Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 5. -
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 opyight ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. ights eseved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. - 5. -
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 Εκπαιδευτική Ενότητα 5 η Παραλλαγές Μηχανισμών Τριών Μελών. ΒΑΣΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΚΛΕΙΣΤΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ ΜΕΛΩΝ Y I φ Β Y Ξ O Y Α θ X φ θ Ξ O I ΞO X θ Σχήμα. Κλειστή κινηματική αλυσίδα μελών και τα αντίστοιχα σωματοπαγή συστήματα συντεταγμένων X I Η κλειστή αλυσίδα τριών μελών φαίνεται στο Σχήμα και προκύπτει από τη σύνδεση τριών στερεών μελών,, μεταξύ τους μέσω αρθρώσεων στα σημεία,,. Με τη χρήση του ομογενούς μετασχηματισμού, μπορεί προκύψει η βασική κινηματική σχέση που την χαρακτηρίζει. ) ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Χ ΙΟ ΙY Ι Ορίζεται με αρχή το σημείο Α του μηχανισμού. Ο άξονας Ο ΙΧ I ορίζεται κατά την κατεύθυνση του μέλους Α. H θέση του σημείου στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων Χ ΙΟ ΙY Ι είναι:,i = [ 0 ] () ) ΣΩΜΑΤΟΠΑΓΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Χ Ο Y Το σημείο Ο ορίζεται στην αρχή Α του πρώτου μέλους ΑΒ και ο άξονας Ο Χ ορίζεται κατά την κατεύθυνση του μέλους ΑΒ. Η μετάβαση από το Χ ΙΟ ΙY Ι στό Χ Ο Y προκύπτει από περιστροφή του Χ ΙΟ ΙY Ι περί τον άξονα Ο Ζ =Ο ΙΖ Ι κατά κατά φ. Αρα, τα μητρώα του ομογενούς μετασχηματισμού προκύπτουν: 0 0 Μεταφορά: TI, = [ 0 0] () 0 0 cosφ sinφ 0 Περιστροφή: R I, = [ sinφ cosφ 0] () 0 0-5. -
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 Μητρώο ομογενούς μετασχηματισμού: cosφ sinφ 0 Η I, = R I, T I, = [ sinφ cosφ 0] (4) 0 0 ) ΣΩΜΑΤΟΠΑΓΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Χ Ο Y Το σημείο Ο ορίζεται στην αρχή του επόμενου (δεύτερου) μέλους Β και ο άξονας Ο Χ ορίζεται κατά την κατεύθυνση του μέλους Β. Η μετάβαση από το Χ Ο Y στό Χ Ο Y προκύπτει από μία διαδοχική: ) Mεταφορά του Χ Ο Y κατά τον άξονα Ο Χ ίση με και Β) κατά μία περιστροφή περί τον άξονα Ο Ζ κατά κατά μία γωνία φ. Αρα, τα μητρώα του ομογενούς μετασχηματισμού προκύπτουν: 0 Μεταφορά: T, = [ 0 0] (5) 0 0 cosφ sinφ 0 Περιστροφή: R, = [ sinφ cosφ 0] (6) 0 0 Μητρώο ομογενούς μετασχηματισμού: cosφ sinφ Η I, = R I, T I, = [ sinφ cosφ 0 ] (7) 0 0 H θέση του σημείου στο σωματοπαγές σύστημα συντεταγμένων Χ Ο Y είναι:, = [ 0 ] (8) ) ΒΑΣΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ,I = HI,, (9) HI, = HI, H, (0) - 5.4 -
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 Απο τη βασική κινηματική σχέση (9),(0) προκύπτει: cosφ sinφ 0 cosφ sinφ [ 0] = [ sinφ cosφ 0] [ sinφ cosφ 0 ] [ 0] 0 0 0 0 cosφ cosφ sinφ sinφ cosφ sinφ sinφ cosφ cosφ [ 0 ] = [ sinφ cosφ + cosφ sinφ sinφ sinφ + cosφ sinφ sinφ ] [ 0 ] 0 0 cos(φ + φ ) sin(φ + φ ) cosφ [ 0 ] = [ sin(φ + φ ) cos(φ + φ ) sinφ ] [ 0 ] 0 0 cos(φ + φ ) + cosφ = cos(φ + φ ) + cosφ [ 0] = [ sin(φ + φ ) + sinφ ] { 0 = sin(φ + φ ) + sinφ () = Από τη γεωμετρία του τριαρθρωτού μηχανισμού (βλ. Σχήμα ), ισχύει: θ = φ π + θ = φ () θ + θ + θ = π Από την Εξ.() προκύπτει: φ + φ = π + θ + θ () θ + θ = π θ (4) Με βάση τις Εξ.(,4), ισχύει: cos(φ + φ ) = cos(π + (θ + θ )) = cos(π + (π θ )) = = cos(π θ ) = cos( θ ) = cosθ (5) sin(φ + φ ) = sin(π + (θ + θ )) = sin(π + (π θ )) = = sin(π θ ) = sin( θ ) = sinθ (6) Συνεπώς, η κίνηση ενός τριαρθρωτού μηχανισμού περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: = cosθ + cosθ (7) sinθ = sinθ (8) - 5.5 -
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05.ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ ΜΕΛΩΝ θ φ 4 θ 4 (α) 4 θ d θ (γ) (ε) φ θ φ θ (η) 5 V 4 θ (β) 5 θ d θ 4 5 4 (δ) θ θ θ 5 θ (ζ) d Σχήμα. Κινηματικές παραλλάγες κλειστής κινηματικής αλυσίδας μελών. Αύξηση βαθμών ελευθερίας με προσθήκη πρισματικών συνδέσμων ή/και την κατάργηση μελών. Σε κύκλο εικονίζονται τα στερεά σώματα που αποτελούν το μηχανισμό και με μπλε χρώμα τα μεταβαλόμενα κινηματικά μεγέθη. Η κλειστή κινηματική αλυσίδα του Σχ..α έχει μηδενικούς Β.Ε. Οι μηχανισμοί στα Σχ..β,γ έχουν Β.Ε. Οι μηχανισμοί στα Σχ..δ,.ε,.ζ,.η έχουν Β.Ε. Ο μηχανισμός στο Σχ..θ έχει Β.Ε. θ (θ) θ 6-5.6 -
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 H κλειστή κινηματική αλυσίδα που φαίνεται στο Σχήμα και στο Σχήμα.α, έχει μηδενικούς βαθμούς ελευθερίας και κατά συνέπεια δεν μπορεί ουσιαστικά να θεωρηθεί μηχανισμός. Αποτελεί όμως τη βάση για τη δημιουργία ευρείας κατηγορίας μηχανισμών με διάφορους τρόπους «χαλάρωσης» των κινηματικών περιορισμών, όπως π.χ. με τη χρήση πρισματικών συνδέσμων, οι οποίοι παρέχουν τη δυνατότητα μετακίνησης κατά μήκος ενός μέλους, ή/και την ουσιαστική κατάργηση μελών. Μερικές από τις σχετικές δυνατότητες φαίνονται στο σχ.. Σε όλες τις περιπτώσεις, η βασική κινηματική σχέση προσδιορίζεται από τις εξισώσεις (7),(8) ή απλές σχετικές παραλλαγές τους..κινηματικη ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΥ-ΔΙΩΣΤΗΡΑ θ φ α β γ Σχήμα. Μηχανισμός στρόφαλου-διωστήρα. Σε σχέση με το αντίστοιχο σχήμα.β, ο στρόφαλος είναι το μέλος (ΑΒ) ο διωστήρας το μέλος (Β) και το έμβολο είναι ο πρισματικός σύνδεσμος 4. Το μέλος έχει υποκατασταθεί από το ακίνητο (διαγραμμισμένο) πλαίσιο. Η γνωστότερη και ευρύτερα διαδεδομένη από όλες τις παραλλαγές μηχανισμών μελών είναι η μηχανισμός στρόφαλου διωστήρα με πολλές τεχνολογικές εφαρμογές. Στις μηχανές εσωτερικής καύσης, το έμβολο στην κύλνδρο της μηχανής παρέχει κίνηση στο στρόφαλο, ενώ σε παλινδρομικούς συμπιεστές συμβαίνει το αντίστροφο. Εφαρμογή της βασικής κινηματικής σχέσης (7,8) στο σχ..α οδηγεί στις εξισώσεις: = cosθ + cosφ (9) sinθ = sinφ (0) Οι εξισώσεις (8,9) περιλαμβάνουν σταθερά μεγέθη, τις διαστάσεις και του διωστήρα και μεγέθη που μεταβάλονται με το χρόνο: Τη μετακίνηση του εμβόλου, τη περιστροφή του στροφάλου θ και την γωνία του διωστήρα φ. Το σύστημα έχει Β.Ε, τον οποίο μπορούμε να επιλέξουμε ελεύθερα από τα μεγέθη, θ, φ. Συνήθως, η επιλογή γίνεται με κριτήρια τεχνολογικού ενδιαφέροντος, παρέχοντας διάφορες εναλλακτικές δυνατότητες. Α) Είσοδος (Β.Ε) γωνία στροφάλου θ, έξοδος μετατόπιση εμβόλου. Από την Εξ.(0) προκύπτει: sinφ = ( ) sinθ sin φ = ( ) sin θ -cos φ = ( ) sin θ cos φ = -( ) sin θ cosφ = ( ) sin θ () - 5.7 -
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 Αντικαθιστώντας την () στην εξίσωση (9) προκύπει: = cosθ + ( ) sin θ () φ = sin ( sin θ) () Οι σχέσεις (,) είναι μη γραμμικές, και χρειάζεται συστηματική διερεύνηση των λύσεων τους σε σχέση με τις τιμές της γωνίας εισόδου θ και των διαστάσεων, των σταθερών μελών του μηχανισμού. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται κινηματική ανάλυση/διερεύνηση μηχανισμού. Οταν ο στρόφαλος εκτελεί πλήρη περιστροφή, η γωνία θ παίρνει τιμές από 0 έως π. Για να υπαρχει λύση για κάθε τιμή της γωνίας θ πρέπει: -( ) sin θ 0 ( ) sin θ (4) H μέγιστη τιμή στο δεξί μέλος προκύπτει για για θ = ± π (sinθ = ±), οπότε: ( ) (5) η οποία είναι η βασική συνθήκη μεταξύ των μελών του μηχανισμού για να μπορεί να εκτελεί πλήρη περιστροφή. Οι θέσεις του μηχανισμού για ακραίες χαρακτηριστικές τιμές της γωνίας θ φαίνονται στο σχ. 4. Ο στρόφαλος διαγράφει κύκλο με ακτίνα και το έμβολο πραγματοποιεί συνολική διαδρομή d=. Στο σχήμα φαίνεται εναλλακτικά και με γεωμετρική παράσταση ο λόγος για τον οποίο πρέπει στη θέση θ=±π/. Ιδαίτερη σημασία έχει η ανάλυση και ακριβής αποτύπωση του τμήματος του χώρου στον οποίο μπορούν να κινηθούν τα μέλη του μηχανισμού στο σύνολο της τροχιάς τους (Χώρος εργασίας μηχανισμού). Ο χώρος εργασίας του μηχανισμού στρόφαλου διωστήρα φαίνεται με πράσινο χρώμα στο Σχ. 4. Ο χώρος εργασίας έχει μεγάλη σημασία, τόσο για τον έλεγχο της ορθής λειτουργικής συμπεριφοράς του μηχανισμού, όσο και για την αποφυγή συγκρούσεων των μελών του μηχανισμού με άλλα κινούμενα ή ακίνητα μέλη. Στην περιπτωση κατά την οποία >, ο μηχανισμός δεν μπορεί να εκτελέσει πλήρη περιστροφή, αλλά μόνο παλινδορμική κίνηση, με μέγιστο πλάτος γωνίας στροφάλου θ max: sin(θ max)= / (6) Η ακραία αυτή περίπτωση φαίνεται στο σχ. 5 και ονομάζεται και θέση κλειδώματος, επειδή εκεί ο μηχανισμός μπορεί να μπλοκάρει, δεδομένου ότι ο διωστήρας ασκεί δύναμη κάθετα στην τροχιά του εμβόλου και κατά συνέπεια δεν μπορεί να το μετακινήσει. - 5.8 -
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 θ=90 0 θ=80 0 Σχήμα 4. Ακραίες θέσεις και χώρος εργασίας μηχανισμού στρόφαλου-διωστήρα. θ max Σχήμα 5. Ακραία θέση (θέση κλειδώματος ) μηχανισμού στρόφαλου-διωστήρα για μήκος στροφάλου μεγαλύτερο από το μήκος του διωστήρα. Ο μηχανισμός μπορεί να κάνει μόνο παλινδρομική κίνηση με μέγιστο πλάτος γωνίας στροφάλου θ max. - 5.9 -
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 Β) Είσοδος (Β.Ε) μετατόπιση εμβόλου, έξοδος γωνία στροφάλου θ. Από τις σχέσεις (9),(0) προκύπτει: cosφ = cosθ (7) sinφ = sinθ (8) Υψώνοντας στο τετράγωνο κάθε μία από τις εξισώσεις (7) και (8)και προσθέτοντας κατά μέλη, προκύπτει: = + cos θ cosθ + sin θ = + cosθ cosθ = + (9) Και στην πρίπτωση αυτή, η βασική κινηματική διερεύνση της περίπτωσης Α) και τα συμπεράσματά της εξακολουθούν να ισχύουν. 4.ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΥ/ΔΙΩΣΤΗΡΑ Πολλές ενδιαφέρουσες τεχνολογικές παραλλαγές του μηχανισμού στρόφαλου διωστήρα, προκύπτουν αν θεωρήσουμε π.χ. μεταβλητό το μήκος του του στροφάλου, ή του διωστήρα ή θεωρήσουμε ακίνητο το έμβολο. Οι περιπτώσεις αυτές ονομάζονται «αντιστροφές» του μηχανισμού. Μια τέτοια ενδιαφέρουσα περίπτωση εικονίζεται στο Σχ..γ και καλύτερα στο Σχ. 6 θ φ d Σχήμα 6. Μηχανισμός Γενεύης (σχ. γ) σαν «αντιστροφή» του μηχανισμού στρόφαλου διωστήρα, με «διωστήρα» μεταβλήτού μήκους. Εφαρμογή της βασικής κινηματικής σχέσης (7,8) στο σχ. 6α οδηγεί στις εξισώσεις: d = cosθ + cosφ (0) 0 = sinθ sinφ () Θεωρώντας σαν είσοδο (Β.Ε.) τη γωνία περιστροφής θ, προκύπτει: cosφ = d cosθ () sinφ = sinθ () - 5.0 -
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 Yψώνοντας στο τετράγωνο κάθε μία από τις (),() και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει: = (d cosθ) + (sinθ) = + d dcosθ (4) Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (),() προκύπτει: tan φ = sinθ d cosθ (5) Εαν η διαδρομή έχει πεπερασμένο μήκος, οι γωνίες θ και φ έχουν πεπερασμένες τιμές. Αυτό συνεπάγεται ότι η κίνηση του δεύτερου τροχού είναι τμήμα της περιστροφής. Αυτός ο τρόπος λειτουργίας οδηγεί σε μία ευερεία κατηγορία μηχανισμών «διακοπτόμενης κίνησης» (intemittent motion), με εφαρμογές στην ωρολογοποιία αλλά και σε τοποθέτηση αντικειμένων, όπως π.χ. σε εργαλειομηχανές ή μηχανές συσκευασίας (indexing mechanisms). Η σχέσεις (4,5) αποτελούν τη βάση για τον προσδιορισμό των διαστάσεων και το σχεδιασμό τέτοιων μηχανισμών. - 5. -