ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ( ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ) ΒΑΡΝΑΒΙΔΟΥ Β. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ανάλυση λειτουργίας βασικών ψηφιακών κυκλωμάτων για ανάπτυξη μοντέλων Επιβλέπων: ΝΙΚΟΛΑΪΔΗΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ.- Επίκουρος Καθηγητής Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 009

Στους γονείς μου Βαρνάβα και Αγγελική

Aντί προλόγου Κεντρικό θέμα της διπλωματικής αυτής εργασίας αποτελεί η ανάπτυξη μαθηματικού μοντέλου για την περιγραφή της λειτουργίας του Νmos που οδηγεί ένα φορτίο R π-model, έτσι ώστε να είναι δυνατή η δημιουργία ενός προγράμματος προσομοίωσης των κυκλωμάτων αυτών, με μεγάλη ταχύτητα και αρκετά μεγάλη ακρίβεια. Στο σημείο αυτό, ολοκληρώνοντας αυτή την διπλωματική εργασία, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Σπ. Νικολαϊδη επίκουρο καθηγητή του τμήματος Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης (Ραδιοηλεκτρολογίας) για την ανάθεση της, όπως επίσης και για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε, με τις καίριες και ουσιαστικές παρατηρήσεις πάνω σε διάφορα ζητήματα που προέκυψαν στην πορεία.

Περίληψη ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο : Εισαγωγή...Σελ.7 Κεφάλαιο : Ανάλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος..σελ.9. Εισαγωγή..Σελ.5. Φαινόμενο κορεσμού...σελ.9.3 Μελέτη της λειτουργίας του κυκλώματος, όταν εφαρμοστεί αύξουσα ράμπα στην πύλη του Νmos. Σελ..3. Μελέτη της εξίσωσης εισόδου και της απόκρισης του τρανζίστορ σε αυτήν..σελ.8.3. Μελέτη της εξίσωσης εξόδου του Νmos τρανζίστορ Σελ.8.33 Η τάση κατωφλίου του Νmos τρανζίστορ και η επιρροή που υφίσταται από την πόλωση του υποστρώματος Σελ.8.3.4 Έκφραση του V TN συναρτήσει του V s Σελ.8.4 Aνάλυση της λειτουργίας του κυκλώματος.. Σελ.8.5 Μοντελοποίηση της λειτουργίας του κυκλώματος..σελ.8.5. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του κυκλώματος..σελ.5. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του κυκλώματος για την περίπτωση της Slow put..σελ.8

.5.3 Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του κυκλώματος για την περίπτωση της Fast put Σελ.8 Κεφ. 3 : Aποτελέσματα..Σελ 8 Κεφ. 4 : Συμπεράσματα.Σελ 8 Κεφ. 5: Παράρτημα A Σελ.87 Βιβλιογραφία..,.. Σελ 8 Παράρτημα Α

6 Κεφάλαιο ο : Εισαγωγή Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με το πρόβλημα της εκτίμησης της απόδοσης ενός Νmos τρανζίστορ το οποίο οδηγεί φορτίο R π-model.to ευρέως αποδεκτό π-model, χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση μιας γραμμής διασύνδεσης που οδηγείται από ένα ΜΟS τρανζίστορ. Αναπτύχθηκαν απλά και αρκετά ακριβή μαθηματικά μοντέλα, τα οποία θα περιγράφουν όσο το δυνατόν πιο αποτελεσματικά τη λειτουργία του. Εφόσον αυτό το απλό αυτό ψηφιακό κύκλωμα είναι κύριο κομμάτι των ψηφιακών κυκλωμάτων, όσο πιο απλή και γρήγορη είναι η μελέτη της συμπεριφοράς του, τόσο πιο εύκολη και γρήγορη θα είναι στη συνέχεια η προσομοίωση μεγάλων ψηφιακών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Επιπλέον, τα προγράμματα άμεσης προσομοίωσης, όπως το SPE, ενώ λαμβάνουν υπ όψιν όλες τις παραμέτρους που είναι δυνατόν να επηρεάζουν την απόκριση ενός απλού ψηφιακού κυκλώματος, οδηγούν σε πολύπλοκα μαθηματικά μοντέλα, τα οποία δεν επιλύονται εύκολα. Οι παραπάνω λόγοι, αποτέλεσαν κίνητρο για την επιδίωξη απλούστερων μοντέλων περιγραφής της συμπεριφοράς απλών ψηφιακών κυκλωμάτων. Για τη μελέτη του ΜΟS τρανζίστορ επιλέγουμε τη χρήση του α-power μοντέλου. Η κυματομορφή της εξόδου και το propagatio delay το οποίο υπολογίστηκε, υπολογίζονται αναλυτικά και συγκρίνονται με τις προσομοιώσεις μέσω SPE. Το αναλυτικό μοντέλο που προκύπτει, μέσω της λεπτομερούς μελέτης της λειτουργίας του MOS trasistor, δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα τα οποία είναι πολύ κοντά στις προσομοιώσεις μέσω SPE. Μελετήθηκαν δύο διαφορετικές περιπτώσεις : slow και fast iput ramps.

Για την κάθε περίπτωση της προσομοίωσης, το μοντέλο μελετά τις τέσσερεις (ή τρεις) περιοχές λειτουργίας του ΜΟS τρανζίστορ και λαμβάνει την κυματομορφή της τάσης εξόδου για την κάθε περιοχή. Οι προσομοιώσεις μέσω SPE και τα αναλυτικά αποτελέσματα, οι αναλυτικές εκφράσεις για την απόκριση της εξόδου σε μια iput ramp καθώς και το propagatio delay, ταιριάζουν και είναι πολύ κοντά, όσον αφορά τις τιμές τους για ένα μεγάλο φάσμα παραμέτρων, εισόδων και στοιχείων των κυκλωμάτων.

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 8 Κεφάλαιο ο : Αναλυτική περιγραφή της λειτουργίας του κυκλώματος. Εισαγωγή Εικόνα.. N-mos drivig the p-model of a R load Θα μελετηθεί η λειτουργία του κυκλώματος που φαίνεται στην εικόνα. Η χωρητικότητα της εξόδου μοντελοποιεί τη χωρητικότητα της πύλης του επόμενου ψηφιακού κυκλώματος. Ο κόμβος 4 ορίζεται στη λογική 0 ή και μια ράμπα τάσης εισόδου εφαρμόζεται στην πύλη του κυκλώματος αυτού, δηλαδή στον κόμβο 3. Συνεπώς το τρανζίστορ θα εκφορτίσει ή θα φορτίσει την χωρητικότητα εξόδου αντίστοιχα. Θα θεωρήσουμε τη δεύτερη περίπτωση, που η χωρητικότητα εξόδου φορτίζεται μέσω του Nmos. Αρχικά δηλαδή θεωρείται αφόρτιστη, και ο κόμβος 4 ορίζεται στο λογικό.

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 9 Το ρεύμα φόρτισης ρέει μέσω του τρανζίστορ από τον κόμβο 4 προς τον κόμβο, οπότε ο κόμβος είναι η πηγή του τρανζίστορ. Στο κύκλωμα αυτό, όταν άγει το τρανζίστορ, λειτουργεί πάντα στον κόρο αφού V ds V gs - V TN ( V d V g V TN V dd V i - V TN ) Για την περιγραφή του ρεύματος του τρανζίστορ, χρησιμοποιήθηκε το a-power μοντέλο, το οποίο λαμβάνει υπ όψιν του το φαινόμενο κορεσμού της ταχύτητας των φορέων. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά του MOS a-power τρανζίστορ στις τρεις περιοχές λειτουργίας (αποκοπή, γραμμική, κόρο) δεν είναι πρώτης τάξης, αλλά είναι υψωμένες γενικά στη δύναμη a. Το μοντέλο αυτό προτάθηκε από τους Sakurai και Newto και θεωρείται το πιο αξιόπιστο για τρανζίστορ με μικρό μήκος καναλιού, μικρότερο του ενός μικρομέτρου, όπως είναι αυτό που θα μελετήσουμε σε αυτή την εργασία (0.3μm). Ταυτόχρονα παραμένει απλό και προσφέρεται για την ανάπτυξη αναλυτικών μοντέλων.. Φαινόμενο κορεσμού Σε τρανζίστορ με μεγάλο μήκος καναλιού (>μm), η ταχύτητα των φορέων είναι ανάλογη του ηλεκτρικού πεδίου. Η κινητικότητα δηλαδή των φορέων είναι σταθερή. Όταν όμως η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου φθάσει μια κρίσιμη τιμή Ε sat, παρατηρείται κορεσμός της ταχύτητας των φορέων. Σε τρανζίστορ με μικρό μήκος καναλιού (<μm), ακόμα και ελάχιστη τάση μεταξύ υποδοχής πηγής είναι επαρκής για να προκαλέσει κορεσμό της ταχύτητας των φορέων. Συνέπεια αυτού του φαινομένου είναι ότι στην περιοχή κόρου το ρεύμα υποδοχής, τείνει να γίνει ανάλογο της τάσης V gs - V TN, όσο το μήκος του καναλιού μικραίνει. Κατά ακρίβεια, το ρεύμα υποδοχής στην περιοχή κόρου είναι ανάλογο της τάσης V gs - V TN υψωμένης σε έναν εκθέτη a του οποίου η τιμή κινείται από την τιμή (για μεγάλο μήκος καναλιού) προς την τιμή με την αύξηση του φαινομένου κορεσμού της ταχύτητας των φορέων.

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 0 Για μήκος καναλιού κοντά στο μm. < α <.4, ενώ για πολύ μικρά μήκη καναλιού (<0.5μm) η τιμή του α είναι περίπου.λόγω του φαινομένου αυτού, στο κύκλωμα που θα μελετήσουμε θα χρησιμοποιήσουμε το a-power μοντέλο..3 Μελέτη της λειτουργίας του κυκλώματος όταν εφαρμοστεί αύξουσα ράμπα στην πύλη του Nmos Τα τρανζίστορ περάσματος αποτελούν όπως αναφέρθηκε κύριο στοιχείο των ψηφιακών κυκλωμάτων. Στην περίπτωση που μελετούμε το στοιχείο αυτό σε ένα κύκλωμα θεωρούμε ότι στην πύλη του η τάση που εφαρμόζεται είναι μια ράμπα που ακαριαία περνά από την τιμή 0 (λογικό 0 ) στην τιμή V dd (λογικό ). Οπότε οι δύο πιθανές διαδικασίες που θα εκτελεστούν υπό τις συνθήκες αυτές είναι η μεταφορά του λογικού, που ισοδυναμεί με φόρτιση της χωρητικότητας εξόδου στο λογικά υψηλό επίπεδο, και η μεταφορά του λογικού 0 που ισοδυναμεί με εκφόρτιση της χωρητικότητας εξόδου στο λογικά χαμηλό επίπεδο..3. Μελέτη της εξίσωσης εισόδου και της απόκρισης του τρανζίστορ σε αυτήν Το μοντέλο που θα μελετήσουμε είναι ένα τρανζίστορ Νmos στην πύλη του οποίου εφαρμόζεται τάση υπό μορφή ράμπας με χρόνο μετάβασης τ. Καθώς η τάση στην είσοδο V i = (V dd / τ) t αυξάνεται προς την τελική τιμή της V dd για t = τ, η τάση V (ή V out ) (κόμβος ), αυξάνεται και αυτή με ρυθμό ο οποίος είναι περίπου ίδιος με το ρυθμό αύξησης της τάσης εισόδου V i. Δηλαδή με άλλα λόγια, ο πυκνωτής ήταν αρχικά αφόρτιστος και φορτίζεται, εφόσον η τάση στον κόμβο είναι μηδενική ενώ στον κόμβο 4 είναι ίση με V dd. Tο δυναμικό του κόμβου 4 είναι υψηλότερο από αυτό του κόμβου με αποτέλεσμα να παρατηρείται ροή ρεύματος με φορά από τον κόμβο 4 στον. Με τον ίδιο ακριβώς ρυθμό αυξάνεται και η τάση στην πηγή του Nmos (κόμβος ). Ο πυκνωτής s φορτίζεται και αυτός με τον ίδιο ρυθμό φόρτισης του πυκνωτή όπως φαίνεται από τα διαγράμματα που λαμβάνουμε προσομοιώνοντας το κύκλωμα στο HSPE. H κυματομορφή του ρεύματος που το διαρρέει έχει ακριβώς την ίδια μορφή με αυτήν που διαρρέει τον πυκνωτή. Ανάλογα με την τιμή της αντίστασης R

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος μεταβάλλεται η μέγιστη τιμή του Ι m, ή Ι p (ανάλογα με την περίπτωση fast ή slow αντίστοιχα). Παρατηρούμε από τα διαγράμματα ότι οι τάσεις V (ή V οut ) και V S είναι σχεδόν ίσες κάθε χρονική στιγμή, ανάλογα με την τιμή της αντίστασης R. Δηλαδή η προσθήκη της αντίστασης R στο αρχικό Nmos περάσματος δεν επηρεάζει ιδιαίτερα την απόκριση του κυκλώματος. Ως περίπτωση slow iput, όπως φαίνεται και από το σχήμα., θεωρούμε την περίπτωση όπου το ρεύμα Ι οut που διαρρέει το φορτίο, αυξάνεται γραμμικά μέχρι να πάρει μια μέγιστη τιμή τη Ι p, η οποία μένει σταθερή για κάποιο χρονικό διάστημα δημιουργώντας πλατώ, και στη συνέχεια ελαττώνεται εκθετικά μέχρι να μηδενιστεί. Σχήμα. Περίπτωση SOW NPUT Ενώ ως περίπτωση fast iput, όπως φαίνεται και από το σχήμα.3 θεωρούμε την περίπτωση όπου το ρεύμα Ι οut που διαρρέει το φορτίο, αυξάνεται σχεδόν γραμμικά μέχρι

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος να πάρει μια μέγιστη τιμή τη Ι m, και στη συνέχεια ελαττώνεται εκθετικά μέχρι να μηδενιστεί. Σχήμα.3 Περίπτωση FAST NPUT Στο κύκλωμα που θα μελετήσουμε, το Νmos, έχει μήκος καναλιού = 0.3μm, και στην πύλη του εφαρμόζεται τάση υπό μορφή ράμπας με χρόνο μετάβασης τ. Η περίπτωση αυτή είναι πιθανότερο να συμβεί αφού η ακαριαία μετάβαση στο χρόνο είναι ιδανική κατάσταση που σπάνια ισχύει. Οπότε η είσοδος που εφαρμόζεται στο κύκλωμα φαίνεται στο σχήμα.4 και δίνεται από τη σχέση: 0, t 0 V V i = dd t, τ V dd 0 < t τ (.) t > τ Εφαρμόζουμε στην πύλη του τρανζίστορ την τάση που δίνεται από τη παραπάνω σχέση, ενώ στον κόμβο 4 τάση ίση με V dd.οι πυκνωτές στην έξοδο, καθώς και ο S στην πηγή του τρανζίστορ, θεωρούμε ότι είναι αφόρτιστοι.

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 3 Σχήμα.4 Βηματική είσοδος (iput ramp) με χρόνο ανόδου τ. Όσο η V i είναι ίση με V i = 0 το ρεύμα είναι μηδέν, δηλαδή το τρανζίστορ είναι σε αποκοπή. Η κατάσταση αυτή θα ισχύει μέχρις ότου η εφαρμοζόμενη τάση στην πύλη, ξεπεράσει την τάση κατωφλίου δηλαδή V i > V ΤΝ, οπότε το τρανζίστορ αρχίζει να άγει, φορτίζοντας τον πυκνωτή προς την τιμή V dd. Πρέπει βέβαια να σημειωθεί, ότι κατά τη διάρκεια της φόρτισης το τρανζίστορ βρίσκεται σε κατάσταση κόρου καθώς ισχύει V gs - V TN > V DS...3. Μελέτη της εξίσωσης εξόδου του MOS τρανζίστορ Σχήμα.5 Χαρακτηριστικές καμπύλες Ι-V MOS τρανζίστορ Σύμφωνα με το μοντέλο a-power το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε στη μελέτη μας, οι εξισώσεις του ρεύματος υποδοχής για κάθε περιοχή λειτουργίας έχουν ως εξής:

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 4 0 V gs V TN : Περιοχή αποκοπής D = k l (V gs - V TN ) α/ V DS V DS < V DSAT : Γραμμική περιοχή (.) k s (V gs - V TN ) α V DS V DSAT : Περιοχή κόρου όπου V DSAT : η τάση κόρου υποδοχής k l, k s α : οι παράμετροι διαγωγιμότητας που εξαρτώνται από το λόγο του πλάτους προς το μήκος του τρανζίστορ : o δείκτης κορεσμού της ταχύτητας των φορέων V TN : η τάση κατωφλίου Στο παραπάνω σχήμα.5 δίνονται οι χαρακτηριστικές καμπύλες -V για το MOS τρανζίστορ. Οι καμπύλες αντιστοιχούν στα αποτελέσματα προσομοίωσης με Hspice level 49. Οι τιμές των παραμέτρων α και k s, εφόσον το τρανζίστορ λειτουργεί μόνο στην περιοχή κόρου,εξάγονται από τις μετρήσεις επί των χαρακτηριστικών καμπυλών ή από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του τρανζίστορ (η k s ) ως εξής: Επιλέγονται πέντε σημεία στις χαρακτηριστικές του σχήματος.5 στα οποία μετρώνται οι τάσεις V gs και τα ρεύματα D. Εφαρμόζοντας τη σχέση που δίνει το ρεύμα διαρρέει το τρανζίστορ Ι D = k s (V gs - V TN ) α για καθένα από τα σημεία, και υπολογίζοντας το μέσο όρο αυτών, προκύπτει μετά από πράξεις: k s = D ( V V gs TN ) a Δηλαδή οη τιμή του ks θα δίνεται από τη σχέση: ks + k a s + k B s + k G s + k D se ks = (.3) 5

