Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Functon Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών

2

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ UNIVERSITY OF PATRAS ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Χώροι Συναρτήσεων ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ιονύσιος Νιάχος Επιβλέπων: ηµήτριος Γεωργίου Αν Καθηγητής Πανεπιστηµίου Πατρών Εγκρίθηκε από την τριµελή εξεταστική επιτροπή την 26η Μαρτίου 2015 ηµήτριος Γεωργίου Σοφία Ζαφειρίδου Βασίλειος Τζάννες Αν Καθηγητής Αν Καθηγήτρια Καθηγητής Πανεπιστηµίου Πατρών Πανεπιστηµίου Πατρών Πανεπιστηµίου Πατρών Πάτρα Μάρτιος 2015

4

5 Πρόλογος Η διπλωµατική αυτή εργασία πραγµατοποιήθηκε στα πλαίσια του προγράµµατος µεταπτυχιακών σπουδών στα Θεωρητικά Μαθηµατικά Το θέµα που διαπραγµατεύεται, (µελέτη τοπολογιών σε χώρους συνεχών συναρτήσεων) µου έδωσε τη δυνατότητα να ασχοληθώ µε έναν κλάδο των µαθηµατικών που πάντα µε γοήτευε Το πιo σηµαντικό κέρδος για µένα ήταν η εµβάθυνση στην τοπολογία και η καλύτερη κατανόηση ορισµένων εννοιών της Η περάτωση της διπλωµατικής εργασίας δεν ήταν αποτέλεσµα µόνο προσωπικής µου εργασίας Είναι συλλογική προσπάθεια Θεωρώ υποχρεώσή µου λοιπόν, να ευχαριστήσω τον Αναπληρωτή Καθηγητή του τµήµατος κ ηµήτρη Γεωργίου που επέβλεψε την διπλωµατική µου εργασία Ευχαριστώ επίσης την γυναίκα µου για τη συµπαράστασή της στη προσπάθειά µου να ολοκληρώσω την παρούσα εργασία

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Έστω C( Y, Z ) το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων από ένα τοπολογικό χώρο Y σ ένα τοπολογικό χώρο Z Στη διπλωµατική εργασία δίνουµε και µελετάµε τοπολογίες στο C( Y, Z ) Χώροι Συναρτήσεων ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ ABSTRACT Let C( Y, Z ) be the set of all contnuous maps from a topologcal space Y to a topologcal space Z We gve and study topologes on the set C( Y, Z ) Functon Spaces KEY WORDS

7 Εισαγωγή Η έννοια της συνάρτησης εµφανίζεται από την αρχαιότητα ως έκφραση µιας εξάρτησης ανάµεσα σε δύο συγκεκριµένες ποσότητες Γενικά όµως, οι συγγραφείς διαφωνούν για το χρόνο που τοποθετείται ο πρώτος ορισµός της έννοιας της συνάρτησης Στο βιβλίο του ο DE Smth αναφέρει πως η πραγµατική ιδέα της συνάρτησης µε χρήση συντεταγµένων, πρωτοεκφράστηκε καθαρά από τον Descartes Οι δε W Hartner & MSchramm αναφέρουν ότι, η έννοια της συνάρτησης εµφανίζεται µ έναν υπονοούµενο τρόπο ήδη από την αρχαιότητα Ο όρος συνάρτηση (από το λατινικό ρήµα fungor, που ση- µαίνει εκτελώ, λειτουργώ) εµφανίστηκε για πρώτη φορά το 1673 σ ένα χειρόγραφο του Lebnz µε τίτλο Η αντίστροφη µέθοδος των εφαπτοµένων ή περί συναρτήσεων Από εκείνη την εποχή ο όρος αυτός άρχισε να αποκτά µια ιδιαίτερη σηµασία Ο J Bernoull το 1718 έδωσε ένα γενικό ορισµό για την έννοια της συνάρτησης, η εξέλιξη της οποίας προήλθε κυρίως από την προσπάθεια µαθηµατικής ερµηνείας φυσικών προβληµάτων Ο L Euler, το 1755 διατύπωσε τον παρακάτω ορισµό, ο οποίος έγινε γενικά αποδεκτός στη µαθηµατική κοινότητα: Αν κάποιες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες ποσότητες µε τέτοιο τρόπο ώστε, όταν οι τελευταίες αλλάζουν συµβαίνει το ίδιο και µε τις πρώτες, τότε οι πρώτες ονοµάζονται συναρτήσεις των τελευταίων Τον 19 ο αιώνα πολλοί µαθηµατικοί (Fourer, Gauss, Cauchy Weerstrass, Remann Lebesque) έχουν τη δική τους συνεισφορά πάνω σε έννοιες που σχετίζονται µε αυτήν της συνάρτησης Ειδικότερα η συµβολή των Cauchy και Weerstrass ήταν καθοριστική, όσον αφορά στην αυστηρή µαθηµατική διατύπωση βασικών εννοιών του Απειροστικού Λογισµού, όπως η έννοια του ορίου και της συνέχειας Ο µεν Cauchy έκανε το πρώτο βήµα εισάγοντας την ανισότητα στη διατύπωση των ορισµών ορίου

και συνέχειας, ο δε Weerstrass έδωσε τους ορισµούς αυτούς µε την µορφή που τους γνωρίζουµε σήµερα Η προσφορά του Cauchy είναι σηµαντική και στη θεωρία της σύγκλισης Συγκεκριµένα, χρησιµοποιώντας τον ορισµό αθροίσµατος µιας σειράς, που βασίζεται στην έννοια του ορίου, δηµιούργησε την πρώτη αυστηρή θεωρία της σύγκλισης Ένα από τα προβλήµατα που εµφανίζονται στα µαθηµατικά είναι η εισαγωγή της έννοιας του ορίου σε ένα σύνολο συναρτήσεων Το πρόβληµα αυτό το συναντάµε στη θεωρία των ιαφορικών Εξισώσεων, στη ιαφορική Γεωµετρία, στη θεωρία Πιθανοτήτων και σε άλλους κλάδους των µαθηµατικών Μια µαθη- µατική περιγραφή αυτού του προβλήµατος µπορεί να γίνει στα πλαίσια της Γενικής Τοπολογίας, µε τον ορισµό µιας τοπολογίας σε ένα σύνολο συναρτήσεων Έστω C( Y, Z ) το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων από έναν τοπολογικό χώρο Y σε έναν τοπολογικό χώρο Z και τ µια τοπολογία επί του συνόλου C( Y, Z ) Τότε ο τοπολογικός χώρος ( C( Y, Z), τ ) συµβολίζεται µε Cτ ( Y, Z) Στο σύνολο C( Y, Z ) µπορούν να οριστούν πολλές τοπολογίες Συνήθως οι τοπολογίες που παρουσιάζουν ενδιαφέρον είναι οι τοπολογίες τ για τις οποίες: (α) Η σύγκλιση στον Cτ ( Y, Z) συνεπάγεται τη συνεχή σύγκλιση (β) Η συνεχής σύγκλιση συνεπάγεται την σύγκλιση στον Cτ ( Y, Z) Στην πρώτη περίπτωση οι τοπολογίες καλούνται συνδετικά συνεχείς (admssble) ενώ στη δεύτερη διαχωριστικές (splttng) Οι συνδετικά συνεχείς τοπολογίες µελετήθηκαν από τον R Arens το 1946 και ορίστηκαν µέσω της συνέχειας της απεικόνισης εκτίµησης Το 1951 οι Arens και Dugundj όρισαν και τις διαχωριστικές τοπολογίες Η συµπαγής ανοικτή τοπολογία ορίζεται από τον RH Fox το 1945 Η Isbell τοπολογία ορίστηκε από τον Isbell το 1975 Για 8

την τελευταία χρησιµοποιήθηκε η Scott τοπολογία που ορίστηκε από τον D Scott το 1972 Η µελέτη τοπολογιών σε χώρους συναρτήσεων είναι το αντικείµενο της διπλωµατικής εργασίας Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται εν συντοµία γνωστές βασικές τοπολογικές έννοιες Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζεται η συµπαγής-ανοικτή (compactopen) και η σηµειακή-ανοικτή (pont-open) τοπολογία στο σύνολο C( Y, Z ) ίνονται ικανές συνθήκες κάτω από τις οποίες οι παραπάνω τοπολογικοί χώροι γίνονται Hausdorff, κανονικοί, ή Tychonoff Τέλος, ορίζονται οι διαχωριστικές και οι συνδετικά συνεχείς τοπολογίες στο σύνολο C( Y, Z ) Στο τρίτο κεφάλαιο µελετάµε τη Scott και Isbell τοπολογία Στη συνέχεια, ορίζονται παραλλαγές της Scott τοπολογίας όπως η quas Scott και η strong Scott, οι οποίες οδηγούν στο να οριστούν οι αντίστοιχες παραλλαγές της Isbell τοπολογίας Στο τέταρτο κεφάλαιο δίνονται αναγκαίες και ικανές συνθήκες, βασισµένες στη σύγκλιση δικτύων, ώστε µια τοπολογία στο σύνολο C( Y, Z ) να είναι διαχωριστική ή συνδετικά συνεχής Στο πέµπτο κεφάλαιο επιχειρείται ο συσχετισµός µεταξύ τοπολογιών πάνω στα σύνολα C( Y, Z ), και OZ ( Y ) µε βασική έννοια αυτή της δυικής τοπολογίας Στο έκτο κεφάλαιο, µελετάται στο C( X, R ) η κατά σηµείο σύγκλιση και η οµοιόµορφη σύγκλιση και δίνονται θεωρήµατα Ascol-Arzela Τέλος, στη βιβλιογραφία αναφέρονται βιβλία και ερευνητικές εργασίες που σχετίζονται µε θέµατα µελέτης τοπολογιών στο σύνολο C( Y, Z ) 9

10

11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες της τοπολογίας 11 Ορισµός τοπολογικού χώρου 13 12 Βάση και υποβάση τοπολογίας 16 13 Κλειστό σύνολο Ανοικτή περιοχή Κλειστή θήκη Εσωτερικό συνόλου 19 14 Συνεχείς απεικονίσεις 24 15 Αξιώµατα διαχωρισιµότητας 26 16 Γινόµενο τοπολογικών χώρων 31 17 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 33 18 Συµπαγείς τοπολογικοί χώροι 35 Κεφάλαιο 2 Συµπαγής-ανοικτή και σηµειακή-ανοικτή τοπολογία στο C( Y, Z ) 21 Η συµπαγής -ανοικτή τοπολογία 40 22 Η σηµειακή -ανοικτή τοπολογία 44 23 Βασικές προτάσεις για τις τοπολογίες t co και t p 46 Κεφάλαιο 3 Scott τοπολογία και Isbell τοπολογία στο (, ) C Y Z 31 ιατεταγµένα σύνολα 58 32 Η Scott τοπολογία 62 33 Η Isbell τοπολογία 68 34 H strong Scott και η quas Scott τοπολογία71 35 H strong Isbell και η quas Isbell τοπολογία74

12 Κεφάλαιο 4 ίκτυα και συγκλίσεις στο σύνολο C( Y, Z ) 41 ίκτυα και συγκλίσεις στο σύνολο C( Y, Z ) 81 42 Χαρακτηρισµός των διαχωριστικών και συνδετικά συνεχών τοπολογιών µε συγκλίσεις 89 Κεφάλαιο 5 υικές τοπολογίες στα σύνολα C( Y, Z ) και OZ ( Y ) 51 υικές τοπολογίες 95 52 Σχέσεις µεταξύ τοπολογιών στα C( Y, Z ) και O ( Y ) 99 Κεφάλαιο 6 Το σύνολο C( X ) και Ascol τύπου θεωρήµατα 61 Η σηµειακή-ανοικτή τοπολογία στον χώρο C( X ) 108 62 Ισοσυνέχεια και θεωρήµατα Ascol-Arzela 125 63 Τύπου Ascol θεωρήµατα για τη συµπαγή ανοικτή και την Isbell τοπολογία στο χώρο C( Y, Z ) 135 Βιβλιογραφία 137 Z

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 o Βασικές έννοιες της τοπολογίας Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισµός του τοπολογικού χώρου και ακολουθούν βασικές τοπολογικές έννοιες όπως, η έννοια της βάσης, της υποβάσης, του υπόχωρου, του γινοµένου τοπολογικών χώρων, της συνέχειας, της συνεκτικότητας και της συ- µπάγειας Παράλληλα δίνονται παραδείγµατα και βασικές προτάσεις-θεωρήµατα 11 Ορισµός τοπολογικού χώρου 111 Ορισµός Έστω X ένα σύνολο Μια τοπολογία επί του X είναι µια οικογένεια τ υποσυνόλων του X που ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες (αξιώµατα τοπολογίας): (α) Το X και το ανήκουν στην τ (β) Η τοµή πεπερασµένου πλήθους στοιχείων της τ είναι στοιχείο της τ (γ) Η ένωση οποιουδήποτε πλήθους στοιχείων της τ είναι στοιχείο της τ

Το ζεύγος ( X,τ ) καλείται τοπολογικός χώρος Τα στοιχεία της τ καλούνται ανοικτά σύνολα ως προς την τ, ή ανοικτά σύνολα του τοπολογικού χώρου ( X,τ ) ή απλώς ανοικτά σύνολα, αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης Η ιδιότητα (β) µπορεί να αντικατασταθεί από την ισοδύναµη ιδιότητα: Η τοµή δύο στοιχείων της τ είναι στοιχείο της τ (δηλαδή, αν G1, G2 τ τότε G1 G2 τ ) 112 Παραδείγµατα (α) Έστω ( X, ρ ) ένας µετρικός χώρος Είναι γνωστό ότι κάθε G X είναι ανοικτό (ως προς τη µετρική ρ ) αν για κάθε x G υπάρχει ε > 0, τέτοιο ώστε S( x, ε ) = y : ρ( x, y) < ε G { } 14 Η οικογένεια τ ρ όλων των παραπάνω ανοικτών υποσυνόλων του X, είναι µια τοπολογία του X Η τ ρ καλείται µετρική τοπολογία του X (β) Έστω X ένα σύνολο Το δυναµοσύνολο P( X ) είναι µια τοπολογία, η καλούµενη διακριτή τοπολογία του X Ο χώρος X εφοδιασµένος µε την τοπολογία αυτή καλείται διακριτός τοπολογικός χώρος (γ) Έστω X ένα σύνολο Η οικογένεια τ = {, X} είναι µια τοπολογία, η καλούµενη τετριµµένη τοπολογία του X Ο χώρος X εφοδιασµένος µε την τοπολογία αυτή καλείται τετριµµένος τοπολογικός χώρος (δ) Έστω το σύνολο X = { α,β} µε α β Η οικογένεια τ,{ α }, X { } = είναι µια τοπολογία του X Ο τοπολογικός χώρος ( X, τ ) καλείται χώρος Serpnsk (ε) Έστω X ένα σύνολο και x0 X

Η οικογένεια τ = { } { A X x A} 15 : o είναι µια τοπολογία του X και καλείται τοπολογία του ιδιαίτερου σηµείου x του X 0 (στ) Έστω X ένα σύνολο και x0 X Η οικογένεια τ = { X} { A X : x A} είναι µια τοπολο- γία του X και καλείται τοπολογία του εξαιρούµενου σηµείου x 0του X (ζ) Έστω X ένα µη πεπερασµένο σύνολο Η οικογένεια τ = { } { A X : X \ Aείναι πεπερασµένο} είναι µια τοπολογία του X και καλείται συµπεπερασµένη τοπολογία του X (η) Έστω X ένα σύνολο Η οικογένεια τ = { } { A X : X \ A είναι αριθµήσιµο} είναι µια τοπολογία του X και καλείται συναριθµήσιµη τοπολογία του X 113 Ορισµός Έστω X ένα σύνολο και τ1, τ 2 δύο τοπολογίες του X Η τ 1 είναι ασθενέστερη (ή µικρότερη) της τ 2, αν κάθε ανοικτό σύνολο ως προς την τ 1 είναι ανοικτό σύνολο ως προς την τ 2, δηλαδή τ1 τ 2 Στην περίπτωση αυτή η τ 2 είναι ισχυρότερη (ή µεγαλύτερη) της τ 1 114 Πρόταση Έστω X ένα σύνολο και τ1, τ 2 δύο τοπολογίες του X Τότε η τοµή τ 1 τ 2 είναι επίσης τοπολογία του X 115 Σχόλιο Η ένωση δύο τοπολογιών δεν είναι κατ ανάγκη τοπολογία Πράγµατι, 0

{ } { } στο X { α, β, γ} 1,, 2,, β είναι δύο τοπολογίες του X Όµως, η ένωσή τους τ1 τ 2 = {, X,{ α},{ β} } δεν είναι τοπολογία του X = οι τ = X { α } και τ = X { } 116 Ορισµός Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος και A X Η οικογένεια τ A = { G A: G τ } είναι µια τοπολογία του A, και καλείται σχετική τοπολογία του A ως προς τ Ο τοπολογικός χώρος ( A, τ A) ονοµάζεται υπόχωρος του X Τα στοιχεία της τ A είναι ανοικτά στο A 117 Παράδειγµα Η σχετική τοπολογία του Z ως προς τη συνήθη τοπολογία του R είναι η διακριτή τοπολογία 118 Σχόλιο Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος, και A X ανοικτό Ένα υποσύνολο του A είναι ανοικτό στο A αν και µόνο αν είναι ανοικτό στο X 12 Βάση και υποβάση τοπολογίας 121 Ορισµός Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος Ένα υποσύνολο β της τ καλείται βάση (για την τοπολογία τ ) αν κάθε µη κενό ανοικτό υποσύνολο του X είναι ένωση στοιχείων της β ηλαδή, αν για κάθε G τ µε G υπάρχουν B β, I ώστε G= B I 122 Παράδειγµα Έστω ( X,τ ) διακριτός τοπολογικός χώρος Η οικογένεια = x : x X είναι µια βάση για την τ { } β { } 16

Πράγµατι β τ = P( X ) και για κάθε A P( X ) µε A ι- σχύει A= { x} x A 123 Πρόταση Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος καιβ τ Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (α) Η β είναι µια βάση για την τ (β) Για κάθε G τ και x G υπάρχει B β ώστε x B G 124 Πρόταση Έστω X ένα σύνολο και β µια οικογένεια υποσυνόλων του X που έχει τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: (α) X = { B : B β } και (β) Αν B1, B2 β και x B1 B2 τότε υπάρχει B3 β ώστε x B3 B1 B2 Τότε υπάρχει µια και µόνο µία τοπολογία τ επί του X για την οποία το σύνολο β είναι βάση 125 Σχόλιο Μια τοπολογία είναι δυνατόν να έχει πολλές βάσεις Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι η µετρική τοπολογία τ ρ ενός µετρικού χώρου ( X, ρ), βάσεις της οποίας είναι οι οικογένειες: β1 = { S( x, ε ) : x X και ε >0} β2 = { S( x, ε ) : x X και ε >0, ε ρητός αριθµός} 1 β3 = S x, : x X και n= 1, 2, n 126 Σχόλιο Μια οικογένεια συνόλων δεν είναι κατ ανάγκη βάση για κάποια τοπολογία Παράδειγµα η οικογένεια {(, β ) : β R} { ( α, + ) : α R}, δεν είναι βάση για καµιά τοπολογία του R εφ όσον αποτυγχάνει η ιδιότητα (β) της Πρότασης 124 17

127 Ορισµός Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος Ένα υποσύνολο C της τ καλείται υποβάση (για την τοπολογία τ ) αν η οικογένεια των τοµών πεπερασµένου πλήθους στοιχείων της C είναι βάση της τ ηλαδή αν η οικογένεια: β = { C1 Cn : n= 1, 2,και C1,, Cn C} είναι µια βάση της τ 128 Παραδείγµατα (α) Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος και β µια βάση για την τοπολογία τ Τότε η τοπολογία τ και η βάση β είναι υποβάσεις της τ (β) Η οικογένεια C= { β β R} { α + α } 18 (, ) : (, ) : R, είδαµε ότι δεν είναι βάση για κάποια τοπολογία, είναι όµως µια υποβάση για τη συνήθη τοπολογία του R Πράγµατι για α, β R τα σύνολα ( α, + ),(, β ) είναι ανοικτά εφόσον ( α, + ) = α< x ( α, x), (, β ) = x< β ( x, β ), και η οικογένεια των τοµών πεπερασµένου πλήθους στοιχείων της C είναι µια βάση της τ, εφ όσον περιέχει τα α, β = α, +, β, όπου α < β ανοικτά ( ) ( ) ( ) 129 Πρόταση Έστω X σύνολο και C σύνολο υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα: η ένωση όλων των στοιχείων του Cείναι το σύνολο X Τότε υπάρχει µία και µόνο µία τοπολογία τ επί του X για την οποία το σύνολο C είναι υποβάση 1210 Πρόταση Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος, A X και τ A η σχετική τοπολογία του A ως προς τ Αν η οικογένεια β είναι µια βάση (υποβάση) της τ, τότε η οικογένεια β A = { B A: B β } είναι µια βάση(υποβάση) της τ A

19 13 Κλειστό σύνολο Ανοικτή περιοχή Κλειστή θήκη Εσωτερικό συνόλου 131 Ορισµός Ένα υποσύνολο F ενός τοπολογικού χώρου X καλείται κλειστό εάν το σύνολο X \ F είναι ανοικτό 132 Παραδείγµατα (α) Σε κάθε τοπολογικό χώρο ( X,τ ) τα σύνολα Χ, είναι κλειστά, εφ όσον X \ X =, X \ = X και X, τ (β) Σε κάθε διακριτό τοπολογικό χώρο όλα τα σύνολα είναι κλειστά (και συγχρόνως ανοικτά) (γ) Στο χώρο ( X,τ ) µε τη συµπεπερασµένη τοπολογία τα κλειστά σύνολα είναι τα πεπερασµένα και το ίδιο το X (δ) Στο χώρο ( X,τ ) µε την συναριθµήσιµη τοπολογία τα κλειστά σύνολα είναι όλα τα αριθµήσιµα υποσύνολα του X και το X 133 Πρόταση Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος Ισχύουν τα εξής: (α) Τα σύνολα, X είναι κλειστά (β) Η τοµή οποιουδήποτε πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο (γ) Η ένωση πεπερασµένου πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο 134 Ορισµός Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος και x σηµείο του X Κάθε α- νοικτό σύνολο που περιέχει το x καλείται ανοικτή περιοχή του x 135 Ορισµός Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος και x σηµείο του X Ένα υ- ποσύνολο A του X καλείται περιοχή του x εάν υπάρχει U τ

τέτοιο ώστε x U A Παρατηρούµε ότι ενδέχεται A τ Η οικογένεια όλων των περιοχών του x καλείται σύστηµα περιοχών του x και συµβολίζεται N x 136 Ορισµός Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος και x σηµείο του X Μια υποοικογένεια B x του συστήµατος περιοχών N x του x καλείται βάση περιοχών του x, αν για κάθε U N x, υπάρχει B Bx τέτοιο ώστε B U 137 Πρόταση Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος και B τ Η οικογένεια B είναι βάση για την τοπολογία τ αν και µόνο αν, για κάθε x X η οικογένεια Bx = { U B : x U} είναι µια βάση περιοχών του x 138 Πρόταση Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος και για κάθε x X, Bx µια βάση περιοχών του x Ισχύουν τα παρακάτω: (α) Αν B Bx, τότε B (β) Αν B1, B2 Bx, τότε υπάρχει B3 Bxτέτοιο ώστε B3 B1 B2 (γ) Ένα υποσύνολο G του X είναι ανοικτό αν και µόνο αν, για κάθε x G υπάρχει B B, ώστε B G x 139 Ορισµός Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος και M υποσύνολο του X Έ- να σηµείο x του X καλείται εσωτερικό σηµείο του M εάν υ- πάρχει ανοικτή περιοχή U του x τέτοια ώστε U M Το σύνολο όλων των εσωτερικών σηµείων του M καλείται εσωτερικό του M και συµβολίζεται Int( M ) Ισχύει ότι Int( M ) = { G X : Gανοικτό και G M} 20

Προφανώς το Int( M ) είναι ανοικτό σύνολο και µάλιστα είναι το µεγαλύτερο ανοικτό που περιέχεται στο M 1310 Παραδείγµατα (α) Αν ( X,τ ) διακριτός τοπολογικός χώρος τότε Int( M ) = M, για κάθε M X X τ όπου X = { α, β} και τ, X,{ α} Serpnsk Ισχύει ότι Int{ α} = { α}, { } (β) Έστω(, ) { } = ο χώρος Int β = (γ) Αν X ένα σύνολο, x0 X η τοπολογία του ιδιαίτερου σηµείου του X Τότε Int( A) = A αν x0 Aκαι ( ) 21 και τ = { } { A X : x A} Int A = αν x0 0 A 1311 Πρόταση Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: (α) Int( A) Aγια κάθε A X, (β) Int( Int( A)) = Int( A) για κάθε A X, (γ) Αν A B, τότε Int( A) Int( B), (δ) Int( A B) = Int( A) Int( B) για κάθε A X, (ε) Το A X είναι ανοικτό, αν και µόνο, αν Int( A) = A 1312 Σχόλια (α) Η ιδιότητα (δ) ισχύει για πεπερασµένο πλήθος συνόλων ενώ δεν ισχύει για άπειρες οικογένειες συνόλων Πράγµατι, στο R έχουµε: 1 1 1 1 n= 1Int, = n= 1, = { 0} n n n n, ενώ 1 1 Int n= 1, = Int( { 0 }) = n n

(β) Σε κάθε τοπολογικό χώρο δεν ισχύει κατ ανάγκη η σχέση Int A B = Int A Int B ( ) ( ) ( ) 22 Πράγµατι στο R έχουµε για A=Q και B=R \ Q, ότι Int A B = IntR = R και Int( A) Int( B ) = = ( ) ( ) 1313 Ορισµός Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος και M υποσύνολο του X Ένα σηµείο x του X καλείται σηµείο επαφής του M εάν κάθε ανοικτή περιοχή U του x περιέχει σηµείο του M Το σύνολο όλων των σηµείων επαφής του M καλείται κλειστή θήκη του M και συµβολίζεται Cl( M ) Ισχύει ότι Cl( A) = { F X : Fκλειστό και A F} Προφανώς το Cl( M ) είναι κλειστό σύνολο και µάλιστα είναι το µικρότερο κλειστό που περιέχει το A 1314 Παραδείγµατα (α) Έστω X άπειρο σύνολο, και τ η συµπεπερασµένη τοπολογία του X Τότε Cl( A) = A αν A X πεπερασµένο και Cl( A) = X αν A X άπειρο (εφ όσον, αν το A είναι πεπερασµένο, τότε είναι κλειστό και αν είναι άπειρο, το µόνο κλειστό που περιέχει το A είναι το X ) (β) Έστω X = [ 1,1] και τ η τοπολογία που έχει υποβάση την οικογένεια C= [ 1, β) : β > 0 α,1 : α < 0 { } {( ] } Τότε Cl( A) = X για κάθε ανοικτό σύνολο A του X, εφ ό- σον το A περιέχει το 0 και το µόνο κλειστό που περιέχει το 0 είναι το X 1315 Πρόταση Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες για κάθε A, B X : (α) A Cl( A),

23 (β) Cl( Cl( A)) = Cl( A), (γ) Αν A B τότε Cl( A) Cl( B), (δ) Cl( A B) = Cl( A) Cl( B), (ε) Το A είναι κλειστό σύνολο αν και µόνο αν, Cl( A) = A 1316 Σχόλιο (α) Η ιδιότητα (δ) ισχύει για πεπερασµένο πλήθος συνόλων ενώ δεν ισχύει για άπειρες οικογένειες συνόλων Πράγµατι, στο R έχουµε 1 1 n= 1Cl 0,1 = n= 1 0,1 = [ 0,1) n n, ενώ 1 Cl n= 1 0,1 = Cl( [ 0,1) ) = [ 0,1] n (β) Σε κάθε τοπολογικό χώρο δεν ισχύει κατ ανάγκη η σχέση Cl A B = Cl A Cl B Πράγµατι στο R έχουµε για ( ) ( ) ( ) B=R Q, ότι Cl( A B) Cl( ) ( ) ( ) R R R A=Q και \ Cl A Cl B = = = = και 1317 Ορισµός Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος, A X και τ Aη σχετική τοπολογία του A ως προς τ Αν F Aκαι F κλειστό ως προς την τη τ, τότε λέµε ότι το F είναι κλειστό στο A 1318 Συµβολισµός Για κάθε B Aσυµβολίζουµε µε ClAB, IntAB την κλειστή θήκη και το εσωτερικό του B ως προς τη σχετική τοπολογία τ A αντίστοιχα 1319 Πρόταση Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος, A X και τ A η σχετική τοπολογία του A ως προς τ Τότε:

(α) Ένα υποσύνολο F του A είναι κλειστό στο A αν και µόνο αν, υπάρχει κλειστό υποσύνολο K του X ώστε F = K A (β) Για κάθε B A Cl B= Cl B A έχουµε ( ) 14 Συνεχείς απεικονίσεις A 141 Ορισµός Έστω X, Y τοπολογικοί χώροι, f : X Y µια απεικόνιση, και x0 X Η f καλείται συνεχής στο x 0 αν για κάθε περιοχή V του f ( x 0) υπάρχει περιοχή U του x 0ώστε f ( U) V Η f καλείται συνεχής στο X αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο x X 142 Παραδείγµατα (α) Κάθε σταθερή απεικόνιση f : X Y είναι συνεχής (β) Κάθε απεικόνιση από ένα διακριτό τοπολογικό χώρο σ ένα οποιοδήποτε τοπολογικό χώρο είναι συνεχής [Πράγµατι, έστω f : X Y όπου X διακριτός τοπολογικός χώρος και x X Για κάθε περιοχή V του f ( x ) υπάρχει η περιοχή U x x f U V = { } του, ώστε ( ) (γ) Έστω Y = { 0,1} εφοδιασµένος µε τη διακριτή τοπολογία X 24 και ο χώρος R εφοδιασµένος µε τη συνήθη τοπολογία Ορίζω την συνάρτηση f : R Y ως εξής: Εάν x Q, f ( x) = 0και αν x R \ Q, f ( x) = 1 Η απεικόνιση f δεν είναι συνεχής σε κανένα σηµείο του R 143 Πρόταση Έστω X, Y τοπολογικοί χώροι, f : X Y µια απεικόνιση Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (α) Η f είναι συνεχής

(β) Για κάθε G ανοικτό υποσύνολο του Y, το f νοικτό υποσύνολο του X (γ) Για κάθε F κλειστό υποσύνολο του Y, το κλειστό υποσύνολο του X (δ) Για κάθε A υποσύνολο του X ισχύει f ( Cl( A) ) Cl( f ( A) ) (ε) Για κάθε B υποσύνολο του Y ισχύει 1 1 Cl f ( B) f Cl( B) ( ) ( ) 1 ( G) f 1 ( F) 25 είναι α- είναι 144 Ορισµός Μία απεικόνιση f ενός χώρου X επί ενός χώρου Y καλείται ανοικτή (αντίστοιχα κλειστή) εάν για κάθε ανοικτό (αντίστοιχα κλειστό) σύνολο A του X, το σύνολο f ( A ) είναι ανοικτό (αντίστοιχα κλειστό) στο χώρο Y 145 Ορισµός Έστω X, Y τοπολογικοί χώροι Μια απεικόνιση f : X Y καλείται οµοιοµορφισµός αν είναι 1-1, επί, συνεχής και η αντιστροφή της f 1 : Y X είναι συνεχής Αν υπάρχει οµοιοµορφισµός f : X Y, τότε οι χώροι X, Y καλούνται οµοιοµορφικοί Το γεγονός αυτό συνήθως το συµβολίζουµε µε X Y 146 Πρόταση Έστω X, Y τοπολογικοί χώροι και f : X Y µια 1-1 και επί απεικόνιση Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (α) Η f είναι οµοιοµορφισµός (β) Η f είναι συνεχής και ανοικτή (γ) Η f είναι συνεχής και κλειστή (δ) Για κάθε A X Cl f ( A) = f Cl( A) ισχύει ( ) ( )

26 15 Αξιώµατα διαχωρισιµότητας 151 Ορισµός Ένα τοπολογικός χώρος X καλείται T0 χώρος εάν για κάθε x, y X µε x yυπάρχει ανοικτό σύνολο U του X που περιέχει το ένα από τα παραπάνω σηµεία αλλά δεν περιέχει το άλλο 152 Ορισµός Ένα τοπολογικός χώρος X καλείται T1 χώρος εάν για κάθε x, y X µε x y υπάρχουν ανοικτά σύνολα U, V του X τέτοια ώστε x U, x V και y V, y U 153 Σχόλιο Άµεση συνέπεια των παραπάνω ορισµών είναι ότι κάθε T1 χώρος είναι και T 0 154 Πρόταση Έστω X τοπολογικός χώρος Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (α) Ο X είναι T1 χώρος x είναι κλειστό στο X για κάθε x X (β) Το µονοσύνολο { } 155 Παραδείγµατα (α) Εάν X είναι τετριµµένος τοπολογικός χώρος, τότε δεν είναι T 0 και συνεπώς ούτε T 1 (β) Ο χώρος Serpnsk είναι T0 χώρος αλλά δεν είναι T 1 (γ) Κάθε µετρικός χώρος ( X, ρ ) εφοδιασµένος µε την µετρική τοπολογία είναι T 1, εφ όσον για κάθε x, y X µε x y ρ( x, y) y S( x, ε ) και x S( y, ε ), όπου ε = > 0 2 (δ) Έστω X ένα σύνολο και τ η συµπεπερασµένη τοπολογία του X Ο χώρος ( X, τ ) είναι T 1, εφ όσον για κάθε x X

27 το µονοσύνολο { x } είναι κλειστό (ε) Έστω X ένα σύνολο µε περισσότερα από δύο σηµεία και x0 X Αν τ είναι η τοπολογία του ιδιαίτερου σηµείου x0 του X, τότε ο χώρος ( X, τ ) δεν είναι T 1εφ όσον το µονο- σύνολο { x 0 } δεν είναι κλειστό (στ) Έστω X ένα σύνολο µε περισσότερα από δύο σηµεία και x0 X Αν τ είναι η τοπολογία του εξαιρούµενου σηµείου x 0 του X, τότε ο χώρος ( X, τ ) δεν είναι T 1 εφ όσον τα µονοσύνολα { x 1 } όπου x1 X και x1 x0 δεν είναι κλειστά 156 Ορισµός Ένα τοπολογικός χώρος X καλείται T2 χώρος ή χώρος Hausdorff εάν για κάθε x, y X µε x yυπάρχουν G1, G 2ανοικτά υποσύνολα του X, ώστε x G1, y G2 και G1 G2 = 157 Σχόλιο Άµεση συνέπεια του παραπάνω ορισµού είναι ότι κάθε χώρος Hausdorff είναι και χώρος T 1 158 Παραδείγµατα (α) Κάθε µετρικός χώρος ( X, ρ ) εφοδιασµένος µε τη µετρική τοπολογία είναι T 2, εφ όσον για κάθε x, y X µε x y, έχουµε ρ( x, y) S( x, ε ) S( y, ε ) =, όπου ε = > 0 2 (β) Κάθε χώρος µε τη διακριτή τοπολογία είναι χώρος T 2 (γ) Έστω X ένα σύνολο και τ η συµπεπερασµένη τοπολογία του X Ο χώρος ( X, τ ) όπως είδαµε είναι T 1, δεν είναι ό- µως T 2

159 Ορισµός Ένα τοπολογικός χώρος X καλείται T3 χώρος εάν για κάθε σηµείο x του X και για κάθε κλειστό υποσύνολο F µε x F, υπάρχουν U, V ανοικτά υποσύνολα του X, τέτοια ώστε x U, F V και U V = 1510 Ορισµός Ένα τοπολογικός χώρος X καλείται κανονικός (regular) χώρος εάν αυτός είναι ταυτοχρόνως T1 χώρος και T3 χώρος 1511 Πρόταση Έστω X τοπολογικός χώρος Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (α) Ο X είναι κανονικός (β) Για κάθε x X και για κάθε ανοικτή περιοχή V του x υ- πάρχει ανοικτή περιοχή U του x τέτοια ώστε Cl( U ) V 1512 Σχόλιο Κάθε κανονικός χώρος είναι και χώρος Hausdorff 1513 Παραδείγµατα (α) Κάθε τετριµµένος τοπολογικός χώρος X δεν είναι T 1, είναι όµως T 3 Συνεπώς ο X δεν είναι regular (β) Κάθε χώρος εφοδιασµένος µε τη διακριτή τοπολογία είναι κανονικός χώρος 1514 Ορισµός Έστω X τοπολογικός χώρος και A, B δύο ξένα µεταξύ τους κλειστά υποσύνολα αυτού Λέµε ότι τα σύνολα A και B διαχωρίζονται µε συνάρτηση εάν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : X I= [ 0,1] τέτοια ώστε f (0) = 0 για κάθε x A και f ( x ) = 1, για κάθε x B 28

1515 Ορισµός Ένας τοπολογικός χώρος X καλείται T 31 χώρος εάν για 2 κάθε σηµείο x X και για κάθε κλειστό σύνολο F που δεν περιέχει το x, τα σύνολα { x } και F διαχωρίζονται µε απεικόνιση 1516 Ορισµός Ένα τοπολογικός χώρος X καλείται πλήρως κανονικός ή χώρος Tychonoff εάν αυτός είναι ταυτοχρόνως T1 χώρος και T χώρος 1 3 2 1517 Πρόταση Ένας T1 -χώρος είναι χώρος Tychonoff αν και µόνο αν για κάθε x X και για κάθε ανοικτή περιοχή V του x που ανήκει σε µια δοθείσα υποβάση γ του X, υπάρχει συνεχής απεικόνιση f του X τέτοια ώστε f ( x ) = 0και f ( y ) = 1, για κάθε y X \ V 1518 Πρόταση Κάθε χώρος Tychonoff είναι κανονικός χώρος 1519 Ορισµός Ένα τοπολογικός χώρος X καλείται T4 χώρος εάν για κάθε ζεύγος A και B ξένων µεταξύ των κλειστών συνόλων του X υπάρχουν U, V ανοικτά υποσύνολα του X, τέτοια ώστε A U, B V και U V = 1520 Ορισµός Ένα τοπολογικός χώρος X καλείται φυσικός χώρος (normal) εάν αυτός είναι ταυτοχρόνως T1 χώρος και T4 χώρος 1521 Πρόταση (Λήµµα Urysohn) Έστω X φυσικός χώρος και A, B δύο ξένα µεταξύ τους κλειστά σύνολα Τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση f του X τέτοια ώ- στε f ( x ) = 0για κάθε x Aκαι f ( x ) = 1για κάθε x B 29

30 1522 Πρόταση Κάθε φυσικός χώρος είναι χώρος Tychonoff 1523 Πρόταση Έστω X τοπολογικός χώρος Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (α) Ο X είναι T 4 (β) Για κάθε σύνολο F X κλειστό και G X ανοικτό, ώστε F G, υπάρχει V X ανοικτό ώστε F V Cl( V ) G 1524 Παραδείγµατα (α) Κάθε διακριτός τοπολογικός χώρος είναι φυσικός εφ όσον τα κλειστά υποσύνολα του χώρου είναι και ανοικτά { } (β) Έστω X = { α, β, γ } και τ X,,{ },{ },{, } = α β α β, µια τοπολογία του X Ο τοπολογικός χώρος ( X,τ ) είναι T 4 δεν είναι όµως ούτε T 3 ούτε T 1 Πράγµατι τα κλειστά υ- ποσύνολα του X είναι τα X,, { β, γ},{ α, γ},{ γ } Εποµέ- νως εάν F1, F 2 είναι κλειστά ξένα υποσύνολα του X, τότε τουλάχιστον ένα από τα δύο είναι το Έστω F 1= Τότε θέτουµε G 1= και G2 = X Άρα ο χώρος ( X,τ ) είναι T 4 Ο χώρος ( X,τ ) δεν είναι T 3 διότι για το κλειστό F = { γ} και για το x= α F δεν υπάρχουν G1, G 2 ανοικτά, ξένα υποσύνολα του X ώστε α G1 και F G2 Επίσης ο χώρος ( X,τ ) δεν είναι T 1, εφ όσον το { α } δεν είναι κλειστό σύνολο 1525 Πρόταση Έστω ( X,τ ) τοπολογικός χώρος, και A υπόχωρος του X (µε τη σχετική τοπολογία) (α) Αν ο X είναι T χώρος για = 1, 2,3, 3 1 τότε και ο A εί- 2 ναι T χώρος για 1, 2,3 =, 1 3 2 αντίστοιχα (β) Αν X φυσικός χώρος τότε και κάθε κλειστός υπόχωρος του X είναι φυσικός

31 16 Γινόµενο τοπολογικών χώρων 161 Ορισµός Έστω n N, X1, X 2,, X n σύνολα και X = X1 X 2 X n το καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων αυτών Η απεικόνιση π : X X µε π ( x) X για = 1, 2,, n καλείται προβολή ή προβολή τάξης για = 1, 2,, n αντίστοιχα 162 Ορισµός Έστω n N και ( X1, τ1),( X 2, τ 2),,( X n, τ n ) τοπολογικοί χώροι Η οικογένεια β = { G1 G2 Gn : G1 τ 1, G2 τ 2,, Gn τ n} είναι βάση για µια (µοναδική) τοπολογία τ του καρτεσιανού γινοµένου X = X1 X 2 X n Η τοπολογία τ καλείται Καρτεσιανή τοπολογία ή τοπολογία γινόµενο του X και η οικογένεια β καλείται κανονική βάση της Καρτεσιανής τοπολογίας του X 163 Πρόταση Έστω n N και ( X1, τ1),( X 2, τ 2),,( X n, τ n ) τοπολογικοί χώροι και τ η Καρτεσιανή τοπολογία του X = X1 X 2 X n Τότε (α) η οικογένεια G X X : G τ X X G : G τ { } { } 1 2 n 1 1 1 2 n n n ={ π 1 ( G) : = 1, 2,, n, G τ } είναι µια υποβάση της τ (β) η τ είναι η µικρότερη τοπολογία του X, ώστε κάθε -προβολή, = 1, 2,, n, είναι συνεχής (γ) οι προβολές, = 1, 2,, n είναι ανοικτές απεικονίσεις 164 Παραδείγµατα 2 (α) Ο χώρος R είναι το γινόµενο των χώρων X =R και Y =R

(β) Ο κύλινδρος άπειρου ύψους είναι το γινόµενο του R και της περιφέρειας του κύκλου 2 (γ) Θεωρούµε την π 1 (1-προβολή) του R επί του R Έστω 2 1 A= ( x, y) R : y=, x 0 x Τότε το σύνολο A είναι κλειστό ενώ το π ( A ) =R \ 1 { 0 } εί- ναι ανοικτό Συνεπώς η π 1δεν είναι κλειστή απεικόνιση 165 Ορισµός Έστω X, I µια οικογένεια συνόλων µε σύνολο δεικτών το αυθαίρετο σύνολο I Το Καρτεσιανό γινόµενο της οικογένειας αυτής είναι το σύνολο: X = Π X = f : I X µε f ( ) X για κάθε I { } I I Τα στοιχεία του X συµβολίζονται µε f = ( f ) I, όπου f = f ( ) για I Η απεικόνιση π : X X µε π ( f ) = f για I καλείται προβολή ή προβολή τάξης για I αντίστοιχα 166 Ορισµός Έστω ( X, τ ), I µια οικογένεια τοπολογικών χώρων µε σύνολο δεικτών το αυθαίρετο σύνολο I Η Καρτεσιανή τοπολογία ή τοπολογία γινόµενο τ του καρτεσιανού γινοµένου X = Π I X καλείται η τοπολογία που έχει ως βάση β την οικογένεια όλων των συνόλων της µορφής: Π G, όπου G τ για I και το σύνολο των δεικτών I : { I G X } είναι πεπερασµένο Η οικογένεια β καλείται κανονική βάση της Καρτεσιανής τοπολογίας του X 32

167 Πρόταση X, τ, I µια οικογένεια τοπολογικών χώρων και τ Έστω ( ) η Καρτεσιανή τοπολογία του X = Π I X Τότε c= π 1 ( G) : I, G τ είναι µια υποβάση (α) η οικογένεια { } της τ (β) η τ είναι η µικρότερη τοπολογία του X, ώστε κάθε προβολή, π : X X, I είναι συνεχής 168 Πρόταση Έστω X I, τοπολογικοί χώροι Το γινόµενο X = Π I X είναι Tj χώρος, j= 1, 2,3,3 1 εάν και µόνον εάν για κάθε I 2 ο χώρος X είναι Tj χώρος 169 Πόρισµα Το γινόµενο X = Π I X είναι χώρος regular ή Tychonoff εάν και µόνον εάν για κάθε I ο χώρος X είναι χώρος regular ή Tychonoff 33 1610 Σχόλιο Τα παραπάνω δεν ισχύουν αν για κάθε I ο χώρος φυσικός X είναι 17 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 171 Ορισµός Ένας τοπολογικός χώρος X καλείται συνεκτικός αν δεν υπάρχουν δύο µη κενά, ανοικτά, ξένα µεταξύ τους υποσύνολα A, B του X, ώστε X = A B Είναι σαφές ότι ο χώρος X είναι συνεκτικός αν δεν υπάρχουν δύο µη κενά, κλειστά, ξένα µεταξύ τους υποσύνολα A, B του X, ώστε X = A B Ένα υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου X καλείται συνεκτικό αν είναι συνεκτικός χώρος µε τη σχετική τοπολογία

172 Παραδείγµατα (α) Ο χώρος του Serpnsk προφανώς είναι συνεκτικός χώρος (β) Το σύνολο των ρητών αριθµών δεν είναι συνεκτικό υποσύνολο του R, εφ όσον Q=Α Β, όπου { x Q : x 2} και Β= { x : x< 2} Α= > Q 173 Πρόταση Έστω X τοπολογικός χώρος Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα: (α) Ο X είναι συνεκτικός (β) Τα µόνα υποσύνολα του X που είναι συγχρόνως ανοικτά και κλειστά είναι τα X, (γ) εν υπάρχει συνεχή και επί συνάρτηση f : X { 0,1} (όπου το { 0,1 } έχει τη διακριτή τοπολογία) 174 Πρόταση Η ένωση κάθε οικογένειας συνεκτικών υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου X, που έχουν ένα τουλάχιστον στοιχείο στην τοµή τους, είναι συνεκτικό σύνολο 175 Πόρισµα Ο R είναι συνεκτικός χώρος (µε τη συνήθη τοπολογία) Τα µόνα συνεκτικά υποσύνολα του R είναι τα διαστήµατα (µε πεπερασµένα ή άπειρα άκρα) 176 Πρόταση Έστω X τοπολογικός χώρος (α) Αν A B Cl( A) και το A είναι συνεκτικό υποσύνολο του, X τότε και το B είναι συνεκτικό (β) Αν το A είναι συνεκτικό υποσύνολο του X, τότε και το Cl( A ) είναι συνεκτικό Το αντίστροφο του (β) δεν ισχύει Για παράδειγµα το R είναι συνεκτικό αλλά το Q δεν είναι 34

177 Πρόταση Η εικόνα ενός συνεκτικού τοπολογικού χώρου µέσω µιας συνεχούς απεικόνισης είναι συνεκτικός χώρος 178 Πρόταση Έστω { X } µια οικογένεια µη κενών τοπολογικών χώρων Ο I χώρος X =Π I X είναι συνεκτικός αν και µόνο αν κάθε X I είναι συνεκτικός, 18 Συµπαγείς τοπολογικοί χώροι 181 Ορισµός Ένα σύνολο ψ υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου X καλείται κάλυψη του X εάν η ένωση όλων των στοιχείων του ψ είναι το X Μια κάλυψη ψ καλείται ανοικτή (αντίστοιχα κλειστή) εάν όλα τα στοιχεία της είναι ανοικτά (αντίστοιχα κλειστά) υποσύνολα του X 182 Ορισµός Μια κάλυψη π ενός τοπολογικού χώρου X καλείται υποκάλυψη της καλύψεως ψ του X εάν κάθε στοιχείο της π είναι στοιχείο της ψ, δηλαδή π ψ 183 Ορισµός Ένας τοπολογικός χώρος X καλείται χώρος Lndelof εάν κάθε ανοικτή κάλυψη του X περιέχει αριθµήσιµη υποκάλυψη 184 Ορισµός Έστω π οικογένεια υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου X Λέγεται ότι η οικογένεια αυτή έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής εάν η τοµή οποιουδήποτε πεπερασµένου πλήθους στοιχείων της π είναι µη κενή 35

185 Ορισµός Ένας τοπολογικός χώρος X καλείται συµπαγής εάν κάθε ανοικτή κάλυψη του X περιέχει πεπερασµένη υποκάλυψη 186 Ορισµός Ένα υποσύνολο A ενός τοπολογικού χώρου X καλείται σχετικά συµπαγές εάν το Cl( A ) µε τη σχετική τοπολογία είναι συ- µπαγής χώρος 187 Πρόταση Ένας τοπολογικός χώρος X είναι συµπαγής αν και µόνο αν κάθε οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής έχει µη κενή τοµή 188 Πρόταση Έστω X ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος και F κλειστό υποσύνολο του X Τότε ο F είναι συµπαγής υπόχωρος του X 189 Πρόταση Έστω X ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος, Y τοπολογικός χώρος και f : X Y µια συνεχής και επί απεικόνιση Τότε ο Y είναι συµπαγής 1810 Παράδειγµα Έστω α, β µε α < β α β α β, R Τότε, οι υπόχωροι (, ),[, ) ( α, β ] δεν είναι συµπαγείς ενώ ο υπόχωρος [, ] α β είναι συµπαγής 36 1811 Πρόταση Έστω X τοπολογικός χώρος Hausdorff (α) Αν F1, F2,, F κ είναι συµπαγή υποσύνολα του X τότε το σύνολο F1 F2 F κ είναι συµπαγές (β) Αν F, Η είναι ξένα µεταξύ τους συµπαγή υποσύνολα του X, τότε υπάρχουν U, V ανοικτά, ξένα µεταξύ τους υποσύνολα του X µε F U και Η V

(γ) Αν X είναι κανονικός χώρος και F είναι ένα συµπαγές υποσύνολο του X τότε για κάθε U ανοικτό σύνολο, µε F U υπάρχει V ανοικτό ώστε F V Cl( V ) U 1812 Πρόταση Κάθε συµπαγής τοπολογικός χώρος Hausdorff X είναι φυσικός 1813 Πρόταση Έστω X τοπολογικός χώρος Hausdorff και F ένα συµπαγές υ- ποσύνολο του X Τότε το F είναι κλειστό 1814 Πρόταση Έστω X, Y τοπολογικοί χώροι, µε τον X συµπαγή, τον Y χώρο Hausdorff, και f : X Y, 1 1, επί, συνεχής απεικόνιση Τότε η f είναι οµοιοµορφισµός 1815 Πρόταση Έστω X T 31 χώρος, A συµπαγής υπόχωρος του X και B 2 κλειστό υποσύνολο του X τέτοιο ώστε A B = Τότε υπάρχει συνεχής απεικόνιση f του X στο I = [ 0,1] τέτοια ώστε f ( z ) = 0για κάθε z A και f ( z ) = 1για κάθε z B 1816 Ορισµός Ένας χώρος X καλείται τοπικά συµπαγής όταν για κάθε x X υπάρχει ανοικτή περιοχή U του x η κλειστή θήκη της οποίας, δηλαδή το σύνολο Cl( U ), είναι συµπαγές 1817 Παράδειγµα (α) Κάθε συµπαγής τοπολογικός χώρος X είναι τοπικά συµπαγής (β) Κάθε διακριτός τοπολογικός χώρος X είναι τοπικά συ- µπαγής 37

(γ) Ο Ευκλείδειος χώρος R µε τη συνήθη τοπολογία είναι τοπικά συµπαγής χώρος (δ) Το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών µε τη διακριτή τοπολογία είναι τοπικά συµπαγής αλλά όχι συµπαγής χώρος (ε) Το σύνολο των ρητών αριθµών, όπως επίσης και το σύνολο των αρρήτων, ως υπόχωροι του R δεν είναι τοπικά συµπαγείς χώροι 1818 Πρόταση Για κάθε Hausdorff χώρο X οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες: (α) Ο X είναι τοπικά συµπαγής (β) Για κάθε x X και για κάθε ανοικτή περιοχή U x του x, υ- πάρχει ανοικτή περιοχή V του x, η κλειστή θήκη της οποίας είναι συµπαγής, τέτοια ώστε x V Cl( V ) U x (γ) Για κάθε συµπαγές υποσύνολο A του X και για κάθε ανοικτό υποσύνολο U του X που περιέχει το A, υπάρχει ανοικτό σύνολο V του X, η κλειστή θήκη του οποίου είναι συµπαγής, τέτοια ώστε A V Cl( V ) U 1819 Πρόταση X : I µια οικογένεια συµπαγών τοπολογικών χώρων, Αν { } τότε ο χώρος γινόµενο X =Π I X (µε την Καρτεσιανή τοπολογία), είναι συµπαγής 38

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o Συµπαγής-ανοικτή και σηµειακή-ανοικτή τοπολογία στο C( Y, Z ) Στο κεφάλαιο αυτό ορίζονται δύο σηµαντικές τοπολογίες στο χώρο C( Y, Z ) (σύνολο συνεχών απεικονίσεων από έναν τοπολογικό χώρο Y σε έναν τοπολογικό χώρο Z ) Συγκεκριµένα, ο- ρίζονται η συµπαγής-ανοικτή τοπολογία και η σηµειακή-ανοικτή τοπολογία Στη συνέχεια, αφού δοθούν ικανές συνθήκες κάτω από τις οποίες οι παραπάνω, τοπολογικοί χώροι γίνονται Haus-dorff, κανονικοί, ή Tychonoff, ορίζουµε τις κλάσεις των διαχωριστικών και των συνδετικά συνεχών τοπολογιών, δύο πολύ σηµαντικών τοπολογιών στο χώρο των συνεχών συναρτήσεων Στην κλάση των διαχωριστικών τοπολογιών αποδεικνύεται ότι υπάρχει η µέγιστη διαχωριστική τοπολογία Τέλος, αποδεικνύεται ότι η συµπαγής-ανοικτή τοπολογία καθώς και η σηµειακήανοικτή τοπολογία είναι διαχωριστικές τοπολογίες και δίνονται ικανές συνθήκες για να είναι η πρώτη συνδετικά συνεχής

40 21 Η συµπαγής-ανοικτή τοπολογία 211 Συµβολισµοί Έστω Y, Z τοπολογικοί χώροι Με C( Y, Z ) συµβολίζουµε το σύνολο των συνεχών απεικονίσεων από το χώρο Y στο χώρο Z Αν t είναι τοπολογία επί του συνόλου C( Y, Z ), τότε τον α- ντίστοιχο τοπολογικό χώρο το συµβολίζουµε µε Ct ( Y, Z ) Έστω K υποσύνολο του Y και U υποσύνολο του Z Θέτουµε K, U = f C Y, Z : f ( K) U Εάν K { }, ( ) ( ) = x τότε γράφουµε ( x, U ) αντί για { } { } (, ) x U Έστω X τοπολογικός χώρος Με O( X ) (αντίστοιχα K( X )) συµβολίζουµε το σύνολο όλων των ανοικτών (αντίστοιχα όλων των συµπαγών υποσυνόλων του X ) Στα επόµενα µε Y και Z θα συµβολίζουµε δύο τυχαίους τοπολογικούς χώρους 212 Ορισµός Έστω Y και Z δύο τοπολογικοί χώροι Η τοπολογία επί του C( Y, Z ) που έχει υποβάση τα σύνολα ( K, U ), όπου K K( Y) και U O( Z), καλείται συµπαγής-ανοικτή (compact-open) τοπολογία επί του C( Y, Z ) και συµβολίζεται t co 213 Πρόταση Έστω K, K K( Y ) και U, U O( Z ), = 1, 2,, n Τότε ισχύουν τα παρακάτω: K, U : = 1,, n = K : = 1,, n, U { } ( { } ) 1 ( ) 2 { ( K, U) : = 1,, n} = ( K, { U : = 1,, n} ) 3 ( ) C Y Z έχουµε Cl K U ( K Cl U ) όπου ( K, Cl( U )) = { f C( Y, Z) : f ( K) Cl( U )} { K, U : = 1,, n} ( { K : = 1,, n}, { U : = 1,, n} ) 4 Στο χώρο (, ) t co Απόδειξη 1 Έστω f C( Y, Z) Τότε, (, ), ( ),

41 {(, ) : 1,, } = <=> { ( ) : 1,, } { : = 1,, } <=> { } f K U = n <=> f ( K, U ), = 1,, n<=> f ( K ) U, 1,, n ( ) f K n U f K = n U <=> ( :1,,, ) f K n U 2 Έστω f C( Y, Z) Τότε, f ( K, U ) : = 1,, n <=> f ( K, U ), = 1,, n<=> { } = <=> f ( K) { U : 1,, n}, { :1,, } f ( K) U, 1,, n ( ) f K U n = <=> 3 Έστω f C( Y, Z) Τότε, f ( K, U ) : = 1,, n => f ( K, U ), = 1,, n=> { } f ( K ) U, = 1,, n=> { f ( K ) : 1,, n} { U : 1,, n} { : 1,, } : 1,, { : = 1,, }, { : = 1,, } = = => ( ) { } ( ) f K = n U = n => f K n U n 4 Αρκεί να δείξουµε ότι αν f ( K Cl U ) Έστω f ( K, Cl( U )) Τότε, { } ο x K Οπότε, το σύνολο { }, ( ), τότε f Cl( K, U) f ( x, Z \ Cl( U )) (, \ ( )) για κάποι- x Z Cl U είναι ανοικτή περιοχή της απεικόνισης f στο χώρο C ( Y, Z ) Επειδή ({ } ) x, Z \ Cl( U ) ( K, U ) =, έπεται ότι f Cl( K, U) 214 Πρόταση Για κάθε z Z θεωρούµε τη σταθερή συνάρτηση cz : Y Z µε cz ( y) = z, για κάθε y Y Η απεικόνιση g : Z Ct co ( Y, Z) µε g( z) = cz z Z, είναι οµοιοµορφισµός του Z επί υποχώρου του C ( Y, Z ) t co Απόδειξη S = c C( Y, Z) : z Z Προφανώς η g : Z Έστω { } z t co S είναι

1-1 και επί Αποδεικνύουµε ότι η g είναι συνεχής Έστω z Z και ( K, U ) ανοικτή περιοχή του g( z) = c z Τότε g( U) ( K, U) και άρα g συνεχής Ενώ αν U ανοικτή περιοχή του z τότε g 1 ( K, U ) U ( ) 1 και άρα g συνεχής Συνεπώς η g : Z S είναι οµοιοµορφισµός 215 Πρόταση Ο χώρος C ( Y, Z ) είναι Hausdorff αν και µόνο αν ο Z είναι t co Hausdorff Απόδειξη Έστω ότι ο χώρος C ( Y, Z ) είναι Hausdorff Από την Πρόταση t co 214 ο χώρος Z είναι οµοιόµορφος µε υπόχωρο του Ct co ( Y, Z ) Από την Πρόταση 1525 έπεται ότι ο Z είναι Hausdorff Αντιστρόφως, έστω ότι ο χώρος Z είναι Hausdorff Έστω f, g C( Y, Z) και f g Τότε, υπάρχει y Y τέτοιο ώστε f ( y) g( y) Επειδή ο Z είναι Hausdorff, υπάρχουν ανοικτά σύνολα U και V του χώρου Z τέτοια ώστε f ( y) U και g( y) και { } y U y V = Άρα ο χώρος C ( Y, Z ) είναι Hausdorff Vκαι U V = (, ) ({ }, ) ( ) Προφανώς f { y}, U, { } 42 (, ) g y V t co 216 Πρόταση Ο χώρος Ct co ( Y, Z ) είναι T 1αν και µόνο αν ο Z είναι T 1 Απόδειξη Η απόδειξη είναι ανάλογη της προηγούµενης πρότασης 217 Πρόταση Ο χώρος C ( Y, Z ) είναι κανονικός εάν και µόνο εάν ο Z είναι κανονικός Απόδειξη t co

Έστω ότι ο χώρος C ( Y, Z ) είναι κανονικός Όπως και στην t co προηγούµενη πρόταση ο Z είναι κανονικός Αντιστρόφως, επειδή ο Z είναι T 1 από την προηγούµενη πρόταση ο χώρος Ct co ( Y, Z ) είναι T 1 Έστω f ( K, U), όπου K K( Y) και U O( Z) Τότε, f ( K) U Επειδή το f ( K ) είναι συµπαγές υποσύνολο του κανονικού χώρου Z (συνεχής εικόνα συµπαγούς) από την Πρόταση 1811 υ- πάρχει ανοικτό σύνολο V του Z τέτοιο ώστε f ( K) V Cl( V ) U Από την Πρόταση 213 έχω f ( K, V ) Cl( K, V ) ( K, Cl( V )) ( K, U) Άρα από την Πρόταση 1511 συµπεραίνουµε ότι ο χώρος C ( Y, Z ) είναι κανονικός t co 218 Πρόταση Ο χώρος C ( Y, Z ) είναι Tychonoff αν και µόνο αν ο Z είναι t co Tychonoff Απόδειξη Έστω ότι ο χώρος C ( Y, Z ) είναι Tychonoff t co Όπως και στην προηγούµενη πρόταση ο Z είναι Tychonoff Αντιστρόφως, έστω ότι ο χώρος Z είναι Tychonoff και έστω f ( K, U), όπου K K( Y) και U O( Z) Τότε, f ( K) U Αφού ο Z είναι T 1 (αφού είναι Tychonoff ) και ο Ct co ( Y, Z ) είναι T 1 Επειδή ο Z είναι Tychonoff και το f ( K ) είναι συµπαγές υποσύνολο του Z, από την Πρόταση 1815, υπάρχει συνεχής συνάρτηση : [ 0,1] F Z τέτοια ώστε ( ( )) { 0} Θεωρούµε τη συνάρτηση : (, ) [ 0,1] F f K = και F( z) = 1, z Z \ U G C Y Z όπου t co { ( ) } G( h) = sup F h( y) : y K, h C ( Y, Z) Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής t co 43

Παρατηρούµε ότι G( f ) = sup { F( f ( y)) : y K} = 0 Επίσης G( h ) = 1, για κάθε h ( K, U), Πράγµατι, αφού h ( K, U), υπάρχει y K µε h( y) Z \ U Οπότε, ( ( )) 1 G( h) = sup F( h( y)) : y K = 1 F h y = και { } Από την Πρόταση 1517 έπεται ότι ο χώρος C ( Y, Z ) είναι Tychonoff 219 Παρατήρηση Αν ο Z είναι φυσικός τότε υπάρχει περίπτωση ο χώρος C ( Y, Z ) να µην είναι φυσικός Για παράδειγµα ο χώρος t co Z = [0,1] µε τη συνήθη τοπολογία είναι φυσικός, αλλά ο C Q,[0,1], όπου Q το σύνολο των ρητών µε τη τοπολογία t co ( ) που επάγεται από τη συνήθη τοπολογία των πραγµατικών αριθµών, δεν είναι φυσικός (Βλέπε [2] σελίδα 259) 22 Η σηµειακή-ανοικτή τοπολογία 221 Ορισµός Η τοπολογία επί του C( Y, Z ) που έχει υποβάση τα σύνολα ( y, U ), όπου y Y και U O( Z), καλείται σηµειακή-ανοικτή (pont-open) τοπολογία επί του C( Y, Z ) και συµβολίζεται t p Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει άµεσα η εξής πρόταση: 222 Πρόταση Για τις τοπολογίες t p t co t co 44 t p και t co επί του C( Y, Z ) έχουµε ότι Απόδειξη Αφού τα µονοσύνολα του Y είναι συµπαγή το συµπέρασµα έπεται

223 Πρόταση Ο χώρος C ( Y, Z ) είναι οµοιόµορφος υποχώρου του χώρου γινόµενο { Z y : y Y} t p Π όπου Z y = Z για κάθε y Y Απόδειξη Θεωρούµε την απεικόνιση e : Ct p ( Y, Z) Π{ Z y : y Y} µε e( f ) = { f ( y) } y Y, για κάθε f Ct p ( Y, Z ) (1) Θα δείξουµε ότι η e είναι συνεχής Έστω 1 1 1 U = p ( V ) p ( V ) p ( V ) y 1 y 2 y n 1 2 ένα στοιχείο της κανονικής βάσης του { Z y : y Y} Για = 1, 2,, n έχουµε Άρα και το e 1 ( U ) ( ) { } ( ) 1 e p 1 ( V ) = y, V y ({ 1} 1) { n} n Π ( n) 1 e ( U ) = y, V y, V είναι ανοικτό στο χώρο Ct p ( Y, Z ) 1 (2) Θα δείξουµε ότι η e είναι συνεχής Έστω ( S, V ) όπου S = { s1, s2,, sn}, ένα στοιχείο της βάσης του C ( Y, Z ) Τότε ( ) = { } { } { } t p (( 1 2 n )) ({ }, ) ({ }, ) 1 2 ({ }, n ) e ( S, V ) e s s s, V και άρα το ((, )) του { Z y : y Y} ( ) = e s V s V s V p ( V ) p ( V ) p ( V ) = 1 2 1 1 1 s s s n 45 e S V είναι ανοικτό στον υπόχωρο e( Ct p ( Y, Z )) Π 224 Πρόταση Αν ο χώρος Z είναι Hausdorff ή κανονικός ή Tychonoff, τότε και ο χώρος C ( Y, Z ) είναι Hausdorff ή κανονικός ή Tychonoff, t p

αντίστοιχα Απόδειξη Από την Πρόταση 223 ο χώρος C ( Y, Z ) είναι οµοιόµορφος Π όπου Z y = Z για κάθε y Y Αν ο Z είναι Hausdorff ή κανονικός ή Tychonoff από τις Προτάσεις 168 και 169 έπεται ότι ο χώρος γινόµενο όπως και κάθε υπόχωρος του είναι Hausdorff ή κανονικός ή υποχώρου του χώρου γινόµενο { Z y : y Y} Tychonoff αντίστοιχα Το συµπέρασµα έπεται από την Πρόταση 1525 συνεχής απεικό- 225 Πρόταση Έστω X τοπολογικός χώρος και f : X Y νιση Τότε, η F : C ( Y, Z ) C ( X, Z) µε t p t p t p 46 F( g) = g f, για κάθε g C ( Y, Z ), είναι συνεχής Απόδειξη Έστω x X, U O( Z) και g C( Y, Z) Τότε, F( g) = g f ( x, U) <=> ( g f )( x) U <=> g( f ( x)) U <=> g ( f ( x), U) Άρα ( ( ), ) F f x,u x,u f x U ανοικτή περιοχή της g και ( ) Συνεπώς, η F είναι συνεχής (( )) ( ) 23 Βασικές προτάσεις για τις τοπολογίες t co και t p y t p 231 Πρόταση Για κάθε y Y η ω : C ( Y, Z) Z µε ω ( f ) = f ( y), για κάθε f C( Y, Z), είναι συνεχής Απόδειξη Από την Πρόταση 223 η : t p (, ) Z y = Z για κάθε y Y, είναι συνεχής Επίσης η προβολή e C Y Z Π{ Z y : y Y} y όπου

47 { } p : Π Z : y Y Z = Z είναι συνεχής y y y Οπότε, η py e : Ct p ( Y, Z) Z είναι συνεχής Προφανώς, py e= ωy για κάθε y Y Συνεπώς, η ω είναι συνεχής y t p 232 Πρόταση Έστω Z Hausdorff χώρος και K συµπαγές υποσύνολο του C ( Y, Z ) Τότε, το K είναι κλειστό και για κάθε y Y το σύνολο { f ( y) : f K} είναι συµπαγές υποσύνολο του Z Απόδειξη Επειδή ο χώρος Z είναι Hausdorff από την Πρόταση 224, και ο χώρος C ( Y, Z ) είναι επίσης Hausdorff Αφού K συµπαγές t p από την Πρόταση 1813 έπεται ότι το K είναι κλειστό υποσύνολο του Ct p ( Y, Z ) Έστω y Y Θεωρούµε την απεικόνιση ωy : Ct p ( Y, Z) Z µε ωy ( f ) = f ( y), για κάθε f C( Y, Z) Από την Πρόταση 231, η απεικόνιση αυτή είναι συνεχής Συνεπώς το σύνολο ω ( K) = f ( y) : f K είναι συµπαγές υποσύνολο του Z y { } 233 Ορισµός Μια ακολουθία απεικονίσεων ( f n), fn C( Y, Z ), λέµε ότι συγκλίνει σηµειακά στην απεικόνιση f C( Y, Z) όταν η ακο- f y συγκλίνει στο f ( y ) για κάθε y Y λουθία ( ) n ( ) 234 Πρόταση Μια ακολουθία απεικονίσεων ( f n), fn C( Y, Z ), µια απεικόνιση f C ( Y, Z ) f συγκλίνει σηµειακά στην απεικόνιση f εάν και µόνο εάν η ( ) t p συγκλίνει σε n

Απόδειξη Έστω µια ακολουθία απεικονίσεων ( f n) η οποία συγκλίνει στο C Y Z σε µια απεικόνιση f Θα δείξουµε ότι η ( f ) χώρο t p (, ) συγκλίνει σηµειακά στην f Έστω y Y και U O( Z) έτσι ώστε f ( y) U Τότε, f ( y, U) f συγκλίνει στο C ( Y, Z ) Επειδή η ακολουθία ( ) στην απεικόνιση f, υπάρχει n0 N τέτοιος ώστε fn ( y, U ) για κάθε n n0 Αυτό σηµαίνει ότι fn ( y) U για κάθε n n0, δηλαδή η ακολουθία ( f n) συγκλίνει σηµειακά στην απεικόνιση f f συγκλίνει σηµειακά Αντιστρόφως, έστω ότι µια ακολουθία ( ) n στην απεικόνιση f Θα δείξουµε ότι η ( ) n C ( Y, Z ) στην f t p n t p 48 f συγκλίνει στο χώρο Έστω y Y και U O( Z) έτσι ώστε f ( y, U) Τότε f ( y) U Επειδή η ( f n) συγκλίνει σηµειακά στην απεικόνιση f υπάρχει n0 N τέτοιος ώστε fn ( y) U για κάθε n n0 Συνεπώς, fn ( y, U ) για κάθε n n0 ηλαδή, η ( f n) συγκλίνει στο χώρο Ct p ( Y, Z ) στην f 235 Ορισµός Έστω X, Y, Z τοπολογικοί χώροι και F : X Y Z συνεχής απεικόνιση Για κάθε x X µε Fx : Y Z συµβολίζουµε τη συνεχή απεικόνιση για την οποία Fx ( y) = F( x, y) για κάθε y Y Με F ˆ : X C( Y, Z) συµβολίζουµε την απεικόνιση για την οποία F ˆ ( x ) = Fx για κάθε x X Έστω G : X C( Y, Z) απεικόνιση Με G : X Y Z n

49 συµβολίζουµε την απεικόνιση για την οποία G ( x, y) = G( x)( y), για κάθε ( x, y) X Y 236 Ορισµός Έστω X, Y, Z τοπολογικοί χώροι και έστω t τοπολογία επί του συνόλου C( Y, Z ) Η t καλείται διαχωριστική (splttng) όταν για κάθε χώρο X η συνέχεια της απεικόνισης F : X Y Z συνεπάγεται τη συνέχεια της απεικόνισης F ˆ : X C (, ) t Y Z Η τοπολογία t στο C( Y, Z ) καλείται συνδετικά συνεχής (jontly contnuous ή admssble) όταν για κάθε χώρο X η συνέχεια της απεικόνισης G : X Ct ( Y, Z ) συνεπάγεται τη συνέχεια της απεικόνισης G : X Y Z Αν στον παραπάνω ορισµό ο τοπολογικός χώρος X ανήκει σε µια οικογένεια τοπολογικών χώρων A, τότε η t καλείται Α-διαχωριστική (A-splttng) ή αντίστοιχα Α-συνδετικά συνεχής (A-admssble) 237 Ορισµός Έστω Y, Z τοπολογικοί χώροι Με e : C( Y, Z) Y Z συµβολίζουµε την απεικόνιση για την οποία e( f, y) = f ( y) για κάθε ( f, y) C( Y, Z) Y Η απεικόνιση e καλείται απεικόνιση εκτίµησης (evaluaton map) 238 Πρόταση Μια τοπολογία t επί του συνόλου C( Y, Z ) είναι συνδετικά συνεχής εάν και µόνο εάν η απεικόνιση εκτίµησης e : Ct ( Y, Z ) Y Z

είναι συνεχής Απόδειξη Έστω ότι η τοπολογία t επί του συνόλου C( Y, Z ) είναι συνδετικά συνεχής Αποδεικνύουµε ότι η e : Ct ( Y, Z ) Y Z είναι συνεχής Η απεικόνιση G : Ct ( Y, Z ) Ct ( Y, Z ) µε G( f ) = f για κάθε f Ct ( Y, Z ), είναι συνεχής Επειδή η t είναι συνδετικά συνεχής η G : Ct ( Y, Z) Y Z είναι συνεχής Προφανώς G = e και άρα η απεικόνιση εκτίµησης είναι συνεχής Αντιστρόφως, έστω ότι η απεικόνιση εκτίµησης e : Ct ( Y, Z ) Y Z είναι συνεχής Θα δείξουµε ότι η τοπολογία t είναι συνδετικά συνεχής Έστω G : X Ct ( Y, Z ) συνεχής απεικόνιση Πρέπει να δείξουµε ότι η απεικόνιση G : X Y Z είναι συνεχής Όµως η απεικόνιση G d : X Y Ct ( Y, Z) Y όπου d( y) = y για κάθε y Y και ( G d) ( x, y) = ( G( x), y) για κάθε ( x, y) X Y, είναι συνεχής Επειδή G = e ( G d) η G είναι συνεχής, ως σύνθεση συνεχών απεικονίσεων 239 Πρόταση Μια τοπολογία επί του συνόλου C( Y, Z ) µεγαλύτερη από µια συνδετικά συνεχής τοπολογία είναι επίσης συνδετικά συνεχής Απόδειξη Έστω t συνδετικά συνεχής τοπολογία και t 1 τοπολογία επί του C( Y, Z ) έτσι ώστε t t1 Αποδεικνύουµε ότι η t 1 είναι συνδετικά συνεχής 50

Προφανώς η τοπολογία του χώρου C (, ) t 1 Y Z Y είναι µεγαλύτερη της τοπολογίας του χώρου Ct ( Y, Z) Y Αφού t συνδετικά συνεχής η απεικόνιση e : Ct ( Y, Z ) Y Z είναι συνεχής Άρα και η απεικόνιση e : C ( Y, Z) Y Z t 1 είναι συνεχής Συνεπώς η t 1 είναι συνδετικά συνεχής 2310 Πρόταση Μια τοπολογία επί του συνόλου C( Y, Z ) µικρότερη από µια διαχωριστική τοπολογία είναι επίσης διαχωριστική Απόδειξη Έστω t διαχωριστική τοπολογία επί του C( Y, Z ) και t 1 τοπολογία επί του C( Y, Z ) έτσι ώστε t 1 t Αποδεικνύουµε ότι η t 1 είναι διαχωριστική Έστω F : X Y Z συνεχής απεικόνιση Θα δείξουµε ότι η α- πεικόνιση F ˆ = F ˆ : X C ( Y, Z ) είναι συνεχής t 1 1 Επειδή η t είναι διαχωριστική, η απεικόνιση Fˆ ˆ t = F : X Ct ( Y, Z ) είναι συνεχής Επίσης, η απεικόνιση d : C ( Y, Z) C ( Y, Z), µε d( f ) = f για κάθε f Ct ( Y, Z ), είναι συνεχής Άρα, η απεικόνιση d F ˆ : X C ( Y, Z ), που συµπίπτει µε την απεικόνιση t 1είναι διαχωριστική τοπολογία t t t t 1 ˆt1 t 1 51 F, είναι συνεχής Συνεπώς η 2311 Πρόταση Επί του συνόλου C( Y, Z ) υπάρχει µέγιστη διαχωριστική τοπολογία, δηλαδή υπάρχει διαχωριστική τοπολογία που είναι µεγαλύτερη από κάθε διαχωριστική τοπολογία και συνεπώς είναι µοναδική