Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Η εξοικείωση του φοιτητή με τις (εισαγωγικές) έννοιες που θα του χρειαστούν για τον ορισμό της πιθανότητας. Εμπέδωση (με δυνατότητα εφαρμογών) από το φοιτητή του ορισμού πιθανότητας κατά Laplace καθώς και των εννοιών δεσμευμένης πιθανότητας και ανεξαρτησίας ενδεχομένων. 4

Περιεχόμενα ενότητας Πείραμα τύχης Σχέσεις μεταξύ συνόλων Στοιχεία Συνδυαστικής Ανάλυσης Ορισμός πιθανότητας κατά Laplace Ανεξαρτησία ενδεχομένων Δεσμευμένη πιθανότητα Ασκήσεις- Εφαρμογές Άλυτες ασκήσεις 5

Πειράματα τύχης Ως πείραμα τύχης εννοούμε μια διαδικασία με αβέβαιη έκβαση που θεωρούμε ότι μπορεί να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες Σε ένα πείραμα τύχης ορίζουμε τα ακόλουθα: Απλό ενδεχόμενο καλείται κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος. Δειγματικός χώρος (ή δειγματοχώρος) Ω είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Ενδεχόμενο Α ονομάζεται κάθε σύνολο απλών ενδεχομένων. Ως ενδεχόμενο θεωρείται και ο Ω αλλά και το κενό σύνολο Ø.

Παραδείγματα

Διάγραμμα Venn Πράξεις Συνόλων

Πράξεις Συνόλων Περιεκτικότητα

Πράξεις Συνόλων Ένωση-Τομή Ένωση Τομή

Πράξεις Συνόλων Αφαίρεση συνόλων-συμπλήρωμα

Πράξεις Συνόλων

Παραδείγματα Έστω Α, Β, Γ, Δ, Ε πέντε ενδεχόμενα του Ω. α) Ποιο ενδεχόμενο περιγράφει την πραγματοποίηση τουλάχιστο ενός από τα Α, Β, Γ, Δ, Ε; β) Ποιο ενδεχόμενο περιγράφει την πραγματοποίηση ενός και μόνου ενδεχομένου από τα Α, Β, Γ, Δ, Ε; γ) Να μη συμβούν όλα;

Συνδυαστική ανάλυση Με τον όρο συνδυαστική εννοούμε την απαρίθμηση των στοιχείων ενός συνόλου ή δειγματοχώρου. Συνήθως η χρήση της πραγματοποιείται προκειμένου να υπολογιστούν οι πιθανότητες κάποιων ενδεχομένων. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Συνδυαστική Ανάλυση Συνδυασμοί Παράδειγμα Με πόσους τρόπους 12 άτομα χωρίζονται σε τετράδες;

Ορισμός Πιθανότητας (κατά Laplace) Ορισμός (κατά Laplace) Έστω ένα πείραμα τύχης με γνωστό δειγματικό χώρο και ισοπίθανα ενδεχόμενα. Η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο (ή γεγονός) ισούται με το πηλίκο του αριθμού των ευνοϊκών για αυτό περιπτώσεων προς το πλήθος όλων των δυνατών περιπτώσεων.

Αξιώματα πιθανοτήτων

Εφαρμογή 1

Εφαρμογή 2

Εφαρμογή 3

Εφαρμογή 4

Δεσμευμένη πιθανότητα Η πιθανότητα της πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου δεδομένου της πραγματοποίησης του ενδεχομένου ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα του, συμβολίζεται με και υπολογίζεται από τον τύπο

Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Δύο ενδεχόμενα Α, Β καλούνται ανεξάρτητα όταν η πραγματοποίηση του ενός δεν αλλάζει την πιθανότητα πραγματοποίησης του άλλου. Δηλαδή ισχύει Αν δεν ισχύει η τελευταία σχέση τα ενδεχόμενα καλούνται εξαρτημένα.

Ανεξάρτητα ενδεχόμενα

Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Παρατήρηση 1 Παρατήρηση 2

Παράδειγμα Έστω ότι δύο μηχανές λειτουργούν ανεξάρτητα για την παραγωγή ενός προϊόντος. Στο 60% του χρόνου λειτουργίας του μηχανήματος, καμία από τις μηχανές δεν παρουσιάζει βλάβη. Όμως, με ένα ποσοστό 1% του χρόνου λειτουργίας και οι δύο μηχανές παρουσιάζουν βλάβη ταυτόχρονα. Αν για να παραχθεί το προϊόν απαιτείται η λειτουργία μιας τουλάχιστον μηχανής, να υπολογισθεί η πιθανότητα κατασκευής του προϊόντος καθώς και η πιθανότητα λειτουργίας κάθε μιας από τις δύο μηχανές.

Λύση

Λύση

Παράδειγμα 2 (Τετράεδρο του Bernstein)

Παράδειγμα 2 (Τετράεδρο του Bernstein)

Άσκηση 1 Αν ρίξουμε δύο ζάρια, ποια η πιθανότητα να έρθει ακριβώς μία φορά 5, όταν, α) δεν δίνεται άλλη πληροφορία β) είναι γνωστό ότι η ρίψη έφερε άθροισμα μεγαλύτερο του 9.

Λύση Ο αρχικός δειγματοχώρος είναι Ω={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Ορίζουμε: Κ : {έρχεται 5} Β : {έρχεται άθροισμα μεγαλύτερο του 9}

Λύση

Άσκηση 2 Σε ένα λιμάνι αναμένονται 4 Επιβατικά πλοία και 2 Πετρελαιοφόρα. Ποια η πιθανότητα τα δύο πρώτα πλοία που θα έρθουν να είναι i) Επιβατικά ii) ii) ίδιου τύπου;

Λύση

Άσκηση 3

Λύση

Λύση

Άσκηση 4

Άσκηση 5

Λύση

Λύση

Άσκηση 6

Άλυτες ασκήσεις

Τέλος Ενότητας