ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι Ν. ΔΕΡΒΑΚΟΥ Σημειώσεις Πααδόσεων Αθήνα 23

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασική Δομή Ποβλημάτων Αναμονής Σύστημα Αναμονής Πηγή ποσέλευσης Πελατών Σειά/Ουά αναμονής Σύστημα Εξυπηέτησης Αφικνούμενοι πελάτες

Πααδείγματα Σειών Αναμονής. 2. Πελάτες αναμένοντες να εξυπηετηθούν σε γαφεία, ταμεία, ιατεία, κλπ Έγγαφα, επιστολές, επιστημονικές εγασίες, κλπ αναμένουσες δακτυλογάφηση ή/και διεκπεαίωση 3. Πλοία αναμένοντα σε λιμάνια για φότωση ή εκφότωση 4. 5. 6. Αεοπλάνα αναμένοντα να εκκενωθεί ο διάδομος ποσγείωσης-απογείωσης Μηχανές που απαιτούν επέμβαση χειιστή ή συνεγείου ή μηχανές που αναμένουν επισκευή από συνεγεία Αυτοκίνητα αναμένοντα να εξυπηετηθούν σε σταθμούς εξυπηέτησης 3

7. 8. Διάφοα ποβλήματα αναμονής σχετικά με τηλεφωνικές συνδιαλέξεις (π.χ. τηλεφωνικά κέντα) Πογάμματα αναμένοντα να πεάσουν από ηλεκτονικό υπολογιστή σε υπολογιστικό κέντο 9. Σειές αναμονής πώτων υλών ή ημικατεγασμένων μποστά στις μηχανές (εγαλειομηχανές) γενικού εγοστασίου (ob hop). Διάφοα Ποβλήματα αστικών υπηεσιών (αστικές συγκοινωνίες, παοχή πώτων βοηθειών, αστυνόμευση, πυοσβεστική υπηεσία, κλπ). Δικαστικές υποθέσεις αναμένουσες να εκδικασθούν από τα δικαστήια 2. Νομοσχέδια αναμένοντα στα διάφοα στάδια της νομοπαασκευαστικής διαδικασίας 4

Βασικές Μοφές Συστημάτων Αναμονής Σύστημα Αναμονής ενός σταθμού εξυπηέτησης Πηγή ποσέλευσης Πελατών... x x x x x Σταθμός x.. Εξυπηέτησης Σειά/Ουά αναμονής 5

Σύστημα Αναμονής πολλών παάλληλων σταθμών εξυπηέτησης Πηγή ποσέλευσης Πελατών x... x x x x Σταθμοί x x.. Εξυπηέτησης x Σειά/Ουά αναμονής 6

Σύστημα Αναμονής πολλών σταθμών εξυπηέτησης σε σειά... x x x x... x x x x... x x x x x... Υπάχει και η πιο σύνθετη πείπτωση, που οι σταθμοί εξυπηετήσεως είναι διατεταγμένοι κατά τόπο μικτό, δηλαδή και παάλληλα και σε σειά, ώστε να δημιουγούνται τα δίκτυα σειών αναμονής (queueig etwork), όπως π.χ. σε γενικά εγοστάσια (ob-hop), σύνθετα ογανωτικά συστήματα, δίκτυα υπολογιστών, κλπ 7

Ιδιουθμίες Αφίξεων Μη-ποσχώηση στη σειά αναμονής όταν αυτή είναι μεγάλη (balkig) Ποσχώηση στη σειά αναμονής, αλλά αποχώηση όταν ο χόνος αναμονής υπεβεί μια τιμή (reegig) Άφιξη πελατών κατά ομάδες (bulk arrival) 8

Βασικά Χαακτηιστικά Μεγέθη Συστημάτων Αναμονής. Κατανομή αφίξεων (Arrival Ditributio) 2. Κατανομή εξυπηετήσεων (Service Ditributio) 3. 4. 5. Πλήθος πααλλήλων σταθμών εξυπηετήσεως στο σύστημα εξυπηέτησης Νόμος ποτεαιότητας εξυπηέτησης των πελατών (Service Diciplie) Μέγιστο επιτεπόμενο πλήθος πελατών στο σύστημα αναμονής 6. Μέγεθος πηγής ποσέλευσης των πελατών 9

«Ακαίες» πειπτώσεις αφίξεων και εξυπηετήσεων Α. Β. «Σταθεές» αφίξεις ή εξυπηετήσεις, δηλαδή τα χονικά διαστήματα μεταξύ διαδοχικών αφίξεων ή εξυπηετήσεων σταθεά «Εντελώς τυχαίες» αφίξεις ή εξυπηετήσεις, οι οποίες εκφάζονται από την Κατανομή oio, όταν πόκειται για την κατανομή των αφικνούμενων ή εξυπηετούμενων πελατών στη μονάδα του χόνου την Εκθετική Κατανομή, όταν πόκειται για την κατανομή των χονικών διαστημάτων μεταξύ αφίξεων ή εξυπηετήσεων

Νόμοι ποτεαιότητας εξυπηετήσεως Α. B. Γ. Δ. Ο αφικνούμενος πώτος εξυπηετείται πώτος (Firt Come Firt Served / FCFS ή Firt I Firt Out / FIFO) Ο τελευταίος αφικνούμενος εξυπηετείται πώτος (Lat Come Firt Served / LCFS ή Lat I Firt Out / LIFO). Π.χ. Βιομηχανικά ποβλήματα Επιλογή ενός πελάτη από τη σειά αναμονής κατά τυχαίο τόπο (Service I Radom Order/ SIRO). Π.χ. Βιομηχανικά ποβλήματα Εξυπηέτηση ενός πελάτη με βάση κάποιο νόμο ποτεαιότητας (riority Selectio Rule). Π.χ. στα υπολογιστικά κέντα

Το μέγιστο πλήθος πελατών στο σύστημα μποεί να είναι απειόιστο ή πεπεασμένο Το πλήθος της πηγής ποσέλευσης των πελατών στο σύστημα μποεί να είναι απειόιστο (πακτικά) ή πεπεασμένο (π.χ. πόβλημα επιτηήσεως μηχανών) 2

Συμβολική Παάσταση Συστημάτων Αναμονής Kedall (953) : (a / b / c) Taha (97) : (a / b / c) : (d / e / f) Τα γάμματα a και b αντικαθιστώνται συνήθως από τα εξής σύμβολα : Μ: Για κατανομή αφικνούμενων ή εξυπηετούμενων πελατών στη μονάδα του χόνου oio, δηλαδή για Εκθετική κατανομή των χόνων μεταξύ διαδοχικών αφίξεων ή εξυπηετήσεων D: Για σταθεούς χόνους μεταξύ διαδοχικών αφίξεων ή εξυπηετήσεων (Determiitic) 3

Ε κ : Για κατανομή Erlag των χόνων μεταξύ διαδοχικών αφίξεων ή εξυπηετήσεων GI: G: Για Γενική (δηλ. οποιαδήποτε) κατανομή των χόνων μεταξύ διαδοχικών αφίξεων, με την ποϋπόθεση ότι οι χόνοι αυτοί είναι ανεξάτητοι μεταξύ τους (Geeral Idepedet) Για Γενική κατανομή των χόνων εξυπηετήσεως, με την ίδια ποϋπόθεση ότι οι χόνοι αυτοί είναι ανεξάτητοι μεταξύ τους Το γάμμα c αντικαθίσταται από έναν φυσικό αιθμό, που παιστάνει το πλήθος των παάλληλων σταθμών εξυπηέτησης 4

Το γάμμα d παιστάνει τον νόμο επιλογής των πελατών για εξυπηέτηση (Service Diciplie). Το γάμμα e παιστάνει τον μέγιστο επιτεπόμενο αιθμό πελατών στο σύστημα. Το γάμμα f παιστάνει το μέγεθος της πηγής ποσέλευσης των πελατών Π.χ. (Μ/Ε κ /) : (FCFS//), (GI/G/) : (LCFS//), (D/M/3) : (GD//), κλπ 5

Τοποποιήσεις Συστημάτων Αναμονής Τοποποιήσεις της κατανομής των αφίξεων α. Τοποποίηση του ολικού μέσου υθμού αφίξεων β. Καθιέωση συστήματος αντεβού (πογαμματισμός αφίξεων) γ. Ενημέωση των πελατών για τις ώες αιχμής Τοποποιήσεις στο σύστημα εξυπηετήσεως α. Μείωση του μέσου χόνου εξυπηετήσεως με βελτίωση του τεχνικού εξοπλισμού, της ογάνωσης και της εκπαίδευσης των υπάλληλων εξυπηέτησης β. Πειοισμός του συντελεστή μεταβλητότητας του χόνου εξυπηετήσεως 6

γ. Αύξηση των παάλληλων σταθμών εξυπηέτησης δ. ε. Αύξηση της διαθεσιμότητας του συστήματος τις ώες αιχμής Αύξηση της ικανότητας του συστήματος ή μείωση του χόνου εξυπηετήσεως κατά την πείοδο της αιχμής Τοποποιήσεις του νόμου επιλογής πελατών α. Πααχώηση ποτεαιότητας σε σπουδαίους πελάτες β. Πααχώηση ποτεαιότητας σε πελάτες με μικό εκτιμώμενο χόνο εξυπηέτησης 7

Οολογία Συμβολισμοί Ν(t): (t): : λ : Πλήθος Πελατών στο σύστημα αναμονής σε μια οισμένη χονική στιγμή t (t ) Πιθανότητα να υπάχουν ακιβώς πελάτες στο σύστημα αναμονής τη χονική στιγμή t, με την ποϋπόθεση ότι το σύστημα άχισε να λειτουγεί την χονική στιγμή t = Πλήθος πααλλήλων σταθμών εξυπηέτησης στο σύστημα Μέσος υθμός νέων αφίξεων (δηλ. το μέσο πλήθος αφικνούμενων πελατών ανά μονάδα χόνου), όταν υπάχουν πελάτες στο σύστημα αναμονής 8

μ : Μέσος υθμός εξυπηετήσεων ολόκληου του συστήματος (δηλ. το μέσο πλήθος πελατών που εξυπηετούνται ανά μονάδα χόνου), όταν υπάχουν πελάτες στο σύστημα αναμονής Εάν, για κάθε, (i) o μέσος υθμός νέων αφίξεων και (ii) ο μέσος υθμός εξυπηετήσεων ανά απασχολημένο σταθμό είναι σταθεοί και ανεξάτητοι του, έχουμε : λ : μ : /λ : Μέσος υθμός νέων αφίξεων (mea arrival rate) Μέσος υθμός εξυπηετήσεων (mea ervice rate) ενός σταθμού εξυπηετήσεως Αναμενόμενος ή Μέσος χόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων (expected or mea iterarrival time) /μ : Αναμενόμενος ή Μέσος χόνος εξυπηετήσεων (expected or mea ervice time) 9

=λ/μ : Πυκνότητα κυκλοφοίας (traffic iteity) U : Βαθμός χησιμοποιήσεως (utilizatio factor) των σταθμών εξυπηετήσεως, δηλαδή το αναμενόμενο ποσοστό του χόνου που οι σταθμοί είναι απασχολημένοι (σε οισμένες πειπτώσεις U= / u ) Πιθανότητα Μεταβατικής Κατάστασης (traiet tate probability) Πιθανότητα Μόνιμης ή Σταθεής Κατάστασης (teady tate probability) Μόνιμη ή Σταθεή Κατάσταση λειτουγίας (του συστήματος) 2

Βασικά Μεγέθη της Μόνιμης κατάστασης λειτουγίας W (τ) : Συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) του χόνου πααμονής τυχαίου πελάτη στο σύστημα αναμονής W q (τ) : Συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) του χόνου αναμονής τυχαίου πελάτη στην ουά αναμονής L : Αναμενόμενο ή Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα αναμονής (expected umber of cutomer i the ytem or expected lie legth) L q : Αναμενόμενο ή Μέσο πλήθος πελατών στην ουά αναμονής (expected umber of cutomer i the queue) W : Αναμενόμενος ή Μέσος χόνος πααμονής τυχαίου πελάτη στο σύστημα αναμονής (expected waitig time per cutomer i the ytem) W q : Αναμενόμενος ή Μέσος χόνος αναμονής τυχαίου πελάτη στην ουά αναμονής (expected waitig time per cutomer i the queue) 2

B : H Μέση πείοδος συνεχούς απασχόλησης ενός σταθμού εξυπηετήσεως στο σύστημα αναμονής (average buy period) I : H Μέση πείοδος αγίας ενός σταθμού εξυπηετήσεως στο σύστημα αναμονής (average idle period) Πείοδος συνεχούς απασχόλησης ενός σταθμού εξυπηετήσεως (buy period) Πείοδος αγίας ενός σταθμού εξυπηετήσεως (idle period) Για τη βέλτιστη σχεδίαση και λειτουγία ενός συστήματος ενδιαφέουν : W q, W τους πελάτες Β, U τους υπαλλήλους 22

Γενικές Σχέσεις μεταξύ των Μεγεθών L, W, L q, W q (Little, 96) L = λ W L q = λ W q W = W q + /μ Οι πααπάνω σχέσεις δεν ισχύουν όταν : ο μέσος υθμός αφίξεων δεν είναι σταθεός αλλά εξατάται από το πλήθος πελατών στο σύστημα (λ ), π.χ. Πεπεασμένη πηγή ποσέλευσης πελατών ο χώος αναμονής είναι πεπεασμένος ή οι πελάτες αποθαύνονται από το μέγεθος της ουάς και φεύγουν (balkig), οπότε υπολογίζουμε τον παγματικό υθμό αφίξεων λ π = μ (L L q ) W = L / λ π W q = L q / λ π 23

MOTEΛΑ OISSO Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Διαμόφωση Μοντέλου Έστω ότι τη χονική στιγμή t το σύστημα βίσκεται στην κατάσταση (t, =,2,...), δηλ. Ν(t) = I. IΙ. Πααδοχή Γεννήσεων (Αφίξεων) : { (t+δt) = + (t) = } = λ Δt +o(δt) Πααδοχή θανάτων (Αποχωήσεων) : { (t+δt) = (t) = } = μ Δt +o(δt) IΙΙ. Πααδοχή Πολλαπλών Ενδεχομένων : { τουλάχιστον 2 γεννήσεις ή/και αποχωήσεις} = o(δt) με ο(δt) τέτοια ώστε ο(δt)/δt, όταν Δt + 24

Ποκύπτουν τα ακόλουθα αμοιβαίως αποκλειόμενα γεγονότα :. 2. 3. 4. Ακιβώς μία άφιξη και καμία αποχώηση Πιθανότητα : λ Δt +o(δt) Ακιβώς μία αποχώηση και καμία άφιξη Πιθανότητα : μ Δt +o(δt) Πλήθος αφίξεων και αποχωήσεων μαζί μεγαλύτεο του Πιθανότητα : o(δt) Καμία άφιξη και καμία αποχώηση Πιθανότητα : λ Δt μ Δt + o(δt) 25

Για > το σύστημα μποεί να φθάσει στην κατάσταση τη χονική στιγμή t+δt, δηλ. Ν(t+Δt)=, αν τη χονική στιγμή t βίσκεται μόνον σε μια από τις ακόλουθες καταστάσεις : Κατάσταση συστήματος σε χόνο t Ενδεχόμενα στο (t, t+δt) Πιθανότητα Ν(t) = Μία άφιξη - (t) [λ - Δt +o(δt)] Ν(t) = + Μία αποχώηση + (t) [μ + Δt+o(Δt)] Ν(t) = Κανένα γεγονός (t) [-λ Δt-μ Δt+o(Δt)] Ν(t),, + Πολλαπλά ενδεχόμενα o(δt) 26

Από τον πίνακα ποκύπτει : (t+δt)= - (t) [λ - Δt +o(δt)] + + (t) [μ + Δt+o(Δt)] + (t) [-λ Δt-μ Δt+o(Δt)] + ο(δt) Και ισοδύναμα μετά από πάξεις : (t Δt) (t) Δt Δηλαδή τελικά : λ - - (t) + μ + + (t) (λ +μ ) (t) + ο(δt)/δ(t) d (t) λ - - (t) + μ + + (t) (λ +μ ) (t), για > () dt Για =, θέτουμε λ - =, μ =, οπότε : d (t) μ (t) λ (t) (2) dt 27

Διαδικασία Γεννήσεων (Κατανομή Αφίξεων) Θέτοντας λ = λ, μ =, για κάθε =,, 2,..., στις διαφοοδιαφοικές εξισώσεις της διαδικασίας γεννήσεων-θανάτων παίνουμε : d (t) dt λ (t), για = και d (t) λ [ - (t) (t)], για > dt οι οποίες έχουν λύση : λt λt (λt)e (t) e και (t),, 2,...! Άα η κατανομή πιθανότητας ως πος είναι κατανομή oio (λt), και άα η διαδικασία γεννήσεων είναι μια διαδικασία oio (λ) 28

Λύση Μόνιμης Κατάστασης της Διαδικασίας Γεννήσεων Θανάτων Έστω ότι υπάχει λύση μόνιμης κατάστασης δηλ. υπάχουν τα όια : lim(t) t και d(t) lim t dt Τότε οι () και (2) δίνουν : = λ - - + μ + + (λ +μ ), για > = μ λ (3) 29

Εναλλακτικός τόπος (απ ευθείας) εξαγωγής των εξισώσεων μόνιμης κατάστασης (3) Διάγαμμα μέσων υθμών διαδικασίας γεννήσεων-θανάτων λ λ λ - λ λ + 2...... - + μ μ 2 μ μ + μ +2 Αχή Ισότητας Ρυθμών Εισόδου και Εξόδου «Για κάθε κατάσταση του συστήματος (=,,2,3,...) ο μέσος υθμός (αναμενόμενος αιθμός εμφανίσεων ανά μονάδα χόνου) με τον οποίο εμφανίζονται τα γεγονότα εισόδου πέπει να είναι ίσος με το μέσο υθμό με τον οποίο εμφανίζονται τα γεγονότα εξόδου» 3

3 Εξισώσεις Ισοοπίας για κάθε κατάσταση λ - - + μ + + = (λ +μ ), για > μ = λ, για = (3 ) Για κάθε > έχουμε : Επίλυση των Εξισώσεων (3) ή ισοδύναμα των (3 ) μ + + λ = μ λ - - Άα επαγωγικά και χησιμοποιώντας τη σχέση για = παίνουμε : μ λ - - = μ λ = 2 2 2 μ μ μ λ λ λ μ λ μ λ μ λ (4)

Τέλος, επειδή παίνουμε : λ λ λ 2 μμ μ (5) Η Αχή Ισότητας Ρυθμών Εισόδου και Εξόδου και οι Εξισώσεις Ισοοπίας ισχύουν και για κάθε (υπο)σύνολο καταστάσεων Π.χ. θεωώντας το σύνολο καταστάσεων {,,..., -}, λ λ 2...... λ - - λ + λ + μ μ μ μ + 2 καταλήγουμε κατευθείαν στην (4), δηλ. λ - - =μ. 32 μ +2

Εισαγωγή στα μοντέλα oio Οι αφίξεις και οι εξυπηετήσεις συμβαίνουν σύμφωνα με την κατανομή oio Eιδικές πειπτώσεις της διαδικασίας γεννήσεων-θανάτων Μοντέλο (Μ / Μ / ) : (GD / / ) Διαδικασία γεννήσεων-θανάτων με λ =λ (=,,2,...) και μ =μ (=,2,3,...) λ λ λ λ...... - 2 μ μ μ μ + λ 33 μ

Από την (5) έχουμε : Για να έχουμε λύση μόνιμης κατάστασης πέπει να συγκλίνει η σειά, δηλ. πέπει λ<μ ή <. Τότε οι (5) και (4) δίνουν : λ, και λ μ,,2,... μ λ μ Δηλαδή, τελικώς, για κάθε =,, 2,..., ισχύει : λ μ ( ),,,2,... 34

35 Εύεση του μέσου πλήθους πελατών στο σύστημα S ) ( ) ( L d d ) ( d d ) ( d d ) ( λ μ λ L S Εύεση του μέσου πλήθους πελατών στην ουά αναμονής ) L ( L ( -) L q λ) μ(μ λ L 2 2 q

Ποσδιοισμός της σππ του χόνου πααμονής των πελατών στο σύστημα αναμονής, W(τ) Υποθέτουμε νόμο ποτεαιότητας πελατών FCFS Έστω W, (τ) : σππ του χόνου πααμονής στο σύστημα του - οστού πελάτη ή ισοδύναμα σππ υπό συνθήκη ότι βίσκει - πελάτες στο σύστημα Ο συνολικός χόνος πααμονής του -οστού πελάτη στο σύστημα (έστω Τ, ) ισούται (λόγω FCFS) με το υπόλοιπο του χόνου εξυπηέτησης του πελάτη που ήδη εξυπηετείται (έστω R) συν τους χόνους εξυπηέτησης των - (μαζί με τον ίδιο) υπολοίπων πελατών (έστω Τ 2, Τ 3,..., Τ ), δηλ. Τ, =R+ Τ 2 + Τ 3 +...+ Τ 36

Όμως Τ 2, Τ 3,..., Τ Exp(μ) και R Exp(μ), λόγω της αμνήμονος ιδιότητας της εκθετικής Επομένως Τ, Erlag(, μ), ως άθοισμα εκθετικών Άα : μτ μ τ e W, (τ), τ ( )! Συνεπώς : μτ μ τ e W(τ) - W,(τ) ( ) ( )! μτ (μτ) μτ μτ ( ) μe ( ) μe e ( )! W(τ) μ( ) e μ(-) τ Άα η ζητούμενη σππ είναι εκθετική κατανομή με παάμετο μ(-) = μ-λ 37

Ποσδιοισμός του μέσου χόνου πααμονής των πελατών στο σύστημα αναμονής, W Αφού W (τ) Exp (μ-λ), έχουμε W = E [W (τ)] = /(μ-λ) Στον ίδιο τύπο καταλήγουμε και από τη σχέση L =λw Ποσδιοισμός της σππ του χόνου αναμονής των πελατών στην σειά/ουά αναμονής, Wq(τ) Για τ= έχουμε W q () = =- : Για τ> έχουμε, αναλόγως με την πείπτωση του W (τ), ότι Τ q, Erlag(-, μ), ως άθοισμα - εκθετικών και W q (τ)=μ(-)e -μ(-)τ 38

Ποσδιοισμός του μέσου χόνου αναμονής των πελατών στην ουά αναμονής, Wq W q = /(μ-λ) Όπως ποκύπτει : είτε με υπολογισμό του ολοκληώματος είτε από τη σχέση L q = λw q είτε από τη σχέση W q = W /μ W q τw(τ) dτ q Βαθμός χησιμοποιήσεως του σταθμού εξυπηέτησης U= = 39

Ποσδιοισμός της μέσης πειόδου συνεχούς απασχόλησης (Β) και της μέσης πειόδου αγίας (Ι) του σταθμού εξυπηέτησης Σε μεγάλο χονικό διάστημα Τ, το πλήθος των πειόδων συνεχούς απασχόλησης ισούται με το πλήθος των πειόδων αγίας. Επίσης ισχύει : Πλήθος πειόδων συνεχούς απασχόλησης = Ολικός χόνος απασχόλησης Μέση πείοδος συνεχούς απασχόλησης (- B T) 4

Πλήθος πειόδων αγίας = Ολικός χόνος αγίας Μέση πείοδος αγίας T I Άα έχουμε : (- T) T B B I - I Όμως Ι = /λ, αφού η πείοδος αγίας ισούται με το υπόλοιπο του εκθετικού χόνου μεταξύ 2 διαδοχικών αφίξεων, εάν αφαιέσουμε τους χόνους εξυπηέτησης των ενδιάμεσων πελατών. Άα και : - B λ 4

Μοντέλο (Μ / Μ / ) : (GD / / ) Διαδικασία γεννήσεων-θανάτων με λ =λ (=,,2,...) και μ = μ, μ, για για Από την (5) έχουμε :!! - Για να έχουμε λύση μόνιμης κατάστασης πέπει να συγκλίνει η σειά, δηλ. πέπει < ή λ<μ. Τότε οι (5) και (4) δίνουν : 42

43!! και για,! για,! - Εύεση του μέσου πλήθους πελατών στην ουά αναμονής u,!! ( - ) L q με u=/ Άα έχουμε : u du d u! u du d u! u du d u! L q Και τελικά: 2 q! L

Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα, Μέσοι χόνοι πααμονής στο σύστημα και αναμονής στην ουά L = L q + W q = L q / λ W = W q + /μ σππ του χόνου αναμονής των πελατών στην σειά/ουά αναμονής, Wq(τ) Για την πείπτωση Νόμου ποτεαιότητας FCFS, αποδεικνύεται ότι ισχύει : W(τ) q μe!,! u (μλ)τ, για τ για τ 44

Μέσο πλήθος απασχολημένων σταθμών εξυπηέτησης Μ = + + 2 2 ++ (-) - + ( + + + +2 +) =!! 2 2!! 2! - -! -!! 2 2-2 - - 2! -!!! -2 - Δηλαδή : Μ = 45

46 Βαθμός χησιμοποιήσεως των σταθμών εξυπηέτησης U= Μ / = / = u Mέση πείοδος συνεχούς απασχόλησης (Β) και μέση πείοδος αγίας (Ι) ενός σταθμού εξυπηέτησης Αποδεικνύεται ότι ισχύει :! λ! λ I Επίσης έχουμε : I B B U I U UI B

Πίνακες για : W q : : Μέσο χόνο αναμονής στην ουά Πιθανότητα να μην αναμείνει καθόλου ένας αφικνούμενος πελάτης Β : Μέση πείοδος συνεχούς απασχόλησης ενός σταθμού εξυπηέτησης Συνατήσει των u=/ =,,,2,...,,9 και =, 2,..., 47

Μοντέλο (Μ / Μ / ) : (GD / Ν / ) {Πειοισμένος χώος αναμονής} Διαδικασία γεννήσεων-θανάτων με λ, αν,,2,,ν λ =, αν Ν και μ = μ (=,2,...) Για, από τις (5) και (4) έχουμε: λ,,2,... μ Δηλαδή, τελικώς, για κάθε =,, 2,..., ισχύει : ( ) Ν,,,2,... 48

49 Εύεση του μέσου πλήθους πελατών στο σύστημα S L d d ) ( d d d d Ν Ν Ν Ν S L Εύεση του μέσου πλήθους πελατών στην ουά αναμονής q ( -) L ) ( L L q

Εύεση του παγματικού υθμού αφίξεων Έχουμε : λ π = μ (L L q ) λ π = μ ( ) ή λ π = λ ( Ν ) Μέσοι χονοι πααμονής στο σύστημα και αναμονής στην ουά W = L / λ π W q = W /μ Βαθμός χησιμοποιήσεως του σταθμού εξυπηέτησης, μέση πείοδος συνεχούς απασχόλησης (Β) και μέση πείοδος αγίας (Ι) του σταθμού εξυπηέτησης U= = Ν Ν I λ B - λ Ν μ 5

5 Για =, από τις (5) και (4) έχουμε:,,2,..., 2 2 L S 2 2 ) ( L L q λ π = λ ( Ν )= λ λ 2λ 2λΝ λ L W π 2λ λ 2λ μ 2λ μ W W q

Μοντέλο (Μ / Μ / ) : (GD / Ν / ), ( < ) {Πειοισμένος χώος αναμονής} Διαδικασία γεννήσεων-θανάτων με λ, αν,,2,,ν λ =, αν Ν μ, για μ = μ, για και Για u=/, από τις (5) και (4) έχουμε : -!! u! u! u 52

53 για, για,! για,! - Εύεση του μέσου πλήθους πελατών στην ουά αναμονής u,!! ( - ) L q Άα έχουμε : u u du d u! u du d u! u du d u! L - q Και τελικά: u u u! L 2 q

54 Εύεση του μέσου πλήθους πελατών στο σύστημα Ισχύουν οι σχέσεις : L q ) ( L Άα : - q L L Αλλά: - - M Επομένως : q L L

Εύεση του παγματικού υθμού αφίξεων Έχουμε : λ π = μ (L L q ) λ π = λ ( Ν ) Μέσοι χονοι πααμονής στο σύστημα και αναμονής στην ουά W q = L q / λ π W = W q + /μ Βαθμός χησιμοποιήσεως του σταθμού εξυπηέτησης, μέση πείοδος συνεχούς απασχόλησης (Β) και μέση πείοδος αγίας (Ι) του σταθμού εξυπηέτησης U= M/ = u 55

56 U UI B - - - -! λ! - λ - I Για u=, από τις (5) και (4) έχουμε (αλλάζουν οι τύποι μόνον για τα Ρ και L q ) :!! u!! - q u!! ( - ) L 2!!

Πίνακες για : W q : : Μέσος χόνος αναμονής στην ουά αναμονής Πιθανότητα να αποχωήσει ένας πελάτης χωίς να εξυπηετηθεί Συνατήσει των u=/ =,,,2,...,,9 και =, 2,..., Έχοντας τo από τον πίνακα, βίσκουμε : -!, -!, - u για για 57

Μοντέλο (Μ / Μ / ) : (GD / / ), {Χωίς χώο αναμονής}, Σύστημα με πλήεις απώλειες (Complete Lo Sytem) Ισχύουν τα αποτελέσματα του (Μ / Μ / ) : (GD / / ), για Ν =. Δηλαδή, ισχύουν οι σχέσεις :!,!, (τύπος του Erlag) L q, W q, L, W = /μ Tα U, I και Β δίνονται από τις ίδιες σχέσεις με το (Μ / Μ / ) : (GD / / ). Tα πααπάνω αποτελέσματα ισχύουν και για το γενικότεο μοντέλο (Μ / G / ) : (GD / / ). 58

Χήσιμες ποσεγγίσεις για σχετικά μεγάλο Για μεγάλο και μικό, θέτουμε :! Δηλαδή, oio() e Για μεγάλο και σχετικά μεγάλο (>5), χησιμοποιούμε την ποσέγγιση της κατανομής oio από την Κανονική (με ίδια μέση τιμή και διασποά). Δηλαδή : Όπου : F z z!! 2π e e! e! 2 /2 d και e! F(z) z /2 59

Μοντέλο (Μ / Μ / ) : (GD / / Κ) {ή (Μ / Μ / ):(GD / Κ / Κ)} Επιτήηση ή επιδιόθωση Μηχανών (Machie Iterferece) Διαδικασία γεννήσεων-θανάτων με λ =λ(k ), =,,2,..., K μ =μ, =,2,3,..., K και Από τις (5) και (4) έχουμε : Κ Κ - Κ!! Κ! Κ -,!, 2,, K 6

6 Μέσο πλήθος πελατών στην ουά αναμονής και μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα αναμονής Αποδεικνύεται ότι : q λ μ λ K L q K K K λ μ K L ( -) L Άα : K L Tα πααπάνω αποτελέσματα ισχύουν και για το γενικότεο μοντέλο (Ε r / M / ) : (GD / / K).

Μέσο πλήθος μηχανών που λειτουγούν, έστω Α μ Α Κ L λ Βαθμός αξιοποιήσεως μιας μηχανής, έστω Ε, δηλ. ποσοστό χόνου που η μηχανή λειτουγεί Ε /λ /λ W q /μ Μέσος χόνος αναμονής στην ουά - /λ Επειδή Α ΚΕ Κ ποκύπτει (!!!) : /λ W /μ W q - Κ - q - λ- 62

Ποσοστό χόνου που η μηχανή επισκευάζεται : /λ /μ W q /μ Μέσο πλήθος επισκευαζόμενων μηχανών, δηλ. Μέσο πλήθος απασχολημένων σταθμών εξυπηέτησης Μ Κ /λ /μ W /μ q Κ /λ /λ W q /μ /μ /λ Α Βαθμός χησιμοποιήσεως των σταθμών εξυπηέτησης U Μ 63

Μοντέλο (Μ / Μ / ) : (GD / / Κ) {ή (Μ / Μ / ):(GD / Κ / Κ)} Επιτήηση ή επιδιόθωση Μηχανών (Machie Iterferece) Διαδικασία γεννήσεων-θανάτων με λ =λ(k ), =,,2,..., K μ = μ, μ, για για και Από τις (5) και (4) έχουμε : K K K!! - K, K!!, -, για για K για K 64

Μέσο πλήθος πελατών στην ουά αναμονής και μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα αναμονής L K L K q L q - - Μέσο πλήθος μηχανών που λειτουγούν, έστω Α A K -L KE K /λ /λ W q /μ 65

Μέσο πλήθος επισκευαζόμενων μηχανών, δηλ. Μέσο πλήθος απασχολημένων σταθμών εξυπηέτησης Μ Κ /λ /μ W /μ q Α Βαθμός χησιμοποιήσεως των σταθμών εξυπηέτησης U Μ μ /λ K W q /μ 66