Άςκηςη 1: Παλινδρομική Ανάλυςη, υςχζτιςη, Σάςη

Άςκηςη 1: Παλινδρομική Ανάλυςη, υςχζτιςη, Σάςη Στθν Εφαρμοςμζνθ Κλιματολογία, θ ανάλυςθ, θ επεξεργαςία και θ παρουςίαςθ των κλιματικϊν παραμζτρων γίνεται με τθ χριςθ ςτατιςτικϊν μεκόδων. Βαςικι αρχι αποτελεί το γεγονόσ ότι θ κάκε κλιματικι παράμετροσ ςυνιςτά ζνα πλθκυςμό με ςυνικωσ γνωςτι κατανομι ςυχνότθτασ, ενϊ οι μετροφμενεσ τιμζσ τθσ παραμζτρου αποτελοφν ζνα δείγμα του πλθκυςμοφ αυτοφ, το οποίο υποβάλλεται ςε ςτατιςτικζσ αναλφςεισ και δοκιμαςίεσ προκειμζνου να εξαχκεί θ ςυμπεριφορά του πλθκυςμοφ ςτο χϊρο και ςτο χρόνο. 1 Παλινδρόμηςη Η Παλινδρομικι Ανάλυςθ αποτελεί βαςικι ςτατιςτικι μζκοδο για τθν εφρεςθ ςυναρτθςιακϊν ςχζςεων μεταξφ τυχαίων μεταβλθτϊν. Είναι θ μζκοδοσ προςδιοριςμοφ του τρόπου και του βακμοφ επίδραςθσ μίασ ι περιςςότερων μεταβλθτϊν επί μίασ άλλθσ μεταβλθτισ. Όταν δφο μεταβλθτζσ X, Υ ςυνδζονται με μία ςυναρτθςιακι ςχζςθ, οι τιμζσ τθσ Υ μποροφν να υπολογιςτοφν για κάκε τιμι τθσ Χ με τθ βοικεια τθσ ςυνάρτθςθσ f. Σκοπόσ τθσ Παλινδρομικισ Ανάλυςθσ είναι, ςτθν περίπτωςθ που δεν υπάρχει ςυνάρτθςθ που να περιγράφει απόλυτα τθ ςχζςθ μεταξφ των μεταβλθτϊν Χ και Υ, να ορίςει μία ςυνάρτθςθ με το μικρότερο δυνατό ςφάλμα, ζτςι ϊςτε να είναι δυνατι θ εκτίμθςθ των τιμϊν τθσ Υ από τισ τιμζσ τθσ Χ. Η μακθματικι αυτι εξίςωςθ (μοντζλο) μπορεί να είναι γραμμικι ι οποιαςδιποτε άλλθσ μορφισ. Ωσ απλι γραμμικι παλινδρόμθςθ ορίηεται θ βζλτιςτθ γραμμικι ςυνάρτθςθ που υπολογίηεται μεταξφ των τιμϊν τθσ ανεξάρτθτθσ μεταβλθτισ Χ και των αντίςτοιχων τιμϊν τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ Υ. Το απλοφςτερο είναι το γραμμικό μοντζλο, το οποίο είναι τθσ μορφισ όπου a, b είναι οι ςτακερζσ τθσ γραμμικισ εξίςωςθσ, οι οποίεσ αναλφονται ςτθ ςυνζχεια. 1.1 Μζθοδοσ Ελαχίςτων Σετραγώνων Γενικά, ςε ζνα ςφνολο ςθμείων μποροφν να προςαρμοςτοφν περιςςότερεσ από μία καμπφλεσ οριςμζνθσ μορφισ. Για να αποφφγουμε υποκειμενικζσ κρίςεισ ςτθν καταςκευι τζτοιων καμπυλϊν, είναι απαραίτθτο να ορίςουμε τθν «καμπφλη με την καλφτερη προςαρμογή». Από όλεσ τισ προςεγγιςτικζσ καμπφλεσ για ζνα δεδομζνο ςμινοσ ςθμείων, θ καμπφλθ με τθν ιδιότθτα είναι θ καμπφλθ με τθν καλφτερθ προςαρμογι (Σχιμα 1). Λζμε ότι μία τζτοια καμπφλθ ζχει προςαρμοςτεί ςτα δεδομζνα με βάςθ τθν αρχι των ελαχίςτων τετραγώνων και καλείται καμπφλθ ελαχίςτων τετραγώνων. (2) (1) Η ςυνθκζςτερα χρθςιμοποιοφμενθ μζκοδοσ ελαχίςτων τετραγώνων αφορά ςτον προςδιοριςμό τθσ ευκείασ ελαχίςτων τετραγώνων (ι ευκείασ παλινδρόμθςθσ): χιμα 1. Καμπφλθ ελαχίςτων τετραγϊνων 1

Το πρόβλθμα, επομζνωσ, εντοπίηεται ςτον κακοριςμό των παραμζτρων και τθσ ευκείασ, οι οποίεσ υπολογίηονται από τισ ακόλουκεσ ςχζςεισ: (3) (4) ι (5) Η ονομάηεται τετμθμζνθ επί τθν αρχι και θ ονομάηεται ςυντελεςτισ παλινδρόμθςθσ. 1.2 Όρια εμπιςτοςφνησ Η παραπάνω εξίςωςθ παλινδρόμθςθσ προκφπτει με βάςθ τα δειγματικά δεδομζνα. Συχνά, όμωσ, ενδιαφερόμαςτε για τθν αντίςτοιχθ εξίςωςθ του πλθκυςμοφ από τον οποίο προζρχεται το δείγμα. Συγκεκριμζνα, ο ςυντελεςτισ παλινδρόμθςθσ b τθσ ευκείασ παλινδρόμθςθσ του δείγματοσ δίνει τθν ποςοτικι εξάρτθςθ του Χ επί του Υ ςτο δείγμα, αλλά δεν μπορεί να δϊςει ακριβι πλθροφόρθςθ για τον ςυντελεςτι παλινδρόμθςθσ β του πλθκυςμοφ από τον οποίο προζρχεται το δείγμα. Ζτςι, ηθτάμε τα όρια μζςα ςτα οποία είναι πικανότερο να βρίςκεται θ πραγματικι τιμι β του πλθκυςμοφ. Αυτά τα όρια ορίηονται με τθ βοικεια τθσ ςτατιςτικισ ςυνάρτθςθσ: θ οποία ακολουκεί κατανομι του Student με βακμοφσ ελευκερίασ, ενϊ είναι το τυπικό ςφάλμα του b. Οι εξιςϊςεισ που απαιτοφνται για τον υπολογιςμό του τυπικοφ ςφάλματοσ παραλείπονται ςε αυτζσ τισ ςθμειϊςεισ, κακϊσ οι υπολογιςμοί κα γίνουν με τθ χριςθ του Excel. Τζλοσ, τα όρια εμπιςτοςφνθσ του β είναι: Η τιμι ονομάηεται κρίςιμθ τιμι ςτθ ςτάκμθ ςθμαντικότθτασ και εκτιμάται από τον Πίνακα τθσ t- κατανομισ για βακμοφσ ελευκερίασ ςε δίπλευρο ζλεγχο 1. Προςοχι χρειάηεται ςτον διαχωριςμό μεταξφ των εννοιϊν επίπεδο εμπιςτοςφνθσ (confidence level) που ςυμβολίηεται ςυνικωσ με p και ςτάκμθ ςθμαντικότθτασ (significance level) που ςυμβολίηεται κυρίωσ με, κακϊσ υπάρχουν διαφοροποιιςεισ ςτα διάφορα βιβλία ςτατιςτικισ και ςτα λογιςμικά ςτατιςτικισ ανάλυςθσ. Η μεταξφ τουσ ςχζςθ είναι. Συνικωσ, ορίηουμε (δθλ. ) και άρα το επίπεδο εμπιςτοςφνθσ είναι το 95%. Αντίςτοιχα, προςδιορίηονται και τα όρια εμπιςτοςφνθσ τθσ τεταγμζνθσ επί τθν αρχι α. (6) (7) 1 Όταν ο ζλεγχοσ είναι δίπλευροσ, τότε θ απόρριψθ τθσ μθδενικισ υπόκεςθσ ελζγχεται και ςτα δφο άκρα τθσ κατανομισ, ζτςι θ κρίςιμθ τιμι για ςτάκμθ ςθμαντικότθτασ ελζγχεται ςτο t /2 του πίνακα (και όχι ςτο t ). 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 2 τον παρακάτω πίνακα δίνονται τα ηεφγθ τιμών τθσ κερμοκραςίασ και υγραςίασ του αζρα που λιφκθκαν κατά τυχαίο τρόπο. Αν κεωρθκεί ότι θ κερμοκραςία Χ εκφράηει τθν ανεξάρτθτθ μεταβλθτι και θ ςχετικι υγραςία Υ τθν εξαρτθμζνθ μεταβλθτι, να ορίςετε τθν ευκεία παλινδρόμθςθσ με τθ βοικεια του excel και να βρείτε τα όρια εμπςτοςφνθσ των ςυντελεςτών τθσ ευκείασ. Χ 5,0 6,9 9,8 14,5 19,9 23,4 27,0 26,8 22,0 16,3 Υ 76,0 52,0 75,2 68,0 64,0 56,0 52,0 55,0 62,5 70,3 1 οσ τρόποσ: Σε φφλλο του Excel που ζχουν ειςαχκεί οι τιμζσ (scatter plot) ωσ εξισ:, καταςκευάηουμε το διάγραμμα διαςποράσ Στθ ςυνζχεια, για να φζρουμε πάνω ςτο διάγραμμα τθν ευκεία παλινδρόμθςθσ, κάνουμε δεξί κλικ πάνω ςε ζνα ςθμείο του διαγράμματοσ και επιλζγουμε Αdd Τrendline (Ειςαγωγή Γραμμήσ Τάςησ). Στο παράκυρο που ανοίγει, κάνουμε τισ επιλογζσ Linear (Γραμμική) και Display Εquation on chart (Προβολή Εξίςωςησ ςτο διάγραμμα). Με τον τρόπο αυτό, ορίηεται θ ευκεία παλινδρόμθςθσ πάνω ςτο διάγραμμα διαςποράσ και εμφανίηεται και θ εξίςωςθ τθσ ευκείασ. Σθμειϊνεται, για απόφυγι λακϊν, ότι ςτο διάγραμμα θ εξίςωςθ είναι γραμμζνθ ςτθ μορφι. 2 Οι τιμζσ του παραδείγματοσ ζχουν λθφκεί από το βιβλίο Μαθήματα Εφαρμοςμζνησ Στατιςτικήσ των Η. Λιϊκθ- Λειβαδά και Δ.Ν. Αςθμακόπουλου 3

2 οσ τρόποσ: Στο φφλλο του Excel όπου ζχουν ςθμειωκεί οι τιμζσ, ορίηουμε μία περιοχι 2 x 5 κελιϊν και πατϊντασ πάνω ςτο fx, ανοίγουμε το παράκυρο των ςυναρτιςεων και επιλζγουμε τθ ςυνάρτθςθ LINEST :. Πατϊντασ OK εμφανίηεται νζο παράκυρο, ςτο οποίο πρζπει να ειςάγουμε τισ πλθροφορίεσ που χρειάηεται θ LINEST: πρϊτα τθν ςτιλθ με τισ τιμζσ τθσ Υ και μετά τθ ςτιλθ με τισ τιμζσ τθσ Χ. Στισ δφο επόμενεσ επιλογζσ γράφουμε TRUE. Προςοχι: Αν πατιςετε οκ, κα πάρετε μόνο τον ςυντελεςτι παλινδρόμθςθσ b. Για να πάρετε όλεσ τισ πλθροφορίεσ, κα πρζπει να πατιςετε πρϊτα F2 και ςτθ ςυνζχεια CTRL+SHIFT+ENTER: 4

Η πρϊτθ τιμι τθσ πρϊτθσ ςτιλθσ είναι θ τιμι του ςυντελεςτι παλινδρόμθςθσ b και θ επόμενθ τιμι είναι το τυπικό ςφάλμα του b. Η πρϊτθ τιμι τθσ δεφτερθσ ςτιλθσ είναι θ τιμι τθσ τεταγμζνθσ επί τθν αρχι και θ επόμενθ τιμι είναι το τυπικό ςφάλμα του. Από τα τυπικά ςφάλματα υπολογίηονται τα όρια εμπιςτοςφνθσ των ςυντελεςτϊν, όπωσ κα δοφμε ςτο επόμενο παράδειγμα. Οι υπόλοιπεσ τιμζσ του πίνακα εμπεριζχονται ςτθ ςυηιτθςθ των επόμενων παραγράφων. 3 οσ τρόποσ: Σε αυτόν τον τρόπο υπολογιςμοφ τθσ εξίςωςθσ παλινδρόμθςθσ, κα χρειαςτεί να ζχετε εγκαταςτιςει το Data Analysis (Ανάλυςη Δεδομζνων) toolpak, το οποίο είναι ζνα Add-in (Πρόςκετο) του Excel και βρίςκεται ςτο μενοφ Data (Δεδομζνα). Αποτελεί ζνα ιδιαίτερα χριςιμο εργαλείο για τθ ςτατιςτικι επεξεργαςία δεδομζνων, όπωσ θ περιγραφικι ανάλυςθ δεδομζνων, θ δθμιουργία ιςτογράμματοσ, θ εκτίμθςθ τθσ γραμμισ παλινδρόμθςθσ, κ.α. Για να ενεργοποιιςετε το Data Analysis (Ανάλυςη Δεδομζνων) toolpak ςτον υπολογιςτι ςασ, κα πρζπει να ακολουκιςτε τισ παρακάτω οδθγίεσ, ανάλογα με τθν ζκδοςθ του Microsoft Office που διακζτετε: Office 2007: https://support.office.com/en-us/article/load-the-analysis-toolpak-6a63e598-cd6d-42e3-9317- 6b40ba1a66b4 Office 2010: https://technet.microsoft.com/en-us/magazine/ff969363.aspx Office 2013: https://support.office.com/en-us/article/load-the-analysis-toolpak-305c260e-224f-4739-9777- 2d86f1a5bd89 5

Ζχοντασ ενεργοποιιςει το Data Analysis, το επιλζγουμε και από τθ λίςτα επιλογϊν που ανοίγει διαλζγουμε το Regression (Παλινδρόμηςη). Στο νζο παράκυρο, ειςάγουμε όλεσ τισ απαραίτθτεσ πλθροφορίεσ: α) τθ ςτιλθ των Υ, β) τθ ςτιλθ των Χ, γ) ςθμειϊνουμε ( ) το αντίςτοιχο κουτάκι, αν υπάρχουν Labels (Ταμπζλεσ) ςτθν πρϊτθ γραμμι των δεδομζνων ειςόδου, δ) επιλζγουμε το επίπεδο εμπιςτοςφνθσ κα εξετάςουμε (ςυνικωσ αφινουμε το προεπιλεγμζνο 95%) και ε) κάτω από το Output Options (Επιλογζσ Εξόδου) επιλζγουμε με το Output Range (Περιοχή Εξόδου) το κελί ςτο οποίο κζλουμε να γραφτοφν τα αποτελζςματα, π.χ. D1. Οι υπόλοιπεσ επιλογζσ δεν χρειάηονται ςε αυτι τθν ανάλυςθ. Πατϊντασ ΟΚ, παίρνουμε τα ακόλουκα αποτελζςματα: Στα αποτελζςματα αυτά περιλαμβάνονται όλεσ οι πλθροφορίεσ που απαιτοφνται για τον προςδιοριςμό τθσ ευκείασ παλινδρόμθςθσ, κακϊσ και πλθροφορίεσ που κα χρειαςτοφν ςε επόμενθ παράγραφο. Συγκεκριμζνα, ςτον 3ο πίνακα, δίνονται: 1 θ ςτιλθ: οι τιμζσ των ςυντελεςτϊν και, αντίςτοιχα 2 θ ςτιλθ: οι τιμζσ των αντίςτοιχων τυπικϊν ςφαλμάτων των ςυντελεςτϊν, δθλ.: 6

3 θ ςτιλθ: θ τιμι που παίρνει θ ςτατιςτικι ςυνάρτθςθ t 4 θ ςτιλθ: θ πικανότθτα απόρριψθσ των ςυντελεςτϊν (κα δοφμε ςτθ ςυνζχεια πϊσ αξιοποιείται) 5 θ και 6 θ ςτιλθ: τα διαςτιματα εμπιςτοςφνθσ των δφο ςυντελεςτϊν Δθλαδι, οι τιμζσ του ςυντελεςτι παλινδρόμθςθσ β και τθσ τεταγμζνθσ επί τθν αρχι α του πλθκυςμοφ από τον οποίο προζρχεται το δείγμα κυμαίνονται μζςα ςτα διαςτιματα: 2 υςχζτιςη (Correlation) Με τθ γραμμικι ςυςχζτιςθ ορίηεται γενικά θ ςχζςθ που υπάρχει μεταξφ δφο μεταβλθτϊν, χωρίσ να εξετάηεται ο βακμόσ τθσ ςυναρτθςιακισ ςχζςθσ τθσ μίασ μεταβλθτισ από τθν άλλθ. 2.1 υντελεςτήσ υςχζτιςησ και υντελεςτήσ Προςδιοριςμοφ Ο βακμόσ τθσ ςυναρτθςιακισ ςχζςθσ προςδιορίηεται μζςω του ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ r που δεν ορίηει μία ποςοτικι αλλαγι τθσ μίασ μεταβλθτισ ςε ςχζςθ με τθν άλλθ, αλλά εκφράηει τθν ζνταςθ του ςυνδζςμου μεταξφ των δφο μεταβλθτϊν. Από ζνα δείγμα n τιμϊν ςχζςθσ: των μεταβλθτϊν Χ, Υ υπολογίηουμε τον ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ μζςω τθσ (8) ι [ ] [ ] (9) Στισ ςχζςεισ αυτζσ, ο παρονομαςτισ είναι πάντα κετικόσ, οπότε το πρόςθμο του ςυντελεςτι εξαρτάται από το πρόςθμο του αρικμθτι: - αν, τότε αυξανομζνων των τιμϊν τθσ μίασ μεταβλθτισ αυξάνονται και οι τιμζσ τθσ άλλθσ - αν, τότε θ αφξθςθ των τιμϊν τθσ μίασ μεταβλθτισ ςυνοδεφεται από μείωςθ των τιμϊν τθσ άλλθσ - αν, τότε θ ςυνδιακφμανςθ των μεταβλθτϊν Χ, Υ είναι μθδζν, δθλαδι δεν υπάρχει γραμμικι ςφνδεςθ μεταξφ τουσ (βλζπε Σχιμα 2). 7

χιμα 2. Παραδείγματα διαγραμμάτων διαςποράσ για διάφορετικζσ ςυςχζτιςεισ μεταξφ των μεταβλθτϊν Ο ςυντελεςτισ γραμμικισ ςυςχζτιςθσ: - είναι κακαρόσ αρικμόσ - βρίςκεται πάντοτε ςτο διάςτθμα - το πρόςθμο του r είναι ίδιο με το πρόςθμο του b (αλλά ο b δεν αποτελεί δείκτθ του μεγζκουσ τθσ ςυςχζτιςθσ!) Από το τετράγωνο του ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ ορίηεται ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ προςδιορίηει το ποςοςτό τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ Υ που ερμθνεφεται από τθν Υ=f(X). που 2.2 Όρια εμπιςτοςφνησ του ςυντελεςτή γραμμικήσ ςυςχζτιςησ Ο ςυντελεςτισ γραμμικισ ςυςχζτιςθσ r που υπολογίηεται από ζνα δείγμα, αποτελεί εκτίμθςθ του ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ ρ του πλθκυςμοφ των δφο μεταβλθτϊν από τον οποίο προζρχεται το δείγμα. Ζτςι, κα πρζπει να γίνεται ζλεγχοσ υποκζςεων για τθ ςτατιςτικι ςθμαντικότθτά του. Υποκζτοντασ ότι οι μεταβλθτζσ Χ, Υ ςτον πλθκυςμό είναι αςυςχζτιςτεσ μεταξφ τουσ, κεωροφμε τθ μθδενικι υπόκεςθ Η 0 : ζναντι τθσ εναλλακτικισ υπόκεςθσ Η 1 :. Ο ςτατιςτικόσ ζλεγχοσ γίνεται με τθν εφαρμογι τθσ ςτατιςτικισ ςυνάρτθςθσ που ακολουκεί τθν κατανομι του Student με βακμοφσ ελευκερίασ (10) όπου είναι το τυπικό ςφάλμα του ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ που δίνεται από τθ ςχζςθ: (11) Από τον πίνακα τθσ t κατανομισ, ορίηεται ςε δίπλευρο ζλεγχο θ κρίςιμθ τιμι t a(2). Αν, τότε απορρίπτεται θ μθδενικι υπόκεςθ, δθλαδι θ τιμι του ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ είναι ςτατιςτικά ςθμαντικι, κατά ςυνζπεια υπάρχει γραμμικι ςυςχζτιςθ μεταξφ των μεταβλθτϊν Χ, Υ. Αν, τότε δεν μποροφμε να απορρίψουμε τθ μθδενικι υπόκεςθ, κατά ςυνζπεια το δείγμα προζρχεται από πλθκυςμό αςυςχζτιςτων μεταξφ τουσ μεταβλθτϊν. 8

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Θεωρώντασ ότι το δείγμα του Παραδείγματοσ 1 προζρχεται από πλθκυςμό με ςθμαντικότθτασ 0.05 τθν τιμι του ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ του δείγματοσ., να ελζγξετε ςτθ ςτάκμθ 1 οσ τρόποσ: Υπολογίηουμε τον ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ r, το τυπικό ςφάλμα s r και τθν τιμι t τθσ ςτατιςτικισ ςυνάρτθςθσ από τισ παραπάνω ςχζςεισ: Στον πίνακα τθσ t-κατανομισ, βρίςκουμε τθν κρίςιμθ τιμι t a(2).για βακμοφσ ελευκερίασ. Αφοφ ο ζλεγχοσ είναι δίπλευροσ, θ κρίςιμθ τιμι ελζγχεται ςτο t 0.975 του πίνακα (και όχι ςτο t 0.95 ) και βρίςκεται ότι είναι t 0.975 =2.31. Κακϊσ προκφπτει ότι δεν μποροφμε να απορρίψουμε τθ μθδενικι υπόκεςθ, κατά ςυνζπεια δεν υπάρχει ςτατιςτικά ςθμαντικι γραμμικι ςυςχζτιςθ μεταξφ των μεταβλθτϊν Χ, Υ. 2 οσ τρόποσ Στο Excel χρθςιμοποιϊντασ τθ ςυνάρτθςθ CORREL, μποροφμε να υπολογίςουμε το ςυντελεςτι γραμμικισ ςυςχζτιςθσ. Στθ ςυνζχεια, με απλζσ πράξεισ, μποροφμε να υπολογίςουμε τθν τιμι τθσ t και από πίνακεσ τθν κρίςιμθ τιμι τθσ. 3 Χρονοςειρζσ και Σάςη Οι τιμζσ των μεταβλθτϊν που ζχουν λθφκεί ςε τακτά χρονικά διαςτιματα ορίηουν ακολουκίεσ τιμϊν, οι οποίεσ καλοφνται χρονοςειρζσ και αποτελοφν κφριο αντικείμενο μελζτθσ τθσ Κλιματολογίασ. Οι χρονοςειρζσ χαρακτθρίηονται ςαν ςτάςιμεσ (stationary) ι μθ-ςτάςιμεσ (non-stationary). Στάςιμθ είναι μία χρονοςειρά όταν οι ςτατιςτικζσ τθσ παράμετροι (μζςθ τιμι, τυπικι απόκλιςθ κ.λπ.) ςε επιμζρουσ τμιματά τθσ είναι ςτατιςτικά ίςεσ μεταξφ τουσ, αλλιϊσ είναι μθ-ςτάςιμθ. Μια µθ-ςτάςιµθ χρονοςειρά µπορεί να παρουςιάηει - τάςθ (trend), δθλαδι «αργζσ» μεταβολζσ ςτθ µζςθ τιµι τθσ µε το χρόνο, π.χ. θ ελάχιςτθ θμεριςια κερμοκραςία τθσ Ακινασ, όπωσ ζχει καταγραφεί από τον ςτακμό του Εκνικοφ Αςτεροςκοπείου Ακθνϊν από τα μζςα του 19 ου αιϊνα ζωσ ςιμερα 9

- περιοδικότθτα (periodicity), που όταν αναϕζρεται ςε ςυγκεκριµζνεσ περιόδουσ που ςχετίηονται µε φυςικζσ εποχζσ του ζτουσ (µινα, τρίµθνο, τετράµθνο) λζγεται και εποχικότθτα (seasonality), π.χ. οι ςυγκεντρϊςεισ του όηοντοσ ςτθν ατµόςϕαιρα υπόκεινται ςε εποχικζσ διακυµάνςεισ πζρα από τισ διακυµάνςεισ που µπορεί να οϕείλονται ςτισ μεταβολζσ του κλιματικοφ ςυςτιµατοσ - τυχαία ςυμπεριφορά που οφείλεται ςε (φαινομενικά) τυχαία εξωτερικά γεγονότα 3.1 Οριςμόσ Σάςησ με τη Βοήθεια τησ Παλινδρομικήσ Ανάλυςησ (Παραμετρική Μζθοδοσ) Η τάςθ αποτελεί ξεχωριςτό τμιμα τθσ μελζτθσ των χρονοςειρϊν. Αυτι μπορεί να είναι γραμμικι, δθλαδι θ μεταβολι τθσ μεταβλθτισ με το χρόνο να είναι ςτακερι ςε όλο το μικοσ τθσ χρονοςειράσ ι να ακολουκεί άλλθ ςυναρτθςιακι ςχζςθ μθ ςτακερι με το χρόνο. Στθν περίπτωςθ που κεωροφμε γραμμικι τάςθ ςε μία χρονοςειρά, τότε μποροφμε να τθν προςδιορίςουμε με τθν βοικεια τθσ παλινδρομικισ ανάλυςθσ. Συγκεκριμζνα, προςδιορίηουμε τθν ευκεία παλινδρόμθςθσ και ο ςυντελεςτισ b τθσ ευκείασ αποτελεί και τθν τάςθ τθσ χρονοςειράσ. Η ςτατιςτικι ςθμαντικότθτα τθσ τάςθσ ελζγχεται με τθν εφαρμογι του t-ελζγχου που είδαμε για τον ςυντελεςτι παλινδρόμθςθσ κεωρϊντασ τθ μθδενικι υπόκεςθ ότι θ χρονοςειρά δεν ζχει τάςθ, Η 0 : ζναντι τθσ εναλλακτικισ υπόκεςθσ Η 1 :. Αυτι θ διαδικαςία εφρεςθσ τθσ τάςθσ χρθςιμοποιείται και όταν το ηθτοφμενο είναι θ αφαίρεςι τθσ από τθ χρονοςειρά, «διορκϊνοντασ» με αυτό τον τρόπο τισ τιμζσ τθσ χρονοςειράσ. Επίςθσ, είναι ςφνθκεσ να προθγείται θ εξομάλυνςθ τθσ χρονοςειράσ (για τθν αφαίρεςθ ακραίων τιμϊν) πριν τον προςδιοριςμό τθσ τάςθσ, μία διαδικαςία που κα δοφμε ςτθν επόμενθ εργαςτθριακι άςκθςθ. 3.2 Οριςμόσ τησ Σάςησ με τη Βοήθεια Απαραμετρικών Μεθόδων Όταν το ηθτοφμενο δεν είναι θ αφαίρεςθ τθσ τάςθσ από μία χρονοςειρά, αλλά θ μελζτθ τθσ ςθμαντικότθτασ τθσ και κυρίωσ θ εφρεςθ του χρόνου ζναρξθσ τθσ, είναι προτιμότερο να χρθςιμοποιοφνται οι λεγόμενοι απαραμετρικοί ζλεγχοι, οι οποίοι ςτθρίηονται ςτθ διάταξθ των τιμϊν τθσ χρονοςειράσ και ζτςι δεν υπάρχει ανάγκθ εξομάλυνςισ τθσ. Οι πλζον γνωςτζσ μζκοδοι είναι θ μζκοδοσ Spearman και θ μζκοδοσ των Kendall-Mann. Η μζκοδοσ των Kendall-Mann ζχει το πλεονζκτθμα ότι μπορεί να προςδιορίςει περίπου τθ χρονικι ςτιγμι από τθν οποία ξεκινά θ τάςθ και τθ χρονικι ςτιγμι πζρα από τθν οποία αυτι γίνεται ςτατιςτικά ςθμαντικι. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Δίνεται θ χρονοςειρά τθσ μζςθσ κερμοκραςίασ του Αυγοφςτου ςτο Ηράκλειο για τθν περίοδο 1961-1990. Να υπολογιςτεί θ τάςθ με τθ βοικεια τθσ παλινδρομικισ ανάλυςθσ και να ελεγχκεί θ ςτατιςτικι τθσ ςθμαντικότθτα ςτθ ςτάκμθ ςθμαντικότθτασ =0.05, YEAR 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 T( C) 25 25.4 26.4 25 24.6 26.5 26.4 25.3 24.3 25.8 25.3 25.4 24.6 24.2 24.5 YEAR 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 T( C) 24 25.5 23.8 24.9 24.8 24 25 24.5 24.1 25.5 25.5 25.3 25.5 24.8 24.6 Η τάςθ μπορεί να προςδιοριςτεί με οποιονδιποτε από τουσ τρόπουσ που είδαμε ςτο Παράδειγμα 1. Με τον πρϊτο τρόπο μποροφμε να δοφμε γραφικά ποια είναι θ ςυμπεριφορά τθσ χρονοςειράσ. Αν επιπλζον, επιλζξουμε να αναγράφεται και ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ r 2 (Display R-squared Value on 10

chart) όταν κάνουμε τθ ειςαγωγι τθσ γραμμισ τάςθσ (Add Trendline), τότε μποροφμε να διαπιςτϊςουμε το ποςοςτό τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ κερμοκραςίασ που ερμθνεφεται από τθν ευκεία παλινδρόμθςθσ, δθλαδι το ποςοςτό τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ κερμοκραςίασ (9.7%) που οφείλεται ςτθν γραμμικι τάςθ που υπολογίςαμε. Αν επιλζξουμε τον 3 ο τρόπο, μποροφμε να μελετιςουμε και τθ ςτατιςτικι ςθμαντικότθτα τθσ τάςθσ. Το αποτζλεςμα τθσ διαδικαςίασ φαίνεται ςτθν επόμενθ εικόνα. 11

Από τον 3 ο πίνακα, βρίςκουμε ότι θ τάςθ είναι και θ εφαρμογι του t-ελζγχου δίνει. Επίςθσ, ςτον 1 ο πίνακα δίνεται ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ r 2 (ωσ R Square). Η κρίςιμθ τιμι για και βακμοφσ ελευκερίασ είναι. Ιςχφει, άρα δεν μποροφμε να απορρίψουμε τθ μθδενικι υπόκεςθ που ςθμαίνει ότι θ χρονοςειρά δεν παρουςιάηει ςτατιςτικά ςθμαντικι τάςθ. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Chatfield, C., 2004: The Analysis of Time Series-An Introduction. 6 th Ed., CRC Press, Boca Raton. Spiegel, M.R., 1975: Schaum s Outline of Theory and Problems of Probability and Statistics. McGraw-Hill, New York. Κανελλοποφλου, Ε., 2005: Εργαςτθριακζσ Αςκιςεισ Κλιματολογίασ. Ακινα Λιϊκθ-Λειβαδά, Η. και Δ.Ν. Αςθμακόπουλοσ, 2010: Μαθήματα Εφαρμοςμζνησ Στατιςτικήσ. Συμμετρία, Ακινα 12

ΑΚΗΗ Δίνεται θ κερινι ελάχιςτθ κερμοκραςία (Tmin) και θ κερινι μζγιςτθ κερμοκραςία (Tmax) για το ςτακμό του Αςτεροςκοπείου ςτο Θθςείο για τθν περίοδο 1971-2000. α) Να υπολογίςετε τθν τάςθ τθσ κάκε χρονοςειράσ και να ελζγξετε τθ ςτατιςτικι ςθμαντικότθτά τθσ ςτθ ςτάκμθ ςθμαντικότθτα =0.005. β) Να υπολογίςετε τον ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ μεταξφ των δφο παραμζτρων και να ελζγξετε τθ ςτατιςτικι ςθμαντικότθτά του ςτθ ςτάκμθ ςθμαντικότθτα =0.005. Να κάνετε τουσ υπολογιςμοφσ ςτο excel και να δϊςετε και τα αντίςτοιχα διαγράμματα, ακολουκϊντασ τα παραδείγματα. Year Summer Tmin Summer Tmax 1971 13.93 30.78 1972 13.95 30.93 1973 14.15 30.82 1974 13.98 31.31 1975 14.06 30.88 1976 13.48 29.64 1977 14.48 32.34 1978 14.05 31.64 1979 14.37 31.80 1980 13.85 31.72 1981 14.15 31.76 1982 13.73 31.73 1983 13.52 30.77 1984 13.86 31.21 1985 13.59 32.41 1986 13.81 32.89 1987 13.47 33.28 1988 13.88 33.32 1989 13.71 31.73 1990 14.31 32.46 1991 13.53 31.76 1992 13.58 31.63 1993 14.21 33.31 1994 14.99 32.98 1995 14.29 32.62 1996 13.94 32.54 1997 14.29 33.13 1998 15.01 34.54 1999 15.83 34.91 2000 15.53 34.72 13