Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται το τυχαίο I do not believe that God rolls dice Μακροσκοπική άποψη πολύπλοκου φαινόµενου Αδυναµία µέτρησης/υπολογισµού όλων των παραγόντων Μελέτη Τυχαίων Φαινοµένων (Στοχαστικά Μοντέλα) Πρόβλεψη/Μοντέλα Απόκριση Συστήµατος σε Τυχαίο Σήµα Φασµατικές Ιδιότητες Τυχαίου Σήµατος Επίδραση Θορύβου στη µετάδοση δεδοµένων στις τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Αλγόριθµος Λήψης στο έκτη
Πιθανότητες Παριστάνουν το σχετικό βάρος των διάφορων δυνατών αποτελεσµάτων (ενδεχοµέν-ων) ενός τυχαίου πειράµατος Χρήσιµοι ορισµοί θεωρίας συνόλων Τα σύνολα παριστάνουν στη µελέτη πιθανοτήτων τα ενδεχόµενα αποτελέσµατα ενός τυχαίου πειράµατος Κενό σύνολο Βέβαιο ενδεχόµενο (δειγµατόχωρος) Ω Ασυµβίβαστα γεγονότα
Ορισµός Μιά συλλογή από ενδεχόµενα {A ι } αποτελούν ιαµερισµό εάν: 1. 2. Χρήσιµη Ιδιότητα Αν {A ι } αποτελούν διαµερισµό, τότε ένα ενδεχόµενο µπορεί να γραφτεί
Χώρος Πιθανοτήτων Για τον ορισµό ενός τυχαίου πειράµατος (χώρου πιθανοτήτων) απαιτούνται: Βέβαιο Ενδεχόµενο Ω Σώµα ενδεχοµένων: µη κενό σύνολο υποσυνόλων του δειγµατόχωρου, που για κάθε στοιχείο του περιέχει το συµπλήρωµα του και είναι κλειστό υπό την αριθµήσιµη ένωση Μέτρο Πιθανότητας: Είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού όλα τα ενδεχόµενα στο σώµα ενδεχοµένων. ίνει την πιθανότητα (σχετικό βάρος) ενός ενδεχοµένου P(A) = N A / N = ποσοστό των αποτελεσ- µάτων που ανήκουν στο A
Αξιωµατικός ορισµός πιθανοτήτων Το µέτρο πιθανότητας πρέπει να ικανοποι-εί τα εξής αξιώµατα γιά όλα τα ενδεχόµενα F στο σώµα ενδεχοµένων 1. P(F) 2. P(Ω) 3. Αν F ι είναι αµοιβαία ασυµβίβαστα, τότε P( U N F i i = 1 ) =
Ορισµός πιθανοτήτων µε σχετικές συχνότητες Υποθέστε οτι ένα τυχαίο πείραµα επαναλαµβάνεται n φορές. Αν το ενδεχόµενο Α εµφανιστεί ως αποτέλεσµα n A φορές, τότε η πιθανότητα P(A) ορίζεται ως το όριο της σχετικής συχνότητας n A / n καθώς το n τείνει στο άπειρο:
Κλασσικός Ορισµός πιθανοτήτων Με βάση τον κλασσικό ορισµό, η πιθανότητα υπολογίζεται χωρίς πειραµατισµό. Η εφαρµογή του προϋποθέτει ότι είναι γνωστά όλα τα βασικά πιθανά αποτελέσµατα του πειράµατος, και για κάθε ενδεχόµενο µπορεί να υπολογιστεί ο αριθµός αυτών των βασικών αποτελεσµάτων. Αν Ν είναι ο αριθµός των βασικών αποτελεσµάτων και Ν A ο αριθµός των βασικών αποτελεσµάτων του ενδεχοµένου Α, τότε η πιθανότητα P(A) ορίζεται ως ο λόγος Ν A / Ν:
Παράδειγµα: ιπλή ρίψη νοµίσµατος
Ιδιότητες 1. P( ) 2. P(F) 3. P (F ) = 4. Α Β 5. P(Α Β)= 6. Α 1, Α 2,,Α ν διαµερισµός P(B) =
Απο Κοινού Πιθανότητες (Joint Probability) Η πιθανότητα να συµβούν δύο ενδεχόµενα Α και Β ταυτόχρονα ορίζεται ως η από κοινού πιθανότητα: P(Α Β) Οριακές Πιθανότητες Εαν είναι γνωστές οι από κοινού πιθανότητες ενός ενδεχοµένου µε τα στοιχεία ενός διαµερισµού, µπορεί να υπολογιστεί η οριακή πιθανότητα (marginal probability) του ενδεχοµένου, όπως θα δούµε παρακάτω.
Υπό Συνθήκη Πιθανότητα (Conditional Probability) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α δεδοµέ-νου ότι έχει συµβεί το ενδεχόµενο Β δίδεται από P(A B) = εδοµένου ότι έχει συµβεί το ενδεχόµενο Β, ο χώρος πιθανών αποτελεσµάτων αλλάζει και οι πιθανότητες πρέπει να κανο-νικοποιηθούν. Χρησιµοποιώντας σχετικές συχνότητες: P(A B) = Παράδειγµα: 3 λευκές, 2 κόκκινες σφαίρες σε κουτί, αφαιρούµε 2 διαδοχικά (χωρίς επανατοποθέτηση). Πιθανότητα η πρώτη λευκή και η δεύτερη κόκκινη:
ύο Βασικοί Νόµοι Πιθανοτήτων 1. Κανόνας Ολικής Πιθανότητας Α 1, Α 2,,Α ν διαµερισµός P(B) = 2. Θεώρηµα του Bayes P(A j B) =
Παράδειγµα: Εχουµε τις ακόλουθες στατιστικές µετρήσεις σχετικά µε την κλάση ελλατωµατικών εξαρτηµάτων σε µια σειρά από εργοστάσια παραγωγής: Κατηγορία ελλατώµατος Εργοστάσιο Β 1 Β 2 Β 3 Β 4 Β 5 Σύνολο Μ 1 124 6 3 1 6 140 Μ 2 145 2 4 0 9 160 Μ 3 115 1 2 1 1 120 Μ 4 101 2 0 5 2 110 Σύνολο 485 11 9 7 18 530 Υπολογίστε την πιθανότητα ένα εξάρτηµα, επιλεγ - µένο τυχαία από τα 530, Α) να έχει κατασκευαστεί από το Μ 2 και να χαρακτηριστεί Β 1 Β) να χαρακτηριστεί Β 2 Γ) να έχει κατασκευαστεί από το Μ 1 ) να χαρακτηριστεί Β 2 δεδοµένου οτι έχει κατασκευαστεί στο Μ 2 Ε) να έχει κατασκευστεί στο Μ 1 δεδοµένου οτι έχει χαρακτηριστεί Β 2
Παράδειγµα: Εχουµε ένα συµµετρικό δυαδικο τηλεπικοινωνιακό δίαυλο Ι=0 Ο=0 Ι=1 Ο=1 β = P(O=0 I=1) =P(O=1 I=0) P(I=0) = p, P(I=1) = 1-p α) Ποιά η πιθανότητα να ληφθεί 1 β) Ποιά η πιθανότητα να µεταδόθηκε το 1 δεδοµένου οτι λάβαµε 1