ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ 2 =Ε(Χ 2 )-µ 2 ΑΣΚΗΣΗ 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ 2 =Ε(Χ 2 )-µ 2 ΑΣΚΗΣΗ 2"

Νικόλαος Δουρέντης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ =Ε(Χ )-µ ΑΣΚΗΣΗ Ν'αποδειχθεί η σχέση : Cov(X,Υ)=Ε(ΧΥ)-Ε(Χ)Ε(Υ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Να δείξετε ότι οι σχέσεις u = 0 και Xu = 0 αποτελούν µια άλλη µορφή των κανονικών εξισώσεων. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να δείξετε ότι β+ ' β = rxy όπου β ' είναι ο συντελεστής παλινδρόµησης όταν η Χ είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να δείξετε ότι ο εκτιµητής 0 β που προκύπτει από τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων είναι: α) αµερόληπτος εκτιµητής του β 0, β) άριστος γραµµικός αµερόληπτος εκτιµητής του β 0. ΑΣΚΗΣΗ 6 Να αποδείξετε τη σχέση V ( β ) * Τ Τ Χ Τ Χ. 0 = σ ΑΣΚΗΣΗ 7 Υ Υ.Έστω β = όπου (Υ,Χ ) είναι ή πρώτη παρατήρηση και Χ Χ

2 (Υ Τ,Χ Τ ) η τελευταία, σ'ένα δείγµα από Τ παρατηρήσεις. * α) Μπορεί ο β να θεωρηθεί σαν εκτιµητής του συντελεστή β στο υπόδειγµα Y= β 0 +β X+u; β) Να βρεθούν ο µέσος και η διακύµανση του. γ) Να συγκριθεί µε τον εκτιµητή β που πρόκυπτε ι από τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. ΑΣΚΗΣΗ 8 Έστω οι ακόλουθες υποθετικές παρατηρήσεις για τη ζήτηση ενός αγαθού Α. Υ=ποσότητα (σε κιλά) Χ=τιµή κιλού (σε δρχ.) 3,0 3,5 3, 3,0 4,0 3,7 α) Αν η συνάρτηση της ζήτησης είναι της µορφής Υ= β 0 + β Χ+ιι, να εκτιµηθούν οι παράµετροι βο, β µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. β) Να υπολογισθεί η ελαστικότητα της ζήτησης στο σηµείο ( Χ, Υ ). γ) Σχολιάστε τα αποτελέσµατα από οικονοµική άποψη. (Αναφερθείτε στα πρόσηµα των εκτιµήσεων καθώς και στο µέγεθος τους). δ) Ν'αξιολογηθούν τα αποτελέσµατα µε βάση στατιστικά κριτήρια. (Υπολογίστε το συντελεστή προσδιορισµού, τα τυπικά σφάλµατα των συντελεστών και κατόπιν κάνετε ελέγχους σηµαντικότητας των συντελεστών. Τις εναλλακτικές υποθέσεις θα τις διατυπώσετε σύµφωνα µε την οικονοµική θεωρία). ε) Να κατασκευάσετε τον πίνακα ανάλυσης της διακύµανσης. στ) Να κατασκευάσετε ένα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για το συντελεστή βι. ζ) Να κατασκευάσετε ένα 99% διάστηµα εµπιστοσύνης για τη µέση ζητούµενη ποσότητα όταν η τιµή είναι 3,6δρχ. και ένα 99% διάστηµα εµπιστοσύνης για τη συγκεκριµένη ποσότητα όταν η τιµή είναι πάλι 3,6 δρχ. η) Να ελέγξετε τη σηµαντικότητα του συντελεστή συσχέτισης θ) Ποιες υποθέσεις πρέπει να ισχύουν και γιατί ν' απαντήσουµε σε κάθε µια ερώτηση; ΑΣΚΗΣΗ 9 Έστω ότι η καθαρή επένδυση (Ι) και η µεταβολή στις πωλήσεις (S) συνδέονται µε τη σχέση Ι = β 0 + β S+ιι. Ένα τυχαίο δείγµα από 5 επιχειρήσεις έδωσε τα παρακάτω (και οι δύο µεταβλητές µετρούνται σε εκατοµµύρια δρχΐ): Ι ο S

3 α) Να εκτιµηθούν οι παράµετροι β 0, β µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. β) Είναι η σχέση ανάµεσα στις επενδύσεις και στη µεταβολή των πωλήσεων στατιστικά σηµαντική; γ) Πώς είναι γνωστό από την οικονοµική θεωρία το παραπάνω υπόδειγµα; δ) Ποιο θα είναι το επίπεδο των επενδύσεων αν οι πωλήσεις αυξηθούν κατά δέκα εκατοµµύρια; ΑΣΚΗΣΗ 0 Έστω το υπόδειγµα Υ =β +u, όπου =,,...,T, (χρόνος). α) Να βρεθεί ο άριστος γραµµικός αµερόληπτος εκτιµητής του β. * Υ β) Να δείξετε ότι β είναι αµερόληπτος εκτιµητής του β ( Υ =ο µέσος του Υ, =µέσος του ). ΑΣΚΗΣΗ Y = a + a X X + u ίνονται τα υποδείγµατα Y= β 0 +β X+u και 0 ( ) Να συγκριθούν οι εκτιµητές των συντελεστών α 0 και α µε τους αντίστοιχους εκτιµητές των συντελεστών β 0 και β. Τί συµπεράσµατα προκύπτουν; ΑΣΚΗΣΗ Από ένα δείγµα µε 6 παρατηρήσεις εκτιµήθηκε η συνάρτηση Y = β0 + βχ + u. µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων ως Y = + Χ + u Επιπλέον, R =0,95. Να ελεγθεί αν υπάρχει σηµαντική γραµµική σχέση µεταξύ Υ και Χ σε α=0,05. Να χρησιµοποιηθούν τα κριτήρια και F. ΑΣΚΗΣΗ 3 Έστω ότι στο υπόδειγµα Y = β0 + βχ + u η ερµηνευτική µεταβλητή Χ παίρνει µόνο τις τιµές Ο και. Για την εκτίµηση του παραπάνω υποδείγµατος έχουµε ένα δείγµα από Τ παρατηρήσεις, όπου στις Τ παρατηρήσεις είναι Χ=0καιστις Τ παρατηρήσεις είναι Χ= (Τ=Τ +Τ ). Έστω Υ µέσος των Υ στις Τ παρατηρήσεις, όπου Χ=0 και Υ ο µέσος των Υ στις Τ παρατηρήσεις όπου Χ=. Για το διαταρακτικό όρο u, ισχύουν οι γνωστές υποθέσεις. Να αποδείξετε ότι:

4 β =Υ Υ, 0, β = Υ V ( ) σ σ β = + Τ Τ και V ( β 0 ) σ = Τ ΑΣΚΗΣΗ 4 Να αποδείξετε ότι οι σχέσεις β = και S β r T = r είναι ισοδύναµες Έστω ότι στα δεδοµένα της άσκησης (8) του προηγούµενου κεφαλαίου (8) προστίθενται και οι παρατηρήσεις για την τιµή (Χ ) ενός υποκατάστατου αγαθού Β. Αν παραστήσουµε µε Χ την τιµή του αγαθού Α και υποθέσουµε ότι η ζήτηση του Α είναι συνάρτηση ' ' ' ' και της τιµής του Β, τότε το υπόδειγµα είναι Y = β0 + βχ + βχ + u. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι παρατηρήσεις για την Χ µαζί µε τις παρατηρήσεις των άλλων µεταβλητών. Υ Χ 3,0 3,5 3, 3,0 4,0 3,7 Χ 6,5 6, 6,3 6,4 6,4 6,5 α) Να εκτιµηθούν οι παράµετροι β ' ' ' 0, β, β µε µέθοδο των ε- λαχίστων τετραγώνων. β) ιαφέρει ο συντελεστής β ' από το συντελεστή β, δηλαδή το συντελεστή της απλής παλινδρόµησης µεταξύ Υ και Χ ; Γιατί; Πότε δεν θα διέφεραν; γ) Να εκτιµηθεί η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης στο σηµείο των µέσων. Ποιο πρόσηµο περιµένουµε σύµφωνα µε την οικονοµική θεωρία για τον ' β ; δ) Να ελεγχθούν οι υποθέσεις (ί) Η : β ' =0 και Η : β ' =0 διατυπώνοντας τις εναλλακτικές σύµφωνα µε την οικονοµική θεωρία (α=0,05), (ii) Η : β ' = β ' =0 (α=0,05). Ποια, είναι η διαφορά ανάµεσα στις περιπτώσεις (ί) και (ii);

5 Ι.Σ.

Σχετικά έγγραφα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά