- PDF ΔΩΡΕΑΝ Λήψη

σ σ σ σ σ σ (θ) θ (n, θ) n θ

σ. σ. 2o σ. σ. σ.

σ. P oisson P oisson σ. (stable)

N {1, 2,...} Z Q R N 0 : {0, 1, 2,...} N m : {1, 2,..., m} Z : Z\{0} Q : Q\{0} R : R\{0} R + : {x R : x 0} Z + Z + Q + Q + Ω A, B Ω A c Ω\A : {x Ω : x / A} A Ω A B i I A i {A i } i I I Ω σ Σ A Σ χ A A G Ω σ Ω G σ(g) σ G G σ(g) σ A G Ω A σ (G) B B((α, β)) α, β R σ R (α, β) B n Borel σ R n n N (Ω, Σ, µ) N Σ σ.µ.µ. µ

µ σ.µ.µ. µ µ(n) 0 µ σ.µ.µ. Σ 0 f : Ω R P f dp < L 1 (P ) L 1 +(P ) P σ.β. f : Ω R L 2 (P ) f : Ω R f 2 dp < X R X (θ) θ : (θ 1,..., θ m ) R m m N P X (θ) P X (B) f X (x)χ RX ν(dx) f X (x)ν(dx) B B, B B R X f X σ.(π.)π. ν N λ R X X R X (Ω, Σ, µ) (Θ, T, ν) R Ω Θ Ω Θ R A B A Σ B T σ σ Σ T Σ T (Ω Θ, Σ T, ρ) ρ µ ν µ ν A Σ B T ρ(a B) µ(a)ν(b) I {(Ω i, Σ i, P i )} i I ( J I (Ω J, Σ J, P J ) ) i J (Ω i, Σ i, P i ) : i J Ω i, i J Σ i, i J P i (Ω, Σ, P ) P I Ω I Σ I P I X : Ω R σ(x) : X 1 (B) : {X 1 (B) : B B}. σ(x) σ Ω σ Ω X σ(x) Σ

{X j } j I I σ ( ( ) ) {X j } j I : σ σ(x j ). j I σ ( {X j } j I ) σ {Xj } j I B Σ P (B) > 0 X : Ω R X P B E B [X] : E[X B] : XdP B R X B X χ A A Σ E[X A B] P B (A). X L 1 (P ) Y : Ω R X Y E[X Y ] : Ω R (i) E[X Y ] σ(y ) (ii) E[X Y ]dp XdP A σ(y ). A A X L 1 (P ) σ Σ X σ T E[X Y ] : Ω R (i) E[X T ] T (ii) E[X T ]dp XdP A T. A A E[X T ] P T Z : Ω R X T Z E[X T ] P T σ.β. E[X T ] version X T E P [X T ] E[X T ] X : χ B L 1 (P ) B Σ B P [B T ] : E P [Xχ B T ]. X σ Σ X Y E[X Y ] E[X σ(y ).

σ Σ 1,..., Σ n (n N : n 2) Σ k N n A k Σ k A 1,..., A n σ Σ σ Σ {Σ i } i I σ Σ P σ F Σ n N n 2 n P (E 1... E n F) P (E j F) j1 P F σ.β. j n E j Σ ij i 1,..., i n I Σ {X i } i I Ω Υ P σ F Σ σ ({X i }) i I P F P σ F Σ P (F X 1 i i, j I F F B T (B)) P (F X 1 j (B)), {X t } t T {Σ i } i I σ Σ T, I X t1,..., X tm σ Σ 1,..., Σ n Σ m, n N σ σ(x t1 ),..., σ(x tm ), Σ 1,..., Σ n P, Q (R, B) (P Q)(B) : R P (B y)dq(y) B B, B y : {z y : z B} P, Q n N n P P (n+1) : P n P P 0 P 0 ({0}) 1 σ F, G σ f, g n N {X k } k Nn (R, B) {P Xk } k Nn P X0 + +X n P X0 P Xn (P X0 P Xn 1 ) P Xn.

{X j } j I I X j : Ω R j I σ. σ I R {X j } j I σ I Z {X j } j I σ σ {X t } t R+ σ m N 0 t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 < < t m X tj X tj 1 j N m {0} σ m N 0 h R + t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 < < t m {X tj +h X tj 1 +h} j Nm {0} {X tj X tj 1 } j Nm {0} j N m {0} h R + P Xtj +h X P tj 1 +h X tj X tj 1 (Ω, Σ, P )

σ σ σ σ

{T n } n N0 σ Ω T Σ ω Ω\Ω T T 0 (ω) 0 T n 1 (ω) < T n (ω) n 1 P Ω T P σ {T n } n N0 n N T n {T n } n N0 σ {W n } n N W n : T n T n 1 n N σ n N W n T n n W i. i1 T n n W n (n 1) n n n 1 {T n } n N0 σ {W n } n N

σ P σ Ω T : Σ σ σ n N σ ( ) ( ) {T k } k {0,1,...,n} σ {Wk } k {1,...,n}, : Ω R n (ω) : (T 1,..., T n ) (ω) (T 1 (ω),..., T n (ω)) (ω) : (W 1,..., W n ) (ω) (W 1 (ω),..., W n (ω)) ω Ω n n [m ij ] m ij : { 1 i j 0 i < j ( ) 1 }. {T n } n N0 {W n } n N n N P (P ) P (P ).

{ n N T n < } n N E [T n ] < n1 E [W n] < σ {T n } n N0 {W n } n N θ (0, ) σ {W n } n N P Wn (θ) n N P Tn (n, θ) n N n N E [W n ] 1/α E [T n ] n/α

σ σ σ σ σ {N t } t R+ σ Ω N Σ ω Ω \ Ω N N 0 (ω) 0 N t (ω) N 0 { } t (0, ) N t (ω) s (t, ) N s (ω) t R + s [0,t) N s (ω) N t (ω) s [0,t) N s (ω) + 1 t R + t R+ N t (ω) P Ω N P σ {N t } t R+ σ. N t [0, t] P {N t } t R+

(t, t + ε) σ σ {T n } n N0 ω Ω t R + σ N t (ω) : χ {Tn t}(ω), n1 {N t } t R+ {N t } t R+ σ Ω N Ω T n N 0 ω Ω \ Ω T T n (ω) {t R + : N t (ω) n}. {N t } t R+ σ ω Ω n N 0 T n (ω) : {t R + : N t (ω) n} {T n } n N0 {T n } n N0 σ Ω T Ω N t R + ω Ω \ Ω N N t (ω) n1 χ {T n t}(ω) {N t } t R+ σ {T n } n N0 σ σ {W n } n N σ σ

P σ P σ Ω T Ω T Ω N Ω N σ σ n N 0 t R + {N t n} {T n t} {N t n} {T n t}\{t n+1 t} {T n t < T n+1 } σ ( {T n } n N0 ) σ ( {Nt } t R+ ) σ ( ) ( ) ( P T n < n N P {N t } P t N t (0, ) {N t } σ σ ).

(s, t] s, t R + s t σ {N t } t R+ (s, t] N t N s : n1 χ {s<tn t}. ω Ω N 0 (ω) 0 T n (ω) > 0 n N N t ω Ω s, t R + s t N t (ω) (N t N s )(ω) + N s (ω), N s (ω) { n } n N0 { t } n R+ {W n } n N σ {N t } t R+ θ (0, ) t (0, ) P Nt (θt) σ P Nt+h N t P Nh t, h R + σ. {Ñt} t R+ t R + Ñt θ (0, ) P Tn (n, θ) n N

P Nt (θt) t (0, ) E [T n ] n/θ n N E [N t ] θt t (0, ) θ (0, ) σ {W n } n N P Wn (θ) n N P Nt (θt) t (0, ) {Σ j } j I σ Σ j, k I j < k Σ j Σ k σ {X j } j I {Σ j } j I j I X j Σ j {T j } j I T j σ ( {X k : k j} ) j I {X j } j I σ {X j } j I σ {X j } j I {Σ j } j I {Σ j } j I {(X j, Σ j )} j I {X j } j I {Σ j } j I j I X j L 1 (P ) j, k I j k E[X k Σ j ] X j P Σ j σ.β. θ (0, ) σ.δ {W n } n N P Wn (θ) n N

σ.δ {N t } t R+ θ σ.δ {N t } t R+ E [N t ] θt t R + σ.δ {N t θt} t R+ σ σ. σ σ {N t } t Rt σ Θ Θ Θ σ {N t } t Rt Θ Θ P Θ σ {N t } t Rt σ σ

Θ m N t 1, t 2,..., t m R 0 t 0 < t 1 <... < t m {N tj N tj 1 } j {1,2...,m} Θ Θ m N t 0, t 1,..., t m, h R + 0 t 0 < t 1 <... < t m {N tj N tj 1 } j {1,2...,m} Θ P Ntj +h N tj 1 +h Θ P Ntj N tj 1 Θ P σ(θ) σ.β. σ σ {N t } t R+ σ. Θ Θ P Θ [(0, )] 1 {N t } t Rt Θ t (0, ) P Nt Θ (tθ) P σ.(θ) σβ. t (0, )P MP P (Θ) MP P (Θ) {N t } t R+ Θ Θ t, h R + P Nt+h Nt Θ P Nh Θ P σ(θ) σ.β. σ. Θ {N t } t R+ Θ t R + h R + m N t 0, t 1,..., t m R 0 t 0 < t 1 <... < t m P Ntj +h N tj 1 +h Θ P Ntj N tj 1 Θ

j 1 P Nt1 +h N t0 +h Θ P Nt1 N t0 Θ P Nt1 +h N h Θ P Nt1 Θ. t 1 h h t 1 t, h R + P Nt+h N t Θ P Nh Θ P σ(θ) σ.β {N t } t R+ h R + m N 0 t 0 < t 1 <... < t m t 1,..., t m R + t j 1 + h < t j P Ntj +h N tj 1 +h Θ P Ntj +h N tj +N tj N tj 1 +h Θ P Ntj +h N tj Θ P Ntj N tj 1 +h Θ P Nh Θ P Ntj N tj 1 +h Θ. P Ntj N tj 1 Θ P Ntj N tj 1 +h+n tj 1 +h N tj 1 Θ P Ntj N tj 1 +h Θ P Ntj 1 +h N tj 1 Θ P Ntj N tj 1 +h Θ P Nh Θ P Nh Θ P Ntj N tj 1 +h Θ. P Ntj +h N tj 1 +h Θ P Ntj N tj 1 Θ. t j 1 + h t j P Nh Θ P Ntj+h N tj Θ P Ntj+h N tj 1 +h+n tj 1 +h N tj Θ P Ntj+h N P tj 1 +h N tj 1 +h N tj Θ. P Nh Θ P Ntj 1 +h N tj 1 Θ P Ntj 1 +h N tj +N tj N tj 1 Θ P Ntj 1 +h N tj Θ P Ntj N tj 1 Θ P Ntj N tj 1 Θ P Ntj 1 +h N tj Θ.

