Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC i, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. Process P i : PC i,1 ch i mod n! id[i]; PC i,2 while true do PC i,3 ch i-1? m; PC i,4 if (m == id[i]) break PC i,5 if (m > id[i]) then ch i mod n! m; (*) PC i,6 endwhile Ο γράφος μεταβάσεων δίνεται από την πλειάδα (V, S, T, p) όπου V = {PC i,, m i, ch i 1 i [1,n] } Γράφουμε m i για την τοπική μεταβλητή m της διεργασίας Ρ i ενώ μοντελοποιούμε τα κανάλια ως τις μεταβλητές ch i οι οποίες παίρνουν ως τιμές ακολουθίες της μορφής x 1,,x j. Σε αυτές τις ακολουθίες θεωρούμε ότι το στοιχειό x j βρίσκεται στην κορυφή της ουράς και το x 1 στο τέλος της ουράς. Οι πράξεις πιο κάτω, και σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης, υλοποιούν πολιτική FIFO. S = σύνολο όλων των δυνατών αναθέσεων τιμών στις πιο πάνω μεταβλητές Τ = { T i,1 : PC i =PC i,1 ch i mod n = x 1,,x j (PC i,1, ch i mod n ) := (PC i,2, id[i],x 1,,x j ), T i,2 : PC i = PC i,2 PC i := PC i,3, T i,3 : PC i = PC i,3 ch i 1 = x 1,,x j (PC i, m i, ch i 1 ) := (PC i,4, m i = x j, x 1,,x j 1 ), T i,4 : PC i = PC i,4 m i ==id[i] PC i := PC i,6, T i,5 : PC i = PC i,4 m i!=id[i] PC i := PC i,5, T i,6 : PC i = PC i,5 m i >id[i] ch i mod n = x 1,,x j (PC i, ch i mod n ) := (PC i,2, m i, x 1,,x j ) 1 i n } p PC 1 =PC 1,1 PC n =PC n,1 ch 0 = =ch n 1 = m 1 = =m n =null (β) Tο σύστημα μεταβάσεων αποτελείται από πλειάδες (P 1, P 2, P 3, a 1, a 2, a 3, q 0, q 1, q 2 ) που αναφέρονται στις τιμές των μεταβλητών (PC 1, PC 2, PC 3, m 1, m 2, m 3, ch 0, ch 1, ch 2 ) που ισχύουν στην κάθε κατάσταση. Ένα μονοπάτι που παρουσιάζει την εκτέλεση του πρωτοκόλλου μέχρις ότου τουλάχιστον μια διεργασία να τρέξει τη γραμμή (*) του κώδικα είναι το εξής: (PC 1,1, PC 2,1, PC 3,1,,,,,, ) (PC 1,2, PC 2,1, PC 3,1,,,,, 1, ) (PC 1,2, PC 2,2, PC 3,1,,,,, 1, 2 ) (PC 1,2, PC 2,2, PC 3,2,,,, 3, 1, 2 ) (PC 1,3, PC 2,3, PC 3,3,,,, 3, 1, 2 ) (PC 1,4, PC 2,3, PC 3,3, 3,,,, 1, 2 ) Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Εαρινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 1
(PC 1,5, PC 2,3, PC 3,3, 3,,,, 1, 2 ) (PC 1,1, PC 2,3, PC 3,3, 3,,,, 3,1, 2 ) (γ) Από τη μελέτη του γράφου μεταβάσεων στο μέρος (α) οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι οι διεργασίες προωθούν μηνύματα/αναγνωριστικά που λαμβάνουν εφόσον αυτά είναι μεγαλύτερα από το αναγνωριστικό τους. Προφανώς μόνο το μεγαλύτερο αναγνωριστικό θα καταφέρει να επιβιώσει κατά την προώθησή του μέσα στον κύκλο και επομένως όταν ένα αναγνωριστικό επιστρέψει στη διεργασία που το κατέχει, αυτό πρέπει να είναι το μεγαλύτερο αναγνωριστικό, δηλαδή, η συγκεκριμένη διεργασία πρέπει να είναι ο αρχηγός. Άσκηση 2 (α) Το φανάρι δεν θα είναι ποτέ κόκκινο και κίτρινο ταυτόχρονα. G (red yellow) (β) Αν τo φανάρι γίνεται πράσινο απείρως συχνά τότε θα γίνεται κόκκινο απείρως συχνά και κίτρινο απείρως συχνά. G F green ( G F red G F yellow) (γ) Το φανάρι θα επαναλαμβάνει την πιο κάτω εναλλαγή χρωμάτων κόκκινο κόκκινο κίτρινο πράσινο κίτρινο. red Χ red G[ (red X red XX yellow) (yellow X green) (green X red XX red) ] (δ) Αν κάποια στιγμή το φανάρι είναι πράσινο τότε προηγούμενα θα πρέπει σε κάποια στιγμή να υπήρξε κόκκινο και σε κάποια στιγμή κίτρινο. F green [( green U red green ) ( green U yellow green ) ] (ε) Το φανάρι εναλλάσσεται ανάμεσα στα χρώματα κόκκινο, πράσινο και κίτρινο με αυτή τη σειρά έτσι ώστε κάθε χρώμα να διατηρείται σε τουλάχιστον μια κατάσταση ή και περισσότερες. red G(red X (red green)) G(green X (green yellow)) G(yellow X (yellow red)) Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Εαρινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 2
GF red GF green GF yellow (στ) Το φανάρι εναλλάσσεται ανάμεσα στα χρώματα κόκκινο, κίτρινο, πράσινο και κίτρινο με αυτή τη σειρά έτσι ώστε κάθε χρώμα να διατηρείται σε τουλάχιστον μια κατάσταση ή και περισσότερες. red G(red red U (yellow yellow U (green green U (yellow yellow U red)))) Άσκηση 3 {q} 3 4 5 {p,q,s} {p} 1 2 {q,s} i. F G q 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 12222.. ii. G F s 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 12222.. iii. X s GF q 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 12222 2. Η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα. Όλα τα μονοπάτια που ξεκινούν από την κατάσταση 1 θα περνούν από τις καταστάσεις 2, 4 ή 5 απείρως συχνά. Οι καταστάσεις αυτές ικανοποιούν το q με αποτέλεσμα αυτό να ικανοποιείται πάντα στο μέλλον iv. (p X q) U s 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 1222222... 2. Η δομή δεν ικανοποιεί την ιδιότητα αφού υπάρχει περίπτωση το s να μην ικανοποιηθεί, π.χ. 143143 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Εαρινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 3
v. F [ p X q] 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 142222 2. Η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα αφού η αρχική κατάσταση ικανοποιεί την ιδιότητα. vi. F [ p X p] 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 14545 2. Η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα αφού η αρχική κατάσταση ικανοποιεί την ιδιότητα. vii. F (p U q) F (p q) 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 14545 Άσκηση 4 i. G F G φ F G φ Οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες. Ακολουθεί η απόδειξη: Έστω μονοπάτι s. Τότε s G F G φ ανν 0 s i F G φ ανν 0, s i+j Gφ ανν 0,, 0 s i+j+k φ ανν, 0 s j+k φ ανν s F G φ ii. G F G φ G F φ Η ισοδυναμία δεν ισχύει. Αντιπαράδειγμα: { } {φ} Στην πιο πάνω δομή ικανοποιείται το δεξί μέλος της ισοδυναμίας ενώ το αριστερό μέλος δεν ικανοποιείται. iii. φ U ψ F ψ (φ X(φ U ψ)) Η ισοδυναμία δεν ισχύει. Αντιπαράδειγμα: ψ Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Εαρινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 4
Στην πιο πάνω δομή ικανοποιείται το αριστερό μέλος της ισοδυναμίας ενώ το δεξί μέλος δεν ικανοποιείται. iv. φ U ψ ψ (φ X(φ U ψ)) Οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες. Ακολουθεί η απόδειξη: Έστω μονοπάτι s. Τότε s φ U ψ ανν j 0 τέτοιο ώστε s i ψ και i, 0 i < j, s i φ ανν είτε s 0 ψ είτε s 0 φ και j 1 τέτοιο ώστε s j ψ και i, 1 i < j, s i φ ανν είτε s ψ είτε s φ και j 1 τέτοιο ώστε s j ψ και i, 1 i < j, s i φ ανν είτε s ψ είτε s φ και s 1 φ U ψ ανν είτε s ψ είτε s φ και s X(φ U ψ) ανν είτε s ψ είτε s φ X(φ U ψ) ανν s ψ (φ X(φ U ψ)) Άσκηση 5 (α) Τα δίκαια μονοπάτια της δομής είναι αυτά στα οποία πάντα στο μέλλον θα ικανοποιείται το s. Δεδομένου ότι το s ικανοποιείται μόνο στην κατάσταση 1, αυτό έχει ως συνέπεια τα δίκαια μονοπάτια να είναι αυτά από τα οποία περνούμε άπειρες φορές από την κατάσταση 1. (β) (i) Η ιδιότητα δεν ικανοποιείται αφού δεν ικανοποιείται στο δίκαιο μονοπάτι 143143 (η κατάσταση 3 δεν ικανοποιεί το p) (ii) Η ιδιότητα ικανοποιείται. Όπως έχουμε αναφέρει στο (α), τα δίκαια μονοπάτια είναι αυτά από τα οποία περνούμε από την κατάσταση 1 ξανά και ξανά. Η μόνη κατάσταση η οποία έχει μετάβαση προς την 1 είναι η 3, με αποτέλεσμα στα δίκαια μονοπάτια να περνούμε ξανά και ξανά από την κατάσταση 3 στην οποία δεν ικανοποιείται το p. Άρα πάντα στο μέλλον θα έχουμε κατάσταση στην οποία δεν ικανοποιείται το p. (iii) Η ιδιότητα δεν ικανοποιείται αφού δεν ικανοποιείται στο δίκαιο μονοπάτι 143143 (Το q δεν ικανοποιείται σε καμιά κατάσταση του δίκαιου μονοπατιού) (iv) Η ιδιότητα ικανοποιείται. Όπως έχουμε αναφέρει στο (α), τα δίκαια μονοπάτια είναι αυτά από τα οποία περνούμε από την κατάσταση 1 ξανά και ξανά. Η μόνη κατάσταση η οποία έχει μετάβαση προς την 1 είναι η 3, με αποτέλεσμα στα δίκαια μονοπάτια να περνούμε ξανά και ξανά από την κατάσταση 3 στην οποία δεν ικανοποιείται το p. Στην κατάσταση 1 ικανοποιείται το F p. (v) Η ιδιότητα ικανοποιείται. Το G p δεν ικανοποιείται σε κανένα δίκαιο μονοπάτι, άρα η συνεπαγωγή είναι αληθής. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Εαρινό Εξάμηνο 2016 Σελίδα 5