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 5 Ένας δεύτερος τρόπος με το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το k s, είναι από την εφαρμογή του μαθηματικού τύπου k s = μ ox W/. όπου μ είναι η ενεργή κινητικότητα των φορέων στο κανάλι W το πλάτος του καναλιού το μήκος του καναλιού ox η χωρητικότητα πύλης -οξειδίου Για τον δείκτη κορεσμού της ταχύτητας των φορέων α επιλέγονται δύο σημεία στις χαρακτηριστικές, έστω τα Α και Β του σχήματος.5, στα οποία μετρώνται οι τάσεις V gs και τα ρεύματα D. Εφαρμόζοντας τη σχέση που δίνει το ρεύμα D για καθένα από τα δύο σημεία Α και Β προκύπτει μετά από πράξεις: a = log log( D / ) A DB ( V V )/( V V ) gsa TN gsb TN (.4) Από τις παραπάνω εξισώσεις, εύκολα μπορεί να διαπιστωθεί, ότι το ρεύμα υποδοχής επηρεάζεται από κάποια αλλαγή στο χρόνο μετάβασης τ της ράμπας εισόδου ή στο πλάτος W του καναλιού του τρανζίστορ. Η αύξηση του χρόνου τ έχει ως συνέπεια η τάση πύλης - πηγής V GS να αυξάνεται με μικρό ρυθμό και έτσι να ανοίγει πιο αργά το κανάλι του τρανζίστορ, οπότε το ρεύμα λαμβάνει σε μεγαλύτερο χρονικό διάστημα τη μέγιστη τιμή του η οποία είναι μικρότερη σε σχέση με αυτή που αντιστοιχεί σε μικρότερο τ..3.3 Η τάση κατωφλίου του MOS τρανζίστορ και η επιρροή που υφίσταται από την πόλωση του υποστρώματος Η τάση κατωφλίου V TN του MOS τρανζίστορ θα ήταν ίση με V TO αν η πόλωση του υποστρώματος ήταν μηδενική. Λόγω όμως του φαινομένου της πόλωσης του υποστρώματος η τιμή της τάσης κατωφλίου μεταβάλλεται. Μια ανάστροφη πόλωση που εφαρμόζεται μεταξύ πηγής και υποστρώματος ελαττώνει την πυκνότητα ελεύθερων

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 6 φορέων στο κανάλι. Έτσι με την ανάστροφη πόλωση πηγής υποστρώματος η τάση κατωφλίου γίνεται θετικότερη. Δηλαδή V TN = γ ( φf + V SB φ F ) + VTO (.5) Οπότε ΔV TN = V TN V ΤΟ (.6) όπου: φ F : δυναμικό σώματος (bulk potetial) V SB : δυναμικό πηγής υποστρώματος V TO : τάση κατωφλίου για μηδενική πόλωση υποστρώματος γ : συντελεστής φαινομένου σώματος o οποίος δίνεται από τη σχέση Όπου γ = ε q N ε s : η ολική διηλεκτρική σταθερά του ημιαγωγού q : το φορτίο του ηλεκτρονίου Ν Α : η συγκέντρωση των δεκτών στον ημιαγωγό ox : η χωρητικότητα του διοξειδίου του πυριτίου s ox A (.7).3.4 Έκφραση του V TN συναρτήσει του V s Για να επιτύχουμε μια απλούστερη έκφραση για την τάση κατωφλίου, η οποία να χρησιμοποιηθεί εύκολα σε μαθηματική ανάλυση, την αναπτύσσουμε σε σειρά Ταylor ης Vdd V τάξης γύρω από το σημείο TO. Η τιμή αυτή της τάσης βρίσκεται στο μέσο των τιμών τάσεων που παίρνει η τάση V SB. Έτσι προκύπτει:

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 7 V TN (t) = d V s (t) + d (.8).4 Ανάλυση της λειτουργίας του κυκλώματος Θα μελετήσουμε τη λειτουργία του Nmos τρανζίστορ α δύναμης, το οποίο οδηγεί φορτίο R, όταν στον απαγωγό του (κόμβος 4),εφαρμοστεί τάση ίση με V dd.η χωρητικότητα θεωρείται αρχικά αφόρτιστη, και στην πύλη του εφαρμόζεται τάση υπό μορφή αύξουσας ράμπας με χρόνο μετάβασης τ..θα προσπαθήσουμε να την μοντελοποιήσουμε μαθηματικά. Η διαφορική εξίσωση η οποία περιγράφει τη φόρτιση της χωρητικότητας εξόδου είναι η εξής: ( V V ) dv a d i s dvs = ks ( Vi Vs VTN ) + gs s (.9) Στη μελέτη μας θα θεωρήσουμε για απλούστευση ότι = s. H παραπάνω εξίσωση δε μπορεί να λυθεί αναλυτικά εφόσον ο εκθέτης α έχει τιμή διαφορετική από το μηδέν. Έτσι κάνοντας κάποιες προσεγγίσεις για την κυματομορφή του ρεύματος στην έξοδο, η τάση στην έξοδο μπορεί να μοντελοποιηθεί με αρκετά μεγάλη ακρίβεια. Όπου gs είναι η παρασιτική χωρητικότητα πύλης πηγής του τρανζίστορ, η οποία για την περιοχή κόρου δίνεται από τη σχέση: gs = /3 ox W (.0) Όπου το ox εξαρτάται από την τεχνολογία, ενώ τα W και παριστάνουν το πλάτος και το μήκος του τρανζίστορ αντίστοιχα. Για να επιλύσουμε τη διαφορική εξίσωση του κυκλώματος (σχέση.9), διακρίνουμε δύο διαφορετικές περιπτώσεις για την ράμπα εισόδου, fast και slow, οι οποίες περιγράφονται στη συνέχεια.

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 8 Σχήμα.6 Οι κυματομορφές της τάσης και της έντασης του ρεύματος στην έξοδο του κυκλώματος για την περίπτωση της slow iput Για slow iput ramps η κυματομορφή του ρεύματος εμφανίζει πλατώ και στην περιοχή αυτή η τιμή του ρεύματος παραμένει σταθερή. Στην περίπτωση όμως που η κυματομορφή του ρεύματος δεν εμφανίζει πλατώ, η ράμπα εισόδου θεωρείται fast. H εμφάνιση πλατώ στη κυματομορφή του ρεύματος, εξαρτάται από την κλίση της ράμπας εισόδου, από το πλάτος και το μήκος του τρανζίστορ και από τις τιμές των χωρητικοτήτων. Kαθώς το τρανζίστορ αρχίζει να άγει, το ρεύμα που το διαρρέει αυξάνεται εκθετικά σύμφωνα με ην εξίσωση Ι D = k s (V gs - V TN ) α. Ακολουθώντας το ρεύμα, και η τάση εξόδου αυξάνεται εκθετικά εως τη χρονική στιγμή t p, όπου ο ρυθμός αύξησης της τάσης εξόδου ισοδυναμεί με το ρυθμό αύξησης της τάσης εισόδου.

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 9 Σχήμα.7 Οι κυματομορφές της τάσης και της έντασης του ρεύματος στην έξοδο του κυκλώματος για την περίπτωση της fast iput Στη συνέχεια το ρεύμα που διαρρέει το τρανζίστορ παίρνει μια σταθερή τιμή και η τάση στην έξοδο του κυκλώματος αυξάνεται γραμμικά με σταθερό ρυθμό. Αυτή η περιοχή λειτουργίας συνεχίζει ως το τέλος της μετάβασης της εισόδου, τη χρονική στιγμή τ όπου και η τάση εισόδου φθάνει στην τελική τιμή της και το ρεύμα αρχίζει να ελαττώνεται όσο η τάση εξόδου συνεχίζει να αυξάνεται (V gs ελαττώνεται). Αν και η χρονική στιγμή της έναρξης του πλατώ t p, δε διακρίνεται πάντα εύκολα, λόγω της ομαλής μετάβασης του ρεύματος στην περιοχή αυτή, η περιοχή του πλατώ φαίνεται καθαρά. Στην περίπτωση που η κλίση της ράμπας εισόδου είναι πολύ μεγάλη, το φορτίο στην έξοδο είναι μεγάλο ή το πλάτος του τρανζίστορ μικρό, ο ρυθμός αύξησης της τάσης εξόδου δεν θα γίνει ποτέ ίσος με την κλίση της εισόδου μέχρι το τέλος της ράμπας εισόδου δηλαδή την t = τ. Στην περίπτωση αυτή το ρεύμα αρχίζει να ελαττώνεται, χωρίς την εμφάνιση πλατώ (περίπτωση fast iput).

