Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Transcript

1 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0 μονάδες) G (s) F 2 (s) F (s) 2. Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο διάγραμμα ροής σημάτων και να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος με εφαρμογή του κανόνα του Mason. (2,0 μονάδες) Λύση. Υπάρχουν διάφοροι μετασχηματισμοί που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ενδεικτικά παρουσιάζεται η παρακάτω σειρά: G (s) F 2 (s) F (s) G (s) + G 4 (s) F (s) G 4 (s) + F 2 (s) Μετακινώντας το σημείο άθροισης αριστερά και το σημείο λήψης δεξιά, έχουμε:

2 /G (s) G (s) G 4 (s) F (s) / F (s) G (s) F 4 (s) F (s) /G (s) G (s) G (s)g 4 (s) G (s)/[ + F 2 (s)] F 4 (s) F (s)/ Παρατηρούμε ότι οι κλάδοι F 4 (s) και F (s) είναι παράλληλοι, οπότε έχουμε F 6 (s) F 4 (s) + F (s) και καταλήγουμε στο ακόλουθο δομικό διάγραμμα: G (s) F 6 (s) Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι: H(s) G (s) + G (s)f 6 (s) G (s) + F 2 (s) + G (s) + F 2 (s) [F 4(s) + F 4 (s)] G (s) + F 2 (s) + G (s) + F 2 (s) [F (s) + F 3(s) G (s) ] G (s) + F 2 (s) + G (s) + F 2 (s) [G (s)f (s) + ] G (s)

3 G (s) + G 2 (s)f 2 (s) G + 2 (s) + F 2 (s) [G (s)f (s) + ] G (s) + F 2 (s) + G 2(s)[G (s)f (s) + ] + F 2 (s) ή G (s) + F 2 (s) + F 2 (s) + [G (s)f (s) + ] + F 2 (s) H(s) G (s) + F (s) + G (s)f (s) + 2. Ορίζουμε τα σήματα στο δομικό διάγραμμα, τα οποία θα αντιστοιχούν στους κόμβους του διαγράμματος ροής σημάτων: R 3 (s) E (s) E 2 (s) G (s) E 3 (s) E 4 (s) R 2 (s) F 2 (s) R (s) F (s) Οι εξισώσεις του συστήματος είναι: E 4 (s) E 4 (s) E 3 (s) E 3 (s) E 2 (s) R 2 (s) R 3 (s) E 2 (s) E 4 (s)f 2 (s) E 2 (s) E (s)g (s) E (s) Χ(s) R (s) Χ(s) E 4 (s)f (s) Επομένως, το ισοδύναμο ΔΡΣ είναι: E (s) E 2 (s) E 3 (s) E 4 (s) G (s) F 2 (s) F (s)

4 Υπάρχει μόνο ένας απευθείας δρόμος, ο E (s)e 2 (s)e 3 (s)e 4 (s), με απολαβή: Q (s) G (s) Υπάρχουν τρεις βρόχοι: Βρόχος : E (s)e 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e (s), Βρόχος 2: E 3 (s)e 4 (s)e 3 (s), και Βρόχος 3: E 3 (s)e 4 (s)e 3 (s), με απολαβές αντίστοιχα: B (s) G (s)[f (s)] G (s)f (s) B 2 (s) [F 2 (s)] F 2 (s) B 3 (s) [] Παρατηρούμε ότι, όλοι οι βρόχοι ανά δύο, έχουν κοινούς κόμβους μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι έχουν κοινά γράμματα στην ονομασία τους (τα γράμματα αντιστοιχούν σε κόμβους). Επομένως ΣL 2 0 και ΣL 3 0. Οπότε έχουμε: Δ(s) ΣL [B (s) + B 2 (s) + B 3 (s)] [ G (s)f (s) F 2 (s) ] + G (s)f (s) + F 2 (s) + Επίσης παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν μη εγγίζοντες βρόχοι, αφού όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους με τον απευθείας δρόμο. Επομένως: Δ (s) Σύμφωνα με τον κανόνα του Mason η ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: ή H(s) Δ (s)q (s) Δ(s) H(s) G (s) + G (s)f (s) + F (s) + ΘΕΜΑ 2 Ο (4,0 μονάδες) Η συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: y (t) + 6y (t) + 8y(t) x(t) όπου x(t) η είσοδος και y(t) η έξοδος του συστήματος. Να προσδιοριστούν η συνάρτηση μεταφοράς, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και η κρουστική απόκριση του συστήματος.

5 Λύση Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: ή s 2 + 6s + 8 [s 2 + 6s + 8] Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: H(s) s 2 + 6s + 8 και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: P(s) s 2 + 6s + 8 Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: s 2 + 6s Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης αυτού, δηλαδή η απόκριση του συστήματος όταν η είσοδος είναι η κρουστική συνάρτηση, αφού x(t) δ(t) και L{x(t)} L{δ(t)} : H(s) Y δ (s) Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(s): y δ (t) L {Y δ (s)} L {H(s)} Επιλύοντας τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος, προκύπτουν οι πόλοι του συστήματος: Επομένως: Y δ (s) π 4 και π 2 2 (s π )(s π 2 ) (s + 4)(s + 2) Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα έχουμε: Y δ (s) Από τη σχέση αυτή προκύπτουν τα ακόλουθα: c (s + 4) + c 2 (s + 2) c (s + 4) + c 2 (s + 2) (s + 4)(s + 2) (s + 2)c + (s + 4)c 2 sc + 2c + sc 2 + 4c 2 s(c + c 2 ) + 2c + 4c 2 (c + c 2 ) 0 και 2c + 4c 2 c c 2 και 2c 2 + 4c 2 c /2 και c 2 /2 Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε τις σταθερές c και c 2 ως ακολούθως: c [(s + 4)Y δ (s)] s 4 [(s + 4) (s + 4)(s + 2) ] [ s 4 (s + 2) ] s 4 ( 4 + 2) 2

6 c 2 [(s + 2)Y δ (s)] s 2 [(s + 2) (s + 4)(s + 2) ] [ s 2 (s + 4) ] s 2 ( 2 + 4) 2 Επομένως: Y δ (s) 2 (s + 4) + 2 Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι: y δ (t) L {Y δ (s)} L [ 2 (s + 2) 2 (s + 2) 2 (s + 2) 2 (s + 4) (s + 4) ] 2 L [ (s + 2) ] 2 L [ (s + 4) ] και, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace, η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι: y δ (t) 2 e 2t 2 e 4t ΘΕΜΑ 3 Ο (4,0 μονάδες) Δίνεται ένα γραμμικό σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου με συνάρτηση μεταφοράς του ελεγχόμενου συστήματος (δυναμική του συστήματος) G(s) /(s + 3)(s + 2), μοναδιαία αρνητική ανάδραση και ελεγκτή G c (s) k/s.. Να σχεδιάσετε το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του συστήματος. 2. Να υπολογίσετε τη συνάρτηση μεταφοράς και να γράψετε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου. 3. Να προσδιορίσετε το εύρος τιμών του k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές. Λύση. Το δομικό λειτουργικό διάγραμμα του συστήματος κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση είναι το ακόλουθο: k G C (s) G(s) + s (s+3)(s+2) Ρυθμιστής Ελεγχόμενο σύστημα 2. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: k k G C (s)g(s) H(s) + F(s)G C (s)g(s) s (s + 3)(s + 2) s(s + 3)(s + 2) + k s(s + 3)(s + 2) + k s (s + 3)(s + 2) s(s + 3)(s + 2) k s(s + 3)(s + 2) + k και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: Άρα, η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: P(s) s(s + 3)(s + 2) + k s 3 + s 2 + 6s + k s 3 + s 2 + 6s + k 0

7 3. Για να προσδιορίσουμε το εύρος τιμών του k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές εφαρμόζουμε το κριτήριο Routh: όπου: b a n a n 2 a n a n 3 s 3 a n a n2 a n4 s 2 a n a n3 a n s b b 2 s 0 c a n, b 2 a n a n 4 a n a n a n, c a n a n 3 b b 2 b Για να έχουμε ευστάθεια θα πρέπει: a n, a n, b, c >0 Από τα δεδομένα έχουμε: a n, a n, a n2 6, a n3 k, a n4 0, a n 0 και προκύπτουν: 6 b k (k 30) 30 k Επομένως ο πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: 0 b k b c 0 (0 kb ) kb k b b b s s 2 k 0 s 30 k 0 s 0 k Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει: και Άρα, θα πρέπει: k>0 30 k 0 < k < 30 > 0 30 k > 0 k < 30