ΘΕΜΑ 5ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 0) www.oleclassroom.gr Ένας οικονομικός αναλυτής θέλει να διερευνήσει τη σχέση μεταξύ της τιμής ενός αγαθού με τις σημειούμενες πωλήσεις του σε διαφορετικά καταστήματα μιας αστικής περιοχής. Τα δεδομένα που συνέλεξε αφορούν καταστήματα της περιοχής αυτής και συνοψίζονται στο Αρχείο Excel, φύλλο Ask5, όπου η μεταβλητή Χ εκφράζει την τιμή του αγαθού χρηματικές μονάδες (χ.μ.) και η μεταβλητή Υ τις ποσότητες πώλησης του αγαθού σε Kg. α. Να κατασκευασθεί στο Excel το Διάγραμμα Διασποράς των ζευγών τιμών (Χ,Υ) και με βάση αυτό να εξετασθεί αν οι τιμές του αγαθού σχετίζονται γραμμικά με τις σημειούμενες πωλήσεις. (ΜΟΝΑΔΕΣ 3) Από το διάγραμμα φαίνεται να υπάρχει αρνητική σχέση μεταξύ της τιμής του προϊόντος Χ και των ποσοτήτων πώλησης Υ σε 300,0 Διάγραμμα Διασποράς 50,0 00,0 Ποσότητα Πώλησης αγαθού Υ 150,0 0,0 50,0 0,0 0 5 15 0 5 30 Τιμή αγαθού Χ Ποσότητες Πώλησης Αγαθού Υ σε κιλά.

β. Σε περίπτωση που διαπιστωθεί ότι υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών Χ και Y τότε:. Να εκτιμήσετε τις παραμέτρους α και β του γραμμικού υποδείγματος Y = α + βx + u με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων εφαρμόζοντας τους τύπους που απαιτούν τη χρήση αποκλίσεων των μεταβλητών από τους μέσους. Να ερμηνευθούν οι συντελεστές του υποδείγματος. (Να δημιουργηθεί στο Excel κατάλληλος Πίνακας στον οποίο να γίνουν οι προαπαιτούμενοι υπολογισμοί).(μοναδεσ 3) Για την παράμετρο β χρησιμοποιούμε τον τύπο Y Y X X X X 385,66 33,91 11,54 (τυπολόγιο στατιστικής σελ. 11). Για την παράμετρο α χρησιμοποιούμε τον τύπο Y X 180,4 ( 11,37) * 4,9 456,66 (τυπολόγιο στατιστικής σελ. 11) Η ευθεία που προκύπτει είναι Y = 456,66 11,37X Ποσότητες Τιμή Αριθμός Πώλησης αγαθού Καταστήματος Αγαθού Υ Χ (σε κιλά) X X Y Y X 1 3 198,0-1,9 17,6 -,704 1,6641 4,5 181,0 0,1 0,6 0,16 0,0441 3 4 170,0-0,9 -,4 3,016 0,0841 4 7, 179,0,91-1,4-4,074 8,4681 5 7 163,0,71-17,4-47,154 7,3441 6 4,4 145,0 0,11-35,4-3,894 0,011 7 4,7 167,0 0,41-13,4-5,494 0,1681 8,1 03,0 -,19,6-49,494 4,7961 9 1 51,0-3,9 70,6-3,74,841 5 147,0 0,71-33,4-3,714 0,5041 Σύνολο 4,90 1.804,00-385,66 33,91 Μέσοι 4,9 180,40 X Y Y X X

www.oleclassroom.gr Ερμηνεία Άλφα: Αν η μεταβλητή Χ πάρει την τιμή 0 (Χ=0) δηλαδή αν το αγαθό Χ διατίθεται δωρεάν τότε η μεταβλητή Υ λαμβάνει την τιμή 456,66 (Υ = 456,66). Ερμηνεία Βήτα: Επίσης η παράμετρος β είναι η κλίση της ευθείας και δείχνει ότι η μεταβλητή Υ μειώνεται κατά 11,37 μονάδες όταν η μεταβλητή Χ αυξάνεται κατά μία μονάδα.. Να εκτιμήσετε τις παραμέτρους α και β του γραμμικού υποδείγματος Y = α + βx + u με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων εφαρμόζοντας τους τύπους που δεν απαιτούν τη χρήση αποκλίσεων των μεταβλητών από τους μέσους. (Να επεκταθεί ο πίνακας του ερωτήματος β() ώστε να φαίνονται οι προαπαιτούμενοι υπολογισμοί).(μοναδεσ 3) X Y X * Y Για την παράμετρο β χρησιμοποιούμε τον τύπο (τυπολόγιο X X στατιστικής σελ. 11). Επομένως X Y 4,90*1.804 438.191,60 X * Y 43.433,50 43.433,50 4,90 59.000,41 X 5.933,95 5.933,95 X 43.433,50 43.819,16 385,66 11,37 5.933,95 5.900,04 33,91 Για την παράμετρο α χρησιμοποιούμε τον τύπο Y X (τυπολόγιο στατιστικής σελ. 11) Επομένως Y X 180,4 ( 11,37) * 4,9 456, 66

