ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 06-7 ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Ε.Α.Π. ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΣΤΟ ΕΑΠ ΣΤΗΝ ΔΕΟ 3 ΑΚ. ΕΤΗ (008-06) 8

2 ΣΕΤ 3. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 3 Μέτρα θέσεως και Διασποράς ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δεδομένα από διακριτή μεταβλητή 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δεδομένα από συνεχή μεταβλητή 8 Άσκηση για επίλυση 4 ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστικός κανόνας (κανόνας n m ) 7 Μεταθέσεις 8 Διατάξεις 9 Συνδυασμοί 30 Παραδείγματα 3 3 ΤΥΧΑΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ 34 ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Τυχαίο πείραμα 34 Δειγματικός χώρος 34 Παραδείγματα δειγματικών χώρων 34 Πειράματα Bernoull 37 Ενδεχόμενα 38 Πράξεις με ενδεχόμενα 38 Ξένα ενδεχόμενα 39 4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΑΥΤΗΣ 40 Κλασικός ορισμός της πιθανότητας 40 Ανεξάρτητα ενδεχόμενα 4 Παράδειγμα (εφαρμογή όλων των νόμων των πιθανοτήτων ) 4 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΩΝ 49 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗ 59 6 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 6 Συνάρτηση Πιθανότητας-Μέση τιμή-διακύμανση μιας τυχαίας 6 μεταβλητής Διωνυμική κατανομή 65 Ασκήσεις προς επίλυση 69 Κατανομή Posson 7 Ασκήσεις προς επίλυση 74 Κανονική κατανομή 75 Ασκήσεις με συνδυασμούς κατανομών 79 Ασκήσεις προτεινόμενες για λύση 8 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 85 Τι είναι η γραμμική παλινδρόμηση 85 Ερωτήματα που ανακύπτουν στην Γραμμική παλινδρόμηση (Μ.Ε.Τ) 85 Ασκήσεις προς επίλυση 90 7 ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 94 83

3 Οι σημειώσεις αυτές έχουν προορίζονται για χρήση από τους φοιτητές του ΕΑΠ. για την Θ.Ε. ΔΕΟ 3. Ωστόσο μπορούν να φανούν πολύ χρήσιμες και σε φοιτητές άλλων τμημάτων. Αυτές καλύπτουν την ύλη του ΕΑΠ και περιέχουν τα πλέον βασικά στοιχειά από τη θεωρία πιθανοτήτων και στατιστικής με παράλληλη επεξεργασία παραδειγμάτων και ασκήσεων που βοηθούν στην πλήρη κατανόηση των θεμάτων. Περαιτέρω για εξάσκηση των φοιτητών δίνονται ασκήσεις με τις απαντήσεις με υποδείξεις για την λύση τους και ασκήσεις χωρίς καμιά άλλη πληροφορία. Ο αντικειμενικός στόχος αυτών είναι. η εξοικείωση των φοιτητών με όλα τα θέματα τα οποία ενδέχεται να κληθούν να αντιμετωπίσουν στην γραπτή εργασία άλλα και κυρίως στις τελικές εξετάσεις. Το πλήρες υλικό αποτελείται από 00 δακτυλογραφημένες σελίδες και διατίθεται μόνο στους φοιτητές μας. Εδώ δίνεται μόνο ένα δείγμα του υλικού 84

4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Τι είναι η γραμμική παλινδρόμιση Η Γραμμική Παλινδρόμηση είναι ένα πολύ προσφιλές θέμα για τις εξετάσεις, και κατά ευτυχή συγκυρία είναι ένα από τα ευκολότερα και απολύτως τυποποιημένα θέματα εξετάσεων που μπορεί κάθε φοιτητής να απαντήσει. Συνεπώς δώστε την ανάλογη προσοχή Η άσκηση που ακολουθεί είναι αρκετή για να σας δείξει τι είναι Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ και να καλύψει (με πολύ μεγάλη βεβαιότητα) τις απαιτήσεις των τελικών εξετάσεων. Ασχοληθείτε με την λύσης της πολύ προσεκτικά και δεν χρειάζεται να διαβάσετε τίποτε άλλο για αυτό το θέμα. Ακόμη αυτό που πρέπει να σας τονίσω με έμφαση είναι. Σε περίπτωση που θα έχετε ένα τέτοιο θέμα στις εξετάσεις, όλες οι απαιτούμενες πράξεις θα γίνουν με το χέρι και με την βοήθεια μιας απλής υπολογιστικής μηχανής τεσσάρων πράξεων την οποία επιτρέπεται να έχετε μαζι σας. Γιαυτό επιβάλλετε να εξοικειωθείτε με την εφαρμογή των τύπων, και με τους αναγκαίους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας ένα απλό κομπιουτεράκι τεσσάρων πράξεων. Η γραμμική παλινδρόμηση αναφέρεται στην διαπίστωση αν μια μεταβλητή Χ συνδέεται με μια άλλη μεταβλητή Υ με μια γραμμική σχέση της μορφής u όπου τα α, β είναι παράμετροι προς προσδιορισμό και το uείναι μια τυχαία μεταβλητή, με μέση τιμή μηδέν και διακύμανση σ. Το Υ είναι πάντα μια τυχαία μεταβλητή, ενώ το Χ μπορεί να είναι μια μεταβλητή με γνωστές τιμές (ελεγχόμενες και προσδιοριζόμενες εκ των προτέρων), μπορεί όμως να είναι και αυτό μια τυχαία μεταβλητή. Για κάθε τιμή του Χ μετρούμε- παρατηρούμε, την αντίστοιχη τιμή που παίρνει το Υ. Χρησιμοποιώντας τα ζευγάρια τιμών (Χ,Υ) και με κατάλληλη μεθοδολογία υπολογίζουμε τις τιμές για τα α,β. Ερωτήματα που ανακύπτουν στην Γραμμική Παλινδρόμιση Στο παράδειγμα που ακολουθεί παρουσιάζονται με αρκετή λεπτομέρεια όλα τα σχετικά θέματα και ερωτήματα που μπορεί να τεθούν. ΑΣΚΗΣΗ Τα ακόλουθα στοιχεία αφορούν τα κέρδη (Υ) που πέτυχε μια φαρμακευτική εταιρεία στην διάρκεια μιας εξαετίας, που προέκυψαν σαν αποτέλεσμα της δαπάνης Χ που διέθεσε η εταιρία για έρευνα. (ποσά σε χιλιάδες ευρώ) έρευνα Y κέρδος 40,0 50,0 40,0 60,0 30,0 40,0 50,0 50,0 60,0 65,0 65,0 70,0 Με βάση τα δεδομένα: Παρατήρηση. Σε αυτό το πρόβλημα η μεταβλητή Χ που παριστά το ποσό της έρευνας δεν είναι τυχαία μεταβλητή (είναι προσδιοριστική μεταβλητή και οι τιμές της προσδιορίζονται από την εταιρεία), Η 85

5 Υ είναι τυχαία μεταβλητή, οι τιμές της μετρούνται αφού γίνει η επένδυση και περάσει κάποιο χρονικό διάστημα (ποιο απλά, το κέρδος που θα προκύψει για κάθε επίπεδο δαπάνης δεν είναι δυνατόν να προσδιοριστεί εκ των προτέρων και με βάση το επίπεδο της δαπάνης ).. Να κατασκευασθεί το Διάγραμμα Διασποράς των δεδομένων που αφορούν τις πωλήσεις της εταιρείας και την ερευνητική της δαπάνη. Από το διάγραμμα προκύπτει ένδειξη ότι υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των πωλήσεων και των ερευνητικών δαπανών;. Να εκτιμήσετε τους συντελεστές a και του γραμμικού υποδείγματος. Να περιγράψετε αναλυτικά τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τους τύπους που περιλαμβάνουν τις μεταβλητές σε αποκλίσεις από τους μέσους, όσο και τους τύπους που δεν απαιτούν να εκφρασθούν οι μεταβλητές σε αποκλίσεις από τους μέσους. Επίσης να ερμηνεύσετε οικονομικά τις εκτιμήσεις των συντελεστών a και. 3. Να υπολογισθεί ο συντελεστής συσχέτισης και ο συντελεστής προσδιορισμού R και να ερμηνευθεί. Ο υπολογισμός να γίνει χρησιμοποιώντας τα στοιχεία του Πίνακα που κατασκευάσατε στο ερώτημα (). 4. Να εκτιμήσετε τους συντελεστές γ και δ στην εξίσωση παλινδρόμησης Y και να τους ερμηνεύσετε οικονομικά. (Αυτό το ερώτημα είναι ακριβώς ίδιο με το β) 5. Με βάση τις εκτιμήσεις που έχετε υπολογίσει, να δείξετε (κάνοντας τις πράξεις, δεν πρόκειται για κάποια θεωρητική απόδειξη) ότι, ισχύει η σχέση ˆ ˆ R. 6. Με δεδομένο ότι η επιχείρηση πρόκειται να δαπανήσει 55,5 χιλιάδες ευρώ σε έρευνα, να προβλέψετε το κέρδος της. 7. Α η εταιρεία αποφασίσει να αυξήσει την δαπάνη για έρευνα κατά 0% πάνω από την μέση δαπάνη της εξαετίας ποια θα είναι η πρόβλεψη για τα κέρδη της. ΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑ Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο παρακάτω σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται ότι η σχέση των δυο μεταβλητών είναι ισχυρά γραμμική. Υ 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 Χ Στο διάγραμμα αυτό, απεικονίζονται τα σημεία (Χ,Υ). Ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί στην ερευνητική δαπάνη Χ και ο κάθετος στο σημειωθέν-μετρηθέν κέρδος Υ. ΕΡΩΤΗΜΑ Διάγραμμα Διασποράς 86

6 Όπως ήδη αναφέρθηκε στο ερώτημα () η σχέση των δυο μεταβλητών είναι ισχυρά γραμμική. Κατά συνέπεια μπορούμε να προχωρήσουμε στο υπολογισμό των συντελεστών της γραμμικής εξίσωσης Y a u με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Εδώ θα παρουσιάσουμε και τους δυο τρόπους ωστόσο προτείνουμε τον β τρόπο διότι φαίνεται να απαιτεί λιγότερους υπολογισμούς Α Τρόπος (με αποκλίσεις από τους μέσους) Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους ˆ ( )( Y Y ) ( ) a Y. Από τα στοιχεία μας μπορούμε να υπολογίσουμε τους αριθμητικούς μέσους των μεταβλητών Χ και Υ Y οι οποίοι με Ν=6, είναι. 47, 50 και Y =55,83. Για τη διευκόλυνση των πράξεων για χρήση των τύπων που βασίζονται στις αποκλίσεις πρέπει να υπολογίσουμε τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα. Υ YY Y Y ( Y Y) Άθρ/σμα Μέσοι Κατά συνέπεια έχουμε ότι: 6, ( )( Y Y ) 637,50, ( )( Y Y ) Επομένως, 637,50 0, ,50 ( ) ( ) 887,50. Για την εκτίμηση της του α έχουμε, aɵ Y 55,83 0, 78 * 47, 50, 74. Άρα η εκτιμηθείσα εξίσωση παλινδρόμησης είναι: Yˆ, 74 0, 78 Οι τύποι θα παρθούν από το τυπολόγιο Στατιστικής Στις εξετάσεις αν δεν φτιάξετε αυτό τον πίνακα θα είναι αδύνατο να κάνετε τους αναγκαίους υπολογισμούς 87

7 Β Τρόπος (χωρίς τις αποκλίσεις από τους μέσους) Ο εναλλακτικός τύπος υπολογισμού του συντελεστή που δεν απαιτεί τις αποκλίσεις Y aˆ Y από τους μέσους, όπως επίσης δίνεται στο τυπολόγιο, είναι ( ) Y ) Y. Αυτός έχει την απλούστερη μορφή ( ) aˆ Y Y, που δεν είναι στο τυπολόγιο. Για να κάνουμε τους υπολογισμούς με αυτούς τους τύπους χρειάζεται να υπολογίσουμε τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα. Αυτά είναι εμφανώς πολύ λιγότερα από τον προηγούμενο πίνακα Υ Y Αθροίσματα Y Σχόλιο. Έχουμε υπολογίσει και την στήλη συντελεστή συσχέτισης Από αυτόν τον πίνακα βρίσκουμε Y 55,83, και 47,50 Y διότι θα την χρειασθούμε στον υπολογισμό του Με αντικατάσταση ( / 6) 0, {(85) / 6} και επομένως, ˆ Y ˆ 55,83 0, 78 47, 50, 74 Άρα η εκτιμηθείσα εξίσωση παλινδρόμησης είναι: Yˆ,74 0,78 Παρατηρούμε, όπως και αναμενόταν, ότι τα αποτελέσματα ταυτίζονται. Ερμηνεία των συντελεστών ˆ, ˆ : Το ˆ εκφράζει την αναμενόμενη τιμή της Υ όταν το Χ είναι μηδέν, δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι με μηδενικές δαπάνες για έρευνα, το αναμενόμενο κέρδος είναι,74 χιλιάδες ευρώ. Και αυτοί οι τύποι θα παρθούν από το τυπολόγιο Στατιστικής 88

8 Ο συντελεστής παλινδρόμησης ˆ εκφράζει την επίδραση στην αναμενόμενη τιμή της Υ που προκαλεί η μεταβολή της Χ κατά μια μονάδα. Επομένως αν αυξηθεί η δαπάνη για έρευνα κατά μονάδα (χίλια ευρώ), το κέρδος αναμένεται (κατά μέσο όρο) να αυξηθεί κατά 0,78 χιλιάδες ευρώ. Αν στο διάγραμμα παλινδρόμησης που κατασκευάσμε στο ερώτημα, κατασκευάσουμε-χαραξουμε και την γραμμή παλινδρόμησηςy ˆ,74 0,78 που βρήκαμε έχουμε το παρακάτω σχήμα Διάγραμμα και γραμμή Παλινδρόμισης Υ ,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 Χ ΕΡΩΤΗΜΑ 3 Ο συντελεστής συσχέτισης δίνεται από τη σχέση: r ( )( Y Y ) ( ) ( Y Y ) Ο εναλλακτικός τύπος χωρίς τις αποκλίσεις είναι r ( ) ( Y ) Y ( ) ( ) Y Y ( ) ( ) Με αντικατάσταση σε αυτόν r και με αντικατάσταση ή r r ( / 6) 637,50 0, ,59 60,83 Y Y ( ) ( Y Y ) {4.45 (85 / 6)} {9.35 (335 / 6)} 0,8588 Η τιμή αυτή δηλώνει την ισχυρή γραμμική εξάρτηση μεταξύ των δαπανών για επένδυση και των πωλήσεων της εταιρείας. Γνωρίζουμε ότι ο συντελεστής προσδιορισμού R ισούται με το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης. Κατά συνέπεια, στην περίπτωσή μας θα έχουμε ότι: R = (0,8588) = 0,7376. Η τιμή αυτή δηλώνει ότι το 73,76% της μεταβλητότητας των τιμών του Υ ερμηνεύεται από την μεταβλητότητα των τιμών του Χ. Προτιμήστε αυτόν τον τύπο 89

9 ΕΡΩΤΗΜΑ 4 Οι εκτιμήσεις της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων για το μοντέλο Y είναι. Με βάση τα στοιχεία του Πίνακα και υπολογισμούς που έγιναν στο ερώτημα είναι εύκολο να υπολογίσουμε ότι ΕΡΩΤΗΜΑ 5 Πραγματικά ισχύει ότι θεωρητικά ΕΡΩΤΗΜΑ 6 637,50,07, και 47,50,07 55,83 9, R αφού 0,78x,07= 0,7376. Η σχέση αυτή αποδεικνύεται και Για Χ=55,5, αντικαθιστώντας στην εκτιμηθείσα Yˆ,74 0,78 γραμμή παλινδρόμησης έχουμε : Y,75 0,78 55,5 6,58 ΕΡΩΤΗΜΑ 7 Η μέση δαπάνη της εξαετίας είναι =47.50 (βρέθηκε στο ερώτημα ). Η αύξηση κατά 0% είναι x0,0=4,75 και η δαπάνη θα γίνει ,75 = 5.5. Αντικαθιστούμε αυτή την τιμή στην εξίσωση Y ˆ,74 0,78 και παίρνουμε ΣΧΟΛΙΟ και ΣΥΣΤΑΣΗ Όπως θα διαπιστώσατε στην γραμμική παλινδρόμηση οι υπολογισμοί είναι πολύ κοπιαστικοί. Αυτοί γίνονται πιο δύσκολοι αν χρησιμοποιήσετε τους τύπους με τις αποκλίσεις από τους μέσους. Σύσταση. Χρησιμοποιείστε τους τύπους χωρίς τις αποκλίσεις, όπως υποδεικνύεται και στο παρακάτω παράδειγμα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΕΠΊΛΥΣΗ Άσκηση εξάσκησης. Στον Πίνακα που ακολουθεί δίδονται τα δεδομένα που αφορούν το ύψος της Δηλωθείσας Καταναλωτικής Δαπάνης (Υ) και του Δηλωθέντος Εισοδήματος (Χ) ενός τυχαίου δείγματος 4 νοικοκυριών. Πρόκειται για επεξεργασμένα, για λόγους απλότητας των υπολογισμών, δεδομένα, σε χιλιάδες Ευρώ, από την Έρευνα οικογενειακών προϋπολογισμών του έτους 05 για την Ελληνική οικονομία. Νοικοκυριά Δηλωθείσα Κατανάλωση (Υ ) (Ευρώ) 90 Δηλωθέν Διαθέσιμο Εισόδημα (Χ ) (Ευρώ) Πηγή: ΕΛΣΤΑΤ.

10 Στόχος μας είναι η ποσοτική διερεύνηση της σχέσης μεταξύ του δηλωθέντος διαθεσίμου εισοδήματος (Χ) και της δηλωθείσας καταναλωτικής δαπάνης (Υ) σε επίπεδο νοικοκυριού. Για να κάνετε τους υπολογισμούς χρησιμοποιείστε τους τύπους χωρίς τις αποκλίσεις από τους μέσους οπότε πρέπει να κατασκευάσετε τον παρακάτω πίνακα για να βρείτε όλα όσα ζητούνται Νοικοκυριά Χ Υ Αθροίσματα Y Y Στόχος μας είναι η ποσοτική διερεύνηση της σχέσης μεταξύ του δηλωθέντος διαθεσίμου εισοδήματος (Χ) και της δηλωθείσας καταναλωτικής δαπάνης (Υ) σε επίπεδο νοικοκυριού. Τα δεδομένα είναι διαθέσιμα και στο Αρχείο Excel, φύλλο Asks-4. Ζητούνται:. Να χρησιμοποιηθεί το λογισμικό περιβάλλον Excel για να λάβουμε το Διάγραμμα Διασποράς των 4 διαθέσιμων ζευγών των τιμών των μεταβλητών (Χ, Υ) και με βάση αυτό να γίνει μια γραφική διερεύνηση αν η δηλωθείσα καταναλωτική δαπάνη (Υ) σχετίζεται γραμμικά με το δηλωθέν εισόδημα (Χ). (ΜΟΝΑΔΕΣ Απ. 6,00 4,00,00 0,00 Κατανάλωση Υ 8,00 6,00 4,00,00 Διάγραμμα Διασποράς Εισοδήματος Χ-Καταναλωσης Υ 0,00 0,00,00 4,00 6,00 8,00 0,00,00 4,00 6,00 Εισόδημα Χ. Υποθέτοντας ότι η σχέση μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ είναι γραμμική να εκτιμηθούν και να ερμηνευθούν οι συντελεστές a 0 και a του γραμμικού υποδείγματος Y a0 a u με την μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων, κάνοντας χρήση των κατάλληλων τύπων από το τυπολόγιο. Η μεταβλητή u είναι ο 9

11 διαταρακτικός όρος ή όρος σφάλματος. Οι υπολογισμοί θα πρέπει να γραφούν αναλυτικά και να γίνουν με έναν από τους δύο τρόπους: είτε με τη χρήση των τύπων που περιλαμβάνουν τις μεταβλητές σε αποκλίσεις από τους μέσους όρους τους, είτε με τη χρήση των τύπων που δεν απαιτούν να εκφρασθούν οι μεταβλητές σε αποκλίσεις από τους μέσους τους. Για τον σκοπό αυτό να δημιουργηθεί στο Excel κατάλληλος Πίνακας στον οποίο να γίνουν οι απαιτούμενοι υπολογισμοί. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί να γίνουν μέχρι το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο. (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) Α π. a 0,453, a0,493 και Yˆ, 493 0, 453. Για την ερμηνεία δες το λυμένο πρόβλημα. 3. Πόσο θα είναι η κατανάλωση αν το εισόδημα είναι μονάδες. Απ. Βάλε την τιμή στο μοντέλο Εάν η κυβέρνηση υλοποιήσει μια σειρά μέτρων που αναμένονται να οδηγήσουν σε μείωση του μέσου δηλωθέντος διαθεσίμου εισοδήματος κατά 0%, να εκτιμήσετε την αναμενόμενη δαπάνη κατανάλωσης στο μέσο δηλωθέν εισόδημα που θα προκύψει. Απ. Y, 493 0, 453, 95 7,895. Δηλαδή θα έχουμε ποσοστιαία μείωση ίση με 7,895 8, , %.Υπενθύμιση ισχύει Y aˆ ˆ 0 a 8, Για το γραμμικό υπόδειγμα Y a0 a u να υπολογισθεί ο συντελεστής συσχέτισης και να ερμηνευθεί. Απ. r 0,548, (ΜΟΝΑΔΕΣ 3). 5. Για το γραμμικό Y a0 a uκαι με βάση την εκτίμηση του συντελεστή συσχέτισης, να υπολογισθεί ο συντελεστής προσδιορισμού R και να ερμηνευτεί. (ΜΟΝΑΔΕΣ 3) Τα R, r συνδέονται με απλή σχέση. 6. Αν οι τιμές της δηλωθείσας δαπάνης κατανάλωσης και του δηλωθέντος εισοδήματος διπλασιασθούν ποιες θα είναι οι επιπτώσεις στις εκτιμήσεις τωνσυντελεστών α0 και α. Να αποδείξετε θεωρητικά ότι ο συντελεστής α δε θα μεταβληθεί, ενώ ο συντελεστής α0 θα διπλασιαστεί. Υπόδειξη για την λύση. Αν υποθέσουμε ότι οι τιμές των Χ,Υ γενικώς πολλαπλασιάζονται με τον παράγοντα k, δηλαδή γίνονται Z k και W ky τότε σύμφωνα με γνωστούς τύπους θα έχουμε Z k και W ky, Αν με τις νέες τιμές το μοντέλο γίνει W 0 u και χρησιμοποιήσουμε τους τύπους με τις αποκλίσεις από τους μέσους για να υπολογίσουμε τις νέες παραμέτρους 0, του νέου μοντέλου, θα δούμε ˆ kaˆ, ˆ aˆ, r* r ότι Με τις διπλασιασμένες τιμές Χ,Υ, και χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη συνάρτηση του Excel να εκτιμηθεί το γραμμικό υπόδειγμα και τα αποτελέσματα να συγκριθούν με αυτά του ερωτήματος b. (Μονάδες 4) 9

12 Άσκηση εξάσκησης. Στην στήλη Χ δίνονται τα έξοδα διαφήμισης και στην στήλη Υ δίνεται ο αντίστοιχος όγκος των πωλήσεων ενός προϊόντος Y, 0,0 0,8 9,0,0 0,0,3 0,0 0,7 90,0 0,8 8,0,0 93,0 0,6 75,0 0,9 9,0, 05,0 Άθροισμα 959,0 Ο παραπάνω πίνακας μπορεί να δοθεί και έτσι, 0,8,0,3 0,7 0,8,0 0,6 0,9, Y 0,0 9,0 0,0 0,0 90,0 8,0 93,0 75,0 9,0 05,0 ή μπορεί να μην δοθεί καθόλου ο πίνακας και να δοθούν τα απαραίτητα για τους υπολογισμούς αθροίσματα. Βλέπε στο τέλος της εκφώνησης. Ερωτήματα. Να δημιουργηθεί το Διάγραμμα Διασποράς των διαθέσιμων ζευγών των τιμών των μεταβλητών (Χ,Υ) και με βάση αυτό να γίνει μια γραφική διερεύνηση αν ο όγκος των πωλήσεων Υ σχετίζεται γραμμικά με την διαφήμιση Χ.. Υποθέτοντας ότι η σχέση μεταξύ των μεταβλητών Χ και Y είναι γραμμική, να εκτιμηθούν οι συντελεστές a 0 και a του γραμμικού υποδείγματος Y a0 a u ( Y a0 a u ) με την μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων. 3. Να ερμηνευθούν οι τιμές των εκτιμήσεων που θα προκύψουν για τα 0 a και a. 4. Να υπολογισθούν: ο συντελεστής συσχέτισης r και ο συντελεστής προσδιορισμού R και να ερμηνευθούν. 5. Εάν η επιχείρηση υλοποιήσει μια άλλη διαφημιστική καμπάνια που θα έχει μείωση του μέσου διαθεσίμου ποσού για διαφήμιση κατά 0% να εκτιμήσετε τον αναμενόμενο όγκο πωλήσεων Δίνονται τα παρακάτω 9, 8 Y 94, 8 Y I Σχόλιο. Αν δεν δίνονταν αυτά τα αθροίσματα τότε για να προχωρήσετε στους υπολογισμούς πρέπει να φτιάξετε τον παρακάτω πίνακα, και να χρησιμοποιήσετε τους τύπους που δεν βασίζονται στις αποκλίσεις από τους μέσους. Y 93, 0,0,44,0 0.0,00 0,8 9,0 0,64 73, ,00,0 0,0,00 0,00.00,00,3 0,0,69 56, ,00

13 0,7 90,0 0,49 63, ,00 0,8 8,0 0,64 65, ,00,0 93,0,00 93, ,00 0,6 75,0 0,36 45, ,00 0,9 9,0 0,8 8,90 8.8,00, 05,0, 5,50.05,00 Άθροισμα 9,4 959,0 9,8 94, ,00 95,9 n=0, 0.94 Y Απαντήσεις. Διάγραμμα διασποράς 40,0 0,0 00,0 Διάγραμμα Διασοπράς Άξονας Υ 80,0 60,0 40,0 0,0 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,,,3,4 Άξονας Χ Φαίνεται ότι υπάρχει γραμμική σχέση. Με αντικατάσταση στους τύπους βρίσκουμε a0 46, 49 a 5,57 Yˆ 46, 49 5,57 3. Ερμηνεία a0 46, 49 δίδει τον όγκο των πωλήσεων χωρίς διαφήμιση (Χ=0). a 5,57 μας λέει ότι σε κάθε μεταβολή του ποσού της διαφήμισης κατά μια μονάδα (αύξηση ή μείωση) θα έχουμε μεταβολή στον όγκο των πωλήσεων (αύξηση ή μείωση) κατά 5.57 μονάδες 4. r= 0, Ερμηνεία. Υπάρχει υψηλή θετική γραμμική συσχέτιση. R =0,7664 Ερμηνεία. Το 77,64 % της μεταβλητότητας στο Υ ερμηνεύεται από την μεταβλητότητα του Χ Αν μειωθεί κατά 0 % θα γίνει όποτε Y 46,49 5,57 4? ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΤΑΤΙΣΙΤΚΗΣ Για οποιαδήποτε τ.μ. Χ ορίζουμε την συνάρτηση 94

14 F( k) P( k) για όλες τις τιμές του k. Η F k καλείται αθροιστική συνάρτηση κατανομής (α.σ.κ.) ή απλά κατανομή της τ.μ. Χ. Από τον ορισμό της είναι φανερό ότι η F(k) δίνει το άθροισμα των πιθανοτήτων για όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει η τ.μ. Χ που είναι μικρότερες ή ίσες με το k. Οι πίνακες που έχει το ΕΑΠ δίνουν αυτές τις πιθανότητες για τρείς κατανομές. Την Διωνυμική, την, Posson και την Τυπική Κανονική. Χρήση των πινάκων Διωνυμικής κατανομής B( n, p) Αν μια τ.μ. έχει την Διωνυμική κατανομή δηλαδή B( n, p) οι τιμές που μπορεί να πάρει το Χ είναι οι 0,,,3.,n-,n. (μέχρι και την n) Έτσι οι πίνακες της Διωνυμικής κατανομής δίδουν τις πιθανότητες της μορφής P0 k = Fk για τις διάφορες τιμές του n, τις αντίστοιχες δυνατές 0,,,.n, του μπορεί να πάρει το k, και για τιμές του p από 0,00 μέχρι 0.50 με βήμα 0,05. Παραδείγματα. Το P0 F() παριστά το άθροισμα των πιθανοτήτων P 0, P, P με τις οποίες η τ.μ. παίρνει τις τιμές 0,, δηλαδή, P0 = P 0 P P = F Ομοίως P 0 k P 0 P P... P k P k F k. = = Θα δούμε τώρα με παραδείγματα, πως βρίσκουμε αυτή την πιθανότητα, δηλαδή την τιμή της Fk, και γενικότερα πως υπολογίζουμε οποιαδήποτε πιθανότητα από μια Διωνυμική τ.μ.χ. Έστω ότι B(, 0, 35) και θέλουμε να βρούμε την P0 4 F 4. Η Διωνυμική κατανομή έχει δυο παραμέτρους το n και το p και επί πλέον έχουμε και την τιμή του k=4. Αυτό μας υποδεικνύει ότι στους πίνακες θα πρέπει να εντοπίσουμε τα τρία μεγέθη n,p,k Πάμε στον πίνακα και στην αριστερή πλευρά του, στην στήλη του n (πρώτη κάθετος στήλη) εντοπίζουμε την τιμή του n, εδώ το. Δίπλα από αυτή την τιμή και στην δεύτερη στήλη του πίνακα, (είναι η στήλη με την ένδειξη k), εντοπίζουμε την τιμή του k, εδώ το 4 και την οριζόντια γραμμή στην οποία αυτό ανήκει. Μετά πάμε στην πρώτη οριζόντια γραμμή της σελίδας και κάτω από την ένδειξη p εντοπίζουμε την τιμή του p και την κάθετο στήλη στην οποία αυτό ανήκει. Στην διασταύρωση της οριζόντιας γραμμής του k με την κάθετη στήλη του p διαβάζουμε την πιθανότητα F 4. Για το παράδειγμα μας έχουμε P0 4= F 4 =0,583. Αν η τιμή του p δεν υπάρχει στον πίνακα, τότε εντοπίζουμε την πλησιέστερη τιμή που υπάρχει, π.χ αν B(, 0, 3) και θέλουμε από τους πίνακες να βρούμε μια οποιαδήποτε πιθανότητα, στον πίνακα θα πρέπει να βρούμε την τιμή p= 0,30 δηλαδή να εργαστούμε με την κατανομή. B(, 0, 30). Έτσι P0 4= F 4 ==0,74. Για αυτή την περίπτωση υπάρχει και ακριβέστερη προσέγγιση, της παρεμβολής με την οποία δεν θα ασχοληθούμε. Πως θα υπολογίσετε πιθανότητες οποιασδήποτε άλλης μορφής? Η απάντηση είναι ότι θα πρέπει οπωσδήποτε να τις ανάγετε σε πιθανότητες της μορφής P0 k, π.χ. Υπάρχουν πίνακες για τιμές του n, μέχρι 0 ή και 30, καθώς και για μικρότερο βήμα για το p. 95

15 P 4 P 0 4 P 0 F(4) F() Διότι P( x 4) P( ) P( 3) P( 4) F(4) P( 0) P( ) P( ) P( 3) P( 4) F() P( 0) P( ) και είναι πλέον φανερό ότι P 4 P0 4 P0 F(4) F() Και γενικότερα P k m P 0 m P 0 k F( m) F( k) P k m P 0 m P 0 k F( m) F( k) P k m P 0 m P 0 k F( m) F( k) Ακόμη P k P (0 k P 0 k F( k) F( k) Διότι εδώ έχουμε μόνο την τιμή =K.. ΣΧΟΛΙΑ. Αν η τιμή του p είναι μεγαλύτερη από 0,50 (οπότε δεν υπάρχει στους πίνακες) τότε εργαζόμαστε με την τ.μ Y που μετρά τον αριθμό των αποτυχιών και έχει την Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n και -p δηλαδή Y B( n, p) που σημαίνει ότι στους πίνακες ψάχνουμε να εντοπίσουμε όχι το p αλλά το -p. Για λεπτομέρειες πάνω σε αυτό δες στις σημειώσεις στην ενότητα 6 κατανομές, την άσκηση 6 σελ 80,8. Αν το n είναι μεγάλο τότε δεν υπάρχει στους πίνακες. Σε αυτή την περίπτωση προσεγγίζουμε την Διωνυμική κατανομή B( n, p) από την κανονική κατανομή ( n p, n p). Το αντίστροφο πρόβλημα είναι το εξής. Αν μας δίδεται ότι για μια Διωνυμική κατανομή έχουμε P0 k = F( k ) =δ, πόσο είναι το k ; Η εργασία είναι ακριβώς η αντίστροφη της προηγούμενης και θα την δούμε με ένα παράδειγμα. Αν π.χ. μας δίδεται ότι B(,0.30) και P0 k = F( k ) =0,96, πόσο είναι το k ; Πάμε στον πίνακα και εντοπίζουμε την τιμή του n, εδώ το, και στην συνέχεια (στην ίδια σελίδα) την τιμή του p, εδώ το 0,30. Στο πλαίσιο δεξιά του n, και στην κάθετο στήλη στην οποία ανήκει το p=0.30 εντοπίζουμε την πιθανότητα δ=0,96 (ή την πλησιέστερη προς αυτήν). Μετά κινούμαστε αριστερά στην οριζόντια γραμμή του δ=0.96, μέχρι να φθάσουμε στην στήλη του k, όπου και διαβάζουμε την τιμή του k =6 Χρήση των πινάκων κατανομής Posson P( ) Οι τιμές που μπορεί να πάρει το Χ στην κατανομή Posson είναι 0,,,3.,,n... (θεωρητικά μέχρι και την άπειρο ) P 0 k Και αυτοί οι πίνακες δίνουν μόνο πιθανότητες της μορφής για τιμές του λ από 0, έως 5 ή και παραπάνω και για όλες τις τιμές =0,,,3,. του k. Αυτό δεν είναι μέσα στην ύλη της ΔΕΟ 3 Αυτό είναι μέσα στην ύλη αλλά είναι εξαιρετικά απίθανο για τις εξετάσεις. Συνεπώς αγνοείστε το. 96

16 Το P0 k F( k) P0 k = P 0 P P... P k P k = παριστά το άθροισμα πιθανοτήτων για τις τιμές 0,,,,k, δηλαδή Για παράδειγμα P 0 3 P 0 P P P 3 = = 3 Fk F. F k. Η καλείται αθροιστική συνάρτηση κατανομής (α.σ.κ.) ή απλά κατανομή. Πως βρίσκουμε αυτή την πιθανότητα; Η κατανομή Posson έχει μια παράμετρο το λ,και επί πλέον έχουμε και την τιμή του k=3. Αυτό μας υποδεικνύει ότι για να βρούμε το F3στους πίνακες θα πρέπει να εντοπίσουμε τα δυο μεγέθη λ και k. Πάμε στον πίνακα και σε κάποια οριζόντια γραμμή και κάτω από την ένδειξη λ εντοπίζουμε την τιμή του λ (ή την πλησιέστερη προς αυτήν) και την κάθετο στήλη στην οποία αυτό ανήκει. Σε αυτό το ορθογώνιο πάμε στην αριστερή πλευρά του πίνακα. στήλη του k (πρώτη κάθετος στήλη), και εντοπίζουμε την τιμή του k και την οριζόντια γραμμή στην οποία αυτό ανήκει.. Στην διασταύρωση της οριζόντιας γραμμής του k με την κάθετη στήλη του λ διαβάζουμε την P 0 k. Ας πάρουμε το παράδειγμα. Έστω ότι P(3,5) F 4 και θέλουμε να βρούμε την = P0 4 =. Πάμε στον πίνακα και εντοπίζουμε την τιμή του λ, εδώ το 3,5. Κάτω από την γραμμή του λ και στην αριστερή πλευρά του πίνακα στην στήλη k (πρώτη κάθετος στήλη), εντοπίζουμε την τιμή του k, εδώ του 4. Στην οριζόντια γραμμή του k και στην κάθετο του λ διαβάζουμε την ζητούμενη πιθανότητα. P0 4= F 4 =0,75 Όπως και στην Διωνυμική κατανομή Για να υπολογίσετε πιθανότητες οποιασδήποτε άλλης μορφής θα πρέπει να τις ανάγετε σε πιθανότητες της μορφής P0 k Αν στους πίνακες δεν υπάρχει η δοθείσα τιμή του λ πάμε στην πλησιέστερη τιμή. Αν το λ είναι μεγάλο, συνήθως πάνω από 5, τότε δεν υπάρχει στους πίνακες. Σε αυτή την περίπτωση προσεγγίζουμε την Posson με την κανονική. ΣΧΟΛΙΑ Για να υπολογίσετε πιθανότητες οποιασδήποτε άλλης μορφής θα πρέπει να τις ανάγεται σε πιθανότητες της μορφής P0 k, π.χ. P k P 0 k P 0 k F( k) F( k ), 0 ( ) P k m P 0 m P 0 k F( m) F( k ) P k P k F k Αν στους πίνακες δεν υπάρχει η τιμή του λ πάμε στην πλησιέστερη τιμή. Αν το λ είναι μεγάλο τότε δεν υπάρχει στους πίνακες. Σε αυτή την περίπτωση προσεγγίζουμε την κατανομή Posson, P(λ) από την κανονική Ν(μ=λ,σ =λ) Το αντίστροφο πρόβλημα είναι το εξής 3. Αν μας δίδεται ότι από μια κατανομή Posson(λ) έχουμε P0 k = F( k ) =δ, πόσο είναι το k ; Η εργασία είναι ακριβώς η αντίστροφη και θα την δούμε με ένα παράδειγμα. π.χ. αν μας δίδεται ότι P(3,53) P 0 k = F( k ) =0,855, πόσο είναι το k ; και Ενημέρωση. Κάποια βιβλία συμβολίζουν αυτή την πιθανότητα με το σύμβολο ( k) Η περίπτωση δεν αφορά τους φοιτητές της ΔΕΟ 3 3 Αυτό δεν είναι μέσα στις απαιτήσεις των φοιτητών ΔΕΟ 3. 97

17 Πάμε στον πίνακα και εντοπίζουμε την τιμή του λ, (αν αυτή δεν υπάρχει πάμε στην πλησιέστερη) εδώ θα πάμε στο 3,50. Μετά στην κάθετο στήλη στην οποία ανήκει το λ= 3,50 εντοπίζουμε την πιθανότητα δ (ή την πλησιέστερη προς αυτήν), εδώ το 0,858,. Κινούμενοι αριστερά στην οριζόντια γραμμή του 0,858, φθάνουμε στην στήλη του k και εκεί διαβάζουμε την τιμή του k =5. Χρήση των πινάκων στατιστικής για την τυποποιημένη κανονική κατανομή Z ~ 0, Και αυτοί οι πίνακες δίδουν πιθανότητες μόνο της μορφής P( Z z) για τιμές του z από το έως με δυο δεκαδικά. Για συντομία συμβολίζουμε αυτές τις πιθανότητες ως ( ) P Z z = P( Z z) F( z) F z, δηλαδή Η F( z) καλείται αθροιστική συνάρτηση κατανομής (α.σ.κ.) ή απλά κατανομή. Στο σχήμα δίδεται η καμπύλη f(z) της τυπικής κανονικής κατανομής. Καμπύλη της f(z) Σε αυτό το σχήμα το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας, δηλαδή το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα, την καμπύλη της f(z) και την ευθεία z=z είναι ίσο με την P( Z z) F( z) Tο εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα και την καμπύλη της f(z) είναι ίσο με την μονάδα δηλαδή P( Z ), (αυτό διότι, οι πιθανότητες για όλες τις δυνατές τιμές του Zπρέπει να αθροίζουν στην μονάδα). Ας υποθέσουμε ότι z=,5 και θέλουμε την PZ 98.5 F(.5). Το F (.5) δίδεται έτοιμο από τους πίνακες. Πως και που θα το βρούμε; Σε αυτούς τους πίνακες, ψάχνουμε στο αριστερό μέρος της σελίδας και στην πρώτη κάθετη στήλη, στήλη με την ένδειξη z, να εντοπίσουμε, τo τμήμα του z που δίδει το ακέραιο μέρος του και το πρώτο δεκαδικό του ψηφίο, δηλαδή να εντοπίσουμε το,, και στην συνέχεια επισημαίνομε την οριζόντια γραμμή στην οποία ανήκει το,. Το άλλο μέρος του z, δηλαδή αυτό που δίδεται από το δεύτερο δεκαδικό του ψηφίο, εδώ το 0,05 το εντοπίζουμε στην πρώτη οριζόντια γραμμή, της σελίδας του πίνακα, και στην συνέχεια εντοπίζουμε την κάθτο στήλη στην οποία αυτό ανήκει.. Στην διασταύρωση της οριζόντιας γραμμής με την κάθετη στήλη διαβάζουμε την αντίστοιχη P Z,5 αφού εντοπίσουμε το, και την οριζόντια γραμμή πιθανότητα, π.χ. για την στην οποία αυτό ανήκει και το 0,05 και την κάθετη στήλη στην οποία αυτό ανήκει στην διασταύρωση της γραμμής με την στήλη θα βρούμε το (,5) P Z.5 =0,8944. F = 0, Έτσι

18 Πιθανότητες οποιασδήποτε άλλης μορφής, π.χ. P,5 Z,5, P,5 Z, μορφής PZ z, π.χ P,5 Z,5 P Z,5 P Z,5 F(,5) F(, 5) Αν η τ.μ που μας δίδεται δεν έχει την τυπική κανονική κατανομή Z ~ 0,, αλλά μια, P Z μπορούν να βρεθούν μόνο αφού πρώτα μετασχηματιστούν σε πιθανότητες της οπουδήποτε κανονική κατανομή ~, τότε θα πρέπει να την μεταστρέψουμε σε τυπική κανονική με τον μετασχηματισμό Z. Παράδειγμα. Έστω ότι ~,3 και μας ζητείται από την εξίσωση P( x 3) 0,5889 να βρούμε το x. Από την δοθείσα έχουμε διαδοχικά x 4 P( ) P( z Z 0.666) F(0,666) F( z) 0, Με z= x. Λύνουμε την εξίσωση F (0,666) F ( z ) 0,588 ως προς F( z ) και παίρνουμε. 3 F( z) F(0,666) 0,588 F(0.67) 0,588 0,587 Εντοπίζουμε στον πίνακα το 0,587, προσδιορίζουμε το z και στην συνέχεια το x από την x z= 3 ΣΧΟΛΙΑ Αν η τιμή του z δεν υπάρχει στους πίνακες, π.χ αν z =,78 τότε πάμε στην πλησιέστερη τιμή,8. Αν η τιμή του z είναι μικρότερη από το -3,90 δεν υπάρχει στους πίνακες διότι σε αυτή την περίπτωση έχουμε πάντα PZ z =0 Αν η τιμή του z είναι μεγαλύτερη από το +3,90 δεν υπάρχει στους πίνακες διότι σε αυτή την περίπτωση έχουμε πάντα PZ z Το αντίστροφο πρόβλημα είναι το εξής Αν δίδεται ότι PZ z =. =δ. πόσο είναι το z ; Αυτό είναι μια εξίσωση με το δ γνωστό στην οποία ψάχνουμε την λύση της που είναι τιμή του z,. Για να βρούμε το z ψάχνουμε στον πίνακα της κανονικής κατανομής και εντοπίζουμε την τιμή του δ (ή την πλησιέστερη προς αυτήν). Στην συνέχεια κινούμαστε αριστερά στην οριζόντια γραμμή που βρίσκεται το δ και στην στήλη με την ένδειξη z, διαβάζουμε το ακέραιο μέρος του z και το πρώτο δεκαδικό του ψηφίο, ενώ στην κάθετο στήλη που βρίσκεται το δ,(στην κορυφή της σελίδας) διαβάζουμε το δεύτερο δεκαδικό του ψηφίο. Παράδειγμα. Αν PZ z =0,803, εντοπίζουμε το 0,803 και διαβάζουμε z =0,85. Αν PZ z =0,635, εντοπίζουμε το πλησιέστερο 0,6358 και διαβάζουμε z =0,35. Αν η εξίσωση δεν είναι της μορφής PZ z την μετατρέψουμε σε αυτή την μορφή. =δ. τότε για να την λύσουμε πρέπει απαραίτητα να 99

19 Περισσότερες εφαρμογές στην χρήση των πινάκων θα βρείτε στην ενότητα ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ των σημειώσεων Υποδείξεις λαθών και παραλείψεων θα είναι πολύ ευπρόσδεκτες. Το πλήρες υλικό αποτελείται από 00 δακτυλογραφημένες σελίδες και διατίθεται μόνο στους φοιτητές μας ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΣ τ. Καθηγητής Μαθηματικού Τμήματος Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Τηλ Κιν Emal: Ιστοσελίδα: