УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић Београд 200.
ПРЕДГОВОР Овај мастер рад је посвећен појмовима доње и горње граничне вредности низа и низа скупова на скупу реалних бројева. У првом делу рада сам обрадио горњи и доњи лимес низа и низа скупова. Други део рада обрађује основне појмове Лебегове мере, Лебеговог интеграла и мерљиве функције. У трећем делу рада наводимо неједнакости о Лебеговој мери. Четврти део рада се састоји од левел скупова и епи лимеса. Аутор дугује велику захвалност ментору рада проф. др. Кечкићу и члановима комисије за одбрану: проф. др. Ивану Аранђеловићу и мр.ђорђу Кртинићу Београд 30.0.200. Милинко Миловић
САДРЖАЈ ПредговорKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK Садржај KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 2. Горњи доњи лимес KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 3 2. Лебегова мера и лебегов интеграл на скупу реалних бројева KKKKKK 7 3. Једна неједнакост о лебеговој мери KKKKKKKKKKKKKKK 2 4. Левел скупови и епи лимеси KKKKKKKKKKKKKKKKK 25 2
I ГОРЊИ И ДОЊИ ЛИМЕС У овом делу уводимо дефиниције доње и горње границе низа и скупа и неке теореме. Дефиниција : Нека је A и A..Реалан број g зовемо доња граница скупа A ако важи ( x)( x A) ( g x). 2. Реалан број G зовемо горња граница скупа A ако важи ( x)( x A) ( x G). Теорема :. Може постојати највише једна доња граница скупа која му припада. 2. Може постојати највише једна горња граница скупа која му припада. Доказ:. Нека су g и g 2 доње границе скупа A и нека g ( )( ) ( ) x x A g x g g 2 A и g2 A. Како је и ( )( ) ( ) x x A g x g g 2 2 па је g = g. 2 2. Слично као под. Дефиниција 2:.Доњу границу g скупа A која му припада зовемо минимум скупа A и пишемо mi A = g. 2.Горњу границу G скупа A која му припада зовемо максимум скупа A и пишемо max A = G. Tеорема 2:. Ако скуп A има доњу границу, онда постоји максимум скупа S свих доњих граница. горњих граница. 2. Ако скуп A има горњу границу, онда постоји минимум скупа T свих Доказ: Ову теорему доказујемо на основу представљања реалних бројева помоћу децималних записа. 3
. Ако постоји доња граница скупа A онда постоји и g који је доња граница. Разликујемо два случаја:.. g = mi A. Тада је g = max S. Заиста, ако је g произвољна доња граница од A, онда је Дакле ( x)( x A) ( g x) g g. ( g )( g S ) g g, што значи да је g једна горња граница од S. Како је при томе g S, то значи да је g = max S.. 2. ( x)( x A) ( g x). Формираћемо низ g2, g3, K, g, K на следећи начин:. Нека је природан број или нула који задовољава релацију: ( x)( x A)( g x) ( x)( x A)( x g ) + < + +. Ставимо g2 = g +. Ако је g2 = mi A, поступак се обуставља и доказ је даље као под, само за g 2. Ако није g2 = mi A, идемо на следећи корак. 2. Нека је 2 елемент скупа { 0,,2,,9} K који задовољава релацију ( x)( x A)( g 0, x) ( x)( x A)( x g 0, 0,) + < + +. 2 2 2 2 Узмимо g3 = g2 + 0, 2. Ако је g3 = mi A, поступак се обуставља и доказ је даље као под, само за g 3. Ако није g3 = mi A, идемо на следећи корак. Нека је елемент скупа { 0,,2,,9} K који задовољава релацију ( x)( x A)( g + 0,0 0 x) ( x)( x A)( x < g + 0,0 0 + 0,0 0) K K K. Ставимо g = g + 0,0K 0. Ако је g = mi A, поступак се обуставља и доказ је даље + као под, само за g +. Ако није g+ = mi A, идемо на следећи корак итд. Нека је g децималан број који за сваки природан број ( 2) има првих 2 децимала истих као и g. Тада је g = max S. Пре свега, из самог начина формирања низа g, g2, g3, K, g, K следи да је g доња граница скупа A. 4
Претпоставимо сада да је g произвољан реалан број за који важи g > g. Како су g и g децимални бројеви, то из релације g > g следи да постоји природан број j такав да g и g имају ( j ) ву исту децималу, док је z > z, j j при чему је z j j децимала од g а z j j децимала од g. С обзиром да из претходног поступка следи ( x)( x A) ( x g j + 2 0, 0 0) < + K, јер g j + 2 и g имају истих првих j децимала, имамо ( x)( x A) ( x < g ). Сваки број g ( g g ) 2. Доказује се слично као под. > није доња граница скупа A, па је према томе g = max S. На основу претходног тврђења можемо увести нове појмове: Дефиниција 3:. Ако за скуп A важи да је ( )( ) ( x)( x A)( x < ) онда кажемо да скуп A нема доње границе и пишемо if A =. 2. Ако скуп A има доњу границу, онда највећу доњу границу скупа A зовемо инфимум од A и пишемо { ( )( )( )} if A = max g x x A g x. 3. Ако за скуп A важи да је ( )( ) ( x)( x A)( x) онда кажемо да скуп A нема горње границе и пишемо sup A =. 4. Ако скуп A има горњу границу, онда најмању горњу границу скупа A зовемо супремум од A и пишемо { ( )( )( )} sup A = mi G x x A x G. Дефиниција 4: Нека је T скуп свих тачака нагомилавања низа { } x и A { a } =. реалних бројева 5
. Ако је if A =, онда пишемо lim if a =, и читамо лимес инфериор од a је минус бесконачност 2. Ако је sup A =, онда пишемо limsup a =, и читамо лимес супериор од a је плус бесконачно. 3. Ако је скуп A ограничен, онда је и lim if lim sup a a У употреби су још и ознаке : lim lim = if T = supt. (чита се доњи лимес ) уместо lim if и (чита се горњи лимес ) уместо limsup. Пример :. Нека је a = ( ). Тада је { 0} lim if 2. Нека је a = ( ). Тада је { } 3. Нека је a = ( ) ( ). Тада је {,} 4. Нека је a ( ) a не постоји. 5. Нека је a ( ) T = и lim if a = limsup a = 0. T = и limif a = limsup a =. T = limif a = и limsup a = =. Тада је T = θ и sup A =, па је limsup a = док =. Тада је T = θ и if A =, па је limif a =, док limsup a не постоји. Дефиниција 5: Нека је { } a низ реалних бројева.. Ако постоји реалан број a такав да важи lim if a = lim sup a = a, онда кажемо да је низ { } a lim a = a, конвергентан и пишемо и за a кажемо да је гранична вредност (limes) низа { a }, односно да низ{ a } конвергира ка вредности a. 6
2.Ако не постоји limif lim a =. a, а limsup a =, онда пишемо 3. Ако не постоји limsup a, а limif a =, онда пишемо lim a = 4. У случајевима 2. и 3. кажемо да је низ { } a 5.Ако постоји lim if при томе lim if a онда кажемо да је низ { } a Пример 2:. Низ 2. Низ { } 3. Низ { } одређено дивергентан. a и limsup a, било да су реални бројеви или да су, или, и lim sup a, неодређено дивергентан. је конвергентан и 4. Низ { } lim = 0. је конвергентан и lim =. 5. Низ {( ) } 6. Низ Теорема 3: Нека је { } a постоји 0 тако да је је одређено дивергентан и lim =. је одређено дивергентан и lim ( ) је неодређено дивергентан. ( ) ( ) + ( ) =. + је неодређено дивергентан. 2 2 ( ) низ са позитивним члановима такав да за свако ε > 0 a < a + ε 0 + тада је низ конвергентан. Доказ: Из услова тореме, за изабрано 0 имамо ε >, одговарајуће ( ) 0 ε и фиксирано 0 lim a = lim a a + ε. () + Означимо lim a = A и lim a = a. Како је a > 0 за, то је 0 a A. 7
Из релације (), како је за све > 0 следи A < a + ε, A lim a + ε = a + ε. (2) Неједнакост (2) важи за све ε > 0. Значи, A a, одакле добијамо A = a, те је низ { a } конвергентан. Теорема 4: Нека су { } a 0. Тада је lim a Доказ: За сваки 0 и { } b lim b и lim a limb. је if { a } if { b } ограничени низови такви да је a b за свако и како је { } { } lim a = lim if a = sup if a,, то је lim a lim b. На исти начин се доказује да је за свако 0 sup{ a } sup { b } и због { } { } ( ) lim a = lim sup a lim sup b = lim b,. Напомена. Уочене неједнакости важе и за произвољне низове у проширеном скупу реалних бројева = U ( ) Теорема 5: Нека су { } a важи неједнакост,. и { } b ограничени низови ненегативних бројева. Тада ( ) ( ) lim a lim b lim a b lim a lim b lim a b lim a lim b. () Доказ:. Докажимо да је Како је lim a limb lim( a b ) = { } и limb = lim if { b } lima lim if a и за сваки и за сваки је { } { } if a a, if b b, 8
одакле следи па је и то је тј. if { } if { } a b a b за свако, { a } { b } { a b }( ) if if if, ({ a } { b }) { a } { b } { ab }( ) lim = lim if lim if lim if, lima limb lim( a b ). 2. Докажимо да је ( ) lim a b lim a lim b. d = sup b,. Тада је Уведимо ознаку { } { } lim b = lim d = if d. За сваки и за сваки je b d, пa je ab ad за свако, одакле следи и тј. 3. Докажимо да је { a b } { a d } = d { a }( ) if if if { } { } ( ) { }( ) lim if a b lim d if a = lim d lim if a, ( ) lim a b lim a lim b. lim a lim b lim( a b ). c = if a,. Тада је lim a = lim c. За сваки Уведимо ознаку { } и за сваки је a c, па је и ab cb за свако. Следи да је као и { a b } { c b } = c { b }( ) sup sup sup { } { } ( ) { }( ) lim sup a b lim c sup b = lim c lim sup b, 9
што да је 4. Докажимо да је па је и Стога је, тј. ( ) lim a b lim a lim b. ( ) lim a b lim a lim b. За сваки и сваки је a sup { a }( ), b sup{ b } онда следи { } sup{ }( ) a b sup a b, { a b } { a } { b }( ) sup sup sup. { } { } { } ( ) { } { }( ) lim sup a b lim sup a sup b = lim sup a lim sup b, ( ) lim a b lim a lim b. Напомена. Неједнакост () је тачна и у проширеном скупу реалних бројева (, ) = U уколико су производи ab, ab и ab дефинисани, тј. ако нису облика 0. Напомена 2. Из доказане неједнакости непосредно следи да је за конвергентан низ { } a ненегативних бројева и произвољан низ { } b ( a b ) = a b и ( ) lim lim lim Напомена 3. За произвољан низ { } a у : lim a b = lim a lim b. позитивних бројева важе следеће једнакости lim = a lim a и lim = a lim a. неједнакости Ако је lim a > 0 и lim a < тврђење следи непосредно из доказане и = lim a lim a lim lim a = a a a = lim a lim lim a lim a =. a a a 0
Ако је lim 0 a = постоји подниз { a } a низа { } који конвергира 0. Тада a и lim a =. Ако је lim a =, низ { } a неграничен низ има a тачку нагомилавања 0 и lim 0 a =. Горња и доња гранична вредност низа скупова Појмови горње и доње граничне вредности (лимеса) низа могу се пренети и на низове скупова. Нека је { A } низ скупова. Лимес супериор се дефинише као скуп свих елемената који се налазе у бесконачно много чланова, а лимес инфериор као скуп свих елемената који се налазе у свим, сем у највише коначно много чланова тог низа скупова. Уколико су та два скупа једнака, за низ скупова { A } важи lim A = lim A = lim A. Теорема 6: За произвољан низ скупова { A } важи: кажемо да је конвергентан и =UI и lim A A = = =IU. lim A A = = Доказ: Из x lim A следи да за сваки природан број постоји такав да је x A, одкле добијамо да x U A за свако, па је према томе = x IU A. = = Тиме смо показали да је lim A A Претпоставимо сада да је = = IU. = = x IU A.
Дакле, добијамо да је x U A за свако, па за сваки природан број постоји = такав да је x x A, одакле следи lim A. На тај начин смо добили: lima IU A. = = Из x lim A следи да постоји природан број такав да је за свако x A, одакле добијамо да x I A, па је према томе = x UI A. = = Тиме смо показали да је Претпоставимо сада да lim A A = = UI. = = x UI A. Дакле, добијамо да постоји такав да је одакле следи x A. На тај начин смо добили x I A, па за свако важи x A, = UI. lim A A = = Теорема 7: За произвољан низ скупова { A } Доказ: Из x I A lima lima U A. = = важи: I A следи да x припада свим члановима низа па према томе x lim A =. Ако је x lim A онда се x налази у бесконачно много чланова низа, па према томе x lim A. Из x lim A следи да се x налази у бар једном члану низа, па x U A. = 2
Низ скупова { A } важи A A ( A A ) + + је рстући (опадајући) ако за сваки природан број. Низ скупова је монотон ако је растући или опадајући. Теорема 8: Сваки монотон низ скупова је конвергентан..ако је { A } растући низ, тада је =U. lim A A = 2. Ако је { A } опадајући низ, тада је =I. lim A A = Доказ: Према теореми 7. увек важи lim A инклузије. односно Нека је { } lim A. Остaje нам да докажемо обрнуте A растући низ скупова. Из x A следи да x I A, па је UI x A = lim A = = = U A lim A. Из теореме 7. добијамо обрнуте инклузије па према томе важи па је Нека је { } lim A = lim A =U A. = = A опадајући низ скупова.из x A следи да x U A одакле је IU x A = lim A I = = = A lim A Из теореме 7. добијамо обрнуте инклузије па према томе важи lim A = lim A =I A. = = 3
Теорема 9: Ако су { A } и { B } Тада је A lim A Доказ: Из x lim A Из x B. два низа скупова таква да је за свако lim B и lim A lim B. да се x налази у бесконачно много чланова низа { } A следи x B бесконачно много чланова низа { } Из низа { } lim A A., за сваки природан број, па се према томе x налази у lim B. B, одакле следи x lim B. Према томе важи: x lim A следи да се x налази у свим, сем у највише коначно много, чланова B, одакле следи x lim B. Према томе важи lim A lim B. Теорема 0: Ако су { A } и { B } c c. ( lima ) lim ( A ) = ; c c 2. ( lima ) lim( A ) = ; два низа скупова тада је: I I ; 3. lim ( A B ) = ( lima ) ( limb ) U U ; 4. lim ( A B ) = ( lima ) ( limb ) U U ; 5. ( lima ) ( limb ) lim( A B ) I I ; 6. lim ( A B ) ( lima ) ( limb ) ; 7. A lim A lim ( A A ). 8. A lim A lim ( A A ) Доказ:. Коришћењем Де Морганових правила добијамо c c c c ( lima ) = A = A = A = lim ( A ) IU U I UI. = = = = = = c 4
