ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ανάλσση παλινδρόμησης Πειραιάς, 0
Υπόλοιπα και ζσνηελεζηής προζδιοριζμού 6/3/0 Ανάλσζη Παλινδρόμηζης - Μ. Κούηρας
3 Οι εκηιμήηριες ελατίζηων ηεηραγώνων, 0 S S S S 6/3/0 Ανάλσζη Παλινδρόμηζης - Μ. Κούηρας
Προζαρμοζμένες ή εκηιμημένες ηιμές και σπόλοιπα Εκηιμημένερ ηιμέρ ή πξνζαξκνζκέλεο ή εθηηκώκελεο ηηκέο γηα ηελ ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο Φ: 0,,,. Εκηιμημένα ζθάλμαηα ή εθηηκώκελα ζθάικαηα γηα ηελ ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο Φ: 0,,, 4
5 Υπεμθύμιζη Άζκηζη 3/Σελίδα 38 Εκηιμημένα ζθάλμαηα:,,, 0 Μια ζημανηική ιδιόηηηα: 0 6/3/0
Άθροιζμα ηεηραγώνων ηων ζθαλμάηων Από ηνλ ηξόπν κε ηνλ νπνίν θαηαζθεπάζηεθαλ νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ 0 θαη είλαη θαλεξό όηη ε πνζόηεηα g 0 0, είλαη ε ειάρηζηε ηηκή ηνπ αζξνίζκαηνο g 0, γηα όιεο ηηο δπλαηέο επηινγέο ησλ παξακέηξσλ 0 θαη. Η πνζόηεηα απηή ιέγεηαη άθποιζμα ηεηπαγώνων ηων εκηιμημένων ζθαλμάηων Sum of Squares of Errors ή Error Sum of Squares θαη ζπκβνιίδεηαη κε 6/3/0 SSE 6
Άθροιζμα ηεηραγώνων ηων ζθαλμάηων: ιδιόηηηες ην άζξνηζκα ηεηξαγώλσλ SSE ιακβάλεη κε αξλεηηθέο ηηκέο SSE 0 γίλεηαη κεδέλ αλ ζπκβεί λα ηζρύεη 0 γηα όια ηα,,..., ε επζεία παιηλδξόκεζεο δηέξρεηαη από όια ηα ζεκεία,,,..., όηαλ ην SSE ιακβάλεη κηθξέο ζεηηθέο ηηκέο, όιεο νη δηαθνξέο,,,..., ζα είλαη κηθξέο ζεηηθέο ή αξλεηηθέο θαη επνκέλσο ε επζεία παιηλδξόκεζεο πεξλάεη «θνληά» ζηα ζεκεία,,,...,. όηαλ ην SSE ιακβάλεη κεγάιεο ζεηηθέο ηηκέο, θάπνηεο δηαθνξέο,,,..., ζα είλαη κεγάιεο θαη απόιπηε ηηκή θαη επνκέλσο ε επζεία παιηλδξόκεζεο δελ βξίζθεηαη «θνληά» ζε όια ηα ζεκεία,,,...,. 6/3/0 Ανάλσζη Παλινδρόμηζης - Μ. Κούηρας SSE 7
Παράδειγμα: προζαρμοζμένες ηιμές και σπόλοιπα Ένασ αγρότθσ ενδιαφζρεται να προςδιορίςει τον τρόπο με τον οποίο θ ποςότθτα Χ του λιπάςματοσ που χρθςιμοποιείται ςε ζνα αγροτεμάχιο επθρεάηει τθν παραγωγι Υ του αγροκτιματοσ. Για το ςκοπό αυτό πειραματίηεται με ν=0 όμοια αγροτεμάχια ίδιου εμβαδοφ, ςε περιοχζσ που επικρατοφν παρόμοιεσ κλιματολογικζσ ςυνκικεσ κλπ ζτςι ώςτε οι όποιεσ διαφοροποιιςεισ παρατθροφνται ςτθν παραγωγι των αγρών να οφείλονται κατά κφριο λόγο ςτισ διαφορετικζσ ποςότθτεσ λιπάςματοσ που χρθςιμοποιικθκαν. Στο διπλανό πίνακα δίνεται θ παραγωγι Υ ςε χιλιάδεσ κιλά για ν=0 όμοια αγροτεμάχια κακώσ και θ ποςότθτα Χ του λιπάςματοσ που χρθςιμοποιικθκε ςτο κακζνα ςε εκατοντάδεσ κιλά. 6/3/0 Ανάλσζη Παλινδρόμηζης - Μ. Κούηρας 8
Παράδειγμα: προζαρμοζμένες ηιμές και σπόλοιπα SSE SSE= 9
Σσνολικό άθροιζμα ηεηραγώνων Αλ θάπνηνο εμέηαδε κόλν ηηο ηηκέο ησλ,...,, ρσξίο λα ιακβάλεη ππόςε όηη απηέο αληηζηνηρνύλ ζε δηαθνξεηηθέο πηζαλώο ηηκέο,,..., ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο Φ, ζα κπνξνύζε λα ρξεζηκνπνηήζεη σο έλα κέηξν δηαζπνξάο κεηαβιεηόηεηαο απηώλ γύξσ από ηε κέζε ηνπο ηηκή, ην ζςνολικό άθποιζμα ηεηπαγώνων Total Sum of Squares SSTO Η επόκελε πξόηαζε δείρλεη όηη ην SSTO κπνξεί λα αλαιπζεί ζε δύν επηκέξνπο αζξνίζκαηα ηεηξαγώλσλ, έλα από ηα νπνία είλαη ην SSE. 0
Ανάλσζη ηοσ ζσνολικού SSE αθροίζμαηος ηεηραγώνων SSTO ΠΡΟΣΑΗ.3.. Το συνολικό άθροισμα τετραγώνων γράυεται στη μορυή όπου SSTO SSR SSR SSE είναι το άθροιζμα ηεηραγώνων ηης παλινδρόμηζης Regresson Sum of Squares και SSE το άθροισμα τετραγώνων των συαλμάτων. 6/3/0 Ανάλσζη Παλινδρόμηζης - Μ. Κούηρας
Ανάλσζη ηοσ ζσνολικού αθροίζμαηος ηεηραγώνων Απόδειξη. SSTO ] [ ] [ 0 ] [ SSE SSTO 0 0 0 S S 6/3/0
3 Ερμηνεύονηας ηη μεηαβληηόηηηα - διακύμανζη Ο ηύπνο SSTO ζεκαίλεη όηη ε νιηθή κεηαβιεηόηεηα SSTΟ ησλ παξαηεξήζεσλ, αλαιύεηαη ζε δύν κέξε παξάγνληεο: έλα κέξνο πνπ εξκελεύεηαη από ηελ επζεία παιηλδξόκεζεο SSR, regresson sum of squares έλα κέξνο πνπ παξακέλεη αλεξκήλεπην ζθάικα, δειαδή ην SSE error sum of squares. 6/3/0
SSTO SSR SSE Σσνηελεζηής προζδιοριζμού coeffcent of determnaton R SSR SST SSE SSTO SSTO SSE SSTO 0 R 6/3/0 R R 0 SSR=0 SSR=SSTΟ SSE=0 4
SSTO SSR Σσνηελεζηής προζδιοριζμού coeffcent of determnaton SSE Ο ζπληειεζηήο R εθθξάδεη ην πνζνζηό ηεο ζπλνιηθήο δηαζπνξάο ησλ ηηκώλ ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ ε νπνία εμεγείηαη από ηελ αλεμάξηεηε κεηαβιεηή Φ κέζσ ηεο επζείαο παιηλδξόκεζεο. SSE Τν ππόινηπν πνζνζηό R είλαη ην πνζνζηό ηεο ζπλνιηθήο SSTO δηαζπνξάο πνπ παξακέλεη αλεμήγεην από ηε Φ θαη ζα πξέπεη λα απνδνζεί ζε άιιεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο πνπ επεξεάδνπλ ηελ ηηκή ηεο Υ αιιά δελ ρξεζηκνπνηήζεθαλ ζηε δηακόξθσζε ηνπ γξακκηθνύ καο κνληέινπ είηε ζε θπζηθή κεηαβιεηόηεηα ζηαηηζηηθή ηπραηόηεηα ησλ ηηκώλ ηεο Υ. 6/3/0 Ανάλσζη Παλινδρόμηζης - Μ. Κούηρας 5
Παράδειγμα: Υπολογιζμός ηοσ ζσνηελεζηή προζδιοριζμού R SSR SSTO SSE SSTO R 540 88830 0.9956 99.56% SSTO SSE SSR=SSTO SSE = 88380-540=87840 6
Άζκηζη /Σελίδα 5 Έζησ δύν ραξαθηεξηζηηθά Φ θαη Υ γηα ηα νπνία έρνπκε θαηαγξάςεη ηηο ηηκέο,,, ηνπ Φ θαη ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο,,, ηνπ Υ. Από ηελ πεξηγξαθηθή ζηαηηζηηθή είλαη γλσζηό όηη ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο r X, Y εθθξάδεη ην βαζκό γξακκηθήο ζπζρέηηζεο κεηαμύ ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ Φ θαη Υ θαη παίξλεη ηηκέο κεηαμύ - θαη r,. X Y 6/3/0 Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης - Μ. Κούηρας 7
