Λύσεις ασκήσεων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου 217 Θέμα 1 (6,) Δίνεται το παρακάτω διασυνδεόμενο διάγραμμα Gantt ενός έργου. 1 2 3 5 6 7 8 9 1 12 13 Α Β Γ Δ Ε Ζ Η 1. Να συμπληρωθεί ο Πίνακας Δραστηριοτήτων του έργου (1, μον.) 2. Να σχεδιαστεί το τοξωτό δίκτυο του έργου (1,5 μον.) 3. Να προσδιοριστούν οι σχέσεις Τέλους - Έναρξης, FS(i,j), των εξαρτώμενων δραστηριοτήτων και να σχεδιαστεί το κομβικό δίκτυο του έργου (1,5 μον.). Με επίλυση είτε του τοξωτού είτε του κομβικού δικτύου να προσδιοριστεί η κρίσιμη διαδρομή (2, μον.). Λύση Πίνακας Δραστηριοτήτων: Πίνακας Δραστηριοτήτων Έργου Δραστηριότητα Διάρκεια Σχέσεις Α 5 Αρχή του έργου Β 3 Αρχή του έργου Γ Αρχή του έργου Δ 5 Μετά το τέλος της Α FS(Α, Δ) = Ε 7 Μετά το τέλος των Β και Γ FS(Β, Ε) =, FS(Γ, Ε) = Ζ 6 Μετά το τέλος των Β και Γ FS(Β, Ζ) =, FS(Γ, Ζ) = Η 2 Μετά το τέλος των Δ, Ε και Ζ FS(Δ, Η) =, FS(Ε, Η) =, FS(Ζ, Η) = Τοξωτό δίκτυο: 2 Α/5 Δ/5 1 Β/3 3 5 Η/2 7 Γ/ Β 1/ Ε/7 Z 1/ 6 Ζ/6
Κομβικό Δίκτυο: A 5 FS(Α, Δ) = Δ 5 FS(Δ, Η) = Γ FS(Γ, Ε) = E 7 FS(Ε, Η) = Η 2 B 3 FS(Β, Ε) = FS(Γ, Ζ) = FS(Β, Ζ) = Ζ 6 FS(Ζ, Η) = Προσδιορισμός κρίσιμης διαδρομής: Κρίσιμη διαδρομή σε ένα δίκτυο έργου είναι η διαδρομή που αποτελείται από συνδεόμενες μεταξύ τους κρίσιμες δραστηριότητες, δηλαδή δραστηριότητες κάθε μια από τις οποίες έχει μηδενικό συνολικό περιθώριο χρόνου (ΣΠΧ=). Στην περίπτωση αυτή απαιτείται η επίλυση του δικτύου για να προσδιορίσουμε το συνολικό περιθώριο χρόνου για κάθε μια δραστηριότητα. Επίλυση Τοξωτού Δικτύου Ενωρίτεροι χρόνοι γεγονότων: ΕΧ1 = (έναρξη του έργου) ΕΧ2 = ΕΧ1 + ΧΔΑ = + 5 = 5 ΕΧ3 = ΕΧ1 + ΧΔΒ = + 3 = 3 Στο γεγονός καταλήγουν δυο διαδρομές (δραστηριότητες), επομένως ΕΧ(1) = ΕΧ3 + ΧΔΒ1 = 3 + = 3 (επειδή η Β1 είναι πλασματική δραστηριότητα) EX(2) = EX1 + ΧΔΓ = + = EX = max{ex(1), EX(2)} = max{3, ) = EX6 = EX + ΧΔΖ = + 6 = 1 Στο γεγονός 5 καταλήγουν τρεις διαδρομές (δραστηριότητες), επομένως ΕΧ5(1) = ΕΧ2 + ΧΔΔ = 5 + 5 = 1 EX5(2) = EX + ΧΔΕ = + 7 = EX5(3) = EX6 + ΧΔΖ1 = 1 + = 1 (επειδή η Ζ1 είναι πλασματική δραστηριότητα) EX5 = max{ex5(1), EX5(2), EX5(3) } = max{1,, 1) = EX7 = EX5 + ΧΔΗ = + 2 = 13 Βραδύτεροι χρόνοι γεγονότων: Επειδή δεν έχει δοθεί τακτός χρόνος έργου, θέτουμε: ΒΧ7 = ΕΧ7 = 13 ΒΧ5 = ΒΧ7 ΧΔΗ = 13 2 = ΒΧ6 = ΒΧ5 ΧΔΖ1 = = (επειδή η Ζ1 είναι πλασματική δραστηριότητα) Στο γεγονός καταλήγουν (αντίστροφα) δύο διαδρομές, επομένως:
BX(1) = ΒΧ5 ΧΔΕ = 7 = BX(2) = ΒΧ6 ΧΔΖ = 6 = 5 BX = min{ BX(1), BX(2)} = min{, 5} = ΒΧ3 = ΒΧ ΧΔΒ1 = = (επειδή η Β1 είναι πλασματική δραστηριότητα) ΒΧ2 = ΒΧ5 ΧΔΔ = 5 = 6 Στο γεγονός 1 καταλήγουν (αντίστροφα) τρεις διαδρομές, επομένως: BX1(1) = ΒΧ2 ΧΔΑ = 6 5 = 1 BX1(2) = ΒΧ3 ΧΔB = 3 = 1 BX1(3) = ΒΧ ΧΔΓ = = BX1 = min{ BX1(1), BX1(2), BX1(3)} = min{1, 1, } = Συνολικά περιθώρια χρόνου δραστηριοτήτων: ΣΠΧΑ = ΒΧ2 ΕΧ1 ΧΔΑ = 6 5 = 1 ΣΠΧΒ = ΒΧ3 ΕΧ1 ΧΔΒ = 3 = 1 ΣΠΧΓ = ΒΧ ΕΧ1 ΧΔΓ = = ΣΠΧΔ = ΒΧ5 ΕΧ3 ΧΔΔ = 5 5 = 1 ΣΠΧΕ = ΒΧ5 ΕΧ ΧΔΕ = 7 = ΣΠΧΖ = ΒΧ6 ΕΧ ΧΔΖ = 6 = 1 ΣΠΧΗ = ΒΧ7 ΕΧ5 ΧΔΗ = 13 2 = Επομένως, κρίσιμες δραστηριότητες είναι οι Γ, Ε, Η και η κρίσιμη διαδρομή είναι η 1--5-7. Α/5 1 2 5 6 Δ/5 1 1 Β/3 3 5 Η/2 7 1 3 13 13 Γ/ Β1/ Ε/7 Z1/ Ζ/6 6 1 1 Επίλυση Κομβικού Δικτύου Ενωρίτεροι χρόνοι δραστηριοτήτων: Σημείωση: Ο υπολογισμός των ενωρίτερων χρόνων των δραστηριοτήτων γίνεται με σάρωση του δικτύου από αριστερά προς τα δεξιά, δηλ. από την έναρξη προς τη λήξη του έργου, θέτοντας ως ενωρίτερο χρόνο της πρώτης δραστηριότητας του δικτύου την τιμή μηδέν (έναρξη του έργου). ΕΧΕ Α = ΕΧΤ Α = ΕΧΕ Α + ΧΔ Α = + 5 = 5
ΕΧΕ Β = ΕΧΤ Β = ΕΧΕ Β + ΧΔ Β = + 3 = 3 ΕΧΕ Γ = ΕΧΤ Γ = ΕΧΕ Γ + ΧΔ Γ = + = ΕΧΕ Δ = ΕΧΤ Α + FS(Α, Δ) = 5 + = 5 ΕΧΤ Δ = ΕΧΕ Δ + ΧΔ Δ = 5 + 5 = 1 Στη δραστηριότητα Ε καταλήγουν δύο διαδρομές, επομένως: ΕΧΕ Ε(1) = ΕΧΤ Β + FS(Β, Ε) = 3 + = 3 ΕΧΕ Ε(2) = ΕΧΤ Γ + FS(Γ, Ε) = + = ΕΧΕ Ε = max{εχε Ε(1), ΕΧΕ Ε(2)} = max{3, } = ΕΧΤ Ε = ΕΧΕ Ε + ΧΔ Ε = + 7 = Στη δραστηριότητα Ζ καταλήγουν δύο διαδρομές, επομένως: ΕΧΕ Ζ(1) = ΕΧΤ Β + FS(Β, Ζ) = 3 + = 3 ΕΧΕ Ζ(2) = ΕΧΤ Γ + FS(Γ, Ζ) = + = ΕΧΕ Ζ = max{εχε Ζ(1), ΕΧΕ Ζ(2)} = max{3, } = ΕΧΤ Ζ = ΕΧΕ Ζ + ΧΔ Ζ = + 6 = 1 Στη δραστηριότητα Η καταλήγουν τρεις διαδρομές, επομένως: ΕΧΕ Η(1) = ΕΧΤ Δ + FS(Δ, Η) = 1 + = 1 ΕΧΕ Η(2) = ΕΧΤ Ε + FS(Ε, Η) = + = ΕΧΕ Η(3) = ΕΧΤ Ζ + FS(Ζ, Η) = 1 + = 1 ΕΧΕ Η = max{εχε Η(1), ΕΧΕ Η(2), ΕΧΕ Η(3)} = max{1,, 1} = ΕΧΤ Η = ΕΧΕ Η + ΧΔ Η = + 2 = 13 Επομένως, ο ελάχιστος χρόνος υλοποίησης του έργου είναι 13 χρονικές μονάδες. Βραδύτεροι χρόνοι δραστηριοτήτων: Σημείωση: Ο υπολογισμός των βραδύτερων χρόνων των δραστηριοτήτων γίνεται με σάρωση του δικτύου από δεξιά προς τα αριστερά, δηλ. από το τέλος προς την αρχή του έργου. Ο βραδύτερος χρόνος τέλους για την τελική δραστηριότητα είναι ίσος είτε με τον τακτό χρόνο, εάν δίνεται, είτε με το μεγαλύτερο από τους ενωρίτερους χρόνους τέλους όλων των δραστηριοτήτων. Δεν δίνεται τακτός χρόνος. Άρα: ΒΧΤ Η = ΕΧΤ Η = 13 ΒΧΕ Η = ΒΧΤ Η ΧΔ Η = 13 2 = ΒΧΤ Ζ = ΒΧΕ Η FS(Ζ, Η) = = ΒΧΕ Ζ = ΒΧΤ Ζ ΧΔ Ζ = 6 = 5 ΒΧΤ Ε = ΒΧΕ Η FS(Ε, Η) = =
ΒΧΕ Ε = ΒΧΤ Ε ΧΔ Ε = 7 = ΒΧΤ Δ = ΒΧΕ Η FS(Δ, Η) = = ΒΧΕ Δ = ΒΧΤ Δ ΧΔ Δ = 5 = 6 Στη δραστηριότητα Γ καταλήγουν δύο διαδρομές, επομένως: ΒΧΤ Γ(1) = ΒΧΕ Ε FS(Γ, Ε) = 5 = 5 ΒΧΤ Γ(2) = ΒΧΕ Ζ FS(Γ, Ζ) = = ΒΧΤ Γ = min{βχτ Γ(1), ΒΧΤ Γ(2)} = min{5, } = ΒΧΕ Γ = ΒΧΤ Γ ΧΔ Γ = = Στη δραστηριότητα Β καταλήγουν δύο διαδρομές, επομένως: ΒΧΤ Β(1) = ΒΧΕ Ε FS(Β, Ε) = = ΒΧΤ Β(2) = ΒΧΕ Ζ FS(Β, Ζ) = = ΒΧΤ Β = min{βχτ Β(1), ΒΧΤ Β(2)} = min{, } = ΒΧΕ Β = ΒΧΤ Β ΧΔ Β = 3 = 1 ΒΧΤ Α = ΒΧΕ Δ FS(Α, Δ) = 6 = 6 BXE A = BXT A ΧΔ Α = 6 5 = 1 Περιθώρια χρόνου δραστηριοτήτων: Συνολικό περιθώριο χρόνου δραστηριοτήτων: ΣΠΧ Α = ΒΧΤ Α ΕΧΕ Α ΧΔ Α = 6 5 = 1 ΣΠΧ Β = ΒΧΤ Β ΕΧΕ Β ΧΔ Β = 3 = 1 ΣΠΧ Γ = ΒΧΤ Γ ΕΧΕ Γ ΧΔ Γ = = ΣΠΧ Δ = ΒΧΤ Δ ΕΧΕ Δ ΧΔ Δ = 5 5 = 1 ΣΠΧ Ε = ΒΧΤ Ε ΕΧΕ Ε ΧΔ Ε = 7 = ΣΠΧ Ζ = ΒΧΤ Ζ ΕΧΕ Ζ ΧΔ Ζ = 6 = 1 ΣΠΧ Η = ΒΧΤ Η ΕΧΕ Η ΧΔ Η = 13 2 = Επομένως, οι δραστηριότητες Γ, Ε και Η είναι κρίσιμες, επειδή έχουν μηδενικό συνολικό περιθώριο χρόνου, και καθορίζουν την κρίσιμη διαδρομή του έργου: Γ Ε Η. A 5 FS(Α, Δ) = Δ 5 5 1 5 1 1 1 6 6 FS(Δ, Η) = Γ FS(Γ, Ζ) = FS(Γ, Ε) = B 3 3 1 1 E 7 FS(Β, Ε) = FS(Β, Ζ) = Ζ 6 1 1 5 FS(Ε, Η) = FS(Ζ, Η) = Η 2 13 13