2. Коришћењем Де Морганових правила добијамо c c c c ( lima ) = A = A = A = lim ( A ) 3. Из x ( A B ) много, чланова низа ( A B ) UI I I IU. = = = = = = lim I следи да се x налази у свим, сем у највише коначно I. Према томе постоји природан број m такав да за свако c m, Значи x се налази у свим, сем у највише коначно много чланова низа { A } налази у свим, сем у коначно много, чланова низа { B } ( A B ) је ( lim ) ( lim ) x A I B. 4. Из x ( A B ). Према томе x A и x B. и да се x lim U следи да се x налази у бесконачно много чланова низа U. Према томе за сваки природан број m постоји природан број m такав да x A или x B. Одакле следи да се x налази у бесконачно многo чланова низа { A } или да се x налази у бесконачно много чланова низа { B } ( lim ) ( lim ) x A U B.. Према томе: У теореми 0. за тачке 5, 6, 7 и 8. могу се конструисати контра примери из којих се се види да не важе обрнуте инклузије, одакле следи да у општем случају не важе одговарајуће једнакости. На пример, ако је { a} A = и { a } {, b, = 2 =, { } онда је:, = 2 +, A b { } { b, = 2 + A A = { a, b}, = 2, одакле следи lim A = { a, b}, A lim A = { b} и lim ( A A ) = { a, b} не важи једнакост., па према томе у 5.8. Нека је A произвољан скуп реалних бројева. Са χ A означавамо карактеристичну функцију скупа A дефинисану са: χ A ( x) c 0, x A =, x A. 5
Теорема : Нека је { A } произвољан низ скупова. Тада је Доказ: Ако је χ ( x) ( x) χ lim lim χ A =. A lim = онда функције A χ A узимају бесконачно много пута вредност у тачки x, одакле следи да се x налази у бесконачно много чланова низа { } A то јест x lima, па је према томе χ =. lim Ако је ( x) limχ = 0 онда функције A у тачки, одакле следи x lim A па је према томе χ = 0. lim A χ A узимају коначно много пута вредност A 6
II ЛЕБЕГОВА МЕРА И ЛЕБЕГОВ ИНТЕГРАЛ НА СКУПУ РЕАЛНИХ БРОЈЕВА Уовом делу рада дефинишемо: σ прстен, адитивну функцију, Лебегову меру, спољну меру на скупу реалних бројева, мерљиве функције и Лебегов интеграл. Наводимо и неке значајне теореме без доказа које користимо у даљем раду. Колекција подскупова непразног скупа X, зове се σ прстен ако: а) Из A, B следи AI B б) Из A, =, 2, K следи U A. = Функција f : (, ) ( ) = ( ) + ( ) је адитивна ако из A, B и AI B = следи f AU B f A f B, а σ адитивна ако из A R, =,2, K следи f A = f A U ( ). = = Лебегова мера. Нека је σ прстен и λ : ( 0, ) Ако за сваки растући низ скупова A, =, 2K важи ( A ) = λ ( U A ) lim λ σ адитивна функција. онда је λ Лебегова мера на σ прстену. Спољна мера на скупу реалних бројева. Коначне уније отворених интервала зову се елементарни скупови и они чине прстен елементарних скупова. Мера интервала се дефинише као његова дужина. Како се сваки елементарни скуп A може представити као унија дисјунктних интервала, тј. A =U I = тада се његова мера дефинише са λ ( A) = λ ( I ). = 7
За било који скуп B подскуп скупа реалних бројева, његова спољна мера дефинише се релацијом где је ( ) if ( ) m B = A, A, пребројив прекривач скупа B елементарним скуповима а инфимум се узима преко свих таквих покривача. За скупове A и B подскупове скупа реалних бројева, нека је (, ) = ( ) d A B m A B где је са A B означена симетрична разлика скупова A и B. Тада пресликавање d са партитивним скупом реалних бројева образује псеудо метрички простор, тј. испуњене су све метричке аксиоме осим што из d ( A, B ) = 0 не следи A = B. А подскуп скупа реалних бројева за који постоји низ { } таквих да је A = lim A, A мерљивих скупова где се конвергенција узима у смислу метрике d, назива се коначно мерљив, а скуп који је пребројива унија коначно мерљивих скупова зове се мерљив скуп. Колекција мерљивих скупова означава се са M. функција. Колекција M мерљивих скупова је σ прстен а m на M је σ адитивна Рестрикција спољне мере на колекцију M зове се Лебегова мера и обиљежава са λ. Скуп A, за који је λ ( A) = 0, зове се скуп мере нула. За неку особину везану за реалне бројеве, која не важи само у тачкама скупа A, где је λ ( A) = 0 каже се да важи скоро свуда на скупу реалних бројева. Мерљиве функције. Нека је са означен скуп реалних бројева. Функција f :, је мерљива ако и само ако су скупови { x f ( x) > c} мерљиви за свако c. Теорема : Нека је f низ мерљивих функција. За x N дефинишимо: ( ) = sup ( ), ( ) = if ( ), ( ) = lim ( ), и h ( x) f ( x) g x f x g x f x h x f x 2 2 = lim. 8
Тада су функције g, g2, h и h 2 такође мерљиве. Теорема 2: Ако су f и g мерљиве а F : ( ) ( ) ( ), ( ) h x = F f x g x мерљива функција. функције. Специјално f g, f g, f g, 2 + и f g (ако је g ( x) 0, непрекидна функција онда је x ) су мерљиве Лебегов интеграл. Карактеристична функција скупа E се дефинише са где су χ E ( x ) = 0, c x E, x E. Коначна линеарна комбинација карактеристичних функција ( ) = α χe ( x) s x = E дисјунктни скупови, назива се проста функција. Примећујемо да је s ( x ) мерљива ако и само ако су сви E мерљиви. Нека је s ( x ) проста ненегативна мерљива функција дефинисана са ( ) = α χ ( x). s x = E Интеграл функције s ( x ) дефинише са U s dλ = λ ( E ). = = Ако је f ( x ) мерљива на и ненегативна, њен интеграл је f dλ = sup 0 s f s dλ где се супремум узима преко свих мерљивих простих функција које задовољавају неједнакост 0 s( x) f ( x) за свако x. Ако f :, њен позитивни део се дефинише са f ( x) + = ( ) ( ) f ( x) f x, f x 0, 0, < 0 а њен негативни део са f ( x) = f ( x) ( ) ( ) 0, > 0. f x, f x 0 9
Ако је f мерљива и ако је интеграл тада је интеграл функције дефинсан са f+ dλ или интеграл f dλ коначан, f dλ = f dλ + f dλ +. Ако су оба интеграла коначна, функција f је интеграбилна. Регуларност Лебегове мере. Нека је A Лебег мерљив скуп. а) За свакокε > 0 постоји отворен скуп V A λ > λ ε ; коначне мере то се своди на ( A) ( V ) такав да је λ ( V \ A) < ε, а ако је A б) Ако је A коначне мере онда за свако ε > 0 постоји компактан скуп K A такав да λ = λ λ < ε. је ( A \ K ) ( A) ( K ) Теорема Лузина. Нека је : (, ) постоји мерљив скуп A ( a, b) такав да је λ ( a b) Теорема Јегорова. Нека је f :[, ] тачка, и нека је 0 f a b мерљива функција, и нека је ε > 0. Тада (, \ A) < ε, и f је непрекидна на A. a b низ функција који конвергира ка f тачка по ε >. Тада постоји мерљив скуп A [ a, b] такав да је λ ([ a, b] \ A) такав да f конвергира ка f равномерно на скупу A. < ε и 20
III ЈЕДНА НЕЈЕДНАКОСТ О ЛЕБЕРГОВОЈ МЕРИ У овом делу рада наводимо неке познате теореме о и неједнакостима Лебегове мере као и њихове доказе који су објавили Иван Д.Аранђеловић и Дојчин С.Петковић. Нека је λ ознака за Лебегову меру на скупу реалних бројева. Теорема : Ако је { A } низ Лебег мерљивих скупова у, тада je:. λ ( lima ) limλ ( A ), док за неједнакост; 2. ако је λ ( U i= Ai ) < за бар једну вредност, онда важи λ ( lima ) limλ ( A ). Доказ:. Нека је B = I A, =, 2, K тада је B растући низ скупова који конвергира ка скупу λ i= B = lima. Пошто је Лебегова мера непрекидна одоздо, добијамо да је ( B) lim λ ( B ) =. Како је мера растућа функција и B Ai за i, па је λ ( B ) λ ( A ) за i односно λ ( A ) if λ ( B )( i ), одакле се кад добија тражена неједнакост. i 2. Нека је C = U A, =,2, K, тада је C опадајући низ скупова који конвергира скупу i= C = lima. Пошто је Лебегова мера непрекидна одозго на коначним скуповима добијамо да је λ ( C) lim λ ( C ) λ ( A ) λ ( C ) i за i тражена неједнакост. =. Како је мера растућа функција и Ai C односно λ ( C ) λ ( A ) за i па је sup i за i, одакле се кад a добија У општем случају имамо следећу неједнакост, која је доказана ураду [2]: Теорема 2: Нека је А мерљив скуп позитивне мере и { x } ограничен низ реалних бројева. Тада је λ Доказ: Нека је K A λ ( ) ( A) λ ( x A) ( lim( x K )) λ lim( x A) lim +. () компактан скуп. Из lim ( x K ) lim( x A) ( ) + +, па имамо Како је λ ( ) λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) + + следи λ К = lim λ x + K λ lim x + K λ lim x + A (2) A = sup { K К компактан подскуп од А}, то из (2) следи (). i 2
теореме. Познати пољски математичар Хуго Штајнхаузен је доказао наредне две Теорема 3: Нека је А Лебег мерљив скуп позитивне мере. Тада у А постоје бар две различите тачке чије је међусобно растојање рационалан број. Доказ. Нека је ( q ) произвољан ограничен низ рационалних бројева, такав да су им чланови различити. Из следи да скуп lim ( A q ) ( ) ( ) λ ( A q ) 0 < λ Α lim + + није празан. Тако постоје, 2 p + q = p2 + q2, што повлачи p p2 = qi q j. p p A и i, j такви да је Tеорема 4: Нека је A Лебег мерљив скуп позитивне мере. Тада његов скуп = = садржи неку околину нуле. разлика A A { x x a a, a, a A} 2 2 Доказ: Претпоставимо да тврдња није тачна. Тада постоји компактан скуп позитивне мере K Aтакав да разлика K K не садржи околину нуле. Одатле постоји конвергентан низ { } следи да је скуп lim ( K x ) { } x такав да је lim 0 ( ) ( K ) λ ( K x ) 0 < λ lim x = и { x } I ( K K ) =. Из непразан што повлачи да постоји t R такав да x + t K за бесконачно много вредности. Из lim x = 0 следи да t K, јер је K затворен. Тако постоје бесконачни низови { a j } x = a t K K, што је контрадикција. j j K и { x } { x } такви да је У овом делу рада дајемо даље примене ове неједнакости. Прва од њих је следећи доказ непрекидности мерљивих решења Кошијеве функцијоналне једначине. Први доказ ове тврдње даo је М. Фреше [4], али он се ослања на аксиому избора. Доказе независне од аксиоме избора дали су С. Банах [2] и В. Сјерпински [9]. j 22
Теорема 5: (М. Фреше [4]) Нека је f : мерљива функција таква да је ( ) ( ) f ( x + y) = f x + f y, за ма које x, y. Тада је f непрекидна функција. Доказ: Претпоставимо да f није непрекидна. Тада постојеε > 0, x и конвергентан низ { x } такав да је lim и ( ) ( ) x = x f x f x > ε. Тада, према теореми Лузина, постоји компактан скуп позитивне мере K такав да је f непрекидна на K. Низ { x } је ограничен, јер је конвергентан. Тада, према Теореми 2, имамо што повлачи да је ( ( K x )) λ ( K ) λ lim > 0, ( lim( K x )) λ Тако, постоји t и подниз { x } { x } j такав да је { j } следи t + x K, јер је K затворен. Тако је ( f ( x j t) f ( x t) ) lim + + = 0, јер је f непрекидна на K. Отуда што је контрадикција. ( f ( x t) f ( x )) ( ) ( ) j t f x f x j ( ) lim + + = lim = 0, t + x K. Из x j x 23
Теорема 6. (Ј. Карамата[7]) Нека је f : ( ) ( ) lim f s + t f s = 0, s + за све t. Тада је t [ a,b] ( ) ( ) lim sup f s + t f s = 0 s +, за произвољне a, b такве да је a < b. мерљива функција таква да је Доказ: Користећи теорему Јегорова, следи да за све a, b ( a < b ) постоји мерљив скуп A [ a, b] позитивне мере такав да је t A ( ) ( ) lim sup f t + s f s = 0. s + Узимамо сада да конвергенција није равномерна на [ a, b ]. Тада постоји ε > 0,{ x } [ a, b],{ y } Према Tеореми 2. имамо, такви да је lim y = и ( ) ( ) f x + y f y > ε. lim ( ( A x )) λ ( A) λ lim > > 0, што повлачи да постоји t и подниз { x } { x } j такав да је { j } Сада t + x A. Тада је ( j j ) ( j ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j f x + y f y f x + t + y t f y t + f y t f y. јер { t + x j } A и lim ( y ) j t Из следи што је контрадикција. ( ) ( ) ( ) j j j lim f x + t + y t f y t = 0, =. ( f ( y t) f ( y ) j j ) lim = 0, ( f ( x y ) ( ) j f y j j ) lim + = 0, 24
IV ЛЕВЕЛ СКУПОВИ И ЕПИ ЛИМЕСИ У овом делу рада дефинишемо епи конвергенцију, PK-конвергенцију и левел низове и доказујемо две теореме на основу радова: Rogera J-B-Wetsa, Geralda Beera, R.T.Rocafellara. Дефиниција : Нека је дата реална функција f : X на метричком простору X. Функцију f зовемо полунепрекидна одоздо под условом да је њен епиграф {(, α ), α, α ( )} epi f = x x X f x затворен подскуп од X. Аналогно f је полунепрекидна одозго под условом да за свако реално α левел низ у тачки α функције f, је затворен скуп од X. { α} (, α ) ( ) lev f x X f x Дефиниција 2: За низ { f } полунепрекидних функција одоздо на метричком простору ( X, d ) кажемо да епи конвергира ка функцији f и пишемо f = e lim f, за свако x X. За свако x X, важе следећа два услова: Ако { x } конвергира ка x, онда је f ( x) lim if f ( x ) ; () =. (2) Постоји низ { x } који конвергира ка x, такав да је f ( x) lim f ( x ) Дефиниција 3: За неке затворене или могуће празне подскупове A, A, A2, K од X конвергенција { A } по Paileve-Kuratowsi се дедефнише ако је испуњен услов где је LiA { x X A = LiA = LsA = да постоји низ { } много } a који конвергира ка x тако да је a A за коначно LsA = { x X да постоје < 2 < 3 <Kи x }. a A такви да низ { a } конвергира ка Када је A = LiA = LsA, онда пишемо A = PK lim A. 25
Значи да је низ { } f епи конвергентан ка f ако и само ако epi f = PK lim epi f. Уколико није назначено подразумевамо да је X метрички простор са метриком d. Кад радимо са метриком, морамо водити рачуна о производу X, и уводимо следећу { } метрику ( x ) ( x ) d ( x x ) ρ α α α α,, 2, 2 = max, 2, 2. Лимес инфериор и лимес супериор можемо дефинисати и на следећи начин. Нека је { S, =, 2, } супериор су скупови и K низ скупова. Његов лимес инфериор и лимес { } lim if S = x = lim x x S, =, 2, K { lim sup S x lim x x S,, 2, = = = K.за неке { } } Дакле, lim if S је скуп граничних вредности сваког могућег низа { x, =, 2, Kгде је x S } и lim sup S је скуп свих тачака нагомилавања таквих низова. Очигледно увек важи lim if S lim sup S. Нека је { f, =,2, } K низ функција дефинисаних на Епи лимес инфериор и лимес супериор су функције ( lie f ) и ( lse f ) са вредностима у. чији епи графици одговарају лимес супериору и лимес инфериору низа скупова { epi f, =,2, } {(, α ) ( ) α} epi g = x g x. Из дефиниције и наведене инклузије следи да је li f e ls f. e Низ { f, =,2, K } има епи лимес који означавамо са lme f ако важи једнакост K где је e e e lm f = li f = ls f. У том случају кажемо да да низ епи конвергира ка lme f и пишемо f e ( lme f ). 26
Значи да је функција f епи граница низа { f, =,2, } ls f f li f. e e K ако важи Користећи дефиниције није тешко уочити да ће друга неједнакост бити задовољена зa x, ако: ( ) e за било који подниз функција { f,, 2, } {,,2, } x = K који конвергира ка x важи ( ) ( ) lim if f x f x, а прва неједнакост важи, за свако ( ) 2 e постоји низ { x, =,2, } дат формулом ( ) ( ) x ако: lim sup f x f x. За сваки опадајући низ { S, =,2, } = K и било који низ K који конвергира ка x такав да је K подскупова постоји lim S који је lim S =I cls. = Слично, ако је { f } растући низ функција тј. f + f, онда постоји епи граница која је дефинисана са ( ) = lim ( ) lm f x cl f x где је cl g доње полунепрекидно ограничење од g или еквивалетно cl g је функција таква да је epi cl g = cl epi g. Следећа теорема нам даје карактеризацију левел скупова ограничених функција у односу на левел скупове функција f. Дефиниција 4: За α, α левел скуп функције g је скуп дефинисан са {(, ) ( ) } levα g = x α g x α. Генерално ако је f = lim f, то не значи да lev f = lim lev f. α α 27
Узмимо опадајућу фамилију функција ( ) 2,,2, f x = x = K која епи конвергира ка 0 0 { } lim lev f = 0 или lev0 f =. f. Како је lev f { } α = 0, за свако и следи да је Чак је могуће за f да епи конвергира ка f, за неко α, lim lev f можда и не постоји, што значи да lim if lev f α Теорема : Нека је { f =, =, 2, } и је стриктно садржан у lim suplev f. K низ функција. Тада за свако α важи ( levα f ) levα ( li f ) lim lim sup e () α α ( e ) lim lim if α α ( α ) lev ls f lev f. (2) α α α Доказ: Нека је T = lim suplev f и T = lim. Како су левел скупови (било које α α T α α α функције) опадајући кад α α, следи да су и T α опадајући кад α α и важи T = lim T = I T. α α α α α > α Скупови T α су затворени, што следи из дефиниције лимес супериор. Следи да је x T ако и само ако је x T α за свако α > α. Инклузија () је тривијално задовољена ако је { 0} T =. Претпоставимо да T није празан скуп. Ако је x T α, из дефиниције лимес супериора за низове скупова следи да мора да постоји подниз функција { f, =, 2, K } и низ {,,2, } x lev f α или еквивалетно да за свако =, 2, K важи epi li f ( x ), α = epi f. Како је ( ) lim sup па је x lev ( li f ). α e e = epif, следи да је ( x, ) lim ( x, ) ( ) α α epi lie f x = K који конвергира ка x за свако =, 2, K 28