P Ntj+h N tj 1 +h P N tj 1 +h N tj Θ P Ntj N tj 1 Θ P Ntj 1 +h N tj Θ. P Ntj +h N tj 1 +h Θ P Ntj N tj 1 Θ σ {N t } t Rt E[N t ] E[E(N t Θ)] V ar[n t ] te[v ar(n t Θ)] + V ar[e(n t ) Θ] σ {N t } t Rt σ n N t (0, ). P [{N t n}] > 0 σ {N t } t Rt σ m P [ {N ti N ti 1 k i } {N tm n}] i1 n! k j1 k j! k ( t j t j 1 m N t 1,..., t n R + 0 t 0 < t 1 <... < t m n N k 1,..., k m m j1 k j n j1 t m ) k j σ. {N t } t Rt Markov σ. m P [{N tm+1 n m+1 } {N tj n j }] P [{N tm+1 n m+1 } {N tm n m }], j1 m N t 1 <... < t m+1 (0, ) n 1,..., n m+1 N 0 t 1 <... < t m+1 P [ m j1{n tj n j }] > 0.

n 1... n m σ. σ. Markov t 1 0 n j j {1,..., m}. σ σ σ.δ. {N t } t Rt σ.δ. Θ [Θ] <, t R + E[ t ] te[θ] V ar[n t ] te[θ] + t 2 V ar[θ] σ {N t } t Rt σ Θ Θ Θ σ {N t } t Rt σ {N t } t Rt σ σ {N t } t Rt σ

D f( ) : f t n(1) 1... t n(k) k ( ) g : R k R k, g( ) r( ) r R +. f(r( )) t0 D (f g)(0) : Ω N k 0 g : [, ] R

g ( ) : E[ ] P [ ] N k 0 k g : Ω N k 0 g 0 g ( ) g ( ) 1 [, ] g g N r D g ( )! [{ }] ( )! [, ) N D g D g ( )! [{ }] [, ) ( )! [, ) (i) : (ii) : [, ] m N k 0 N P [ ] [, ] P [ ] P [ ] N \[, ] P [ ] N \[, ] ε > 0 N 0 P [ ] P [ ] < ε N [, ]

[, ] g g (iii) : N P [ ] g (iv) : (iv) ( ) j {0,..., k} [, ) D j g ( ) [, )n j P [ ] Diendonne +... + j j 0 D 0 g ( ) D 0 g ( ) n 0 P [ ] [, ) [, ) n 0 P [ ]. j j + 1 (3.1) j {0,..., k 1} D g ( ) [, ) [, ) [, ) [{ }] n 0! (n 0 1)!... n j! (n j 1)! [{ }]! [{ }]. ( )! D g ( ) : (n 0,...n j, 0,..., 0) N k 0 [, )! P [{X n}]. ( )!

D j+1 g ( ) D g ( ) r j+1 r j+1 [, ) [ +, ) [ +, )! [{ }] ( )!! [{ } ( )! n j+1 + P [ ] (iv) ( ) + D g ( ) [, ) D + g ( ) D (D g ( )) D ( [, ) [ +, ) [ +, )! [{ }]. ( )! ( + )! [{ }]) ( )!! [{ }] ( )!! [{ }]. ( ( + ))! (v) : N k 0 D g c 1 r [, ) iv D g ( ) [, ) D g ( ) [, )! [{ } ( )! [, )! [{ }]. ( )!

c 1 [, )! P [{ }]. ( )! N k 0 [, ) [, ) N k 0! [{ } ( )! [, ) D g ( ) c 1.! P [{ }] ( )! [, )! ( )! P [{X n}] c 1. c 1 [, )! P [{ }]. ( )! : Ω N k 0 P [ ]! D g ( ) N. : Ω N k 0 N k 0 ( ) E[ ] [, ) ( ) P [ ]

( ) E[ ] [, )! Dl g ( ) ( ) E[ ]! [, ) [, ) [, ) ( ) P [ ]! D l g ( ) [, )! Dl g ( ) [, )! P [ ]!( )!! P [ ] ( )! : Ω N k 0 N k 0 ( ) E[ ] < [, ] D g [, ) ( ) <. r s ( ) E[ ] 1! D g [, ) ( ) ( ) ( ) i

[, ) ( ) E[ ] < ( )! P [{ }]!E[ ( )! ] <. iv ϵ > 0 N k [, )! [{ }] ( )! [, ) [, )\[, ) (, ] [, )\[, )! [{ }] ( )!! P [{ }] < ϵ. ( )!! ( )! [{ }] (, ] iv [, ] [, ] N k 0 D g ( ) [, ) [, )! [ ] ( )!! P [ ] <, ( )! ii D g ( ) < ( ) ( ) ii v D g ( ) <. [, ) ( ) E[ ]! D g ( ) <. [, )

ii N k 0 [, ] ii D g ( ). P [ ] { (2cn 2 ) 1, [(n, 0), (1, n) ] 0, [(n, 0), (1, n) ] c n1 1 n 2 E[X 1 (X 1 1)X 2 ] 0 (X 1, X 2 ) (n, 0) E[X 1 (X 1 1)X 2 ] 0. (X 1, X 2 ) (1, n) E[X 1 (X 1 1)X 2 ] 0. E[X 1 ] X 1 P [(X 1, X 2 ) ] n1 n1 np [(X 1, X 2 (n, 0)] + P [(X 1, X 2 (1, n)] n1 ( n 2cn + 1 2 2cn ) ( 1 2 2cn + 1 n1 2cn 2 ) > n2 1 2cn.

E[X 1 ] n2 1 2cn E[X 2 ] X 2 P [(X 1, X 2 ) ] n1 np [(X 1, X 2 ) (1, n)] n1 n1 n 2cn 1 2 2cn n1 E[X 2 ] 1 n1 2cn n1 E[(X 1 X 2 )] (n 1 2cn 2 + 0 1 2cn 2 ). X 1 X 2 P ((X 1, X 2 ) ) n1 E[X 1 X 2 ] n1 1 2cn 1 n1 (2, 1) 2cn (1, 2) E[(X1X 2 2 )] E[(X 1 X 2 )] (2, 1) [, ] g ( ) D g ( ) n1 1 (r1 n ) + 2c n 2 n1 1 2c n1 (r n 1 1 ) n 2 + 1 (r 1 r2 n ) 2c n 2 n1 1 (r2 n ) 2c n 2 D g ( ) n1 1 2c (r 1 r n 1 2 ) n 2 D D g ( ) n1 1 2c (r n 1 2 ) n 2

[, ) D D D g ( ) 0 D g [, ) ( ) D g [, ) ( ) D D g [, ) ( ). D g ( ) : N l Nk 0 ( ) E[ ] < E[ ] < [, ] D g [, ) ( ) < m g x [, ] ( ) E[ ] 1! D g ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N k 0 ( ) m span : j N k 0, j m ( ) ( ) j 1 1 span : j N k 0, j 1 ( ) n span : j N k 0, j n ( )! ( + )!( )! + a n+1 n+1 + a n n... + a 1 ( ) n+1 1 a n+1 [ (a n n... + a 1 )] + E[ ] ( ) [, ] a E[ ] a R E[ ] < ( ) ( ) ( ) E[ ] E[ ] E[ ] < ( ) E[ ] < ( ) ( ) ( ) ( ) N ϵ > 0 [, ] [, )! [{ }] ( )! [, ) [, )\[, )! [{ }] ( )!! P [{ }] < ϵ. ( )!

[, ] f m h frm[o],.eqn.., k e 0 (r s h ) h + [, ] f,h f h, h f,h f h, h r 0, 1] s f ( ) D h f h (r) r [, ] f D g ( ) ( ) g ( ) E[ ]! D g ( ) ( ) <. [, ) : N X i L 1 (P ) i 1,..., k E[ ] gradg ( ). X i L 2 (P ) i {1,..., k} V ar[ ] Hessg ( ) gradg ( )gradg ( ) + Diag(gradg ( )). B k k N M U : R k [0, ) M U ( ) : du( ). R k e

U : B k [0, 1] M U ( ) B R k N k 0 B D M U ( ) e du( ) R k M U ( ) ( ) e du( )! N R k M U : ( 0, 0 ) 0 > e e + e U e e n n0 n! Billingsley T heorem M U ( ) : U(d ) R k ( ) U(d ) R n! k n0 n ( ) U(d ) n k! R k k0 B n ( ) k! k0 n k0 k! k0 n! e. R k e U(d ) <, e L 1 (U)

R k n n ( ) U(d ) k! n R k n n k0 n ( ) U(d ) k! k0 Rk ( ) U(d ) k! k0 Rk ( ) U(d ). n! n0 Newton ( ) ( k i1 t ix i ) n M U ( ) n0 n0 n N k 0 R k n N k i1 0 k (t i x i ) n i U(d ) n i!! 75 U(d ) R k U(d ).! R k n N k 0 T aylor M U ( ) n N k 0! D M U ( ). N k 0 D M U ( ) U(d ). R k B R k. e V 75 : B k [0, 1] V (A) : A M U Ud( ) ( ) B k V

M V ( ) R k e V (d ) Rk e ( + ) M U ( ) U(d ) M U( + ) M U ( ) D n M V ( ) V (d ) R k Rk e M U ( ) U(d ). D n M V ( ) Dn M U ( ) M U ( ) D n M V ( ) e U(d ). R k M V T aylor M V ( ) n N k 0! D M V ( ). M U ( + ) M U ( ) M V ( ) n N k 0 n N k 0! D M V ( ) Rk e! M U ( ) U(d ). + U : B k [0, 751] A : R k R d M UA ( ) M U (A ) R d

A M UA e U A (d ) R e U ( d ) M U (A ) R R d Θ.2.4.6 [Σ.Σ.] X : M P. X : Ω R + Y : Ω R k + X t > 0 R k. M (X, ) (t, ) M X (t)m ( ) t > 0 n N 0 N k 0. E[e Xt x ] E[e Xt x ]E[ ]. E[e Xt X n e ] E[e Xt X n ]E[e ] t R + R k n N 0 N k 0. X B B t B t B t (, 0) B R k M X, M M (X, ) t,

ˆt t (ˆt + t) n n N 0 N k 0 n! M (X, ) (ˆt, ) (ˆt + t) n ( ) n!! E[e Xt X n ] n N 0 ( )! E[e Xt X n ]E[ ] ( X(ˆt)M ( ) N k 0 (ˆt + t)n E[e Xt X n ] )( n! n N 0 N k 0 ( )! E[ ] ) B M X, M M X, (, 0), R k (, 0) R k B t < 0 R k R 1+k e tx+ P (X, ) (x, ) M (X, ) (t, ) M X (t)m ( ) e tx P X d(x) e P d( ) R R k e tx+ P d(x) P d( ) R 1+k Θ.F ubini e tx+ P (X, ) (x, ) e tx+ P d(x) P d( ). R 1+k R 1+k Laplace R d + P (X, ) P X P X X : Ω R + Y : Ω R + Z : Ω N d 0 N d 0 P [Z n] > 0 E(XY ) E(X )E(X ) E(XY ) E(X )E(X ) N.

F ourier E(XY ) N k 0 E(XY { })χ { } E(X )E(Y ) ( N k 0 N k 0 E(X { })χ { } ( N E(X { })E( { })χ { }. E( { })χ { } X : Ω R + : Ω R k + Z : Ω N d 0 N d 0 P [Z n] > 0 X P (X ) P (X ) B C B k. N d 0 X P [ { }] (a) (b) (b) (c) (c) N d 0 P [{X B} { C} { }] [{ } { }] [{ } { }] B B C B k χ B X Y χ C B C B k

X : Ω R + : Ω R k + : Ω N d 0 N d 0 P [{ }] > 0 X. N d 0 P (X, ) { } (t, ) PX { } (t) P { } ( ) t < 0 R k. t > 0 E(e Xt X n ) E(e Xt X n )E( ) n N 0 N k 0. t R + R k E(e Xt X n e ) E(e Xt X n )E(e ) n N 0 N k 0. N d 0 (b) P [ ] (b) (b) (a) b c b d σ. P oisson Bernstein W idder Laplace Bernstein W idder

Bernstein W idder Berg, Ch., Christensen, J.P.R.andRessel, P. R n f : R n R f( ) 0 f( ) > 0 N f : R + R {a 1,..., a n } R s R + f( ) : f( ) f( + ). 1... n f( ) 0 M(R + ) M(R + ) R S M(R + ) φ : R + R φ φ µ : B(R + ) R + φ(s) R + e sx µ(dx) φ C (R +) ( 1) n φ (n) (s) 0 n 0 s > 0 C (R +) R +) (i) (ii) (iii) Berg[1984] (iii) (iv) s 0 e sa µ(da) Laplace L(µ) z > 0 (Lµ) (n) (z) 0 ( a)n e za µ(da) z > 0 n 0

( 1) n (Lµ) (n) (x) 0 x > 0 (iv) (i) (iv) a 0 φ [0, ) (iv) n 0 s > 0 ( 1) n ( a φ) (n) (s) ( 1) n (φ(s) φ(s + a)) (n) ( 1) n+1 aφ (n+1) (ξ) 0 ξ (s, s + a) f n : a 1... a n φ (iv) n N a 1...a n 0 f(s) 0 s > 0 f(s) 0 s 0 φ n 1 f 1 (iv) n n + 1 n N ( 1) k f (k) n (s) ( 1) k n φ (k) (s) 0 k N s > 0 n φ (k) (s) : a1... an φ (k) (s). k N 0 s > 0 ( 1) k f (k) n+1(s) ( 1) k ( n+1 φ) (k) (s) ( 1) k [( n φ) (k) (s) ( n φ) (k) (s + a n+1 )] ( 1) k+1 a n+1 [( n φ) (k+1) (ξ)] ( 1) k+1 a n+1 [f (k+1) n (ξ)] 0. (iv) (iii) (iv) (i) (iv) f(s) 0 s 0 φ φ P roposition µ : B(R + ) R + φ(s) R + e sx U(dx). (iii) (iv) Bernstein, cf.w idder(1941) k f( ) 1 f : R k + R ( 1) D f( ) 0

N k 0 U B k U[R k +] 1 f( ) e Ud( ) R k +. R k f R k + f R k + N k 0 (t 1,..., t k ) (R 0) k Section ( 1) D ( f)( ) ( 1) D f( ) ( 1) (D f( ) D f( + )) k ( 1) +1 i D + j f(ξ) ξ [, + ] ( ) D ( f)( ) 0 1,..., n 1... n f R k + ( ) D ( 1... n f)( ) 0 N > 0 1... n f( ) 0 > 0 1... n f( ) 0 0 f f T heorem4.6.5 f P reposition U B k f( ) e Ud( ) R k + R + U[R k +] Ud( ) f( ) 1 R k + f : R k + R f( ) 1 ( 1) D f( ) 0 N k 0 U B k U[R k +] 1 f( ) M U ( ). i1

{N t } trt k {N (i) t } t R+, i {1,..., k} {N t } t R+ : { } R+ M ω Ω \ M (i) (v) {N (i) t } t R+, i {1,..., k} {N t (ω)} t R+ k A P A {0, 1} k k k N A j 1 ia j, i {1,...k}

A S A (I d, 0) {0, 1} d k d, k N d < k I d d A C A {0, 1} d k d, k N d k k i N i {1,..., d} d i1 k i k A (A 1,..., A d ) : (e i,..., e i ) R d k i i {1,..., d} A A {0, 1} d k d, k N d k m N A i A P A S A C i {1,..., m} A A m A m 1...A 1 A A { t } t R+ A R d k. {A t } t R A A. A A {A t } t R A P, A S A C {A t } t R A A P A S A A C ω Ω \ M { (ω)} R+ {A t (ω)} t R+ { t (ω)} t R+ (i) (v) { A t (ω)} t R+ { t (ω)} t R+ { (ω)} R+ (i) (v) M {A t } t R+ A R d k {A t } t R+ {A t } t R+ ω Ω \ (M M A ) {A t } t R+ { t } t R+ A

{A t } t R+ t t A {A t } t R+ A A P A P P 1...1 0......0 0...0 1...1 0...0.......... 0......0 1...1 A C R (d+1) k A S R d (d+1) A C A C A S A S AA P A S A C AA P A C (A P ) 1 A P A A {A t } t R+ { t } t R+ A i {A t } t R+ { t } i t R + i A A S {A t } t R+ d A A P {A t } t R+ (P ) A A A {A t } t R+ (P ) { t } t R+ (P ) { t } t R+ s R k + N k 0 P [ k i1n (i) t i n (i) ] P [ k i1n s (i) i n (i) ].

s R + N k 0 t s P [{ t }] P [{ s }]. N k 0 t 0 P [{ t }] { 1 0 N k 0 N k 0 P [{ t }] 0. t P [{ t }] 1. t (i) { t } t R+ m N j Z k j {1,..., m} s i u i t i N u (i) i N (i) t i {N (i) t i n (i) (i) j } {N u i m k { } { P j1 i1 [ m P [ m j1 i1 N (i) t i k { j1 k i1 n (i) j N (i) t i { N (i) t i n (i) j n (i) m j } k { j1 i1 N (i) u i }] [ m P }]} n (i) j j1 i1 } n (i) j k { N (i) u i }] n (i) j. [ m P k { j1 i1 N (i) t i }] n (i) j [ m (, ) P k { j1 i1 N (i) t i }] n (i) j. [ m P (, ) k { j1 i1 N (i) t i }] [ n (i) j P m k { (, ) j1 i1 N (i) t i }] n (i) j.

(t 1,..., t k ) (, ) A : m j1 k i1 {N (i) t i n (i) j }. {A n } n N {A } t (, ) n n P (A ) P (A n ) P ( n N A n ) n [Σ.Σ.A.] n N A n (, ) A. n N A n (, ) A. ω (, ) A > ω A N t > N n N (i) t i > N (i) t ni i {1,..., k} {N (i) t i n (i) (i) j } {N t ni n (i) j } i {1,...k} A A n. n (, ) ω A n ω n N A (, ) A n N A n A n N A n. [ m P k { j1 i1 N (i) t i }] n (i) j [ m P (, ) j1 [ m P [ m P [ m P k { i1 k { (, ) j1 i1 k { j1 (, ) i1 j1 i1 [ m P k { k { j1 i1 N (i) t i N (i) t i N (i) t i }] n (i) j }] n (i) j }] n (i) j N (i) t i n (i) j t i (s i, ) N (i) s i }] n (i) j. }] N m {1,..., k}

P [ k i1 { }] N (i) t i n (i) P ( P i1 [ k i1 [ k { N (i) t i n }\ (i) i1 { N (i) k j1 i1 }] [ k t i n (i) P [ k { }] [ k P N s (i) i n (i) P [ k { P N s (i) i n }]. (i) i1 k { }] N (i) t i n (i) δ ij j1 i1 j1 i1 k { k { }]) N (i) t i n (i) δ ij N (i) s i n (i) δ ij }] (ii) (i) (iii) (ii) (iv) {N t } t R+ P [ t ] P [{N t }]. t t {P [{N t }]} s t ω {N t } N t (ω) n 1 +... + n k N (ω) n 1 +... + n k, ω {N s }. {N t } {N s } {[{N t }]} t R+ b t : P [{N t }] t R +. {b n } n N {b t } t R+ n t n n N b n (0, ) b α. P [{N t }] P [{N t }] t t (0, ) P [{N t n }] n N [ ] P {N t } n N

[Σ.Σ.A.] [ ] P {N t } n N [ P t (0, ) ] {N t }. A : t (0, ) {N t } : n N {N t }. ω B n N N (ω) t 0 (0, ) N t 0 (ω) > ñ N tñ > t 0 N tñ(ω) N t 0 (ω) > n N N n (ω) B A A B A A B. t (0, ) {N t } { t (0, ) N t }. A t (0, ) {N t } C { t (0, ) N t } ω Ω A C. ω A t (0, ) N t (ω) t (0, ) N t (ω) ω C. (n5) [ ] P { t (0, ) N t } 0. (v) P [N t n] P [ k t t i1{n (i) t n (i) }] P [ k i1{n (i) t n (i) }] t P [ t (0, ) k i1 {N (i) t n (i) }].

A : t (0, ) k i1 {N (i) t n (i) } k i1{ N (i) t > n (i) } : B. ω B i {1,..., k} N (i) t (ω) > n (i) i {1,..., k} t 0 N (i) t (ω) n (i) ω k i1 t (0, ) {N (i) t n (i) } t (0, ) k i1 {N (i) t n (i) } A. B A. P [ t (0, ) k i1 {N (i) t n (i) }] P [ k i1{ N (i) t > n (i) }]. P [ t (0, ) k i1 {N (i) t n (i) }] P [ k t t i1{ N (i) t > n (i) }]. P [{ N (i) t > n (i) }] 1 n5 P [ k i1{ N (i) t > n (i) }] 1 (ii) P oisson (i) t R + σ. { t,h } h R+ t,h : t+h t h R + { t } t R+ { t,h } h R+ { t } t R+ { t,h } h R+ t R + t R + N k 0 P [{ t }] > 0 P t, [B] : P [B { }] F

{ t } t R+ t R + n N k 0 P [ t ] > 0 { t,h } h R+ (Ω, F, P t, ) { t } t R+ [ m ] P { tj tj 1 j } j1 m P [{ tj tj 1 j } j1 m N t 0, t 1..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} { t } t R+ [ m P j1 ] [ m { tj +h tj 1 +h j } P j1 ] { tj tj 1 j } m N t 0, t 1..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} { t } t R+ A A

(i) : m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} [ m ] P {A tj A tj 1 j } j1 [ m ] P {A( tj tj 1 ) j } j1 1 A 1 ({ 1 }) 1 A 1 ({ 1 }) m...... j1 1 A 1 ({ j }) m A 1 ({ m }) m A 1 ({ m}) j1 [ m ] P { tj tj 1 j } j1 P [{ tj tj 1 j }] m P [{A tj A tj 1 j }] j1 m P [{ tj tj 1 j }] (ii) : m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} [ m ] P {A tj +h A tj 1 +h j } j1 [ m ] P {A( tj +h tj 1 +h) j } j1 1 A 1 ({ 1 }) 1 A 1 ({ 1 })...... m A 1 ({ m}) m A 1 ({ m }) [ m ] P {A tj A tj 1 j } j1 [ m ] P { tj +h tj 1 +h j } j1 [ m ] P { tj tj 1 j } j1 { t } t R+

[ m ] ( k ( m j1 P { tj tj 1 j } n(i) j )! m j1 i1 j1 n(i) j! m ( ) (i) n ) tj j t j 1 P [{ tm j1 t m m j }] m N t 0, t 1..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} j1 { t } t R+ [ k P {N (i) t i i1 l (i) } {N (i) t ( k ( n (i) + l (i) i1 l (i) ] N (i) t i n (i) } ) ( t i )l(i) (1 t ) i )n(i) P [{ t + }] t t R k + t R + (, t ), N k 0. { t } t R+ ( k ( n (i) + l (i) P [{ s } { t s }] )( st )l(i) (1 st ) )n(i) P [{ t + }] s, t R + 0 < s < t, N k 0. i1 t m 0 t 0 t 1... t m t m t m 1 m t m m 1 m l (i)

{ t } t R+ A A A { t } t R+ { t } t R+ P [{ t } > 0] t > 0 N k 0 N k 0 P [{ t }] 0 t > 0 N k 0 P [{ t }] t P [{ t }] 1. (v) N k 0 t > 0 N k 0 P [{ t }] > 0 P [{ s }] P [{ s } { t s }] ( k ( )( ) n (i) l (i)( s 1 s ) n (i)) P [{ t }] t t i1 l (i) P [{ s }] > 0 s (0, t) N k 0 u (t, ) P [{ u } { t }] 1 N k 0 P [{ u }] P [{ u } { t }] P [{ u } { t }]P [{ t }] > 0 P [{ s }] > 0 s > 0 N k 0 N k 0

{ t } t R+ { t } t R+ P [{ t }] > 0 t > 0 N k 0 m N t 0, t 1,..., t m, h R + 0 t 0 < t 1 <... < t m

j N k 0, j {1,..., m} t 1 h m : m j1 j [ m ] [ m P { tj +h tj 1 +h j } P { tj +h tj 1 +h j } ( )] t0 +h 0 } j1 j1 [ ( m )] P { tj +h tj 1 +h j } t0 +h 0 } 0 N k 0 0 N k 0 j1 [ ( m )] P { tj +h tj 1 +h j } 0 N k 0 j0 [ m ] P { tj +h tj 1 +h j } j0 ( k (l m (i) + n (i) 0 )! m ( lj l j 1 m 0 N k i1 j0 n(i) j! t j1 m + h 0 ) P [{ tm +h m + 0 }] ) n (i) j ( k (l m (i) )! m i1 j1 n(i) j! 0 N k 0 m ( tj t j 1 j1 t m ) P [{ tm +h m + 0 }] ( k ( (i) l m! + n (i) 0 i1 l (i) m ( k l m (i)! m i1 j1 n(i) j! )( tm t m + h m ( tj t j 1 j1 t m ) n (i) j ) l (i) m ( ) (i) n ) j h t m + h ) n (i) 0 ) P [{ tm m } { tm +h tm 0 }] 0 N k 0 ( k i1 l (i) m! m j1 n(i) j! j1 P [{ tm m }] m ( ) (i) n ) tj j t j 1 t m P [ m j1{ tj tj 1 j }] { t } t R+ { t } t R+

[ m+1 ] P { tj tj 1 j } P [{ tm m }] j1 P [ ] m j1{ tj tj 1 j } P [{ tm m } { tm+1 tm m+1 }] m N t 0, t 1,..., t m+1 R + t 0 < t 1 <... < t m+1 1,..., m+1 N k 0, m : m j1 j. P [ m j1{ tj tj 1 j }] > 0 [ P { tm+1 tm m+1 } m j1 ] { tj tj 1 j } P [{ tm+1 tm m+1 } { tm m }] P [ m j1({ tj tj 1 j } { tm+1 tm m+1 })] P [ m j1 { t j tj 1 j }] P [{ t m+1 tm m+1 } { tm m }] P [{ tm m }] [ P { tm+1 tm m+1 } ] [ m ] { tm m } P { tj tj 1 j } [ m ] P ({ tj tj 1 j } { tm+1 tm m+1 }) P [{ tm m }] (4.1) j1 Markov. Markov { t } t R+ { t } t R+ j1

P [{ t r } { r }] P [{ s r } { r }]P [{ t s } { s + }] [, ],P [{ s + }]>0 r, t R + r t, N k 0 P [{ r }] > 0 s [r, t]. P [{ t } { r }] P [{ s } { r }]P [{ t } { s }] N k 0,P [{ s }]>0 r, t R + r t, N k 0 P [{ r }] > 0 s [r, t]. r, t, s, P [{ t r } { r }] P [{ t r } { r }] P [{ t }] P [{ t + } { r }] P [{ t }] P [{ t + } { r }] P [{ t r } { r }] P [{ t + } { r }] P [{ s r } { r }]P [{ t s } { s + }] [, ],P [{ s + }]>0 P [{ s + { r }]P [{ t + { s + }] [, ]

P [{ t + } { r }] P [{ s + } { r }]P [{ t } { s + }] [, ],P [{ s + }]>0 + P [{ t } { r }] P [{ s } { r }]P [{ t } { s }]. N k 0,P [{ s }]>0 Chapman Kolmogorov Markov Markov Markov A Markov Chapman Kolmogorov. r, t R +,, N k 0 r t P [ r ] > 0 s [r, t]. B : { s r } { s } { t r } [, ] { t s } { s r }]. ω { t r } t (ω) r (ω) [, ] t (ω) s (ω) s (ω) r (ω) ( ) A, B, C Σ P (A B C) P (A B C)P (B C).

P (A B C) P (A B C) P (C) P (A B C)P (B C) P (C) P (A B C)P (B C)P (C) P (C) P (A B C)P (B C). ( ) r, t R + r t, s [r, t],, N k 0 P [{ r }] > 0 P [{ t r } { r }] P [{ s r } { r }]. P [{ t r } { r }] P [{ t s } { s r } { r }] [, ] [, ],P [ ]>0 P [{ t s } { s r } { r }]P [{ s r } { r }] P [{ t s } { s + }]P [{ s r } { r }] [, ],P [ ]>0 [, ],P [{ s + }]>0 P [{ t s } { s + }] P [{ s r } { r }] (a) (b) A { t s }, B { s r }, C { r } { s r } { r } { s + } { r } Markov (c) { t } t R+

{ t } t R+ { t } t R+ { t } t R+ Markov Markov (ii) (iii) (i) (ii). (ii) (iii) : (iii) (i) : m [ m ] ( k ( m j1 P { tj tj 1 j } n(i) j )! m j1 j1 n(i) j! i1 m ( ) (i) n ) tj j t j 1 P [{ tm j1 t m m j }] j1 t 0, t 1..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} m 1 m N. t 0, t 1..., t m, t m+1 R + 0 t 0 < t 1 <... < t m < t m+1 j N k 0 j {1,..., m + 1} j : j h1 h j {1,..., m + 1} [ ] m+1 P j1 { tj tj 1 j } P [{ tm m }] [ m ] P { tj tj 1 j } P [{ tm m } { tm+1 tm m+1 }] j1 ( k i1 ( k ( (i) l i1 ( k i1 l (i) m! m j1 n(i) m+1 l (i) m l (i) m+1! j! j1 ) ( t m m+1 j1 n(i) j! m ( t j t j 1 ) l (i) t m+1 m+1 j1 t m ) n (i) j m ( t m+1 t m t m+1 ( t j t j 1 t m+1 ) n j(i) ) P [{ tm m }] ) ) n (i) m+1 P [{ tm+1 m+1 }] ) P [{ tm+1 m+1 }]P [{ tm m }], P [{ tm m }] > 0 m + 1

Markov (i) (ii). m N t 0, t 1,..., t m+1 R + 0 t 0 < t 1 <... < t m+1 0, 1,..., m+1 N k 0 j : j h1 h j {1,...m + 1} m+1 P [ { tj tj 1 j }]P [{ tm m }] j1 ( k i1 ( k i1 ( k ( (i) l i1 l (i) m+1! m+1 j1 n(i) j! l (i) m! m j1 n(i) m+1 l (i) m m ( t j t j 1 j1 j! j1 ) ( t m t m+1 m ( t j t j 1 ) l (i) t m+1 t m ) n (i) j ) n (i) j t m m (1 ) n t m+1 ) P [{ tm+1 m+1 }]P [{ tm m }] ) P [{ tm m }] ) (i) m+1 P [{ tm+1 m+1 }] m+1 P [ { tj tj 1 j }]P [{ tm m } { tm+1 t m m+1 }] j1 {N t } t R+ Markov R +, R + (, t ), N k 0 A A A B t 1 t 2... t k t M (i) : {n (i) j n (i) } t k+1 : t : n (i) j N 0, j {1,..., k+1}, i j1 n(i) j l (i), k+1 ji+1 n(i) j

[ ] P k i1{n (i) t i l (i) } {N (i) t N (i) t i n (i) } [ k+1 ] P {N tj N tj 1 j } M(1) M(k) j1 ( k (n (i) + l (i) k+1 )! ( tj t j 1 k M(1) M(k) i1 j1 n(i) j! t j1 k+1 k (n (i) + l (i) k+1 )! ( tj t j 1 P [{N + }] k i1 M(i) j1 n(i) j! t j1 k ( (n (i) + l (i) )! 1 P [{N + }] l (i)!n (i)! t [ l (i)! i j1 n(i) M(i) ( k ( n (i) + l (i) i1 l (i) i1 j! j1 i ( tj t j 1 t i ) (i) n ][ j ) ( t i t )l(i) (1 t i t )n(i) ) (i) n ) j P [{N tk+1 + }] ) n (i) j ) l (i) +n (i) t l(i) i (t t i ) n(i) n (i)! k+1 ji+1 n(i) j! k+1 ji+1 ) P [{N t + }] ( tj t j 1 t t ( i) ) (i) n ] j Chapman Kolmogorov Chapman Kolmogorov { t } t R+ Chapman Kolmogorov P [{N t }] > 0 t > 0 N k 0. r, t R +, r t s [r, t], N P [{N r }] > 0 s > 0

[, ],P [{N s + }]>0 [, ] [, ] P [{N s N r } {N r }]P [{N t N s } {N s + }] P [{N s N r } {N r }] P [{N t N s } {N s + }] P [{N r }] P [{N s + }] ( k ( ) n (i) + l (i) ( r s )n(i) (1 r ) P [{Ns + }] s )l(i) P [{N r }] i1 l (i) ( k ( ) n (i) + m (i) ( s +l (i) n (i) + l (i) t )n(i) (1 s ) l P (i) [{Nt + } t )m(i) P [{N i1 s + }] P [{N ( k ( ) ) t + } n (i) + m (i) r n(i) t (n(i) +m (i) ) P [{N r }] n (i) i1 k ( ) m (i) (s r) l(i) (t s) m(i) l (i) [, ] i1 l (i) P [{N t + } P [{N r }] l0 ( k ( n (i) + m )( (i) rt )n(i) (1 rt ) )m(i) i1 ( s r t r )l ( t s l t r ) n (i) [, ], l i1 P [{N t N r } {N r }] P [{N r }] P [{N t N r } {N r }] l0 k ( ) m (i) l (i) ( s r t r )l ( t s t r ) l ( ) s 0 r 0 [, ],P [{N 0 + >0}] P [{N 0 N r } {N r }]P [{N t N 0 } {N 0 + }] P [{N 0 N 0 } {N 0 }]P [{N t N 0 } {N 0 }] P [{N t N r } {N r }] l P [N t ]

Markov A Markov. { t } t R+ Markov { t } t R+ { t } t R+ Markov A A { t } t R+ Markov m N t 0, t 1,..., t m+1 R + 0 t 0 < t 1 <... < t m+1 0, 1,..., m+1 N k 0 m : m j1 j P [ m+1 j1 { t j tj 1 j }]P [{ tm m }] ( m+1 ) P [{ tj tj 1 j }] P [{ tm m }] j1 P [ m j1{ tj tj 1 j }]P [{ tm m } { tm+1 tm m+1 }] {N t } t R+ Markov { t } t R+

{N t } t Rt U : B k [0, 1] U[(0, )] 1 m P [ { tj tj 1 j }] j1 m R k j1 e λ(t j t j 1 ) x(t j t j 1 ) j j! du(λ) m N t 0, t 1,...t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0, j {1, 2,..., m}.

P oisson P oisson σ { t } t Rt U : B k [0, 1] U[(, )] 1 { t } t Rt { t } t Rt σ.δ. U P [{ t }] t R + N k 0 m R k j1 e λ(t j t j 1 ) λ(t j t j 1 ) j j! ( k i1 n (i)! m j1 n(i) j! m ( t j t j 1 j1 Rk e λt (λt) du(λ)! t m du(λ) ) n (i) j ) Rk e λt m (λt m ) du(λ)! m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0, j {1,..., m} m j1 j σ.δ.p oisson. { t } t Rt σ.δp oisson P [N t n] > 0 t > 0 n N k 0 σ {N t } t Rt {N t } t Rt { t } t Rt σ A {A } R U A t R R d 0

P [A t ] R d e λ R d e λ (λ t)! du A (λ ) (Aλt) du! A (λ) A A A R d k A A P A A S P [A t ] 1 ({ }) 1 P [ t ] k R k i1 k R k 1 i1 R k ( k i1 e λ it (λ it) n(i) du(λ) n i! e λ it (λ it) n(i) du(λ) n i! e λ it (λ it) l(i) l i! ) Rd e Aλt (Aλt) du A (λ).! k 1 id+1 e λ it (λ it) n(i) du(λ) n i! { t } t Rt σ.δ. U {N t } t Rt U k i1 U e i (ii) (i) m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0, j {1,..., m}

[ m ] P { tj tj 1 } j1 k m R k i1 j1 k m R k i1 j1 k i1 m R k j1 k [ m P i1 e λ i(t j t j 1 ) (λ i(t j t j 1 )) n (i) j n (i) j! du(λ) { (i) t j j1 e λ i(t j t j 1 ) (λ i(t j t j 1 )) n (i) j e λ i(t j t j 1 ) (λ i(t j t j 1 )) n (i) j (i) t j 1 n (i) j } ]. n (i) j! d( k i1u i )(λ) n (i) j! du i (λ i ) A (i) (ii) t 0, t 1,..., t k R + 0 < t 0 < t 1 <... < t k [ k P {N (i) t i i1 ] N (i) t i 1 0} k i1 k i1 [ ] P {N (i) t i N (i) t i 1 0} R R k e e λ i(t i t i 1 ) du i (λ i ) k j1 λ i(t i t i 1 ) d( k U i )(λ) i1 ( 1) 1 ({0}) {0} 1

[ m P {N (i) t i j1 1 1 1 ({0}) 1 1 1 ({0}) R k ] N (i) t i 1 0}...... 1 1 1 ({0}) R k i1 R k e k 1 k ({0}) k 1 k ({0})... [ k ] P { tj tj 1 j } k 1 k ({0}) k e λ i(t i t i 1 ) du(λ) k j 1 λ j(t j t j 1 ) du(λ) j1 k k R k i1 j1 k k i1 j1 e λ i(t j t j 1 ) (λ i(t j t j 1 )) n (i) j n (i) j! du(λ) e λ i(t j t j 1 ) (λ i(t j t j 1 )) n (i) j n (i) j! du(λ) e λ du(λ) e λ d( R k R k k U i )(λ) (, ). Laplace. Laplace T heorem U k i1 U i. P oisson P oisson σ. poterior P oisson P oisson W illmot Sundt i1

U t, : B(R k ) [0, 1] U t, : λt B e λ du(λ) e R k λt λ du(λ) N k 0, t > 0 U : B(R k ) [0, 1] U[R k +] 1. U 0, : U { t } t R+ σ P oisson U n N k 0, t > 0 { t,h } h R+ t σ P oisson U t, (Ω, F, P t, ) m N h 0, h 1,..., h m R + 0 h 0 < h 1 <... < h m j N k 0, j {1,..., m} t > 0 N k 0. (i) P [{ t }] > 0 P t, [ m j1 ] { t,hj t,hj 1 j } [ m ] : P {( t+hj t ) ( t+hj 1 t ) j } { } j1 P [ m j1 {( t+h j t ) ( t+hj 1 t ) j } { }] P [{ }] ( ) m λ(h j h j 1 ) λ(h j h j 1 ) R j k j1 e j e λt (λt) du(λ)!! R k ( m j1 R k e λt (λt)! du(λ) e λ(h j h j 1 ) λ(h j h j 1 ) j j! ) du t, (λ), U t, posterior

P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)! t R + N k 0 U : B k [0, 1] U[R k +] 1 P oisson (, ) R k + { t } t Rt σ. k P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)! t R + N k 0 U[R k +] 1 A A P [{ t }] Rd e λt (λt) du A (λ)! t R + N d 0 U : B(R d ) [0, 1] U A [R d +] 1 A A 1 U A [R d +] U[A 1 R d +] U[R k +] 1 U A [R d +] 1. { t } t Rt σ. k P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)! t R + N k 0 U[R k +] 1 P [{ t }] t { U[{0}] 0 N k 0 { } f : (0, ) R f(λ) : e λt (λt) n t > 0 n 1 f (λ) e λt λ n 1 t n (n λt)

f (λ) e λt λ n 2 t n ((n λt) 2 n) λ : n f f(λ ) e n n n. t e λt (λt) n e n n n e λt (λt)! k i1 e λ it (λ it) n(i) n (i)! k e n(i) (n (i) ) n(i) i1 λ R k +, t > 0 N k 0. P [{ t }] e λt (λt) t t R! k U[{ }]! + t U[{ }]! + U[{ }]!. du(λ) Rk+ { } e λt (λt) du(λ)! R k + { } e λt (λt) du(λ) t! { t } t Rt P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)! t R + N k 0 U[R k 0] 1. U[(, )] 1. (iv) U[{ }] t P [{ t }] 0. A A { t } t Rt

P oisson U[{ }] 0 i {1,..., k} A : i A A 0 U e i [{0}] U[e 1 i ({0})] U[ k j1 B j] { {0} i j j : R U[R k + \ (, )] 0. P oisson P [{ t }] > 0 t > 0 N k 0 P oisson N k 0 R k +. [ k Π ( ) : P i1 {N (i) ] t i n (i) } { t } t R+ σ t > 0 N k 0 P [{ t }] ( t) D Π (t ).! U : B k [0, 1] U[(, )] 1

t R + N k 0 P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)! R k + t R +, t ) Π ( ) [ ] [, ) P k (i) i1 {N t i n (i) } {N (i) t N (i) t i l (i) n (i) [, ] ( k i1 ( )( ) l (i) n ) l t it (i)(1 (i) n (i)) t Π it (t ). n (i) Π ( ) N k 0 N k 0 ( k i1 ( k i1 ( 1 t i t ) l (i)) Π (t ) ( t i t) l(i) ) Π (t ) t Π ( ) k (, 2t ) N k 0 Π (t ) 1 Π (, 2t ) D Π ( ) [, )! ( ) ( k i1 [, ) ( l (i)! 1 t ) l (i) n (i)( ) n (i)) i 1 Π (l (i) n (i) (t ) )! t t ( k ( l (i) i1 n (i) )( ) n (i)( ti t 1 t i t ) l (i) n (i)) Π (t ) Π ( ) ( ) D Π ( )!

(, 2t ). t ( 1) D Π ( ) 0 (, ) Π (, ) ii Π Π 0 R k + Π 1 { t } t R+ σ Π Bernstein W idder k U : B k [0, 1] U[R k 0] 1 R k + Π ( ) e λ du(λ) R k Π ( ) M U ( ) M U U M U (, ] Π (, ) Π ( ) ( ) D Π ( )! ( ) ( λ) e λ du(λ)! R k Rk e λ λ du(λ).! P [{ t }] Π (t ) P [{ t }] ( ) D Π (t )! P [{ t }] Rk e λt (t)n! du(λ) t > 0 N k 0 t 0 U[(, )] 1

{ t } t R+ σ A A A R 1 k U : B k [0, 1] U[(, )] 1 λt (λt)n P [{A t n}] e du(λ) n! t R + n N 0 {N (i) t } t R+ i {1,..., k} { t } t R+ P oisson { t } t R+ { t } t R+ { t } t R+ { t } t R+ Markov { t } t R+ R P oisson Markov. (ii), (iii) (iv) (i) (ii) (iii) (i) U : B k [0, 1] U[(, )] 1 P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)!

t R + N k 0 (iii) P oisson { t } t R+ P oisson U P [{ t }] t! D M U ( t ) t > 0 N k 0 Π ( ) M U ( ) P [{ t }] ( t) D Π (t )! ( t)! t! M U( t ) M U ( ) t P oisson Π Π 0 P oisson N t t > 0

U V U[(, )] V [(, )] 1 t > 0 Rk e N U V λt (λt) du(λ)! Rk e λt (λt) dv (λ)! M U M V < < T aylor < T aylor B t B M U ( ) ( + t ) e λt λ du(λ)! N k R k 0 ( ) 1 Rk ( + t ) e λt (λt) du(λ) t! N k 0 ( ) 1 Rk ( + t ) e λt (λt) dv (λ) t! N k 0 M V ( ). M U ( ) M V ( ) B M U ( ) M V ( ) < U V R k M U M V (, ] M U ( ) M V ( ) L U L V L U L V Laplace U V Laplace T heorem U V U t t > 0 T heorem P oisson P oisson

P oisson. { t } t R+ P oisson U (, ) U[{ }] 1 [ m ] P { tj ti j } j1 k m i1 j1 e x i(t j t j 1 ) (x i(t j t j 1 )) n (i) j n (i) j! m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m} { t } t R+ { t } t R+ { t } t R+ P oisson { t } t R+ P oisson (c) (a) (a) (b) P oisson (b) (a) { t } t R P oisson U { t R+ } A

i { (i) t } t R+ i {1,..., k} Schmidt Zocher T heorem P oisson i {1,...k} x i (0, ) { (i) t } t R+ P oisson δ xi U δ x k i1 δ xi U e i δ xi i {1,..., k} { t } t R+ P oisson { t } t R+ P oisson { t } t R+ { t } t R+ P oisson t, t R + { t } t R+ P oisson U g t ( ) M U (t( )) [, ] t R +

[, ] t R + g t ( ) N k 0 N k 0 P [{ t }] R k N k 0 e λt (λt) R! k du(λ) e λt (λt) du(λ)! k e λt (λ i tr i )n(i) du(λ) R n k (i)! i1 n (i) N 0 e λt e λt du(λ) R k M U (t( )) { t } t R+ P oisson U A A g A t ( ) g t (A ) A A P A C. g A t ( ) g t (A + A ) A A S. (i) (ii) i A A g A t ( ) M UA (t( )) M U (A t( )) M U (t(a A )) M U (t(a A + )) g t (A + A )

(ii) (i) A A A P A C ii P oisson { t } t R+ P oisson U A A E [( t )] t λ U(dλ)! R k N k 0 t R + N k 0 t R + E [( t )] 1 [, )! D g t ( ) 1 [, )! M U (t( )) t [ t, )! D M U ( ) t! t! t! [ t, ) R k R k λ e λ U(dλ) λ e λ U(dλ) [ t, ) R k λ U(dλ)

0 t 0 { t } t R+ P oisson U N k 0 a t > 0 [( )] t E <. b t R + E [( t )] < c R k λ du(λ) <. d (, ) D M U (, ) ( ) <. { t } t R+ t R +. E [( t )] t! D M U (, ) ( ) (a), (b) (c) (a) (b) g t ( ) M U (t( )) r [, ] t > 0 E [( t )] 1! D g t [, ) ( ) 1! t! M U (t( )), [, ) D M U (, ) ( )

t > 0 0 t 0 { t } t R+ P oisson U N k 0 a t > 0 b t R +. c E[( t ) ] <. E[( t ) ] < R k λ U(dλ) <. d M U (, ] (, ] { t } t R+ t R +. E [( t )] t! Dl M U (, ] ( ) (a), (b) (c) (b) (d) g t ( ) M U (t( )) [, ] t > 0. c M U E [( t )] t! t! D l M U (, ] ( ) D l M U (, ] ( ),

c d D l M U (, ] ( ) λ U(dλ) R k M U M U t P oisson t t { t } t R+ P oisson U i, j {1,..., k} i j R k λ i U(dλ) < E[N (i) t t R +. ] < E[N (i) t ] t R k λ i U(dλ) (λ R k i ) 2 U(dλ) < E[(N (i) t ) 2 ] < V ar[n (i) t ] t 2 (λ i x i U(d )) 2 U(dλ) + t λ i du(λ) R R k R k t R +. { R k λ i λ j U(dλ), R k λ i du(λ), R k λ j U(dλ)} < E[N (i) t N (j) t ] <, E[N (i) t ] <, E[N (j) t ] <

( )( ) Cov[N (i) t, N (j) t ] t 2 λ i x i U(d ) λ j x j U(d ) U(dλ R R k R k t R +. 0 t 0 t > 0 P oisson P oisson U V ar[n (i) t ] t R k λ i U(dλ) E[N (i) t ] i {1,...k} U Cov[N (i) t, N (j) t ] 0 i j M U t t R +. { t } t R+ A A P oisson U A M UA ( ) M U (A ) M U

P oisson P oisson P oisson { t } t R P [(, )] 1 ( m ) P { tj tj 1 j } j1 m j1 e (t j t j 1 ) (t j t j 1 ) j j! P σ(θ) σ.β. m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m}

P oisson { t } t R { t } t R ( m ) P { tj tj 1 j } j1 m P ({ tj tj 1 j }) m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m} { t } t R ( m P j1 j1 ) ( m { tj +h tj 1 +h j } P j1 ) { tj tj 1 j } m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m} { t } t R { t } t R { t } t R t R + N k 0 P ({ t }) e t ( t)! P σ(θ) σ.β. (i) (ii) (ii) (i) m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m}

( m ) P { tj tj 1 j } j1 m P ({ tj tj 1 j }) j1 m P ({ tj t j 1 j }) j1 m j1 e (t j t j 1 ) (t j t j 1 ) j, j! P σ(θ) σ.β. P oisson P oisson { t } t R σ. { t } t R P P oisson P oisson P oisson P oisson Bernstein W idder P oisson T heorem P oisson

T heorem σ. P oisson Markov. a σ. P oisson σ. (b) σ. P oisson P oisson P oisson A { t } t R A A { t } t R P oisson A A

{A t } t R P oisson A P oisson A P ({A t } A ) P ({A t } ) t R + N d 0 t R + N d 0 E[χ {A t} ] e A t (A t)! A A A R d k A A P (6.1) A A S [ E[χ {A t } ] E A 1 ({ }) A 1 ({ }) A 1 ({ }) i1 ( d i1 χ { t } ] P ({ t } ) k e Θ it (Θ it) l(i) l (i)! e t ( t)! e A t (A t).! (6.1) A A S e Θ it (Θ it) n(i) n (i)! ) k A 1 ({ }) id+1 e Θ it (Θ it) n(i) n (i)! A A C I(i) : {h {1,..., k} : ia h 1} h I(i) θ h iaθ i {1,..., d}

E[χ A t ] k A 1 ({ }) i1 ( d i1 e Θ it (Θ it) n(i) n (i)! e ia t ( ia ) l(i) l (i)! d A 1 ({ }) i1 l (i) ) h I(i) n(h)! h I(i) ( Θh ia ) n (h) e A t (A ).! (6.1) A A (i) (ii) (6.1) [ P ({A t } A ) E E[χ {A t } ] A E [e A t (A t) A! e A t (A t).! (i) (6.1) (i) ] ] P ({A t } A ) e A t (A t)! E[χ {A t } ] P ({A t } ). (ii)

P oisson P oisson P U { t } t R P oisson { t } t R Zocher Zocher Θ { t } t R P oisson { t } t R i A Θ i ( m P { tj tj 1 j } j1 ) k m i1 j1 k ( m P i1 k ( m P i1 e Θ i(t j t j 1 ) (Θ i(t j t j 1 )) n (i) j {N (i) t j j1 {N (i) t j j1 n (i) j! ) N (i) t j 1 n (i) } Θ i N (i) t j 1 n (i) j } ) j m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m}. M

M P P [{ t }] t! D M ( t ) N k 0 t > 0 M A ( ) M (A ) R d M. P oisson P oisson { t } t R P oisson g t (bfr) M (t( )) [, ] t R +. t ( ) t E[ ] t! E[ ] N k 0 l R +.

{ t } t R P oisson N k 0 a t > 0 ( ) t E[ ] <. b t R +. E[ c ( t ) ] < E[ ] <. d (, ] lim D M (, ) ( ) <. { t } t R+ [ ( ) ] t E t! lim D M (, ) ( ) t R +. { t } t R P oisson N k 0 a t > 0 E[( t ) ] <. b t R + E[( t ) ] <.

c. E[ ] <, d, M (, ) (, ] { t } t R+ t R +. [ ( ) ] t E t! D M (, ) ( ) N t t t+h { t } t R P oisson i E[ t ] te[ ] t R +. ii ( ) Cov[ t, t+h ] tdiag E[ ] + ( + ) [ ] t, h R +.

iii V ar[θ i ] > 0 V ar[θ l ] > 0 i, l {1,..., k} i l ( ) lim t ϱ N (i) t, N (l) t ϱ(θ i, Θ l ). (0, ) E(N (i) t ) E(N (i) t Θ i ) tθ i V ar(n (i) t ) V ar(n (i) t Θ i ) tθ i t R +. Cov(N (i) t, N (l) t ) 0 i l E( t ) t V ar( t ) tdiag( ). (i) t t R + [ ] E[ t ] E E( t ) E[t ] te[ ]. (ii) t t R + Cov[ t, t+h ] E[Cov( t, t+h )] + Cov[E( t ), E( t+h )] E[Cov( t, t+h t )] + E[V ar( t )] + Cov[t ), (t + h) ] E[tDiag( )] + t(t + h)v ar[ ] tdiag(e[ ]) + t(t + h)v ar[ ] Cov( t, t+h t ) 0, {N t } t R+ (iii)

( ) ϱ N (i) t, N (l) t Cov[N (i) t, N (l) t ] V ar[n (i) t ]V ar[n (l) t ] t 2 Cov[Θ i, Θ l ] t4 V ar[θ i ]V ar[θ l ] + t 3 (V ar[θ i ]E[Θ l ] + V ar[θ l ]E[Θ i ]) + t 2 E[Θ i ]E[Θ l ] Cov[Θ i, Θ l ] V ar[θi ]V ar[θ l ] + t 1 (V ar[θ i E[Θ l + E[Θ i ]V ar[θ l ]) + t 2 E[Θ i ]E[Θ l ] ( ) lim t ϱ N (i) t, N (l) t ϱ(θ i, Θ l ) (0, ). i l s, t > 0 Cov[N s (i), N (l) t ] stcov[θ i, Θ l ] { t } t R P oisson Cov[ t2 t1, t4 t3 ] V ar[ ](t 2 t 1 )(t 4 t 3 ) ) +Diag(E[ ]) ((t 2 t 3 ) + (t 2 t 4 ) + t 1, t 2, t 3, t 4 R + t 1 < t 2, t 3 < t 4 t 1 t 3

t 1, t 2, t 3, t 4 R + t 1 < t 2, t 3 < t 4 t 1 t 3 Cov[ t2 t1, t4 t3 ] Cov[ t2, t4 ] Cov[ t2, t3 ] Cov[ t1, t4 ] + Cov[ t2, t3 ] min{t 2, t 4 }Diag(E[ ]) + t 2 t 4 V ar[ ] min{t 2, t 3 }Diag(E[ ]) t 2 t 3 V ar[ ] min{t 1, t 4 }Diag(E[ ]) t 1 t 4 V ar[ ] +min{t 1, t 3 }Diag(E[ ]) + t 1 t 3 V ar[ ] V ar[ ](t 2 t 4 t 2 t 3 t 1 t 4 + t 1 t 3 ) +Diag(E[ ])(min{t 2, t 4 } min{t 2, t 3 } min{t 1, t 4 } + min{t 1, t 3 }) V ar[ ](t 2 t 1 )(t 4 t 3 ) +Diag(E[ ])(min{0, t 4 t 2 } min{0, t 3 t 2 }) V ar[ ](t 2 t 1 )(t 4 t 3 ) ) +Diag(E[ ]) ((t 2 t 3 ) + (t 2 t 4 ) +. (t 2 t 3 ) + (t 2 t 4 ) + P oisson t P oisson

{ t } t R P oisson [ m ] P { tj tj 1 j } { B} j1 m χ { } Ω j1 e (t j t j 1 ) ( (t j t j 1 )) j! m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0, j {1,..., m} B B k m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0, j {1,..., m} B(R k ) dp [ m ] P { tj tj 1 j } { B} j1 Ω Ω Ω χ m j1 { tj tj 1 j } { B} dp ) E (χ mj1{ tj tj 1 j} { B} dp χ E χ { B} Ω j1 ( χ m j1 { tj tj 1 j } m ) dp e (t j t j 1 ) ( (t j t j 1 )) j! dp. { t } t R P oisson t > 0 N k 0 { t,h } h R+ P oisson (Ω, F, P t, ). t > 0 N k 0 Ω (f )dp t, (f t )(e ( ) /!)dp P [{ t }]

f : R k R +. B B(R + ) f : χ B f χ 1 ( ) (f )dp t, Ω χ 1 (B) dp t, P t, [ 1 (B)] Ω χ 1 (B) t (e ( ) /!)dp P [{ t }] Ω (f t )(e ( ) /!)dp P [{ t }] m N h 0, h 1...h m R + 0 h 0 < h 1 <... < h m j N k 0, j {1,...m} C σ( ) χ m j1 { t,hj t,hj 1 j }dp t, C χ m j1 { t+hj t+hj 1 j } CdP t, Ω P t, [ m P j1 [ m Ω χ C j1 [ ] { t+hj t+hj 1 j } C [ ] { t+hj t+hj 1 j } { t } C ( m χ C Ω j1 m C j1 m P [{ t }] j1 e (h j h j 1 ) (h j h j 1 ) j j! P [{ t }] ) e (h j h j 1 ) ( (h j h j 1 )) j j! e (h j h j 1 ) ( (h j h j 1 )) j j! dp t,. e t ( t) dp! dp t,

( { t,hj ) P t, t,hj 1 j } m j1 e (h j h j 1 ) ( (h j h j 1 )) j j! dp t, P oisson t { t } t R P oisson P t (B) t > 0 B B(R k ). θt B e θ t dp (θ) e R k θt θ t dp (θ) t > 0 B B(R + ). P ({ B} { t }) Ω Ω Ω B P [{ t } {Θ B} ]dp E P [χ { t }χ {Θ B} ]dp χ {Θ B} E P [χ { t } ]dp P [{ t }]dp 1 (B) e 1 (B) ( ) dp! e θ (θ ) P (dθ),!

P t [B] P [{ B} { t }] P [{ B} { t }] P [{ t n] θt B e (θt) /!P (dθ) e R k θt (θt) /!P (dθ). P t (B) P t [B N k 0] P [{ B} { t N k 0}] P [{ B} { t N k 0}] P [{ t N k 0}] P [ N { B} { k t }] 0 P [ N k 0 { t }] N P [{ B} { k t }] 0 P (Ω) N P [{ B} { k t }]P [{ t }] 0 1 P t [B]E P [χ t ] N k 0 N k 0 N k 0 N k 0 P t [B]χ t B e θt θ dp (θ) e R k θt θ dp (θ) χ { t } θt B e θ t dp (θ) χ e R k θt θ { t } t dp (θ) B e θt θ t dp (θ) R k e θt θ t dp (θ).

Q φ Q : R C φ Q (z) : e izx Q(dx) R φ Q (0) 1 Q φ Q Q M Q : R [0, ] M Q : e zx Q(dx) R M Q (0) 1 Q Q n N d n M Q dz (0) x n Q(dx). n R Q[N 0 ] 1 Q m Q : [ 1, 1] R m Q (z) : z x Q(dx) R z n Q[{n}]. n0

(Ω, Σ, P ) X : Ω R Σ B B X 1 (B) Σ F : R R σ.κ.π. x F (x) 0 x F (x) 1 X : Ω R P X : B R P X (B) : P (X 1 (B)) B B X x R P X ({x}) 1 P X P X X σ.κ.π. F X : R [0, 1] X ( ) F X (x) : P X (, x] P (X x) x R. F X σ.κ.π. σ.κ.π. F X X P X (B) P (X B) λ FX (B), B B λ FX (B) F X σ.κ.π. F : R R X : Ω R σ.κ.π. F X F σ.κ.π. F (x) f(k) x R, k K:k x K R f : K R + f σ.π. F F σ.κ.π. F X σ.κ.π. F X F (x) x f(t)dt x R,

f : R R + f σ.π.π. F X X X : Ω R E[X] : E P [X] : XdP X(ω)P (dω) X(ω)dP (ω) Ω Ω R X X L 1 (P ) E[X] R A 1,..., A n Σ (n N : n 2) P ( k ) k A ij P (A ij ), 1 i 1 i k n k N. j1 j1 X 1,..., X n : Ω R (n N : n 2) {α k } k Nn {X k α k } k Nn X 1,..., X n {B k } k Nn B {X k B k } k Nn σ Σ 1,..., Σ n (n N : n 2) Σ k N n A k Σ k A 1,..., A n σ Σ σ Σ σ

Ω D Ω Ω D B \ A D A, B D n N A n D {A n } n N D D Ω \ A D A D n N A n D {A n } n N D B.1. D P (Ω) Ω Ω D Ω I D I J I I, J I D σ(i)

(θ) (P X (θ)) f X (x) e θ (θ x /x!) x N θ > 0 E[X] V ar[x] θ (P X (β)) f X (x) βe βx x (0, ) β > 0 E[X] 1/β, V ar[x] 1/β 2 (P X (α, β)) f X (x) βα Γ(a) xα 1 e βx x (0, ) α, β > 0 E[X] α/β, V ar[x] α/β 2

A µ σ σ σ G σ Ω X σ σ σ σ. σ. σ. n σ µ σ

Θ σ Σ X Θ Θ A σ σ σ.π.π.

Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εγκρίθηκε ομόφωνα από την Τριμελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς στην υπ αριθμ. 1 η /26.09.13 συνεδρίασή του σύμφωνα με τον Εσωτερικό Κανονισμό Λειτουργίας του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Τα μέλη της Επιτροπής ήταν: - Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Μαχαιράς (Επιβλέπων), - Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Στέγγος, - Επίκουρος Καθηγητής Γεώργιος Ψαρράκος. Η έγκριση της Διπλωματικής Εργασίας από το Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα.

Στη μνήμη του πατέρα μου, Γεωργίου. Στη μητέρα μου, Αλεξάνδρα.

Ευχαριστίες Κατάρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον επιβλέποντα για την παρούσα διπλωματική εργασία κύριο Νικόλαο Μαχαιρά, Αναπληρωτή Καθηγητή, για την αμέριστη συμπαράστασή του και την πολύτιμη καθοδήγηση που μου προσέφερε κατά τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω και τα άλλα δύο μέλη της Τριμελούς Εξεταστικής Επιτροπής, κύριο Δημήτριο Στέγγο, Επίκουρο Καθηγητή και κύριο Γεώργιο Ψαρράκο, Επίκουρο Καθηγητή, για την επίβλεψή τους. Ακόμη θα ήθελα να ευχαριστήσω το τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης που μου έδωσε την δυνατότητα να ασχοληθώ με την εν λόγω εργασία.

Περίληψη Στην παρούσα Διπλωματική Εργασία μελετούμε τις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με μια κατανομή μίξης και τις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με παράμετρο ένα τυχαίο διάνυσμα. Αποδεικνύονται κάποιες ιδιότητες των πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson με μια κατανομή μίξης, όπως η πολυωνυμική και η Μαρκοβιανή ιδιότητα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ένα αποτέλεσμα, που αναφέρει ότι οι συντεταγμένες μίας πολυμεταβλητής μικτής διαδικασίας Poisson είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν η κατανομή μίξης παριστάνεται ως ένα μέτρο γινόμενο. Επίσησδίνονται κάποιοι χαρακτηρισμοί για τις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με μια κατανομή μίξης μέσω της πολυωνυμικής ιδιότητας, της διωνυμικής ιδιότητας και της ιδιότητας Markov. Τέλος αποδεικνύεται ότι η κλάση των πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson με παράμετρο ένα τυχαίο διάνυσμα είναι υπόκλαση εκείνης των πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson με μία κατανομή μίξης. Παραμένει ανοιχτό το πρόβλημα της ισότητας των δύο κλάσεων.

Abstract In this thesis we study the multivariate mixed Poisson processes with arbitrary mixing distribution and the multivariate mixed Poisson processes with parameter a random vector. Some properties of multivariate mixed Poisson processes, such as the multinomial and the Markov property, are derived. The use of multivariate setting is justified by a result, which asserts that the coordinates of a multivariate mixed Poisson process are independent, if and only if the mixing distribution is represented as a product measure. Moreover some characterizations for multivariate mixed Poisson processes, in terms of the multinomial and the Markov property are given. Finally, it is proven that the class of all multivariate mixed Poisson processes with parameter a random vector is subclass of the class of all multivariate mixed Poisson processes with a mixing distribution. The problem of the equality of the two classes remains open.

Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 1 Βασικές Εννοιες και Ορισμοί 5 2 Επισκόπηση Κάποιων Εννοιών της Κλασσικής Θεωρίας Κινδύνου 11 2.1 Το Υπόδειγμα................................... 11 2.2 Η Σ.Δ. άφιξης των Απαιτήσεων......................... 12 2.3 Η Σ.Δ. του Αριθμού των Απαιτήσεων...................... 15 2.4 Η Διαδικασία Poisson............................... 18 2.5 Η μικτή σ.δ. Poisson............................... 19 3 Πολυμεταβλητές σημειακές κατανομές 25 3.1 Πιθανογεννήτριες................................. 25 3.2 Ροπογεννήτριες.................................. 36 3.3 Θεώρημα Bernstein-Widder........................... 42 4 Πολυμεταβλητές σημειακές διαδικασίες 47 4.1 Το υπόδειγμα................................... 47 4.2 Η πολυωνυμική ιδιότητα.............................. 54 5 Πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson 69 5.1 Το Υπόδειγμα................................... 69 5.2 Ενας χαρακτηρισμός............................... 76 5.3 Οι ροπές...................................... 83 6 Πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με τυχαία παράμετρο 89 6.1 Το υπόδειγμα................................... 89 6.2 Ροπές....................................... 95 6.3 Posterior κατανομές............................... 100 xv

Αʹ Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων 107 Αʹ.1 Ορισμοί και χρήσιμα αποτελέσματα........................ 107 Αʹ.2 Θεώρημα Μονότονης Κλάσης........................... 109 Βʹ Χρήσιμες κατανομές 111 Βιβλιογραφία 113 xvi

Κατάλογος Συντομογραφιών μ.χ.: μετρήσιμος χώρος χ.μ.: χώρος μέτρου χ.π.: χώρος πιθανότητας σ.μ.μ.: σύνολο μηδενικού μέτρου σ.β.: σχεδόν βέβαια τ.μ.: τυχαία μεταβλητή σ.κ.: συνάρτηση κατανομής σ.π.: συνάρτηση πιθανότητας σ.π.π.: συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σ.δ.: στοχαστική διαδικασία Exp(θ): εκθετική κατανομή με παράμετρο θ Ga(n, θ): γάμμα κατανομή με παραμέτρους n και θ MPP: μικτή διαδικασία Poisson MRP: μικτή ανανεωτική στοχαστική διαδικασία δ.μ.τ.: δεσμευμένη μέση τιμή xvii

Εισαγωγή Οι μονομεταβλητές μικτές κατανομές Poisson και οι μονομεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με μια κατανομή μίξης χρησιμοποιούνται ευρέως για την μοντελοποίηση της εμφάνισης σπάνιων γεγονότων. Αυτό χρονολογείται από τη δεκαετία του 20 του προηγούμενου αιώνα. Από τότε έχει δημοσιευθεί ένα μεγάλο πλήθος εργασιών βασισμένων σε αυστηρή θεμελίωση των θεωρητικών αποτελεσμάτων και με εφαρμογές σε πληθώρα επιστημονικών τομέων. Η καθιέρωση της χρήσης των πολυμεταβλητών μικτών κατανομών Poisson και των πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson με μια παράμετρο μίξης πραγματοποιήθηκε στο ίδιο σχεδόν χρονικό διάστημα, με την συμβολή των Bates, Neyman [4] (1952), Consael [8] (1952), και Hofmann [14] (1955). Αλλά σε αντίθεση με την μονομεταβλητή περίπτωση ο αριθμός των δημοσιεύσεων των πολυμεταβλητών μικτών κατανομών Poisson είναι σχετικά μικρός. Παρ όλα αυτά, διάφοροι τομείς καλύπτονται από το έργο που έχει δημοσιευθεί μέχρι σήμερα, όπως τα εναέρια ατυχήματα Bates and Neyman [4] (1952), τα εργατικά και μη εργατικά ατυχήματα Hofmann [14] (1955), οι ασφάλειες αυτοκινήτου Picard [21] (1976), Partrat [20] (1994), Lemaire [17] (1995), Walhin and Paris [27] (2001), Zocher [29] (2005), οι τυφώνες Partrat [20] (1994), η ανίχνευση εικόνας στην αστροφυσικής Ferrari, Letac and Tourneret [10] (2004), και η απώλεια αποθεματικών Schmidt και Zocher [24] (2005). Εφόσον το θεωρητικό υπόβαθρο δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί στον ίδιο βαθμό όπως στην μονομεταβλητή περίπτωση, υπάρχει ένα χάσμα μεταξύ των επιθυμητών πρακτικών εφαρμογών και των διαθέσιμων θεωρητικών αποτελεσμάτων. Η βάση αυτής της μελέτης είναι η πολυμεταβλητή απαριθμήτρια διαδικασία. Το μοντέλο της πολυμεταβλητής απαριθμήτριας διαδικασίας καθορίζεται από διαφορετικές υποθέσεις που οδηγούν σε διαφορετικά μοντέλα πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson,οι οποίες, ωστόσο, συνδέονται μεταξύ τους. Ξεκινώντας με το πιο γενικό μοντέλο και εξειδικεύοντας βήμα προς βήμα, αυτή η εργασία είναι οργανωμένη ως εξής: Στο Κεφάλαιο 1 παραθέτουμε κάποιες βασικές έννοιες και ορισμούς. Στο Κεφάλαιο 2 δίνουμε μια επισκόπηση στοιχείων της Κλασσικής Θεωρίας Κινδύνου όπου αρχικά παρουσιάζουμε κάποιες ιδιότητες των σ. δ. άφιξης απαιτήσεων και του αριθμού των απαιτήσεων, (βλ. Ενότητες 2.1 και 2.2 αντίστοιχα). Στην Ενότητα 2.3 1

αναφέρουμε βασικά αποτελέσματα της σ.δ. Poisson, στην Ενότητα 2.4 αναφερόμαστε στις σύνθετες κατανομές και ολοκληρώνουμε το 2o Κεφάλαιο με μια αναφορά στη μικτή σ.δ. Poisson (βλ. Ενότητα 2.5). Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται κάποιοι ορισμοί και αποδεικνύονται αποτελέσματα βοηθητικού χαρακτήρα, σχετικά με τις πολυμεταβλητές απαριθμήτριες κατανομές που χρειάζονται για τα επόμενα κεφάλαια. Στην Ενότητα 3.1 μελετούνται οι πιθανογεννήτριες συναρτήσεις, στην Ενότητα 3.2 οι ροπογεννήτριες, και στην Ενότητα 3.3 το Θεώρημα Bernstein-Widder. Οι πολυμεταβλητές σημειακές διαδικασίες είναι το θεμα του Κεφαλαίου 4. Αρχικά εισάγονται αυτές οι διαδικασίες (Ενότητα 4.1) και στη συνέχεια αποδεικνύονται κάποιες ιδιότητες τις οποίες έχουν οι απαριθμήτριες κατανομές και οι οποίες σχετίζονται με τις μικτές κατανομές Poisson (Ενότητα 4.2). Οι συσχετισμοί μεταξύ τέτοιων ιδιοτήτων, όπως για παράδειγμα των στάσιμων προσαυξήσεων, της πολυωνυμικής ιδιότητας, και της ιδιότητας Markov, επίσης μελετούνται με κάθε λεπτομέρεια. Το Κεφάλαιο 5 είναι αφιερωμένο στις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με μια αυθαίρετη κατανομή μίξης. Και πάλι αποδεικύονται κάποιες ιδιότητες αυτών των διαδικασιών (Ενότητα 5.1). Το γινόμενο πιθανοτήτων Poisson μέσα στα ολοκληρώματα προκαλεί την ερώτηση της ανεξάρτησίας των συντεταγμένων μιας πολυμεταβλητής μικτής σ.δ. Poisson. Μια απάντηση δίνεται στο Θεώρημα 5.1.5, σύμφωνα με το οποίο οι συντεταγμένες μιας πολυμεταβλητής μικτής διαδικασίας Poisson είναι ανεξάρτητες, αν και μόνο αν η κατανομή μίξης παριστάνεται ως ενα μέτρο γινόμενο. Επιπλέον, οι πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson χαρακτηρίζονται ως πολυμεταβλητές απαριθμήτριες διαδικασίες που έχουν την πολυωνυμική ιδιότητα (Θεώρημα 5.2.3). Μετά το αποτέλεσμα αυτό αποδείκνυεται ότι μια πολυμεταβλητή μικτή διαδικασία Poisson με ανεξάρτητες προσαυξήσεις είναι μια πολυμεταβλητή διαδικασία με την έννοια ότι οι συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες και κάθε συντεταγμένη είναι μια μονομεταβλητή σ.δ. Poisson (Θεώρημα 5.2.7). Οι ιδιότητες της δομής των ροπών πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson δίνονται στην Ενότητα 5.3. Ενας εναλλακτικός τρόπος για να μοντελοποιήσουμε τις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson εντός της κατηγορίας των πολυμεταβλητών απαριθμητριών διαδικασιών είναι να υποθέσουμε την ύπαρξη ενός τυχαίου διανύσματος επάνω στον ίδιο χώρο πιθανότητας και να εξετάσουμε τις δεσμευμένες πιθανότητες της διαδικασίας ως προς αυτό το τυχαίο διάνυσμα, έτσι ώστε η διαδικασία να παραμένει μια πολυμεταβλητή μικτή διαδικασία Poisson. Αυτή η ιδέα μοντελοποίησης οδηγεί στις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με μια τυχαία παράμετρο, οι οποίες μελετούνται στο Κεφάλαιο 6, και για τις οποίες η κατανομή μίξης προέρχεται από ένα τυχαίο διάνυσμα. Για τις κατανομές μίξης που προέρχονται από ένα τυχαίο διάνυσμα, πετυχαίνονται απλούστερες παραστάσεις κάποιων αποτελεσμάτων, ενώ η χρήση των δεσμευ- 2