ωστόσο, η στρατηγική Μ είναι κυριαρχούμεη από τη μεικτή στρατηγική 1 2 Α, 1 2 Δ. Δηλαδή ο στήλη προτιμάει να παίξει Α με πιθανότητα q = 1/2 και Δ με πιθανότητα 1 q = 1/2 από το να παίζει Μ. Για να το δείτε συγκρίνετε τις αποδόσεις της μεικτής στρατηγικής που περιγράψαμε με τις αποδόσεις της στρατηγικής Μ, για τις πιθανές στρατηγικές του στήλη: Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 3 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 Στο παίγνιο ο στήλη δεν έχει κυριαρχούμενη στρατηγική σε αμιγείς στρατηγικές.θα πρέπει τώρα να σας είναι προφανές αυτό. Ωστόσο, η στρατηγική Μ είναι κυριαρχούμεη από τη μεικτή στρατηγική 1 2 Α, 1 2 Δ. Δηλαδή ο στήλη προτιμάει να παίξει Α με πιθανότητα q = 1/2 και Δ με πιθανότητα 1 q = 1/2 από το να παίζει Μ. Για να το δείτε συγκρίνετε τις αποδόσεις της μεικτής στρατηγικής που περιγράψαμε με τις αποδόσεις της στρατηγικής Μ, για τις πιθανές στρατηγικές του στήλη: Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 3 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 1 2 Αν ο γραμμή παίξει Π, τότε ο στήλη παίζοντας τη μεικτή στρατηγική σ(α,δ) = { 1 2 Α, 1 2 Δ} θα έχει προσδοκώμενη χρησιμότητα EU Σ (σ(α,δ), Π) = 1 2 12 + 1 2 ( 2) = 5 > EU Σ(Μ, Π) 1 2 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 4 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 1 2 Αν ο γραμμή παίξει Π, τότε ο στήλη παίζοντας τη μεικτή στρατηγική σ(α,δ) = { 1 2 Α, 1 2 Δ} θα έχει προσδοκώμενη χρησιμότητα EU Σ (σ(α,δ), Π) = 1 2 12 + 1 2 ( 2) = 5 > EU Σ(Μ, Π) Αν πάλι ο γραμμή παίξει κάτω, τότε ο στήλη παίζοντας τη στρατηγική σ(α,δ) θα λάβει προσδοκώμενη χρησιμότητα: 1 2 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 4 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 1 2 Αν ο γραμμή παίξει Π, τότε ο στήλη παίζοντας τη μεικτή στρατηγική σ(α,δ) = { 1 2 Α, 1 2 Δ} θα έχει προσδοκώμενη χρησιμότητα EU Σ (σ(α,δ), Π) = 1 2 12 + 1 2 ( 2) = 5 > EU Σ(Μ, Π) Αν πάλι ο γραμμή παίξει κάτω, τότε ο στήλη παίζοντας τη στρατηγική σ(α,δ) θα λάβει προσδοκώμενη χρησιμότητα: EU Σ (σ(α,δ), Κ) = 1 2 0 + 1 2 10 = 5 > EU Σ(Μ, Κ) 1 2 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 4 / 9

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Α Μ Δ Π 2,12 1,1-1,-2 Κ -1,0 0,1 1,10 1 2 Αν ο γραμμή παίξει Π, τότε ο στήλη παίζοντας τη μεικτή στρατηγική σ(α,δ) = { 1 2 Α, 1 2 Δ} θα έχει προσδοκώμενη χρησιμότητα EU Σ (σ(α,δ), Π) = 1 2 12 + 1 2 ( 2) = 5 > EU Σ(Μ, Π) Αν πάλι ο γραμμή παίξει κάτω, τότε ο στήλη παίζοντας τη στρατηγική σ(α,δ) θα λάβει προσδοκώμενη χρησιμότητα: EU Σ (σ(α,δ), Κ) = 1 2 0 + 1 2 10 = 5 > EU Σ(Μ, Κ) Και άρα, ανεξαρτήτως του τί παίζει ο γραμμή, ο στήλη προτιμάει τη στρατηγική σ(α,δ) από τη στρατηγική Μ. 1 2 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 4 / 9

Μεικτές στρατηγικές Γιατί μας ενδιαφέρουν οι μεικτές στρατηγικές; Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 5 / 9

Μεικτές στρατηγικές Γιατί μας ενδιαφέρουν οι μεικτές στρατηγικές; Είναι λογικό να θεωρούμε ότι ο ένας παίκτης επιλέγει μια τυχαία μίξη ώστε να αφήνει τους υπολοίπους παίκτες αδιάφορους; Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 5 / 9

Μεικτές στρατηγικές Γιατί μας ενδιαφέρουν οι μεικτές στρατηγικές; Είναι λογικό να θεωρούμε ότι ο ένας παίκτης επιλέγει μια τυχαία μίξη ώστε να αφήνει τους υπολοίπους παίκτες αδιάφορους; Οι μεικτές στρατηγικές έχουν δεχθεί δριμύα κριτική. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 5 / 9

Μεικτές στρατηγικές Γιατί μας ενδιαφέρουν οι μεικτές στρατηγικές; Είναι λογικό να θεωρούμε ότι ο ένας παίκτης επιλέγει μια τυχαία μίξη ώστε να αφήνει τους υπολοίπους παίκτες αδιάφορους; Οι μεικτές στρατηγικές έχουν δεχθεί δριμύα κριτική. Ωστόσο λίγη σκέψη μάλλον οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν είναι τόσο παράλογο να υποθέσουμε ότι πολλές αποφάσεις λαμβάνονται στην τύχη. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 5 / 9

Μεικτές στρατηγικές Γιατί μας ενδιαφέρουν οι μεικτές στρατηγικές; Είναι λογικό να θεωρούμε ότι ο ένας παίκτης επιλέγει μια τυχαία μίξη ώστε να αφήνει τους υπολοίπους παίκτες αδιάφορους; Οι μεικτές στρατηγικές έχουν δεχθεί δριμύα κριτική. Ωστόσο λίγη σκέψη μάλλον οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν είναι τόσο παράλογο να υποθέσουμε ότι πολλές αποφάσεις λαμβάνονται στην τύχη. Επιχειρήματα έχουν αναπτυχθεί για το γιατί είναι λογικό να θεωρούμε ότι οι παίκτες κάνουν μείξεις. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 5 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Οι μεικτές στρατηγικές μπορούν να ερμηνευθούν ως μια τυχαία επιλογή ανάμεσα στις αμιγείς στρατηγικές των παικτών: Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 6 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Οι μεικτές στρατηγικές μπορούν να ερμηνευθούν ως μια τυχαία επιλογή ανάμεσα στις αμιγείς στρατηγικές των παικτών: Ο παίκτης επιλέγει δύο (ή παραπάνω) σχέδια δράσης (αμιγείς στρατηγικές). Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 6 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Οι μεικτές στρατηγικές μπορούν να ερμηνευθούν ως μια τυχαία επιλογή ανάμεσα στις αμιγείς στρατηγικές των παικτών: Ο παίκτης επιλέγει δύο (ή παραπάνω) σχέδια δράσης (αμιγείς στρατηγικές). Εν συνεχεία ρίχνει ένα νόμισμα ή ένα ζάρι ή επιλέγει οποιοδήποτε τυχαίο μηχανισμό για να αποφασίσει. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 6 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Οι μεικτές στρατηγικές μπορούν να ερμηνευθούν ως μια τυχαία επιλογή ανάμεσα στις αμιγείς στρατηγικές των παικτών: Ο παίκτης επιλέγει δύο (ή παραπάνω) σχέδια δράσης (αμιγείς στρατηγικές). Εν συνεχεία ρίχνει ένα νόμισμα ή ένα ζάρι ή επιλέγει οποιοδήποτε τυχαίο μηχανισμό για να αποφασίσει. Επιλέγει την αμιγή στρατηγική που θα παίξει ανάλογα με το αποτέλεσμα της τυχαίας ρίψης. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 6 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Οι μεικτές στρατηγικές μπορούν να ερμηνευθούν ως μια τυχαία επιλογή ανάμεσα στις αμιγείς στρατηγικές των παικτών: Ο παίκτης επιλέγει δύο (ή παραπάνω) σχέδια δράσης (αμιγείς στρατηγικές). Εν συνεχεία ρίχνει ένα νόμισμα ή ένα ζάρι ή επιλέγει οποιοδήποτε τυχαίο μηχανισμό για να αποφασίσει. Επιλέγει την αμιγή στρατηγική που θα παίξει ανάλογα με το αποτέλεσμα της τυχαίας ρίψης. Οταν ένας παίκτης επιλέγει έτσι, γίνεται απρόβλεπτος. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 6 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Οι μεικτές στρατηγικές μπορούν να ερμηνευθούν ως μια τυχαία επιλογή ανάμεσα στις αμιγείς στρατηγικές των παικτών: Ο παίκτης επιλέγει δύο (ή παραπάνω) σχέδια δράσης (αμιγείς στρατηγικές). Εν συνεχεία ρίχνει ένα νόμισμα ή ένα ζάρι ή επιλέγει οποιοδήποτε τυχαίο μηχανισμό για να αποφασίσει. Επιλέγει την αμιγή στρατηγική που θα παίξει ανάλογα με το αποτέλεσμα της τυχαίας ρίψης. Οταν ένας παίκτης επιλέγει έτσι, γίνεται απρόβλεπτος. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 6 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Μπορούμε να δικαιολογήσουμε τη χρήση μεικτών στρατηγικών με αυτόν τον τρόπο; Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 7 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Μπορούμε να δικαιολογήσουμε τη χρήση μεικτών στρατηγικών με αυτόν τον τρόπο; Τενίστες επιλέγουν που θα στείλουν το service. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 7 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Μπορούμε να δικαιολογήσουμε τη χρήση μεικτών στρατηγικών με αυτόν τον τρόπο; Τενίστες επιλέγουν που θα στείλουν το service. Ο αντίπαλος δεν ξέρει που να σταθεί για να απαντήσει και άρα δυσκολεύεται η υποδοχή. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 7 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Μπορούμε να δικαιολογήσουμε τη χρήση μεικτών στρατηγικών με αυτόν τον τρόπο; Τενίστες επιλέγουν που θα στείλουν το service. Ο αντίπαλος δεν ξέρει που να σταθεί για να απαντήσει και άρα δυσκολεύεται η υποδοχή. Μπορεί ένας παίκτης να αποφασίζει την αμιγή του στρατηγική επιλέγοντας με κριτήριο κάτι που ο αντίπαλος δε μπορεί να δει (π.χ. αν ο επόπτης πίσω από τον αντίπαλο έστριψε αριστερά ή δεξιά το κεφάλι του). Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 7 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως επιλογή στην τύχη Μπορούμε να δικαιολογήσουμε τη χρήση μεικτών στρατηγικών με αυτόν τον τρόπο; Τενίστες επιλέγουν που θα στείλουν το service. Ο αντίπαλος δεν ξέρει που να σταθεί για να απαντήσει και άρα δυσκολεύεται η υποδοχή. Μπορεί ένας παίκτης να αποφασίζει την αμιγή του στρατηγική επιλέγοντας με κριτήριο κάτι που ο αντίπαλος δε μπορεί να δει (π.χ. αν ο επόπτης πίσω από τον αντίπαλο έστριψε αριστερά ή δεξιά το κεφάλι του). Για τον αντίπαλο η επιλογή αυτή ισοδυναμή με τυχαία διότι εξαρτάται από κάτι που ο ίδιος δε μπορεί να παρατηρήσει. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 7 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως συχνότητα (Nash: Διδακτορική διατριβή (1950) ) Δεν είναι ανάγκη να θεωρήσουμε ότι οι παίκτες έχουν πλήρη γνώση των παιγνίων. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 8 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως συχνότητα (Nash: Διδακτορική διατριβή (1950) ) Δεν είναι ανάγκη να θεωρήσουμε ότι οι παίκτες έχουν πλήρη γνώση των παιγνίων. Μπορεί οι συμμετέχουντες απλά να μαζεύουν εμπειρική γνώση σχετικά με την αξία των διαφορετικών αμιγών κινήσεών τους. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 8 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως συχνότητα (Nash: Διδακτορική διατριβή (1950) ) Δεν είναι ανάγκη να θεωρήσουμε ότι οι παίκτες έχουν πλήρη γνώση των παιγνίων. Μπορεί οι συμμετέχουντες απλά να μαζεύουν εμπειρική γνώση σχετικά με την αξία των διαφορετικών αμιγών κινήσεών τους. Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας πληθυσμός συμμετεχόντων για μια θέση στο παίγνιο. Ας πούμε ότι υπάρχει μια μέση συχνότητα με την οποία τα μέλη του πληθυσμού παίζουν τις αμιγείς στρατηγικές. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 8 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως συχνότητα (Nash: Διδακτορική διατριβή (1950) ) Δεν είναι ανάγκη να θεωρήσουμε ότι οι παίκτες έχουν πλήρη γνώση των παιγνίων. Μπορεί οι συμμετέχουντες απλά να μαζεύουν εμπειρική γνώση σχετικά με την αξία των διαφορετικών αμιγών κινήσεών τους. Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας πληθυσμός συμμετεχόντων για μια θέση στο παίγνιο. Ας πούμε ότι υπάρχει μια μέση συχνότητα με την οποία τα μέλη του πληθυσμού παίζουν τις αμιγείς στρατηγικές. Αφού δεν υπάρχει κατά κανόνα επικοινωνία μεταξύ των συμμετεχόντων, η πιθανότητα να πέσεις πάνω σε έναν αντίπαλο που παίζει π.χ. αριστερά εξαρτάται από τη συχνότητα παικτών που παίζουν αριστερά στον πληθυσμό. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 8 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως συχνότητα (Nash: Διδακτορική διατριβή (1950) ) Δεν είναι ανάγκη να θεωρήσουμε ότι οι παίκτες έχουν πλήρη γνώση των παιγνίων. Μπορεί οι συμμετέχουντες απλά να μαζεύουν εμπειρική γνώση σχετικά με την αξία των διαφορετικών αμιγών κινήσεών τους. Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας πληθυσμός συμμετεχόντων για μια θέση στο παίγνιο. Ας πούμε ότι υπάρχει μια μέση συχνότητα με την οποία τα μέλη του πληθυσμού παίζουν τις αμιγείς στρατηγικές. Αφού δεν υπάρχει κατά κανόνα επικοινωνία μεταξύ των συμμετεχόντων, η πιθανότητα να πέσεις πάνω σε έναν αντίπαλο που παίζει π.χ. αριστερά εξαρτάται από τη συχνότητα παικτών που παίζουν αριστερά στον πληθυσμό. Συνεπώς η μεικτή στρατηγική είναι σα να συναντιούνται τυχαία διαφορετικά άτομα από έναν πληθυσμό. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 8 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως παίνγιο με ελλιπή πληροφόρηση όταν η αβεβαιότητα τείνει να εξαφανιστεί Ο νομπελίστας John Harsanyi το 1973 έδωσε μια διαφορετική ερμηνεία στις μεικτές στρατηγικές. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 9 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως παίνγιο με ελλιπή πληροφόρηση όταν η αβεβαιότητα τείνει να εξαφανιστεί Ο νομπελίστας John Harsanyi το 1973 έδωσε μια διαφορετική ερμηνεία στις μεικτές στρατηγικές. Εδειξε σε ένα άρθρο του στο International journal of game theory ότι οι μεικτές ισορροπίες μπορούν να παρουσιαστούν ως ισορροπίες σε αμιγείς στρατηγικές σε ένα παίγνιο στο οποίο υπάρχει αβεβαιότητα του ενός παίκτη για τις αποδόσεις των άλλων. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 9 / 9

Μεικτές στρατηγικές ως παίνγιο με ελλιπή πληροφόρηση όταν η αβεβαιότητα τείνει να εξαφανιστεί Ο νομπελίστας John Harsanyi το 1973 έδωσε μια διαφορετική ερμηνεία στις μεικτές στρατηγικές. Εδειξε σε ένα άρθρο του στο International journal of game theory ότι οι μεικτές ισορροπίες μπορούν να παρουσιαστούν ως ισορροπίες σε αμιγείς στρατηγικές σε ένα παίγνιο στο οποίο υπάρχει αβεβαιότητα του ενός παίκτη για τις αποδόσεις των άλλων. Τέτοια παίγνια ονομάζονται Bayesian και ο Harsanyi έδειξε ότι οι μεικτές ισορροπίες είναι το όριο μιας αμιγούς ισορροπίας ενός Bayesian παιγνίου όταν η αβεβαιότητα που έχουν οι παίκτες τείνει να γίνει πολύ μικρή. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 9 / 9