|
|
- Διονυσόδωρος Γκόφας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Στοχαστικά Μοντέλα Επιχειρησιακών Ερευνών Συστήματα αναμονής Ι Ιωάννης Δημητρίου Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, Δ.Π.Μ.Σ. «Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων»
2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Στοιχεία στοχαστικών διαδικασιών Διαδικασία Poisson Διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων 2 Το M/M/1 Χρονικά εξαρτημένη συμπεριφορά Οριακή συμπεριφορά Μέτρα απόδοσης Περίοδος συνεχούς απασχόλησης υπαλλήλου 3 Το M/M/1 retrial
3 Η στοχαστική επιχειρησιακή έρευνα αποτελεί ένα σύνολο μαθηματικών τεχνικών για την μοντελοποίηση, μελέτη και βελτιστοποίηση «συστημάτων». Οι βασικές παράμετροι των «συστημάτων» είναι τυχαίες μεταβλητές. Τα υπό μελέτη χαρακτηριστικά των εν λόγω συστημάτων μοντελοποιούνται με την εισαγωγή στοχαστικών διαδικασιών. Πολλά από τα προβλήματα που εμφανίζονται στον εν λόγω κλάδο, μοντελοποιούνται και αναλύονται με την βοήθεια διαφορικών εξισώσεων διαφορών. Στοχαστική Ε.Ε. Συστήματα αναμονής Μοντέλα ανάπτυξης πληθυσμού
4 Συστήματα αναμονής Θ.Σ.Α. παρέχει μαθηματικά πρότυπα-μοντέλα που περιγράφουν την συμπεριφορά πραγματικών συστημάτων που παρέχουν εξυπηρέτηση σε ζητήσεις που εμφανίζονται «τυχαία». Μελέτη προβλημάτων συνωστισμού Ενας πληθυσμός από οντότητες «(πελάτες») θέλει να λάβει εξυπηρέτηση απο έναν σταθμό (service system) με πεπερασμένη χωρητικότητα και απόδοση. Εφαρμογές: Καθημερινότητα (τράπεζες, ταχυδρομεία, cinema, super-market, Μ.Μ.Μ.), Συγκοινωνιακά συστήματα, Τηλεπικοινωνίες, Ασύρματα δίκτυα, Δίκτυα Η/Υ, Βιομηχανία...
5 άφιξη πελατών άφιξη πακέτων πληροφορίας, εργασιών υπάλληλοι κανάλια μετάδοσης, επεξεργαστής CPU Βασικός συμβολισμός X [Y ] /Z [W ] /n/k πειθαρχία ουράς. όπου X : Y : Z : W : n : K : αφορά την κατανομή αφίξεων. αφορά την κατανομή του αριθμού πελατών ανά άφιξη. αφορά την κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης. αφορά την κατανομή του αριθμού πελατών ανά εξυπηρέτηση. αριθμός υπαλλήλων. χωρητικότητα συστήματος. Μέτρα απόδοσης: 1. Κατανομή πιθανότητας αριθμού πελατών στο σύστημα, 2. Waiting time, 3. Busy period.
6 Στοιχεία στοχαστικών διαδικασιών Ασχολείται με την μελέτη συστημάτων φαινομένων που εξελίσονται στον χρόνο σύμφωνα με πιθανοθεωρητικούς νόμους. Είναι μια συλλογή τ.μ. {X (t), t T }. T : παραμετρικός χώρος (εκφράζει χρόνο). E : Χώρος καταστάσεων (τιμές της X (t)). Στόχος: Η κατανόηση της συμπεριφοράς της X (t), t T με απότερο σκοπό την πρόβλεψη και τον έλεγχο της μελλοντικής της συμπεριφοράς = Εύρεση της κατανομής πιθανότητας της {X (t), t T }. Θα ασχοληθούμε με στ. δ. συνεχούς χρόνου με διακριτό χώρο καταστάσεων.
7 Στοιχεία στοχαστικών διαδικασιών Παρέχει πληροφορίες για την αποτίμηση της απόδοσης 1 συστημάτων παροχής εξυπηρέτησης, 2 τηλεπικοινωνιακών δικτύων, 3 δικτύων Η/Υ, 4 στον έλεγχο αποθεμάτων, 5 στον έλεγχο και αντικατάσταση εξαρτημάτων 6 προβλήματα ανάπτυξης πληθυσμού, 7 Προβλήματα οικολογικών αντιπαραθέσεων Διαδικασία εφαρμογής 1 Δεδομένου του δυναμικού συστήματος, όρισε μια στ.δ. που θα περιγράφει επαρκώς το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει. 2 Δοθείσης της στ.δ. εξάγουμε αποτελέσματα σχετικά με το σύστημα: 1 Προσομοίωση 2 Με χρήση κατάλληλων μαθηματικών τεχνικών
8 Στοιχεία στοχαστικών διαδικασιών Μαρκοβιανές διαδικασίες: Εστω {X (t), t T } στ.δ. με χώρο καταστάσεων E = {0, 1,...}. {X (t), t T } είναι Μαρκοβιανή αν P(X (t+s) = j X (s) = i, X (u), 0 u < s) = P(X (t+s) = j X (s) = i). Θα είναι χρονικά ομογενής αν-ν P(X (t+s) = j X (s) = i) = P(X (t) = j X (0) = i) = p ij (t), i, j E. Chapman-Kolmogorov εξισώσεις p ij (t + h) = k E p ik(h)p kj (t) p ij (t + h) = k i p ik(h)p kj (t) + p ii (h)p ij (t) p ij (t+h) p ij (t) h = p ik (h) k i h p kj (t) + p ii (h) 1 h p ij (t) h 0 p ij (t) = k i q ikp kj (t) q ii p ij (t) P (t) = P(t) = P(t)Q e Qt, (P(0) = I).
9 Στοιχεία στοχαστικών διαδικασιών Αν t, P (t) = P(t)Q πq = 0 όπου π = (π 0, π 1...), με π 1 = 1. ΒΑΣΙΚΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ Η {X (t)} παραμένει σε μια κατάσταση i για χρονικό διάστημα που ακολουθεί εκθετική κατανομή και ακολούθως, με δεδομένη πιθανότητα, μεταβαίνει σε μια μια άλλη κατάσταση j, j i (q ij ). Q = (q ij ), πίνακας ρυθμών μετάβασης.
10 Διαδικασία Poisson Η απλούστερη Μαρκ. διαδικασία. Διαδικασία απαρίθμησης: Μετρά αριθμό συμβάντων στο (0, t]: Εστω {X (t), t 0}, X (0) = 0. Γεγονότα που συμβαίνουν σε μη-επικαλυπτόμενα χρ. διαστήματα είναι ανεξάρτητα, χρονικά ομογενής προσαυξήσεις P(X (t + h) = n + 1 X (t) = n) = λh + o(h), P(X (t + h) = n X (t) = n) = 1 λh + o(h), P(X (t + h) = n + m X (t) = n) = o(h), m > 1. lim h 0 o(h) h = 0. Θα δείξουμε ότι P(X (t) = j) = p j (t) = e λt (λt)j. j!
11 Διαδικασία Poisson Απο C K, για j > 0 p j (t + h) = p j (t)p(no arrival in (t, t + h)) +p j 1 (t)p(1 arrival in (t, t + h)) = p j (t)(1 λh + o(h)) + p j 1 (t)(λh + 0(h)) p j (t+h) p j (t) h = p j (t)λ + p j 1 (t)λ + o(h) h Για j = 0 p 0 (t + h) = p 0 (t)p(no arrival in (t, t + h)) = p 0 (t)(1 λh + o(h)) p 0 (t+h) p 0 (t) h = p 0 (t)λ + o(h) h
12 Διαδικασία Poisson Αν h 0, dp 0 (t) dt = λp 0 (t), dp j (t) dt = λp j (t) + λp j 1 (t), j > 0. με p 0 (0) = 1, p j (0) = 0, j > 0. Α) Αναδρομική επίλυση του συστήματος δ.ε. Για j = 0 p 0 (t) = p 0 (0)e λt = e λt. Αντικαθιστώ την παραπάνω στην 2η για j = 1 και έχουμε p 1 (t) + λp 1(t) = λe λt p 1 (t) = e λt [p 1 (0) + t 0 λe λx e λx 1 dx] = λte λt. Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω και αντικαθιστώντας στην 2η για j = 2: p 2 (t) + λp 2(t) = λ 2 te λt p 2 (t) =... = (λt)2 2 e λt. Ομοίως p j (t) = (λt)j j! e λt.
13 Διαδικασία Poisson Β) Γεννήτριες συναρτήσεις Εστω, G(z, t) = j 0 p j (t)z j, z 1. Εφαρμόζοντας στο σύστημα δ.ε.δ. θα έχουμε, dp 0 (t) dt z 0 = λp 0 (t)z 0, dp j (t) dt z j = λz j p j (t) + λzp j 1 (t)z j 1, j > 0. Αθροίζοντας κατά μέλη Άρα G(z, t) + λ(1 z)g(z, t) = 0. t G(z, t) = G(z, 0) exp[ t 0 λ(1 z) dx] = e λ(z 1) t, (G(z, 0) = 1). 1
14 Διαδικασία Poisson Ομως G(z, t) = e λ(z 1) t = e λt e zλ = j 0 e λt (λt)j z j, j! και επομένως p j (t) = e λt (λt)j. j!
15 Διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων Εστω μια CTMC {X (t) t 0} με στατικές πιθανότητες μετάβασης p in (t) = P(X (t + s) = n X (s) = i) = p n (t). Οι αλλαγές των καταστάσεων στο (t, t + h) γίνονται ως εξής: 1 p n,n+1 (h) = λ n h + o(h), 2 p n,n 1 (h) = µ n h + o(h), 3 p n,n (h) = 1 (λ n + µ n )h + o(h), 4 p n,j (h) = o(h), j n, n 1, n + 1.
16 Διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων Απο C K για n > 0 p n (t + h) = p n (t)p n,n (h) + p n 1 (t)p n 1,n (h) +p n+1 (t)p n+1,n (h) = p n (t)[1 (λ n + µ n )h + o(h)] +p n 1 (t)[λ n 1 h + o(h)] + p n+1 (t)[µ n+1 h + o(h)] p n(t+h) p n(t) h = p n (t)(λ n + µ n ) + p n 1 (t)λ n 1 +p n+1 (t)µ n+1 + o(h) h. Για n = 0, p 0 (t + h) = p 0 (t)p 0,0 (h) + p 1 (t)p 1,0 (h) = p 0 (t)[1 λ 0 h + o(h)] + p 1 (t)[µ 1 h + o(h)] p 0 (t+h) p 0 (t) h = p 0 (t)λ 0 + p 1 (t)µ 1 + o(h) h,
17 Διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων Οταν h 0, έχουμε το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων διαφορών: dp 0 (t) dt = λ 0 p 0 (t) + µ 1 p 1 (t), dp n(t) dt = (λ n + µ n )p n (t) + µ n+1 p n+1 (t) + λ n 1 p n 1 (t), n > 0. Οταν t, dpn(t) dt 0, p n (t) π n και άρα, λ 0 π 0 = µ 1 π 1, (λ n + µ n )π n = µ n+1 π n+1 + λ n 1 π n 1, n > 0. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα ε.δ. αναδρομικά π 1 = λ 0 µ 1 π 0. Αντικαθιστώντας στην 2η για n = 1... π 2 = λ 1 µ 2 π 1 = λ 0λ 1 µ 1 µ 2 π 0.
18 Διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων Συνεχίζοντας, Ομως πρέπει π n = λ 0λ 1...λ n 1 µ 1 µ 2...µ n π 0, n 1. 1 = n π n = π 0 [1 + n 1 λ 0 λ 1...λ n 1 µ 1 µ 2...µ n ]. Αν η σειρά τότε n 1 π 0 = [1 + n 1 λ 0 λ 1...λ n 1 µ 1 µ 2...µ n <, λ 0 λ 1...λ n 1 µ 1 µ 2...µ n ] 1.
19 1 Αφίξεις: Poisson, λ > 0, 2 Εξυπηρετήσεις: exp(µ), µ > 0. 3 Απειρος χώρος αναμονής. 4 Διαδικασίες αφίξεων-εξυπηρετήσεων ανεξαρτητες. 5 Πειθαρχία ουράς: FIFO (First In First Out). Κατανομή του αριθμού των πελατών Εστω {N(t), 0 t < }, στοχαστική διαδικασία που παριστά τον αριθμό των πελατών στο σύστημα την χρονική στιγμή t, με χώρο καταστάσεων E = {0, 1, 2,...}. p n (t) = P(N(t) = n N(0) = 0), n 0. Το σύστημα αλλάζει κατάσταση: 1 όταν έρθει πελάτης, 2 όταν ολοκληρωθεί η εξυπηρέτηση ενός πελάτη και αυτόω αναχωρήσει.
20 Προφανώς η {N(t), 0 t < } είναι Μαρκοβιανή και χρονικά ομογενής (Γιατί;). Ομως p 0 (0) = 1 (p n (0) = 0, n = 1, 2,...). Ενδιαφερόμαστε για αλλαγές των καταστάσεων στο χρονικό διάστημα (t, t + dt) (Chapman-Kolmogorov). Λόγω των ιδιοτήτων της διαδικασίας Poisson και της εκθετικής κατανομής θα έχουμε τις ακόλουθες μεταβάσεις στο (t, t + dt): 1 P(1 άφιξη στο (t, t + dt)) = λdt + o(dt), 2 P(καμία άφιξη στο (t, t + dt)) = 1 λdt + o(dt), 3 P(περισσότερες από μια αφίξεις στο (t, t + dt)) = o(dt). 1 P(1 αναχώρηση στο (t, t + dt)) = µdt + o(dt), 2 P(καμία αναχώρηση στο (t, t + dt)) = 1 µdt + o(dt), 3 P(περισσότερες από μια αναχωρήσεις στο (t, t + dt)) = o(dt). lim dt 0 o(dt) dt = 0.
21 Chapman-Kolmogorov Εξισώσεις: 1 n > 0 p n (t + dt) = p n (t)p n,n (dt) + p n 1 (t)p n 1,n (dt) +p n+1 (t)p n+1,n (dt) = p n (t)[1 (λ + µ)dt + o(dt)] +p n 1 (t)[λdt + o(dt)] + p n+1 (t)[µdt + o(dt)] p n(t+dt) p n(t) dt = p n (t)(λ + µ) + p n 1 (t)λ + p n+1 (t)µ + o(dt) dt 2 n = 0 p 0 (t + dt) = p 0 (t)p 0,0 (dt) + p 1 (t)p 1,0 (dt) = p 0 (t)[1 λdt + o(dt)] + p 1 (t)[µdt + o(dt)] p 0 (t+dt) p 0 (t) dt = p 0 (t)λ + p 1 (t)µ + o(dt) dt.
22 Οταν dt 0, έχουμε το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων διαφορών: dp 0 (t) dt = λp 0 (t) + µp 1 (t), dp n(t) dt = (λ + µ)p n (t) + µp n+1 (t) + λp n 1 (t), n > 0. 1 Difference-equation method. 2 z-transform method. Το M/M/1 είναι ειδική περίπτωση διαδικασίας γεννήσεων-θανάτων με λ n = λ, n 0, µ n = µ, n 1.
23 Χρονικά εξαρτημένη συμπεριφορά Difference-equation method Εστω π n (s) = L(p n (t)) = 0 e st p n (t)dt, Re(s) > 0. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα έχουμε L( dp n(t) ) = sl(p n (t)) p n (0), dt (s + λ)π 0 (s) = 1 + µπ 1 (s), (s + λ + µ)π n (s) = µπ n+1 (s) + λπ n 1 (s), n > 0. (1) Η δευτερη είναι εξίσωση διαφορών 2ης τάξης με γενική λύση π n (s) = Ax + (s) n + Bx (s) n, n 1, όπου A, B σταθερές και x ± (s) οι λυσεις της χαρακτηριστική εξίσωσης, µx 2 (s + λ + µ)x + λ = 0,
24 Χρονικά εξαρτημένη συμπεριφορά όπου x ± (s) = (s+λ+µ)± (s+λ+µ) 2 4λµ 2µ, x + (s) + x (s) = s+λ+µ µ, x + (s)x (s) = λ µ, x +(s) > x (s). Θεώρημα 1 (Θεωρημα Rouché) Αν f (x), g(x) είναι αναλυτικές συναρτήσεις μέσα και πάνω σε μια κλειστή καμπύλη C, και αν g(x) < f (x), x C, τότε η f (x) και η f (x) + g(x) έχουν τον ίδιο αριθμό ριζών εντός της C. Στην περίπτωση μας θεωρούμε ως C, τον μοναδιαίο κύκλο x = 1, f (x) = (s + λ + µ)x, g(x) = λ + µx 2, Re(s) > 0. Τότε, f (x) = (s + λ + µ)x = s + λ + µ λ + µ = λ + µ λ + µx 2 = g(x).
25 Χρονικά εξαρτημένη συμπεριφορά Επομένως η χαρακτηριστική εξίσωση f (x) + g(x) = µx 2 (s + λ + µ)x + λ = 0, έχει ακριβώς μια ρίζα εντός του μοναδιαίου κύκλου C. Δηλ. x (s) < 1 < x + (s). Ομως p n (t) = 1 n=0 π n (s) = 1/s, Re(s) > 0. n=0 Αρα π n (s) = (Ax + (s) n + Bx (s) n ) πρέπει να συγκλίνει και μιας και x + (s) > 1, A = 0 και π n (s) = Bx (s) n.
26 Χρονικά εξαρτημένη συμπεριφορά Χρησιμοποιώντας την 1 s = π n (s) = B x (s) n B = 1 x (s) B = 1 x (s). s n=0 Επομένως n=0 π n (s) = (1 x (s))x (s) n, n 0, Re(s) > 0. (2) s Ομως p n (t) = L 1 (π n (s)). Γνωρίζουμε ότι (x + (s) 1)(1 x (s)) = x + (s) + x (s) x + (s)x (s) + 1 = s µ 1 x (s) = s µ(x +(s) 1). Άρα, μιας και x + (s)x (s) = λ µ = ρ, π n (s) = x (s) n µ(x + (s) 1) = ρ n /µ ρn (x + (s) 1)x+ n = (s) µ m=0 1 x + (s) m+n+1. (3)
27 Χρονικά εξαρτημένη συμπεριφορά Είναι γνωστό ότι όπου L(e (λ+µ)t n t (2 λµ) n I n (2t λµ)) = 1 x n, x = s + λ + µ + (s + λ + µ) 2 4λµ και I n (s) η modified συνάρτηση Bessel n-τύπου, I n (s) = m=0 (s/2) n+2m m!(m + n)!, και η αντιστροφή της π n (s) δίνεται από p n (t) = ρn e (λ+µ)t µt (m + n + 1)ρ (m+n+1)/2 I m+n+1 (2t λµ). m=0
28 Χρονικά εξαρτημένη συμπεριφορά The z-transform method Εστω για z < 1, Re(s) > 0 P(z, t) = n=0 p n(t)z n, Π(z, s) = 0 e st P(z, t)dt. Χρησιμοποιώντας το συστημα διαφορικών εξισώσεων διαφορών, dp n(t) n 0 dt z n = (λ + µ) n=0 p n(t) + µp 0 (t) +λz n=1 p n 1(t)z n 1 + µ P(z,t) t = (λ + µ)p(z, t) + µp 0 (t) + λzp(z, t) + µ z (P(z, t) p 0(t)) n=0 p n+1(t)z n z P(z,t) t = (λz 2 (λ + µ)z + µ)p(z, t) µ(1 z)p 0 (t). Εφαρμόζοντας Laplace transform στην παραπάνω εξίσωση ) = sπ(z, s) P(z, 0)) καταλήγουμε στην, (L( P(z,t) t Π(z, s) = µ(1 z)π 0(s) zp(z, 0) λz 2 (s + λ + µ)z + µ.
29 Χρονικά εξαρτημένη συμπεριφορά Δυο άγνωστοι: π 0 (s) και P(z, 0). Αφου p 0 (0) = 1, τότε P(z, 0) = 1 και Π(z, s) = µ(1 z)π 0 (s) z λz 2 (s + λ + µ)z + µ. Απο θεώρημα Rouché, ο παρονομαστής έχει 2 ρίζες, z 1 (s), z 2 (s) με z 1 (s) = 1 x, z +(s) 2(s) = 1 x (s). Άρα, z 1 (s) < 1 < z 2 (s). Η P(z, s) είναι αναλυτική εντός του μοναδιαίου κύκλου και επομένως η μόνη ρίζα του παρονομαστή (εντός του z < 1) θα είναι και ρίζα του αριθμητή. Άρα, π 0 (s) = z 1 (s) µ(1 z 1 (s)).
30 Χρονικά εξαρτημένη συμπεριφορά Τότε, Π(z, s) = = 1 x + (s) z λ(z 1 x + (s) )(z 1 x (s) )(1 1 x + (s) ) x +(s)x (s) λ(x +(s) 1)(1 zx (s)) = x+(s)x (s) λ(x +(s) 1) n=0 (zx (s)) n = x+(s)x (s)(1 x (s)) λ(x +(s) 1)(1 x (s)) n=0 (zx (s)) n (since (x + (s) 1)(1 x (s)) = s µ ) n=0 (zx (s)) n = x+(s)x (s)(1 x (s)) λ s µ = (1 x (s)) s n=0 (zx (s)) n (since x + (s)x (s) = λ µ ) = (1 x (s))x (s) n n=0 s z n, και επομένως π n (s) = (1 x (s))x (s) n. s
31 Οριακή συμπεριφορά Εστω οτι t. Ενδιαφερόμαστε για Α) Γνωρίζουμε ότι, π n = lim t p n (t). Ομως π n = lim t p n (t) = lim s 0 sπ n (s) = lim s 0 (1 x (s))x (s) n. lim s 0 x (s) = = s+λ+µ (s+λ+µ) lim 2 4λµ { s 0 2µ ρ, λ < µ, 1, λ µ. dp Β) (Αναδρομική επίλυση) Μιας και lim n(t) t dt έχουμε λπ 0 = µπ 1, (λ + µ)π n = µπ n+1 + λπ n 1, n > 0. = 0 θα
32 Οριακή συμπεριφορά Λύνοντας την πρώτη έξουμε π 1 = λ µ π 0. Θέτοντας n = 1 στην 2η και χρησιμοποιώντας την παραπάνω, Ομοίως Ομως π 2 = λ µ π 1 = ( λ µ )2 π 0 = ρ 2 π 0. π n = λ µ π n 1 =... = ( λ µ )n π 0 = ρ n π 0, n 0. π n = 1 1 = π 0 ρ n. n 0 n 0 Πρέπει ρ < 1 για να συγκλίνει η σειρά. Άρα όταν ρ < 1 (συνθήκη στατιστικής ισορροπίας) 1 = π ρ π 0 = 1 ρ π n = (1 ρ)ρ n.
33 Οριακή συμπεριφορά Γ) (Direct approach) λπ 0 = µπ 1, (λ + µ)π n = µπ n+1 + λπ n 1, n > 0. Η 2η είναι εξίσωση διαφορών 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Η γενική της λύση είναι π n = c 1 x n 1 + c 2 x n 2, n = 0, 1, 2,... όπου x 1, x 2 είναι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης µx 2 (λ + µ) + λ = 0, και έξει 2 λύσεις x 1 = 1, x 2 = λ/µ = ρ. Άρα π n = c 1 + c 2 ρ n, n = 0, 1, 2,... Προσδιορισμός c 1, c 2 : Απο την 1η, λ(c 1 + c 2 ) = µ(c 1 + c 2 ρ) c 1 = c 1 ρ c 1 = 0.
34 Οριακή συμπεριφορά Άρα π n = c 2 ρ n και αφού n π n = 1 c 2 ρ n 1 = 1 c 2 1 ρ = 1 c 2 = 1 ρ π n = (1 ρ)ρ n. n Δ) (Generating function approach) Εστω Π(z) = n 0 π nz n, z < 1. λπ 0 z 0 = µπ 1 z 0, (λ + µ)π n z n = µπ n+1 z n + λπ n 1 z n, n > 0. Αθροίζοντας κατ ά μέλη καταλήγουμε στην Π(z)[(z 1)(1 ρz)] = π 0 (z 1) Π(z) = π 0 1 zρ. Ομως Π(1) = 1 και επομέμως π 0 = 1 ρ. Άρα Π(z) = 1 ρ 1 zρ = (1 ρ) n Επομένως π n = (1 ρ)ρ n, ρ n z n = n (1 ρ)ρ n z n.
35 Μέτρα απόδοσης 1 Αναμενόμενος αριθμός πελατών στο σύστημα. E(N) = nπ n = d dz Π(z) ρ z=1 = (1 ρ) (1 ρ) 2 = ρ 1 ρ. n (4) 2 Αναμενόμενος αριθμός πελατών στην ουρά: έστω π 0 = π 0 + π 1, π n = π n E(N q ) = n n π n =... = ρ2 1 ρ. (5) 3 Αναμενόμενος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στο σύστημα: Από νόμο του Little E(W ) = E(N) λ = 1 µ(1 ρ). (6)
36 Περίοδος συνεχούς απασχόλησης υπαλλήλου Ορισμός: Η χρονική περίοδος (BP : busy period) από την στιγμή που το σύστημα ήταν άδειο και ένας πέλάτης φθάνει, μέχρι τη στιγμή που το σύστημα μένει άδειο πάλι για πρώτη φορά. C n: Ο χρόνος μέχρι να αδειάσει το σύστημα όταν υπάρχουν n πελάτες. Άρα BP = C 1. Ψαχνω την κατανομή της C 1, c 1 (t). Τότε για n > 0 C n = X + { Cn+1, with prob. λ C n 1, with prob. λ+µ, µ λ+µ, με X Χρόνος παραμονής στην κατάσταση n και X exp(λ + µ). Αν c n(s) = 0 e st c n (t)dt, f X (s) = 0 e st f X (t)dt = λ + µ s + λ + µ.
37 Περίοδος συνεχούς απασχόλησης υπαλλήλου Απο ιδιότητες Laplace μετασχηματισμών c n(s) = λ+µ s+λ+µ [ λ λ+µ c n+1 (s) + µ λ+µ c n 1 (s)] (s + λ + µ)c n(s) = λc n+1 (s) + µc n 1 (s). με γενική λύση c n(s) = d 1 x n 1 (s) + d 2 x n 2 (s), όπου τα x 1,2 (s) με x 1 (s) 1 < x 2 (s), λύσεις της λx 2 (s + λ + µ)x + µ = 0. Αφού 0 cn(s) 1 πρέπει d 2 = 0. Επιπλέον μιας και C 0 = 0, τότε c0 (s) = 1. Επομένως c n(s) = x1 n (s). Άρα, c 1 (s) = x 1(s) = s+λ+µ (s+λ+µ) 2 4λµ 2λ, E(BP) = d ds c 1 (s) s=0 = 1 µ(1 ρ).
38 Περίοδος συνεχούς απασχόλησης υπαλλήλου Αντιστρέφοντας τον c1 (s) θα έχουμε την κατανομή του χρόνου συνεχούς απασχόλησης f BP (t) = 1 t ρ e (λ+µ)t I 1 (2t λµ), t > 0, όπου I 1 η modified συνάρτηση Bessel 1ου τύπου, I 1 (s) = m=0 (s/2) 1+2m m!(m + 1)!.
39 Συστήματα επαναλαμβανόμενων αφίξεων: Εφαρμογές σε μοντελοποίηση τηλεφωνικών κέντρων, δικτύων Η/Υ, ασύρματων δικτύων... Αφίξεις: Poisson(λ), Εξυπηρετήσεις: exp(ν), Επαναλαμβανόμενες αφίξεις: exp(µ). N(t) : Αριθμός πελατών στο retrial box την χ.στ. t. C(t) : Κατάσταση του server την χ.στ. t. Η {(C(t), N(t)), t 0} Μαρκοβιανή διαδικασία, E = {0, 1} {0, 1, 2,...}. p i,n = lim t P(C(t) = i, N(t) = n). Εξισώσεις Ισορροπίας: p 0,n (λ + nµ) = νp 1,n, p 1,n (λ + ν) = λp 0,n + (n + 1)µp 0,n+1 + λp 1,n 1. Πως θα λυθεί το παραπάνω σύστημα εξισώσων διαφορών;
40 Εστω P 0 (z) = n 0 p 0,n z n, P 1 (z) = n 0 p 1,n z n. Τότε θα έχουμε P 0 (z)λ + P 0 (z)µz = P 1 (z)(λ λz + ν) = νp 1(z), λp 0 (z) + µp 0 (z). Λύνοντας την 2η ως προς P 1 (z) και αντικαθιστώντας στην 1η θα έχουμε την ακόλουθη δ.ε. (χωριζομένων μεταβλητών) P 0 (z) = λρ µ(1 ρz) P 0(z). Άρα, P 0 (z) = const. µ(1 ρz) λ µ
41 Αντικαθιστώντας στην 1η, P 1 (z) = P 0 (z)ρ + P 0 = ρ const µ(1 ρz) λ µ +1. (z) µz ν = P 0(z)ρ + P 0 (z) ρ2 z 1 ρz = P 0(z)ρ 1 ρz const? n 0 (p 0,n + p 1,n ) = P 0 (1) + P 1 (1) = 1 const µ(1 ρ) λ µ const = [1 + ρ 1 ρ ] = 1 const µ(1 ρ) λ µ +1.
P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ
Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,
Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 15/3/2017 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων (I) 1. Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 21/3/2018 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Κατανομή Poisson & Εκθετική Κατανομή Διαδικασία Markov Γεννήσεων Θανάτων (Birth Death Markov Processes) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0
Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Η Ουρά Μ/Μ/1/N Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 22/3/2017 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (1/4) Birth Death Processes
Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου
200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων: 1. Σφαιρικές & Λεπτομερείς Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 27/3/2019 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανάλυση Ουράς Αναμονής M/G/1 Αρχές Ανάλυσης Ουράς M/G/1 Ενσωματωμένη Αλυσίδα Markov (Embedded Markov Chain) Τύποι Pollaczeck - Khinchin (P-K) για Ουρές M/G/1 Μέσες Τιμές
p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: CAM 2.1 Συστήµατα Μ/Μ/1 2.1.1 Ανασκόπηση θεωρίας Η ουρά Μ/Μ/1 είναι η πιο σηµαντική διαδικασία ουράς Άφιξη: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Ακολουθεί εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητής: Ένας Χώρος
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Ουρές Μ/Μ/1, M/M/1/N Προσομοίωση Ουράς Μ/Μ/1/Ν
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Ουρές Μ/Μ/1, M/M/1/N Προσομοίωση Ουράς Μ/Μ/1/Ν Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 23/3/2016 Άδεια Χρήσης
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov: 1. Διαγράμματα Μεταβάσεων Εργοδικών Καταστάσεων 2. Εξισώσεις Ισορροπίας 3. Προσομοιώσεις Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής
Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Κατά τη διάρκεια των καθημερινών μας
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov: 1. Διαγράμματα Μεταβάσεων Εργοδικών Καταστάσεων, Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Προσομοιώσεις, Άσκηση Προσομοίωσης Ουράς M/M/1/10 Βασίλης
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Ουρών Αναμονής Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 13/3/2019 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (1/3) Ένταση φορτίου (traffic intensity) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 8/3/2017 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (1/4) (Επανάληψη) Ένταση φορτίου (traffic intensity)
Στοχαστικές Μέθοδοι στην Επιχειρησιακή Έρευνα Ι. Λύσεις Ασκήσεων
Στοχαστικές Μέθοδοι στην Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Λύσεις Ασκήσεων Λύνονται ορισμένες από τις ασκήσεις του φυλλαδίου της e-class, που τέθηκαν κατά το εαρινό εξάμηνο 218-219. Είναι πιθανόν να υπάρχουν αρκετά
E(S) = P (Q = 0)E(S Q = 0) + P (Q = 1)E(S Q = 1) E(S) = p 0 E(X) + p 1 0 = bp 0. p 0 + p 1 = 1 p 0 = 1
Ουρές Αναμονής Παύλος Ζουμπούλογλου 15 Ιανουαρίου 2019 1 Πρόλογος Το έγγραφο αυτό δημιουργήθηκε στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Ουρές Αναμονής όπως διδάχθηκε το Χειμερινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού
Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov
Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς
Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις
Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή βασικών μοντέλων τηλεπικοινωνιακής
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές: Ουρά Μ/Μ/2 Σύστημα Μ/Μ/Ν/Κ, Erlang-C Σύστημα Μ/Μ/c/c, Erlang-B Ανάλυση & Σχεδιασμός Τηλεφωνικών Κέντρων Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/3/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (1/2) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 1/3/2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (1/3) http://www.netmode.ntua.gr/main/index.php?option=com_content&task=view& id=130&itemid=48
Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ουρές //1 εν σειρά, Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov, Θεώρημα Jackson Εφαρμογή σε Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου Κλειστά Δίκτυα Ουρών arkov, Θεώρημα Gordon- Newell
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές: Ουρά Μ/Μ/2 Σύστημα Μ/Μ/Ν/Κ, Erlang-C Σύστημα Μ/Μ/c/c, Erlang-B Ανάλυση & Σχεδιασμός Τηλεφωνικών Κέντρων Βελτιστοποίηση Μέσου Μήκους
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Συστήματα Αναμονής Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1 Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
E[X n+1 ] = c 6 z z 2. P X (z) =
Στοχαστικές Μέθοδοι στην Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Ασκήσεις 2017-2018, έκδοση 1/3/2018 Αντώνης Οικονόμου 1 Υπενθυμίσεις από τις Πιθανότητες 1. Ενας φοιτητής έχει n βιβλία, αριθμημένα ως 1, 2,..., n. Το βιβλίο
Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων
Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Διάλεξη 6: Εισαγωγή στην Ουρά M/G/1 Δρ Αθανάσιος Ν Νικολακόπουλος ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής 18 Νοεμβρίου 2016
Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C. Κατανομή εξυπηρετήσεων
Συμβολισμός Kedel Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C Κατανομή αφίξεων Κατανομή εξυπηρετήσεων Αριθμός των εξυπηρετητών Όπου Α,Β μπορεί να είναι: M κατανομή Posso G κατανομή
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1 Απόδειξη Τύπου Little Ιδιότητα PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) Βασικοί
Θέμα 1 (20%) (α) Πότε είναι εργοδικό το παραπάνω σύστημα; Για πεπερασμένο c, το σύστημα είναι πάντα εργοδικό.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παραδείγματα χρήσης ουρών Μ/Μ/c/K και αξιολόγησης συστημάτων αναμονής Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 5-6-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει
Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης
Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα: Ασκήσεις για τις ενότητες 1 2 (Εισαγωγή Θεμελιώδεις σχέσεις) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα 1.
Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr Χρύσα Παπαγιάννη chrisap@noc.ntua.gr 24/2/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Ουρές Αναμονής Σημειώσεις (πρόχειρες, υπό διαμόρφωση) 2016-2017, έκδοση 2/5/2017 Αντώνης Οικονόμου Οι σημειώσεις αυτές αναπτύσσονται στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Ουρές Αναμονής του Τμήματος
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Τέλεια δέσµη: όλες οι γραµµές της είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο. Ατελής δέσµη: όλες οι γραµµές της δεν είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Α Α Π Σ Δ 11: Ε Σ Α M/G/1 Καθ Γιάννης Γαροφαλάκης ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Το σύστημα αναμονής M/G/1 I Θεωρούμε ένα σύστημα στο οποίο οι πελάτες φθάνουν
a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 2/3/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών
Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών Διαστασιοποίηση Ασύρματου Δικτύου Άγγελος Ρούσκας Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τηλεπικοινωνιακή κίνηση στα κυψελωτά συστήματα Βασικός στόχος
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuig Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@etmode.tua.gr 7/3/2018 1 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ POISSON Η τυχαία εμφάνιση παλμών περιγράφεται σαν
Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 9: Ανέλιξη Γέννησης - Θανάτου. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Συστήματα Αναμονής Ενότητα 9: Ανέλιξη Γέννησης - Θανάτου Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας
Εργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1
Εργαστηριακή Άσκηση 2011-2012 Το σύστημα αναμονής M/G/1 Γιάννης Γαροφαλάκης, Καθηγητής Αθανάσιος Ν.Νικολακόπουλος, Υποψ. Διδάκτορας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξερεύνηση των βασικών ιδιοτήτων
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανάλυση Μεταγωγής Πακέτου - Μοντέλο M/M/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 25/4/2018 ΟΥΡΑ Μ/Μ/2 (επανάληψη) Αφίξεις Poisson με ομοιόμορφο μέσο ρυθμό λ k = λ
Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:
ΕΤΥ: Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15 Τελική Εξέταση 28/02/15 Διάρκεια Εξέτασης: 3 Ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου: Υπογραφή: Ερώτημα: 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Μονάδες:
ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις
ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται
E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (6η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα
Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κλειστά Δίκτυα Ουρών Markov Θεώρημα Gordon Newell Αλγόριθμος Buzen Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/5/2018 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ Μ = 2 Ουρές,
Δίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα 5: Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης (Στοιχεία ΘΤΚ)
Δίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα 5: Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης (Στοιχεία ΘΤΚ) Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Συνιστώμενο
Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B)
ΑΣΚΗΣΗ Β Μέγιστο στήλης Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο 60 5 55 65 5*maximin (A) Π 50 75 70 45 45 Ε 56 30 30 50 30 Υ 40 30 35 55 30 *60 75 70 65 minimax (B) Επειδή maximin (A) minimax (B) δεν υπάρχει ισορροπία
Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii
Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little. Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 8-5-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 5: Μαρκοβιανό σύστημα αναμονής Μ/Μ/s
Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 5: Μαρκοβιανό σύστημα αναμονής Μ/Μ/s Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις :
X = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις
Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 26/4/2017 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ
Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές
Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Βασικές διακριτές κατανομές 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα Το ένα ονομάζεται
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Συστήματα Αναμονής Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Μοντέλα Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών. Ανάλυση Ουρών. Λάζαρος Μεράκος Τμήμα Πληροφορικής &Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών
Μοντέλα Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Ανάλυση Ουρών Λάζαρος Μεράκος Τμήμα Πληροφορικής &Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μενού 1. Εισαγωγή 2. Θεώρημα του Little 3. Σύστημα M/M/1 System 4. Συστήματα
07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)
07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα
1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,
DEPARTMENT OF STATISTICS
SCHOOL OF INFORMATION SCIENCES & TECHNOLOGY DEPARTMENT OF STATISTICS POSTGRADUATE PROGRAM Elements of Markovian Processes and Queueing Processes with Numerical Applications By Erold Ajdini A THESIS Submitted
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος Τµ. Επιστήµης των Υλικών Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών
Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης
Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης 2-1 hp://www.seas.upenn.edu/~com501/lecures/lecure3.pdf Καθυστερήσεις στα ίκτυα Πακέτων Εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών Ανασκόπηση Θεωρίας Πιθανοτήτων ιαδικασία Poisson Θεώρηµα
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ουρές //1 εν Σειρά - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov - Θεώρημα Jackson Εφαρμογή σε Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 25/4/2018
Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών
Τεχνο-οικονοµικά Συστήµατα ιοίκηση Παραγωγής & Συστηµάτων Υπηρεσιών 4. Σχεδιασµός υναµικότητας Το πρόβληµα της δυναµικότητας ιαδικασία Σχεδιασµού Συστήµατα αναµονής Εισηγητής: Θοδωρής Βουτσινάς ρ Μηχ/γος
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 10-7-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 6: Θεωρία Ουρών. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Συστήματα Αναμονής Ενότητα 6: Θεωρία Ουρών Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
H επίδραση των ουρών στην κίνηση ενός δικτύου
H επίδραση των ουρών στην κίνηση ενός δικτύου Ηεπίδραση των ριπών δεδοµένων Όταν οι αφίξεις γίνονται κανονικά ή γίνονται σε απόσταση η µία από την άλλη, τότε δεν υπάρχει καθυστέρηση Arrival s 1 2 3 4 1
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
N Sm+t = max{k N : S k S m + t} = max{k N : E j t} E j+m t} = m + max{r N : Poisson.
Κεφάλαιο 8 Διαδικασίες Poisson 8.1 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάλαιο θα ορίσουμε τις διαδικασίες Poisson και θα μελετήσουμε τις βασικές τους ιδιότητες. Οι διαδικασίες αυτές είναι ίσως οι απλούστερες μη τετριμμένες
Συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών: Ανασκόπιση και μια εφαρμογή ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Έλλη-Άρτεμις Γ.
ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Συστήματα αναμονής με επαναλαμβανόμενες αφίξεις πελατών: Ανασκόπιση
3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.
3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,
ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών
ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα: Ασκήσεις για την ενότητα 5 (Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα
Μοντέλα Συστημάτων Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών
Δίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Μοντέλα Συστημάτων Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Διδάσκων: Λάζαρος Μεράκος Δίκτυα Επικοινωνιών
3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εφαρμογές Κλειστών Δικτύων Ουρών Markov: 1. Ανάλυση Window Flow Control σε Δίκτυα Υπολογιστών 2. Αξιολόγηση Συστημάτων Πολύ-προγραμματισμού (Multitasking) Γενίκευση Μοντέλων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ Ακαδ. Έτος 2011-2012 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr
Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Συστήματα Αναμονής Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοµέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστηµάτων Πηροφορικής Εργαστήριο ιαχείρισης & Βετίστου Σχεδιασµού ικτύων - NETMODE Πουτεχνειούποη
A man should look for what is, and not for what he thinks should be. Albert Einstein
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η Επίδραση της Πληροφόρησης στη Στρατηγική Συμπεριφορά των Πελατών σε Συστήματα Εξυπηρέτησης Διπλωματική εργασία για το Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να
1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα