ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Σχετικά έγγραφα
1 (6) 9 (6) 2 (3) 10 (9) 3 (6) 11 (6) 4 (8) 12 (6) 5 (6) 13 (8) 6 (5) 14 (6) 7 (6) 15 (11) 8 (8)

x (a 1 + a 2 ) mod 9, y (a 1 a 2 ) mod 9.

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.

Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

Διακριτά Μαθηματικά. Εύη Παπαϊωάννου.

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

... a b c d. b d a c

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

βασικές έννοιες (τόμος Β)

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2!

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

jτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

(elementary graph algorithms)

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Gutenberg

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Συνδυαστική Απαρίθμηση

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

q={(1+2)/2}=1 A(1,2)= MERGE( 4, 6 ) = 4 6 q=[(3+4)/2]=3 A(1,4)= MERGE( 4 6, 5 8 ) = q=[(5+6)/2]=5 A(5,6)= MERGE( 2, 9 ) = 2 9

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Συνδυαστική Απαρίθμηση

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία

Εισαγωγικά. 1 η Εβδομάδα. Κάθε Τρίτη (17:00-20:00) και Τετάρτη (13:00 15:00) στην αίθουσα Ι5. 4 ώρες Θεωρία (ΤΡ : 1η-2η ώρα, ΤΕ : 1η-2η ώρα)

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

w S n lim (n 1)! = x(x + q)(x + q + q 2 ) (x + q + q q n 1 ),

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η <Αλγόριθµοι, Θεωρία Γραφηµάτων>

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Προχωρημένη απαρίθμηση

Γράφοι. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Μαθηματικά Πληροφορικής

Transcript:

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΜΥ 3: Διακριτή Ανάλυση και Δομές Χειμερινό Εξάμηνο 26 Σειρά Ασκήσεων 5: Απαρίθμηση, Αρχή της Θυρίδας, Συνδυασμοί και Μεταθέσεις, Γραφήματα και Ιδιότητες Ηµεροµηνία Παράδοσης: Ποτέ (οι λύσεις θα αναρτηθούν στην ιστοσελίδα του µαθήµατος). Σχετικά κεφάλαια στο βιβλίο: K. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, McGraw Hill, 7th Edition, 2: Κεφάλαιο 6 και Κεφάλαιο (υποκεφάλαια.-.5). Ανακοίνωση: Η Τελική Εξέταση θα γίνει στις 23/2/26 (Παρασκευή), από 8:3πµ- :3πµ στην αίθουσα ΧΩΔ-2. Η εξέταση καλύπτει όλη την ύλη µέχρι και την διάλεξη στις /2/26 (συµπεριλαµβανοµένης). Αυτό περιλαµβάνει επίσης τις Σειρές Ασκήσεων, 2, 3, 4, και 5, και τα Κεφάλαια, 2 (2.-2.5), 9 (9.-9.3), 3, 4, 5 (5.-5.4), 6, και (.-.5). Άσκηση : Έστω ότι σε ένα διαγώνισµα υπάρχουν ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (multiple-choice). Για κάθε ερώτηση υπάρχουν τέσσερεις (4) πιθανές απαντήσεις. α) Με πόσους τρόπους µπορεί ένας φοιτητής να απαντήσει τις ερωτήσεις αν απαντήσει όλες τις ερωτήσεις; β) Με πόσους τρόπους µπορεί ένας φοιτητής να απαντήσει τις ερωτήσεις αν µπορεί να αφήσει ερωτήσεις αναπάντητες; γ) Με πόσους τρόπους µπορεί ένας φοιτητής να απαντήσει τις ερωτήσεις αν µπορεί να επιλέξει µία, δύο, τρεις, ή και τέσσερεις απαντήσεις στο κάθε ερώτηµα; Άσκηση 2: Τα αρχικά γράµµατα στο ελληνικό αλφάβητο ενός ανθρώπου είναι τρία: ένα για το όνοµα, ένα για το επώνυµο και ένα για το µεσαίο όνοµα. α) Πόσα διαφορετικά αρχικά υπάρχουν; β) Πόσα διαφορετικά αρχικά υπάρχουν στα οποία τα τρία γράµµατα είναι διαφορετικά µεταξύ τους; γ) Πόσα διαφορετικά αρχικά υπάρχουν τα οποία αρχίζουν µε Β; Άσκηση 3 (προαιρετική): Πόσα binary bit strings υπάρχουν µε µήκος 6 ή µικρότερο; Άσκηση 4: Δείξτε αν ισχύει ή δεν ισχύει η ακόλουθη πρόταση: ανάµεσα σε οποιουσδήποτε 9 διαφορετικούς ακέραιους αριθµούς, υπάρχουν τρεις (3) µε το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν µε το 9. Άσκηση 5: Έστω ότι κάποιος επιλέγει και βγάζει µπάλες από ένα bowl χωρίς να τις βλέπει. Στο bowl υπάρχουν 2 κόκκινες και µαύρες µπάλες. Πόσες µπάλες

πρέπει να επιλέξει (δηλαδή ποιος είναι ο ελάχιστος αριθµός από µπάλες που πρέπει να επιλέξει) για να είµαστε σίγουροι ότι α) επέλεξε τουλάχιστον τρεις µε το ίδιο χρώµα; β) επέλεξε τουλάχιστον τρεις µαύρου χρώµατος; Άσκηση 6: Έστω f είναι µια συνάρτηση από το σύνολο S στο σύνολο T, όπου S και T είναι πεπερασµένα σύνολα και S > T. Δείξτε ότι η f δεν µπορεί να είναι µια αµφιµονοσήµαντος συνάρτηση. Άσκηση 7: Βρείτε τον ελάχιστο αριθµό καλωδίων που χρειάζονται για να ενώσουµε υπολογιστές µε 2 εκτυπωτές για να είµαστε σίγουροι ότι οι 2 εκτυπωτές µπορούν να έχουν απ ευθείας πρόσβαση σε οποιουσδήποτε 2 διαφορετικούς υπολογιστές. Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Άσκηση 8: Δείξετε ότι αν επιλέξετε επτά οποιουσδήποτε ακεραίους από τους µικρότερους θετικούς ακεραίους αριθµούς, τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο ζεύγη από αυτούς που έχουν άθροισµα. Άσκηση 9: Δείξετε ότι στην California, µε πληθυσµό 34 εκατοµµύρια, υπάρχουν τουλάχιστον έξι άνθρωποι µε τα ίδια τρία αρχικά στο όνοµα τους που έχουν την ίδια µέρα γενέθλια. Άσκηση : Μια οµάδα ανθρώπων σε ένα γάµο συµπεριλαµβάνει τη νύφη και το γαµπρό. Με πόσους τρόπους ένας φωτογράφος µπορεί να ταξινοµήσει 6 ανθρώπους από αυτή την οµάδα σε µια σειρά αν α) η νύφη είναι µέσα στην εξάδα; β) και η νύφη και ο γαµπρός είναι µέσα στην εξάδα; γ) µόνο ένας από τη νύφη ή το γαµπρό είναι µέσα στην εξάδα; Άσκηση : Ποιος είναι ο συντελεστής του x 5 y 99 στο ανάπτυγµα του (3x 2y) 5 ; Άσκηση 2: Η σειρά του Pascal Triangle περιέχει τους binomial coefficients, k, είναι η: 45 2 2 252 2 2 45 k Χρησιµοποιείστε την ταυτότητα του Pascal για να δηµιουργήσετε την σειρά που ακολουθεί την πιο πάνω σειρά στο Pascal s Triangle. Άσκηση 3: Δείξτε ότι αν n και k είναι θετικοί ακέραιοι, τότε n + n = (n +) k k / k Χρησιµοποιώντας αυτή την ταυτότητα, ορίστε επαγωγικά τους δυωνυµικούς συντελεστές (binomial coefficients). Άσκηση 4: Υπάρχει απλός γράφος µε 2 κορυφές, η κάθε µια από τις οποίες να έχει βαθµό 3; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Άσκηση 5: Καθορίστε κατά πόσο οι πιο κάτω γράφοι είναι bipartite.

a) b) c) Άσκηση 6: Σχεδιάστε όλους τους υπογράφους του παρακάτω γράφου. Ποιοι από αυτούς τους υπογράφους είναι επαγώµενοι; Άσκηση 7: Έστω n K ένα πλήρες µη κατευθυνόµενο απλό γράφηµα (undirected simple graph) µε n κορυφές και ακµές µεταξύ όλων των κορυφών του. Ποιος είναι ο αριθµός των διαφορετικών επαγόµενων υπογραφηµάτων (induced subgraphs) του G; Ποιος είναι ο αριθµός των διαφορετικών (όχι κατά ανάγκη επαγόµενων) υπογραφηµάτων (span subgraphs) του G ; Άσκηση 8: Σχεδιάστε τους γράφους µε τους παρακάτω πίνακες γειτνίασης. A =, A 2 = Άσκηση 9: Είναι οι απλοί γράφοι µε τους ακόλουθους πίνακες γειτνίασης ισοµορφικοί; α), β), Άσκηση 2: Αποφασίστε αν τα κατευθυνόµενα (directed) γραφήµατα G και G 2 µε τους δεδοµένους πίνακες γειτνίασης είναι ισοµορφικά (isomorhpic). Αν ναι,

υποδείξτε την ένα-προς-ένα και επί συνάρτηση f µε τις απαραίτητες ιδιότητες. Αν όχι, εξηγείστε γιατί. Πίν. γειτνίασης G : Πίν. γειτνίασης G 2 : Άσκηση 2: Καθορίστε κατά πόσο τα δύο πιο κάτω γραφήµατα έχουν Euler circuit ή/και Euler path. Δηµιουργήστε τα αν αυτά υπάρχουν, διαφορετικά εξηγείστε γιατί δεν υπάρχουν. (α) (β) Άσκηση 22: Η άσκηση αυτή έχει δύο µέρη. (α) Έχει το παρακάτω γράφηµα Hamilton path; Αν ναι, καθορίστε το. Αν όχι, εξηγείστε γιατί δεν υπάρχει τέτοιο path. (β) Έχει το παρακάτω γράφηµα Hamilton circuit; Αν ναι, καθορίστε το. Αν όχι, εξηγείστε γιατί δεν υπάρχει τέτοιο circuit.

Άσκηση 23: Ένα µη κατευθυνόµενο απλό γράφηµα (undirected simple graph) G= ( V, E) έχει 2 n (για n ³ 4 ) κορυφές τις οποίες ονοµάζουµε µε 2 n binary strings (,,,, ). Το γράφηµα έχει ακµές µεταξύ δυο κορυφών των οποίων τα strings διαφέρουν σε ακριβώς 3 θέσεις. Για παράδειγµα, αν n = 4, τότε η κορυφή έχει ακµές µε τις,,,. (α) Πόσες ακµές έχει το γράφηµα G ; (β) Αν n = 5, τότε ποιο είναι το µήκος του συντοµότερου µονοπατιού µεταξύ των ακµών και ;