Χρήση του προγράµµατος MatLab στον αυτόµατο έλεγχο

Χρήση του προγράµµατος MatLab στον αυτόµατο έλεγχο Κατά τη µελέτη ενός συστήµατος είναι απαραίτητο να επιλύσουµε το µαθηµατικό µοντέλο προκειµένου βρούµε την χρονική και αρµονική απόκριση αυτού. Προκειµένου να βελτιώσουµε το σύστηµα απαιτείται να πραγµατοποιήσουµε πολλές τροποποιήσεις στην αρχική συνάρτηση ή στο ελεγκτή που χρησιµοποιούµε. Αυτό καθιστά επίπονη την διαδικασία της µελέτης του συστήµατος, ενώ υπάρχει τόσο οικονοµική όσο και χρονική επιβάρυνση αυτής. Το πρόγραµµα MatLab δίνει την δυνατότητα στους µηχανικούς που εµπλέκονται στη µελέτη συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου µε πολύ εύκολο τρόπο να µελετούν οποιοδήποτε σύστηµα συνεχές ή διακριτό γραµµικό ή µη γραµµικό. Εδώ θα γίνει µια σύντοµη περιγραφή βασικών εργαλείων του προγράµµατος MatLab σχετικά µε την µελέτη διατάξεων και βαθµιδών από τον χώρο των Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου. Θα εξετάσουµε την µεθοδολογία εισαγωγής δεδοµένων του συστήµατος και µελέτης του, µε χρήση του editor του προγράµµατος ή του Simulink. Α. Χρήση του editor του MatLab Στον editor του MatLab µπορούµε να εισάγουµε την συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος που θέλουµε να µελετήσουµε και στην συνέχεια να απεικονίσουµε την απόκρισης τόσο στο πεδίο χρόνου όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων Έστω το σύστηµα Με συνάρτηση µεταφοράς του απ ευθείας δρόµου G(s) Και συνάρτηση ανατροφοδότησης H(s) G( s) = 2 s H ( s) = 1 2500 + 40 s + 2500 Η συνάρτηση του κλειστού συστήµατος είναι 2500 G( s) 2 F s) = = s + 40 s + 2500 = 1+ G( s) H ( s) 2500 1+ 1 2 s + 40 s + 2500 2500 ( = 2 2500 2 ( s + 40 s + 2500) + 2500 s + 40 s + 5000 I-65

Με την βοήθεια του προγράµµατος MatLab διερευνούµε την συµπεριφορά του συστήµατος Στο Command Window ορίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος >>F =tf([2500],[1 40 5000]) Στο Command Window ορίζουµε το πολυώνυµο του παρονοµαστή >>p=[1 40 5000] Πληκτρολογώντας >> roots (p) υπολογίζονται οι ρίζες του πολυωνύµου (οι οποίες είναι και πόλοι του συστήµατος) ans = -20.0000 +67.8233i -20.0000-67.8233i Οι πόλοι του συστήµατος είναι στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο, εποµένως το σύστηµα είναι ευσταθές. Με την εντολή >> step (F) καταγράφεται η βηµατική (χρονική) απόκριση του κλειστού συστήµατος. Η βηµατική απόκριση του συστήµατος µας δίδει πολλές πληροφορίες σχετικά µε την συµπεριφορά του συστήµατος, τα σηµαντικότερα χαρακτηριστικά είναι Υπερύψωση Χρόνος ανύψωσης Χρόνος αποκατάστασης ονοµάζουµε την διαφορά της τελικής τιµής του σήµατος εξόδου του συστήµατος (σταθερή κατάσταση) από την µέγιστη τιµή όταν το σύστηµα διεγείρεται από σήµα µοναδιαίας βαθµίδας. Συνήθως εκφράζεται σε ποσοστό επί της εκατό είναι ο χρόνος που απαιτείται προκειµένου η έξοδος του συστήµατος να µεταβληθεί από το 10% στο 90% της τελικής τιµής του όταν αυτό διεγείρεται από συνάρτηση µοναδιαίας βαθµίδας είναι ο απαιτούµενος χρόνος προκειµένου η έξοδος του συστήµατος, το οποίο διεγείρεται από συνάρτηση µοναδιαίας βαθµίδας, να φθάσει και να παραµείνει µέσα σε ορισµένη περιοχή της τελικής τιµής, συνήθως ±5%. I-66

Με βάση τους προηγούµενους ορισµούς µπορούµε να εκτιµήσουµε από το γράφηµα της βηµατικής απόκρισης τα χαρακτηριστικά του συστήµατος που µελετάµε. Υπερύψωση ε υ =39,6 % Χρόνος ανύψωσης Τ r = 0,0185 sec Χρόνος Αποκατάστασης T s =0,195 sec Η συνάρτηση µεταφοράς του ανοικτού βρόχου είναι: 2500 G( s) H ( s) = 2 s + 40 s + 2500 Στο Command Window ορίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος >>GH =tf([2500],[1 40 2500]) Με την εντολή >> bode (GH) παίρνουµε τα διαγράµµατα πλάτους & φάσης (διαγράµµατα Bode) Hendrik Wade Bode, (24 εκεµβρίου 1905 21 Ιουνίου 1982) Αµερικανικός µηχανικός, ερευνητής, εφευρέτης, συντάκτης και επιστήµονας, ολλανδικής καταγωγής. Πρωτοπόρος της σύγχρονης θεωρίας ελέγχου και των ηλεκτρονικών τηλεπικοινωνιών. Επιπλέον, η έρευνά του βοήθησε πολλές άλλες ειδικότητες εφαρµοσµένης µηχανικής και έθεσε τα θεµέλια σε µια σειρά σύγχρονων καινοτοµιών στα πεδία των υπολογιστών, των ροµπότ και της κινητής τηλεφωνίας. Πολύ σεβαστός στους ακαδηµαϊκούς κύκλους παγκοσµίως,. Είναι επίσης γνωστός στους σύγχρονους σπουδαστές εφαρµοσµένης µηχανικής κυρίως για την ανάπτυξη των διαγραµµάτων BODE. Οι ερευνητικές συνεισφορές του ήταν πολυδιάστατες και αλλά εκτεταµένες. Έλαβε ενεργά µέρος και στο αµερικάνικο διαστηµικό πρόγραµµα. I-67

Με την εντολή >> rlocus (GH) παίρνουµε τον γεωµετρικό τόπο ριζών του συστήµατος. Από το διάγραµµα του τόπου ριζών µπορούµε να επιβεβαιώσουµε την θέση των πόλων του κλειστού συστήµατος όταν το Gain=1, την υπερύψωση και φυσικά να υπολογίζουµε τον συντελεστή απόσβεσης και την ιδιοσυχνότητα χωρίς απόσβεση. Από την µέχρι τώρα µελέτη του συστήµατος διαπιστώνουµε ότι η χρονική απόκριση του, δεν είναι και η καλλίτερη δυνατή π.χ. η υπερύψωση είναι υπερβολικά µεγάλη 40% και ο χρόνος αποκατάστασης είναι και αυτός µεγάλος. I-68

Μερικές από της εντολές του MatLab Εντολή abs bode feedback imag impulse lsim margin nyquist plot print real rlocfind rlocus roots sqrt ss step tf Περιγραφή ίνει την απόλυτη τιµή. Σχεδιάζει το διάγραµµα Bode. ηµιουργεί το κλειστό σύστηµα όταν δοθούν οι συναρτήσεις G(s) και H(s) ίνει το φανταστικό µέρος ενός µιγαδικού αριθµού. Σχεδιάζει την απόκριση του συστήµατος µε διέγερση δ(t). Εξοµοιώνει ένα γραµµικό σύστηµα. ίνει την απολαβή την φάση και τις συχνότητες γονάτου µιας συνάρτησης. Σχεδιάσει το διάγραµµα Nyquist. Σχεδιάζει το γράφηµα µιας συνάρτησης. Εκτυπώνει ένα γράφηµα. ίνει το πραγµατικό µέρος ενός µιγαδικού αριθµού. Υπολογίζει την τιµή του k και του πόλου ενός σηµείου. Σχεδιάζει τον γεωµετρικό τόπο των ριζών. Υπολογίζει τις ρίζες ενός πολυωνύµου. Υπολογίζει την τετραγωνική ρίζα. ηµιουργεί µοντέλα state-space ή µετατρέπει µοντέλα LTI σε SS. Σχεδιάζει την βηµατική απόκριση του συστήµατος. ηµιουργεί συναρτήσει µεταφοράς tf ή µετατρέπει σε µορφή tf. I-69

Β. Χρήση του Simulink του Mat Lab Για να ενεργοποιηθεί ο Simulink Library Browser, αρκεί να πληκτρολογήσουµε την εντολή simulink στο command window του Mat Lab ή να πατήσουµε το πλήκτρο simulink : Για να δηµιουργήσουµε ένα νέο µοντέλο ή να ανοίξουµε ένα ήδη υπάρχον χρησιµοποιούµε τις συντοµεύσεις που υπάρχουν πάνω αριστερά. Στο παράθυρο του Simulink Library Browser απεικονίζεται µια λίστα. Η λίστα αυτή περιέχει όλα τις οµάδες στοιχείων που µπορεί να χρειαστούµε για να εξοµοιώσουµε οποιοδήποτε σύστηµα. Υπάρχει µια τεράστια ποικιλία η οποία δεν έχει να κάνει µόνο µε το χώρο των Σ.Α.Ε. Για το λόγο αυτό θα αναλύσουµε µόνο τη πρώτη (οµάδα Simulink ) την οποία και θα χρησιµοποιήσουµε στη άσκηση. I-70

Οµάδα (ή βιβλιοθήκη) Simulink Μπροστά από την οµάδα Simulink υπάρχει ένα πλήκτρο µε σύµβολο + (κατάλογος). Αν κάνουµε κλικ µε το ποντίκι στο σύµβολο αυτό θα εµφανιστούν όλες οι διαθέσιµες υποοµάδες. Κάθε υποοµάδα φιλοξενεί ένα σύνολο στοιχείων. Κάθε στοιχείο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εξοµοίωση µιας βαθµίδας ενός συστήµατος ή µέρους αυτής. Στη συνέχεια θα δούµε µια προς µια τις υποοµάδες αυτές. Υποοµάδα (ή βιβλιοθήκη) Continuous Αν κάνουµε κλικ µε το ποντίκι σε κάποια υποοµάδα, εµφανίζονται τα στοιχεία που περιέχει. εν θα παρουσιάσουµε αναλυτικά όλα τα στοιχεία αλλά µόνο αυτά που συναντάµε συχνά. Για να δούµε ολοκληρωµένο το menu ενός στοιχείου πρέπει το στοιχείο να είναι ενεργό. Για να γίνει αυτό πρέπει να το τοποθετήσουµε στο κατάλληλο χώρο. Έτσι ζητάµε να ανοίξει ένα παράθυρο µοντέλου στο οποίο θα «χτίσουµε» το σύστηµά µας. Στο παράθυρο µοντέλου µπορούµε να τοποθετήσουµε οποιοδήποτε στοιχείο κάνοντας απλώς δεξί κλικ πάνω του (στο στοιχείο) και επιλέγοντας Add to untitled. Το στοιχείο µεταφέρεται αυτόµατα µέσα στο παράθυρο πάνω δεξιά. Επίσης, µας ζητείται να πληκτρολογήσουµε ένα όνοµα για το νέο στοιχείο. Κάνοντας διπλό κλικ πάνω στο νέο στοιχείο ανοίγει ένα παράθυρο ρυθµίσεων. Στο παράθυρο αυτό πολλές φορές αναγράφεται µόνο η περιγραφή του στοιχείου και καµία ρύθµιση δεν µπορεί να γίνει από το χρήστη. Στη συνέχεια θα δούµε κάποια από τα στοιχεία της υποοµάδας continuous η οποία ονοµάζεται έτσι επειδή περιέχει στοιχεία συνεχούς χρόνου (continuous time). Στοιχείο (ή µπλοκ) Derivative Το στοιχείο Derivative δίνει στην έξοδό του τη παράγωγο του σήµατος εισόδου του. Στο παράθυρο ρυθµίσεων δεν µας επιτρέπεται καµία ρύθµιση, ενώ επιλέγοντας Help ανοίγει αυτόµατα το παράθυρο βοήθειας του Mat Lab, το οποίο εξηγεί αναλυτικά τη λειτουργία του στοιχείου. I-71

Στοιχείο (ή µπλοκ) Integrator Το στοιχείο Integrator δίνει στην έξοδό του το ολοκλήρωµα του σήµατος στην είσοδό του. Στο παράθυρο ρυθµίσεων µας δίνεται η δυνατότητα να θέσουµε όρια κορεσµού στο σήµα εξόδου επιλέγοντας την εντολή limit output. Επίσης, µπορούµε να δηµιουργήσουµε µια επιπλέον έξοδο η οποία θα δίνει µονάδα κατά το κορεσµό και µηδέν για τη περιοχή κανονικής λειτουργίας, επιλέγοντας την εντολή show saturation port. Επιπλέον, µπορούµε να ορίσουµε αρχική τιµή εξόδου της βαθµίδας αντικαθιστώντας το µηδέν µε την επιθυµητή αρχική τιµή εξόδου στο πλαίσιο κάτω από την ετικέτα Initial condition. Τέλος, στο πλαίσιο κάτω από την ετικέτα absolute tolerance συµπληρώνουµε προαιρετικά την απόλυτη ανοχή που επιθυµούµε. Στοιχείο (ή µπλοκ) Transfer function Το µπλοκ Transfer function µας επιτρέπει να δηλώσουµε τη συνάρτηση µεταφοράς ενός συστήµατος απευθείας και να δούµε την απόκρισή της. Στο παράθυρο ρυθµίσεων µας ζητείται να συµπληρώσουµε δύο πίνακες, ένα για τον αριθµητή και ένα για το παρανοµαστή. εδοµένου ότι η συνάρτηση είναι ρητή οι πίνακες αυτοί εκφράζουν τα πολυώνυµα του αριθµητή και του παρανοµαστή. Η λογική που συµπληρώνουµε τους πίνακες είναι ίδια µε εκείνη που παρουσιάσαµε κατά τη κατασκευή των διαγραµµάτων (π.χ. [0 1 1] =>(0 s 2 + s + 1). εν υπάρχει περιορισµός στη τάξη του πολυωνύµου αρκεί η τάξη του αριθµητή να είναι µικρότερη από του παρανοµαστή. Στο πλαίσιο κάτω από την ετικέτα absolute tolerance συµπληρώνουµε προαιρετικά την απόλυτη ανοχή που επιθυµούµε. I-72

Υποοµάδα (ή βιβλιοθήκη) Math Η υποοµάδα Math ανήκει και αυτή στη βιβλιοθήκη Simulink και η λογική επιλογής της είναι ίδια. Στη συνέχεια ακολουθούν κάποια στοιχεία της υποοµάδας Math η οποία ονοµάζεται έτσι επειδή τα στοιχεία που περιέχει πραγµατοποιούν µαθηµατικές πράξεις. Στοιχείο (ή µπλοκ) Gain Το στοιχείο Gain δίνει στην έξοδό του το σήµα εισόδου πολλαπλασιασµένο µε ένα σταθερό αριθµό. Ο αριθµός αυτός µπορεί να είναι δεκαδικός ή ακέραιος. Η είσοδός του µπορεί να είναι ένα διάνυσµα (u) ή ένας πίνακας τιµών. Και στις δυο περιπτώσεις το µπλοκ θα αποκριθεί σωστά αν δηλωθεί η µορφή της πράξης που θέλουµε να κάνει. ηλαδή αν επιθυµούµε πολλαπλασιασµό του Κ µε το διάνυσµα (u) ή του πίνακα Κ (δηµιουργείται αυτόµατα) επί του πίνακα εισόδου (u). Η τιµή του Κ δηλώνεται στο πλαίσιο κάτω από την ετικέτα Gain, ενώ ο τύπος πολλαπλασιασµού επιλέγεται από τη λίστα Multiplication. Στοιχείο (ή µπλοκ) Slider Gain Το στοιχείο Slider Gain δίνει στην έξοδό του το σήµα εισόδου πολλαπλασιασµένο µε έναν αριθµό. Στο παράθυρο ρυθµίσεων δηλώνουµε τη µικρότερη (Low) και τη µεγαλύτερη (High) τιµή που θέλουµε να πάρει αυτός ο αριθµός ενώ µε µια µπάρα κύλισης επιλέγουµε τιµές µέσα σε αυτή τη περιοχή. Η χρήση του µπλοκ Gain πλεονεκτεί σε όλα τα σηµεία εκτός από τη περίπτωση που επιθυµούµε αυθαίρετες τιµές (τριών δεκαδικών ψηφίων) µέσα σε µια περιοχή. Ιδανική είναι η χρήση του µπλοκ Slider Gain για εξοµοίωση ποτενσιόµετρου (π.χ Low = 0, High =1). Στοιχείο Sum Το στοιχείο Sum έχει µόνο δύο εισόδους και δίνει στην έξοδό του το άθροισµα ή τη διαφορά των εισόδων του. Ένα από τα µειονεκτήµατα της βαθµίδας αυτής είναι ότι δεν επιτρέπει τη προσθήκη επιπλέον εισόδων. Κάθε είσοδο χαρακτηρίζεται από ένα πρόσηµο. Μας δίνεται η δυνατότητα να επιλέξουµε τα πρόσηµα αυτά. + + πρόσθεση των εισόδων 1 και 2 + - αφαίρεση της εισόδου 2 από την 1 - + αφαίρεση της εισόδου 1 από την 2 - - πρόσθεση των αντιθέτων των εισόδων 1 και 2 I-73

Στοιχειό (ή µπλοκ) Trigonometric Function Το στοιχείο Trigonometric Function είναι ένα χρήσιµο στοιχείο µε αρκετά εύκολο menu. Η έξοδό του αποτελεί γεωµετρική συνάρτηση της εισόδου του. Από µια λίστα η οποία βρίσκεται µπροστά από την ετικέτα Function µας επιτρέπεται να επιλέξουµε τη σχέση µεταξύ εισόδου-εξόδου. Μερικές από τις επιλογές είναι το sin, cos, tan, asin, sinh κτλ. Μια άλλη λίστα µπροστά από την ετικέτα Output signal type προσφέρει την επιλογή ανάµεσα σε πραγµατικές ή µιγαδικές τιµές εξόδου. Αν στη λίστα αυτή επιλεγεί το auto η επιλογή γίνεται αυτόµατα ανάλογα µε τη περίπτωση. Υποοµάδα (ή βιβλιοθήκη) Non-Linear Η υποοµάδα αυτή ονοµάζεται Non-Linear γιατί περιέχει µη γραµµικά στοιχεία. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουµε µόνο ένα στοιχείο καθώς η λογική ρυθµίσεων για τα περισσότερα στοιχεία είναι ίδια. Στοιχείο Saturation Το στοιχείο Saturation µας δίνει τη δυνατότητα να θέσουµε όρια σε µία τιµή. Στο παράθυρο ρυθµίσεων µπορούµε να θέσουµε το ανώτερο και το κατώτερο όριο που θέλουµε να πάρει η τιµή στην έξοδο του µπλοκ. Αν η τιµή στην είσοδο δεν φτάνει τις τιµές των ορίων τότε η έξοδος δεν διαφέρει από την είσοδο. Αν η τιµή στην είσοδο ξεπεράσει τα όρια, η τιµή εξόδου θα διατηρηθεί πάνω σε αυτά. I-74

Υποοµάδα (ή βιβλιοθήκη) Signs Η υποοµάδα Signs ονοµάζεται έτσι επειδή τα στοιχεία που περιέχει είναι στοιχεία ένδειξης και µετρήσεων. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουµε τα πιο σηµαντικά. Στοιχείο Display Το στοιχείο Display απεικονίζει τη τιµή του σήµατος στην είσοδό του. εν χρειάζεται να καθορίσουµε τη µορφή της εισόδου (τάση, γωνία, στροφές), καθώς λαµβάνει την είσοδό του σαν καθαρό αριθµό. Στο παράθυρο ρυθµίσεων υπάρχει µια λίστα µετά την ετικέτα Format µε την οποία επιλέγουµε τη µορφή της απεικόνισης της τιµής. Αν θέλουµε η τιµή να απεικονίζεται µε πολλά δεκαδικά επιλέγουµε long και όχι short. Επίσης, αν θέλουµε η τιµή να εκφράζεται µε ένα αριθµό πολλαπλασιασµένο µε κάποια δύναµη του δέκα τότε επιλέγουµε long_e ή short_e (π.χ 1.256 * 105 ). Αν θέλουµε να είναι της παραπάνω µορφής αλλά όχι σε δύναµη του δέκα (π.χ 1.256 * 25), τότε αλλάζουµε τη ποσότητα στο πλαίσιο κάτω από την ετικέτα decimation. Στοιχείο Scope Το στοιχείο Scope λειτουργεί όπως και ο κοινός παλµογράφος. Απεικονίζει δηλαδή το σήµα στην είσοδό του συνάρτηση του χρόνου. Με διπλό κλικ πάνω στο στοιχείο ανοίγει ένα παράθυρο απεικόνισης, όπως αυτό που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Μετά το τέλος της εξοµοίωσης το παράθυρο αυτό απεικονίζει το σήµα στην είσοδο του παλµογράφου. Αν αυτό δε γίνεται σωστά τότε πατάµε το πλήκτρο autoscale και το Mat Lab κάνει αυτόµατη βαθµονόµηση των αξόνων. Ο άξονας Χ απεικονίζει το χρόνο σε sec και µετά την εντολή autoscale απεικονίζει όλο το χρόνο εξοµοίωσης. Ο άξονας Υ ρυθµίζεται αυτόµατα και δείχνει τις τιµές του σήµατος εισόδου (καθαρός αριθµός). Αν θέλουµε να αλλάξουµε την βαθµονόµηση του άξονα Υ κάνουµε δεξί κλικ πάνω στο γράφηµα σε ελεύθερο χώρο. I-75

Υποοµάδα (ή βιβλιοθήκη) Sources Η υποοµάδα αυτή περιέχει στοιχεία τα οποία χρησιµοποιούνται σαν πηγές και από εκεί παίρνει το όνοµά της. Στη συνέχεια θα δούµε τα βασικότερα στοιχεία : Στοιχείο Constant Το στοιχείο Constant συµπεριφέρεται σαν πηγή σταθερού πλάτους. Η έξοδός της αποτελεί ένα διάνυσµα σταθερού µέτρου ή ένα πίνακα σταθερής τιµής. Συχνά το στοιχείο χρησιµοποιείται σαν στάθµη αναφοράς αφού παρέχει σταθερή τιµή εξόδου. Η τιµή της εξόδου ρυθµίζεται από το παράθυρο ρυθµίσεων στο πλαίσιο κάτω από την ετικέτα Constant Value. Επίσης επιλέγουµε αν η έξοδος θα είναι διάνυσµα ή πίνακας από την εντολή Interpret vector parameters as 1- D. Αν η εντολή αυτή δεν επιλεγεί τότε η έξοδος είναι σε µορφή πίνακα διαστάσεων όσο και η τιµή constant. Στοιχείο Step Το στοιχείο Step δίνει στην έξοδό του το γνωστό σήµα µοναδιαίας βαθµίδας (βηµατική). Στο παράθυρο ρυθµίσεων µπορούµε να επιλέξουµε τη χρονική στιγµή που θα συµβεί η βηµατική, την αρχική τιµή του διανύσµατος εξόδου πριν το βήµα, καθώς και τη τελική του τιµή. Τέλος µπορούµε να ρυθµίσουµε και το ρυθµό δειγµατοληψίας της εξόδου. Στη συνέχεια θα δούµε αναλυτικά αυτές τις ρυθµίσεις. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται το παράθυρο ρυθµίσεων. Σύµφωνα µε τις ρυθµίσεις στο διπλανό παράθυρο τη χρονική στιγµή t = 1 sec θα πραγµατοποιηθεί βήµα και το διάνυσµα εξόδου από τιµή 2 θα πάρει τιµή 5. Η αλλαγή αυτή θα εµφανιστεί στην έξοδο τη χρονική στιγµή t = 3 sec, όπου λαµβάνεται το πρώτο δείγµα. είγµατα λαµβάνονται κάθε τρία δευτερόλεπτα και τότε γίνονται µόνο αντιληπτές οι µεταβολές της τιµή του διανύσµατος. Στη συνέχεια φαίνεται η καταγραφή της εξόδου για το παραπάνω παράδειγµα. I-76

Στοιχείο Ramp Το στοιχείο Ramp δίνει στην έξοδό του σήµα ράµπας. Στο παράθυρο ρυθµίσεων µας δίνεται η δυνατότητα να ρυθµίσουµε τη κλίση (slope) σε µονάδες (καθαρός αριθµός) ανά δευτερόλεπτο, την αρχική τιµή εξόδου (initial value) και τη χρονική στιγµή που η έξοδος θα ενεργοποιηθεί (start time). Στη συνέχεια φαίνεται ένα παράδειγµα ρυθµίσεων και αποκρίσεως : Η αρχική τιµή της εξόδου είναι 2 και µετά τη χρονική στιγµή 1 sec αυξάνεται µε κλίση 10 µονάδες ανά δευτερόλεπτο. Στοιχείο Signal Generator Το στοιχείο Signal Generator µας παρέχει στην έξοδό του σήµατα συναρτήσεων τα οποία µπορούµε να επιλέξουµε. Η επιλογή αυτή γίνεται από τη λίστα που βρίσκεται που βρίσκεται στο πλαίσιο δίπλα από την ετικέτα Wave form. Από τη λίστα αυτή µπορούµε να επιλέξουµε την µορφή του σήµατος εξόδου να είναι ηµιτονική, τετραγωνική, πριονωτή και τυχαίας τιµής. Στο πλαίσιο κάτω από την ετικέτα Amplitude γράφουµε τη τιµή του πλάτους εξόδου (Αp-p) που επιθυµούµε και στο πλαίσιο κάτω από την ετικέτα Frequency γράφουµε τη συχνότητα. Η συχνότητα αυτή µπορεί να είναι σε Hertz ή rad / sec. Η επιλογή γίνεται από τη λίστα που βρίσκεται δεξιά από την ετικέτα Units. I-77

Παράδειγµα Υποθέτουµε το σύστηµα : Για να µελετήσουµε τη βηµατική απόκριση του συστήµατος στο Mat Lab ακολουθούµε τη παρακάτω διαδικασία. Ανοίγουµε ένα νέο παράθυρο µοντέλου Εισάγουµε µια-µια τις βαθµίδες όπως φαίνεται παρακάτω: I-78

Θέτουµε τα χαρακτηριστικά των βαθµίδων Για το µπλοκ µοναδιαίας βαθµίδας : Step time = 1 sec Initial Value = 0 Final Value = 1 Sample time =0 Για το µπλοκ Sum : + - (αφαίρεση του σήµατος στην είσοδο 2 από το αυτό στην 1) Για το µπλοκ Integrator : απενεργοποιούµε την εντολή Limit Output Για το µπλοκ Transfer Function : Numerator = [0 0 10] Denominator = [1 20 10] Absolute tolerance =auto Ενώνουµε τις βαθµίδες µεταξύ τους εξιά και αριστερά από τα µπλοκ υπάρχουν σύµβολα ( > ) σαν βελάκια στα οποία αν πλησιάσουµε το ποντίκι, ο κέρσορας θα µετατραπεί σε σταυρό. Τότε κάνοντας αριστερό κλικ και κρατώντας πατηµένο το πλήκτρο του ποντικιού ξεκινάµε µια γραµµή. Η γραµµή αυτή θα ακολουθεί τη πορεία του κέρσορα µέχρι να αφήσουµε το πλήκτρο. Αν κινήσουµε το κέρσορα µέχρι το επόµενο βελάκι, τότε ο σταυρός γίνεται διπλός. Σε αυτή τη περίπτωση η γραµµή θα συνδέσει τα δύο βελάκια. Έτσι σχηµατίζουµε τις γραµµές. Αν θέλουµε να δηµιουργήσουµε κόµβο τότε πλησιάζουµε το κέρσορα πάνω στη γραµµή και πατώντας Ctrl και το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού συγχρόνως, σέρνουµε το κέρσορα δηµιουργώντας τη γραµµή. Αν δεν πατήσουµε Ctrl τότε ο κέρσορας παρασύρει την ήδη υπάρχουσα γραµµή και µας δίνει τη δυνατότητα να επιλέξουµε εµείς τη τελική µορφή της. Στη συνέχεια ακολουθούν κάποια σχήµατα που δείχνουν όσα περιγράψαµε. I-79

Ρύθµιση χρόνου εξοµοίωση και σηµεία δειγµατοληψίας. Πριν αρχίσουµε την εξοµοίωση ενός συστήµατος πρέπει να θέσουµε το χρόνο εξοµοίωσης δηλαδή τη διάρκεια της εξοµοίωσης σε sec. Επίσης, συχνά χρειάζεται να ρυθµίσουµε το ρυθµό δειγµατοληψίας. Ο ρυθµός δειγµατοληψίας είναι η συχνότητα µε την οποία θα λαµβάνονται δείγµατα τιµών από το Simulink. Τα δείγµατα αυτά χρησιµοποιούνται και για την απεικόνιση στο Scope. Αν ο ρυθµός είναι σχετικά χαµηλός τότε θα λάβουµε την κυµατοµορφή παραµορφωµένη. Αν πάλι είναι πολύ υψηλός και το σύστηµα σύνθετο η εξοµοίωση καθυστερεί αρκετά. Για να γίνουν οι παραπάνω ρυθµίσεις επιλέγουµε Simulation parameters από το menu του πλήκτρου Simulation που βρίσκεται στη γραµµή εντολών του παράθυρου του µοντέλου ή πατώντας Ctrl + E. Το παράθυρο ρυθµίσεων φαίνεται στην επόµενη σελίδα. Οι ρυθµίσεις των παραµέτρων εξοµοιώσεις είναι πολλές και πολύπλοκες. Για το λόγω αυτό θα παρουσιάσουµε µόνο τις ρυθµίσεις της πρώτης καρτέλας (Solver) που είναι και οι σηµαντικότερες. Στο πλαίσιο Simulation time παρατηρούµε δύο πλαίσια κειµένου µε ετικέτες Sart time και Stop time. Είναι προφανές ότι στα πλαίσια αυτά δηλώνουµε τη χρονική στιγµή που θα αρχίσει και θα τελειώσει η εξοµοίωση. Στο πλαίσιο Solver Options υπάρχουν τρία πλαίσια κειµένου µε τις ονοµασίες Max Step Size, Min Step Size, Initial Step Size. Στα τρία αυτά πλαίσια γραφούµε τη µέγιστη, την ελάχιστη και την αρχική χρονική διάρκεια που θέλουµε να µεσολαβεί µεταξύ δύο δειγµάτων. Στη πραγµατικότητα για απλά συστήµατα, αρκεί να θέσουµε τη µέγιστη επιτρεπόµενη διάρκεια στο πλαίσιο Max Step Size. Μια τιµή 0.1 σε αυτό το πλαίσιο δίνει σχεδόν πάντα καλές κυµατοµορφές για φυσικά συστήµατα όπως αυτά που θα µελετήσουµε. Τα πλαίσια κειµένου Relative tolerance και Absolut tolerance µας επιτρέπουν να ορίσουµε την απόλυτη και τη σχετική ανοχή στις τιµές εξοµοίωσης. Στο παράδειγµά µας θα χρησιµοποιήσουµε τις ρυθµίσεις που φαίνονται στο σχήµα. I-80

Έναρξη εξοµοίωσης Για να αρχίσει η εξοµοίωση πρέπει να πατήσουµε το πλήκτρο Start από τη γραµµή εντολών του παράθυρου του µοντέλου. ίπλα στο πλήκτρο Start υπάρχει το πλήκτρο Stop το οποίο σταµατάει τη διαδικασία εξοµοίωσης. Κατά διάρκεια της εξοµοίωσης το πλήκτρο Stop ενεργοποιείται αυτόµατα ενώ το πλήκτρο Start γίνεται Pause και µας δίνει τη δυνατότητα προσωρινής παύσης. Απεικόνιση της εισόδου του Scope Όταν τελειώσει η εξοµοίωση, το πρόγραµµα παράγει ένα ηχητικό σήµα. Οι ενδείκτες απεικονίζουν τη τελευταία τιµή ενώ οι βαθµίδες Scope «περιέχουν» τη µορφή του γραφήµατος του σήµατος στην είσοδο τους κατά τη διάρκεια της εξοµοίωσης. Για να δούµε τα γραφήµατα αυτά πρέπει να κάνουµε διπλό κλικ πάνω σε κάθε µπλοκ Scope. Το γράφηµα της εξόδου για το παράδειγµά µας φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Από τη σύντοµη αυτή παρουσίαση του Simulink είναι εύκολο κάποιος να αντιληφθεί την απλότητα της σχεδίασης και τη ποιότητα των αποτελεσµάτων. Αν ο χρήστης είναι εξοικειωµένος µε τα µπλοκ διαγράµµατα διαφόρων συστηµάτων δεν θα αντιµετωπίσει σχεδόν κανένα πρόβληµα κατά τη χρήση του Simulink. ικαιολογηµένα θεωρείται ένα από τα σηµαντικότερα εργαλεία ενός µηχανικού και η πολύωρη εξάσκηση στο Simulink δε θα αποτελέσει ποτέ χάσιµο χρόνου. I-81

Σηµειώσεις. I-82

Σηµειώσεις. I-83

Σηµειώσεις. I-84