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 0.5 Μοντελοποίηση της λειτουργίας του κυκλώματος Ας θεωρήσουμε μια ράμπα εισόδου Vi =s t, η οποία εφαρμόζεται στην πύλη, στον κόμβο 3. Η κλίση της ράμπας s = Vdd / τ, οπου τ είναι ο χρόνος στον οποίο η είσοδος κάνει μια μετάβαση από μηδέν στη μέγιστη τιμή της Vdd. Θα γίνει ανάλυση για δύο διαφορετικές περιπτώσεις slow iput και fast iput Και στις δύο περιπτώσεις το τρανζίστορ αρχίζει να άγει όταν V i =V gs >V TN. Ακριβώς τη χρονική στιγμή που αρχίζει η αγωγιμότητα του τρανζίστορ: V V i = V TN = dd t οπότε t =( V TN / V dd ) τ (.) τ Μέχρι αυτή τη χρονική στιγμή t, δε ρέει καθόλου ρεύμα μέσα από το τρανζίστορ (το ρεύμα υποκατωφλίου sub, το θωρούμε σχεδόν μηδενικό).η χωρητικότητα στην έξοδο φορτίζεται μόνο από το ρεύμα μέσω της gs Μετά τη χρονική στιγμή t, όπως φαίνεται από το σχήμα.6, παρατηρούνται τρεις περιοχές για τη περίπτωση της slow iput, βασιζόμενες στη μορφή της κυματομορφής του ρεύματος που περνάει από το φορτίο. Στο διάστημα t < t < t p το ρεύμα αυξάνεται σχεδόν γραμμικά, ενώ στο διάστημα από t p < t < τ το ρεύμα παραμένει σχεδόν σταθερό (πλατώ). Τέλος για χρόνο t > τ το ρεύμα ελαττώνεται εκθετικά. Οι ίδιες περιοχές, εκτός αυτής του πλατώ, παρατηρούνται και για την περίπτωση της fast iput (σχήμα.7). Όπως αναλύσαμε προηγουμένως τη χρονική στιγμή t p o ρυθμός αύξησης της τάσης στην είσοδο V i γίνεται ίσος με το ρυθμό αύξησης της τάσης V s στον κόμβο, συμπεριλαμβανομένης και της τάσης κατωφλίου V TN. Αλλά V s V, οπότε ο ρυθμός αύξησης της τάσης στην είσοδο θα είναι ίσος και με το ρυθμό αύξησης της τάσης στην έξοδο του κυκλώματος V, δηλαδή στον κόμβο.αυτό γίνεται φανερό και από το διάγραμμα της V σε σχέση με την V ΙN (σχήμα.6).

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος Από το γεγονός ότι ο ρυθμός αύξησης της τάσης στην είσοδο V i γίνεται την t=t p ίσος με το ρυθμό αύξησης της τάσης V s, προκύπτει για την τάση V gs, ότι θα αυξάνεται ως τη χρονική στιγμή t p και στη συνέχεια θα παραμένει σχεδόν σταθερή ως τη χρονική στιγμή τ. Συνεπώς, η V gs ασκεί ένα μόνο μέρος της τάσης τροφοδοσίας (V dd =.8 V). Οι τιμές για τις παραμέτρους d και d είναι 0,09 και 0,39 αντίστοιχα όπως προκύπτουν από τη σχέση.8..5. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του κυκλώματος Αν θεωρήσουμε ότι σε κάθε κλάδο του κυκλώματος έχουμε ροή ρεύματος, από τη χρονική στιγμή που αρχίσει να άγει το Νmos τρανζίστορ, εφαρμόζοντας τον ο κανόνα του Κirchoff στο κύκλωμα μας (σχήμα.), προκύπτει η παρακάτω εξίσωση: i + i c = i s + i (.) Επίσης, για τον κλάδο του κυκλώματος που περιέχει το φορτίο και την αντίσταση R ισχύει: V s V = i R (.3) και i dv = (.4) Υπολογίζοντας την παράγωγο της σχέσης.3 προκύπτει: dv S ( t) R dv d = + = = dv ( t) dv d + R = dv d V + R

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος Δηλαδή : dv S dv d V + = R (.5) Για το i s που διαρρέει τον πυκνωτή s : i s dv dv d V s = = + R (.6) Για το i c που διαρρέει την παρασιτική χωρητικότητα gs : dvi dvs Vdd dvs ic = gs = gs gs τ dv d V = gs s gs gs R = i c = gs s gs dv gs d V R (.7) Με αντικατάσταση των παραπάνω στην αρχική σχέση. που εκφράζει την αρχή διατήρησης του φορτίου, προκύπτει: + s gs gs gs + R i dv dv R dv = d V dv + ( ) ή d V R gs + dv s gs + = i (.8) + + + gs gs gs

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 3 Για απλοποίηση, στην παραπάνω σχέση.8, κάνω τις εξής αντικαταστάσεις: = R ( gs + ) = + gs 3 = gs s 4 = 3 5 = Οπότε προκύπτει : 4 d V dv + 5 = i (.9) Στη συνέχεια θα αναλύσουμε την κάθε περιοχή λειτουργίας για τις δύο περιπτώσεις slow iput και fast iput, βασιζόμενοι στις εξισώσεις που έχουν προκύψει..5. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του κυκλώματος για την περίπτωση της Slow put Regio. 0 < t t Στην περιοχή αυτή το Ν-mos είναι σε αποκοπή, αφού V gs < V TN, οπότε i = 0 Δηλαδή η σχέση. θα γίνει: i c = i s + i

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 4 Η χωρητικότητα εξόδου, φορτίζεται από το ρεύμα i c που περνάει από την παρασιτική χωρητικότητα gs, μειωμένο κατά την ποσότητα i s, δηλαδή το ρεύμα που περνάει από τη χωρητικότητα s. d V dv Από τη σχέση.9: 4 + 5 = 0, dv με αρχικές συνθήκες V(0) = 0 και t=0 = 0 t V t 4 ( ) = e 4 5 + 5 t (.0) Για το ρεύμα i (t): t dv = = 4 i ( ) t 5 e i t) = e ( 5 t 4 (.) Υπολογισμός του χρόνου t : Τη χρονική στιγμή t = t αρχίζει η αγωγιμότητα του τρανζίστορ. Τότε ακριβώς ισχύει: V gs = V TN V g -V s = V TN V i - V s = V TN

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 5 Vdd τ ( V ( t ) + i ( t R) = VTN t ) (.) Στις μικρές αυτές τάσεις αυτές αγνοώ το body effect δηλαδή ισχύει V TN =V Τ0. Αντικαθιστώντας στην τελευταία σχέση τα V (t) και i (t), προκύπτει t s 5 5 4 TO = (.) 4 ( ) t ( R ) e V 0 Προσεγγίζοντας με σειρά Τaylor ( ης 4 τάξης) το, προκύπτει: t 4 e =,67 0 t +,3940 t e t Oπότε η δευτεροβάθμια εν τέλει εξίσωση, από ην οποία προκύπτει η χρονική στιγμή t = t είναι η εξής: ( ) t ( R ) ( -,67 0 t +,390 t ) 0,38 0 s 5 5 4 = (.3) Για την περιοχή αυτή (cut off-regio ) θα είναι: gso = W D ox (.4)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 6 Regio. t < t t p Η περιοχή αυτή, ξεκινά τη χρονική στιγμή t όταν η τάση V gs ισοδυναμεί με την τάση κατωφλίου του τρανζίστορ, και φτάνει ως τη χρονική στιγμή t p όπου το ρεύμα παίρνει την μέγιστη τιμή του, αυτή του πλατώ Ι p. Σύμφωνα με τα δεδομένα της προσομοίωσης, μπορεί με καλή προσέγγιση να θεωρηθεί ότι το ρεύμα Ι (t) το οποίο φορτίζει τη χωρητικότητα εξόδου, μεταβάλλεται γραμμικά σε σχέση με το χρόνο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.8. Σχήμα.8 Το ρεύμα Ι στην έξοδο του κυκλώματος, κατά το χρονικό διάστημα t εως t p μεταβάλλεται γραμμικά Συνεπώς, το ρεύμα αυτό, μπορεί να προσεγγιστεί ως εξής: p ( t) ( t) = ( t t ) ( t) (.5) t t + p

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 7 Για το V (t), η διαφορική εξίσωση στον κόμβο γίνεται: i dv = p ( t t ) + ( t) t ( t) p t = dv dv = p ( ) t t + ( t ) ( t) (.6) t t p Aπό την τελευταία σχέση, ολοκληρώνοντας ως προς το χρόνο t, προκύπτει η τελική έκφραση της τάσης V (t) στην έξοδο: p ( t) V ( t) = + t t p ' ( t t ) + ( t) ( t t ) (.7) Υπολογισμός της σταθεράς ολοκλήρωσης Για τη χρονική στιγμή t ισχύει: V (t ) = Οπότε: p ( t) V ( t) = ( t t ) + ( t) ( t t ) + V (t) t t p (.8) H σταθερά V (t ), εξασφαλίζει συνέχεια με την προηγούμενη περιοχή.

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 8 Για την περιοχή αυτή (regio ), όπως και για τις υπόλοιπες regio 3-4, θα είναι: gs = /3 W ox (.9) Regio 3. t p t < τ Στην περιοχή αυτή το ρεύμα χαρακτηρίζεται από τη σταθερή τιμή του Ι p, δηλαδή κάθε χρονική στιγμή ισχύει: Ι = p Για το ρεύμα ισχύει: Ι (t) = Eνώ η τάση στην έξοδο του κυκλώματος είναι: dv = p (.30) p dv = V (t) = p + '' t (.3) Υπολογισμός της σταθεράς ολοκλήρωσης Τη χρονική στιγμή t = t p, V (t p ) = p '' p t p + = V (t p ) - t p και τελικά V (t) = p t + V (t ) - p t, p p p + V (t p ) (.3) p V (t) = ( t t )

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 9 Η σταθερά V (t p ) εξασφαλίζει συνέχεια με την προηγούμενη περιοχή, regio. REGON 4. t τ Στην περιοχή αυτή όπως φαίνεται και από το παρακάτω σχήμα, η τάση εισόδου είναι ίση με V dd. Σχήμα.9 Μετά την t = τ η τάση στην είσοδο του κυκλώματος είναι ίση με V dd To ρεύμα Ι, το οποίο φορτίζει τη χωρητικότητα εξόδου, ελαττώνεται εκθετικά σε συνάρτηση με το χρόνο. Υποθέτουμε ότι το ρεύμα αυτό περιγράφεται από την παρακάτω σχέση : (t) = ( t τ ) bs p e (.33) Επίσης ισχύει: i dv = (.34) Από τις δύο τελευταίες σχέσεις, εξισώνοντας προκύπτει: ( t τ ) bs p e = dv

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 30 dv p = bs ( t τ ) e (.35) Θέτοντας (.35) => t τ = u, t = u + τ, = du, dv p = bs u e du p bs u V ( u +τ ) = - e + b s ''' ή V () t = - p b s e bs ( t τ ) + ''' (.36) Υπολογισμός της σταθεράς ολοκλήρωσης ''' τη χρονική στιγμή t = τ, p V (τ) = - + b s ''' ''' = V (τ) + p b s ( ) p b t τ και τελικά V (t) = - e s + V (τ) + b s p b s Δηλαδή V () t = p b s bs ( t τ ) ( e ) + V ( τ ) (.37) Η σταθερά V (τ), εξασφαλίζει συνέχεια με την προηγούμενη περιοχή, regio 3.

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 3 Από τις παραπάνω εξισώσεις μπορούν να υπολογιστούν οι τιμές του ρεύματος και της τάσης στην έξοδο του κυκλώματος για κάθε χρονική στιγμή t, αφού πρώτα όμως υπολογιστούν οι παράμετροι Ι p, b s, t p. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ α. Yπολογισμός του Ι p Σχήμα.0 Στο κύκλωμα φαίνονται τα ρεύματα που διαρρέουν κάθε κλάδο του την χρονική στιγμή t = t p Όταν εφαρμοστεί μια ράμπα εισόδου στην πύλη του τρανζίστορ, μετά από χρόνο t η τάση στην έξοδο αυξάνεται εκθετικά σε συνάρτηση με το χρόνο (regio ), με μεγαλύτερο ρυθμό από την τάση στην είσοδο. Για τις slow iput ramps υπάρχει μια χρονική στιγμή t p, όπου η τάση V s στον κόμβο (συμπεριλαμβανομένης και της τάσης κατωφλίου V TN ), (καθώς και η V ) αυξάνεται με ρυθμό ίσο με το ρυθμό αύξησης της τάσης στην είσοδο διατηρώντας έτσι το ρεύμα σε μια σταθερή τιμή. Από τη χρονική αυτή στιγμή και μέχρι η είσοδος να φθάσει στη τελική τιμή της V dd, η σταθερή αυτή τιμή του ρεύματος δίνει το πλατώ στην κυματομορφή του ρεύματος σχήμα..

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 3 Συνεπώς η χρονική στιγμή που ξεκινάει το πλατώ t p, είναι το σημείο όπου η κλίση της κυματομορφής της τάσης στην είσοδο, ισοδυναμεί με την κλίση της κυματομορφής της τάσης στον κόμβο (V S ), και τελικά ισοδυναμεί και με την κλίση της κυματομορφής στην έξοδο του κυκλώματος V. Σχήμα. H κλίση τη κυματομορφής στην είσοδο του κυκλώματος ισοδυναμεί με την κλίση της κυματομορφής στον κόμβο (V S ), καθώς και με την κλίση της κυματομορφής στην έξοδο του κυκλώματος V Τη χρονική στιγμή t = t p το ρεύμα φόρτισης του πυκνωτή στην έξοδο i, παίρνει τη μέγιστη σταθερή τιμή του Ι p, την οποία και διατηρεί μέχρι τη χρονική στιγμή τ. Δηλαδή ισχύει : i (t p ) = Ι p Εφαρμόζοντας τον ο νόμο του Kirchoff στον κόμβο του κυκλώματος έχουμε: Ι + gs = p = s + p (.38)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 33 Σύμφωνα με προηγούμενη μελέτη για το pass trasistor [], την χρονική στιγμή t = t p, το ρεύμα Ι p παίρνει μια σταθερή τιμή, Ι p = ct Δηλαδή Oπότε θα ισχύει : Ι + gs = Ι p = ct d p = 0 d p d d cgs = + και άρα d d cgs = = 0 Αλλά i (t) = k s (V gs V TN ) α = = k s (V g V s V TN ) α = =k s (V i (t) V s (t) V TN ) α (.39) Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση προκύπτει: di = 0 α i s TN a ks ( V () t V () t V ) 0 dv d ( V + V ) = i s TN Την t = t p : dv i d( V = + V s TN t= t p t= t p ) = s (.40) O πρώτος όρος, dv i, εκφράζει την κλίση s της βηματικής εισόδου Vi. Oπότε θα είναι d s = ( V + d V d ) s s + = ( V ( + d ) + d ) d s

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 34 dv (.4) s ή s = ( + d ) t= t p δηλαδή dv s s = + d (.4) Από τη σχέση.38: s + p = p (.43) Οπότε s = dv s s = + d = ct (.44) Δηλαδή τη χρονική στιγμή t = t p : s = ct και p = ct Και από τη σχέση.43 προκύπτει ότι και p = ct Με εφαρμογή του ου κανόνα Κirchoff: V s = V + p R V s - V = p R (.45) Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση.45 ως προς το χρόνο προκύπτει: dv s dv = dvs dv = s = p = s + d (.46)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 35 Από τη σχέση.43 έχουμε: p = s + p = s + d p = s + d (.47) και συνεπώς p s = p = (.48) β. Yπολογισμός του t p Ως χρονική στιγμή t p, ορίσαμε τη χρονική στιγμή που ξεκινάει το πλατώ της κυματομορφής του ρεύματος. Από την εξίσωση που προέκυψε για την τάση εξόδου στην regio (.8), με αντικατάσταση για t = t p προκύπτει: p ( t) V ( t p ) = ( t p t ) + ( t) ( t p t ) + V (t) = t t p = ( t t ) ( + ( t )) + V ( t ) p p (.49) Από την εξίσωση που βρήκαμε για την τάση εξόδου στην regio 3 (.3), με αντικατάσταση για t = τ προκύπτει :

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 36 p V (τ) = ( t ) τ + V (t p ) (.50) p Από τις δύο τελευταίες σχέσεις εξισώνοντας τα V (t p ) προκύπτει ο χρόνος t p : t p t = ( ( t ) + ) τ + [ V ( τ ) V ( t )] p p ( t ) p (.5) Η διάκριση μεταξύ slow και fast iput γίνεται μεσω της τιμής του t p. Aν t p < τ τότε θεωρείται ως περίπτωση slow iput, ενώ σε αντίθετη περίπτωση ως fast iput. Παρατηρώντας την τελευταία εξίσωση, προκύπτει ότι για τον υπολογισμό του χρόνου t p, θα πρέπει να υπολογιστούν πρώτα κάποιοι άλλοι όροι, όπως το V (τ). Yπολογισμός του V (τ): Από το κύκλωμα εφαρμόζοντας τον ο κανόνα του Kirchoff προκύπτει: V s (t) = V (t) + R (.5) Την t = τ είναι = p Οπότε η τελευταία σχέση.5 γίνεται: V s (τ) = V (τ) + p R (.53)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 37 Δηλαδή: V (τ) = V s (τ) - p R (.54) Από την τελευταία σχέση, συμπεραίνουμε ότι για να υπολογιστεί το V (t), θα πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του V s (t) την οποία θα υπολογίσουμε παρακάτω. Yπολογισμός του V s (τ): Aπό το κύκλωμα εφαρμόζοντας τον o κανόνα του Kirchoff προκύπτει: p = Ι (sat) + gs (.55) Κάνοντας αντικαταστάσεις στην παραπάνω σχέση.55, για την χρονική στιγμή t = τ θα ισχύει: p = k s (V gs V TN ) α + gs (τ) = = k s (V ΙΝ V s (τ) V TN (τ)) α + gs (τ) = = k s (V dd V s (τ) d V s (τ) d ) α + gs (τ) = = k s (V dd V s (τ) (+ d ) d ) α + gs (τ) δηλαδή, p = k s (V dd V s (τ) (+ d ) d ) α + gs (τ) (.56)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 38 Τελικά μετά από πράξεις προκύπτει: V s () t = V dd d a p k s gs ( τ ) + d Από την τελευταία σχέση.57, συμπεραίνουμε ότι για να υπολογιστεί το V s (t), θα πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του gs (τ), την οποία θα υπολογίσουμε παρακάτω. (.57) Υπολογισμός του gs (τ): Για το gs (t), ισχύει: gs = () t gs = gs dv dd dv gs gs = gs dv dvn dvs gs d V + R = (.58) Aπό τη regio 3 (tp t< τ), η εξίσωση για την τάση εξόδου είναι: p V (t) = ( t t ) + V (t p ) p Και από αυτή παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t προκύπτουν οι: dv p = (.59) d V = 0 (.60)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 39 Με αντικαταστάσεις, η σχέση.58 θα γίνει: gs (t) = gs Vdd τ gs p = gs (τ) Δηλαδή gs (τ) = gs Vdd τ gs p (.6) γ. Υπολογισμός του b s : Στην regio 4, βρήκαμε την παρακάτω εξίσωση που περιγράφει το ρεύμα που διαρρέει τη χωρητικότητα εξόδου : (t) = p e bs ( t τ ) Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε το συνολικό φορτίο που αποθηκεύεται στη χωρητικότητα εξόδου, κατά τη διάρκεια της regio 4, το οποίο αντιστοιχεί στο ολοκλήρωμα του ρεύματος στην έξοδο του κυκλώματος στην περιοχή αυτή. dq = i τ dq = τ i Q = τ Ι p e b = b ( t τ ) b ( t τ ) s s e s Ι p τ Ι = b p s δήλαδή, Q = b p s s = bs d ( + ) (.6)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 40 Eπίσης ισχύει: Q ( ( ) ( τ )) = V V (.63) Από τη σχέση: V s (t) = V (t) + R, όταν t προκύπτει με καλή προσέγγιση: V ( ) V s ( ), αφού ( ) 0 Σχήμα. Το pass trasistor δεν έχει τη δυνατότητα να μεταφέρει ανεπηρέαστο το λογικό V s ( ) = V dd V TN ( ) = = V dd - d V s ( ) d (.64) Τελικά από τη.64 μετά από πράξεις προκύπτει: V s ( )= V dd d + d (.65) Από τη σχέση.63, με αντικατάσταση προκύπτει: Vdd d Q = V ( τ ) + d V Q = dd d ( + d ) V ( τ ) + d (.66)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 4 Εξισώνοντας τις σχέσεις.6 και.66 προκύπτει η έκφραση για το b s : b s = V dd d s ( + d ) V ( ) τ (.67).5.3 Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του κυκλώματος για την περίπτωση της Fast put Στην περίπτωση της fast iput δεν υπάρχει πλατώ στην κυματομορφή του ρεύματος. Η regio 4 ακολουθεί τη regio, η οποία εκτείνεται μέχρι το τέλος της μετάβασης της εισόδου, δηλαδή τη χρονική στιγμή τ. Εδώ η κυματομορφή του ρεύματος δεν παρουσιάζει πλατώ, αλλά μετά από τη μέγιστη τιμή που παίρνει, αρχίζει να ελαττώνεται εκθετικά σε σχέση με το χρόνο. Στην regio, το ρεύμα του τρανζίστορ προσεγγίζεται από μια γραμμική συνάρτηση. Όσο η τάση στην είσοδο αυξάνεται, αυξάνεται και η τιμή του ρεύματος εως τη χρονική στιγμή t = τ, όπου το ρεύμα παίρνει τη μέγιστη τιμή του Ι m. Regio. 0 < t t Στη περιοχή αυτή το -MOS είναι σε αποκοπή, αφού V gs < V TN, οπότε i = 0. H ανάλυση είναι παρόμοια με αυτή που έγινε για slow iput οπότε: t V t 4 ( ) = e 4 5 + 5 t (.68)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 4 Για το ρεύμα i (t): t = 4 i ( t) 5 e (.69) Η χρονική στιγμή t, όπου το -mos αρχίζει να άγει, είναι και στην περίπτωση αυτή, η λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης : ( ) t ( R ) ( -,67 0 t +,390 t ) 0,38 0 s (.70) 5 5 4 = Regio. t < t τ Και σε αυτή την περιοχή ισχύει η ανάλυση που έγινε για slow iput. Βέβαια, στην περίπτωση αυτή αλλάζουν τα όρια της περιοχής. H regio, εκτείνεται από τη χρονική στιγμή t όταν η τάση V gs ισοδυναμεί με την τάση κατωφλίου του τρανζίστορ, εως τη χρονική στιγμή τ όπου η τάση τροφοδοσίας φθάνει στη μέγιστη τιμή της V dd. Τη χρονική στιγμή t το τρανζίστορ αρχίζει να άγει, οπότε η τιμή του ρεύματος i (t) που φορτίζει τον πυκνωτή αυξάνεται. Θα συνεχίζει να αυξάνεται ως τη χρονική στιγμή τ όπου το ρεύμα θα πάρει τη μέγιστη τιμή του Ι m. Σύμφωνα με τα δεδομένα της προσομοίωσης, μπορεί να θεωρηθεί ότι το ρεύμα που φορτίζει τη χωρητικότητα εξόδου, i (t) μεταβάλλεται γραμμικά σε σχέση με το χρόνο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.3. Συνεπώς το ρεύμα φόρτισης του πυκνωτή μπορεί να προσεγγιστεί ως εξής : m ( t) ( t) = t τ t ( t t ) ( ) + (.7)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 43 Σχήμα.3 Στην regio το ρεύμα i (t) μεταβάλλεται γραμμικά σε σχέση με το χρόνο Για το V (t), η διαφορική εξίσωση στον κόμβο γίνεται: i dv = ( t) m ( t t ) + ( t) τ t = dv dv = m ( ) t t + ( t ) τ t ( t) (.7) Aπό την τελευταία σχέση.7 ολοκληρώνοντας ως προς το χρόνο t, προκύπτει η τελική έκφραση της τάσης στην έξοδο: m ( t) V ( t) = + τ t ' ( t t ) + ( t) ( t t ) (.73)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 44 Υπολογισμός της σταθεράς ολοκλήρωσης Για τη χρονική στιγμή t ισχύει : V (t ) = Οπότε : m ( t) V ( t) = ( t t ) + ( t) ( t t ) + V (t) τ t (.74) Όπως προαναφέραμε, η σταθερά V (t ), εξασφαλίζει συνέχεια με την προηγούμενη περιοχή regio. Regio 4. t > τ Στην περιοχή αυτή, η τάση εισόδου είναι ίση με V dd.to ρεύμα Ι το οποίο φορτίζει τη χωρητικότητα εξόδου, ελαττώνεται εκθετικά σε συνάρτηση με το χρόνο. Υποθέτουμε ότι το ρεύμα αυτό περιγράφεται από την παρακάτω σχέση: (t) = m e b f ( t τ ) (.75) Επίσης ισχύει: (t) = dv (.76) Από τις δύο τελευταίες σχέσεις.75 και.76, εξισώνοντας προκύπτει, b ( t τ ) f e = m dv dv ( τ ) = m b f t e (.77)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 45 Τελικά ολοκληρώνοντας ως προς το χρόνο: m V () t = - b f e b f ( t τ ) + ''' (.78) Υπολογισμός της σταθεράς ολοκλήρωσης ''' m τη χρονική στιγμή t = τ: V (τ) = - + b f ''' Δηλαδή ''' = V (τ) + m b f και τελικά από τη.78: V (t) = - ( ) m b f b t τ e f + V (τ) + m b f Δηλαδή V () t = f b ( t τ ) ( e ) V ( τ ) m f + b (.79) Η σταθερά V (τ), εξασφαλίζει συνέχεια με την προηγούμενη περιοχή, regio.

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 46 Από τις παραπάνω εξισώσεις, οι κυματομορφές του ρεύματος και της τάσης εξόδου, μπορούν να υπολογιστούν για οποιαδήποτε χρονική στιγμή, αν υπολογιστούν οι παράμετροι, Ι m, b f. α. Y π ο λ ο γ ι σ μ ό ς τ ο υ Ι m Σχήμα.4 Στο κύκλωμα φαίνονται τα ρεύματα που διαρρέουν κάθε κλάδο του, την χρονική στιγμή t = τ Όπως προαναφέρθηκε, τη χρονική στιγμή t = τ, η τιμή του ρεύματος Ι που διαρρέει τη χωρητικότητα εξόδου έχει πάρει τη μέγιστη τιμή του Ι m. Δηλαδή ισχύει : i (τ) = Ι m Εφαρμόζοντας τον ο νόμο του Kirchoff στον κόμβο του κυκλώματος έχουμε: Οπότε θα είναι: Ι + gs (τ) = s (τ) + m (.80) (τ) = m = k s (V gs V TN ) α + gs (τ) - s (τ) = = k s [V g V s (τ) (d V s (τ)+ d )] α + gs (τ) - s (τ) = = k s [V dd (+d ) V s (τ) d ] α + gs (τ) - s (τ) Δηλαδή : m = k s [V dd (+d ) V s (τ) d ] α + gs (τ) - s (τ) (.8)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 47 Σύμφωνα με τον ο κανόνα του Kirchoff έχουμε για το V s (τ): V s (t) = V (t) + (t) R Για t = τ: V s (τ) = V (τ) + (τ) R ή V s (τ) = V (τ) + m R (.8) Οπότε η σχέση.8 γίνεται: m = k s [V dd (+d ) (V (τ) + m R ) d ] α + gs (τ) - s (τ) (.83) Μελετώντας την παραπάνω σχέση, συμπεραίνουμε ότι για τον υπολογισμό του m θα πρέπει να γνωρίζουμε τις τιμές των V (τ), gs (τ) και s (τ). Υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς τ ο υ V (τ): Από τη σχέση που υπολογίσαμε για την τάση στη έξοδο στη regio, υπολογίζουμε την V (τ): V m ( t) τ ) = ( τ t ) + ( t) ( τ t ) + V (t) = τ t ( = ( ( t )) ( τ t ) + ( τ t ) + V ( t ) m ( t )

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 48 Μετά από πράξεις καταλήγουμε στην τελική έκφραση για το V (τ) : V m + ( τ ) = ( + ( t )) ( τ t ) V ( t ) (.84) Y π ο λ ο γ ι σ μ ό ς τ ο υ s (τ): Ισχύει για το s (t): s (t) = dv s dv και S dv d V = + R (.85) s (t) = dv d V + R (.86) Από τη regio : ( t) dv = m ( ) t t + ( t ) τ t dv t=τ ( t) τ t m = ( τ t ) + ( t) Ι m = d V = m ( t) ( τ t ) Oπότε η σχέση.86 γίνεται:

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 49 s (t) = m ( t) R + ( τ t ) m Και τελικά: s (t) = s (τ) = + ( t ) m R R t τ τ t (.87) Υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς τ ο υ Ι g s (τ): Ισχύει Ι gs (t) = gs dv gs = gs dv τ dd gs dv s dvs t=τ = m R + τ t R τ t Ι ( t ) Άρα θα είναι V dd Ι gs (τ) = gs + + Ι ( t ) τ gs m R τ t R τ t gs Δηλαδή: V dd Ι gs (τ) = gs + + Ι ( t ) τ gs m R τ t R τ t gs (.88) Ισχύει (σχέση.83): m = k { V ( + d ) [ V R] d } α + ( τ ) Ι ( τ ) s dd s gs = s

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 50 = ( ) ( ) [ ] { } α τ d R V d V k m dd s + + + [- + m t R τ + ( ) t t R Ι τ ] gs + + ( ) + m gs dd t t R t R V τ τ τ Μετά από πράξεις και προσεγγίζοντας το α προκύπτει η έκφραση για το Ι m : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gs gs s s gs gs m t R t R R d k V d k t t R s t t R + + + + + + Ι + + Ι = τ τ τ τ τ (.89) β. Y π ο λ ο γ ι σ μ ό ς τ ο υ b f Στην regio 4, βρήκαμε την παρακάτω εξίσωση που περιγράφει το ρεύμα που διαρρέει τη χωρητικότητα εξόδου: (t) = ( ) τ t b m f e Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε το συνολικό φορτίο που αποθηκεύεται στη χωρητικότητα εξόδου, κατά τη διάρκεια της regio 4, το οποίο αντιστοιχεί στο ολοκλήρωμα του ρεύματος στην έξοδο του κυκλώματος στην περιοχή αυτή. dq = i = τ τ i dq ( ) ( ) s m m t b f t b m b e b e Q f f Ι = Ι = Ι = τ τ τ τ

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 5 δηλαδή, Q = b m f (.90) Eπίσης ισχύει Q ( ( ) ( τ )) = V V (.9) Από τη σχέση : V s (t) = V (t) + R, όταν t προκύπτει : V ( ) V s ( ), αφού ( ) 0 Σχήμα.3. Το pass trasistor δεν έχει τη δυνατότητα να μεταφέρει ανεπηρέαστο το λογικό V s ( ) = V dd V TN ( ) = = V dd - d V s ( ) d και τελικά V s ( )= V dd d + d Από τη σχέση.9, προκύπτει με αντικατάσταση : Vdd d Q = V ( τ ) + d V Q = dd d ( + d ) V ( τ ) + d (.9)

Κεφάλαιο- Αναλυση περιοχών λειτουργίας κυκλώματος 5 Εξισώνοντας τις σχέσεις.90 και.9 προκύπτει: b f + d m = (.93) V d dd ( + d ) V ( τ )

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 53 Κεφάλαιο 3 ο : Αποτελέσματα Η προτεινόμενη ανάλυση εφαρμόστηκε και επαληθεύτηκε από συγκρίσεις με τα αποτελέσματα που έδωσαν οι προσομοιώσεις του SPE για ένα Νmos τεχνολογίας 0.3μm. Το μοντέλο που προέκυψε, εκτιμήθηκε για διαφορετικούς χρόνους μετάβασης της τάσης εισόδου τ, για διαφορετικές τιμές των στοιχείων του κυκλώματος, όπως για διάφορες τιμές πλάτους του τρανζίστορ W, χωρητικότητας της εξόδου του κυκλώματος και της αντίσταση R. Στα διαγράμματα που παρατίθενται παρακάτω είναι φανερή η ακρίβεια στην εκτίμηση των κυματομορφών της τάσης V στην έξοδο του κυκλώματος Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται οι κυματομορφές της τάσης στην έξοδο του κυκλώματος για διάφορες τιμές του χρόνου μετάβασης της τάσης εισόδου τ, του πλάτους του τρανζίστορ W και της χωρητικότητας στην έξοδο του κυκλώματος αντίστοιχα και της αντίστασης R. Παρουσιάζονται τα αποτελέσματα για slow και fast iput ταυτόχρονα. Παρατηρούμε ότι υπάρχει πολύ καλή προσέγγιση όσον αφορά τις κυματομορφές της τάσης στην έξοδο που προέκυψαν από τη μοντελοποίηση του κυκλώματος. Μεγαλύτερες διαφορές στις κυματομορφές εμφανίστηκαν κοντά στα όρια μεταξύ των περιοχών slow και fast iput. Ως propagatio delay ορίζεται ο χρόνος που μεσολαβεί από τη χρονική στιγμή που η τάση στην είσοδο έχει πάρει την τιμή V dd / εως τη χρονική στιγμή που η τάση στην έξοδο του κυκλώματος έχει πάρει την ίδια τιμή δηλαδή V dd /. Στους πίνακες 3., 3., 3.3, 3.4 φαίνονται τα συγκριτικά αποτελέσματα για το propagatio delay μεταξύ των δύο μεθόδων, μοντελοποίησης και προσομοίωσης

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 54 μέσω SPE. Παρατηρούμε ότι οι υψηλότερες τιμές για το σφάλμα εμφανίζονται στα όρια μεταξύ των περιοχών slow και fast iput, όπως ήταν αναμενόμενο.. Μεγαλη ακρίβεια παρατηρούμε στις κυματομορφές της τάσης V στην έξοδο καθώς και σε αυτές που αποδίδουν την ένταση του ρεύματος στην έξοδο. τ=.4s,w=.3μm, R=400Ω Prop.delay (HSPE) Prop.delay (MODE) ERROR(%) (ff) (psec) (psec) 30 540 55 4,6 00 700 640 8,5 50 790 70 0 00 000 70 8 500 0 70 39,8 Πίνακας 3.. Συγκριτικά αποτελέσματα για το propagatio delay μεταξύ SPE και MODE για μεταβλητό =50fF, R=00Ω,W=.3μm Prop.delay (HSPE) Prop.delay (MODE) ERROR(%) τ (sec) (psec) (psec) 0, 50 00 5 0,3 30 50 34 0,8 370 330 0 460 400, 50 450 5 750 70 Πίνακας 3.. Συγκριτικά αποτελέσματα για το propagatio delay μεταξύ SPE και MODE για μεταβλητό τ

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 55 =30fF, R=00Ω, τ=,4s Prop.delay (HSPE) Prop.delay (MODE) ERROR(%) W (μm) (psec) (psec) 0,3 700 580 7 0,6 590 530 0,5 530 490 7,5 3 500 500 << 9 470 455 3 Πίνακας 3.3 Συγκριτικά αποτελέσματα για το propagatio delay μεταξύ SPE και MODE για μεταβλητό W τ=.4s,w=.3μm, =30Ω Prop.delay (HSPE) Prop.delay (MODE) ERROR(%) R(Ω) (psec) (psec) 530 480 9,4 50 530 490 7,5 00 530 490 7,5 00 540 490 9, 300 540 500 7,4 500 545 500 8, 000 560 50 7 Πίνακας 3.4. Συγκριτικά αποτελέσματα για το propagatio delay μεταξύ SPE και MODE για μεταβλητό R

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 56 Π α ρ ά μ ε τ ρ ο ι Tιμές ρεύματος του πλατώ Εrror (%) τ (sec) W (μm) R (Ω) (ff) τιμή HSPE (μα) τιμή Μodel (μα),4 3 00 30 33,4 3,9 4,7,4 9 00 30 33,33 3,9 4,4,4,3 400 30 33,4 3,9 4,7 3 000 00 50 48,3 9 00 00 54 49 3,3 0,8,3 00 30 58 55,8 3,9 0,8 0,9 00 30 57,5 56 0,8 3 00 00 88,7 80 4,8 Πίνακας 3.5. Σύγκριση μεταξύ των τιμών του πλατώ του ρεύματος από SPE και model Μελετώντας τα αποτελέσματα που δίνονται στους παραπάνω πίνακες, συμπεραίνουμε ότι η προσθήκη αντίστασης R (πίνακας 3.4) στο απλό κύκλωμα ενός Nmos pass trasistor με χωρητικό φορτίο, δεν επηρεάζει ιδιαίτερα την απόκριση του κυκλώματος αφού η V max παραμένει σχεδόν ίδια. Το ίδιο και το ρεύμα φόρτισης Ι. Επίσης το propagatio delay δε φαίνεται να μεταβάλλεται αισθητά.η συνεχής αύξηση της τιμής της αντίστασης δεν επηρεάζει καθόλου τη μέγιστη τιμή του ρεύματος. Αυξάνοντας την τιμή της χωρητικότητας (πίνακας 3.), αυξάνεται και η μέγιστη τιμή του ρεύματος στην έξοδο του κυκλώματος όπως επίσης και το propagatio delay. Επίσης αυξάνοντας την τιμή του εύρους W του τρανζίστορ (πίνακας 3.3) το propagatio delay ελαττώνεται ενώ η μέγιστη τιμή του ρεύματος Ι. Τέλος με την αύξηση χρόνου ανόδου τ (πίνακας 3.) το propagatio delay αυξάνεται, ενώ η μέγιστη τιμή του ρεύματος στην έξοδο.

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 57 Στον πίνακα 3.5 συγκρίνονται οι τιμές για το ρεύμα στο πλατώ μεταξύ του SPE και του model για διάφορες τιμές των παραμέτρων. Το σφάλμα μεταξύ SPE και model είναι αρκετά μικρό - 4,8 %. Στη συνέχεια παρατίθενται διάφορα διαγράμματα τα οποία συγκρίνουν την τάση στην έξοδο του κυκλώματος από την προσομοίωση μέσω του SPE και του model.από τη μορφή των καμπυλών, παρατηρούμε ότι η προσέγγιση μας είναι πολύ ικανοποιητική (model) καθώς οι καμπύλες του SPE και model είναι πολύ κοντά η μια στην άλλη. Κάναμε δοκιμές για διάφορες τιμές των παραμέτρων καθώς και για διαφορετική τάση τροφοδοσίας και αυτό που παρατηρήσαμε είναι ότι η μέθοδός μας δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα σε όλες αυτές τις περιπτώσεις. SPE model,4, Output voltage(v) 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5,5,5 3 Time (sec) Διάγραμμα 3. Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W = 3μm, = 30fF, R=00Ω, τ =,4 s

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 58 SPE model,4, Output Voltage (V) 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5,5,5 Time (sec) Διάγραμμα 3. Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W = 9μm, = 30fF, R=00Ω, τ =,4 s SPE model,4, Output Voltage( 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5,5,5 Time(sec) Διάγραμμα 3.3 Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W = 0,6μm, = 30fF, R=00Ω, τ =,4 s

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 59 SPE model,4, Output Voltage (V) 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5,5,5 3 Time (sec) Διάγραμμα 3.4.Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W =.3μm, = 30fF, R=300Ω, τ =,4 s SPE model,4, Voltage(V 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5,5,5 3 Time (sec) Διάγραμμα 3.6.Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W = 3μm, = 00fF, R=000Ω, τ =,4s

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 60 SPE model,4, Output Voltage ( 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 3 4 5 6 Time(sec) Διάγραμμα 3.7.Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W =,3μm, = 50fF, R=00Ω, τ = 5s,4 SPE model, Output Voltage( 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5,5 Time(sec) Διάγραμμα 3.8.Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W = 9μm, = 00fF, R=00Ω, τ = s

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 6 SPE model Output Voltage(,4, 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5,5,5 3 3,5 Time(sec) Διάγραμμα 3.9.Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W =.3μm, = 500fF, R=400Ω, τ =.4s Όλες οι παραπάνω δοκιμές πραγματοποιήθηκαν για τάση τροφοδοσίας V dd =.8V. Για μικρότερες τιμές αυτής τα αποτελέσματα ήταν αρκετά ικανοποιητικά και πάλι, με μεγαλύτερο σφάλμα βέβαια όσο μικρότερη η τιμή της.. spice model 0,8 0,7 0,6 Output Voltage( 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0,5,5,5 Time(sec) Διάγραμμα 3.0.Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W =.3μm, = 30fF, R=400Ω, τ =.4s, V dd =.V

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 6 spice model 0,9 0,8 0,7 Output Voltage( 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0,5,5,5 Time(sec) Διάγραμμα 3..Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W =.5μm, = 70fF, R=400Ω, τ =.4s, V dd =.4V SPE model 0,9 0,8 0,7 Output Voltage( 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0,5,5,5 Time(sec) Διάγραμμα 3..Σύγκριση των κυματομορφών στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W = 9μm, = 70fF, R=400Ω, τ =.4s, V dd =.4V

Κεφάλαιο-3 Αποτελέσματα 63 SPE mod 0,00009 0,00008 0,00007 0,00006 (μm 0,00005 0,00004 0,00003 0,0000 0,0000 0 0 0,5,5,5 3 Time(sec) Διάγραμμα 3.3.Σύγκριση των κυματομορφών της έντασης του ρεύματος στην έξοδο μεταξύ SPE και του μοντέλου για W =,3μm, = 50fF, R=00Ω, τ = s

Κεφάλαιο-4 Συμπεράσματα 64 Κεφάλαιο 4 ο : Συμπεράσματα Η ανάπτυξη απλών μαθηματικών μοντέλων τα οποία περιγράφουν όσο το δυνατόν πιο αποτελεσματικά τη λειτουργία του κυκλώματός μας αποτέλεσε το βασικό στόχο της ερευνητικής προσπάθειας που παρουσιάστηκε στην παρούσα διπλωματική εργασία. Η αναγκαιότητα της ερευνητικής αυτής προσπάθειας οφείλεται στο γεγονός ότι το απλό αυτό ψηφιακό κύκλωμα είναι κύριο κομμάτι των ψηφιακών κυκλωμάτων, οπότε όσο πιο απλή και γρήγορη είναι η μελέτη της συμπεριφοράς του, τόσο πιο εύκολη και γρήγορη θα είναι στη συνέχεια η προσομοίωση μεγάλων ψηφιακών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Για την περιγραφή του ρεύματος του Nmos τρανζίστορ χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο δύναμης α. Προς την κατεύθυνση αυτή πραγματοποιήθηκε αρχικά μια γενική περιγραφή της λειτουργίας του κυκλώματος. Συγκεκριμένα παρουσιάστηκε η περίπτωση στην οποία εφαρμόζεται στην πύλη του Νmos τάση με μορφή αύξουσας ράμπας. Περιγράφηκε η λειτουργία του μέσω των εξισώσεων εισόδου και εξόδου, και παρουσιάστηκε ο τρόπος με τον οποίο το φαινόμενο σώματος επηρεάζει τη λειτουργία του. Έγινε αναφορά στον τρόπο που συμπεριφέρεται το τρανζίστορ όταν ο ένας ακροδέκτης του είναι συνδεδεμένος με πυκνωτή σταθερής χωρητικότητας μέσω αντίστασης R και στον άλλο ακροδέκτη εφαρμόζεται τάση που αντιστοιχεί στο λογικό. Διαπιστώθηκε έτσι η αδυναμία μεταφοράς ανεπηρέαστου λογικού.

Κεφάλαιο-4 Συμπεράσματα 65 Μελετήσαμε την περίπτωση που στον ελεύθερο ακροδέκτη του τρανζίστορ εφαρμόζεται σταθερή τάση V dd και διακρίναμε τις περιοχές λειτουργίας του με σκοπό να μοντελοποιήσουμε την συμπεριφορά του σε κάθε περιοχή. Διακρίναμε δύο περιπτώσεις για τη βηματική είσοδο, ανάλογα με τη μορφή της κυματομορφής του ρεύματος φόρτισης της χωρητικότητας στη έξοδο: slow και fast iput. Τις εξισώσεις που προέκυψαν για κάθε περιοχή λειτουργίας, τις μελετήσαμε για διάφορες τιμές των παραμέτρων και διαπιστώσαμε ότι όντως το μοντέλο προσεγγίζει ικανοποιητικά την πραγματικότητα που δίνεται μέσα από το HSPΕ. Επίσης διαπιστώσαμε ότι τέσσερεις είναι οι βασικές παράμετροι που επηρεάζουν τον τρόπο λειτουργίας του κυκλώματός μας: ο χρόνος μετάβασης τ της τάσης που εφαρμόζεται στην πύλη του τρανζίστορ (χρόνος ανόδου), το πλάτος W του καναλιού του τρανζίστορ, η χωρητικότητα του φορτίου στην έξοδο και η αντίσταση R μέσω της οποίας φορτίζεται η χωρητικότητα εξόδου. Πιο συγκεκριμένα όσο αυξάνει ο χρόνος μετάβασης της εισόδου τ (με W, R, σταθερά) ή όσο μειώνεται η χωρητικότητα (με W, R, τ σταθερά) ή όσο μειώνεται το πλάτος W του καναλιού (με τ, R, σταθερά) τόσο πιο πολύ μειώνεται η μέγιστη τιμή του ρεύματος Ι που φορτίζει τη χωρητικότητα εξόδου. Επιπλέον η αύξηση του χρόνου μετάβασης της εισόδου τ, η αύξηση του πλάτους W του καναλιού η μείωση της χωρητικότητας του πυκνωτή εξόδου οδηγεί σε μείωση του χρόνου φόρτισης του πυκνωτή εξόδου. Πρόκειται για καταστάσεις ισοδύναμες μεταξύ τους. Οι αντίστροφες διαδικασίες οδηγούν όπως άλλωστε είναι φανερό σε αντίστροφα αποτελέσματα. Επίσης αυξάνοντας το χρόνο μετάβασης της εισόδου τ, το πλάτος W του καναλιού ή μειώνοντας τη χωρητικότητα τα κυκλώματα που προκύπτουν ισοδυναμούν με εκείνα που στην πύλη τους εφαρμόζεται αργή ράμπα. Οι αντίστροφες διαδικασίες οδηγούν σε εκείνα στην πύλη των οποίων εφαρμόζεται γρήγορη ράμπα.