Одакле, ако је x T α за свако α > α следи што имплицира да је ( e ) x lev li f. α ( e ) x lev li f, пошто је за сваку функцију g α Нека је lev g = I lev g. α α > α α S = lim if lev f и S = lim S = I S. α α α α Инклузија (2) је тривијална ако је lev ( ). празан. α ls f e α α α > α = Разматрајмо случај кад тај скуп није Ако је x lev ( lse f α ) следи да постоји низ уређених парова ( x, ) ка ( x, α ) такав да важи ( x, ) α epi f, epi ls f пошто је по дефиницији ( ) lim if e = epi f. α који конвергира Како је α = lim α, за било које α > α, постоји одговарајући да је α α за свако. Из импликације x lev f за свако следи да је x S α. То важи за свако α > α па је x S. α Теорема 2: Нека је X сепарабилан метрички простор и нека су функције f, f, f2, K проширене функције полунепрекидне одоздо на X. () Ако је f e lim f =, онда за свако α постоји низ { } α = ; који конвергира ка α такав да је lev( f, ) PK lim lev( f, a ) α реалних бројева (2) Ако за свако α постоји низ реалних бројева { α } који конвергирају ка α такав да је lev( f, ) PK lim lev( f, a ) α =, онда је f e lim f =. Доказ: (). Фиксирајмо неко α. Познато је да за било који низ који конвергира каα, важи Ls lev( f, α ) lev ( f, α ). 29
Претпоставимо да је x Ls lev( f, α ) (, ) x lev f α за, 2, + За свако { }, тј. постоје индекси 2 3 = K такви да низ { x } је x Доказали смо да x lev( f, α ) x. < < <K и = x. Онда из { x } x, по епи конвергенцији имамо ( ) ( ) ( ) f x lim if f x lim if f x lim if α = α.. Доказ инклузије (, α ) (, α ) скалара { α }. Како је epi f такав да за свако свако i (, 2,, m) lev f Li lev f захтева сепарабилност и добар избор низа Li epi f, за сваки позитиван број m, онда постоји позитиван број N m N постоји низ тачака m K имамо ( m) d ( ω, ) i xi < и m α ( m) i α <. m ( ) {( ω, ), 2,, } m i α i i = K m из epi f па за Без губитка општости можемо претпоставити да је низ { N m} строго растући низ. Сада можемо дефинисати низ скалара { } α : узмимо α = α + за < N и за Nm < N m + и одаберимо α = α +, m =, 2, K. Докажимо да је ово добар избор. m За доказ инклузије (, α ) (, α ) lev f Li lev f узимамо олакшавајућу околност па радимо са Fell топологијом. Узмимо да је lev ( f, ) Изаберимо тачку (, α ) колекцији тачака низа { x i } За фиксирано x lev f V и 0 ε 2 < и d ( x, x) α V, V отворен подскуп скупа X. ε > такву да [ ] Sε x V. Како x припада, можемо изабрати тако да важи ε <. 2 N онда постоји највећи m такав да је Nm Из неједнакости ( m) d ( ω, x ) <, m ( m) имамо да је ω lev ( f, α ). α ( m) α < и m f +. ( m) ( m) ( ) < + = m ω α α α 30
Такође важи ( m) па је ω V. То значи да да за свако ( m) ( m) ε ε d ( ω, x) d ( ω, x ) + d ( x, x) < + + < ε, m 2 2 N важи V lev( f, α ). Доказали смо да је (, α ) (, α ) lev f Li lev f тако да је (, α ) lim (, α ) lev f = PK lev f. (2) Из услова (, α ) (, α ) и свако α и за неки низ { } конвергира ка α, следи да је lev f Li lev f epi f Li epi f. Да би доказали да је Ls epi f α који epi f, претпоставимо супротно да ( x β ) Ls epi f такав да ( x, β ) epi f. Онда је f ( x), Можемо наћи растући низ 2 3 β <. < < <K и ( x, β ) epi f такав да низ {( x, β )} α низ конвергира ка ( x, β ). Изаберимо скалар α између β и f ( x ) и нека је { } скалара који конвенгирају ка α, за који важи (, α ) lim (, α ) lev f = PK lev f. Тада за довољно велико важи β < α. За свако такво имамо x lev ( f, α ). Из услова Ls lev( f, α ) lev ( f, α ) следи да је x lev( f, α ) је f ( x) > α.. Што је контрадикција да 3
ЛИТЕРАТУРА.Др. Аљанчић С. Увод у реалну и функционалну анализу, Грађевинска књига, Београд 968. 2.Др.Иван Д.Аранђеловић, AN INQUALITY FOR LEBESGUE MEASURE, Унив.Београд.Публ. Електротехнички Факакултет Сер.Мат.5 (2004), 84-85. 3.Др Иван Д.Аранђеловић и Др Дојчин С. Петковић, AN INQUALITY FOR LEBESGUE MEASURE AND ITS APLIKACACATIONS, Факта универ.(ниш) Сер. Мат. Информ. Вол. 22,Но. (2007), пп -4. 4. Др Милан Тасковић и др Драгољуб Аранђеловић, Теорија функција и функционална анализа, НИРО, Књижевне новине, Београд 98. 5. Др Милош Лабан, Збирка решених задатака из математике, Научна књига Београд 987. 6. Др Милош Лабан, Основи математичке анализе, Научна књига, Београд, 990. 7. Мр Мила Мршевић и мр Ђорђе Дугошија, Збирка решених задатака из математичке анализе, Грађевинска књига, Београд, 994. 8. Др Милан Р. Тасковић, Нелинеарна функционална анализа, Завод за уџбенике и наставна средства Београд, 993. 9. Др Светозар Курепа, Математичка анализа 2, Техничка књига Загреб, 97. 0. Roger J-B.Wets, A formula for the level sets of epi limits ad some applicatios, septembar 982, WP-82-8. Gerald Beer, R.T.Rocafellar, ad Roger J-B.Wets,Proceedigs of the Amerca mathematical society, Volume6, Number3, November 992. 32