ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x x x 4

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ 8 Α Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ Α Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ 87 Α α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β P( ω ) x x x x x x lim x x x x x x x x lim ( )( x x ) ( ) x x x x lim lim x x x x x x x x lim x x x x ( ) Ο ρυθµός µεταβολής της f ως προς x όταν x, ισούται µε f () Η f είναι παραγωγίσιµη για κάθε x > 0 µε x x x f ( x) ln x ln x ln x x Για x έχουµε: f () ln ω A' είναι P(ω ) P(Α') Όµως Pω ( ) P( A') P( A) P( A) Β Είναι Α' {ω, ω } Επείδη { } οπότε ( ') P A

2 Β ΘΕΜΑ Γ Πράγµατι, {ω } Α άρα P(ω ) P(A) Όµως Pω ( ), άρα P( A ) P( A) P( A) Όµως P( A) P( ω ) P( ω) και επειδή Pω ( ) προκύπτει P( ω) P( ω) 0 Είναι P( Ω ), άρα P( ω ) P( ω) P( ω) P( ω ) και επειδή Pω ( ), Pω ( ) 0 προκύπτει 5 Pω ( ) P( A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B B A P A B P B A P A P A B P B P A B P( A) P( B) P( A B) () Όµως A { ωω, }, άρα P( A) P( ω ) P( ω) 7 Β { ω, ω}, άρα P( Β ) P( ω ) P( ω) Α Β { ω }, άρα P( A B) Pω ( ) Από την () βρίσκουµε ότι: 7 P ( A B) ( B A) P( A) P( B) P( A B) i [ ] P( A B ) P( A ) P( A B ) P( A ) P ( A B) P( A) P( A B) P( A B) P( A) P( A) P( B) P( A B) P( A) 7 P( B) P( A B) Γ Αν c το πλάτος της κάθε κλάσης, τότε η τέταρτη κλάση θα είναι (50 c, 50 c) Αφού η κεντρική τιµή της είναι 85, προκύπτει ότι 50 c 50 c 7c 7c c 0 f Γ Αφού η διάµεσος είναι δ 75 f f 50%

3 Επίσης, x 7 55f 65 f 75 f 85 f 7 Επίσης ισχύουν f f f f καθώς και f f άρα, f f f 0,5 f f f f f f f f f f Από τη λύση του συστήµατος προκύπτει f 0, f 0, f 0, f 0, Έτσι προκύτει ο παρακάτω πίνακας: Κλάσεις x ι f ι [50, 60) 55 0, [60, 70) 65 0, [70, 80) 75 0, [80, 90) 85 0, Σύνολο 80 Γ Οι παρατηρήσεις που είναι µικρότερες του 80 έχουν διαφορετική βαρύτητα, άρα x x f x f x f 55i0, 65i0, 75i0, 5, , 0, 0, 0, 6 0, 6 6 f f f Γ Αφού η κατανοµή είναι κανονική και το,5 % των παρατηρήσεων είναι τουλάχιστον 7, θα είναι x s 7 Επίσης για το 6% των παρατηρήσεων που είναι το πολύ 68 θα είναι θα είναι x s 68, όπου x, s η µέση τιµή και τυπική απόκλιση, αντίστοιχα, των κ παρατηρήσεων Άρα θα είναι x s 7, x s 68 Από τη λύση του συστήµατος προκύπτει δ και x 70 s Ο συντελεστής µεταβολής των κ παρατηρήσεων είναι CV < x 70 0 Άρα το δείγµα των παρατηρήσεων αυτών είναι οµοιογενές ΘΕΜΑ f ( x) ln x, x> 0 Η εφαπτόµενη της f στο στο σηµείο (, f()) είναι: (ε): y λx β όπου λ f () Επειδή η (ε) διέρχεται από το (, f()) αλλά f () β β f () ln κ κ η (ε) γίνεται y x κ Τα σηµεία Α, Β στα οποία η (ε) τέµνει τους άξονες xx και yy είναι Α(-κ, 0) και Β(0, κ-) αντίστοιχα

4 Το τρίγωνο ΟΑΒ έτσι έχει εµβαδόν: ( κ ) κ iκ E ίνεται Ε<, άρα ( κ ) < κ < < κ < < κ < Όµως κ ακέραιος µε κ>, άρα κ α) Επειδή κ η (ε) γίνεται y x Επίσης από γνωστή εφαρµογή του σχολικού βιβλίου είναι: y x x x 0 ( x ) ( x0 ) x x5 ( x6 λ) ( x50 λ) β) Είναι x i 60 5λ i50 0i λ 0 50 ι 60 5λ λ λ Είναι f (x) ln x, x > 0 Έτσι έχουµε τον επόµενο πίνακα µεταβολών x 0 f (x) f(x) /e 0 Προκύπτει ( ) e min f : f e > 0 e e Στο διάστηµα, e και η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα < α < β < γ < e f < f( α) < f( β) < f ( γ ) < f e Επειδή f 0 προκύπτει: f ( e) 0 f( e) f( α) f( β) f ( γ ) f Έτσι R f f e 0 e < < < < < Από τη δοσµένη σχέση a a β γ 7 β γ e προκύπτει a β γ 7 β γ α lnα β ln β γ lnγ 7 ln( a ) ln e f ( α ) f ( β) f ( γ ) 7 f ( α ) f ( β) f ( γ )

5 f ( α) f ( β) f ( γ ) f f Έτσι: x 5 e 5 e 5 5 α) Για το ενδεχόµενο Α έχουµε: f ( t) > 0 ln t > 0 ln t > ln t > ln t > e e A t, t, t, t Άρα { } N( A ) 0 άρα 0 N( A) 0 P( A) N( Ω) 0 β) Για το ενδεχόµενο Β έχουµε: f ( t) > f ( t ) t ln t > ln t ( t )ln t > 0 Άρα { t < 0 και ln t< 0 }ή { t > 0 και ln t> 0 } Η δεύτερη περίπτωση δεν µπορείν να ισχύει διότι t Ω, άρα t< Β t, t, t, t Άρα 0< t <, άρα { } 9 Έτσι { t, t, t, t } Α Β και άρα 9 Ν( Α Β) 9 P( A B) Ν( Ω) 0 5