Άζκηζη /Σελίδα 5 Αο ππνζέζνπκε όηη ζηα ζεκεία,,, πξνζαξκόδνπκε έλα γξακκηθό κνληέιν ηεο κνξθήο 0 θαη αο ζπκβνιίζνπκε κε 0 θαη ηηο εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ησλ 0 θαη. α. Να δεηρζεί όηη SSR. β. Αληηθαζηζηώληαο ζηνλ αξηζκεηή ηνπ ηύπνπ R SSR SSTO ηελ παξαπάλσ έθθξαζε λα δεηρζεί όηη ν ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνύ είλαη ίζνο κε ην ηεηξάγσλν ηνπ ζπληειεζηή ζπζρέηηζεο, δειαδή R r X, Y 8
Άζκηζη 4/Σελίδα 4 Έλα πιηθό ζπζθεπάδεηαη από έλα εξγνζηάζην ζε κεγάια θνπηηά ν αξηζκόο ησλ νπνίσλ πνηθίιεη αλάινγα κε ηελ παξαγγειία. Ο δηπιαλόο πίλαθαο δίλεη ηνλ αξηζκό ησλ θνπηηώλ πνπ ζπζθεπάζηεθαλ ώζηε λα θαιπθζνύλ νη παξαγγειίεο πνπ δέρηεθε ην εξγνζηάζην θαη ηηο εξγαηνώξεο πνπ ρξεηάζηεθαλ γηα 0 πξόζθαηεο παξαγγειίεο πνπ εθηειέζηεθαλ. α. Πνηα από ηηο δύν κεηαβιεηέο αξηζκόο θνπηηώλ, εξγαηνώξεο κπνξεί λα ζεσξεζεί σο αλεμάξηεηε κεηαβιεηή Φ θαη πνηα σο εμαξηεκέλε Υ; Απιθμόρ κοςηιών Επγαηοώπερ 60 30 40 6 0 365 60 55 80 63 00 335 00 335 40 464 80 587 70 45 β. Να θαηαζθεπαζζεί ην αληίζηνηρν δηάγξακκα δηαζπνξάο ησλ δεδνκέλσλ. 6/3/0 Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης - Μ. Κούηρας 9
Άζκηζη 4Σελίδα 4 6/3/0 Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης - Μ. Κούηρας 0
Άζκηζη 4/Σελίδα 4 γ. Να ππνινγηζζεί κε ηε κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ε επζεία γξακκηθήο παιηλδξόκεζεο ηεο Υ πάλσ ζηε Φ θαη λα ραξαρζεί ζην αληίζηνηρν δηάγξακκα δηαζπνξάο. Να δνζεί ε εξκελεία ηεο θιίζεο θαη ηνπ ζηαζεξνύ όξνπ 0 ηεο επζείαο παιηλδξόκεζεο. δ. Να βξεζεί ν αξηζκεηηθόο κέζνο ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ αθνξνύλ ηε κεηαβιεηή Φ θαη ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ αθνξνύλ ηε κεηαβιεηή Υ. Σηε ζπλέρεηα λα δνζεί έλα ραξαθηεξηζηηθό ζεκείν από ην νπνίν δηέξρεηαη ε επζεία παιηλδξόκεζεο. ε. Πόζεο εξγαηνώξεο πξνβιέπεηε όηη ζα ρξεηαζζνύλ γηα λα ηθαλνπνηεζεί κηα παξαγγειία πνπ απαηηεί ηε ζπζθεπαζία 85 θνπηηώλ; 6/3/0 Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης - Μ. Κούηρας
Άζκηζη 4Σελίδα 4 60 30 3600 3800 40 6 600 6440 3 0 365 4400 43800 4 60 55 5600 8400 5 80 63 6400 040 6 00 335 0000 33500 7 00 335 0000 33500 8 40 464 9600 64960 9 80 587 3400 05660 0 70 45 4900 750 Άθποιζμα 050 3500 8500 450 6/3/0 0450 0503500 08500 050 0 3500 3 050 350 35 35 0 0 35 3 Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης - Μ. Κούηρας 3
Άζκηζη 5/Σελίδα 4 Αο ζεσξήζνπκε θαη πάιη ηα δεδνκέλα ηεο πξνεγνύκελεο άζθεζεο. α. Χξεζηκνπνηώληαο ηνπο ηύπνπο πνπ βξέζεθαλ ζην Παξάδεηγκα..3, λα βξεζεί ε επζεία ηεο κνξθήο ε νπνία πεξλάεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ, πνπ πξνζεγγίδεη ηα δεδνκέλα θαιύηεξα κε βάζε ηελ κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ. Να εμεηαζζεί αλ ε λέα επζεία παιηλδξόκεζεο δηέξρεηαη από ην ραξαθηεξηζηηθό πνπ αλαθέξζεθε ζην Εξώηεκα δ. β. Πόζεο εξγαηνώξεο πξνβιέπεηε κε ην λέν κνληέιν όηη ζα ρξεηαζζνύλ γηα λα ηθαλνπνηεζεί κηα παξαγγειία πνπ απαηηεί ηε ζπζθεπαζία 85 θνπηηώλ; 6/3/0 450 8500 3.86 3. 86 3.8685 Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης - Μ. Κούηρας 79.3 3
Άζκηζη 4/5 Σελίδα 4 επιπλέομ ερωηήμαηα Να ππνινγηζζνύλ νη ζπληειεζηέο πξνζδηνξηζκνύ ησλ κνληέισλ γξακκηθήο παιηλδξόκεζεο πνπ βξέζεθαλ πξνεγνπκέλσο θαη λα ζπγθξηζνύλ κεηαμύ ηνπο. SSR R 6450 65780 0.9908 60 30-45 05-0 4400 40 6-65 45-89 357 3 0 365 5 5 5 5 4 60 55 55 305 65 75 5 80 63-5 65-87 7569 6 00 335-5 5-5 5 7 00 335-5 5-5 5 8 40 464 35 5 4 996 9 80 587 75 565 37 5669 0 70 45-35 5-05 05 Άζξνηζκα 050 3500 850 65780 6/3/0 4 Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης - Μ. Κούηρας
Άζκηζη 4/5 Σελίδα 4 επιπλέομ ερωηήμαηα Να ππνινγηζζνύλ νη ζπληειεζηέο πξνζδηνξηζκνύ ησλ κνληέισλ γξακκηθήο παιηλδξόκεζεο πνπ βξέζεθαλ πξνεγνπκέλσο θαη λα ζπγθξηζνύλ κεηαμύ ηνπο. 3. 86 R 369.786 65780 0.097 60 30 97.6 3.84 078.466 40 6 3.44 9.56 873.7936 3 0 365 394.3-9.3 859.664 4 60 55 55.76-0.76 5.7776 5 80 63 6.88 0. 0.044 6 00 335 38.6 6.4 40.96 7 00 335 38.6 6.4 40.96 8 40 464 460.04 3.96 5.686 9 80 587 59.48-4.48 0.0704 0 70 45 30.0 4.98 4.4004 Άζξνηζκα 050 3500 3450.3 49.7 369.786 6/3/0 Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης - Μ. Κούηρας 5
Άζκηζη 4 /Σελίδα 4 SPSS output 6/3/0 Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης - Μ. Κούηρας 6
Άζκηζη 4 /Σελίδα 4 Mntab output Regresson Analss: Y versus X The regresson equaton s Y = 35.0 + 3.00 X Predctor Coef SE Coef T P Constant 35.00.60 3.0 0.07 X 3.0000 0.04 9.3 0.000 S = 3.893 R-Sq = 99.% R-Sqadj = 99.0% Analss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 6450 6450 858.8 0.000 Resdual Error 8 530 9 Total 9 65780 6/3/0 Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης - Μ. Κούηρας 7