www.oleclassroom.gr γ. Με βάση το γραμμικό μοντέλο Y = α + βx + u να εκτιμήσετε τις σημειούμενες πωλήσεις όταν η τιμή του αγαθού ισούται με τον αριθμητικό μέσο των τιμών του αγαθού, όταν η τιμή του αγαθού είναι 1 καθώς και όταν διατίθεται δωρεάν. (ΜΟΝΑΔΕΣ 3) Η εξίσωση που προσδιορίσαμε είναι: Y = 456,66 11,37X Αν η μεταβλητή Χ λάβει τη μέση τιμή της, δηλαδή αν Χ = 4,9 τότε η μεταβλητή Υ θα λάβει την τιμή Y = 456,66 11,37*4,9 = 180,48. Αν η μεταβλητή Χ λάβει την τιμή Χ = 1 τότε η μεταβλητή Υ θα λάβει την τιμή Y = 456,66 11,37*1 = 17,89. Αν η μεταβλητή Χ λάβει την τιμή 0, δηλαδή αν διανέμεται δωρεάν τότε η μεταβλητή Υ θα λάβει την τιμή Y = 456,66 11,37* 0 = 456,66. δ. Αξιολογήστε τις εκτιμήσεις του ερωτήματος (γ). (ΜΟΝΑΔΕΣ 3) Παρατηρούμε ότι για Χ = 4,9 το μοντέλο υποστηρίζει ότι η πωλούμενη ποσότητα θα έπρεπε να ήταν 180,48 τεμάχια ενώ η πραγματική πωλούμενη ποσότητα για κοντινές τιμές των καταστημάτων 6 και 7 είναι Χ 6 = 4,4 και Χ 7 = 4,7 είναι αρκετά μακριά, Υ 6 = 145 και Υ 7 = 167. Η μόνη κοντινή τιμή είναι του καταστήματος όπου για Χ =4,5 έχουμε Υ =181. Για X 9 =1 9o κατάστημα οι πωλήσεις ανέρχονται σε Υ 9 =51 που είναι επίσης πολύ μακριά από την εκτιμηθείσα τιμή Υ=17,89. Για τιμή X=0 δεν υπάρχει κατάστημα να πουλάει σε κοντινή τιμή άρα δεν μπορούμε να ελέγξουμε την αξιοπιστία της εκτίμησής μας.

www.oleclassroom.gr ε. Για το γραμμικό μοντέλο Y = α + βx + u να υπολογισθεί ο συντελεστής συσχέτισης και προσδιορισμού εφαρμόζοντας τους τύπους που απαιτούν τη χρήση αποκλίσεων από τους μέσους και να ερμηνευτούν. (Ο υπολογισμός να γίνει και με το Excel). (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) Ο συντελεστής συσχέτισης υπολογίζεται από τον τύπο τυπολόγιο στατιστικής σελ. 11. r Y Y X X Y Y X X Ο συντελεστής προσδιορισμού R υπολογίζεται με τον τύπο: R Συνεπώς r Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X r r 385,66 r 0,7074 8.766,40 * 33,91 Υπάρχει αρνητική συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ όχι όμως ιδιαίτερα ισχυρή. Η τιμή του συντελεστή r υποδηλώνει ότι η πωλούμενη ποσότητα του αγαθού Υ εξαρτάται και από άλλες μεταβλητές πέραν από την τιμή του αγαθού Χ., Επομένως δεδομένου ότι ο συντελεστής συσχέτισης είναι γνωστός R = (-0,7074) =0,5003 που σημαίνει ότι μόλις το 50% της μεταβλητότητας των πωλήσεων ερμηνεύεται από τη μεταβολή της τιμής. E-mal: fo@oleclassroom.gr